热点07 解析几何解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道填空，一道选择，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】定点问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题 【限时检测】（建议用时：120分钟） 一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三一模）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有12123IPF IPF IF F S S -=△△△，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x = 【答案】D【分析】根据三角形的面积关系寻求,a c 等量关系，再推导出,a b 关系即可.【详解】1212IPF IPF IF F S S -=△△△，且I 是12PF F △的内心，设内切圆的半径为r ，则121112222PF r PF r c r ⋅-⋅=⨯⨯，∴12PF PF -=，即2a =，2222213b c a a a -∴==，即b a =，∴渐近线方程是3y x =±.故选：D.【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2．（2020·上海嘉定区·高三一模）过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】2FO =，故2c =，不妨设渐近线方程为by x a=，则(),A a b ，根据2AF =，计算得到答案. 【详解】连接AF ，2FO =，故2c =，不妨设渐近线方程为by x a=，则(),A a b .故()22222b a =+-，解得1,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=故选：B3．（2020·上海高三一模）抛物线28y x =的准线方程是（ ）A ．4x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x =-【答案】C【分析】由抛物线的知识直接可得答案. 【详解】抛物线28y x =的准线方程是2x =- 故选：C4．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．151533⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．150,3⎛ ⎝⎭C ．15,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意，得到22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，联立直线与曲线方程，设两交点为()11,x y ，()22,x y ，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果.【详解】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=， 设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D. 【点睛】本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，属于常考题型.5．（2020·上海市新场中学高三月考）若直线()10a x y a ---=不通过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(1,)+∞C ．()[),01,-∞+∞D ．0,1【答案】A【分析】由直线不过第二象限，讨论10a -=、10a ->、10a -<求a 的取值范围即可. 【详解】由直线()10a x y a ---=不通过第二象限，知： 当10a -=，1a =时，1y =-符合题意；当10a ->，1a >时，直线上的点(0,)a -一定不在y 轴上半部分，所以0a ≥，即1a >； 当10a -<时，直线定过第二象限，不合题意； ∴综上有：[1,)a ∈+∞故选：A【点睛】本题考查了由直线方程求参数范围，理解辨析直线不过某个象限时需要满足的条件，应用了分类讨论，属于简单题.6．（2020·上海市七宝中学高三月考）椭圆221168x y +=上有10个不同的点1210,,,P P P ，若点T 坐标为(1,0)，数列{}(1,2,,10)=n TP n 是公差为d 的等差数列，则d 的最大值为（ ）A ．29B ．89C．59- D．59+ 【答案】C【分析】设椭圆上一点(,)P x y ，可知[4,4]x ∈-，则可求出||∈TP ，即可求出d 的最大值为max min||||101TP TP --.【详解】设椭圆上一点(,)P x y ，其中221168x y +=且[4,4]x ∈-，则2222221||(1)(1)81(2)7[7,25]162⎛⎫=-+=-+-=-+∈ ⎪⎝⎭x TP x y x x ，∴||∈TP ，∴max min max ||||101-==-TP TP d .故选：C . 【点睛】本题考查椭圆上点到定点距离的取值范围，考查等差数列的性质，属于中档题.7．（2020·上海市七宝中学高三月考）若动点A ､B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．2【答案】C【分析】M 点的轨迹是两直线1l 与2l 之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得． 【详解】∵A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，M 是AB 中点，∴M 点在到两直线1l 与2l 距离相等的平行线上， 直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=，因此M 点所在直线为60x y +-=，则MO 的最小值为d ==故选：C ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点M 的轨迹． 二、填空题8．（2020·上海市松江二中高三期中）已知点1,0A ，直线l ：1x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为______. 【答案】221y x =-【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，根据22122C M C C C A =+可得21a x =-，2b y =，利用24b a =可求得结果.【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+， 所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =， 所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-， 所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-. 故答案为：221y x =-【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =是解题关键.9．（2020·上海市松江二中高三期中）双曲线221169x y -=的左､右焦点为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，120PF PF ⋅=，则12PF PF +=______.【答案】10【分析】连接PO ，则可得1222PF PF PO c +==，从而可得正确的答案.【详解】连接PO ，因为O 为12,F F 的中点，故12=2PF PF PO +，所以122PF PF PO +=， 而120PF PF ⋅=，故21PF F 是以P 为直角顶点的直角三角形，故1212210PF PF PO FO +===， 故答案为：10.10．（2020·上海高三专题练习）已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =________． 【答案】3【分析】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义得到122r r a +=，根据12PF PF ⊥，得到222124r r c +=， 进而求得2122r r b =，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义可得12122PF PF r r a +=+=，又由12PF PF ⊥，可得222124r r c +=，可得2222221212122()()444r r r r r r a c b =+-+=-=，即2122r r b =，所以12PF F △的面积为12221211222PF F Sr r b b ==⨯=， 又因为12PF F △的面积为9，即29b =，解得3b =.故答案为：311．（2020·上海虹口区·高三一模）设1F ､2F 分别是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦点，点P 在双曲线右支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=___________. 【答案】45【分析】设双曲线的半焦距为c ，求得双曲线的渐近线方程可得a ，b ，c 的关系，求出12PF F 的三条边，运用余弦定理可求12cos PF F ∠值． 【详解】设双曲线的半焦距为c ， 由双曲线的渐近线方程，可得43b a =，则53c a ===，在12PF F 中，212||||2PF F F c ==，1||22PF c a =+，由余弦定理可得22212(2)(22)(2)cos 22(22)c c a c PF F c c a ++-∠=⨯+54310253a aa c c a ++===．故答案为：45． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.12．（2020·上海虹口区·高三一模）过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________. 【答案】2【分析】根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值. 【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =， 故答案为：2.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.13．（2020·上海青浦区·高三一模）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为___________.【答案】21【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设12||,||AF m AF n ==，不妨设0n m <<，利用椭圆与双曲线的定义，求出,m n 即可.【详解】对于椭圆1C ：焦点在x 轴上，22225169c a b =-=-=； 对于双曲线2C ：焦点在x 轴上，222459c a b =+=+=；则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设12||,||AF m AF n ==，不妨设0n m <<，利用椭圆与双曲线的定义，得到104m n m n +=⎧⎨-=⎩，则73m n =⎧⎨=⎩，所以21mn =，则12||||AF AF ⋅的值为21；故答案为：21.14．（2020·上海高三一模）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)16x y -+=【分析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =，所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4. 根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.15．（2020·上海长宁区·高三一模）设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 【答案】1【分析】由已知得出点p 坐标，代入渐近线方程即可． 【详解】由已知PQ OF =可得(,)22c cp ，又点p 在渐近线b y x a = 上，22c b ca b a ∴=⋅⇒= 又1a = ，1b ∴=16．（2020·上海长宁区·高三一模）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =___________.【答案】1-【分析】写出直线的法向量和方向向量，由向量垂直的坐标运算求出k ． 【详解】直线方程1201x y k-+=即为(1)(2)0k x y --+=，其法向量为(,1)k -，直线10x y +-=的方向向量为(1,1)-， 由题意(,1)(1,1)10k k -⋅-=+=，解得1k =-． 故答案为：1-．17．（2020·上海市七宝中学高三期中）函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________.【答案】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】先画出211()1,22f x x x =--≤≤的图象，在旋转过程依据函数的定义可得θ可取值的集合. 【详解】()f x 的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：221x y +=，其中1,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22B ⎛ ⎝⎭.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（1）的位置旋转到()1,0，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故03πθ≤≤.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（2）的()1,0位置旋转到x 轴下方，而A 在x 轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象， 故233ππθ<<不符合. 在图象绕原点旋转的过程中， A 在x 轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故23πθπ≤≤符合. 故答案为：20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键.三、解答题18．（2020·上海市松江二中高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1C 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ（λ为非零的正实数）代替(),x y 得到曲线2C 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1C 、2C 关于原点“伸缩”，变换()(),,x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.（1）已知1C 的方程为22194x y -=，伸缩比2λ=，求1C 关于原点“伸缩变换”所得曲线2C 的方程；（2）射线l 的方程2y x =（0x ≥），如果椭圆1C ：221164x y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆1C 、2C 分别交于两点A ､B ，且AB =2C 的方程；（3）对抛物线1C ：212y p x =，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2C ：222y p x =；对2C 作变换()()22,,x y x y λλ→得抛物线3C ：232y p x =，如此进行下去，对抛物线n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→，得1n C +：212n y p x +=⋅⋅⋅若11p =，12nn λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n p 的通项公式n p .【答案】（1）22194x y -=；（2）2214x y +=或221369x y +=；（3）()1122n n np -=. 【分析】（1）根据伸缩变换的定义将22194x y -=的,x y 分别变为2,2x y 后可得所求的曲线方程.（2）设伸缩变换比为λ，则可得曲线2C 的方程，联立直线方程和1C 的方程可求A 的坐标，同理可求B 的坐标，结合AB 的长度可得λ的值. （3）根据伸缩变换的定义可得12n n np p +=，利用累乘法可求{}n p 的通项公式. 【详解】（1）由条件得()()2222194x y -=，得2C ：22194x y -=； （2）∵2C 、1C 关于原点“伸缩变换”，对1C 作变换()(),,x y x y λλ→（0λ>），得到222221164x y C λλ+=，解方程组()22021164y x x x y ⎧=≥⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得点A的坐标为⎝⎭；解方程组()2222021164y x x x y λλ⎧=≥⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得B点的坐标为⎝⎭；AB ===， 化简后得23840λλ-+=，解得12λ=，223λ=，因此椭圆2C 的方程为2214x y +=或221369x y +=. （3）对n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→得抛物线1n C +：()22n n n y p x λλ=，得22nnp y x λ=，又∵212n y p x +=，∴1nn np p λ+=，即112n n n np p λ+==， 2313124123212222n n n n n p p p p p p p p p p ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则()()1112312122n n n n p p -+++⋅⋅⋅+-==，∵11p =，∴()1122n n np -=.【点睛】关键点点睛：（1）依据定义求出变换后的曲线方程，再结合题设条件从而可得参数的大小或关系；（2）数列通项的求法应依据递推关系的形式，如对形如()1nn a f n a -=这样的递推关系，可用累乘法. 19．（2020·上海市松江二中高三期中）已知向量()21,a x x =+-，(21,2b n =（n 为正整数），函数()f x a b =⋅，设()f x 在()0,∞+上取最小值时的自变量x 取值为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，都有()2451n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞； （3）在点列()111,A a ，()222,A a ，()333,A a ，⋅⋅⋅()1,nnA a ⋅⋅⋅一中是否存在两点iA ，jA （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(),i j ；若不存在，请你写出理由.【答案】（1）n a =（2）12；（3）不存在；答案见解析. 【分析】（1）由题得()f x =21x-+，当x时函数取得最小值，所以n a =（2）利用裂项相消法求出11(1)221n S n =-+，即得lim n n S →∞； （3）任取i A 、j A （i 、j *∈N ，i j ≠），设i j A A 所在直线的斜率为ij k ，则ij k=1<，即得解.【详解】（1）()()(21,f x a b x x =⋅=+-⋅21x =-+，抛物线的顶点横坐标为0x =>，开口向上，在()0,∞+上， 当x时函数取得最小值，所以n a =（2）()()()2211111141212122121415n b n n n n n n ⎡⎤====-⎢⎥-+--++-⎣⎦.111111111(1)23352121221n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以111lim lim12212n n n S n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. （3）任取i A 、j A （i 、j *∈N ，i j ≠），设i j A A 所在直线的斜率为ij k ，则2211i jij a a i j k i j i j-+-+==--()()22222211111i j i j i j i j i j -+==<+++-+++，∴不存在两点i A ，j A （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择合适的方法求和.20．（2020·上海市三林中学高三期中）已知倾斜角为45︒的直线l 过点()1,2A -和点B ，B 在第一象限，32AB =.（1）求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为()4,1，求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离，已知点P 在x 轴上运动，写出点(),0P t 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.【答案】（1）()4,1；（2）2a =；（3）()()()221413152415t t t h t t t t -+<--⎪=-≤≤⎨-+>. 【分析】（1）由题意可得直线AB 方程为3y x =-，由32AB =，列方程组可求出点B 的坐标； （2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y 后，再利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出a 的值；（3）设线段AB 上任意一点Q 坐标为(),3Q x x -，则22()(3)PQ t x x =-+-()4)f x t==≤≤，然后分3142t+≤≤，342t+>，312t+<讨论可求得结果，或过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于()'1,0A-，()'5,0B，然后分点P在线段''A B上，点P在点'A的左边，点P在点'B的右边三种情况利用距离公式求解【详解】解：（1）直线AB方程为3y x=-，设点(),B x y，由223(1)(2)18y xx y=-⎧⎨-++=⎩及0x>，0y>得4x=，1y=，点B的坐标为()4,1.（2）由22231y xxya=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22116100x xa⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，设()11,E x y，()22,F x y，则2122641ax xa+=-=-，得2a=.（3）（解法一）设线段AB上任意一点Q坐标为(),3Q x x-，PQ=记()4)f x t==≤≤.当3142t+≤≤时，即15t-≤≤时，min3322ttQ fP-+⎛⎫==⎪⎝⎭，当342t+>，即5t>时，()f x在[]1,4上单调递减，()min4PQ f==当312t+<，即1t<-时，()f x在[]1,4上单调递增，()min1PQ f==.综上所述，()131525tth t tt<-⎪-⎪=-≤≤⎨>.（解法二）过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于()'1,0A-，()'5,0B，当点P在线段''A B上，即15t-≤≤时，由点到直线的距离公式得：minPQ=；当点P在点'A的左边，1t<-时，minPQ PA==当点P在点'B的右边，5t>时，minPQ PB==综上所述，()()()221413152415t t t h t t t t ⎧-+<-⎪⎪-⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系、中点坐标公式、两点间的距离公式，在第（3）问的解答中关键是将PQ 表示出来，即22()(3)PQ t x x =-+-，然后构造关于x 的函数22223(3)()()(3)2(14)22t t f x t x x x t +-⎛⎫=-+-=-+≤≤ ⎪⎝⎭，再利用二次函数支轴定区间进行讨论即可，考查分类讨论思想，属于中档题21．（2020·上海虹口区·高三一模）已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围. 【答案】（12；（2）22（3）(1,)+∞.【分析】（1）若a ､b ､c 是常数列，直线:10l x y ++=，PB 的最小值即为点()10B ,到10x y ++=的距离；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，()():220l x y a y c +++=直线恒过点()1,2M -，PA PM ⊥，点P 在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，即0a c x y b b ++=，设0b c q a b==≠，则20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ，利用PA l ⊥，00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+，点P 在l 上可得2000x qy q ++=，联立两式可得20221q x q =-+，()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++将20221q x q=-+代入整理求最值即可. 【详解】（1）若a ､b ､c 是常数列，则a b c ==,且不等于0， 此时直线:0l ax by c ++=即10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，min PB ==（2）若a ､b ､c 是成等差数列，则2b a c =+，所以直线:0l ax by c ++=即():220l ax a c y c +++=， 整理得：()():220l x y a y c +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩ 可得12x y =⎧⎨=-⎩，此时直线恒过点()1,2M -，又因为PA l ⊥即PA PM ⊥， 所以点P 在以AM 为直径的圆上，因为(1,0)A -，()1,2M -，所以圆心为()0,1-，半径r ==圆的方程为()2212x y ++=，PB 最大值即为点(1,0)B 到圆心()0,1-的距离再加半径，所以max PB =（3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，且0a ≠，0b ≠，0c ≠， 将0ax by c两边同时除以b 得：0a cx y b b++=，设0b cq a b==≠，所以10x y q q ++=，所以20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ， (1,0)A -､(1,0)B ，001AP y k x =+，1l k q=-，因为PA l ⊥，所以00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+①， 又因为点P 在l 上，所以2000x qy q ++=②，将①代入②可得()220010q x x q +++=，即()202120q x q ++=，所以20221q x q =-+，所以()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++2222222222222222311111111q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=------+ ⎪+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令211q t +=>，21q t =-，所以()22322232244414t t t t t PB t t t t t t --+-⎛⎫⎛⎫=+-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为44y t t =-+在()1,+∞上单调递增，所以4441411y t t =-+>-+=，所以1PB >， 所以||PB 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】关键点点睛：若a ､b ､c 是常数列，则10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，若a ､b ､c 是成等差数列可得直线l 恒过点()1,2M -，可得PA PM ⊥，点P 在以AM为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设0b cq a b==≠，已知方程可化为20x qy q ++=，0q ≠，点P 在l 上可得2000x qy q ++=利用PA l ⊥，斜率成积为1-，可得()001y q x =+，联立两式可得20221q x q =-+，将20221q x q=-+代入()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++可得 222222231111q q q q q ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎝+⎪⎝⎭⎭，令211q t +=>，21q t =-，将2PB 用t 表示，求最值即可.22．（2020·上海虹口区·高三一模）如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？ 【答案】（1）5arccos27；（2）534PA =，334PB =【分析】（1）根据已知条件先计算出BP 的长度，然后利用余弦定理求解出cos APB ∠的值，从而APB ∠的值可求；（2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P 的轨迹，由此确定出PAB △的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.【详解】（1）根据条件可知：3050AP BP ⋅=⋅，所以9BP km =，所以222225812565cos 2215927AP BP AB APB AP BP +-+-∠===⋅⨯⨯，所以5arccos 27APB ∠=； （2）以AB 中点为坐标原点，垂直于AB 方向为y 轴，建立坐标系如图所示： 设(),P x y ，()()8,0,8,0A B -，因为3050AP BP ⋅=⋅，所以53AP BP =， ()()22225883x y x y ++=-+22165441024160x x y -++=，所以2234640x x y -++=，所以()2217225x y -+=， 所以P 的轨迹是圆心为()17,0，半径为15的位于x 轴上方的圆， 所以当PAB △的面积最大时，此时P 的坐标为()17,15， 所以()()2217815534AP =--+=()2217815334BP =-+=【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点,A B ，设P 点在同一平面上且满足()0,1PAPBλλλ=>≠，则P 的轨迹是个圆.23．（2020·上海闵行区·高三一模）已知椭圆2222 1(0)x y a b a b Γ+=>>：过点(0 2)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、，与椭圆Γ相交于两点 M N 、，各点互不重合，且满足12 PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x xx x λλ==--，，得到121212112x x x x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解； （3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c += 又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，， 于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.24．（2020·上海青浦区·高三一模）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1， 等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -， 则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=， 即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--： 两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.25．（2020·徐汇区·上海中学高三期中）设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线与x 轴的交点是(),0c ，则称c 为a 、b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b . （1）若()()10f x x =>，求(),f M a b 的表达式；（2）若(),f M a b =()f x 的解析式；（3）若对任意0a >，0b >，且a b ，都有()2,f abM a b a b<+成立，求证：()()()f a b f a f b +>+. 【答案】（1）(),2f a bM a b +=；（2）()f x =（0x >，k 为常数且0k >）；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用(),1a 、(),1b -、(),0c 三点共线，结合斜率公式可求得c 的表达式，即为所求； （2）利用点()(),a f a 、()(),b f b -、)=，进而可得出函数()f x 的解析式；（3）利用点斜式可求得经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线方程，可求得()()()()b a f ac af a f b -=++，由()2,f abM a b a b <+可推导出函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数，进而可得出()()af a b f a a b+<+，()()bf a b f b a b+<+，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】 （1）()()10f x x =>，由于点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c 三点共线，即点(),1A a 、(),1B b -、(),0C c 三点共线，由斜率公式可得10012a bc a c c b --+=⇒=--， 因此，(),2f a bM a b +=；（2）(),f c M a b ==，由已知，()(),a f a 、()(),b f b -、)三点共线，00f a f b-+=f a f b -=，f a f b=，对任意的正实数a 、b 且ab f a f b=成立，即对任意的0x >f x由于()0f x >f x k=（其中k 为常数且0k >），所以，()f x =0x >，k 为常数且0k >）； （3）记点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c ， 直线AB 的方程为()()()()()0f a f b y f a x a x a b+-=->-，直线AB 与x 轴的交点是(),0c ，可得()()()()f a f b f a c a a b+-=--，所以，()()()()b a f ac af a f b -=++，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abc M a b a b=<+. 则()()()()2b a f a aba f a fb a b -+<++，即()()()()2bf a af b ab f a f b a b+<++，整理可得()()()()220a f b abf a abf b b f a --+<，即()()()0a b bf a af b -->⎡⎤⎣⎦，则()()()0f a f b ab a b a b ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，设a b >，则()()f a f b a b>，所以，函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数， 所以，()()f a b f a a b a +>+，可得()()af a b f a a b +<+，同理可得()()bf a b f b a b+<+， 由不等式的基本性质可得()()()()()af a b bf a b f a f b f a b a b a b+++<+=+++.因此，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abM a b a b<+成立，()()()f a b f a f b +>+. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于利用三点共线结合斜率公式求出c 关于a 、b 的表达式，在求解本题的第（3）问，要充分结合条件()2,f abM a b a b <+推导出函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论.26.（2020•上海卷）椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=27.（2020•上海卷）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。
