一元微积分多元微积分高等数学复习提纲(同济大学版)

微积分复习提纲一、多元函数微分学及其应用1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df 或者梯度函数f grad ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8③由方程组()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在方程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解方程组即可）， 见P35例14，P37习题9④由方程组()()⎩⎨⎧==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用①空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(x z x y t x ωφϕ在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程，见P46 例1，例2， P50习题1、2②空间曲线()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程见P46 例3， P50习题2③曲面()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域D ，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。

同济版高数知识点总结大一同济版高数是大一学生必修的一门课程，内容包含了数学的基础知识和应用技巧。

在学习过程中，我们需要掌握一些重要的知识点，下面就给大家总结一下。

1. 极限与连续在高数中，极限是一个重要的概念。

我们需要了解函数的极限及其性质。

其中包括常用的极限运算法则，如加减乘除法则、复合函数极限法则等。

另外，我们还需要学习函数的连续性及其判定方法，如极限存在的条件、间断点的分类及判断等。

2. 导数与微分导数是高数中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

我们需要学习导数的定义、求导公式及运算法则，如常用函数的导数、高阶导数等。

此外，还需要了解函数的微分、微分中值定理等相关概念和应用。

3. 不定积分与定积分不定积分与定积分是高数中的重要内容。

不定积分是求函数的原函数，我们需要学习求不定积分的方法和技巧，如常用函数的积分公式、换元积分法、分部积分法等。

定积分是计算曲线下面的面积，我们需要了解定积分的定义、性质和计算方法，如区间分割法、定积分的几何应用等。

4. 一元函数的应用在大一高数中，我们会学习一元函数的应用知识。

包括函数极值与最值、函数的图像与性质、函数的模型与应用等。

其中，函数的极值与最值是我们需要重点掌握的内容，涉及到函数极值的判定条件、求极值的方法和应用问题的解答。

5. 多元函数与偏导数除了一元函数，高数课程还会介绍多元函数的知识。

我们需要了解多元函数的定义、极限、连续性及偏导数的计算方法。

尤其是偏导数的求解，需要掌握偏导数的定义以及常见函数的偏导数计算技巧。

以上是同济版高数大一知识点的简要总结。

在学习过程中，需要理解概念、掌握公式和运算技巧，并且进行大量的练习和应用实践，才能真正掌握这些知识点。

希望大家能够认真学习，取得好成绩！。

⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲第⼀章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第⼆章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应⽤：熟练掌握本章的实际应⽤，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，尤其要⽤凑微分以及⼀些需⽤⼀定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应⽤：掌握定积分的实际应⽤第七章空间解析⼏何和向量代数：熟练掌握本章的实际应⽤⾼等数学（1）期末复习要求第⼀章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。

2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的⽅法。

3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。

4．建⽴函数关系会列简单应⽤问题的函数关系式。

5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。

6．极限四则运算掌握⽤极限的四则运算法则求极限. 7．⽆穷⼩量与⽆穷⼤量了解⽆穷⼩量的概念、⽆穷⼩量与⽆穷⼤量之间的关系，⽆穷⼩量的性质。

8．两个重要极限了解两个重要极限，会⽤两个重要极限求函数极限。

9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的⼏个性质（最⼤值、最⼩值定理和介值定理）。

第⼆章导数与微分1．导数概念：导数定义、导数⼏何意义、函数连续与可导的关系、⾼阶导数。

理解导数概念；了解导数的⼏何意义，会求曲线的切线和法线⽅程；知道可导与连续的关系，会求⾼阶导数概念。

2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。

高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*y 的形式为：主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法 在求xz∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dxdv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z fx v =，()y ,x v ψ=，则x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，yvu f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂，yudu dz y z ∂∂⋅=∂∂3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则()0≠-=∂∂z zx F F F x z， ()0≠-=∂∂zzy F F F y z或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y∂∂∂∂或. 2）方程组的情况 由方程组()()⎩⎨⎧==00v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y ∂∂∂∂或即可.二、全微分的求法 方法1：利用公式dz zudy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zz du dv uv dz z z dx dyxy ∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}000t ,t ,t T '''ωψϕ=，切线方程为()()()000000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=- 法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψϕ2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量{}P z y x F ,F ,F n =，切平面方程为()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为()()()000000000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=-=- 若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x，切平面方程为()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为()()1000000--=-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，(),0y f x y =，解出驻点()00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，()00y ,x f C yy =.1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.3） 若02=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.2 条件极值的求法函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]⎰-=dx x g x f S b a（X -型区域的面积）(2)体积()⎰=dx x A V b a （横截面面积已知的立体体积）()2b xx a V f x dx π=⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得的立体体积）()xy 2b a V x f x dx π=⋅⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立体体积）()2()b y c a V f x c dx π==-⎰ （(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c =旋转的立体体积）(3)弧长()()()b a b S βαθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰直角坐标形式参数方程形式极坐标形式 计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算： 1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x 对称，则当被积函数关于x 为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域,x y的地位平等（即将表示区域的方程,x y互换不变），则将被积函数中,x y互换积分不变.此称之为轮换对称性.所以：()() ()()()()()()01()1() z z p x p yp y p x p y z u p x z ux y u uϕϕ∂∂-''+=+=''∂∂--。

第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合(一).集合的相关概念1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描述的：描述性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A ，B ，C ，┄ 表示；组 成集合的事物称为元素，用小写字母a ，b ，c ，┄ 表示.2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ .3.几何与元素的关系：元素a 属于集合A , 记作A a ∈；元素a 不属于集合A , 记作A a ∈或A a ∉.4.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：不是有限集的集合.5.集合的表示法：(1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合n i i n a a a a A 121}{},,,{=== .(2).描述法：x x M {=所具有的特征}. 例：}01{2=-=x x M 表示方程012=-x 的解集.6.几种常用的数集：自然数集：}{},,,2,1,0{n n N == ；正整数集：},,,2,1{ n N =+； 整数集：}/{ N x N x x Z +∈-∈=； 有理数集：,N q ,p p Q +∈∈⎨⎧=Z p 与 q 互质⎬⎫；实数集合：x R {=x 为有理数或无理数}.(二).集合之间的关系及运算1.集合之间的关系包含关系： 设有集合A 和B ，若A x ∈必有B x ∈，则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,记作B A ⊂ 或A •B ⊃. 相等关系：若B A ⊂且A B ⊂，则称 A 与 B 相等，记作B A =.例如, Z N ⊂，Q Z ⊂，R Q ⊂.下列关系成立 :(1). A A ⊂；A A =；A ⊂Φ.(2). B A ⊂且C B ⊂⇒C A ⊂.2.集合之间的运算：对集合A 与 B ，有下列几种基本运算并集：A x B A ∈={ 或B x ∈}；交集：A x B A ∈={ 且B x ∈}；差集：A x B A ∈={\且B x ∉}；余集(补集)：I x A I A c ∈=={\且A x ∉}，其中I 称为全集，I A ⊂； 直积：{}B y A x y x B A ∈∈=⨯,),( (笛卡尔直积).特例：2R R R =⨯为平面上的全体点集.(三).区间和邻域1.有限区间{} b x a x b a <<=),(; {} b x a x b a ≤<=],(；{} b x a x b a <≤=),[; {} b x a x b a ≤≤=],[.2.无限区间：{} a x x a ≥=∞+),[； {} b x x b ≤=-∞],(； {}R x x ∈=∞+-∞),(.3. 邻域点a 的δ 邻域: {}{}δδδδ<-=+<<-=a x x a x a x a U ),(；点a 的去心δ 邻域: {}δδ<-<=a x x a U 0),( ；点a 的左δ 邻域: ),(a a δ-；点a 的右δ 邻域: ),(δ+a a .其中, a 称为邻域中心, δ 称为邻域半径.4. 区间的直积：{}],[],,[),(],[],[d c y b a x y x d c b a ∈∈=⨯.二、实数集及其完备性1. 实数集的性质：(1). 封闭性：任意两个实数进行加、减、乘、除 (分母不为零) 运算后，其结果仍然是实数.(2). 有序性：任意两个实数a 和b ，必满足且仅满足下列三种关系之一：a < b ，a > b ，a = b .且若a < b ，b < c ，则a < c .(3). 稠密性：任意两个不相等的实数之间仍有实数.(4). 完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都对应数轴上唯一的一个点；反之, 数轴上任意一点也对应唯一的一个实数.2. 实数集的确界存在定理(1). 定义1. 设R A ⊂，且Φ≠A ，若R L ∈∃，使得A x ∈∀，都有L x ≤(或L x ≥)，则称数集A 有上界（或下界），并称L 是A 的一个上界（或下界）.若数集A 既有上界又有下界，则称A 有界，否则称A 无界.(2). 定义2. 设R A ⊂，且Φ≠A ，若R ∈∃β（或R ∈α）满足下列条件：①. A x ∈∀，有β≤x (或)α≥x ;②. 0>∀ε，A x ∈∃0, 使 εβ->0x (或εα+<0x )，则称β为数集A 的上确界(或α为数集A 的下确界)，记为A sup =β(或A inf =α)注：1°.上确界是集合的上界中最小的，下确界是集合的下界中最大的.2°.数集的确界和它的最值是区别的，最值属于集合，而确界不一定属于集合.(3). 确界存在定理: 有上界(或下界)的非空实数集必有上确界(或下确界).三、映射1. 映射：设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应法则f ,使得X x ∈∀，有唯一确定的Y y ∈与之对应，则称f 为从 X 到 Y 的映射， .:Y X f →元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作).(x f y =元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.集合 X 称为映射 f 的定义域，记作f D ，即X D f =;集合 X 中的元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作f R 或)(X f ，即Y X x x f X f R f ⊂∈==}|)({)(.注：1°.映射的三要素：定义域, 对应法则, 值域.2°.元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.2. 映射的分类：满射：若Y X f =)(，则称 f 为满射.单射：若2121,,x x X x x ≠∈∀，有)()(21x f x f ≠，则称 f 为单射.双射：若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射或一一映射.注：映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的惯用名称， 例如:映射f ：X (≠ ∅ ) →Y (数集)称为X 上的泛函;映射f ：X (≠ ∅ ) →X (数集)称为X 上的变换;映射f ：X (数集或其子集) →R 称为X 上的函数.3. 逆映射：对单射f ：X →Y ，称映射g ：R f → X 为f 的逆映射，记作-f ，其定义域f f R D =-， 值域为X R f =-.4.复合映射：称映射g ：X → Y 1，f ：Y 2 → Z (21Y Y ⊂)确定的从X 到Z 的映射为映射g 和 f 构成的复合映射，记作Z X g f →: ，即)]([)(x g f x g f = .注：g 的值域g R 必须包含在f 的定义域f D ，即f g D R ⊂.四、函数1. 函数的概念: 设数集R D ⊂，称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为↓↓↓↓∈=.),(D x x f y因 映 自 定 值域：{}D x x f y y D f R f ∈===),()(变 变 义 函数图形: {}D x x f y y x C ∈==),(),(.量 射 量 域对应规律的表示方法: 解析法（公式法）、图象法、列表法.注：记号f 和法则f (x )的含义不同，f 表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则，而f (x )表示与自变量x 对应的函数值，在不至于混淆的情况下，习惯上仍用f (x )表示函数.2. 函数的几种数学表达式:(1). 显函数：)(x f y =. 如： ]1,1[,12-∈-=x x y .(2). 隐函数：0),(=y x f . 如： 0,122≥=+y y x .(3). 参数方程表示的函数：I t t y t x ∈⎩⎨⎧==),(),(ψϕ.如],0[,sin ,cos π∈⎩⎨⎧==t t y t x . (4). 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式.例1. 符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y ，定义域:),(∞+-∞=D ，值域:}1,0,1{-=f R ，对任何x ，有||sgn x x x ⋅=.例2. 绝对值函数⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y .例3. 取整函数n x y ==][，当1+<≤n x n ，Z n ∈.例如：075=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，1]2[=，3][=π，4]5.3[-=-. 例4. 狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(. 3.函数的几种特性: 设函数D x x f y ∈=,)(，且有区间D I ⊂.(1).有界性：I x ∈∀，若0>∃L ，使得 L x f ≤)((或L x f ≥)()，则称)(x f 在I 上有上界(或下界)，并称L 为)(x f 在I 上的一个上界(或下界).I x ∈∀，若0>∃M ，使得M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 在I 上有界.(2).单调性：I x x ∈∀21,，当21x x <，总有)()(21x f x f <))()((21x f x f <，则称)(x f 在I 上是单调增加 (单调减少) 的.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.(3).奇偶性：设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称， D x ∈-∀，若)()(x f x f =-恒成立，则称)(x f 为偶函数，若)()(x f x f -=-恒成立，则称)(x f 为奇函数.注：奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y 轴对称.(4).周期性：D x ∈∀，若0>∃l ，使得D l x ∈+，都有)()(x f l x f =±，则称)(x f 为周期函数，称 l 为周期(一般指最小正周期).注: 周期函数不一定存在最小正周期.例如：常量函数C x f =)(； 狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(. 4.反函数与复合函数：相对于逆映射和复合映射的概念，有反函数和复合函数的概念.(1).反函数的概念及性质定义：若函数)(:D f D f →为单射,则存在一新映射D D f f →-)(:1使)(D f y ∈∀，有 x y f =-)(1，其中y x f =)(，称此映射1-f 为f 的反函数.习惯上, 函数D x x f y ∈=,)(的反函数记成)(,)(1D f x x f y ∈=-.性质:①. y ＝f (x ) 单调递增(或递减)，其反函数)(1x f y -=存在,且也单调递增(或递减). ②.函数y ＝f (x )与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.(2). 复合函数 ：设有函数链,),(f D u u f y ∈=与,),(D x x g u ∈=且f g D R ⊂，则称函数)()]([D x x g f y ∈=为由)(x g u =与)(u f y =确定的复合函数，记作))((][x g f )x (g f =, 其中u 称为中间变量，有时也称)(x g u =为内函数，)(u f y =为外函数.注：构成复合函数的条件f g D R ⊂不可少.5. 初等函数(1). 基本初等函数: 反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数.(2). 初等函数: 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成, 并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 否则称为非初等函数.注：符号函数、取整函数以及狄利克雷函数都是非初等函数.第二节 数列的极限一、数列极限的定义1. 数列：称自变量取正整数的函数为数列,记作)(n f x n =或}{n x ，n x 称为通项(一般项).2. 数列极限(1).引例(刘徽割圆术)： 对给定的圆，用其内接内接正126-⨯n 边形的面积n A 逼近其面积.容易得到内接内接正126-⨯n 边形的面积序列： ,,,,21n A A A ，当n 无限增大时, n A 无限接近S . S 称为数列}{n A 的极限.对于数列，我们关心的主要问题是：当n 无限增大时，n x 的变化趋势如何？例如：①．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1随着n 的无限增大而无限接近常数1. ②．数列})1{(n -随着n 的无限增大没有确定的变化趋势.③．数列}2{n 随着n 的无限增大而无限增大.但是，仅仅凭直觉观察得到极限和用“无限增大” 、“无限接近”来描述极限是远远不够的，例如：我们不能根据观察而判断出数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11的极限，因此，需要用精确、定量的数学语言来定义极限.下面以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1为例来介绍数列极限.我们知道点n x 与点a 之间的距离a x n -是刻画数n x 与a 接近程度的一个度量.当n 无限增大时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1无限接近1，也就是说当n 无限增大时，nn x n n 11)1(11=--+=-可以无限的变小，例如 如果要求10111<=-n x n ，那么只要10>n ，即从数列第11项起，后面的所有项与1的距离都小于1/10; 如果要求310111<=-n x n ，那么只要1000>n ，即从数列第1001项起，后面的所有项与1的距离都小于1/103;上述过程实际上说明了如下事实：无论要求n x 与1多么接近，即1-n x 多么小，只要n 足够大，就可以使1-n x 变得那么小，n 足够大的程度由1-n x 小的程度来决定. 为了刻画n x 与1的接近程度，我们引入任意给定的正数ε，那么上述事实可描述成：不论给了多么小的的正数ε，总存在一个正整数N (比如上述过程中的[]ε1=N )，当N n >时，总有ε<-1n x ，数1就叫做数列}{n x 当∞→n 时的极限.将这个例子中的思想方法和表述方式用于一般数列，就得到了如下数列极限的定义：(2). 数列极限：若数列}{n x 与常数a 满足：0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀时，总有ε<-a x n ，则称该数列}{n x 以a 为极限，或称数列}{n x 收敛于a ，记作a x n n =∞→lim 或)(∞→→n a x n . 数列收敛：a x n n =∞→lim ⇔0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀时，总有ε<-a x n . 数列发散：对任意常数a ，若00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，使得00ε≥-a x n ，则数列}{n x 发散.数列收敛的几何意义：对于点a 的任意ε邻域),(εa U ，总存在一个项数N ，使得数列}{n x 中自第1+N 项开始后面的一切项都落在点a 的ε邻域),(εa U 内，在这个邻域之外至多只能有}{n x 的有限项N x x x ,,,11 .(数列的收敛性及其极限值与它前面的有限项无关，改变数列中的有限项的值，并不能改变其收敛性及其极限值.)注：在数列极限定义中，1°.正数ε必须是任意给定的，ε可以充分小，只有这样，不等式ε<-a x n 才能体现出n x 无限接近a 的要求,因此在讨论极限问题时常常要限定ε的范围，例如：为了使]/1[ε是正整数，需要限定1<ε，此时1]/1[>ε.此外，εc ，ε， ,2ε也都是任意给定的正数，它们只是形式不同，没有本质的区别，今后证明极限问题时经常要用到.2°.正整数N 是依赖于ε的给定而确定的(常记为)(εN )，它给出了一个项号，只要n 增大到这一项之后，就有ε<-a x n .3°.对应于给定的一个ε，N 并不是唯一的.4°.一般地，为了比较简便地得到一个N ，可适当放大a x n -，使之小于某一个以n 为变量的简单且趋于零的表达式，令它小于ε后求出N .例1. 证明：1)1(lim =-+∞→nn nn . 证明：对于0>∀ε，要使不等式ε<=--+=-n n n a x n n 11)1(成立，只要ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N .于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<=--+nn n n 11)1(，即1)1(lim =-+∞→n n n n . 例2. 证明：0)1()1(lim 2=+-∞→n nn . 证明：对于0>∀ε(假定1<ε)，要使不等式ε<+<+=-+-=-11)1(10)1()1(22n n n a x n n 成立，只要11->εn ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN . 于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<+=-+-22)1(10)1()1(n n n ，即0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 对1||<q ，证明：0lim 1=-∞→n n q . 证明：对于0>∀ε(假定1<ε)，要使不等式ε<=-=---110n n n qq a x 成立，只需εln ln )1(<-q n ，(注意到0ln <q .) 即q n ln ln 1ε+>，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε.于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<=---110n n qq ，即0lim 1=-∞→n n q . 二、收敛数列的性质1.极限的唯一性： 定理1. 若数列}{n x 收敛，则它的极限是唯一的(收敛数列的极限是唯一). 证法(一):用反证法.证明:假设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim 同时成立，且b a <.取2a b -=ε，由极限定义， 对0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃++εεb x N n N N a x N n N N n n ,,,,2211，取},max{21N N N =，N n >∀，有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n 同时成立，即2b a a x a x n n +=+<⇒<-εε，2b a b x b x n n +=->⇒<-εε同时成立，出现矛盾，定理得证.证法(二): 直接证明.证明:假设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim 同时成立，往证b a =.由极限定义，对0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃++εεb x N n N N a x N n N N n n ,,,,2211，取},m a x {21N N N =，N n >∀， 有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n 同时成立，于是， b a a x b x a x b x b a n n n n =⇒<-+-≤---=-ε2)()(，即收敛数列的极限是唯一的.例4.证明数列),2,1()1(1 =-=+n x n n 是发散的.证法一：直接证明，只需证明R a ∈∀都不是数列})1{(1+-n 的极限. 证明：10=∃ε，分两种情形：1. 当0≥a 时，+∈∀N N ，N k n n >=∃)2(00，有011|1||)1(|ε≥+=--=--+a a a n .2. 当0<a 时，+∈∀N N ，N k n n >+=∃)12(00，有01)(1|1||)1(|ε≥-+=-=--+a a a n . 综上说明数列})1{(1+-n 发散. 证法二：用反证法.证明：假设数列})1{(1+-n 收敛，由定理1知，数列})1{(1+-n 有唯一极限，不妨设a n n =-+∞→1)1(lim ，由数列极限定义，对21=ε，+∈∃N N ，当N n >时，21|)1(|1<--+a n 成立，即当N n >时，21)1(211+<-<-+a a n ，又∞→n 时，})1{(1+-n 交替取值 1 与－1，而这两个数不能同时位于长度为1的区间()21,21+-a a 内，出现矛盾，故数列})1{(1+-n 发散.2. 收敛数列的有界性：定理2. 若数列}{n x 收敛，则}{n x 一定有界.证明：设a x n n =∞→lim ，取1=ε，则+∈∃N N ，当N n >时，有1<-a x n ，从而有||1|||||)(|||a a a x a a x x n n n +<+-≤+-=，取{}||1,||,,||,||max 21a x x x M N += ，则有),2,1( =≤n M x n ，由此证明收敛数列必有界. 注：1°.数列无界必发散.(逆否命题)2°.数列有界未必收敛，例如),2,1()1(1 =-=+n x n n 有界，即1≥∀n ，1||≤n x ，但该数列却发散.3. 收敛数列的保号性：定理3. 若a x n n =∞→lim ，且0>a (或0<a )，则+∈∃N N ，当N n >时，都有0>n x (或0<n x ).证明：对 a > 0，取2/a =ε，则+∈∃N N ，当N n >时，02/2/>->⇒<-a a x a a x n n . 推论：若数列}{n x 从某项起0≥n x (或0≤n x )，且a x n n =∞→lim ，则0≥a (或0≤a ).4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限：子数列：在数列}{n x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列}{k n x 为原数列}{n x 的一个子数列(简称子列). 注：1°. 对N k ∈∀，k n k ≥，当∞→k 时，∞→k n .2°. 当12-=k n k 时，称}{k n x 为奇子列；当k n k 2=时，称}{k n x 为偶子列. 定理4. a x n n =∞→lim ⇔对数列}{n x 的任何子列}{k n x ，都有a x k n k =∞→lim .证明：必要性：由a x n n =∞→lim ，有0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，ε<-a x n .取N K =，当N K k =>时，有N n n n N K k >=>，有ε<-a x k n ，即a x k n k =∞→lim .充分性显然.注： 若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散. 例如：数列),2,1()1(1 =-=+n x n n 发散，而1lim 12=-∞→k k x ，1lim 2-=∞→k k x .此例也说明发散的数列也可能有收敛的子列.第三节 函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 0x x →时函数)(x f 的极限(1).定义：设函数)(x f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 对常数A ，若0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(，则称 A 为函数)(x f 当0x x →时的极限,记作A x f x x =→)(lim 0或A x f →)(当)(0x x →.“δε-”定义：A x f x x =→)(lim 0⇔0>∀ε,0>∃δ,当),()(0δx U f D x⋂∈时，有ε<-A x f )(.注：A x f x x =→)(lim 0研究函数)(x f 当0x x →时的变化趋势，不考虑函数)(x f 在点0x 是否有定义.例如：函数24)(2--=x x x f 当2≠x 时，2)(+=x x f ，所以2→x 时4)(→x f .再如：函数⎩⎨⎧=≠==000,1|sgn |)(x x x x f ，当0→x 时对应的函数值趋于1.(2).几何意义：对于一个以直线ε+=A y 和ε-=A y 为两边的带型区域， 总存在一个0>δ，使得函数)(x f 在区间),(00x x δ-与),(00δ+x x 内的 图形都位于这个带型区域内. 例1. 证明C C x x =→0lim ，C 为常数.证明：对0>∀ε，ε<=-=-0)(C C A x f 总成立，于是，0>∀ε，0>∀δ，:x ∀δ<-<00x x ，总有ε<=-0C C ，即C C x x =→0lim .例2. 证明1)12(lim 1=-→x x .证明：对0>∀ε，要使ε<-=--=-121)12()(x x A x f 成立，只需21ε<-x ，取2εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀10:x x ，总有ε<-=-12)(x A x f ，即1)12(lim 1=-→x x .例3. 证明211lim21=--→x x x . 证明：对0>∀ε，要使ε<-=-+=---=-121211)(2x x x x A x f 成立,取εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀10:x x ，总有ε<-=-1)(x A x f ，即211lim21=--→x x x . 例4.证明:当00>x 时，00limx x x x =→.证明：对0>∀ε，要使ε<-≤+-=-=-000001)(x x x x x x x x x A x f 成立,只要ε00x x x <-.由于x 的定义域是),0[∞+，因此选取的0>δ要使),0[),(00∞+⊂+-δδx x ，取{}00,minx x εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，总有ε<-0x x ，即00limx x x x =→.（详细说明：由于000001x x x x x x x x x -≤+-=-，当εδ0x =时，即ε00x x x <-，代入上式有ε<-0x x ；当0x =δ时，有ε00x x <，即ε<0x ，将00x x x <-代入上式得ε<<-00x x x .）(在0x x →的过程中，0x x →的方式是任意的，x 既可以是0x 左侧的点，也可以是0x 右侧的点，但要限定x 只在0x 某一侧趋于0x ，则有下面的单侧极限，即左极限和有极限.) 2. 单侧极限左极限：⇔==-→-A x f x f x x )(lim )(000>∀ε，0>∃δ，),(00x x x δ-∈∀，有ε<-A x f )(. 右极限: ⇔==+→+A x f x f x x )(lim )(000>∀ε，0>∃δ，),(00δ+∈∀x x x ，有ε<-A x f )( 定理：⇔=→A x f x x )(lim 0A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00. 例5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 当0→x 时的极限是否存在. 解：因为1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，显然)0()0(+-≠f f ，所以)(lim 0x f x →不存在.3. 函数极限的性质 (1). 函数极限的唯一性定理1.若A x f x x =→)(lim 0存在，则该极限值唯一.(2). 函数极限的局部有界性定理2.若A x f x x =→)(lim 0，则0>∃M ，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(.证明：由A x f x x =→)(lim 0，可取1=ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有1)()(1)(+≤+-≤⇒≤-A A A x f x f A x f ，取1||+=A M ，则有M x f ≤)(. (3).函数极限的局部保号性定理3.若A x f x x =→)(lim 0,且0>A (或0<A )，则0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有0)(>x f (或0)(<x f ).证明：由0)(lim 0>=→A x f x x ，可取2A=ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有 022)(2)(>=->⇒≤-AA A x f A A x f .同理可证明0<A 的情形.定理3’. 若A x f x x =→)(lim 0,且0≠A ，则0>∃δ， δ<-<∀00:x x x ，有2)(Ax f >. (4).函数极限的局部保序性定理4.若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0，B A <，则0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有)()(x g x f <.证明：对02>-=AB ε， 由⇒=→A x f x x )(lim 001>∃δ，当100δ<-<x x 时，有22)(2)(BA AB A x f A B A x f +=-+<⇒-≤-.由⇒=→B x g x x )(lim 002>∃δ，当200δ<-<x x 时，有22)(2)(BA AB B x g A B B x g +=-->⇒-≤-. 取},min{21δδδ=，:x ∀δ<-<00x x ，由2)(B A x f +<和2)(BA x g +>得到)()(x g x f <. 推论：若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0，且0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有)()(x g x f ≤，则B A <.(5).函数极限的归并性(函数极限与数列极限之间的关系)定理5.(海涅定理) ⇔=→A x f x x )(lim 0对任何数列}{n x (0x x n ≠)，只要0lim x x n n =∞→，就有A x f n n =∞→)(l i m .证明：必要性：设A x f x x =→)(lim 0，由极限定义知，对0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(.由于0lim x x n n =∞→，0x x n ≠，故对上述0>δ，+∈∃N N ，当N n >时，有δ<-<00x x n .综上可得：0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，有ε<-A x f n )(，故A x f n n =∞→)(lim .充分性：用反证法.假设A x f x x ≠→)(lim 0，则00>∃ε，+∈∀N n ，:n x ∃nx x n 100<-<，但0)(ε≥-A x f n .由此得到一个数列}{n x ，由于nx x n 100<-<，故0x x n ≠，且0lim x x n n =∞→，但是A x f n n ≠→∞)(lim ，与已知条件矛盾，从而必有A x f x x =→)(lim 0.二、自变量趋于无穷大时函数的极限1. ∞→x 时函数)(x f 的极限(1). 定义1.设函数)(x f 当0||>>αx 时有定义, 对常数A ，若0>∀ε，0>∃X ，:x ∀X x >||， 有ε<-A x f )(，则称 A 为)(x f 当∞→x 时的极限,记作A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(当)(∞→x .“X -ε”定义：A x f x =∞→)(lim ⇔0>∀ε,0>∃X ,:x ∀X x >||，有ε<-A x f )(.(2). 几何意义：对于一个以直线ε+=A y ，ε-=A y 为两边的带型区 域，总存在一个0>X ，使得函数)(x f 在区间),(X --∞与),(∞+X 内 的图形都位于该带型区域内，直线A y =是曲线)(x f y =的水平渐近线. 例6. 证明01lim=∞→xx . 证明：对0>∀ε，要使不等式ε<=-xx 101成立，只需ε1>x ，取ε1=X ，于是，对0>∀ε，0>∃X ，:x ∀X x >||，有ε<-01x，即01lim =∞→x x .2. 单侧极限⇔=+∞→A x f x )(lim 0>∀ε,0>∃X ,X x >∀，有ε<-A x f )(.⇔=-∞→A x f x )(lim 0>∀ε,0>∃X ,X x -<∀，有ε<-A x f )(.思考与练习:1. 若极限)(lim 0x f x x →存在，是否一定有)()(lim 00x f x f x x =→？2. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1,121,)(2x x x x a x f ，且)(lim 1x f x →存在, 则3=a .第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量1. 定义：若0x x → (或∞→x )时,函数0)(→x f ，即0)(lim 0=→x f x x (或0)(lim =∞→x f x )，则称函数)(x f 为0x x → (或∞→x )时的无穷小量. 例如 :0)1(lim 1=-→x x ,函数1)(-=x x f 当1→x 时为无穷小量；01lim=∞→x x ，函数xx f 1)(=当∞→x 时为无穷小量； 011lim=-∞-→x x ，函数xx f -=11)(当-∞→x 时为无穷小量. 注：无穷小量不是很小的数，而是绝对值小于任意给定正常数ε的量，除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量，因为⇔=→0lim 0C x x 0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，ε<-0C ，显然C 只能是0 !2. 无穷小量与函数极限的关系定理1. ⇔=→A x f x x )(lim 0α+=A x f )(，其中α 为0x x →时的无穷小量,即0lim 0=→αx x .证明：必要性：⇒=→A x f x x )(lim 0,0,0>∃>∀δε:x ∀δ<-<00x x ，，有ε<-A x f )(，即α+=A x f )(，其中0lim 0=→αx x .充分性：⇒=→0lim 0αx x ,0,0>∃>∀δε:x ∀δ<-<00x x ，有εα<,又α+=A x f )(，则有ε<-A x f )(，即A x f x x =→)(lim 0.对自变量的其它变化过程类似可证.二、无穷大量定义： 若0>∀M ，0>∃δ(或0>∃X )，对:x ∀δ<-<00x x (或:x ∀X x >), 总有M x f >)(，则称函数)(x f 当0x x →)(∞→x 时为无穷大量,为了便于叙述函数的这一性态，也说函数的极限是无穷大量，记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).若将M x f >)(换成M x f >)((或M x f -<)()，则将无穷大量记作+∞=∞→→)(lim )(0x f x x x (或-∞=→∞→)(lim )(0x f x x x ).注：1°.无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2°.函数为无穷大量, 必定无界 . 但反之不真! 例如： 函数),(,cos )(∞+-∞∈=x x x x f ，∞→=π2)π2(n n f ，当∞→n ，但0π2=⎪⎭⎫⎝⎛+n f π，所以∞→x 时，)(x f 不是无穷大量!3°.若∞=→)(lim 0x f x x ，则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线.若C x fx =→∞)(lim ，则称直线C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线.例2. 证明∞=-→11lim1x x . 证明：对0>∀M ，要使M x >-11，只需M x 11<-，取M 1=δ. 于是，0>∀M ，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有M x >-11，即∞=-→11lim1x x . 注：直线1=x 是曲线11-=x y 的铅直渐近线. 例3. 求曲线1)(22-==x x x f y 的水平、铅直两种渐近线.解：由111lim 1111lim 1lim 22222=-+=-+-=-∞→∞→∞→x x x x x x x x 知直线1=y 是已知曲线的一条水平渐近线.由∞=-→1lim 221x x x 知直线1=x 是已知曲线的一条铅直渐近线. 由∞=--→1lim 221x x x 知直线1-=x 也是已知曲线的一条铅直渐近线. 三、无穷小与无穷大的关系 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若)(x f 为无穷大量,则)(1x f 为无穷小量； 若)(x f 为无穷小量且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大量. 证明：设∞=→)(lim 0x f x x ，则0>∀ε，对于ε1=M ，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε1)(=>M x f ，即ε<)(1x f ，即)(1x f 为0x x →时的无穷小量. 反之，设0)(lim 0=→x f x x 且0)(≠x f ，则0>∀M ，对于M1=ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有M x f 1)(=<ε，又:x ∀δ<-<00x x ，0)(≠x f ，从而M x f >)(1，)(1x f 为0x x →时的无穷大量.类似可证∞→x 的情形.第五节 极限运算法则一、无穷小量的运算法则定理1. 有限多个无穷小量的和还是无穷小量.证明:考虑两个无穷小量的和. 设0lim 0=→αx x ，0lim 0=→βx x ，而βαγ+=.0>∀ε,⎪⎩⎪⎨⎧<<-<∀>∃<<-<∀>∃2/,0:,02/,0:,0202101εβδδεαδδx x x x x x ,取{}21,min δδδ=，于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εβαβαγ<+≤+=，即0lim 0=→γx x .类似可证: 有限个无穷小量之和仍为无穷小量. 但无穷多个无穷小量之和未必是无穷小量，例如: 1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n n .(后面再证明)定理2 .有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证明：设函数u 在0x 的某一去心邻域内有界，即0>∃M ，01>∃δ，),(10δx U x∈∀，有M u ≤||. 又设0lim 0=→αx x ，即0>∀ε,M x x x /,0:,0202εαδδ<<-<∀>∃.取{}21,min δδδ=.于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εεαα=⋅<=M M u u /，即0lim 0=→αu x x .推论1. 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论2. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 例1. 求xxx sin lim∞→.解：由于1sin ≤x ，而01lim=∞→x x ，故0sin lim =∞→x xx . 注：直线0=y 是曲线xxy sin =的水平渐近线.二、极限的四则运算法则定理 3 . 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则有B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[. 证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 于是, )()()()()()(βαβα±+±=+±+=±B A B A x g x f ，即B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[.推论: 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，且)()(x g x f ≥，则B A ≥. 证明：令)()()(x g x f x -=ϕ，则0)(≥x ϕ，从而0)(lim ≥x ϕ，由于B A x g x f x -=-=)]()(lim[)(lim ϕ，于是B A ≥.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.定理4.若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则有AB x g x f x g x f =⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[.证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 于是, αβαββα+++=++=B A AB B A x g x f ))(()()(，由于0lim lim lim ===αβαβB A ，从而)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==. 说明: 定理4可推广到有限个函数相乘的情形. 推论1. )(lim )](lim[x f C x f C = ( C 为常数). 推论2. n n x f x f ])(lim [)](lim[= ( n 为正整数).例2. 设 n 次多项式n n n x a x a a x P +++= 10)(，试证)()(lim 00x P x P n n x x =→.证明: )(lim lim )(lim 010100x P x a x a a x a x a a x P n n n n x x n x x n x x =+++=+++=→→→ .定理5. 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，且0≠B ，则有BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim. 证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 设 )()(1)()(βαββαγA B B B B A B A B A x g x f -+=-++=-=，因此 γ 为无穷小量, 即γ+=BA x g x f )()(， 由极限与无穷小关系定理, 得)(lim )(lim )()(limx g x f B A x g x f ==. 因为数列是一种特殊的函数,下面定理给出数列的极限的运算法则： 定理6 . 若A x n n =∞→lim ，B y n n =∞→lim ，则有(1). B A y x n n n ±=±→∞)(lim ；(2). B A y x n n n ⋅=→∞lim ；(3). 当0≠n y 且0≠B 时，BA y x n n n =∞→lim. 例3. 对分式函数)()()(x Q x P x R =，其中)(x P 、)(x Q 是多项式，若0)(0≠x Q ，试证: )()(lim 00x R x R x x =→.证明：)()()()(lim )(lim )(lim 000000x R x Q x P x Q x P x R x x x x x x ===→→→. 例4. 3162)3(lim )1(lim 31lim )3)(3()1)(3(lim 934lim3333223==+-=+-=+---=-+-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .例5. 求4532lim21+--→x x x x .解：由于031241513245lim221=-⋅+⋅-=-+-→x x x x ，于是∞=+--→4532lim 21x x x x . 例6. 737243lim 357243lim 332323=-+++=-+++→∞→∞x x x x x x x x x x .（分子分母同除以3x ） 例7. 020522123lim 52123lim 332232==+---=+---∞→∞→xx x x x x x x x x x .（分子分母同除以3x ） 例8. 12352lim 223--+-→∞x x x x x .解：由例7知052123lim 232=+---→∞x x x x x ，故例7知 ∞=+---→∞52123lim 232x x x x x . 一般有如下结果：n n n m m mx b x b x b a x a x a ++++++--→∞ 110110lim ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>==mn m n mn a ,,0,00. ( n m b a ,,000≠为非负常数)三、复合函数的极限运算法则定理7. 设函数)]([x g f y =是由函数)(x g u =与)(u f y =复合而成，)]([x g f 在点0x 的某去心邻域),(00δx内有定义，若0)(lim 0u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0，且0)(u x g ≠，则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.证明：由⇒=→A u f u u )(lim 00>∀ε，0>∃η，当η<-<00u u 时，有ε<-A u f )(.由⇒=→0)(lim 0u x g x x 对上述的0>η，01>∃δ，当100δ<-<x x 时，有η<-0)(u x g .取{}10,min δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有η<-<0)(0u x g ，从而有ε<-=-A u f A x g f )()]([,即A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.注：若定理中若∞=→)(lim 0x g x x ,A u f u =∞→)(lim ,则有A u f x g f u x x ==→∞→)(lim )]([lim 0;若∞=→∞)(lim x g x ,A u f u =∞→)(lim ,则有A u f x g f u x ==→∞→∞)(lim )]([lim .例8.求93lim23--→x x x .解：令932--=x x u ，则6131lim lim 33=+=→→x u x x ，所以6661lim 93lim 6123===--→→u x x u x . 例9.2)1(lim 1)1)(1(lim 11lim111=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x .(分母有理化)另解：令x u =，有111112+=--=--u u u x x ，于是2)1(lim 11lim11=+=--→→u x x u x . 本节的最后，我们应用极限的运算法则来得到曲线的渐近线的具体表达式. 四、曲线的斜渐近线定理8. 曲线)(x f y =在右(或左，或左右)方以直线b kx y +=为渐近线的充分必要条件是x x f k x )(lim+∞→=(或x x f k x )(lim -∞→=，或xx f k x )(lim ∞→=)；))((lim kx x f b x -=+∞→(或))((lim kx x f b x -=→∞，或))((lim kx x f b x -=→∞).证明：必要性:设曲线)(x f =在右方以b kx y +=为渐近线，点))(,(x f x 到直线b kx y +=的距离为)(x d ，则由渐近线的定义知，0)(lim =+∞→x d x ，即01)(lim2=+--+∞→kb kx x f x ，等价于0))((l i m =--+∞→b kx x f x ，从而有))((lim kx x f b x -=+∞→.由此得0)(lim )(lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→x kx x f k x x f x x ，即x x f k x )(lim +∞→=. 充分性：由))((lim kx x f b x -=+∞→得0))((lim =--+∞→b kx x f x ，从而0)(lim =+∞→x d x .练习：试确定常数 a 使0)1(lim 33=--∞→x a x x .解：令x t 1=，则t a t t a t t t --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→→3303301lim 11lim 0，所以必有[]01lim 330=--→a t t ，故01=--a ，即1-=a .第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则定理1.(夹逼准则)若函数h g f ,,满足(1). 在0x 的某一去心邻域),(0δx U内，有)()()(x h x f x g ≤≤,(2). A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 则A x f x x =→)(lim 0.证明：由A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0知0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-⇒<-<-<∀>∃+≤≤-⇒<-<-<∀>∃εεεδδεεεδδA x h A A x h x x x A x g A A x g x x x )()(,0:,0)()(,0:,0202101,取{}21,min δδδ=， 于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εε+≤≤≤≤-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(，因此A x f x x =→)(lim 0.推论：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足 (1). N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤, (2). a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ,则a x n n =→∞lim .例1.求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n 22212111lim . 解：由于11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n ，而1111limlim2=+=+→∞→∞nnn nn n ，1111lim1lim22=+=+→∞→∞n n nn n ，于是由夹逼准则知112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n . 例2.证明：1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n . 证明：由于ππ1π21π1π2222222+≤⎪⎭⎫⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n n ，而1πlim 22=+∞→n n n n ，1πlim 22=+∞→n n n ，由夹逼准则知1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n . 定理2.(单调有界准则)单调有界数列必收敛，即若数列}{n x 单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)，则n n x →∞lim 必存在.证明：仅就}{n x 单调增加且有上界的情形证明,}{n x 单调减少且有下界的情形类似可证.因为}{n x 单调增加且有上界，由确界存在定理知，}{n x 必有上确界}sup{n x =β.由上确界定义知+∈∀N n ，β≤n x ；0>∀ε，}{n N x x ∈∃，使εβ->N x ，于是，0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，有εββ->>≥N n x x ，即εβ<-≤n x 0，因而εβ<-||n x ，所以n n x →∞lim 存在，且β=∞→n n x lim .注：单调增加有上界的数列的极限就是其上确界；单调减少有下界的数列的极限就是其下确界.例3.设0>x ，x x =1，,,2 x x x +=,, x x x x n +++=证明数列}{n x 极限存在，并求出其极限.证明：由数列}{n x 的定义知，1≥∀n ，0>n x 且n n x x x +=+1.现用数学归纳法证明}{n x 单调增加有上界.首先，21x x <，设n n x x <-1，则n n n n x x x x x x >+>+=-+11，所以}{n x 单调增加. 其次，11+<=x x x ，设1+<x x n ，则11211+=++<++<+=+x x x x x x x x n n ，综上可知}{n x 单调增加有上界.根据单调有界准则，数列}{n x 收敛，设A x n n =∞→lim ，在等式n n x x x +=+21两边令∞→n ，取极限得A x A +=2，解得2411xA +±=，但由极限的保号性知0≥A ，故 2411lim xx n n ++=→∞. 例4.证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11收敛.证明: 利用二项式公式, 有nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=11n n n n n n n n n n n n n n n n 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132⋅+--++⋅--+⋅-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111 ， ⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+11121111)!1(1121111!31111!21111n n n n n n n n x n ，比较可知),2,1(1 =<+n x x n n ，即数列}{n x 单调增加. 由于n k ≤≤2时，)1(1!1112111!1-<<⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k n k n n k ，有 !1!31!2111n x n +++++< nn ⋅-++⋅+⋅++<)1(132121111 nn n n 1111121312121111--+---++-+-++= n13-= 3<，即}{n x 有上界.根据单调有界准则知数列}{n x 收敛，将其极限记为e ，即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+→∞11lim ，e 为自然对数的底，为无理数，其值为 590457182818284.2e =. 定理3.(柯西收敛准则)数列}{n x 收敛的充分必要条件是0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n m >∀,，有ε<-m n x x . 证明略.注：1°.柯西收敛准则的等价形式：数列}{n x 收敛的充分必要条件是0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀，+∈∀N p 有ε<-+n p n x x . 2°.数列发散的充要条件：数列}{n x 收敛的充分必要条件是00>∃ε，+∈∀N N ，N n m >∃,，使0ε>-m n x x . 例5.设222131211n x n ++++= ，证明数列}{n x 收敛. 证明：+∈∀N p n ,，要使222)(1)2(1)1(1p n n n x x n p n ++++++=-+ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<p n p n n n n n +--++++-+++-<1112111111 ε<<+-=np n n 111 成立，只需ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N . 于是，0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀，+∈∀N p 有ε<-+n p n x x ，由柯西收敛准则知，数列}{n x 收敛. 例6. 设nx n 131211++++= ，证明数列}{n x 发散. 证明：对210=ε，+∈∀N N ，取N n >，N n m >=2，有 212212111=≥+++++=-n n n n n x x n m ，由柯西收敛准则知数列}{n x 发散. 二、两个重要极限1.重要极限一：1sin lim 0=→xxx .证明：先设20π<<x ，作一单位圆，圆心角x AOB =∠，点A 处的切线与OB 的延长线相交与D ，又OA BC ⊥，则CB x =sin ，B A x=，AD x =tan ，由图易知，AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积<AOD ∆的面积，即有x x x tan 2121sin 21<<，或x x x tan sin <<，两边各项同除以x sin ，得xx x cos 1sin 1<<，或1sin cos <<x xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πx ，因为x cos 与x x sin 都是偶函数，所以当02<<-x π时，不等式1sin cos <<xxx 也成立，即有1sin cos <<x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2||0πx ， 从而2222sin 2cos 1sin 10222x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<=-<-< ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2||0πx . 令0→x ，由夹逼准则得0sin 1lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x ，从而 1sin 11lim sin lim00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→→x x x xx x . 注：上述证明过程中，得到|||sin |x x <，2cos 102x x <-<，于是有0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x .例7.1cos 1lim sin lim cos 1sin lim tan lim0000=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=→→→→x x x x x x x x x x x x . 例8.2112122sin lim 212sin 2limcos 1lim222022020=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-→→→x xx x x xx x x . 例9.xx x arcsin lim0→t x sin =1sin 1lim sin lim 00===→→tt t t x x .2.重要极限二：e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x .证明：1≥∀x ，有1][][+<≤x x x 或][111][1x x x <≤+，记][x n =，则当+∞→x 时，∞→n ，且 11111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xnn x n ，而 e 111lim 111lim 111lim 111lim 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→∞+→∞-+→∞→∞n n n n n n n n n n n ， e 11lim 11lim 11lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→∞+→∞n n n n nn n n ， 故由夹逼准则知e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→xx x .。

（1）1，补集的记号2，什么是笛卡尔乘积3，什么是邻域，记号，中心，半径4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域5，两个闭区间的直积6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数8，逆映射，复合映射9，多值函数，单值分支10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义12，奇偶性、周期性13，初等函数，基本初等函数（2）1，数列极限的定义，用符号语言2，收敛数列的四个性质3(3)1,函数在某点的极限定义，符号语言2，函数在无穷大处的极限，符号语言3，函数极限的性质（4）1，无穷小的定义2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大4，无穷大和无穷小的定义（5）1，有限个无穷小的和2，有界函数与无穷小的乘积3，极限的四则运算4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是（6）1，极限存在的夹逼准则2，单调有界的数列是否存在极限3，（1+1/x）^x的极限4，柯西审敛准则1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小2，等价无穷小的充要条件3，两组等价无穷小之间的比例关系（8）1，函数连续性的定义，左连续，右连续2，什么是连续函数3，间断点的三种情况4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点（9）1，连续函数的四则运算后的连续性2，反函数和复合函数的连续性3，初等函数的连续性（10）1，有界性与最大最小值定理2，零点定理3，介值定理和推论第二章（1）1，导数的定义2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示3，可导和连续的关系（2）1，函数的和差积商如何求导2，tanx、secx的导数，cscx和cotx3，反函数的求导法则是什么4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数5，复合函数求导法则（3）1，二阶导数的微分表示法2，莱布尼兹公式3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导4，隐函数的求导5，对数求导法的应用6，参数所表示的函数怎样求导7，什么是相关变化率1，可微的充分必要条件2，⊿y与dy的关系3，什么是线性主部4，什么是函数的微分，什么是自变量的微分5，函数的和差积商的微分6，复合函数的微分法则是什么、7，如何利用微分进行近似计算8，利用0点处的微分可以导出什么近似计算公式9，误差估计（星号）第三章（1）1，什么是费马引理2，什么是罗尔定理3，什么是拉格朗日中值定理4，什是有限增量公式5，什么是柯西中值定理（2）1，什么是罗比达法则（3）1，什么泰勒中值定理2，什么是泰勒多项式，什么是拉格朗日余型3，什么是皮亚诺余型4，什么是迈克劳林公式5，e^x\sinx\cosx\ln(1+x)\(1+x)^a的带有拉格朗日余项的麦克莱林公式（4）1，凹凸性的定义，导数如何判定凹凸性2，什么是拐点以及如何寻找拐点（5）1，极大值的定义2，什么是驻点，怎样利用导数判断极大值极小值3，如何利用二阶导数判断极大值极小值4，怎样判断最大值，最小值（6）函数图形描绘的步骤(7)1,弧微分公式2，什么是弧段的平均曲率，什么是曲率3，曲率的公式4，参数方程的曲率公式5，什么是曲率圆，曲率中心，曲率半径（8）1，什么是二分法2，什么是切线法第四章（1）1,什么是原函数2，原函数存在定理3，什么事不定积分4，1/x\1/(1+x^2)\1/sqr(1-x^2)\cosx\sinx\1/cosx^2\1/sinx^2\secxtanx\cscxcotx\e^x\a^x的原函数5，什么是第一类换元法6，cscx、secx的不定积分7，cos3x*cos2x的不定积分8，什么是第二类换元法9，tanx\cotx\secx\cscx\1/(a^2+x^2)\ 1/(x^2-a^2)\1/sqr(a^2-x^2)\1/sqr(x^2+a^2)\1/sqr(x^2-a^2)积分10，什么是分部积分法11，分部积分法，分部积分法的优先法则12，有理函数的积分怎样积，带根号的函数怎样积分（根号中x的次数是1）（5）积分表第五章（1）1，定积分的定义2，可积的2个充分条件是什么3，怎样利用积分的定义求定积分4，怎样利用定积分进行近似计算5，积分外面的绝对值和积分里面的绝对值之间的大小关系6，定积分与被积函数最大值最小值之间的关系7，什么是积分中值公式8，积分上限函数可导的充分条件，导数是9，什么是牛顿莱布尼兹公式10，定积分的换元法有什么条件，怎样换12，sinx^n从0积分到pi/2的结果13，什么是反常积分14，正负无穷的反常积分是怎样定义的15，如何利用牛顿莱布尼兹公式判定反常积分是存在还是发散16，瑕积分的定义，存在和发散的一般规则17，反常积分的比较审敛法13，绝对收敛的反常积分14，Γ函数的定义和重要性质第六章（1）1，什么是元素法2，怎样用定积分求面积，体积，弧长第七章（1）1，什么事微分方程呢，什么是微分方程的阶，什么事微分方程的通解，微分方程的特解，什么是初始条件2，什么是可分离变量的微分方程，怎样求解3，什么是其次方程，怎样求解4，什么事可以化为齐次的方程，怎样求解5，什么是齐次一阶线性微分方程和非齐次一阶线性微分方程，怎样求解6，什么是常数变易法，怎样求非齐次一阶线性微分方程7，什么是伯努利方程，怎样求解8，y^(n)=f(x)、y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)的形式怎样求解9，二阶齐次线性方程的性质，通解的结构10，n阶齐次线性方程通解11，二阶非齐次线性方程解的结构12，什么事线性微分方程的解的叠加原理13，怎样利用常数变异法求二阶非齐次线性方程的通解14，二阶线性常系数齐次方程的通解15，n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式16，y’’+py’+qy=f(x),如果f(x)=e^(λx)p(x)怎样求解，如果f(x)= e^(λx)(p1(x)coswx+p2(x)sinwx)第八章（1）1,向量b平行于a的充要条件是2，有向线段AB的λ分点坐标3，怎样求向量的模4，怎样求方向角和方向余弦5,3个方向余弦之间有什么关系6，向量投影的记号（2）1，什么是向量的数量积2，两向量夹角余弦的坐标表示3，什么是向量积，怎样确定方向4，向量积的运算规律，向量积的坐标表示5，什么是向量的混合积怎样计算，几何意义是什么6，三向量共面的充分必要条件是7，球面方程8，围绕z轴的旋转曲面方程9，圆锥面方程，旋转单叶双曲面，旋转双叶双曲面，抛物柱面，柱面的方程10，椭圆锥面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面11，什么是空间曲线的一般方程12，什么是空间曲线的参数方程13，什么是螺旋线14，球面的参数方程15，如何求投影16，什么是平面的点法式方程17，什么是平面的一般方程18，什么是平面的截距式方程19，什么是两平面的夹角20，两平面互相平行和重合的条件21，点到平面的距离公式22，什么是对称式方程，怎样求平面的参数方程23，两直线的夹角是什么，怎样求24，直线与平面的夹角有什么25，直线与平面的夹角怎样求，直线与平面垂直或平行的条件是什么26，什么是平面束第九章（1）1，平面的邻域和去心邻域怎样表示2，什么是内点、外点、边界点、聚点3，什么是开集，闭集、连通集、闭区域、有界集、无界集4，什么是二元函数5，多元函数的极限6，利用多元函数的定义怎样判定极限不存在7，什么是多元函数的连续性、8，多元函数的有界性和最大最小值定理9，介值定理（2）1，偏导数的定义2，什么是混合偏导数3，二阶混合偏导数相等的充要条件4，什么是偏微分5，什么是全微分，什么是可微6，可微和连续的关系式7，可微分的充分条件是8，什么是多元函数微分的叠加原理（4）1，什么是全导数2，多元函数和多元函数复合时怎样求偏导数3，什么是隐函数的求导公式，4，什么是隐函数的偏导公式5，两个方程组所确定的函数如何求偏导(6)1，什么是一元向量值函数2，什么是向量函数的极限3，向量值函数的导数运算法则4，向量值函数的法平面方程5，曲线在点m处的切线方程6，空间曲线以F(x,y,z)=1,G(x,y,z)=0给出时，怎样求切线方程和法平面方程7，怎样求曲面的切面和法向量8，什么是方向导数，与偏导数的关系是什么9，什么是梯度，与方向导数的关系式什么10，梯度的意义（疑问）（8）1，什么是多元函数的极大值和极小值2，多元函数有极值的必要条件3，多元函数有极值的充分条件4，怎样运用拉格朗日乘数法第十章（1）1，什么是二重积分2，什么是二重积分的可加性3，什么是二重积分的中值定理（2）1，怎样利用极坐标求二重积分2，什么是二重积分的换元法（3）1，什么是三重积分2，三重积分在直角坐标下有哪些方法3，怎样利用柱面坐标三重积分4，怎样利用球坐标进行三重积分5，怎样积分曲面面积6，怎样利用曲面的参数方程积分7，怎样求质心和转动惯量（5）第十一章（1）1，什么是第一类曲线积分，怎样计算2，什么是第二类曲线积分，怎样计算3，两类曲线积分之间是什么关系（3）1，什么是格林公式2，曲线积分与路径无关的充分必要条件是什么（3个第十二章（1）1，什么是级数的部分和2，什么是级数的和3，收敛级数的5个性质4，什么是柯西审敛原理（2）1，正项级数收敛的充分必要条件2，什么是比较审敛法，有什么推论3，什么是比较审敛法的极限形式4，什么是大朗贝尔判别法5，什么是根值判别法6，什么是极限审敛法7，什么是莱布尼兹定理8，什么是绝对收敛和条件收敛（3）1，什么是函数项无穷级数2，什么是幂级数3，什么是阿贝尔定理，推论是什么4，怎样求收敛半径5，幂级数的和函数在收敛域上的积分和微分，怎样利用（4）1，什么是泰勒级数2，函数能展开成泰勒级数的充分必要条件3，函数展开成幂级数的步骤（5）1，微分方程的幂级数解法是什么2，什么是幂级数3，傅里叶级数。

高数同济大一下知识点总结高等数学是大学理工科专业的一门重要基础课程，在同济大学大一下学期，学生们将进一步学习和掌握高等数学的知识和技巧。

本文将对高等数学下学期的主要知识点进行总结，以帮助同学们更好地复习和掌握这门课程。

1. 导数与微分1.1 极限与连续- 数列极限与函数极限的概念及性质- 函数的连续性与间断点1.2 导数的概念与运算法则- 导数的定义和物理意义- 基本初等函数的导数- 利用定义计算导数1.3 微分的概念与运算法则- 微分的定义和物理意义- 微分运算法则与微分的应用2. 微分中值定理与导数应用2.1 函数的导数与增减性- 导数与函数的单调性2.2 导数与凹凸性- 函数的凹凸性与拐点- 高阶导数与凹凸性的判定 2.3 高阶导数与泰勒公式- 泰勒公式的定义与应用2.4 导数应用- 最值与优化问题- 切线与法线方程- 弧长与曲率- 物理问题中的导数应用3. 不定积分3.1 不定积分的概念与基本性质 - 不定积分的定义与运算法则- 变量代换法与分部积分法3.2 基本积分公式及其应用- 基本积分公式表- 积分公式的运用与变形4. 定积分4.1 定积分的概念与基本性质- 定积分的定义与运算法则4.2 定积分的计算方法- 牛顿-莱布尼兹公式- 定积分的换元法与分部积分法 4.3 定积分的应用- 曲线下的面积- 弧长- 物理学中的应用5. 微分方程与数列级数5.1 微分方程的基本概念- 微分方程的定义与基本性质5.2 常微分方程- 一阶线性微分方程- 可分离变量的一阶微分方程- Bernoulli微分方程5.3 数列级数- 数列的极限与性质- 数列的收敛与发散- 数列极限存在准则- 数列级数的定义与性质以上是同济大学大一下学期高等数学的主要知识点总结。

希望同学们能够认真复习和掌握这些知识，打好高数的基础。

加油！。

高数大一知识点总结同济版高数大一知识点总结（同济版）一、导数与微分导数和微分是高等数学中最基础的概念之一。

导数描述了函数在某一点的变化率，微分则表示函数在某一点的局部线性近似。

1. 导数的定义及计算方法：导数定义为函数在某一点的极限，常用的导数计算方法有基本函数导数法则、常见函数的导数以及复合函数的导数法则。

2. 微分的定义和性质：微分表示函数在某一点的线性近似，微分的计算方法包括差分、泰勒展开以及一阶微分的近似计算。

二、极限与连续极限和连续是函数研究中的重要概念，可以描述函数的趋势、性质和变化。

1. 极限的基本概念和性质：极限表示函数在某一点的无穷接近情况，常用的极限计算方法包括基本极限、夹逼定理以及洛必达法则。

2. 连续的概念和判定方法：连续表示函数在某一点处无间断，连续的判定方法有极限判定法、函数定义域的判定以及闭区间上连续函数的性质。

三、一元函数的导数与应用一元函数的导数是研究函数变化率、极值和拐点的重要工具，应用广泛。

1. 函数的单调性和极值：导数的符号确定函数的单调性，导数的变化确定函数的极值，常用的判定方法包括导数法则和二阶导数判定。

2. 函数的凸凹性与拐点：导数的增减确定函数的凸凹性，导数的变化确定函数的拐点，常用的判定方法包括导数法则和二阶导数判定。

四、不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分学中的重要内容，可以求函数的原函数和计算曲线下的面积。

1. 不定积分的概念和计算方法：不定积分是求函数的原函数，常用的不定积分方法包括基本积分法和换元积分法。

2. 定积分的概念和计算方法：定积分是计算曲线下的面积，常用的定积分计算方法包括定积分近似计算、基本积分法和换元积分法。

五、微分方程微分方程是数学中一类函数与其导数之间的关系方程，是工程、物理和生命科学等领域的重要应用工具。

1. 一阶微分方程：一阶微分方程包括可分离变量、一阶线性微分方程和一阶齐次微分方程，其求解方法包括分离变量、常微分方程的线性特解和齐次方程的解。

同济⼤学（⾼等数学）_第六篇_多元微积分学第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应⽤我们以前学习的函数只有⼀个⾃变量，这种函数我们称为⼀元函数．⼀元函数的微积分解决了很多初等数学⽆法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多⽅⾯的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在⼀元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应⽤．从⼀元函数的情形推⼴到⼆元函数时会产⽣⼀些新的问题，⽽从⼆元函数推⼴到⼆元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学⽣要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决⼏何、经济与管理、⼯程等领域的实际问题的具体⽅法.第1节多元函数的基本概念1.1 平⾯点集为了介绍⼆元函数的概念，有必要介绍⼀些关于平⾯点集的知识，在⼀元函数微积分中，区间的概念是很重要的，⼤部分问题是在区间上讨论的．在平⾯上，与区间这⼀概念相对应的概念是邻域．1.1.1 邻域设000(,)P x y 是xOy 平⾯上的⼀定点，δ是某⼀正数，与点000(,)P x y 的距离⼩于δ的点(,)P x y 的全体，称为点000(,)P x y 的δ邻域，记为0(,)δU P ，即 {}00(,)U P P P P δδ=<,亦即 {}0(,)(,U P x y δδ=<．0(,)δU P 在⼏何上表⽰以000(,)P x y 为中⼼，δ为半径的圆的内部(不含圆周)．上述邻域0(,)δU P 去掉中⼼000(,)P x y 后，称为000(,)P x y 的去⼼邻域，记作o0(,)U Pδ． {}o0(,)(,)0U P x y δδ=<<.如果不需要强调邻域的半径δ，则⽤0()U P 表⽰点000(,)P x y 的邻域，⽤o0()U P表⽰000(,)P x y 的去⼼邻域．1.1.2 区域下⾯⽤邻域来描述平⾯上的点与点集之间的关系．设E 是xOy 平⾯上的⼀个点集，P 是xOy 平⾯上的⼀点，则P 与E 的关系有以下三种情形：(1) 内点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()?U P E ，则称点P 为E 的内点．(2) 外点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()=? U P E ，则称P 为E 的外点． (3) 边界点：如果在点P 的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边界，记作?E ．例如：点集(){}221,|01=<+y ，除圆⼼与圆周上各点之外圆的内部的点都是1E 的内点，圆外部的点都是1E 的外点，圆⼼及圆周上的点为1E 的边界点；⼜如平⾯点集(){}2,|1=+≥E x y x y ，直线上⽅的点都是2E 的内点，直线下⽅的点都是2E 的外点，直线上的点都是2E 的边界点(图9—1)．图9—1 显然，点集E 的内点⼀定属于E ；点集E 的外点⼀定不属于E ；E 的边界点可能属于E ，也可能不属于E ．如果点集E 的每⼀点都是E 的内点，则称E 为开集，点集(){}221,|01=<+y 是开集，(){}2,|1=+≥E x y x y 不是开集．设E 是开集，如果对于E 中的任何两点，都可⽤完全含于E 的折线连接起来，则称开集E 是连通集(图9—2) ．点集E 1和E 2都是连通的，点集(){}3,|0=>E x y xy 不是连通的(图9—2)．图9—2连通的开集称为开区域(开域)．从⼏何上看，开区域是连成⼀⽚的且不包括边界的平⾯点集．如E 1是开区域．开区域是数轴上的开区间这⼀概念在平⾯上的推⼴．开区域E 连同它的边界E ?构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即=E E E +?)．闭区域是数轴上的闭区间这⼀概念在平⾯上的推⼴．如E 2及(){}224,|1=+≤E x y xy 都是闭域，⽽(){}225,|12=≤+y 既⾮闭域，⼜⾮开域．闭域是连成⼀⽚的且包含边界的平⾯点集．本书把开区域与闭区域统称为区域．如果区域E 可包含在以原点为中⼼的某个圆内，即存在正数r ，使(),E U O r ?，则称E 为有界区域，否则，称E 为⽆界区域．例如E 1是有界区域，E 2是⽆界区域．记E 是平⾯上的⼀个点集，P 是平⾯上的⼀个点．如果点P 的任⼀邻域内总有⽆限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点．显然，E 的内点⼀定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．例如，设(){}226,|01=<+≤E x y xy ，那么点()0,0既是6E 的边界点⼜是6E 的聚点，但6E 的这个聚点不属于6E ；⼜如，圆周221x y +=上的每个点既是6E 的边界点，也是6E 的聚点，⽽这些聚点都属于6E ．由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．再如点()7111111=1,1(,)(,),,(),2233，，E n n ?，原点()0,0是它的聚点，7E 中的每⼀个点都不是聚点．1.1.3 n 维空间R n⼀般地，由n 元有序实数组()12,,,n x x x 的全体组成的集合称为n 维空间，记作R n ．即(){}12,,,|,1,2,,n n i R x x x x R i n =∈= ．n 元有序数组()12,,,n x x x 称为n 维空间中的⼀个点，数x i 称为该点的第i 个坐标．类似地规定，n 维空间中任意两点()12,,,n P x x x 与()12,,,n Q x x x 之间的距离为PQ =前⾯关于平⾯点集的⼀系列概念，均可推⼴到n 维空间中去，例如，0∈nP R ，δ是某⼀正数，则点0P 的δ邻域为(){}00|,,n U P P PP P R δδ=<∈．以邻域为基础，还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等⼀系列概念．1.2 多元函数的概念 1.2.1 n 元函数的定义定义1 设D 是nR 中的⼀个⾮空点集，如果存在⼀个对应法则f , 使得对于D 中的每⼀个点()12,,,n P x x x ，都能由f 唯⼀地确定⼀个实数y ，则称f 为定义在D 上的n 元函数，记为()()1212,,,,,,,n n y f x x x x x x D =∈．其中12,,,n x x x 叫做⾃变量，y 叫做因变量，点集D 叫做函数的定义域，常记作()D f ．取定()12,,,n x x x D ∈，对应的()12,,,n f x x x 叫做()12,,,n x x x 所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f 的值域，常记为()f D ［或()R f ］，即()()()(){}1212|,,,,,,,n n f D y y f x x x x x x D f ==∈．当n =1时，D 为实数轴上的⼀个点集，可得⼀元函数的定义，即⼀元函数⼀般记作(),,y f x x D D R =∈?；当n =2时，D 为xOy 平⾯上的⼀个点集，可得⼆元函数的定义，即⼆元函数⼀般记作()()2,,,,z f x y x y D D R =∈?，若记(),P x y =，则也记作⼆元及⼆元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与⼀元函数⼀样，包含对应法则和定义域这两个要素．多元函数的定义域的求法，与⼀元函数类似．若函数的⾃变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从⽽确定函数的定义域. 对⼀般的⽤解析式表⽰的函数，使表达式有意义的⾃变量的取值范围，就是函数的定义域．例1 在⽣产中，设产量Y 与投⼊资⾦K 和劳动⼒L 之间的关系为Y AK L αβ=（其中,,A αβ均为正常数)．这是以K ，L 为⾃变量的⼆元函数，在西⽅经济学中称为⽣产函数．该函数的定义域为(){},|0,0K L K L >>．例2 求函数()ln z y x =-D ，并画出D 的图形．解要使函数的解析式有意义，必须满⾜220,0,10,y x x x y ->??≥?-->即(){}22,|0,,1D x y x x y xy =≥<+<,如图9—3划斜线的部分．图9—3 图9—41.2.2. ⼆元函数的⼏何表⽰设函数(),=z f x y 的定义域为平⾯区域D ，对于D 中的任意⼀点(),P x y ，对应⼀确定的函数值()(),=z z f x y ．这样便得到⼀个三元有序数组(),,x y z ，相应地在空间可得到⼀点(),,M x y z ．当点P 在D 内变动时，相应的点M 就在空间中变动，当点P 取遍整个定义域D 时，点M 就在空间描绘出⼀张曲⾯S (图9—4)．其中()()(){},,|,,,S x y z z f x y x y D ==∈．⽽函数的定义域D 就是曲⾯S 在xO y ⾯上的投影区域．例如z ax by c =++表⽰⼀平⾯；z =1的上半球⾯．1.3⼆元函数的极限⼆元函数的极限概念是⼀元函数极限概念的推⼴．⼆元函数的极限可表述为定义1 设⼆元函数()z f P =的定义域是某平⾯区域D ，P 0为D 的⼀个聚点，当D 中的点P 以任何⽅式⽆限趋于Ｐ0时，函数值f (P )⽆限趋于某⼀常数A ，则称A 是函数()f P 当P 趋于P 0时的(⼆重)极限．记为lim ()P P f P A →=或()0()f P A P P →→，此时也称当0→P P 时()f P 的极限存在，否则称()f P 的极限不存在．若0P 点的坐标为00(,)x y ，P 点的坐标为(),x y ，则上式⼜()()00,lim (,),→=x y x y f x y A 或 f (x , y )→A （x →x ０，y →y ０）．类似于⼀元函数，()f P ⽆限趋于A 可⽤()f P A ε-<来刻画，点(),P P x y =⽆限趋于0000(,)P P x y =可⽤0P P δ=刻画，因此，⼆元函数的极限也可如下定义．定义2 设⼆元函数()(,)z f P f x y ==的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的⼀个聚点，A 为常数．若对任给的正数ε，不论ε多⼩，总存在0δ>，当(,)P x y D ∈，且0P P δ=<时，总有(),f P A ε-<则称A 为()z f P =当0P P →时的(⼆重)极限．注①定义中要求0P 是定义域D 的聚点，是为了保证在P 0的任何邻域内都有D 中的点．②注意到平⾯上的点P 趋近于0P 的⽅式可以多种多样：P 可以从四⾯⼋⽅趋于0P ，也可以沿曲线或点列趋于0P ．定义1指出：只有当P 以任何⽅式趋近于0P ，相应的()f P 都趋近于同⼀常数A 时，才称A 为()f P 当0P P →时的极限．如果(,)P x y 以某些特殊⽅式(如沿某⼏条直线或⼏条曲线)趋于000(,)P x y 时，即使函数值()f P 趋于同⼀常数A ，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，当P 在D 内沿不同的路径趋于0P 时，()f P 趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．③⼆元函数极限有与⼀元函数极限相似的运算性质和法则，这⾥不再⼀⼀叙述．例3 设222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?判断极限()(),0,0lim (,)→x y f x y 是否存在?解当(,)P x y 沿x 轴趋于(0,0)时，有y =0，于是()()22,0,00lim (,)lim00→→===+x y x y f x y x ；当(,)P x y 沿y 轴趋于(0,0)时，有x =0，于是()()22,0,00000→→===+x y y x f x y y ．但不能因为(,)P x y 以上述两种特殊⽅式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的⼆重极限存在．因为当(,)P x y 沿直线()0=≠y kx k )趋于(0,0)时，有()()2222,0,00lim(,)lim (1)1→→===++x y x y kxkx kf x y k x k，这个极限值随k 不同⽽变化，故()(),0,0lim (,)→x y f x y 不存在．例4 求下列函数的极限：(1) ()(,0,0lim →x y ；(2)()()222,0,0lim→+x y xy x y ； (3)()(,0,0ln 1lim →+x y xy 解 (1)()()()(()(,0,0,0,0,0,01limlim lim 4→→→==-=-x y x y x y ．(2)当0,0→→x y 时，220x y +≠，有222x y xy +≥．这时，函数22xyx y +有界，⽽y 是当x →0且y →0时的⽆穷⼩，根据⽆穷⼩量与有界函数的乘积仍为⽆穷⼩量，得()()222,0,0lim 0→=+x y xy x y ． (3)()(()(()(,0,0,0,0,0,0ln 1limlimlim1→→→+===x y x y x y xy ．从例4可看到求⼆元函数极限的很多⽅法与⼀元函数相同．1.4 ⼆元函数的连续性类似于⼀元函数的连续性定义，我们⽤⼆元函数的极限概念来定义⼆元函数的连续性．定义3 设⼆元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义，如果()()()00,0,0lim.(,)→=x y f x y f x y ,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，000(,)P x y 称为(,)f x y 的连续点；否则称(,)f x y 在000(,)P x y 处间断(不连续)，000(,)P x y 称为(,)f x y 的间断点．与⼀元函数相仿，⼆元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续，必须满⾜三个条件：①函数在点000(,)P x y 有定义；②函数在000(,)P x y 处的极限存在；③函数在000(,)P x y 处的极限与000(,)P x y 处的函数值相等，只要三条中有⼀条不满⾜，函数在000(,)P x y 处就不连续．由例3可知，222222,0,(,)0,0,xyx y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处间断；函数1z x y =+在直线0x y +=上每⼀点处间断．如果(,)f x y 在平⾯区域D 内每⼀点处都连续，则称(,)f x y 在区域D 内连续，也称(,)f x y 是D 内的连续函数，记为()(,)f x y C D ∈．在区域D 上连续函数的图形是⼀张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲⾯．⼀元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适⽤，故⼆元连续函数经过四则运算后仍为⼆元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；⼆元连续函数的复合函数也是连续函数．与⼀元初等函数类似，⼆元初等函数是可⽤含,x y 的⼀个解析式所表⽰的函数，⽽这个式⼦是由常数、x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如()sin x y +,22xy x y +,arcsin xy等都是⼆元初等函数．⼆元初等函数在其定义域的区域内处处连续．与闭区间上⼀元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质．性质1(最值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必取得最⼤值与最⼩值．推论若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界．性质2 (介值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，M 和m 分别是(,)f x y 在D 上的最⼤值与最⼩值，则对于介于M 与m 之间的任意⼀个数C ，必存在⼀点00(,)x y D ∈,使得00(,)f x y C =．以上关于⼆元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去．习题9—11．判断下列平⾯点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、⽆界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界.(1) (){},|0,0≠≠x y x y ； (2) (){}22,|14<+≤x y xy ；(3)(){}2,|>x y y x ．2．求下列函数的定义域，并画出其⽰意图：(1)z =； (2)1ln()z x y =-；(3)=z(4)=u ．3．设函数()32,23f x y x xy y =-+，求 (1)()2,3f -; (2)12,f x y ??； (3) (),f x y x y +-. 4．讨论下列函数在点()0,0处的极限是否存在： (1) 24xy z x y=+； (2)x yz x y +=-． 5．求下列极限： (1)()(),0,0sin lim→x y xy x ； (2)()()22,0,11lim →-+x y xyx y ；(3)()(,1,0ln lim→+y x y x e ； (4)()(),0,0lim→x y ．6．证明：⼆元函数()22220,,0,0.+≠=+=?x y f x y x y 在()0,0点连续．7．设⼆元函数()()11sin sin ,0,,0,0.?+≠?=??=?x y xy x y f x y xy ，试判断(),f x y 在点()0,0处的连续性．8．函数2222+=-y xz y x在何处是间断的？第2节偏导数与全微分2.1 偏导数的概念 2.1.1 偏导数的定义在研究⼀元函数时，我们从研究函数的变化率引⼊了导数概念．由于⼆元函数的⾃变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲⼆元函数在某点的变化率．在这⼀节，我们考虑⼆元函数关于某⼀个⾃变量的变化率，这就是偏导数的概念．设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某邻域内有定义，x 在0x 有改变量()0x x ??≠，⽽0y y =保持不变，这时函数的改变量为()()0000,,x z f x x y f x y ?=+- ，x z ?称为函数(),f x y 在()00,x y 处关于x 的偏改变量(或偏增量)．类似地可定义(),f x y 关于y 的偏增量为()()0000,,y z f x y y f x y ?=+- ．有了偏增量的概念，下⾯给出偏导数的定义．定义1 设函数(),z f x y =在()00,x y 的某邻域内有定义，如果000000(,)(,)limlim x x x z f x x y f x y x x ?→?→?+?-=??存在，则称此极限值为函数(),z f x y =在()00,x y 处关于x 的偏导数,并称函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于x 可偏导．记作000000,,,(,).======x x x x y y y y x x xy y x zf z f x y xx类似地，可定义函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于⾃变量y 的偏导数为00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy→?→?+?-=??，记作000000,,,(,).======x x x x y y y y x x yy y y z f z f x y yy如果函数(),z f x y =在区域D 内每⼀点(),x y 处的偏导数都存在，即(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x→+?-=?(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y→+?-=?存在，则上述两个偏导数还是关于x ，y 的⼆元函数，分别称为z 对x ，y 的偏导函数(简称为偏导数)．并记作,,,(,)(,)或或或，x y x y z z f fz z f x y f x y x y x y．不难看出，(),z f x y =在()00,x y 关于x 的偏导数00(,)x f x y 就是偏导函数(,)x f x y 在()00,x y 处的函数值，⽽00(,)y f x y 就是偏导函数(,)y f x y 在()00,x y 处的函数值．由于偏导数是将⼆元函数中的⼀个⾃变量固定不变，只让另⼀个⾃变量变化，相应的偏增量与另⼀个⾃变量的增量的⽐值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求⼀元函数的导数问题．求f x ??时，把y 看做常量，将(),z f x y =看做x 的⼀元函数对x 求导；求fy时，把x 看做常量，将(),z f x y =看做y 的⼀元函数对y 求导．三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这⾥就不讨论了．例1 求函数()sin +xyz x y e =在点()1,1-处的偏导数．解将y 看成常量，对x 求导得e [cos()sin()]xy zx y y x y x=+++；将x 看成常量，对y 求导得e [cos()sin()]xy zx y x x y y=+++．再将1,1x y ==-代⼊上式得111111e ,e x x y y z z xy--===-=-??==??．例2 求函数22ln 4z x y y x =++的偏导数．解22z y xy x x=+，22ln zx y x y ?=+?．例3 设()0,1yz xx x =>≠，求证：12ln x z zz y x x y+= ．证因为1y z yx x -?=?，ln y z x x y=，所以111ln 2ln ln y yy y x z z x yx x x x x z y x x y y x-??+=+=+=?? ．例4 求函数()2sin xu x y e =+-的偏导数．解将y 和z 看做常量，对x 求导得()2cos z ux y e x=+-，同样可得()22cos x uy x y e y=+-，()2cos z z u e x y e z ?=-+-?． 2.1.2 ⼆元函数偏导数的⼏何意义由于偏导数实质上就是⼀元函数的导数，⽽⼀元函数的导数在⼏何上表⽰曲线上切线的斜率，因此，⼆元函数的偏导数也有类似的⼏何意义．设(),z f x y =在点()00,x y 处的偏导数存在，由于00(,)x f x y 就是⼀元函数()0,f x y 在0x 处的导数值，即00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =??，故只须弄清楚⼀元函数()0,f x y 的⼏何意义，再根据⼀元函数的导数的⼏何意义，就可以得到00(,)x f x y 的⼏何意义．(),z f x y =在⼏何上表⽰⼀曲⾯，过点()00,x y 作平⾏于xz ⾯的平⾯0y y =，该平⾯与曲⾯(),z f x y =相截得到截线1Γ：0(,),.z f x y y y =??=? 若将0y y =代⼊第⼀个⽅程，得()0,z f x y =．可见截线Γ１是平⾯0y y =上⼀条平⾯曲线，1Γ在0y y =上的⽅程就是()0,z f x y =．从⽽00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =??表⽰1Γ在点()()000001,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对x 轴的斜率(图9-5)．同理，00(,)y f x y ＝00d (,)d y y f x y y =??表⽰平⾯0x x =与(),z f x y =的截线 2Γ：0(,),.=?在()()000002,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对y 轴的斜率(图9—5)．图9—5例5 讨论函数222222,0,(,)0,0,xyx y x yf x y x y ?+≠?+=??+=?在点(0,0)处的两个偏导数是否存在．解 0(0,0)(0,0)(0,0)l i m x x f x f f x→+?-=220(0)0(0)0lim 0x x x x ?→+?-+?+==? ．同样有(0,0)0=y f ．这表明(),f x y 在(0,0)处对x 和对y 的偏导数存在，即在(0,0)处两个偏导数都存在．由上节例3知：该函数在(0,0)处不连续．本例指出，对于⼆元函数⽽⾔，函数在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续．但在⼀元函数中，我们有结论：可导必连续．这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x 轴与y 轴⽅向的变化率，00(,)x f x y 存在，只能保证⼀元函数()0,f x y 在x 0处连续，即0y y =与(),z f x y =的截线1Γ在()0000,,M x y z 处连续．同时00(,)y f x y 只能保证2Γ在()0000,,M x y z 处连续，但两曲线1Γ,2Γ在()0000,,M x y z 处连续并不能保证曲⾯(),z f x y =在()0000,,M x y z 处连续．2.2 ⾼阶偏导数设函数(),z f x y =在区域D 内具有偏导数z x ??=(,)x f x y ,(,)?=?y zf x y y,那么在D 内(,)x f x y 及(,)y f x y 都是x , y 的⼆元函数．如果这两个函数的偏导数还存在，则称它们是函数(),z f x y =的⼆阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个⼆阶偏导数：22()(,)==xx z z f x y x x x ，2()(,)==?xy z z f x y y x x y， 2()(,)==?yx z z f x y x y y x ，22()(,)==yy z z f x y y y y，其中xy f (或12f '')与yx f (或21f '')称为(),f x y 的⼆阶混合偏导数．同样可定义三阶，四阶，…，n 阶偏导数．⼆阶及⼆阶以上的偏导数统称为⾼阶偏导数．sin =+z xy x y 的所有⼆阶偏导数和32zy x．解因为z x ??=y +2x sin y , z y=x +x 2cos y , 所以 22z x ??=2sin y , 2zx y＝1＋2x cos y , 2z y x=1+2x cos y , 22z y ??=x 2sin y ， 322c o s zy y x ?=??．从本例我们看到22z zx y y x=,即两个⼆阶混合偏导数相等，这并⾮偶然．事实上，有如下定理．定理1 如果函数(),z f x y =的两个⼆阶混合偏导数2z x y 和2zy x在区域D 内连续，则在该区域内有22z z x y y x=．定理1表明：⼆阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序⽆关.对于⼆元以上的函数，也可以类似的定义⾼阶偏导数，⽽且⾼阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序⽆关．例7 验证函数ln z =22220z zx y+=．解 ()221l l n 2z x y ==+ 所以2222,,z x z yx x y y x y==?+?+()()()2222222222222x y x x z y x x x y x y +-??-==++， ()()()2222222222222x y y y z x y y x y x y +-??-==?++，故 ()()222222222222220z z y x x y x y x y x y ??--+=+=??++．2.3 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道，⼀元函数()y f x =如果可微，则函数的增量Δ y 可⽤⾃变量的增量Δx 的线性函数近似求得．在实际问题中，我们会遇到求⼆元函数(),z f x y =的全增量的问题，⼀般说来，计算⼆元函数的全增量Δ z 更为复杂，为了能像⼀元函数⼀样，⽤⾃变量的增量Δx 与Δ y 的线性函数近似代替全增量，我们引⼊⼆元函数的全微分的概念．定义2 设函数(),z f x y =在()000,P x y 的某邻域内有定义，如果函数z 在0P 处的全增量()()0000,,z f x x y y f x y ?=+?+?-可表⽰成()+ρ?=?+?z A x B y o ，其中A ，B 是与Δx ，Δy ⽆关，仅与00,x y 有关的常数，ρo （ρ）表⽰当Δx →0，Δy →0时关于ρ的⾼阶⽆穷⼩量，则称函数(),z f x y =在()000,P x y 处可微，⽽称+A x B y 为(),f x y 在点()000,P x y 处的全微分，记作00d x x y y z ==或00d x x y y f==，即d ===?+?x x y y zA xB y ．若(),z f x y =在区域D 内处处可微，则称(),f x y 在D 内可微，也称(),f x y 是D 内的可微函数．(),z f x y =在(),x y 处的全微分记作d z ，即d =?+?z A x B y ．⼆元函数(),z f x y =在点P (x ,y )的全微分具有以下两个性质： (1) d z 是,??x y 的线性函数，即d =?+?z A x B y ；(2) z d ?≈z ,()()z d 0ρρ?-=→z o ，因此，当,??x y 都很⼩时，可将dz 作为计算Δ z 的近似公式．多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续．但是对于可微函数却有如下结论：定理2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则函数在该点必连续．这是因为由可微的定义，得()()(),,+ρ?=+?+?-=?+?z f x x y y f x y A x B y o()(),0,0lim 0x y z ??→?=，即()(),0,0lim (,)(,)x y f x x y y f x y ??→+?+?=．即函数(),z f x y =在点(),x y 处连续．⼀元函数可微与可导是等价的，那么⼆元函数可微与可偏导之间有何关系呢? 定理3 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则(),z f x y =在该点的两个偏导数,z zx y都存在，且有 z zdz x y x y=+．证因为函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，故()+ρ?=?+?z A x B y o ，ρ令0y ?=，于是()(),,x z f x x y f x y A x o ?=+?-=?+．由此得 ()()000(),,limlim lim x x x x x x f x x y f x y zx x x xοA A ?→?→?→??+?-?==+= ，即zA x=．同理可证得zB y=．定理3的逆命题是否成⽴呢? 即⼆元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢? ⼀般情况下答案是否定的．如函数222222,0,(,)0,0xyx y x yf x y x y ?+≠?+=??+=?在()0,0处两个偏导数都存在，但(),f x y 在()0,0处不连续，由定理2知，该函数在()0,0处不可微．但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的．我们不加证明地给出如下定理．定理 4 如果函数(),z f x y =在(),x y 处的偏导数,z zx y存在且连续，则函数(),z f x y =在该点可微．类似于⼀元函数微分的情形，规定⾃变量的微分等于⾃变量的改变量．即d ,d =?=?x x y y ，于是由定理3有d d d z zz x y x y=+??．以上关于⼆元函数的全微分的概念及结论，可以类推到三元以上的函数中去．⽐如若三元函数(),,=u f x y z 在点(),,P x y z 处可微，则它的全微分为d d d d u u uu x y z x y z=++．例8 求下列函数的全微分：(1) 2sin 2=z x y ； (2) =yzu x ．解 (1) 因为2sin 2?=?z x y x ,22cos 2?=?zx y y ，所以22sin 22cos2=+dz x ydx x ydy ． (2) 因为1-?=?yz u yzx x ，ln ?=?yz u zx x yln ?=?yz u yx x z ，所以 1ln ln -=++yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz ．例9 求xy z xy e =+在点()1,2处的全微分．解因xy z y ye x ?=+?, xy zx xe y=+得11222222e ,1e x x y y zz xy====??=+=+??，于是 ()()1222d 22e d 1e d x y zx y ===+++ ．3.1.2全微分的运算法则类似于⼀元函数微分的运算法则，有定理5 (全微分四则运算法则) 设(),f x y ，(),g x y 在(),P x y 处可微，则 1) ()()+±+f x y g x y 在(),x y 处可微，且[][][]()()()()+±+=+±+d f x y g x y d f x y d g x y ;2) 若k 为常数，()+kf x y 在点(),x y 处可微，且[][]()()+=+d kf x y kd f x y ；3) ()()+?+f x y g x y 在点(),x y 处可微，且[][][]()()()()()()+?+=+++++d f x y g x y g x y d f x y f x y d g x y ;4) 当g (x ,y )≠0时，()()f x yg x y ++在点(),x y 处可微，且 2()()d ()()d ()d ()()f x y g x y f x y f x y g x y g x y g x y ??++++++=?++．例10 求()22sin z x x y =+的全微分．解()()22222sin 2cos z x y x x y x ?=+++?，()222cos zxy x y y=+， ()()()222222sin sin sin dz d x x y xd x y x y dx =+=+++ ()()()2222222sin 2cos 2cos x y x x y dx xy x y dy ??=+++++??习题9—21．求下列各函数的偏导数：(1) 22365z x xy y =++; (2) ln y z x=； (3) xyz xye =； (4) yz u x =．2．已知()(),2xf x y x y e =+，求()0,1x f ，()0,1y f ．3．设z x y =+，求()()3,40,5,z z xy．4．设11+=e x y z ??-，求证：222z z xy z x y+=．5．求下列函数的所有⼆阶偏导数．(1) 44224z x y x y =+-; (2) ()cos sin x z e y x y =+； (3) ()ln z x xy =； (4) arctan x u y=． 6．设()222,,f x y z xy yz zx =++，求()()()0,0,1,1,0,2,0,1,0x x x z y zf f f -及()2,0,1zzx f ．7．验证r =2222222r r r x y z r++=．8．求下列函数的全微分.(1) 32645z xy x y =+； (2) xyz e =； (3 ) xz xyy=+； (4) z =9．设()1,,zy f x y z x ??=，求()1,1,1|dz ． 10．设,1,1,0.15,0.1,xy z e x y x y ===?=?=求dz ．。

《一元微积分》期末复习提纲一、 高阶导数，包括简单有n 阶导数；求导思路：逐次求导法 例：（1）()()()n x x xe x n e =+； （2）()()()()()11!ln 111n n n n x x --+=-⎡⎤⎣⎦+； （3）()()()11!111n nn n x x +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+；（4）()()sin sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭；()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭例题：11016P -例、119:1,2P A二、 曲线的凹凸性及拐点；凹凸性与拐点的判别步骤：（1） 求出一、二阶导数y '和y ''；（2） 令0y ''=，解出0y ''=的点与y ''不存在的点0x ； （3） 利用（2）解出的点划分函数的定义域； （4） 画表分析、判别；（5） 代入原函数式求出拐点的纵坐标，并写出结论。

例题：11311P -例8、119:46P A -三、 相关变化率利用复合函数的求导法则：dy dy dxdt dx dt=⋅， 解题步骤：（1） 利用题设条件，写出函数关系式()y f x =或(),0F x y =；（2） 求出dydx； （3） 利用已知条件求出变化率：dy dy dxdt dx dt =⋅或dy dx dt dydt dx=。

例题：1322P -例1、134:45P A -四、 微分的计算；微分的计算公式：dy y dx '=或()()df x f x dx '=。

例题：13814123,4P P A -例五、 微分在近似计算中的应用；微分的近似计算公式：由()00x x dy f x x ='=∆一阶近似计算公式得：（1）()()()000y f x x f x f x x '∆=+∆-≈∆； （2）()()()000f x x f x f x x '+∆≈+∆。

高数大一同济版下册知识点第一章一元函数微分学1.1 函数极限与连续性1.1.1 函数极限的定义与性质1.1.2 函数连续性的概念与判定1.1.3 连续函数的性质与运算1.2 导数与微分1.2.1 导数的定义与几何意义1.2.2 导数的计算方法1.2.3 微分的概念与计算1.3 高阶导数与高阶微分1.3.1 高阶导数的定义与计算1.3.2 高阶微分的概念与计算1.3.3 高阶导数与高阶微分的关系第二章微分学的应用2.1 极值与最值问题2.1.1 极值点的判定2.1.2 最值问题的求解方法2.1.3 应用实例2.2 函数的单调性与凹凸性2.2.1 函数单调性的判定2.2.2 函数凹凸性的判定2.2.3 应用实例2.3 泰勒展开与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的导出与性质 2.3.2 函数近似计算的应用示例 2.3.3 应用实例第三章一元函数不定积分3.1 不定积分的定义与性质3.1.1 不定积分的定义3.1.2 不定积分的基本法则 3.1.3 基本积分表与换元法则3.2 积分方法与技巧3.2.1 分部积分法3.2.2 有理函数积分法3.2.3 三角函数积分法3.3 定积分的概念与性质3.3.1 定积分的定义3.3.2 定积分的计算法则3.3.3 定积分的几何应用第四章一元函数定积分4.1 定积分与不定积分的关系4.1.1 反常积分的概念与性质4.1.2 无穷限的换元法与分部积分法4.1.3 无穷限的比较判别法4.2 定积分的应用4.2.1 平面图形的面积与弧长4.2.2 物理学问题与定积分4.2.3 应用实例4.3 定积分的计算方法4.3.1 定积分的常用计算方法4.3.2 积分计算常用技巧4.3.3 定积分的应用实例这些知识点是高数大一同济版下册中的重要内容。

通过系统地学习与掌握这些知识点，你将对微积分理论有更深入的了解，并可以应用于实际问题的求解。

希望你能够认真学习，掌握这些知识点，在未来的学习与工作中能够灵活运用。

大一同济高数知识点总结高等数学作为大一的重要课程，是理工科学生必修的一门基础学科。

同济大学的高等数学课程内容丰富，知识点繁多。

下面将对大一同济高数的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握该科目。

一、极限与连续1. 极限的定义与性质- 数列极限的定义与运算法则- 函数极限的定义与运算法则2. 无穷大与无穷小- 无穷大与无穷小的定义- 无穷小的比较3. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定二、导数与微分1. 导数的定义与计算- 导数的定义与几何意义- 基本求导公式与运算法则2. 微分与微分形式不定积分- 微分的定义与计算- 微分形式不定积分的概念与求法三、一元函数积分学1. 不定积分- 不定积分的定义与性质- 基本积分公式与运算法则2. 定积分- 定积分的定义与性质- 定积分的计算与应用四、一元函数微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程与方程的关系- 微分方程的分类2. 一阶常微分方程- 一阶线性微分方程的求解方法- 可分离变量型微分方程的求解方法五、多元函数微分学1. 偏导数与全微分- 偏导数的定义与计算- 多元函数的全微分与偏导数的关系2. 方向导数与梯度- 方向导数的定义与计算- 多元函数的梯度与方向导数的关系六、多元函数积分学1. 重积分- 二重积分的定义与性质- 二重积分的计算与应用2. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义与计算- 曲面积分的定义与计算七、无穷级数1. 数项级数- 数项级数的概念与性质- 收敛级数与发散级数的判定2. 幂级数- 幂级数的定义与收敛域- 幂级数的求和与收敛半径以上是大一同济高数的主要知识点总结，希望同学们能够通过学习掌握这些知识，建立起扎实的高等数学基础，为将来的学习与研究打下坚实的基础。

祝愿大家在学业上取得优异的成绩！。

同济高数大一下知识点总结在大一下学期的高数课程中，我们学习了许多重要的数学知识点。

下面是对这些知识点的总结：1. 一元函数的极限和连续性- 极限的定义：函数在某一点趋近于某个值。

- 极限的性质：极限存在性、四则运算法则、夹逼定理等。

- 连续性：函数在某一点连续的定义，以及连续函数的性质。

2. 一元函数的导数与微分- 导数的定义：函数在某一点的切线斜率。

- 导数的计算方法：常用函数的导数公式、导数的四则运算法则、链式法则等。

- 微分的定义：函数在某一点的微小变化量。

3. 一元函数的高阶导数和泰勒展开- 高阶导数：导数的导数。

- 泰勒展开：用多项式逼近函数的方法，包括泰勒级数和带有拉格朗日余项的泰勒公式等。

4. 函数的极值与最值- 极值点：函数在某一点取极值。

- 极值判定条件：一阶导数为零、二阶导数的符号变化等。

- 最值：函数在定义域内的取得的最大值和最小值。

5. 求定积分和不定积分- 定积分：函数在一定区间上的积分，表示区域的面积或曲线长度等。

- 不定积分：函数的原函数。

6. 微分方程初步- 常微分方程的基本概念与解法：一阶常微分方程、可分离变量的方程、一阶线性齐次方程等。

- 高阶微分方程：二阶线性齐次方程、二阶非齐次方程等。

7. 多元函数与偏导数- 多元函数的定义与性质。

- 偏导数的定义和计算方法：偏导数的定义、偏导数的四则运算法则等。

8. 多元函数的极限和连续性- 多元函数的极限的定义和性质。

- 多元函数的连续性的定义和性质。

9. 多元函数的最值与条件极值- 多元函数的最值：最大值和最小值。

- 条件极值：在给定约束条件下取得的极值。

10. 双重积分- 矩形和概念下的双重积分。

- 二重积分的计算方法：直角坐标系下的换元积分法、极坐标系下的换元积分法等。

11. 三重积分- 直角坐标系下的三重积分。

- 三重积分的计算方法：直角坐标系下的换元积分法、柱坐标系下的换元积分法等。

12. 曲线与曲面积分初步- 第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义和计算方法。

大一高数同济版知识点总结高等数学作为大一必修课程，是理工科学生的基础课之一。

同济版高等数学是一本经典的教材，在许多高校使用广泛。

下面是对大一高数同济版的知识点进行了总结和梳理。

一、函数与极限1. 函数概念- 自变量与因变量的关系- 定义域、值域与像- 奇函数与偶函数- 反函数2. 函数的极限- 极限的定义与性质- 极限存在准则- 无穷大与无穷小3. 连续与间断- 连续函数定义- 连续函数的性质与运算 - 间断点与间断性质- 切线方程与曲线的连续性二、导数与微分1. 导数与导函数- 导数的定义与几何意义 - 导函数的概念与性质- 导函数的运算法则- 高阶导数与导数的应用2. 微分与微分近似- 微分的定义与性质- 微分近似与线性化- 高阶微分与泰勒展开3. 函数的凸凹性- 函数的凸凹性定义- 函数凹弧线与凸弧线- 切线判别法与曲率三、不定积分与定积分1. 不定积分- 不定积分的定义与性质 - 不定积分的基本公式- 积分换元法与分部积分法2. 定积分与反常积分- 定积分的定义与性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念与判敛 - 反常积分的性质与计算3. 积分应用- 曲线与曲面的长度与面积- 弧长与曲线参数方程- 旋转体体积与弧线旋转体四、微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程的定义与解- 一阶微分方程与高阶微分方程 - 齐次与非齐次微分方程2. 常微分方程解法- 可分离变量方程- 齐次方程与一阶线性齐次方程 - Bernoulli方程与Riccati方程3. 高阶线性微分方程- 高阶线性常系数微分方程- 非齐次线性微分方程- 欧拉方程与常系数变易法以上是对大一高数同济版的知识点进行的总结。

在学习高等数学过程中，对这些知识点的掌握至关重要，在解题时需要熟练运用相关的定理和公式。

掌握了这些基本知识，就能够打下坚实的数学基础，为后续的学习打下良好的基础。

希望同学们能够深入理解这些知识点，并能在实际问题中灵活运用。

微积分复习提纲一、多元函数微分学及其应用1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df 或者梯度函数f grad ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8③由方程组()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在方程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解方程组即可）， 见P35例14，P37习题9④由方程组()()⎩⎨⎧==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用①空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(x z x y t x ωφϕ在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程，见P46 例1，例2， P50习题1、2②空间曲线()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程见P46 例3， P50习题2③曲面()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域D ，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。