解析几何专题汇编3椭圆内接图形(三角形、四边形)面积计算

2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。

椭圆的面积问题
椭圆是一种常见的平面图形，其具有独特的几何性质。

在本文中，我们将探讨椭圆的面积问题。

首先，让我们回顾一下椭圆的定义。

椭圆是平面上到定点F1、F2距离之和等于定长2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，2a称为长轴，沿着长轴的中心称为圆心。

为了计算椭圆的面积，我们需要找到一个公式，其中包含椭圆的重要参数。

我们知道，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

那么，我们可以使用下面的公式来计算椭圆的面积：
S = πab
其中，π是一个常数，约等于3.14159。

因此，我们可以得出结论：一个椭圆的面积等于其长轴和短轴长度的乘积，再乘以π。

让我们通过一个具体的例子来看看如何计算椭圆的面积。

假设一个椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4。

我们可以使用上述公式计算出椭圆的面积：
S = π × 6 × 4/2
= 12π
因此，该椭圆的面积约为37.7。

最后，让我们看一下如何应用椭圆的面积问题。

在实际应用中，我们可能需要计算椭圆形状的物体的面积。

例如，一个篮球场的形状可
能类似于一个椭圆，所以我们可以使用上述公式来计算篮球场的面积。

同样地，椭圆也经常在建筑设计和航天工程中使用。

综上所述，椭圆是一个非常重要的几何形状，在许多不同领域发挥
着作用。

通过使用上述公式，我们可以简单地计算椭圆的面积，并应
用它在实际问题中。

圆内接四边形的面积公式在讨论了三角形的面积之后，我们将讨论一些求解四边形面积的公式。

由于任何四边形都可以看作是两个三角形被一条对角线分割的组合，所以我们给出的近百个三角形面积公式都可以用来求解四边形的面积，但是四边形也有自己的特点。

本文的目的是找出其特征，并推导出求面积的特殊公式。

注:本文讨论的四边形都是凸四边形。

就像三角形一样，在讨论之前，我们先给出四边形基本元素的记法。

如下图所示的四边形ABCD：我们记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，A，B，C，D为四个顶点所在的角度，对角线AC=m，BD=n，它们的夹角取锐角，记为\theta ，交点记为O，四边形的面积记为S。

由于四边形与三角形不同，即便是给出了四边形的四条线段的长度，也无法确定一个四边形，即给出四条指定长度的线段，由它们围成的四边形不止一个（至于有几个，不在本文的探讨范围之内），但是如果知道了四边形的两条对角线的长度以及它们的夹角却可以求解面积，若要确定四边形的形状，则只需要再知道它们的交点位置即可，所以第一个四边形的面积就出现了，如下推导：S=S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot BO\cdot sin\theta +\frac{1}{2}AC\cdot DO\cdot sin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot (BO+DO)\cdot sin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin\theta=\frac{1}{2}mnsin\theta我们记为四边形的面积公式一。

与我们在《三角形的面积公式七》中所讲述一样。

公式一是用两条对角线的长度及其夹角来求解四边形的面积，但是在通常的计算和问题中，我们总是会遇到知道四条边长，而不知道对角线长的情况，所以我们还是得要寻求以边长来求解面积的公式，可是前面说了，只知道四条边的长度没法确定一个四边形，那么面积也就不确定，为此，我们还需要一个量来确定形状，结合公式一，我们可以想到保留\theta 角，而用四条边长来替代对角线，而能够用长度和角度来求解长度的就是余弦定理。

与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法作者：俞新来源：《广东教育·高中》2009年第10期在多年的高考中出现了与椭圆有关的四边形的面积问题.这类问题具有一定的难度,许多同学都感到无从下手,从而影响了水平的发挥和总体成绩,甚感可惜!其实,与椭圆有关的四边形的面积的计算还是有规律可找的.本文通过最近两年高考中的与椭圆有关的四边形面积问题的解法分析来指导同学们掌握该类问题的三种方法,仅供参考.解法一、对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半例1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2 . 过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:+解析 (Ⅰ)椭圆的半焦距c==1,由AC⊥BD可知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x20+y20=1,所以+≤+=(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2)则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=|x1-x2|==.因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|==.四边形ABCD的面积S=|BD||AC|=≥=,当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上所述,四边形ABCD的面积的最小值为.评注本题中因为四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,所以四边形的面积就是AC 与BD乘积的一半.而AC与BD的长可以通过相交弦长公式求得.解法二、平行四边形的面积等于两条邻边与其夹角正弦值的乘积例2 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.解析 (Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4,y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为(,).由四边形ABCD为菱形可知,点(,)在直线y=x+1上,所以=+1,解得n=-2, 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|, 所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1+y2)2=,所以S=(-3n2+16)(-评注因为菱形是特殊的平行四边形,所以可以用平行四边形的面积计算方法求解,当然注意到菱形的对角线互相垂直,所以也可以用解法1的方法求解,但本题中对角线|BD|的长并不是直线y=x+1与椭圆的相交弦长,所以要注意避免下面的错误解法:把y=x+1代入椭圆方程x2+3y2=4并整理得4x2+6x-1=0,所以|BD|=•=,因此菱形ABCD的面积S=••,所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.解法三、四边形的面积等于两个三角形的面积之和例3 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若=6,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0). 如图1,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1(Ⅱ)法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1==,h2==.又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=••==2=2=2≤2,所以当=4k,即当k=(∵k>0)时,上式取等号,所以S的最大值为2.法二:由题设,|BO|=1,|AO|=2.设y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0,故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2==≤=2,所以当x2=2y2时,上式取等号,所以S的最大值为2.评注本题中法一是将四边形AEBF的面积看成是三角形ABE与三角形ABF的面积之和,而法二是将四边形AEBF的面积看成是三角形BEF与三角形AEF的面积之和.我们知道,椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的问题通常应该类比学习,即双曲线和抛物线的四边形面积的计算也可仿与椭圆中有关的四边形面积的计算方法进行,限于篇幅本文不再一一展开,在文末仅举抛物线中一例供同学们练习.例4 设F是抛物线y2=4x的焦点,A、B为抛物线上异于原点O的两点,且满足•=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D(如图2).求四边形ABCD面积的最小值.解析设A(x1,y1)、C(x2,y2),由题设知,直线AC的斜率存在,设为k.因直线AC过焦点F(1,0),所以直线AC的方程为y=k(x-1).联立方程组y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,由根与系数的关系知:x1+x2=,x1x2=1,于是|AC|====,又因为AC⊥BD,所以直线BD的斜率为-,从而直线BD的方程为y=-(x-1),同理可得|BD|=4(1+k2),故S ABCD=|AC|•|BD|==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.另解:设B(x3,y3)、D(x4,y4),联立方程组y=(x-1),y2=4x,得x2-(2+4k2)x+1=0,所以x3+x4=4k2+2,x3x4=1,又|FA|=x1+1,|FC|=x2+1,|FB|=x3+1,|FD|=x4+1,所以四边形ABCD的面积为SABCD=|AC|•|BD|=(x1+x2+2)(x3+x4+2)=(+2).(4k2+2+2)==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.责任编校徐国坚。

椭圆形的面积计算公式及例题
椭圆面积公式：S=π(圆周率)×a×b，其中a、b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长。

椭圆面积公式属于几何数学领域。

椭圆形的面积计算公式及例题
1椭圆面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).
c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式.定理内容
如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。

那么x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的面积为π*a^2*b/a=πab
2椭圆面积公式例题
例题1：一个椭圆长轴13，短轴9，求其面积
应用公式π×R×r
3.14×13×9
=367.38（平方单位）
例题2：一个椭圆面积为420（平方单位），已知短轴为11，求长轴的长度为何？
420/（11π）
=12.16。

椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。

分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。

点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。

二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。

解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。

第45讲解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题一．解答题(共24小题)1．(2021•常熟市校级期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1．椭圆上有两个不同的点A ，B 关于直线y =mx +12对称(1)求椭圆C 的方程；(2)求实数m 的取值范围；(3)求ΔAOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解答】解：(1)离心率e =22=c a ，焦点到相应准线的距离为1=b 2c，所以a =2，b =1=c ，故椭圆的方程为：x 22+y 2=1，(2)直线AB 的方程为：y =kx +n ，联立解方程组y =kx +n x 22+y 2=1，消去y 得(1+2k 2)x 2+4knx +2n 2-2=0，△=16k 2n 2-4(1+2k 2)(2n 2-2)>0，∴1+2k 2>n 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1+x 2=-4kn 1+2k 2，x 1∙x 2=2n 2-21+2k 2，所以线段AB 的中点G -2kn 1+2k 2，n 1+2k 2，代入直线y =mx +12，注意其中k =-1m ，得1+2k 2=-2n ，结合1+2k 2>n 2，得n (n +2)<0，即-2<n <0，0<1+2k 2<4，得k 2<32，所以m 2>23，故m >63或者m <-63，(3)|AB |=|1+k 2|x 1-x 2=1+k 222(2k 2+1)-n 22k 2+1=1+k 2-n 2-2n -2n ，O 到AB 的距离d =|n |1+k 2，S =12|AB |d =22-n 2-2n =22-(n +1)2+1，-2<n <0，故S max =22．2．(2021•扶沟县校级模拟)设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y =kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．(Ⅰ)若ED =6DF ，求k 的值；(Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值．【解答】解：(Ⅰ)依题设得a =2，b =1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1，直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1+4k 2)x 2=4，故x 2=-x 1=21+4k 2．①由ED =6DF ，知x 0-x 1=6(x 2-x 0)，得x 0=17(6x 2+x 1)=57x 2=1071+4k 2；由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=21+2k ．∴21+2k =1071+4k 2，化简得24k 2-25k +6=0，解得k =23或k =38；(Ⅱ)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1=|x 1+2kx 1-2|5=2(1+2k +1+4k 2)5(1+4k 2)，h 2=|x 2+2kx 2-2|5=2(1+2k -1+4k 2)5(1+4k 2)．又|AB |=22+1=5，∴四边形AEBF 的面积为S =12|AB |(h 1+h 2)=12∙5∙4(1+2k )5(1+4k 2)=2(1+2k )1+4k 2=21+4k 2+4k 1+4k 2=21+4k 1+4k 2≤22，当2k =1，即当k =12时，上式取等号．∴S 的最大值为22．解法二：由题设，|BO |=1，|AO |=2．设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2>0，y 2=-y 1>0，故四边形AEBF 的面积为S =S ΔBEF +S ΔAEF =x 2+2y 2=(x 2+2y 2)2=x 22+4y 22+4x 2y 2≤2(x 22+4y 22)=22，当x 2=2y 2时，上式取等号．∴S 的最大值为22．3．(2021•江北区校级模拟)过抛物线y 2=2Px (P >0)的对称轴上一点A (a ，0)(a >0)的直线与抛物线相交于M ，N 两点，自M ，N 向直线l :x =-a 作垂线，垂足分别为M 1，N 1．(1)当a =P 2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记ΔAMM 1，△AM 1N 1，ΔANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，是否存在λ，使得对任意的a >0，均有S 22=λS 1⋅S 3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：(1)当a =p 2时，如图所示设M y 212p ,y 1 ，N y 222p ,y 2 ．则M 1-p 2,y 1 ，N 1-P 2,y 2 ，A p 2,0 ．则AM 1 ⋅AN 1 =(-p ，y 1)⋅(-p ，y 2)=p 2+y 1y 2．(*)设直线MN 的方程为my +p 2=x ，联立my +p 2=x y 2=2px，化为y 2-2pmx -p 2=0．∴y 1y 2=-p 2．代入(*)可得AM 1 ⋅AN 1 =p 2-p 2=0．∴AM 1⊥AN 1；(2)假设存在λ，使得对任意的a >0，均有S 22=λS 1⋅S 3成立．设M y 212p ,y 1 ，N y 222p ,y 2．则M 1(-a ,y 1)，N 1(-a ,y 2)，不妨设y 1>0．设直线MN :my +a =x ，联立x =my +a y 2=2px，化为y 2-2pmy -2pa =0．∵△>0成立，∴y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=-2pa ．S 1=12|MM 1|y 1=12y 212p +ay 1，同理S 3=12y 222p +a(-y 2)，S 2=12×2a ×|y 1-y 2|．∴S 1S 3=14(-y 1y 2)y 212p +a y 222p +a=-14y 1y 2y 21y 224p 2+a 2p (y 21+y 22)+a 2 =2pa 44p 2a 24p 2+a 2p (4p 2m 2+4pa )+a 2 =pa 2(pm 2+2a )．S 22=a 2[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=a 2(4p 2m 2+8pa )=4pa 2(pm 2+2a )，∴4pa 2(pm 2+2a )=λpa 2(pm 2+2a )，解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a >0，均有S 22=λS 1⋅S 3成立．4．(2021春•武陵区校级月考)如图，已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (1,0)，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ΔABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧．记ΔAFG ，ΔCQG 的面积为S 1，S 2．(1)若直线AB 的斜率为33，求以线段AB 为直径的圆的面积；(2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．【解答】解：(1)由题意可得p 2=1，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ，由已知设直线AB 的方程为y =33(x -1)，与抛物线y 2=4x 联立可得，x 2-14x +1=0，所以x 1+x 2=14，则线段|AB |=x 1+x 2+2=16，则以线段AB 为直径的圆的半径为8，故圆的面积为64π；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x C ，y C )，重心G (x 0，y 0)，令y 1=2t ，t ≠0，则x 1=t 2，由直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x =t 2-12t y +1，代入y 2=4x ，可得y 2-2(t 2-1)ty -4=0，所以2ty 2=-4，即y 2=-2t ，所以B 1t 2,-2t ，又由于x 0=13(x 1+x 2+x C )，y 0=13(y 1+y 2+y C )，重心G 在x 轴上，故2t -2t+y C =0，所以C 1t -t 2,21t -t ，G 2t 4-2t 2+23t 2,0，所以直线AC 的方程为y -2t =2t (x -t 2)，可得Q (t 2-1，0)，由于点Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2，故S1S2=12|FG||y1|12|QG||y C|=2t4-2t2+23t2-1⋅|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2⋅2t-2t=2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1，令m=t2-2，则m>0，所以S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-12m⋅3m+4=1+32，当且仅当m=3m，即m=3时，S1S2取得最小值1+32，此时G(2,0)．5．(2021•上城区校级期中)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上．(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；(3)当xA∈(1,2)时，求ΔABC面积的最大值．【解答】解：(1)点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，即p2=1，即p=2，抛物线的方程为y2=4x，准线方程为x=-1；(2)证明：设过F的直线方程为y=k(x-1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m,n)，即有y21=4x1，y22=4x2，n2=4m，联立直线y=k(x-1)和抛物线y2=4x可得ky2-4y-4k=0，可得y1+y2=4k，y1y2=-4，则k OA+k BC=y1x1+n-y2m-x2=4y1+4n+y2=4(n+y1+y2)y1(n+y2)，由ΔABC的重心G在x轴上，可得n+y1+y23=0，即n+y1+y2=0，即有k OA+k BC=0，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得k OA+k BC=0．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；(3)由(2)可得x1x2=(y1y2)216=1，x1+x2=y1+y2k+2=2+4k2，可得x 1+1x 1=2+4k 2∈2,52 ，解得k 2∈(8,+∞)，由抛物线的定义可得|AB |=x 1+x 2+2=4+4k2，由n +y 1+y 2=0，即n +4k =0，即n =-4k ，m =n 24=4k2，C 的坐标为4k 2，-4k ，C 到直线kx -y -k =0的距离为d =4k +4k -k 1+k 2=8k -k 1+k 2，可得ΔABC 的面积为S =12d ∙|AB |=12∙8k -k 1+k2∙4+4k 2 =2∙1+k 2k 2∙k 2-8k ，由k 2>8，可得S =21+1k 2∙1-8k2，设t =1+1k 21<t <324 ，则S =2t (9-8t 2)，由S ′=18-48t 2<0，则S 在1,324 递减，可得S <2；当直线AB 的斜率不存在时，设A (1,2)，B (1,-2)，可得C (0,0)，ΔABC 的面积为12×4×1=2，可得ΔABC 的面积的最大值为2．6．(2021•浙江月考)如图，已知抛物线C 1:y 2=x 与圆C 2:(x -1)2+y 2=r 2(r >0)有四个不同的公共点A ，B ，C ，D ．(Ⅰ)求r 的取值范围；(Ⅱ)求四边形ABCD 面积的最大值．【解答】解(Ⅰ)联立y 2=x (x -1)2+y 2=r2 ，得x 2-x +1-r 2=0．由题可知，x 2-x +1-r 2=0在(0,+∞)上有两个不同的解，∴△=1-4(1-r 2)>01-r 2>0 ，得34<r 2<1，∴r ∈32,1；(Ⅱ)设A (x 1,-x 1)，D (x 1,x 1)，B (x 2,-x 2)，C (x 2,x 2)，由韦达定理可知，x 1+x 2=1，x 1x 2=1-r 2，|AD |+|BC |=2(x 1+x 2)，又(x 1+x 2)2=(x 1+x 2)+2x 1x 2=1+21-r 2．|x 2-x 1|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4r 2-3，∴S ABCD =12(|AD |+|BC |)∙|x 2-x 1|=(1+21-r 2)(4r 2-3)．令t =1-r 2，则t ∈0,12 ，此时S ABCD =(1+2t )(1-4t 2)．记f (t )=(1+2t )(1-4t 2)=-8t 3-4t 2+2t +1，t ∈0,12．f (t )=-24t 2-8t +2=-2(2t +1)(6t -1)．当f (t )>0时，t ∈0,16 ，当f (t )<0时，t ∈16,12 ．∴y =f (t )在0,16 上单调递增，在16,12 单调递减．∴f (t )max =f 16 =3227，得四边形ABCD 的最大值为496．7．(2021春•浙江期中)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，椭圆C 1的上顶点与抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点F 重合，且抛物线C 2经过点P (2,1)，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 1和抛物线C 2的标准方程；(Ⅱ)已知直线l :y =kx +m (m ≠0)与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆C 1交于C 、D 两点，且直线PF 平分∠APB ，求首尾顺次连结O 、C 、P 、D 四点所得图形的面积的取值范围．【解答】解：(Ⅰ)由抛物线C 2经过点P (2,1)，可得4=2p ，解得p =2，故抛物线C 2的标准方程为x 2=4y ；所以抛物线C 2:x 2=4y 的焦点为F (0,1)，则b =1，又椭圆C 1的离心率e =c a =a 2-1a =32，解得a =2，所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)将直线l 的方程y =kx +m 代入x 2=4y ，消去y 并整理可得x 2-4kx -4m =0，由题意知，△=16k 2+16m >0，即m >-k 2，设直线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，因为直线PF 平分∠APB ，所以k 1+k 2=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=0，x 21=4y 1，x 22=4y 2，则x 124-1x 1-2+x 224-1x 2-2=x 1+x 2+44=0，解得x 1+x 2=-4，故k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=-1，所以直线l :y =-x +m 且m >-1，联立方程组y =-x +m x 24+y 2=1，消y 并整理可得5x 2-8mx +4m 2-4=0，依题意，△=64m 2-20(4m 2-4)=16(5-m 2)>0，解得-5<m <5，所以-1<m<5且m≠0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3+x4=8m5，x3x4=4m2-45，则|AB|=2×16(5-m2)5，且P、O到l的距离分别d P=|3-m|2，d O=|m|2，当-1<m<0时，S OCPD=12×|AB|×(d P-d O)=655-m2，当0<m<5时，S OCPD=12×|AB|×(d P+d O)=655-m2，综上所述，S OCPD=655-m2∈0,655．8．(2021•麒麟区校级模拟)已知椭圆C1:x24+y2b2=1(b>0)的短轴端点与抛物线C2:x2=2py(p>0)的交点重合，椭圆C1的离心率为32．(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程；(2)设P是抛物线C2准线上的一个动点，过P作抛物线C2的切线PA，PB，A，B为切点．(ⅰ)求证：直线AB经过一个顶点；(ⅱ)若直线AB与椭圆C1交于M，N两点，椭圆的下顶点为D，求ΔMDN面积的最大值．【解答】解：(1)由椭圆的离心率e=ca=32，由a=2，则c=3，所以b2=a2-c2=1，由抛物线C2:x2=2py的焦点为0,p 2，则p2=1，则p=2，所以椭圆方程为x24+y2=1，抛物线方程为x2=4y；(2)(ⅰ)证明：抛物线的准线为y=-1，设P(t,-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21=4y1，x22=4y2，由y=14x2，求导y′=12x，则k PA=12x1，所以PA的方程为y=12x1x-12x21+y1，将x21=4y1代入可得PA的方程：y=12x1x-y1，PA过点P(t,-1)，代入得tx1-2y1+2=0，由PB过点P(t,-1)，同理可得，tx2-2y2+2=0，则直线AB:tx-2y+2=0，故直线AB恒过定点(0,1)；(ⅱ)由题意得直线AB斜率存在且不为0，设直线AB:y=kx+1，代入椭圆x24+y2=1，得(4k2+1)x2+8kx=0，所以x=0或x=-8k4k2+1，则△>0，即有SΔMON=12×2×-8k4k2+1=84k+1k≤2，当k=±12时，SΔMDN取得最大值，所以，ΔMDN面积的最大值2，此时直线AB的斜率k=±12，AB的方程为y=±12x+1．9．(2021•浙江模拟)已知椭圆C1:x22+y2=1和抛物线C2:x2=2py(p>0)，点Q为第一象限中抛物线C2上的动点，过Q作抛物线C2的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线C2的焦点．(Ⅰ)求证：FB平分∠AFQ；(Ⅱ)若直线l与椭圆C1相切于点P，求ΔAPF面积的最小值及此时p的值．【解答】解：(Ⅰ)证明：设A(0,y A)，B(x B，0)，P(x p，y p)，Q(x Q，y Q)，l:y=kx+b，l与抛物线C2联立得：x2-2pkx-2pb=0，由题意知△=0，即pk2+2b=0．而Q的横坐标x Q=pk，B的横坐标x B=-b k=pk 2，所以B为AQ的中点，由Q到焦点的距离等于Q到准线的距离可知，|FQ|=|y Q|+p2=|y A|+p2=|FA|，所以FB平分∠AFQ．(Ⅱ)直线l与椭圆C1联立得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0，由条件知△=0，即2k2+1=b2，由(1)知pk2+2b=0，可得：pb2+4b-p=0，又因为b<0，所以b=-2+p2+4p，P的横坐标x p=-2kb2k2+1=-2k b,k=22+p2+4p，所以ΔAPF面积SΔAPF=12|y F-y A|⋅|x p|=12p2-b-2k b=22+p2+4p2+2+p2+4p=p2+4⋅2+p2+42p，令t=p2+4≥2，SΔAPF=t22(t-2)=121t-2t2≥2，(当t=4即p=23时取等)，所以ΔAPF面积的最小值是2，此时p=23．10．(2021•菏泽二模)已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点(1，)．抛物线C2：x2=-2py(p>0)的焦点坐标为(0，-)．(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)若点M是直线l：2x-4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．(i)求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；(ii)当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．【解答】解：(I)由于椭圆C1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ=1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2=-2py(p>0)的焦点坐标为(0，-)，∴，故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=-2y．(II)(i)证明：∵x2=-2y，∴y=-，∴y′=-x，设点M(x0，y0)，且满足2x0-4y0+3=0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线MA的斜率为-x1，从而MA的方程为y=-x1(x-x1)+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线x0x+y+y0=0上．又点M在直线2x-4y+3=0上，则2x0-4y0+3=0，故直线AB的方程为(4y0-3)x+2y+2y0=0，即y0(4x+2)+(2y-3x)=0，∴直线AB过定点．(ii)解：设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，，，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x0-4y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x +2y +2=0或x -14y -10=0．11．(2021•安徽)如图，已知两条抛物线E 1:y 2=2p 1x (p 1>0)和E 2:y 2=2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1、A 2两点，l 2与E 1、E 2分别交于B 1、B 2两点．(Ⅰ)证明：A 1B 1⎳A 2B 2；(Ⅱ)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1、E 2分别交于C 1、C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S1S 2的值．【解答】(Ⅰ)证明：由题意可知，l 1和l 2的斜率存在且不为0，设l 1:y =k 1x ，l 2:y =k 2x ．联立y =k 1x y 2=2p 1x，解得A 12p 1k 12,2p1k 1．联立y =k 1x y 2=2p 2x ，解得A 22p 2k 12,2p 2k 1．联立y =k 2x y 2=2p 1x ，解得B 12p 1k 22,2p 1k 2．联立y =k 2x y 2=2p 2x，解得B 22p 2k 22,2p2k 2．∴A 1B 1 =2p 11k 22-1k 12,1k 2-1k 1，A 2B 2 =2p 21k 22-1k 12,1k 2-1k 1．A 1B 1 =p 1p 2A 2B 2 ，∴A 1B 1⎳A 2B 2；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A 1B 1⎳A 2B 2，同(Ⅰ)可证B 1C 1⎳B 2C 2，A 1C 1⎳A 2C 2．∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，因此S 1S 2=|A 1B 1 ||A 2B 2 |2，又A 1B 1 =p 1p 2A 2B 2 ，∴|A 1B 1||A 2B 2 |=p 1p 2．故S 1S 2=p 12p 22．12．(2021•柯桥区期末)如图，F 1，F 2为椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点．点Q 满足：延长QF 1，QF 2分别交椭圆E 于M ，N 两点，且ΔQMN 的重心P 在椭圆E ．直线F 1P 交QN 于点S ．(1)若A 1，A 2是椭圆长轴的两个端点，求直线PA 1，PA 2的斜率之积；(2)设△QF 1P ，ΔPSN 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的最小值．【解答】解：(1)设P (x ,y )，由题意可知A 1(-2,0)，A 2(2,0)，则k PA 1=y x +2,k PA 2=yx -2，k PA 1⋅k PA 2=y 2x 2-4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4分)因为P (x ,y )在椭圆E :x 24+y 23=1，所以y 2=-34(x 2-4)，所以k PA 1⋅k PA 2=-34(x 2-4)x 2-4=-34．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分)(2)∵QP =13(QM+QN )，设QF 1 =xQM ,QS =yQN ，又因为F 1，P ，S 三点共线，故可知QP =13(QM+QN )=λQF 1 +(1-λ)QS =λxQM +(1-λ)yQN ，∴13=xλ13=(1-λ)y，∴1x +1y =3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)因为点P 为ΔQMN 的重心，所以S ΔQMP =S ΔQNP ，∵S 1S ΔQMP =x ,S 2S ΔQPN=1-y ，∴S 1S 2=x1-y =x (3x -1)2x -1，令t =2x -1∈(0,1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)∴S 1S 2=(t +1)(3t +1)4t =143t +1t +4 ≥1+32，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14分)当且仅当t =33,x =12+36时，取得最小值．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(15分)13．(2021•浙江模拟)已知点F 为抛物线C :y =14x 2的焦点，点D (0,4)，点A 为抛物线C 上的动点，直线l :y =t 截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值．(Ⅰ)求t 的值；(Ⅱ)如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ΔABE 的面积的最大值．【解答】解：(Ⅰ)D 0,4 ,设点A x 0,x 024,AD 的中点为C x 02,4+x 0242,2r =x 02+4-x 024 2，设截得的弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ．则14|GH |2=r 2-d 2=x 02+4-x 02424-4+x 0242-t 2，14|GH |2=-14+2-t 4x 02+4-(2-t )2与x 0无关⇒t =3．(Ⅱ)由上题可得E (0,3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点为G ，直线AB 的斜率存在且不等于0，设直线AB :y =kx +m ，联立直线与抛物线方程得：y =kx +mx 2=4y⇒x 2-4kx -4m =0，∵△>0⇒16k 2+16m >0由韦达定理可得:x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,y 1+y 2=4k 2+2m ⇒AB 的中点为G 2k ,2k 2+m ，∴AB 的中垂线为y -2k 2+m =-1kx -2k ,代入D 0,4 ⇒m =2-2k 2，∵|AB |=1+k 2⋅|x 1-x 2|=4⋅1+k 2⋅k 2+m ,d E -AB =|m -3|1+k 2，∴S =12⋅|AB |⋅d =12⋅(4⋅1+k 2⋅k 2+m )⋅|m -3|1+k 2=2|m -3|⋅k 2+m =2|2k 2+1|⋅2-k 2=2(1+2k 2)2(2-k 2)，记t =k 2，f (t )=(2-t )(1+2t )2，f (t )=(7-6t )(1+2t )，t ∈0,76 时，f (t )单调递增，t ∈76,2 时，f (t )单调递减，t =76,即k 2=76⇒k =±426时，S ΔABE 的最大值为10309．此时m =-13满足△>0，∴S ΔABE 的最大值为10309．14．(2021•闵行区校级模拟)已知点F 为抛物线C :y =14x 2的焦点，点D (0,4)，点A 为抛物线C 上的动点，直线l :y =t (t 为常数)截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值．(1)求焦点F 的坐标；(2)求实数t 的值；(3)若点E (0,3)，过点A 的直线y =x +m 交抛物线于另一点B ，AB 的中垂线过点D ，求m 的值和ΔABE 的面积．【解答】解：(1)∵抛物线C :y =14x 2，即x 2=4y ，∴F (0,1)．(2)设点A x 0,x 204，AD 的中点为C x 02,4+x 2042，直径2r =AD =x 20+4-x 242，设截得得弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ，则12|GH | 2=r 2-d 2=x 2+4-x 20424-4+x 2042-t 2，得14|GH |2=t -34x 20+4t -t 2与x 0无关，所以t =3．(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为G ，联立y =x +mx 2=4y⇒x 2-4x -4m =0，∵△>0∴16+16m >0∴m >-1，∵x 1+x 2=4，x 1x 2=-4m ，y 1+y 2=4+2m ，∴G (2,2+m )，∴k DG =m -22=-1⇒m =0符合m >-1，∵|AB |=1+1|x 1-x 2|=421+m =42，点E 到AB 的距离为|m -3|2=32，∴S ΔABE =12⋅421+m ⋅|m -3|2=6．15．(2021•江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ∙QP 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记ΔOAB 与ΔMAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【解答】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2-b 2=1，所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A 1,32 ，设P (t ,0)，则直线AP 方程为y =321-t (x -t )，椭圆的右准线为：x =a 2c=4，所以直线AP 与右准线的交点为Q 4,32∙4-t1-t，OP ∙QP =(t ，0)∙t -4，0-32∙4-t 1-t=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4，当t =2时，(OP ∙QP)min =-4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1，即d 2=3d 1，A 1,32 ，F 1(-1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x -4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以|m -3|9+16=95，即m =-6或12，当m =-6时，直线l 为3x -4y -6=0，即y =34(x -2)，联立y =34(x -2)x 24+y 23=1 ，可得(x -2)(7x +2)=0，即x M =2y N =0 或x M =-27y M=-127，所以M (2,0)或-27，-127．当m=12时，直线l为3x-4y+12=0，即y=34(x+4)，联立y=34(x+4)x24+y23=1，可得214x2+18x+24=0，△=9×(36-56)<0，所以无解，综上所述，M点坐标为(2,0)或-27，-127．16．(2021•广东月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．【解答】解：(1)因为离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，所以ca=322b2a=1a2=b2+c2，解得a=2，b=1，所以椭圆的方程为x24+y2=1．(2)因为椭圆C的方程为x24+y2=1，所以A(-2,0)，B(0,-1)，设M(m，n)(m>0，n>0)，则m24+n2=1，即m2+4n2=4，则直线BM的方程为y=n+1m x-1，令y=0，得x C=mn+1，同理，直线AM的方程为y=nm+2(x+2)，令x=0，得y D=2nm+2，所以S四边形ABCD =12AC⋅BD=12⋅mn+1+2⋅2nm+2+1=12⋅(m+2n+2)2m+2n+1=12⋅m2+4n2+4+4mn+4m+8nmn+m+2n+2=12⋅4mn+4m+8n+8mn+m+2n+2=2，所以四边形ABCD的面积为定值2．17．(2021•新课标Ⅲ)已知曲线C:y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E 0,52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【解答】解：(1)证明：y =x 22的导数为y ′=x ，设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即有y 1=x 122，y 2=x 222，切线DA 的方程为y -y 1=x 1(x -x 1)，即为y =x 1x -x 122，切线DB 的方程为y =x 2x -x222，联立两切线方程可得x =12(x 1+x 2)，可得y =12x 1x 2=-12，即x 1x 2=-1，直线AB 的方程为y -x 122=y 1-y 2x 1-x 2(x -x 1)，即为y -x 122=12(x 1+x 2)(x -x 1)，可化为y =12(x 1+x 2)x +12，可得AB 恒过定点0,12；(2)法一：设直线AB 的方程为y =kx +12，由(1)可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=-1，AB 中点H k ,k 2+12，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为|EH |，可得12-52 1+k2=k 2+(k 2-2)2，解得k =0或k =±1，即有直线AB 的方程为y =12或y =±x +12，由y =12可得|AB |=2，四边形ADBE 的面积为S ΔABE +S ΔABD =12×2×(1+2)=3；由y =±x +12，可得|AB |=1+1∙4+4=4，此时D ±1,-12 到直线AB 的距离为1+12+12 2=2；E 0,52 到直线AB 的距离为12-52 2=2，则四边形ADBE 的面积为S ΔABE +S ΔABD =12×4×(2+2)=42；法二：(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12．由y =tx +12y =x22，可得x 2-2tx -1=0．于是x 1+x 2=2t ，x 1x 2=-1，y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1，|AB |=1+t 2|x 1-x 2|=1+t 2×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1=t 2+1，d 2=2t 2+1．因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB |(d 1+d 2)=(t 2+3)t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M t ,t 2+12．由于EM ⊥AB ，而EM =(t ,t 2-2)，AB 与向量(1,t )平行，所以t +(t 2-2)t =0．解得t =0或t =±1．当t =0时，S =3；当t =±1时，S =42．综上，四边形ADBE 的面积为3或42．18．(2021•浙江模拟)已知椭圆C 1:y 22+x 2=1，抛物线C 2:y 2=2px (p >0)，点A (-1,0)，斜率为k 的直线l 1交抛物线于B 、C 两点，且AC =12CB ，经过点C 的斜率为-12k 的直线l 2与椭圆相交于P 、Q 两点．(1)若抛物线的准线经过点A ，求抛物线的标准方程和焦点坐标：(2)是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线的准线方程x =-p 2，焦点坐标p2,0 ，则-p2=-1,p =2，抛物线的标准方程为y 2=4x ，焦点(1,0)．(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由AC =12CB ，得点A (-1,0)在直线l 1上，且y 2=12y 11+12=13y 1，且四边形的面积S =3S ΔAPQ =32|PQ |d ．l 1:y =k (x +1),l 2:y =-k2(x -x 3)+y 3，由y =k (x +1)y 2=2px ，得y 2-2p ky +2p =0，则△=4p 2k2-8p >0,k 2<p2，y 1+y 2=2pk ,y 1y 2=2p ，因为y 1=3y 2，所以y 22=23p ,x 2=y 222p =13,C 13,y 2 ,k 2=3p 8,p =y 222x 2=3y 222，由l1，l2的斜率分别为k,-12k，由图知l2必过点(3,0)，可设l2:y=-k2(x-3)，且k=kAC=y213+1=3y24，故直线l2:y=-3y28(x-3)，令t=-83y2，则直线l2:x=ty+3，代入椭圆方程y22+x2=1，得(1+2t2)y2+12ty+16=0，△=16(t2-4)>0,y3+y4=-12t1+2t2,y3y4=161+2t2，|PQ|=1+t2⋅|y3-y4|=1+t2⋅16(t2-4)1+2t2，点A到l2的距离d=41+t2，四边形的面积S=24t2-41+2t2=122×2t2-8(2t2-8)+9≤122×2t2-862t2-8=22，当且仅当t2=172,p=6451时，面积最大为22．19．(2021春•浙江月考)如图，已知抛物线y2=x，过点M(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A，B 两点，其中点A在第一象限，过点A作抛物线的切线与x轴相交于点P，直线PB交抛物线另一点为C，线段AC交x轴于点N．记ΔAPC，ΔAMN的面积分别为S1，S2．(Ⅰ)若k=1，求|AB|；(Ⅱ)求S1S2的最小值．【解答】解：(Ⅰ)直线AB的方程为y=x-1，代入抛物线方程y2=x，得x2-3x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=3，x1x2=1，|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=10，(Ⅱ)设直线AB的方程为x=1+my，代入抛物线方程y2=x得，y2-my-1=0．设A(a2，a)，a⋅y B=-1，y B=-1a，点B的坐标为1a2,-1a．设切线PA的方程为x-a2=m(y-a)，代入抛物线方程y2=x，得y2-my+ma-a2=0，△=m2-4ma+4a2=(m-2a)2=0，得m=2a，令y =0，得x =-a 2，所以点P 的坐标为(-a 2，0)．设直线PB 的方程为x =-a 2+ty ，代入抛物线方程y 2=x 得，y 2-ty +a 2=0，-1a ⋅y c =a 2，y c =-a 3，x c =a 6，所以点C 的坐标为(a 6，-a 3)，直线AC 的方程为y -a =a +a 3a 2-a 6(x -a 2)，即y -a =1a (1-a 2)(x -a 2)，令y =0，得x =a 4，所以点N 的坐标为(a 4，0)．S 1=12|PN ||y A -y C |=12a 3(a 2+1)2，S 2=12|MN |y A =12|a 4-1|a ，由k >0，知a >1，S 1S 2=12a 3(a 2+1)212|a 4-1|a =a 2(a 2+1)a 2-1，令u =a 2-1，则a 2=u +1，u >0，S 1S 2=(u +1)(u +2)u =u +2u +3≥22+3，当且仅当u =2，即a 2=2+1时取等号，所以S 1S 2的最小值为22+3．20．(2021•浙江月考)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为抛物线上的两点(AB 不经过焦点F )，且直线AB 斜率存在，若AB 的中垂线恰好经过P (5,0)．(Ⅰ)求x 1+x 2的值；(Ⅱ)若AB 的中垂线交y 轴于C 点，求ΔABC 面积与ΔFAB 面积之和的最大值．【解答】解：(Ⅰ)设直线AB 的方程为x =my +n (m ≠0,n ≠1)，联立抛物线的方程，消去x 得y 2-4my -4n =0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，则AB 的中点M 的坐标为(2m 2+n ，2m )，AB 的中垂线方程为y =-mx +2m 3+mn +2m ．将点P (5,0)代入AB 的中垂线方程，得2m 3+mn -3m =0，即2m2+n=3，所以x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n=6．(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB的中垂线方程为y=-mx+5m，所以点C(0,5m)．设ΔABC的面积为S1，ΔFAB的面积为S2，由(Ⅰ)可得|AB|=1+m2|y1-y2|=41+m2⋅m2+n，点C到AB的距离为|5m2+n|1+m2，点F到AB的距离为|n-1|1+m2，所以S1+S2=2|5m2+n|m2+n+2|n-1|⋅m2+n．由m2+n>0及2m2+n=3得，-3<n<3且n≠1，所以S1+S2=(15-3n)3+n2+2|n-1|⋅3+n 2．①当1<n<3时，S1+S2=(13-n)3+n2，令3+n2=t,t∈(2,3)，则S1+S2=(16-2t2)t，令函数f(t)=(16-2t2)t,t∈(2,3)，则f (t)=16-6t2，所以当t∈2,8 3时，f(t)单调递增；当t∈83,3时，f(t)单调递减，所以f(t)的最大值为f83=6469；②当-3<n<1时，S1+S2=(17-5n)3+n2，令3+n2=x,x∈(0,2)，则S1+S2=(32-10x2)x．令函数g(x)=(32-10x2)x,x∈(0,2)，则g (x)=32-30x2，所以当x∈0,4 15时，g(x)单调递增；当x∈415,2时，g(x)单调递减，所以g(x)的最大值为g415=2561545．因为2561545>6469，所以S1+S2的最大值为25615 45，即ΔABC和ΔFAB的面积之和的最大值为25615 45．21．(2021•温州模拟)如图，过点F(1,0)和点E(4,0)的两条平行线l1和l2分别交抛物线y2=4x于A，B和C，D(其中A，C在x轴的上方)，AD交x轴于点G．(Ⅰ)求证：点C、点D的纵坐标乘积为定值；(Ⅱ)分别记ΔABG和ΔCDG的面积为S1和S2，当S1S2=14时，求直线AD的方程．【解答】解：(Ⅰ)证明：设直线l1的方程为y=k1(x-1)，l2的方程为y=k1(x-4)，所以联立y=k1(x-4)y2=4x，得y2-4k1y-16=0，所以y C y D=-16，所以点C、点D的纵坐标乘积为定值-16．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知y C=-16y D，联立y=k1(x-1)y2=4x，得x2-4y1y-4=0，所以y A y B=-4，即y B=-4yA，因为l1⎳l2，所以∠BAD=∠CDA，又因为∠AGF=∠DGE，所以ΔAGF∽ΔDGE，所以AGGD=GFGE，过点A，D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，所以∠AGM=∠DGN，∠AMG=∠BNG，所以ΔGAM∽ΔGDN，所以|y A||y D|=AGGD，所以|y A||y D|=GFGE，因为S1S2=14，所以12|FG|⋅(y A-y B)12|GE|⋅(y C-y D)=14，所以-y A(y A-y B)y D(y C-y D)=14，所以-y A y A--4yAy D-16y D-y D=14，所以y A=-12y D，①所以FGGE=12，又因为FG+GE=4-1=3，所以FG=1，GE=2，所以G(2,0)，设直线AD的方程为y=k3(x-2)，联立y=k3(x-2)y2=4x，得y2-4k3y-8=0，所以y A y D=-8，②联立①②，解得y A=2，y D=-4，所以A(1,2)，将A(1,2)代入y=k3(x-2)得k3=-2，所以直线AD的方程为y=-2x+4．22．(2021•浙江模拟)如图，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1，离心率为32，F1(-3，0)，F2(3，0)为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，Q 为△PF 1F 2的内心，连接P ，Q 延长交x 轴于点M ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设△F 1QM ，△F 2QP 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．【解答】解：(I )因为离心率为32，故c a =32，又因为F 1(-3,0),F 2(3,0)为椭圆的左右焦点，故c =3,a =2,b =1，所以椭圆E :x 24+y 2=1．(Ⅱ)因为Q 为△PF 1F 2的内心，故Q 为△PF 1F 2各内角角平分线交点，故根据角平分线定理可知，PQ QM=PF 1F 1M ，PQ QM =PF 2F 2M ，∴PQ QM =PF 1F 1M =PF 2F 2M =PF 1+PF 2F 1M +F 2M =2a 2c =a c =23，设△F 1QM ，△F 2QP 以PQ ，QM 为底边的高为h 1，h 2，S 1S 2=12QM ⋅h 112PQ ⋅h 2=QM ⋅h 1PQ ⋅h 2=3⋅h 12⋅h 2，∵h 1h 2=F 2M F 1M =PF 1PF 2，设P (x 0，y 0)∴PF 1=a +ex 0，PF 2=a -ex 0，∴S 1S 2=32⋅2+32x 02-32x 0=32⋅-2+32x 0+42-32x 0=32⋅-1+42-32x 0 ，∵P 为椭圆上一动点，且构成三角形，故x 0∈(-2,2)，∴S 1S 2=32⋅-1+42-32x 0 ∈732-6,732+6 ．23．(2012秋•三元区校级月考)已知椭圆E :x 2a2+y 2=1(a >1)的离心率e =32，直线x =2t (t >0)与椭圆E 交于不同的两点M 、N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)当圆C 与y 轴相切的时候，求t 的值；(Ⅲ)若O 为坐标原点，求ΔOMN 面积的最大值．【解答】解：(Ⅰ)∵椭圆E 的离心率e =32，∴a 2-1a =32，解得a =2，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)联立方程x 24+y 2=1x =2t，得x =2t y =±1-t 2 ，即M ，N 的坐标分别为(2t ,1-t 2)，(2t ,-1-t 2)，∵圆C 的直径为MN ，且与y 轴相切，∴2t =1-t 2，∵t >0，∴t =55．(Ⅲ)由(Ⅱ)得ΔOMN 的面积S =12×2t ×21-t 2≤2×t 2+1-t 22=1，当且仅当t =1-t 2即t =22时，等号成立，故ΔOMN 的面积的最大值为1．24．(2021•绍兴期中)已知椭圆C 1:x 22+y 2=1和抛物线C 2:y 2=2px (p >0)，点F 为C 1的左焦点，点E 为C 2的焦点．(Ⅰ)过点F 的直线与C 2相切于点P ，若|PF |=5，求抛物线C 2的方程．(Ⅱ)过点E 的直线l 交C 2于P ，Q 两点，点M 满足OQ =-4OM (O 为坐标原点)，且点M 在线段x =-1-22<y <22 上．记ΔPQM 的面积为S 1，ΔEFP 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．【解答】解：(I )由题可知：F (-1,0)设直线l 的方程为：y =k (x +1)，联立y =k (x +1)y 2=2px 可得：k 2x 2+(2k 2-2p )x +k 2=0．则△=(2k 2-2p )2-4k 4=-8k 2p +4p 2=0，故p =2k 2且x p =-k 2-p k 2=1，即点P (1,±2p )．故|PF |=(1+1)2+2p =5，所以p =12，抛物线C 2的方程：y 2=x ．【其他方法也可：设点P (2pt 2，2pt )，则C 2在点P 处的切线方程为2pty =2p ∙2pt 2+x 2，即2ty =2pt 2+x ，由于该切线经过点F (-1,0)，故0=2pt 2-1，即t 2=12p，故P (1,±2p )，|PF |=(1+1)2+2p =5．】(II )设点Q y 022p ,y 0，直线PQ 方程为：x =p 2+ty ，联立x =p 2+ty y 2=2px可得：y 2-2pty -p 2=0．故y P +y Q =2pt ,y P y Q =-p 2，从而y P =-p 2y Q =-p 2y 0，又QO =4OM ，则x M =-14x Q =-y 028p =-1,y M =-14y Q =-14y 0，从而y 02=8p ，且-22<y M <22，则0<p <1，从而S 1=54S △OPQ =54×12×p 2×|y P -y Q |=516p -p 2y 0-y 0 =516p ∙p 2+8p |y 0|，S 2=12|FE |∙|y P |=12×p 2+1 ×-p 2y 0 =14(p +2)∙p 2|y 0|，由此可得S 1S 2=516p ∙p 2+8p |y 0|14(p +2)∙p 2|y 0|=54∙p +8p +2=541+6p +2 ∈154,5 ．。

椭圆压轴题三角形面积1. 任务背景在几何学中，椭圆是一种特殊的曲线，具有许多有趣的性质。

而椭圆压轴题则是指给定一个椭圆和一个点P，通过点P作直线与椭圆相交于A、B两点，再过点A、B分别作垂线于x轴交于C、D两点，则四边形ABCD构成一个压轴四边形。

本文将探讨如何通过已知椭圆的参数和点P的坐标，求解压轴四边形ABCD中的三角形面积。

2. 椭圆的参数表示椭圆可以用两个参数来表示：长半径a和短半径b。

根据定义，椭圆上每个点到两个焦点之距离之和等于常数2a。

我们可以使用以下方程来表示一个位于原点的椭圆：其中，a和b分别为长半径和短半径。

3. 点P的坐标表示点P的坐标可以用(x, y)表示。

我们需要通过点P作直线与椭圆相交，找到与椭圆相交的两个点A和B。

4. 求解压轴四边形ABCD4.1 求解与椭圆相交的两个点A和B为了求解与椭圆相交的两个点A和B，我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程。

解这个二次方程即可得到A和B的坐标。

设直线方程为y = kx + c，代入椭圆方程得：%5E2%7D%7Bb%5E2%7D+%3D+1)化简上述方程，得到一个关于x的二次方程：/a%5E2+(1/b%5E2))x%5E2+((2kc)/b%5E2)x+(c%5E2/b%5E2-1)=0)通过求解上述二次方程，我们可以得到两个根x1和x2。

将这两个根代入直线方程，即可求得对应的y1和y2。

这样，我们就得到了与椭圆相交的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。

4.2 求解垂线交点C和D已知A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过以下方式求解垂线交点C和D的坐标。

由于C和D分别位于x轴上，所以它们的y坐标为0。

我们可以通过直线斜率来求解垂线方程，然后将y坐标置为0求解x坐标。

设直线斜率为k’，则垂线方程为y = k’(x - x1) + y1。

将y置为0，即可求解出x坐标。

将x坐标代入直线方程，即可求解出对应的y坐标。

几何图形的面积计算方法一、平面几何图形的面积概念及计算方法1.面积的概念：面积是用来表示平面图形占据平面空间大小的量。

2.计算方法：（1）矩形的面积计算：矩形的面积等于长乘以宽。

（2）平行四边形的面积计算：平行四边形的面积等于底乘以高。

（3）三角形的面积计算：三角形的面积等于底乘以高除以2。

（4）梯形的面积计算：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。

（5）圆的面积计算：圆的面积等于π乘以半径的平方。

（6）扇形的面积计算：扇形的面积等于π乘以半径的平方乘以圆心角除以360°。

二、立体图形的体积及表面积计算方法1.体积的概念：体积是用来表示立体图形占据空间大小的量。

2.表面积的概念：表面积是用来表示立体图形各表面大小之和的量。

3.计算方法：（1）长方体的体积计算：长方体的体积等于长乘以宽乘以高。

（2）长方体的表面积计算：长方体的表面积等于（长乘以宽+长乘以高+宽乘以高）乘以2。

（3）正方体的体积计算：正方体的体积等于棱长的三次方。

（4）正方体的表面积计算：正方体的表面积等于棱长的平方乘以6。

（5）圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于π乘以底面半径的平方乘以高。

（6）圆柱体的表面积计算：圆柱体的表面积等于底面圆的周长乘以高加上底面圆的面积乘以2。

（7）圆锥体的体积计算：圆锥体的体积等于π乘以底面半径的平方乘以高除以3。

（8）圆锥体的表面积计算：圆锥体的表面积等于底面圆的周长乘以母线除以2加上底面圆的面积。

三、面积单位及换算1.面积单位：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）、公顷（hm²）、平方千米（km²）等。

2.面积单位换算：（1）1平方米（m²）=100平方分米（dm²）（2）1平方米（m²）=10000平方厘米（cm²）（3）1公顷（hm²）=10000平方米（m²）（4）1平方千米（km²）=100公顷（hm²）=1000000平方米（m²）四、面积的实际应用1.计算土地面积：如农田、住宅区、公园等。

椭圆形面积与周长怎么算想要了解椭圆形面积怎么算的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“椭圆形面积与周长怎么算”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！椭圆形面积怎么算面积公式S=π（圆周率）×a×b（其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）.或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式。

导数方法设椭圆x²/a²+y²/b²=1取第一象限内面积，有y²=b²-b²/a²*x²即y=√（b²-b²/a²*x²）=b/a*√（a²-x²）。

由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据（af（x））＇=a*f＇（x），且x=a时圆面积为a²π/4可得当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a²*π=abπ/4即S=abπ。

此方法比较容易理解。

椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4（a-b）椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

拓展阅读：椭圆的特征有哪些1、椭圆形两头比圆形长。

2、椭圆形的物体不能滚动。

3、椭圆形的边缘都是圆滑的，没有棱角。

4、椭圆形从圆心到边上转一圈不一样长。

5、当椭圆形沿着最长边的中心点滚动时，留下的轨迹是波浪形的。

椭圆形和圆形的区别1、圆形的原点到任意边缘之间距离都相等，椭圆形的原点到任意边缘之间距离不一定相等。

2、椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。

的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

3、在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

椭圆周长和面积的计算椭圆周长和面积的计算是数学中的经典问题。

椭圆是一种封闭的平面曲线，它在任何方向上的切线都与两个固定点（焦点）的距离之和相等。

椭圆的形状由其两个半轴决定：水平半轴（长轴的一半）和垂直半轴（短轴的一半）。

在这个问题中，我们将探讨如何计算椭圆的周长和面积。

首先，我们来看椭圆的面积计算。

椭圆的面积公式相对简单，可以直接使用以下公式：A = πab其中，A 表示椭圆的面积，a 表示椭圆的长半轴长度，b 表示椭圆的短半轴长度，π是圆周率（约等于3.14159）。

这个公式表明，椭圆的面积与其长半轴和短半轴的长度成正比。

接下来，我们来看椭圆的周长计算。

椭圆的周长计算相对复杂，因为椭圆周长没有一个简单的封闭形式。

然而，我们可以使用近似公式或数值方法来计算椭圆的周长。

其中一个常用的近似公式是Ramanujan的公式：C ≈π[(a + b) + (3(a - b)^2 / (10(a + b)))]其中，C 表示椭圆的周长，a 表示椭圆的长半轴长度，b 表示椭圆的短半轴长度，π是圆周率。

这个公式在实际应用中具有较高精度，特别是当椭圆接近于圆形时。

除了近似公式，我们还可以使用数值方法来计算椭圆的周长。

例如，我们可以将椭圆分割成许多小段，然后计算每一段的长度，最后将这些长度相加得到椭圆的周长。

这种方法的精度取决于分割的细度，分割得越细，计算结果越精确。

椭圆的面积和周长计算是数学中的基本问题。

椭圆的面积可以通过简单的公式直接计算，而椭圆的周长计算则需要使用近似公式或数值方法。

这些计算方法在实际应用中具有重要意义，例如在物理学、工程学和地理学等领域。

通过掌握这些计算方法，我们可以更好地理解和应用椭圆的性质，解决实际问题。

与椭圆有关的面积问题，侧重于考查椭圆的方程、定义、几何性质，三角形的面积公式，弦长公式，以及直线与椭圆的位置关系.而求解与椭圆有关的面积问题主要用到两种三角形的面积公式：（1）S =12ab ⋅sin θ；（2）S =12×底×高.在解题时，需要根据图形的形状来选择合适的公式进行求解.一、焦点三角形的面积问题若P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于长轴端点的点，F 1F 2为两个焦点，则ΔF 1PF 2称作焦点三角形．（1）若∠F 1PF 2=θ，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2①，由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2②.由①②可得：||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF F =12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ=b 2tan θ2.（2）若∠F 1PF 2=θ是未知或不可求的，则需先根据椭圆的定义求得||F 1F 2=2c ；然后将P 点的纵坐标的绝对值看作焦点三角形的高，根据公式S =12×底×高，求焦点三角形的面积.例1.已知P 为椭圆x 2a 2+y 264=1上的一点，F 1和F 2是椭圆的左右焦点.若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______.解：因为∠F 1PF 2=60°，即α=60°，b 2=64，由S △F 1PF 2=b 2tan α2知，△F 1PF 2的面积为6433.对于本题，由于∠F 1PF 2=60°，且椭圆的方程已知，所以可以直接运用焦点三角形面积公式S △F 1PF 2=b 2tanα2进行求解.例2.已知F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 2b2=1(0<b <3)的左右焦点，点P 在椭圆上，点I 为△PF 1F 2的内心，若PI =29PF 1+49 PF 2，则△PF 1F 2的面积为______.解：延长PI ，交x 轴于点Q ，设 PI =xPQ ，则 PI =x PQ =29 PF 1+49 PF 2，PQ =29x PF 1+49xPF 2，因此29x +49x =1，得x =23，因此 PI =23PQ ．设P ()x 0,y 0，y 0≠0，则△PF 1F 2内切圆的半径r =13||y 0．又S △P F 1F 2=12||F 1F 2||y 0=12r ()||PF 1+||PF 2+||F 1F 2,所以c ||y 0=r (a +c )=13(a +c )||y 0，即a =2c ．因为a =3，所以||PF 1+||PF 2=6，由 PQ =13 PF 1+23PF 2可得 PQ - PF 1=2() PF 2- PQ ，即 F 1Q =2 QF 2，所以||F 1Q =2||F 2Q ，由角平分线的性质可得||PF 1=2||PF 2，因此||PF 1=2||PF 2=4，||F 1F 2=3，由余弦定理得cos∠F 1PF 2=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=1116，因此sin∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=31516，所以S △PF F =12||PF 1⋅||PF 2⋅sin∠F 1PF 2=3154，故△PF 1F 2的面积为3154．本题较为复杂，需先根据三角形内心的性质以及角平分线的性质得出a 、c 的值；然后利用椭圆的定义、余弦定理求得||PF 1⋅||PF 2以及sin∠F 1PF 2，即可根据三角形的面积公式S =12ab ⋅sin θ求得问题的答案.二、非焦点三角形的面积问题非焦点三角形的面积问题往往可以通过分割，将转化为三角形的面积问题.主要有两种情形：（1）若三角形的一个顶点在坐标轴上，则可用该坐标轴将三角形分为两部分，分别将该坐标轴上的线段看作两个三角形的底边，另外两个定点的横（纵）坐标的绝对值看作高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积；（2）若三角形的三个顶点均不在坐标轴上，需先求出三角形一条边AB 所在直线的方程；然后根据点到直线的距离公式求得另一个顶点到AB 的距离d ，则三角形的面积为S =12×||AB×d .例3.如图1，已知椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的离心率左右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，坐标原点O 到考点透视38直线AD 的距离为255.（1）求椭圆的方程；（2）过A 点作两条互相垂直的直线AP ，AQ ，分别与椭圆交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值.解：（1）椭圆的方程为x 24+y 2=1.（过程略）（2）设PQ 的直线方程为x =ty +m ，P ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，联立方程得ìíîx =ty +m ,x 2+4y 2-4=0,得()t 2+4y 2+2mty +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2mt t 2+4，y 1y 2=m 2-4t 2+4，因为AP ⊥AQ ，则A ()-2,0，所以()x 1+2()x 2+2+y 1y 2=0，得x 1x 2+2()x 1+x 2+4+y 1y 2=0，即()t 2+1y 1y 2+()mt +2t ()y 1+y 2+(m +2)2=0.所以()t 2+1⋅m 2-4t 2+4+()mt +2t ⋅-2mt t 2+4+(m +2)2=0.整理得5m 2+16m +12=0，解得m =-65或m =-2（舍去），故y 1+y 2=12t 5()t 2+4，y 1y 2=-6425()t 2+4，则S △BPQ =12⋅()2+65||y 1-y 253225令25t 2+64=u ()u ≥8，则S △BPQ =3225⋅u u 2-6425+4=32u +36u ≤328+368=6425,此时△BPQ 最大值为6425.我们需先将直线与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理求得y 1+y 2、y 1y 2的表达式；然后用x轴将△BPQ 拆分为两部分，以x 轴上的线段为底边，P 、Q的纵坐标的绝对值为高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积.图1图2例4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，（1）求椭圆C 的方程；（2）如图2，过点P (-2,1)的直线与椭圆C 交于不同的两点D ,E ，点D 在第二象限，直线AD ,AE 分别与x 轴交于M ,N ，求四边形DMEN 面积的最大值．解：（1）椭圆方程为x 24+y 2=1；（过程略）（2）由题意可知直线DE 的斜率存在，设直线DE 的方程为y -1=k (x +2)，k <0，D ()x 1,y 1,x 1<0,y 1>0，则E ()x 2,y 2,y 2<y 1，y 1=kx 1+2k +1，y 2=kx 2+2k +1，联立方程得ìíîy =kx +2k +1,x 2+4y 2-4=0,可得()1+4k 2x 2+8k (2k +1)x +16k 2+16k =0，需满足Δ>0，可得x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2，x 1⋅x 2=16k (k +1)1+4k 2，又l AD :y =y 1-1x 1x +1，则x M =x 11-y 1，同理可得x N =x 21-y 2，故S DMEN =12||x N -x M ×()y 1-y 2=12||||||||x 21-y 2-x 11-y 1×()y1-y 2=16k 2(2k +1)2-16k (k +1)()4k 2+14k 2+1=-164k +1k=16-4k +()-1k≤1624=4，当且仅当-4k =()-1k ，即k =-12时等号成立，故四边形DMEN 面积的最大值为4.对于四边形面积问题，通常可将四边形合理拆分为两个易于求面积的三角形.对于本题，我们将四边形DMEN 拆分为三角形NMD 与三角形MNE ，并以MN 为底，D 、E 两点的纵坐标的绝对值为高线长，即可运用S =12×底×高求三角形的面积.由此可见，求解与椭圆有关的面积问题，关键是根据图形的形状，选择合适的三角形面积公式，并利用弦长公式、点到直线的距离公式、韦达定理、余弦定理求三角形的边长、底边长、高线长、夹角.（作者单位：贵州省遵义市绥阳中学）考点透视39。

今天我们研究椭圆中的面积问题。

直线和椭圆相交，围成的平面图形种类很多，尤其以三角形最为常见，三角形面积的计算是重点，其他平面图形的面积可以转化为三角形面积的计算。

直线和椭圆相交时联立方程，利用弦长公式，或者点线距公式，结合韦达定理解决问题。

先看例题：例：已知椭圆2212xy+=的左右焦点分别为12,F F，若过点P(0，-2)及1F的直线交椭圆于A,B两点，求2ABF的面积解法一：由已知，直线过P、F1两点，则直线ABl方程为：022=++yx联立直线与椭圆方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222yxxy可得061692=++xx，又92101212=-+=xxkAB12又三角形的高为2F 到直线AB 的距离，由点线距得：554=h 910421==∴∆h AB S归纳整理：直线与椭圆两交点与原点形成的三角形面积求法： （1）一般情形，弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距 （2）特殊情形，过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- （3）特殊情形，过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=-再看一个例题，加深印象例：过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________.解：由已知椭圆，右焦点坐标为(1,0),故直线AB :y =2(x －1)，与椭圆联立. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),3可得2132802y y y +-=⇒=-,243y =利用1211||2S y y =⨯⨯-,求得：53s =.注意：学会分解三角形面积，有时可以转化问题，回避求弦长等复杂计算。

总结：1.根据直线和椭圆的位置关系，如果弦任意，选择公式12S ∆=弦长×点线距。

椭圆的内接四边形面积最值问题一例一、教学目标：1、 在学生原有的认知基础上进一步理解椭圆定义、标准方程和几何性质。

2、 椭圆中最值问题产生原因（ “动因”）如何分析3、 能从代数和几何两个角度分析和解决椭圆最值问题，掌握解决最值问题的基本策略。

4、 掌握求椭圆最值问题的一般方法，在问题的提出、建模、解模的过程中形成方法体系。

重点：会求椭圆的最值问题难点：参数的引入、建模过程、解模的方法二、例题：椭圆方程为 ，其上顶点为A ，右顶点为B ，现过原点作直线EF 分别交椭圆于E,F （其中E 在第一象限），求四边形AEBF 面积的最大值。

（一）问题分析：问题（1）：我们能从题目中得到哪些信息？（顶点坐标、焦点位置、E 位置，目标求四边形面积的最大值）问题（2）：哪些是定量、哪些是变量？问题（3）：求不规则四边形面积有哪些常见方法？22134x y +=问题（4）：怎样分割这个四边形，这样分割的好处是什么？问题（5）：怎样表示出要求的目标函数AEBF的面积？选取什么变量来表示？问题（6）：提出问题，怎样想到用这些变元来建立目标函数？问题（7）：由E、F的对称性，当直线EF转动过程中，你能发现什么？（二）解决问题：分小组尝试不同分割方法、设元方法解决问题（三）归纳总结、思维拓展：（四）探究的几何意义？（五）退化与推广请同学们思考下面两个问题：退化：一半径为R 的圆222x y R +=上两点(0,),(,0)A R B R ，直线EF 过原点与圆交于E,F 两点，其中E 在第一象限，求四边形面积最大值。

（六）推广：已知椭圆C ： 上两点(0,),(,0)A a B b 过椭圆中心O 的直线与椭圆C 交于E 、F 两点，其中点E 在第一象限，求四边形AEBF 面积的最大值。

o o S=2x 22221(0)by x a b a +=>>变式探究： A,B 分别是右顶点上顶点，过原点O 的直线与椭圆交与E,F 两点（E 在第一象限）设三角形AEB 面积1S ,三角形AFB 面积为2S ，求12S S 的最大值？思考：（12S S 是否也有最大值）（七）课堂小结、能力升华 22221(0)b x y a b a +=>>。

椭圆中中心三角形面积的探究
1.什么叫中心三角形？
例1.椭圆22:184
x y Γ+=与直线:L y
例2. 椭圆22:184
x y Γ+=与直线:23L y x =+交于A,B 两点，求ABO ∆的面积。

例3. 椭圆22:184
x y Γ+=与过点(0,3)P 的直线L 交于A,B 两点，当ABO ∆的面积最大时，求直线L 的方程。

例4. 椭圆:184
Γ+=与斜率为1（1K =）直线L 交于A,B 两点，当ABO ∆的面积最大时，求直线L 的方程。

例5. 椭圆22:184
x y Γ+=与直线L 交于A,B 两点，当ABO ∆的面积最大时，求直线L 的方程。

例6. 椭圆22:1a b
Γ+=与直线:L y kx b =+交于A,B 两点，求ABO ∆的面积最大值，直线L 的方程。

讨论：面积最大值与椭圆有什么联系？直线有什么特征？
2019年文科一轮复习资料变式题
2018年江苏高考真题。

2019年成都七中11月中期考试试题。