专题三十四 钟面上的数学问题

钟面上的数学问题1、分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一个昼夜重合几次？答案：钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走1/12格，分针1分钟走1格。

当时针与分针再次重合时，分针比时针多走了60格，每分钟多走了（1-1/12）格，用分针比时针多走的格数÷每分钟多走的格数=经过的时间。

综合算式：60÷（1-1÷12）=720/11≈65 （分）一个昼夜重合：24×60÷(720/11)=22次2、小明有一块手表，每分钟比标准时间快2秒钟，小明早晨8点整把手表对准，问当小明这块手表第一次指示12点时，标准时间此时是几点几分？答案：设标准时间离8点过了x分钟则8+(2x+60x)/3600=12x=7200/31分钟=120/31小时≈3小时52分钟。

所以，标准时间现在是11点52分。

3、张明的手表每小时比标准时间慢30秒，早晨6点时，张明把手表与标准时间对准。

1)标准时间12点时，张明的手表是几点几分？2)张明的手表12点时，标准时间是几点几分？答案：1）过了6个小时，则慢了6×30=180秒=3分钟张明的手表示11点57分。

2）设标准时间过了x小时，则满了30x秒6+x=12+30x/3600x=720/119小时≈6小时3分钟标准时间是12点零三分。

4、钟面上6时-7时之间，时针和分针重合是几点几分？3点至4点之间，时针和分针在什么时刻重合？答案：假设是6点x分,时针分针重合，则，(x/60)*360=180+(x/60)*30x≈33分即6点33分重合。

假设是3点y分,时针分针重合，则，(y/60)*360=90+(y/60)*30y≈16分即3点16分重合。

七年级上册数学钟面问题一、时针与分针的夹角问题。

1. 3点整时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：钟面一圈为360°，钟面被分成12个大格，所以每一个大格的角度为360÷12 = 30^∘。

3点整时，时针指向3，分针指向12，中间有3个大格，所以夹角为3×30 = 90^∘。

2. 4点30分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针走30分钟，转了半圈，即180^∘。

时针每小时走一个大格，即30^∘，那么半小时时针走了30÷2=15^∘。

4点时，时针与分针夹角为4×30 = 120^∘，4点30分时，夹角为180 - (120 + 15)=45^∘。

3. 9点15分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针15分钟转了15×6 = 90^∘（因为分针每分钟转6^∘）。

时针每小时转30^∘，15分钟是(15)/(60)=(1)/(4)小时，时针9点15分转了9×30+(1)/(4)×30 = 270 + 7.5=277.5^∘。

所以夹角为277.5 - 90=187.5^∘。

4. 5点20分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针20分钟转了20×6 = 120^∘。

时针每小时转30^∘，20分钟是(1)/(3)小时，时针5点20分转了5×30+(1)/(3)×30=150 + 10 = 160^∘。

所以夹角为160 - 120 = 40^∘。

5. 2点40分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针40分钟转了40×6 = 240^∘。

时针每小时转30^∘，40分钟是(2)/(3)小时，时针2点40分转了2×30+(2)/(3)×30 = 60+20 = 80^∘。

所以夹角为240 - 80 = 160^∘。

二、时针与分针重合问题。

6. 时针与分针在12点整重合，下一次重合是什么时间？- 解析：分针每分钟转6^∘，时针每分钟转0.5^∘。

2021年第3期 福建中学数学 45钟面上的数学问题解法谢宇灵 浙江省宁波市象山县丹城实验初中（315700）钟面上的分针和时针的特殊位置有：重合、成一直线、互相垂直．根据生活经验可知，时钟上分针、时针旋转的速度是不相同的，在1小时里，分针转过60小格，时针转过5小格．这就是说，分针旋转的速度是每分钟一小格，时针旋转的速度是每分钟112小格．我们可以有多种解法准确地计算出分针和时针重合、垂直和成一直线的时间及在十二小时内分针、时针重合、垂直、成一直线的次数．现举例说明：1 算术法假设在4点钟和5点钟之间，何时两针重合？两针成一直线？两针成直角？ 两针第一次成直角： 15(2015)(1)51211−÷−= (4点5511分)；两针重合：1920(1)211211÷−= (4点92111分)； 两针第二次成直角：12(1520)(1)381211+÷−= (4点23811分)； 两针成一直线： 16(3020)(1)541211+÷−= (4点65411分)． 在其它时间里，可依上法求出各种特殊位置的时间．2 比例法 时针和分针从3点开始，问第一次重合在什么时间？若时针和分针第一次重合，则时针走x 小格，分针应走(15)x +小格． 60:5(15) : x x =−，1511x = (小格)， 分针：151115516114x ++（小格）， 即在3点11164分钟时重合．3 方程法 仍假设在4点钟与5点钟之间．两针第一次成直角：设x 是第一次成直角的时间 (即长针所行的时间)；则12x 为短针所行的时间，(20)12x +为短针在钟面上所表示的时间．由于成直角相差15分钟，第一次成直角时时针在前： (20)1512x x +−=，5511x = (4点5511分)．两针重合：2011x x =+，92111x = (4点92111分)．两针第二次成直角，分针在前：(20)1512x x −+=，23811x =(4点23811分)； 两针一直线： (20)3012x x −+=，65411x =(4点65411分)．其它位置的时间，亦可依此法求出．4 数列法时针、分针从同处同时开始转动，当第一次重合时，问需要经过多少时间?因为分针走1圈为1小时，时针走5小格．要赶此5小格，分钟走5分钟；而时针又走1512×小格， 为赶上，分针再走1512×分钟； 而时针又走1151212××格… 这样下去，对于分针60606060121212121212+++××× + 是一个无穷递缩等边数列， 所以60601256511111112S ×===− (分钟) ， 分针要走56511分钟，才能和时针第一次重合． 5 三角法运用弧度的概念，可解出特殊位置的准确时间． 问题 问在12小时内，钟的时针和分针有多少次互相重合? 多少次成一直线?多少次互相垂直? 我们设：一小时后，分针转过的角为2π−，46 福建中学数学 2021年第3期x 小时后分针转过的角等于2πx −．一小时后，时针转过的角为2π12−，x 小时后，时针转过的角为2π12x−． x 小时后分针和时针的夹角为：2π11π2π()126x x −−−=−．（1）时针和分针重合：11π2π(01210)6x k k −=−∈ ，，，，， 则1211kx =． （2）时针和分针成一直线：11π2ππ(01210)6xk k −=−−∈ ，，，，， 则6(21)11k x +=． （3）时针和分针成直角： 11ππ2π62x k −=−− 或11π3π2π(01210)62x k k −=−−∈ ，，，，， 12311k x +=或12911k x +=． 6 统一法上面的几种方法求解时很复杂. 那么时钟面上两针重合、垂直、一直线，再重合……这几种特殊的位置能否有统一公式呢?线实际上我们可以把上面的三个公式合并成一个统一的公式：11ππ62x k −=−(01210)k ∈ ，，，，， 则311k x =． 41k n =+垂直，1311x =，51511x =，92711x =， ，4112311x =． 42k n =+直线，2611x =，61811x =，103011x =， ，4212611x =． 43k n =+再垂直，3911x =，72111x =， 113311x =， ，4312911x =．44k n =+重合，41211x =，82411x =， 123611x =， ，4413211x =，01210n ∈ ，，，，． 思考 44433221311x x x x x x −==−=−= （即41611分）．为什么后面位置所表示的小时数，前面位置所表示的小时数311=呢？即41611分呢?n 为什么只能取01210 ，，，，呢?而x 取44个特殊位置呢?首先，我们分析两针重合；因为在十二小时内，0点和12点的重合只能算一次，所以时针和分针共重合11次．其次，我们分析两针成一直线；因为在十二小时内，在六点到七点间无两针成一直线，所以时针和分针成一直线共十一次．时针和分针以第一次成一直线：2611x =小时，即0点83211分到第二次成一直线，时针前进60551111=大格，而分针前进5(605)11−大格，其它以此类推．最后，我们分析两针互相垂直：因为在十二小时内，在3点到4点和9点到10点，仅只一次成直角，所以共有二十二次成直角．但时针和分针的直角边的位置可以相互对调，例如1点92111分和4点5511分，位置相同，仅时针、分针的位置对调，所以在十二小时后，本质上互相垂直的位置为十一个．所以时针每次前进9551111=大格，分针每次前进60(60)11+大格．综上所述，在十二小时内，n 只能取11个数字，x 取44个位置，亦就可以理解了．至于311时（即41611分) 也就一目了然．从前一个特殊位置到后一个位置，短针均走160411×（小格）1511=（小格），长针快 160(60)411+小格41611=小格311=小格．。

钟外表上的角度问题1、魏老师到市场去买菜，发现假设把10千克的菜放到秤上，指针盘上的指针转了180°．如图，第二天魏老师就给同学们出了两个问题：〔1〕如果把0.5千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？〔2〕如果指针转了540，这些菜有多少千克？解：〔1〕180°/ 10 =18°，0.5×18°=9°，0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°；〔2〕540÷18=30〔〔千克〕，答：共有3千克菜．2、分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数．解：时针每小时转动360÷12=30°；巴黎时间：时针与分钟所成的角的度数为30°；伦敦时间：时针与分钟所成的角的度数为0°；北京时间：时针与分钟所成的角的度数为360°-〔8×30°〕=120°；东京时间：时针与分钟所成的角的度数为360°-〔9×30°〕=90°．3、李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？解：设时针从李刚外出到回家走了x°，则分针走了〔2×110°+x°〕，由题意，得220°+x°/ 360°=x°/30°，解得x=20°，因时针每小时走30°，则20°/ 30°=2 /3 小时，即李刚外出用了40分钟时间．4、〔1〕假设时针由2点30分走到2点55分，问分针，时针各转过多大的角度？〔2〕钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？解：〔1〕分针转过的角度：〔360°÷60〕×〔55-30〕=150°，时针转过的角度：〔360°÷60÷12〕×〔55-30〕=12.5°，∴分针，时针各转过150°、12.5°；〔2〕〔360°÷12〕-15×〔360°÷60÷12〕=30°-7.5°=22.5°，∴时针与分针所成的锐角的度数是22.5°．5、如图，在表盘上请你画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．〔1〕此时表示的时间是3或9点．〔2〕一天24小时，时针与分针互相垂直44次．解：〔1〕∵时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．∴此时表示的时间是3或9点；〔2〕1-3时之间，时针在90角内移动，分针超过时针构成垂直，即时针角度加90度和270度均为垂直状态，且在360度一圈内，故每圈垂直两次；3-4时之间，从垂直开始，分针超过时针，时针加90度垂直1次，加270即超过了360度盘面，故该圈垂直1次；5-9时之间，时针超过了120度，分针先在后面和时针构成垂直，即分针角度加90度垂直一次，后分针超过时针，即时针角度加90度垂直1次，故每圈垂直2次；9-10时之间，从垂直开始，分针在后面追赶时针构成垂直1次，时针角度加90度超过360度盘面，故垂直1次；10-12时，分针在后面追赶时针时构成垂直2次．可见12小时构成垂直22次，故一昼夜构成垂直44次．6、假设时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？解：在2点30时，时钟的分针指向数字6；在2点50时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了4×30°=120°．由于时针转动的速度是分针转动速度的1 /12 ，因此，时针转动了120°×1/ 12 =10°．7、在汶川大地震后，许许多多志愿者到灾区投入了抗震救灾行列中．都江堰市志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问小方是几点钟去为灾民服务？几点钟回到家？共用了多少时间？在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动〔1/12 〕°依据这一关系列出方程，可以求出．解：设8点x分时针与分针重合，则：x-x /12 =40，解得：x=43．即8点43分时出门．设2点y分时，时针与分针方向相反．则：y-y /12 =10+30，解得：y=43．即2点43分时回家所以14点43分-8点43分=6点．答：共用了6个小时．8、时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合？解：在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了〔150°+α〕．因为分钟转速是时针的12倍，所以150°+α=12α，a=150°/ 11 =13 7°/ 11 ．即时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转13 7 /11 度时，分钟与时针第一次重合．9、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：〔1〕三点整时时针与分针所夹的角是90 度．〔2〕7点25分时针与分针所夹的角是72.5 度．〔3〕一昼夜〔0点到24点〕时针与分针互相垂直的次数有多少次？解：〔1〕3×30=90°；〔2〕2 5 /12 ×30°=72.5；〔3〕设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则6x-0.5x=2×905.5x=180x=360 /11 ，24×60÷360 /11=24×60×360 /11 =44〔次〕．答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．10、观察常用时钟，答复以下问题：〔1〕早晨8时整，时针和分针构成多少度的角？〔2〕时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？〔3〕从8：00到8：40，分针转动了多少度？解：〔1〕8时，时针和分针中间相差4个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8时，分针与时针的夹角是4×30°=120°，答：早晨8时整，时针和分针构成120度的角；〔2〕由时钟可知时针12个小时转一圈，360°÷12=30°，答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度．〔3〕分针转过的角度：〔360°÷60〕×40=240°，答：分针转动了240度．11、如图，是一个时钟，过它的中心点O可以画两条相互垂直的直线，使得这两条直线经过钟面上表示时间的四个数字．〔1〕请你在图中画出符合条件的两条相互垂直的直线即可．〔2〕假设这四个数字的和是22，求出这四个数字中最小的一个数字解：〔1〕根据题意得：〔2〕设这四个数字中最小的一个数字是x，根据题意得，x+〔x+3〕+〔x+6〕+〔x+9〕=22解得：x=1，∴这四个数字中最小的一个数字是1．12、某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处，都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？解：晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角为：9×30°+35×0.5°+20×0.5°÷60-〔7×30°+20×6°÷60〕=〔75 2 /3 〕°，75 2 /3 ÷6≈12.6〔个〕．故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．1．从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是〔〕A．30 B．60°C．90°D．120°2．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是〔〕A．30°B．45°C．60°D．90°3．下午2点30分时〔如图〕，时钟的分针与时针所成角的度数为〔〕A．90°B．105°C．120°D．135°4．钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为〔〕A．90°B．82.5°C．67.5°D．60°5、如图是一块手表，早上8时的时针、分针的位置如下图，那么分针与时针所成的角的度数是〔c〕A．60°B．80°C．120°D．150°6、3点半时，钟表的时针和分针所成锐角是〔b〕A．70°B．75°C．85°D．90°7．在下午四点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°8．钟表上7点20分，时针与分针的夹角为〔〕A．120°B．110°C．100°D．90°9．钟表在5点半时，它的时针和分针所成的锐角是〔〕A．15°B．70°C．75°D．90°10．3点整，钟表的时针与分针所成的角的度数为〔〕A．60°B．90°C．120°D．150°11．钟面上，3点时，时针与分针的夹角为〔〕A．90°B．80°C．70°D．75°12．甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针互相垂直的时刻，每个人说两个时刻，说对的是〔〕A．甲说3点和3点半B．乙说6点1刻和6点3刻C．丙说9点和12点1刻D．丁说3点和9点13．时钟的时针在不停的旋转，时针从上午的6时到9时，时针旋转的旋转角是〔〕A．30°B．60°C．90°D．9°14．上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为〔〕A．90°B．100°C．105°D．120°15．时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则以下说法正确的选项是〔〕A．此时分针指向的数字为3 B．此时分针指向的数字为6C．此时分针指向的数字为4 D．分针转动3，但时针却未改变16．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是〔〕A．77.5°B．77°5′C．75°D．以上答案都不对17．钟面上12：45时，时针与分针的夹角应是〔〕A．直角B．锐角C．钝角D．不能确定18．钟表的分针经过40分钟，那么它转过的角度是〔〕A．120°B．240°C．150°D．160°19．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了〔〕A．10°B．20°C．30°D．60°20．钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是〔〕A．40°和20°B．240°和20°C．240°和40°D．40°和40°21、在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界，每一分钟的刻度处都装有一个小彩灯，在晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有〔d〕个小彩灯．A．9 B．10 C．11 D．1222．小莉与小华约定周日10点整到敬老院看望老人．10点整，时钟上的时针与分针所夹的锐角是度．23、钟表上分针绕其轴心旋转，分针经过15分钟后，分针转过的角度是度，分针从12出发，转过150°，则它指的数字是．24、核对时间时，小明发现自己的闹铃比实际的时间慢了13分钟，他应该把分针顺时针旋转78度后才准确25、钟表上的分针和时针饶其轴心旋转，经过一节课40分钟后，时针转过的角度为20°26、王刚坚持在早上7：45前到学校．有一天7：20准时从家出发，以每小时3.3千米的速度匀速走向学校，到校门口一看表时针和分针刚好重合．问他家到学校有多少千米？：时针每小时转动360÷12=30°，每分钟转动30÷60=0.5°；分针每分钟转动360÷60=6°；设王刚从家到学校用了x分钟，则分针走了6x°，时针走了0.5x°，由题意得6x-0.5x=3×30+0.5×20，解得x=200 /11 ．故王刚家到学校的距离为200 /11 ×3.3/60 =1 千米．27、钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，它旋转出一个平角至少需360分钟．解：时针在钟面上每分钟转0.5°，所以它旋转出一个平角至少需180°÷0.5°=360分钟．∴它旋转出一个平角至少需360分钟．。

钟面上的数学知识要点我们每天都会看到家里、学校里墙上的挂钟，以及自己手腕上戴的手表。

你可曾想过这些钟表上的数学问题吗？运用所学的数学知识，研究钟表面上时针和分针关系的问题，叫做钟表上的数学问题。

钟面上的数学问题主要有两种，先做重点介绍：第1种：钟面上的追及问题：如：在一只钟(表)面内时针和分针的关系如重合；成反向一直线或两针夹角为特定的角度解答思路和方法：1．钟面上一圈是360度，上面有12个大格，每个大格30度；每个大格又5个小格，每个小格6度。

2．时针每小时走1个大格，即每小时走30度，每分走0.5度；分针每小时走一圈，即每小时走360度，每分走6度。

相当于当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的156012÷=。

分针每走156********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭(分)，与时针重合一次。

即有基本公式：初始时刻需追赶的格数1112⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭追及时间(分钟)。

其中，1112⎛⎫- ⎪⎝⎭为分针每分钟比时针多走的格数。

第2种：两只钟的钟点比较或两只钟上标准时间的比较：解答思路和方法：用比列解先算出不标准钟与标准钟经过的时间比例，再按照该比例将不标准钟经过的时间换算成标准钟经过的时间。

再依题意具体分析。

例1(基础)四点钟的时候时针和分针夹角是多少度？(提高、尖子)下面是反射在镜子中的钟面时针和分针的位置，原来钟面的时刻是几时几分？例2(基础、提高)钟面上4点10分时，时针与分针的夹角是多少度？(尖子)6点20分时，时针与分针的夹角是多少度？例3(基础、提高)钟面上5点到6点之间，分针与时针夹角是直角的是什么时候？(尖子)2点几分时，分针与时针的夹角是150°？例4(基础、提高)(北京市第11届迎春杯小学数学竞赛决赛试题)有一座时钟现在显示10时整，那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合？再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？(尖子)(第七届中环杯中小学生思维能力训练活动)下图为小芳从镜子中看到的时钟的成像，再经过()分钟，时针将与分针互相垂直。

钟面上的行程问题钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．时钟问题-----钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：①确定分针与时针的初始位置；②确定分针与时针的路程差；基本方法：①分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。

分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度。

基础练习题：1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？参考答案详解：1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：1格/分时针：(1/12) 格/分。

3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，用追及问题的处理方法解：15格/(1-1/12)格/分=16+4/11分钟。

所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次重合。

PS:这类题目也可以用度数方法解2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分时针0.5度/分。

当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24*60=1440分。

四年级数学上册《时钟问题》趣味题，提高思维能力例题1：钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?（精确到1分）解：分针比时针多转了:30°x8=240°分针每并钟比时针多转:6°-0.5°=5.5°需要:240°+5.5°≈44(分钟)答：再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。

例题2：从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？一个环形跑道追及问题12小时分时要跑12圈时针只能跑1圈分针每比时针多跑1圈,就会追上时针一次针比时针多跑: 12-1=11(圈)答：12小时内两针一共重合了11次。

例题3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时，小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下，这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）两个多小时，时针应该走了2大格多一点,而分针走的应该是两圈多，或三圈减去时针走的度数。

也就是分针和时针合走了360°x3=1080°,分针和时针每分钟合走6°+0.5°=6.5°,所以合走1080°需要1080÷6.5≈166(分钟)答：这部纪录片时长166分钟。

例题4：六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解：六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。

这实际上是一个追及问题。

（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）答：6点33分的时候分针与时针重合。

例题5：从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解：钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。

每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。

4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。

钟面上的数学问题（二）【问题1】2时20分，时针和分针的夹角成多少度？想；一般来说，已知钟面的时刻求时针和分针所成夹角的度数（小于或等于180°的角度），可以找出时针（整时刻）和分针（当前时刻）之间相差的大格或小格数。

求出相应度数以后，再减去时针所走的度数（用分针数乘以0.5°）。

在2时30分时，时针在刻度2和刻度3之间，分针指向刻度6。

在刻度2和刻度6之间共有4个大格，30°×4=120°。

从2时到2时30分，时针走了30分钟。

所以共走了0.5°×30=15°。

解：30°×4－0.5°×30=105°答：时针和分针的夹角成105°。

【试一试】1、7时48分，时针和分针的夹角成多少度？2、 3时45分，时针和分针的夹角成多少度？3、8时55分，时针和分针的夹角成多少度？【问题2】肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。

有一天晚上8点整时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。

这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？想：因为这个闹钟走得慢，所以响铃时间肯定在5点55分后面。

由题意可知，闹钟走5912分相当于标准时间的60分，所以闹钟走1分相当于标准时间的60÷5912，再根据从晚上8点到第二天早晨5点55分闹钟所走的时间便可得出标准时间经过的时间。

解：60÷（60－12 ）=120119（分） （12－8＋4）×60＋55=595（分） 595×120119=600（分）=10（时） 8＋10－12=6（时） 答：闹钟将在标准时间的6时响铃。

【试一试】1、一手表每小时慢4分钟，下午4点整将手表对准，当这只手表的指针指向晚9点整的时候，实际的时刻应是几点几分？2、小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢2分。

小学数学解题思路技巧：钟面上的数学问题［知识要点］“时刻”与“时间”的意义不同，能根据钟面上的1—12进行加、减乘法计算。

［范例解析］请读者制作一个有时针和分针的钟面模型。

例1将钟面拨到4点。

从4点经过4个小时，钟面会指到几点？（八点）再拨到八点，这里说的4点与4小时有什么区别？例2将钟面拨到7点。

从7点再经过7小时钟面会指到几点？（二点）再拨到二点。

这里的7点与7小时有什么区别？说明上两例题中的4点、7点、8点，……表示了一天内某一时刻，这是钟、表的表面上显示的几点几分，能使人直接看出这是什么时刻。

4小时，7小时，8小时，……这是指的两个不同时刻之间经过的时间。

如4点这个时刻到8点这个时刻经过了4小时。

例3钟面上的加法：⑴5点再过3小时是几点？5＋3 = 8答：8点。

⑵8点再过8小时是几点？8＋8 = 16，16－12 = 4。

答：4点。

⑶3点再过12小时是几点？3＋12 = 15，15－12 = 3。

答：3点。

说明上面的例题反映了钟面上的加法的计算规律：⑴两数之和小于12，和就是所求的钟点数。

⑵两数之和大于12，和减去12就是所求的钟点数。

⑶一个数加上12，就是原来的这个数。

例4钟面上的减法：⑴8点以前的5小时是几点？⑵2点以前的5小时是几点？⑶5点以前的12小时是几点？解如图6-18所示。

说明减法规律与加法类似，就是：⑴被减数大于减数，差就是所求的钟点数。

⑵被减数小于减数，就在被减数上加12再减，差就是所求的钟点数。

⑶一个数减12，差就是原来的这个数。

例5钟面上的乘法（假设都以12点开始）；⑴经过6个2小时是几点？2×6 = 12（点）⑵经过3个5小时是几点？5×3－12 = 15－12 = 3（点）⑶经过2个12小时是几点？12×2－12 = 12（点）说明钟面上乘法几的规律：⑴两数之积小于或等于12，积就是所求的数；⑵两数之积大于12，从积里减去12的倍数，使差小于12，这个差就是所求的钟点数；⑶任何数乘以12，所求的钟点数就是12。

钟面上的数学问题
李子涵
我们每天都离不开时间，所以对钟表是再熟悉不过了。

钟面（一个圆周）被等分为60个小格，分针走1个格用1分。

把钟面看成一个周角（360°），分针每分扫过的圆心角度数为360°÷60=6°。

因为分针的速度是时针的12倍（时针旋转一周用12小时，分针旋转一周用1小时），所以在相同的时间内，分针走过的格数及扫过的角度均为时针的12倍。

所以，时针每分扫过的圆心角度数为6°÷12=0.5°。

钟面被等分为12个大格，每个大格对应的圆心角度数为360°÷12=30°。

聪明的同学们，根据对钟面的认识，你们能完成下面这两道题吗？
1. 请在下面的钟面上画一条直线，将钟面上的数分成两组，使其中一组数的和是另一组数的和的2倍。

2. 请在下面的钟面上画出5时~6时之间，时针与分针成直角的时刻。

PE 第09讲钟面上的数学问题教学目标：1、掌握时针、分针与夹角相关的数学问题；2、培养学员分析问题和逻辑思维的能力；3、感受数学学习的趣味性以及逻辑性，提高学习兴趣。

教学重点：会用追及问题的求解方法及圆心角的旋转度数，解决钟面上的数学问题。

教学难点：综合运用各种方法解决快钟、慢钟问题。

教学过程：【温故知新】1、数阵是由幻方演化出来的另一种数图。

幻方均为正方形。

图中纵、横、对角线数和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

2、一般按数的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

3、解决数阵图的方法一般是从特殊的位置入手即重复数字，再根据题目条件求出每一列的数字和，最后进行尝试就可得到最后的答案。

【巩固作业1】在1—8填入下图内，使正方形每边上的三数之和都等于13，请给出一种填法解析部分：思路1：这个数阵图属于封闭型数阵图，正方形的4个顶点是关键位置，我们可以先求出四个顶点的数之和，然后通过枚举尝试得到填图的方法；思路2：根据8个圆圈中数的总和、最左边三数和、最右边三数和可以得到最上边和最下边中间两个圆圈中数的和是10，同理，也可以得到最左边和最右边中间两个圆圈中数的和是10，又10=2+8=3+7=4+6可以尝试得到结果。

给予新学员的建议：根据题意，分析各数据之间的关联，并可以进行准确而迅速的基础运算。

哈佛案例教学法：调动孩子产生对于此题的热情，组织活跃的小组讨论，鼓励纸上实际操作。

参考答案：75623841或84362571【巩固作业2】把6—11这六个数分别填入下图中的圆圈内，使每个圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数加起来为24。

解析部分：三角形的三边和、六个圆圈中数的总和，对比可以得到重复数是三角形的三个顶点，重复数的和是24×3-（6+7+8+9+10+11）=21，又6+7+8=21，所以重复数分别是6、7、8，据此其他数不难填出。

七年级数学钟面角问题钟面角问题是一个经典的数学问题，通常涉及到时钟的时针、分针和秒针之间的角度关系。

以下是一些常见的七年级数学钟面角问题及其解答：1. 基本概念一圈完整的钟面是360度。

时针每小时移动30度（因为360度/12小时 = 30度/小时）。

分针每小时移动360度（因为分针是用来计分的，每小时刚好走完一圈）。

秒针每分钟移动360度（因为1分钟=1/60小时，所以每分钟移动360度/60 = 6度）。

2. 问题与解答1. 问题：如果现在是3点整，那么时针和分针之间的角度是多少？解答：时针在3点的位置，所以它移动了3小时× 30度/小时 = 90度。

分针在12点的位置，所以它移动了0小时× 360度/小时 = 0度。

因此，两者之间的角度差是90度 - 0度 = 90度。

2. 问题：如果现在是5点45分，那么时针和分针之间的角度是多少？解答：到5点，时针移动了5小时× 30度/小时 = 150度。

到45分，时针又额外移动了45分钟× 度/分钟 = 度（因为1小时=60分钟，所以度= 1/2 × 30度/小时）。

所以总共是150度 + 度 = 度。

分针移动了45分钟× 6度/分钟 = 270度（因为45分钟=3/4小时，所以270度= 3/4 × 360度/小时）。

因此，两者之间的角度差是度 - 270度 = -度。

由于答案应为正值，取其绝对值度。

3. 问题：如果现在是1点30分，那么时针、分针和秒针之间的角度是多少？解答：到1点，时针移动了1小时× 30度/小时= 30度。

到30分，时针又额外移动了30分钟× 度/分钟 = 15度。

因此，时针总共是30度 + 15度 = 45度。

到30分，分针移动了30分钟× 6度/分钟 = 180度（因为30分钟=1/2小时，所以180度= 1/2 × 360度/小时）。

钟面上的数学问题（一）【问题1】3时多少分时，时针与分针重合？想：这个问题实际上就是行程问题中的追及问题，3时分针指着12，时针指着3。

分针与时针相距5×3＝15小格。

分针每分钟走1小格，时针每分钟走112小格。

要使分针与时针重合，分针要比时针多走15小格。

根据追及问题中的追及时间=路程差÷速度差列式即可。

解：15÷（1－112）=16411（分）答：3时16411分时，时针与分针重合。

【试一试】1、某钟面的指针指在2点整，再过多少分钟时针和分针第一次重合？2、钟面上8点整，再过多少分钟时针与分针首次重合？【问题2】在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？想：7点时分针指向12，时针指向7，分针在时针后面5×7＝35（格）。

时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有两种情况：（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。

从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格）；（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。

从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格）。

解：（35－15）÷（1－112）=21911（分）（35＋15）÷（1－112）=54611（分）答：在7点21911分和54611分时，时针与分针相互垂直。

【试一试】1、在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？2、在3点与4点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？【问题3】在3点与4点之间，时针和分针在什么时候反向成一直线？想：3点时分针指向12，时针指向3，分针在时针后面5×3＝15（格）。

时针与分针反向成一直线，即时针与分针成180°角。

从3点开始，分针要比时针多走15＋30=45小格。

解：（15＋30）÷（1－112）=49111（分）答：3点49111分，时针和分针反向成一直线。

【试一试】1、6时以后，分针与时针再一次反向成一直线是在什么时候？2、钟面上9点整，再过多少分钟两指针反向成一直线？【问题4】3点过多少分时，时针和分针离“3”字的距离相等，并且在“3”的两边？想：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。