7-7-2 容斥原理之重叠问题(二).教师版

第八讲：容斥原理之重叠问题导入文氏图■■■■■■■■■■■■■■■文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列・简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.什么是容斥原理?这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题•研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了•上述分析总结成公式就是：R总数=沖+丹一』、号重拄这个公式就是两个对象的容斥原理.练一练1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人•语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。

”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）知识要点教学目标1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-知识要点教学目标1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．例题精讲 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

重叠问题姓名容斥原理就是在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式法：运用容斥原理一：A∪B＝A＋B－A∩B，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题（A∪B表示两个集合的并集，A、B表示两个集合，A∩B表示两个集合的交集）。

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B读作：“A并B”运用容斥原理二：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C，这一公式可计算出三个集合的有关问题。

（A∪B∪C表示三个集合的并集，A、B、C表示三个不同的集合，A ∩B、A∩C、B∩C表示两个不同集合的交集，A∩B∩C表示三个集合的交集）例:一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？例：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？练习: 有100位旅客，其中10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。

那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？例：某校有三个兴趣小组，体育、书法和美术。

已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。

同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？练习：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。

而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

（一）7-7-1.容斥原理之重叠问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．2.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个(，相当于中文“和”或者“或”的数，用式子可表示成：”读作“并”其中符号“BAB?A?B?A则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)意思；符号“，即阴影表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：理．图示如下:表示小圆部分，BACBA，即阴表示大圆与小圆的公共部分，记为：表示小圆部分，表示大圆部分，:面积．图示如下BACBA影面积．1．先包含——B?A重叠部分计算了次，多加了次；1BA2．再排除——2B?A?AB次的重叠部分减去．把多加了1BA的元素的个数，可分以下两步进行：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集BABA、的一切元素都“包含”意思是把(第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求B、BA、AB?A )；进来，加在一起．(第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去意思是“排除”了重复计算的元素个数)BAC?二、三量重叠问题类又是既是类元素的个数类元素个数类元素个数类与类、类元素个数的总和?CC?BB?B?AAA类类、同时是类、类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数??CCCBABA?．图示如下：的元素个数．用符号表示为：CBAC?A?C?AB?BC??ABC?AB的元素的个数，图中小圆表示的元素的个数，中圆表示BA大圆表示的元素的个数．C1．先包含：C?A?B次．次，、重叠了多加了重叠部分、1ACBCBA2．再排除：2C?A??ABBCA?B?C次，但是在进行重叠部分重叠了CAB?CBA??3计算时都被减掉了．CC?ABAB?．3．再包含：CCA?ABB??AB?CAB?C?来帮助分析思考．(在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图韦恩图)1ofpage8 教师版题库.容斥原理之重叠问题（一）1-7-7．例题精讲两量重叠问题小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳】【例1BA ________、圆。

重叠问题详解探究必备日常生活或数学问题中,在把一些数据按照某个标准分类时,常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就会出现重复计算的情况,这类问题就叫做重叠问题,解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况,把有重复包含的几个计数部分加起来,再从它们的和中排除重复部分元素的个数,使得计算的结果既无遗漏又不重复;这个原理叫做包含与排除原理,也叫容斥原理;容斥原理包含以下两条基本计算公式：①容斥原理一,如果被计数的对象,被分为A、B两大类,则：被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数;②容斥原理二,如果被计数的对象,被分为A、B、C三大类,则：被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数—同时属于A类和C类的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数;运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是,画出示意图,认真分析已知条件,找出哪些是重复的,重复了几次题目要求的又是哪一部分借助示意图进行思考,找到正确的解答方法;王牌题目1、三1班有48人,其中订少年报的有32人,订数学报的有38人,有25人两份报都订,那么：1只订少年报而没有订数学报的有多少人2只订数学报而没有订少年报的有多少人3有多少人两种报都没订解析：先画出订报情况示意图,如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示订少年报的人数32人；字母B所在的椭圆表示订数学报的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数;1用订少年报的总人数A,减去重叠部分C,剩下来的就是只订少年报而没有订数学报的人数：32-25=7人；2同理,B-C就是只订数学报而没有订少年报的人数：38-25=13人；3先求出订报的总人数,即图中所有阴影部分表示的人数,再用班级总人数减去订报总人数,即是两种报都没订的人数D;这题有两种解法;解法一：在1、2两小题中已求出只订少年报的人数7人、只订数学报的人数13人,即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数,中间重叠部分为25人,所以订报总人数为：7+25+13=45人;所以,两种报都没有订的人数为：48-45=3人;解法二：不考虑重叠部分,订数学报和少年报的总人数为：32+38=70人;有25人两份报都订了,这些人既包含在32人之中,又包含在38人之中,我们在求和时,这25人就加了两遍,重复计算了一遍,要去掉多算的一遍;因此,订报总人数为：70-25=45人;两种报都没有订的人数就是：48-45=3人;2、一次老师给全班同学做两道智力趣题,结果全班10人两题都对,8人两题都错,第二道题有15人错,问第一道对而第二道错的同学有多少人解析：解答这题要抓住题中的有效条件,避免受无效条件的干扰;因为第二道题有15人错,全班只有8人两题都错,而两题都错的人第二道题肯定错了,所以两题都错的8个人包含在前面15人之中,从15人里去掉这8个人还剩：15-8=7人;去掉两题都错的8人,剩下的7人肯定只错了一道题,他们第二道题错了,第一道题肯定是对的,所以第一道对而第二道错的同学有7人;3、100位旅游者中,70人懂中文,52人懂英语,还有10人两种语言都不懂;1懂中文和英语的一共有多少人2既懂英语又懂中文的有多少人3只懂中文不懂英语的有多少人4只懂英文不懂中文的有多少人解析：1100名旅游者中,有10人两种语言都不懂,所以懂中文和英语的人一共有：100-10=90人;270人懂中文,52人懂英语,不考虑重叠情况即既懂英语又懂中文人数,懂两种语言的共有：70+52=122人;在第1小题已经求出懂两种语言的总人数为90人,所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32人;3在第2小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为32人,而懂中文的总人数为70人,这32人是包含在这70人当中的;从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数,剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32=38人;4与第3小题同理,从懂英文的52人中排除既懂英语又懂中文的32人,剩下的就是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20人;。

第二讲 容斥原理之重叠问题重叠问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、两量重叠问题两量重叠：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=A+B-AB 。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个数目A B 、的总个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算A B 、的个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的所有数目都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去重复计算的数目，即减去AB(意思是“排除”了重复计算的个数)．二、三量重叠问题A 、B 与C 个数的总和A =的个数B +的个数C +的个数-既是A 又是B 的个数-既是B 又是C 的个数-既是A 又是C 的个数+同时是A 、B 、C 的个数．用符号表示为： 总数=A B C ++-AB-BC-AC+ABC ．图示如下：专题简析 1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A+B-AB把多加了1次的重叠部分AB 减去． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、AC 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C ++-AB-BC-AC 重叠部分ABC 重叠了3次，但是在进行A B C ++-AB-BC-AC 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C ++-AB-BC-AC+ABC ．例题精讲一、两量重叠问题例1：四年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？例2：实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？这个班只参加了语文或数学兴趣小组的分别是多数人？变一：实验小学四年级二班有45人参加了语文或数学兴趣小组，参加语文兴趣小组的有28人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了数学兴趣小组？变二：实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，只参加一个兴趣小组的有33人，这个班有多少人两个小组都参加？例3：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：7-7-3.几何中的重叠问题知识要点教学目标1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)． 【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3 【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73， 而AB C =A B C +--A B B C A C A B C --+. 有73=30×3-6-8-5+A B C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 阴次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑴ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6。

重叠问题一、专题简析解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

二、精讲精练【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？练习1：1.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有个。

2.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。

这一排共有个同学。

【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？练习2：1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

跳舞的共有人。

2.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。

三（4）班共有学生人。

【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？练习3：1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？3.两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

另一根木棍长多少厘米？【例题4】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。

第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是 7 + 10 − 3 = 14 人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20 名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象的容斥原理．17+20-34=37-34=3（人）答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。

第十二讲 重叠问题知识要点：重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图（韦恩图），借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

1、当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

2、当三个计数部分重叠时，可以从单项和中减去双项重叠部分，再加上三项重叠部分，得出总数。

一、基础应用：【例1】 学校组织三年级(4)同学去听报告，小虎的座位从左向右数是第18个，从右向左数是第13个。

请问这一排座位共有多少个？【解析】 由于从左向右数与从右向左数,小虎被算了两次，去掉一次即可。

故这一排座位共有 1813130+-=（个）。

【例2】 三(3)班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，王华的位置从前数是第4个，从后数是第6个；从左数、从右数都是第3个。

三(3)班共有学生多少人？【解析】 每列有人 4619+-=（人），每行有人3315+-=（人），因此三(3)班共有学生9545⨯=（人）。

【例3】 按要求回答下列问题，每两段中间重叠部分都是6厘米。

（1）若两张一样的纸条粘合成更长的纸条长30厘米，两张纸条原来各有多长？（2）若7张一样的纸条粘合成更长的纸条长118厘米，7张纸条原来各有多长？【解析】 （1）两张纸条原来各长 (306)218+÷=（厘米）；（2）7张纸条的总长度为118(71)6154+-⨯=（厘米），每张纸条长154722÷=（厘米）。

【例4】 为了迎接六一儿童节，学校组织了长跑和游泳两项比赛，每个人至少参加一个项目。

已知三年级(2)班的同学参加运动会的情况是：有28人参加长跑比赛，有25人参加游泳比赛，两项都报名的有10人，请问三年级(2)班共有多少同学参加运动会？【解析】 我们可画下列的韦恩图：通过图不难得出，三(2)班参加运动会的同学有 28251043+-=（人）。