微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

多元函数微分学及其应用一.基本要求(1)理解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用。

(4)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法。

(5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

(6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。

(7)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它的方程。

(8)了解二元函数的二阶泰勒公式。

(9)理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会用最小二乘法求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的实际问题。

二.主要内容多元函数某些概念之间关系的比较 1. 一元函数()f x 在0x x =2. 二元函数(,)f x y 在点),(000y x P不成立重要定理定理1在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值.定理2在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上必取得介于两个值之间的任何值.定理3如果),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z ∂∂∂2在区域D 内连续，那么在该区域内，必有x y z ∂∂∂2=yx z∂∂∂2.定理4如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则该函数在点),(y x 的偏导数必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 定理5如果函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，yz∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微.定理6设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必为零，即0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y . 定理7设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且存在二阶连续偏导数，且0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y记),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =2B AC CB BA -==∆ 则(1)当0>∆时，),(y x f 在),(00y x 处具有极值，且当0<A 时，),(00y x f 是极大值，当0>A 时，),(00y x f 是极小值； (2)当0<∆时，),(00y x f 不是极值；(3)当0=∆时，),(y x f 在),(00y x 处是否有极值不能确定. 重要公式多元复合函数求导法则空间曲面的切平面与法线方程空间曲线的切线与法平面方程多元函数极值的求法重点: 理解多元函数的基本概念定义，掌握基本概念之间的关系，会求复合函数和隐函数的偏导数。

多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。

它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。

本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。

1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。

多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。

在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。

多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。

2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。

偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。

全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。

全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。

3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。

类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。

对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。

4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。

多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。

多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。

第八讲 多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 10),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。

2、性质：（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰Ddxdy y x f k ),(（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D dxdy y x g ),( （3）、D dx d y D =⎰⎰（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰Ddxdy y x g ),(（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤⎰⎰),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x ba D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ （2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos (),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 ⎰L ds y x f ),(=dx x x x f ba ⎰'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则⎰L ds y x f ),(=dy y y y f dc ⎰'+2))((1)),((ϕϕ （3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，βα≤≤t ，则⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'βαϕφϕφ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P ba ⎰'+)())(,())(,(φφφ （2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y=，终点d y =，则 ⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c⎰+')),(()())),((ϕϕϕ （3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt t t t Q t t t P ⎰'+'βαϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。

第九、十章 多元函数积分学§9.1 二重积分一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则21()()(,)(,)(,)x bDDax f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

高中数学知识点多元函数微积分高中数学知识点：多元函数微积分数学是一门充满魅力的学科，是一种日常生活中必不可少的学问。

而在高中数学中，多元函数微积分是一个十分重要的知识点，也是理所当然的。

在本文中，我们将探讨多元函数微积分的相关知识。

一、函数的概念在数学中，函数是指每个自变量对应一个唯一的因变量的规则。

其中，自变量表示不同的变量，而因变量表示任何由自变量产生的结果。

在函数中，自变量和因变量的关系可以用一个方程或者一张图表来表示。

二、多元函数在二元函数中，函数的自变量和因变量是二维的，通常用 (x,y) 表示。

同样的，在多元函数中，函数的自变量和因变量可以是任意维度的向量，而多元函数在图像上可以画出一个三维图像。

三、多元函数的微积分在学习多元函数微积分时，我们需要掌握很多基本概念。

其实，微积分就是计算函数导数和积分的算法。

在多元函数中，导数可以理解为瞬时速度或瞬时变化率。

而在三维空间中，导数也可以表示为切向量的方向。

对于多元函数 f(x,y)，我们可以把它的微分表示成df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。

其中，∂f/∂x 和∂f/∂y 是偏导数，分别对应自变量 x 和y。

微分也可以用来表示函数的局部线性逼近。

因此，我们可以通过微分来计算多元函数的斜率和切角。

四、多元函数的求极限在计算多元函数极限时，我们需要用到极限的三个特性：唯一性、保序性和有界性。

此外，我们还需要掌握一些极限的常用公式和技巧。

例如，当两个无穷小的乘积趋近于零时，我们可以使用 L'Hopital 法则来解决。

五、多元函数的最大值和最小值在多元函数中，我们常常需要求解最大值和最小值，这些值对于优化和排课等问题都非常重要。

通常我们可以使用一些基本的极值定理来解决这些问题。

例如，当函数的偏导数等于零时，函数的值最大或最小。

此外，我们还可以使用拉格朗日乘数法求解非约束性最大值和最小值。

六、多元函数应用多元函数在模拟现实问题时有着广泛的应用。

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。