2017年高考真题分类汇编(理数)专题5解析几何(解析版)

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何13、（2017·天津）设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．14、（2017•北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．15、（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足= ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．16、（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．17、（2017•浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．18、（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．19、（2017•新课标Ⅰ卷）已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．20、（2017•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为：= ．故选：B．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．2、【答案】B【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，可得，即，可得= ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：B．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．3、【答案】B【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则=1，c=4，则a=b=2 ，∴双曲线的标准方程：；故选B．【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．4、【答案】A【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|= •|y1﹣y2|= ×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，故选：A【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．5、【答案】A【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：= ，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．6、【答案】A【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e= = = ．故选：A．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．二、填空题7、【答案】2【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．8、【答案】[-5 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0， y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0+6y0+30≤0，即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5 ，1]．【分析】根据题意，设P（x0， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．9、【答案】2【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2 ．故答案为：2 ．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．10、【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ，可得：= ，即，可得离心率为：e= ．故答案为：．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．11、【答案】6【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．12、【答案】y=±x【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= ，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴= ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．三、解答题13、【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x= ，故D（，0）．∴|AD|=1﹣= ．又∵△APD的面积为，∴×= ，整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．14、【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p= ，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1， y1），N（x2， y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，由题意知A（x1， x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，∴x1+x2= ，x1x2=∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =∴A为线段BM的中点．【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2.）设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1， y1），N（x2， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．15、【答案】解：（Ⅰ）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0），设P（x，y），由点P满足= ．可得（x﹣x0， y）= （0，y0），可得x﹣x0=0，y= y0，即有x0=x，y0= ，代入椭圆方程+y2=1，可得+ =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，解得m= ，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF= ，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a= ，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），联立，得．由题意得△= ＞0．，．∴|AB|= ．由题意可知圆M的半径r为r= ．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|= ．由题意可知，sin = ．而= ．令t= ，则t＞1，∈（0，1），因此，= ≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．17、【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP= =x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣x+ + ，联立直线AP、BP方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|= •= + =（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜﹣时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）= ，即|PA|•|PQ|的最大值为．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．18、【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 =，则直线l 2的斜率k 2=﹣ ，直线l 2的方程y=﹣ （x ﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l 2的斜率k 2=﹣ ，直线l 2的方程y=﹣（x+1），联立 ，解得： ，则Q （﹣x 0 ， ），由Q 在椭圆上，则y 0= ，则y 02=x 02﹣1，则 ，解得： ，则 ，∴P （ ， ）或P （﹣ ， ）或P （ ，﹣ ）或P （﹣ ，﹣ ）．【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± ，则2×=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标；19、【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴= = =﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1， y1），B（x2， y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2= ，则= == = =﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．20、【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1， y1），B（x2， y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨= = ，∴圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2= ．当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．。

专题05 解析几何-2017年高考数学（文）试题分项版解析1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B 【解析】试题分析：e ==，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan603ab ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a bba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 学#科网 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值，8.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，学 科&网准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++= 【解析】【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.9.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2 【解析】试题分析：221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = . 【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，根据离心率的公式计算.10.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．11.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=± ，结合题意可得：5a =.学%科网【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3.双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.12.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.13.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m +，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．学&科网 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，（2）证明直线过定点问题，一般方法以算代证：即证，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，根据条件1OP PQ ⋅=可得2231m m tn n --+-=，而，代入即得330m tn +-=.（2）由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则，.由得2231m m tn n --+-=，又由（1）知，故330m tn +-=.所以，即.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值. 【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．学科#网17.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】(Ⅰ)22142x y +=;(Ⅱ)EDF ∠的最小值为π2. 【解析】222(21)4240k x kx m +++-=,确定222(,)2121km m D k k -++,DN =所以2sin 2ON FDN DN∠==≥,由此可得FDN ∠的最小值为π,4EDF ∠的最小值为π2.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*）且122421kmx x k +=+ ，因此122221my y k +=+ ，所以222(,)2121km mD k k -++ ， 又(0,)N m - ， 所以222222()()2121km mND m k k =-++++ 整理得：2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ，因为NF m =所以2422222224(31)831(21)(21)NDk k k k k NF+++==+++ 令283,3t k t =+≥故21214t k ++=所以222161611(1)2ND t t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+ ，所以211y t '=- . 当3t ≥时，0y '>,设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF NDθ=≥， 所以θ得最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率时0. 综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为3π.学科%网 【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．18.【2017天津，文20】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）12 （Ⅱ）（ⅰ）34 （ⅱ）2211612x y += 【解析】试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b ac =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=.又因为01e <<，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m. 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大，19.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM 的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知2,c a a ==，以及222b a c =- ，求得椭圆方程；（Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示直线BN 的方程，并求两条直线的交点，根据1212EBDEBDNN BD y S S BD y ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ，根据坐标表示面积比值. 试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>.由题意得2,a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5. 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 学科*网20.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）()77（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>.(第17题)当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -.又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00,77x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.21.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为21-x ，由1322x -<<，得AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．学*科网解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|P A |=1)2x +=)1(12++k k |PQ |=1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|P A ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．。

2017高考真题分类汇编：解析几何1.【2017浙江 2】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）（A （B （C ）23 （D ）52.【2017课标I 5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF ∆的面积为（ ）（A ）1 （B ）12 （C ）2 （D ）323.【2017课标II 5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）（A ）)+∞ （B ）) （C ）( （D ）()1,24.【2017天津 5】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -= 5.【2017课标III 11】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．136.【2017课标II 12】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ）（A （B ） （C ） （D ）7.【2017课标I 12】设,A B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）（A ）(][)0,19,+∞ （B ）([)9,+∞ （C ）(][)0,14,+∞ （D ）([)4,+∞8.【2017江苏 8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是__________。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =（A ）（1,2） （B ）(1,2] （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】试题分析：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<，选D.【考点】 1.集合的运算；2.函数的定义域；3.简单不等式的解法【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.（2）已知a ∈R ,i 是虚数单位.若4z a z z =⋅=，则a =（A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】试题分析：由4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 【考点】1.复数的概念；2.复数的运算【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的值. （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）⌝∧p q （C ）⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【考点】常用逻辑用语【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.（4）已知x,y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】试题分析：约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，选C.【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】试题分析：由已知得22.5,160,x y ==则160422.570,a =-⨯=当24x =时，ˆ42470y=⨯+166=,选C. 【考点】线性相关与线性回归方程的求解与应用【名师点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 的公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．（6）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要理解程序框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景． （7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】试题分析：因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质；2.基本不等式【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．学/科网则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题. （9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】试题分析：由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式；2.正弦定理【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】试题分析：()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r rr n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =． 【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 .【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角；3.单位向量 【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于λ的方程求解. （13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】π22+【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.【考点】1.三视图；2.几何体的体积【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x =【考点】1.双曲线的几何性质；2.抛物线的定义及其几何性质【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理． （15）若函数e ()xf x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④【解析】试题分析：①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3e ()e xxf x x =⋅，令3()e xg x x =⋅，则322()e 3e e (3)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题；2.利用导数研究函数的单调性 【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围的问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）最小值为32-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =π)3x ω=-. 由题设知()06f π=及03ω<<可得ω.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-，从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求()g x 的最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-.所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【考点】1.两角和与差的三角函数；2.三角函数图象的变换与性质【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽略设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. （17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用AP BE ⊥，AB BE ⊥，证得BE ⊥平面ABP ， 利用BP ⊂平面ABP ，得到BE BP ⊥，结合120EBC ∠=︒可得CBP ∠. （Ⅱ）两种思路，一是几何法，二是空间向量方法，其中思路一： 取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 得四边形BEHC 为菱形，得到AE GE AC GC ====取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 得到EM AG ⊥，CM AG ⊥， 从而EMC ∠为所求二面角的平面角. 根据相关数据即得所求的角. 思路二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面AEG 的一个法向量111(,,)m x y z =，平面ACG 的一个法向量222(,,)n x y z =，计算1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅即得二面角E AG C --的大小.试题解析：（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，ABAP A =，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE GE AC GC ====取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以EM CM ==在BEC △中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以EC =EMC △为等边三角形， 故所求的角为60︒.解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，(1G ，(1C -，故(2,0,3)AE =-，(1AG =，(2,0,3)CG =，所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅.因此所求的角为60︒.【考点】1.垂直关系；2. 空间角的计算【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. （18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5.(II)X 的分布列为 X 的数学期望是2EX =.【解析】试题分析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，计算即得()P M ；(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.利用超几何分布的概率计算公式得X 的分布列，进一步计算X 的数学期望.试题解析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型；2.随机变量的分布列与数学期望；3.超几何分布【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等. （19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】试题分析：(I)依题意布列关于1x 和公比q 的方程组求解. （II ）利用梯形的面积公式，记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ，求得12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 应用错位相减法计算得到(21)21.2n n n T -⨯+=试题解析：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >. 由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=， 因为0q >,所以12,1q x ==， 因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.错位相减法求和【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.（20）（本小题满分13分）已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)x g x x x x =-+-，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）见解析试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <，(1)当0a ≤时，x e a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--，由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x .①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >，所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增.所以 当0x =时()h x 取到极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取到极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、极值；3.分类讨论思想【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或复杂式子变形能力差.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为1k =试题解析：（I ）由题意知 c e a ==，22c =，所以 1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且()12122111221x x x x k +=-+， 所以121AB x =-.由题意可知圆M 的半径r为1r =由题设知12k k =所以21k =， 因此直线OC的方程为1y =.联立方程2211,2,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2221221181,1414k x y k k ==++， 因此OC ==由题意可知 1sin 21SOT r OC r OC r∠==++，而1OCr == 令2112t k =+， 则()11,0,1t t>∈， 因此1OCr ===≥，学科网 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =， 所以 1sin 22SOT ∠≤， 因此26SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为π3. 综上所述：SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为1k =. 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程得到的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题及解决问题的能力等.。

2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)D2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C ab-，（0a >，b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【答案】23【解析】如图，OA a=，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴3AP ，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=223234b a a b =-，解得223ab =∴22123113b e a ++=3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，331P ⎛- ⎝⎭，，431P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b =∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():AAl x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x yB x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k xkbx b +++-=122814kbx x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P AP By y kk x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN .【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y xy +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x ya b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a = A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．()A O DxyB PCE∴BD∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴0112xμθ==+，01yλθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤(其中sinϕ=，cosϕ)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52pD ⎛- ⎝，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=，A 坐标()1,0-，如图，BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>F4 3 2 112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++根据椭圆定义为一个椭圆，方程为22143+=，(0y≠)；⑵221:143x yC+=；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--，联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++，())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C）3（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________. 【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． 【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的 取值范围是（A)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- (D) 2323(,)33- 答案：A解析：由条件知F 1(－，0)，F 2(，0)，＝(－－x 0，－y 0)，＝(－x 0，－y 0)， －3＜0.① 又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y 0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为答案：+y 2＝解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a ，0)(a ＞0)，所以＝4－a ，解得a ＝，故圆心为，此时半径r ＝4－，因此该圆的标准方程是+y 2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于,M N 两点。

2017高考数学真题解析与点评汇编目录2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I理科） (2)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I文科） (27)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II理科） (47)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II文科） (73)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标III理科） (92)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标III文科） (116)2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理科） (134)2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科） (152)2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷理科） (168)2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷文科） (193)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理科） (214)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷文科） (232)2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） (254)2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） (272)1 / 296绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I理科）【试卷点评】2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，2 / 2963 / 296比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】4 / 296试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B5 / 2964．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ×=+=+=，联立112724,61548a d a d +=+= 解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +−+=−=，即5328a a d −==，解得4d =，故选C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)−∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =−，则满足21()1x f −−≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]−B ．[1,1]−C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】6 / 296试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π67 / 2968 / 296个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+−=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D.【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=−=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A9 / 2962222||sin cos ()2p pDE παα==−，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x yz ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D10 / 29612．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k −则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++ =+++++++=−−要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k + 的部分和，即1212221t t k −+=+++=− ， 所以2314t k =−≥，则5t ≥，此时52329k =−=， 对应满足的最小条件为293054402N×=+=，故选A.【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，学*科网本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤+≥− −≤，则32z x y =−的最小值为 .【答案】5−15．已知双曲线C：22221x ya b−=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若�MAN=60°，则C的离心率为________.12 / 296【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，�DBC，�ECA，�FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起�DBC，�ECA，�FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当�ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.14 / 296【答案】【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（12分）�ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知�ABC的面积为23sin aA（1）求sin B sin C;（2）若6cos B cos C=1，a=3，求�ABC的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或16 / 296周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面PAB �平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ，所以二面角A PB C −−的余弦值为【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转18 / 296化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N µσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)µσµσ−+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)µσµσ−+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（�）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （�）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． 用样本平均数x 作为µ的估计值ˆµ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)µσµσ−+之外的数据，用剩下的数据估计µ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N µσ，则(33)0.997 4P Z µσµσ−<<+=， 160.997 40.959 2=0.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)µσµσ−+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)µσµσ−+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=−==−=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =×=.20.（12分）已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.20 / 296（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，，（t，.则121k k +=−，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++−=由题设可知22=16(41)0k m ∆−+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k −+，x 1x 2=224441m k −+.而12121211y y k k x x −−+=+ 121211kx m kx m x x +−+−+1212122(1)()kx x m x x x x +−+=.22 / 296由题设121k k +=−，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++−+=. 即222448(21)(1)04141m kmk m k k −−+⋅+−⋅=++. 解得12m k +=−.当且仅当1m >−时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=−+，即11(2)2m y x ++=−−，所以l 过定点（2，1−）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+−−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.24 / 296（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ==（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+=−（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +−−=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为d =对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】26 / 296试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x −+++−−≤，对x 按1x <−，11x −≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈−时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]−，2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I文科）【试卷点评】【命题特点】2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题及解答题方面难度有所降低．在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题．试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如第2、4、9、12、19题．1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型．2.关注通性通法．试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求．3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神．如第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；第9题对函数与方程思想的考查．4.体现了创新性，如第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力．【命题趋势】1.函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如第9题；对函数图像的考查，如第8题；对含参单调性以及零点问题的考查，如21题，比较常规．2.三角函数与解三角形知识：对三角恒等变换的考查，如第15题；对解三角形问题的考查，如第11题．重视对基础知识与运算能力的考查．3.数列知识：对数列通项公式的考查，如17题．整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点．4.立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如文科第6题，理科第7题，试题难度不大，比较常规；第16题，简单几何体的外接球问题，难度一般．立体几何解答题的考查较常规．5.解析几何知识：对圆锥曲线简单性质的考查，如文科第5题，文科第10题；对圆锥曲线综合知识的考查，如第12题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查．28 / 2966.选做题知识：极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系，考查较为稳定；不等式选讲仍然考查关于绝对值不等式的应用，解不等式，求参数范围问题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x −>，则 A ．A B =3|2x x<B ．A B =∅C ．A B 3|2x x<D ．A B=R【答案】A2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平；方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 4【答案】B 【解析】试题分析：不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228a a ππ××=，选B ． 【考点】几何概型【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度30 / 296量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．5．已知F 是双曲线C ：1322=−y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．7．设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤−≥≥则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D32 / 2968．函数sin21cos xy x=−的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+−，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x −=−+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x −=−=−−（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ． 【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=−，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x −=−+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 10．如图是为了求出满足321000n n −>的最小偶数n ，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +−=，34 / 296a =2，c，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】试题分析：由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++−=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++−=，即sin (sin cos )sin()04C A A C A π+=+=，所以34A π=． 由正弦定理sin sin a c A C =得23sin 4π=1sin 2C =，得6C π=，故选B ． 【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D．[4,)+∞【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 【答案】7 【解析】试题分析：由题得(1,3)a b m +−，因为()0a b a +⋅= ，所以(1)230m −−+×=，解得7m =【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+36 / 29615．已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α−=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα= 又22sin cos 1αα+= 所以21cos 5α= 因为(0,)2πα∈所以cos αα= 因为cos()cos cossin sin444πππααα−=+所以cos()4πα−==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，学&科网求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）。

2017年全国各地高考数学分类汇编7-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√332. 过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )A. √5B. 2√2C. 2√3D. 3√33. 若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是( )A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为√2．若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. x24−y24=1 B. x28−y28=1 C. x24−y28=1 D. x28−y24=15. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. √63B. √33C. √23D. 136. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. √63B. √33C. √22D. 137. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为( )A. x28−y210=1 B. x24−y25=1 C. x25−y24=1 D. x24−y23=18. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线方程为( )A. x24−y212=1 B. x212−y24=1 C. x23−y2=1 D. x2−y23=19. 已知F是双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)．则△APF的面积为( )A. 13B. 12C. 23D. 3210. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则∣AB∣+∣DE∣的最小值为( )A. 16B. 14C. 12D. 1011. 椭圆x 29+y 24=1 的离心率是 ( )A. √133B. √53C. 23D. 5912. 设 A ，B 是椭圆 C:x 23+y 2m =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，则 m 的取值范围是 ( ) A. (0,1]∪(9,+∞) B. (0,√3]∪[9,+∞)C. (0,1]∪[4,+∞)D. (0,√3]∪[4,+∞)二、填空题（共11小题；共55分）13. 在平面直角坐标系 xOy 中，A (−12,0)，B (0,6)，点 P 在圆 O:x 2+y 2=50 上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ．14. 设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 ∠FAC =120∘，则圆的方程为 ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x 23−y 2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，Q ，其焦点是 F 1，F 2，则四边形 F 1PF 2Q 的面积是 ． 16. 双曲线x 2a2−y 29=1(a >0) 的一条渐近线方程为 y =35x ，则 a = ．17. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B i 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1,2,3． （1）记 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 ．（2）记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 1，p 2，p 3 中最大的是 ．18. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，N 两点，若 ∠MAN =60∘，则 C 的离心率为 ． 19. 若双曲线 x 2−y 2m=1 的离心率为 √3，则实数 m = ．20. 已知 F 是抛物线 C ：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN的中点，则 ∣FN ∣= ．21. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2=2py (p >0) 交于 A ，B 两点，若 ∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，则该双曲线的渐近线方程为 ．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2=2py (p >0) 交于 A ，B 两点，若 ∣AF ∣+∣BF ∣=4∣OF ∣，则该双曲线的渐近线方程为 ．23. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上，点 A 的坐标为 (−2,0)，O 为原点，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ．三、解答题（共17小题；共221分）24. 在直角坐标系中 xOy ，曲线 y =x 2+mx −2 与 x 轴交于 A ，B 两点，点 C 的坐标为 (0,1)，当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC ⊥BC 的情况?说明理由； （2）证明过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．25. 已知抛物线 C:y 2=2px 过点 P (1,1)．过点 (0,12) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M ，N ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP ，ON 交于点 A ，B ，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点．26. 设 A ，B 为曲线 C ：y =x 24上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4．（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥BM ，求直线 AB 的方程．27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F 1 作直线 PF 1 的垂线 l 1，过点 F 2 作直线 PF 2 的垂线 l 2．（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 l 2，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．28. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ∣OM ∣⋅∣OP ∣=16%,，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,π3)，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．29. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ∣OM∣⋅∣OP∣=16，求点 P 的轨迹 C 2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,π3)，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．30. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 {x =−8+t,y =t 2（t 为参数），曲线 C 的参数方程为 {x =2s 2,y =2√2s （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值．31. 已知矩阵 A =[0110]，B =[1002]．（1）求 AB ；（2）若曲线 C 1:x 28+y 22=1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C 2，求 C 2 的方程．32. 已知抛物线 C ：y 2=2x ，过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A ，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P (4,−2)，求直线 l 与圆 M 的方程．33. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为 12．已知 A 是抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设 l 上两点 P ，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （B 异于 A ），直线 BQ 与 x轴相交于点 D ．若 △APD 的面积为 √62，求直线 AP 的方程．34. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，椭圆 C 截直线y =1 所得线段的长度为 2√2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线 l:y =kx +m (m ≠0) 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于点 M%.．点 N 是 M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为 ∣NO ∣．设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与 ⊙N 分别相切于点 E ，F%,，求 ∠EDF 的最小值．35. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F (−c,0)，右顶点为 A ，点 E 的坐标为 (0,c )，△EFA 的面积为 b 22．（1）求椭圆的离心率；（2）设点 Q 在线段 AE 上，∣FQ ∣=32c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ，N 在 x 轴上，PM ∥QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，四边形 PQNM 的面积为 3c ． （i ）求直线 FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．36. 如图，已知抛物线 x 2=y ，点 A (−12,14)，B (32,94)，抛物线上的点 P (x,y )(−12<x <32)，过点 B作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．（1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣ 的最大值．37. 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (−2,0)，B (2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 √32．（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ，N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证：△BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5．38. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C:x 22+y 2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x =−3 上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F ．39. 已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，四点 P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 中恰有三点在椭圆 C 上． （1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点，若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 −1，证明：l 过定点．40. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，焦距为 2． （1）求椭圆 E 的方程．（2）如图，该直线 l:y =k 1x −√32 交椭圆 E 于 A ，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点，直线 OC 的斜率为 k 2，且看 k 1k 2=√24，M 是线段 OC 延长线上一点，且 ∣MC ∣:∣AB ∣=2:3，⊙M 的半径为 ∣MC ∣，OS ，OT 是 ⊙M 的两条切线，切点分别为 S ，T ，求 ∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．答案第一部分 1. A【解析】双曲线 C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线为：bx +ay =0，圆 (x −2)2+y 2=4 的圆心 (2,0)，半径为 2，双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线被圆 (x −2)2+y 2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=√3=√a 2+b 2， 解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得 e 2=4，即 e =2． 2. C【解析】抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F (1,0)，且斜率为 √3 的直线：y =√3(x −1)，过抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F ，且斜率为 √3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方）， 可知：{y 2=4x,y =√3(x −1),解得 M(3,2√3)． 由 l 为抛物线的准线，点 N 在 l 上，且 MN 垂直于 l ，可得 N(−1,2√3)，NF 的方程为：y =−√3(x −1)，即 √3x +y −√3=0， 则 M 到直线 NF 的距离为：√3+2√3−√3∣√3+1=2√3．3. C4. B【解析】设双曲线的左焦点 F (−c,0)，离心率 e =ca =√2，c =√2a ，则双曲线为等轴双曲线，即 a =b ，双曲线的渐近线方程为 y =±ba x =±x ，则经过 F 和 P (0,4) 两点的直线的斜率 k =4−00+c=4c ，则 4c=1，c =4，则 a =b =2√2， 所以双曲线的标准方程：x 28−y 28=1．5. A【解析】以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线 bx −ay +2ab =0 相切， √a 2+b 2=a ，化为：a 2=3b 2． 所以椭圆 C 的离心率 e =ca=√1−b 2a 2=√63． 6. A【解析】以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线 bx −ay +2ab =0 相切，√a 2+b 2=a ，化为：a 2=3b 2． 所以椭圆 C 的离心率 e =ca=√1−b 2a 2=√63． 7. B8. D【解析】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点）， 可得 c =2，ba =√3，即b 2a 2=3，c 2−a 2a 2=3，解得 a =1，b =√3，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为：x 2−y 23=1．9. D10. A【解析】如图，l 1⊥l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点， 要使 ∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，则 A 与 D ，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l 2 过点 (1,0)，则直线 l 2 的方程为 y =x −1，联立方程组 {y 2=4x,y =x −1, 则 y 2−4y −4=0， 所以 y 1+y 2=4，y 1y 2=−4所以 ∣DE ∣=√1+1k2⋅∣y 1−y 2∣=√2×√32=8，所以 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 2∣DE ∣=16．方法二：设直线 l 1 的倾斜角为 θ，则 l 2 的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得 ∣AB ∣=2p sin 2θ=4sin 2θ， ∣DE ∣=2p sin 2(π2−θ)=2p cos 2θ=4cos 2θ．所以 ∣AB ∣+DE ∣=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ． 因为：0<sin 22θ≤1，所以当 θ=45∘ 时，∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，最小值为 16．11. B 12. A 【解析】假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0<m <3 时， 假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，∠AMB ≥120∘，∠AMO ≥60∘，tan∠AMO =√3√m≥tan60∘=√3， 解得：0<m ≤1．当椭圆的焦点在 y 轴上时，m >3，假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，∠AMB ≥120∘，∠AMO ≥60∘，tan∠AMO =√m√3≥tan60∘=√3，解得：m ≥9，所以 m 的取值范围是 (0,1]∪[9,+∞)． 第二部分 13. [−5√2,1]【解析】根据题意，设 P (x 0,y 0)，则有 x 02+y 02=50，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x 0,−y 0)⋅(−x 0,6−y 0)=(12+x 0)x 0−y 0(6−y 0)=12x 0+6y +x 02+y 02≤20,化为：12x 0−6y 0+30≤0，即 2x 0−y 0+5≤0，表示直线 2x −y +5≤0 以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=50,2x 0−y 0+5=0,解可得 x 0=−5 或 x 0=1， 结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x 0 的取值范围是 [−5√2,1]．14. (x +1)2+(y −√3)2=1 15. 2√3 16. 5 17. Q 1；p 2【解析】（1）若 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1=A 1的纵坐标+B 1的纵坐标 ； Q 2=A 2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3=A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 Q 1；（2）若 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p i 为 A i B i 中点与原点连线的斜率，故 p 1，p 2，p 3 中最大的是 p 2．18. 2√33【解析】双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60∘，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30∘=√32b，可得：√a2+b2=√32b，即ac=√32，可得离心率为：e=2√33．19. 220. 6【解析】抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，点M为FN 的中点，可知M的横坐标为1，则M的纵坐标为±2√2，∣FN∣=2∣FM∣=2√(1−2)2+(±2√2−0)2=6．21. y=±√22x【解析】把x2=2py(p>0)代入双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得：a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2，因为∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，所以y A+y B+2×p2=4×p2，所以2pb2a2=p，所以ba =√22，所以该双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．22. y=±√22x【解析】把x2=2py(p>0)代入双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得：a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2，因为∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，所以y A+y B+2×p2=4×p2，所以2pb2a2=p，所以ba =√22．所以该双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．23. 6第三部分24. （1）曲线y=x2+mx−2与x轴交于A，B两点，可设 A (x 1,0)，B (x 2,0)，则 x 1，x 2 是方程 x 2+mx −2=0 的两根，有 Δ>0， 由韦达定理可得 x 1x 2=−2， 若 AC ⊥BC ，则 k AC ⋅k BC =−1， 即有 1−00−x 1⋅1−00−x 2=−1，即为 x 1x 2=−1 这与 x 1x 2=−2 矛盾， 故不出现 AC ⊥BC 的情况．（2） 设过 A ，B ，C 三点的圆的方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)， 由题意可得 y =0 时，x 2+Dx +F =0 与 x 2+mx −2=0 等价． 可得 D =m ，F =−2，圆的方程即为 x 2+y 2+mx +Ey −2=0，由圆过 C (0,1)，可得 0+1+0+E −2=0，可得 E =1， 则圆的方程即为 x 2+y 2+mx +y −2=0， 再令 x =0，可得 y 2+y −2=0， 解得 y =1或−2．即有圆与 y 轴的交点为 (0,1)，(0,−2)，则过 A ，B ，C 三点的圆在 x 轴上截得的弦长为 1−(−2)=3，所以过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3．25. （1） 因为 y 2=2px 过点 P (1,1)， 所以 1=2p ， 解得 p =12，所以抛物线方程为 y 2=x ，所以焦点坐标为 (14,0)，准线为 x =−14．（2） 设过点 (0,12) 的直线方程为 y =kx +12，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以直线 OP 为 y =x ，直线 ON 为：y =y 2x 2x ， 由题意知 A (x 1,x 1)，B (x 1,x 1y 2x 2)，由 {y =kx +12,y 2=x 可得 k 2x 2+(k −1)x +14=0， 所以 x 1+x 2=1−k k 2，x 1x 2=14k 2，所以 y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x 1=2kx 1+(1−k )⋅2x 1=2x 1，所以 A 为线段 BM 的中点．26. （1） 设 A (x 1,x 124)，B (x 2,x 224) 为曲线 C ：y =x 24上两点，则直线 AB 的斜率为 k =x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1；（2） 设直线 AB 的方程为 y =x +t ，代入曲线 C ：y =x 24，可得 x 2−4x −4t =0，即有 Δ>0，x 1+x 2=4，x 1x 2=−4t ， 再由 y =x 24 的导数为 yʹ=12x ，设 M (m,m 24)，可得 M 处切线的斜率为 12m ，由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得 12m =1， 解得 m =2，即 M (2,1)，由 AM ⊥BM 可得，k AM ⋅k BM =−1， 即为x 124−1x 1−2⋅x 224−1x 2−2=−1，化为 x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0， 即为 −4t +8+20=0， 解得 t =7，满足 Δ>0， 则直线 AB 的方程为 y =x +7．27. （1） 由题意可知：椭圆的离心率 e =ca =12，则 a =2c, ⋯⋯①椭圆的准线方程 x =±a 2c ，由 2×a 2c=8, ⋯⋯②由 ①② 解得：a =2，c =1， 则 b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1．（2） 方法一：设 P (x 0,y 0)，x 0=1 时，l 1 与 l 2 相交于点 F 1，与题设不符，当 x 0≠1 时， 则直线 l 2 的斜率 k 2=x 0−1y 0，直线 l 2 的方程 y =−x 0−1y 0(x −1)，直线 PF 1 的斜率 k PF 1=y 0x 0+1， 则直线 l 1 的斜率 k 1=−x 0+1y 0，直线 l 1 的方程 y =−x 0+1y 0(x +1)，联立 {y =x 0−1y 0(x −1),y =x 0+1y 0(x +1), 解得：{x =−x 0,y =x 02−1y 0, 则 Q (−x 0,x 02−1y 0)， 由 P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则 y 0=x 02−1y 0或x 02−1y 0=−y 0，所以 y 02=x 02−1 或 x 02+y 02=1，则 {x 024+y 023=1,y 02=x 02−1, 解得：{x 02=167,y 02=97, 则 {x 0=±4√77,y 0=±3√77, 或 {x 02+y 02=1,x 024+y 023=1, 无解， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为： P (4√77,3√77)． 方法二：设 P (m,n )，由 P 在第一象限，则 m >0，n >0，当 m =1 时，k PF 2 不存在，解得：Q 与 F 1 重合，不满足题意， 当 m ≠1 时，k PF 2=nm−1，k PF 1=nm+1， 由 l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，则 k l 1=−m+1n，k l 2=m−1n，直线 l 1 的方程 y =−m+1n(x +1) ⋯⋯①，直线 l 2 的方程 y =−m−1n(x −1), ⋯⋯②联立解得：x =−m ，则 Q (−m,m 2−1n)， 由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：m 2−1n=±n 2，即 m 2−n 2=1，或 m 2+n 2=1，由 P (m,n )，在椭圆方程，{m 2−1=n 2,m 24+n 23=1, 解得：{m 2=167,n 2=97 或 {1−m 2=n 2,m 24+n 23=1, 无解， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：P (4√77,3√77)． 28. （1） 曲线 C 1 的直角坐标方程为：x =4%,， 设 P (x,y )，M (4,y 0)，则 yx =y 04，所以 y 0=4y x，因为 ∣OM ∣∣OP ∣=16，所以 √x 2+y 2√16+y 02=16，即 (x 2+y 2)(1+y 2x 2)=16，所以 x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即 (x 2+y 2)2=16x 2．两边开方得：x 2+y 2=4x ， 整理得：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)，所以点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)．（2） 点 A 的直角坐标为 A(1,√3)，显然点 A 在曲线 C 2 上，∣OA ∣=2， 所以曲线 C 2 的圆心 (2,0) 到弦 OA 的距离 d =√4−1=√3， 所以 △AOB 的最大面积 S =12∣OA ∣⋅(2+√3)=2+√3． 29. （1） 曲线 C 1 的直角坐标方程为：x =4， 设 P (x,y )，M (4,y 0)，则 yx =y 04，所以 y 0=4y x，因为 ∣OM∣∣OP∣=16，所以 √x 2+y 2√16+y 02=16，即 (x 2+y 2)(1+y 2x 2)=16，所以 x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2， 即 (x 2+y 2)=16x 2， 两边开方得：x 2+y 2=4x ， 整理得：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)，所以点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)． （2） 设点 B 的坐标为 (ρs ,α)(ρs >0)， 由题设知 ∣OA∣=2，ρs =4cosα， 于是 △OAB 面积S =12∣OA∣⋅ρs sin∠AOB =4cosα⋅∣∣sin (α−π3)∣∣=2∣∣∣sin (2α−π3)−√32∣∣∣≤2+√3,当 α=−π12 时，S 取得最大值 2+√3， 所以 △OAB 面积的最大值为 2+√3．30. 直线 l 的直角坐标方程为 x −2y +8=0，设 P(2s 2,2√2s)， 所以 P 到直线 l 的距离 d =∣2√2s+8∣√5=√2s−2)2√5，所以当 s =√2 时，d 取得最小值√5=4√55． 31. （1） AB =[0110][1002]=[0210]．（2） 设点 P (x,y ) 为曲线 C 1 的任意一点， 点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 Pʹ(x 0,y 0)，则 [0210][x y ]=[2yx]， 即 x 0=2y ，y 0=x ，所以 x =y 0，y =x 02，所以 y 028+x 028=1，即 x 02+y 02=8，所以曲线 C 2 的方程为 x 2+y 2=8．32. （1） 方法一：当直线 l 的斜率不存在时，A (2,2)，B (2,−2)， 则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y =k (x −2)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， {y =k (x −2),y 2=2x,整理得：k 2x 2−(4k 2+2)x +4k 2=0，所以 x 1x 2=4，4x 1x 2=y 12y 22=(y 1y 2)2，由 y 1y 2<0，得 y 1y 2=−4， 由 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 得 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以坐标原点 O 在圆 M 上， 综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上．方法二：设直线 l 的方程 x =my +2， {x =my +2,y 2=2x, 整理得：y 2−2my −4=0，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1y 2=−4，由 (y 1y 2)2=4x 1x 2，得 x 1x 2=4， 因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以坐标原点 O 在圆 M 上．（2） 当直线 l 斜率不存在时，圆 M 的方程为 (x −2)2+y 2=4， 此时圆 M 不过点 P (4,−2)，不满足条件； 当直线 l 斜率存在时，由（1）可知：x 1x 2=4，x 1+x 2=4k 2+2k 2，y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4，圆 M 过点 P (4,−2)，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x 1,−2−y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x 2,−2−y 2)， 由 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 (4−x 1)(4−x 2)+(−2−y 1)(−2−y 2)=0， 整理得：k 2+k −2=0，解得：k =−2 或 k =1，当 k =−2 时，直线 l 的方程为 y =−2x +4，且 x 1+x 2=92，y 1+y 2=−1， 则 M (94,−12)，半径为 r =∣MP∣=√(4−94)2+(−2+12)2=√854，所以圆 M 的方程 (x −94)2+(y +12)2=8516．当直线斜率 k =1 时，直线 l 的方程为 y =x −2， 同理求得 M (3,1)，则半径为 r =∣MP∣=√10， 所以圆 M 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=10，综上可知：直线 l 的方程为 y =−2x +4，圆 M 的方程 (x −94)2+(y +12)2=8516 或直线 l 的方程为 y =x −2，圆 M 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=10． 33. （1） 设 F 的坐标为 (−c,0)， 依题意可得 {ca =12,a =p2,a −c =12,解得 a =1，c =12，p =2，于是 b 2=a 2−c 2=34． 所以，椭圆的方程为 x 2+4y 23=1，抛物线的方程为 y 2=4x ．（2） 直线 l 的方程为 x =−1，设直线 AP 的方程为 x =my +1(m ≠0)，联立方程组 {x =−1,x =my +1,解得点 P (−1,−2m )，故 Q (−1,2m )． 联立方程组 {x =my +1,x 2+4y 23=1,消去 x ，整理得 (3m 2+4)y 2+6my =0，解得 y =0，或 y =−6m3m 2+4． 所以 B (−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4)，所以直线 BQ 的方程为 (−6m3m 2+4−2m )(x +1)−(−3m 2+43m 2+4+1)(y −2m )=0， 令 y =0，解得 x =2−3m 23m 2+2，故 D (2−3m 23m 2+2,0)，所以 ∣AD ∣=1−2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2，又因为 △APD 的面积为 √62，所以 12×6m 23m 2+2×2∣m∣=√62， 整理得 3m 2−2√6∣m ∣+2=0，解得 ∣m ∣=√63，所以 m =±√63，所以直线 AP 的方程为 3x +√6y −3=0，或 3x −√6y −3=0． 34. （1） 因为椭圆 C 的离心率为 √22，所以a 2−b 2a 2=12，a 2=2b 2%,，因为椭圆 C 截直线 y =1 所得线段的长度为 2√2%,， 所以椭圆 C 过点 (√2,1)%,， 因为 2a 2+1b 2=1%,， 所以 b 2=2，a 2=4%,， 所以椭圆 C 的方程为x 24+y 22=1．（2） 设 A ，B 的横坐标为 x 1，x 2，则 A (x 1,kx 1+m )，B (x 2,kx 2+m )，D (x 1+x 22,k 2(x 1+x 2)+m)，联立 {x 24+y 22=1,y =kx +m%sinα2=EN DN=ON DN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1可得 (1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4=0，所以 x 1+x 2=−4km1+2k 2，所以 D (−2km1+2k 2,m1+2k 2)%sin α2=EN DN =ONDN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1，因为 M (0,m )，则 N (0,−m )， 所以 ⊙N 的半径为 ∣m ∣，∣DN ∣=√(m 1+2k 2+m)2+(−2km 1+2k 2)2=∣2m∣1+2k 2√k 4+3k 2+1，设 ∠EDF =α， 所以sin α2=EN DN=ON DN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1令 y =22√k 4+3k 2+1，则 yʹ=22√k 4+3k 2+1(k 4+3k 2+1) 当 k =0 时，sin α2 取得最小值，最小值为 12， 所以 ∠EDF 的最小值是 60∘．35. （1） 设椭圆的离心率为 e ．由已知，可得 12(c +a )c =b 22．又由 b 2=a 2−c 2，可得 2c 2+ac −a 2=0，即 2e 2+e −1=0． 又因为 0<e <1，解得 e =12． 所以，椭圆的离心率为 12．（2） （i ）依题意，设直线 FP 的方程为 x =my −c (m >0)，则直线 FP 的斜率为 1m ． 由（1）知 a =2c ，可得直线 AE 的方程为 x2c +yc =1，即 x +2y −2c =0， 与直线 FP 的方程联立，可解得 x =(2m−2)c m+c ，y =3cm+2，即点 Q 的坐标为 ((2m−2)c m+c,y =3cm+2)．由已知 ∣FQ ∣=3c2，有 [(2m−2)c m+c+c]2+(3cm+2)2=(3c 2)2，整理得 3m 2−4m =0， 所以 m =43，即直线 FP 的斜率为 43．（ii ）由 a =2c ，可得 b =√3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1．由（i ）得直线 FP 的方程为 3x −4y +3c =0，与椭圆方程联立 {3x −4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1. 消去 y ，整理得 7x 2+6cx −13c 2=0，解得 x =−13c 7(舍去)，或 x =c ．因此可得点 P (c,3c2)，进而可得 ∣FP ∣=√(c +c )2+(3c 2)2=5c 2，所以 ∣PQ ∣=∣FP ∣−∣FQ ∣=5c2−3c 2=c ．由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP ． 因为 QN ⊥FP ，所以 ∣QN ∣=∣FQ ∣⋅tan∠QFN =3c 2×34=9c 8，所以三角形 FQN 的面积为 12∣FQ ∣∣QN ∣=27c 232，同理三角形 FPM 的面积等于 75c 232，由四边形 PQNM 的面积为 3c ，得75c 232−27c 232=3c ，整理得 c 2=2c ，又由 c >0，得 c =2． 所以，椭圆的方程为x 216+y 212=1．36. （1） 由题可知 P (x,x 2)，−12<x <32，所以 k AP =x 2−14x+12=x −12∈(−1,1)，故直线 AP 斜率的取值范围是：(−1,1)． （2） 由（1）知 P (x,x 2)，−12<x <32，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x,14−x 2)， 设直线 AP 的斜率为 k ，则 AP:y =kx +12k +14，BP:y =−1k x +32k +94， 联立直线 AP ，BP 方程可知 Q (3+4k−k 22k 2+2,9k 2+8k+14k 2+4)，故 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k−k 2−k 31+k 2,−k 4−k 3+k 2+k1+k 2)，又因为 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−k,−k 2−k )， 故−∣PA ∣⋅∣PQ ∣=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k )3(k−1)1+k 2+k 2(1+k )3(k−1)1+k 2=(1+k )3(k −1),所以 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣=(1+k )3(1−k )，令 f (x )=(1+x )3(1−x )，−1<x <1，则 fʹ(x )=(1+x )2(2−4x )=−2(1+x )2(2x −1)，由于当 −1<x <−12 时 fʹ(x )>0，当 12<x <1 时 fʹ(x )<0， 故 f (x )max =f (12)=2716，即 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣ 的最大值为 2716． 37. （1） 由椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则 a =2，e =ca=√32，则 c =√3，b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆 C 的方程x 24+y 2=1；（2） 设 D (x 0,0)(−2<x 0<2)，M (x 0,y 0)，N (x 0,−y 0)，y 0>0，由 M ，N 在椭圆上，则x 024+y 02=1，则 x 02=4−4y 02，则直线 AM 的斜率 k AM =y 0−0x 0+2=y 0x 0+2，直线 DE 的斜率 k DE =−x 0+2y 0，直线DE 的方程：y =−x 0+2y 0(x −x 0)，直线 BN 的斜率 k BN =−y 0x0−2，直线 BN 的方程 y =−yx 0−2(x −2)，{y =−x 0+2y 0(x −x 0),y =−y 0x 0−2(x −2),解得：{x =4x 0+25,y =45y 0, 过 E 做 EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ，则 ∣EH∣=4y 05，则 ∣EH∣∣ND∣=45，所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5．38. （1） 设 M (x 0,y 0)，由题意可得 N (x 0,0)，设 P (x,y )， 由点 P 满足 NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得 (x −x 0,y )=√2(0,y 0)， 可得 x −x 0=0，y =√2y 0， 即有 x 0=x ，y 0=√2， 代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得 x 22+y 22=1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x 2+y 2=2．（2） 设 Q (−3,m )，P(√2cosα,√2sinα)(0≤α<2π)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，可得 (√2cosα,√2sinα)⋅(−3−√2cosα,m −√2sinα)=1， 即为 −3√2cosα−2cos 2α+√2msinα−2sin 2α=1， 解得 m =√2cosα)√2sinα， 即有 Q √2cosα)√2sinα)，椭圆x 22+y 2=1 的左焦点为 F (−1,0)，由 k OQ =√2cosα√2sinα，k PF =√2sinα√2cosα+1，由 k OQ ⋅k PF =−1，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F ．39. （1） 根据椭圆的对称性，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 两点必在椭圆 C 上，又 P 4 的横坐标为 1， 所以椭圆必不过 P 1(1,1)，所以 P 2(0,1)，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 三点在椭圆 C 上，把 P 2(0,1)，P 3(−1,√32) 代入椭圆 C ，得：{1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得 a 2=4，b 2=1， 所以椭圆 C 的方程为x 24+y 2=1．（2） ①当斜率不存在时，设 l ：x =m ，A (m,y A )，B (m,−y A )， 因为直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 −1， 所以 k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得 m =2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y =kx +b (b ≠1)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立 {y =kx +b,x 2+4y 2−4=0,整理，得 (1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2，则k P 2A +k P 2B=y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b )−x 2+x 1(kx 2+b )−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k (b−1)4(b+1)(b−1)=−1,又 b ≠1，所以 b =−2k −1，此时 Δ=−64k ，存在 k ，使得 Δ>0 成立， 所以直线 l 的方程为 y =kx −2k −1， 当 x =2 时，y =−1， 所以 l 过定点 (2,−1)．40. （1） 由题意知，{ca=√22,2c =2,a 2=b 2+c 2,解得 a =√2，b =1． 所以椭圆 E 的方程为x 22+y 2=1；（2） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立 {x 22+y 2=1,y =k 1x −√32,得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0．由题意得 Δ=64k 12+8>0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1，x 1x 2=−12(2k 12+1)． 所以 ∣AB ∣=√1+k 12∣x 1−x 2∣=√2⋅√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r =23∣AB ∣=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12． 由题意设知，k 1k 2=√24， 所以 k 2=√24k 1．因此直线 OC 的方程为 y =√24k 1x ． 联立 {x 22+y 2=1,y =√24k 1x, 得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k 12． 因此，∣OC ∣=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12． 由题意可知，sin∠SOT 2=r r+∣OC∣=11+∣OC∣r ． 而 ∣OC∣r =√1+8k 121+4k 122√23√1+k 11+8k 11+2k 12=√2412√1+4k 1√1+k 1． 令 t =1+2k 12，则 t >1，1t ∈(0,1)， 因此，∣OC∣r =2√2t 2+t−1=2√2+1t −1t 2=2√−(1t −12)2+94≥1. 当且仅当 1t =12，即 t =2 时等式成立，此时 k 1=±√22． 所以 sin∠SOT2≤12， 因此 ∠SOT 2≤π6．所以∠SOT的最大值为π．3综上所述，∠SOT的最大值为π，3取得最大值时直线l的斜率为k1=±√2．2。

2017年普通高等学校招生全国统一考试试题汇编目录（理科）2017年普通高等学校招生全国统一考试（1） (1)2017年普通高等学校招生全国统一考试（2） (7)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ） (12)2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） (18)2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） (22)2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） (29)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷) (42)2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） (54)绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（1）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x<},则A. {|0}A B x x =<B. A B =RC. {|1}A B x x =>D. A B =∅2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.14 B. π8 C. 12 D. π43.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.168.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．1011.设xyz 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了―解数学题获取软件激活码‖的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ．∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==+，01y λθ==+． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sin ϕcos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．()A O Dxy BP gCE11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A）)3,1(-（B）)3,1(-（C）)3,0(（D）)3,0(【解析】：222213x ym n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n+->，∴223m n m-<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m=++-=，其中c是半焦距，∴焦距2224c m=⋅=，解得1m=∴13n-<<，故选A．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点，交C的准线于ED,两点，已知24=AB,52=DE，则C的焦点到准线的距离为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px=()0p>，设圆的方程为222x y r+=，如图：设(0A x，2pD⎛-⎝，点(0A x在抛物线22y px=上，∴82px=……①；点2pD⎛-⎝在圆222x y r+=上，∴2252pr⎛⎫+=⎪⎝⎭……②；点(0A x在圆222x y r+=上，∴228x r+=……③；联立①②③解得：4p=，焦点到准线的距离为4p=．故选B．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线1C，直线于QP,两点，求四边形MPNQ【解析】：⑴圆A整理为()221x y++=BE ACQ∥，则C EBD=∠∠，由ACEBD D∴=∠∠，则EB ED=，AE∴+F||MN =⑵ 221:43x y C +联立l 与椭圆圆心A 到所以||PQ =()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34-（C （D ）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A （B ）32（C （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。