理论力学(大学)课件17.1 求平面图形各点加速度的基点法

n BE
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时

分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB

式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2


aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动

aBnA
=
AB
⋅
ω
2 AB
= 4m
s2
加速度矢量式投影到η轴上得
aB cos 45o = aBnA
aB = 5.66 m s2
αAB
an BA
at
y BA
aB aA B
加速度矢量式投影到y轴上得
0
= −a
aBt A
A cos
= 16
45° +
m s2
aBnA
cos
45°
+ aBt A
α AB
sin 45°
•结论：平面图 形角速度不为 零，任一瞬时， 速度瞬心必存在 且唯一。
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度瞬心的特点
1、瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心。 2、唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心。 速度瞬心不是一个固定点。理解成“角色”
思考题：杆做什么运动？
vB
ω
vA
定轴转动
车轮在地面上纯滚动
6-2 刚体平面运动的速度分析
6-2 刚体平面运动的速度分析
平移
vvA = vvB
ωAB = 0
avA = avB α AB = 0
瞬时平移
vvA = vvB avA ≠ avB
ωAB = 0 α AB ≠ 0
vA A
ω
O
vB B
牢记！
6-2 刚体平面运动的速度分析
2、确定速度瞬心位置的方法
已知A、B两点的速度方向，
试确定速度瞬心的位置。
例6-5 图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝ O1C＝r，角α = β = 60º，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为P1和P2点，则

ABvBA/ABl/l （
）
速度投影法 研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
根据速度投影定理 vBAB vAAB
vAvBcos
vBvA/cos l/cos45 2l() 不能求出 AB
课堂练习．滚子A沿水平面作纯滚动，通过连杆AB带动滑块
理论力学
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动， 这是一种较为复杂的运动。对它的研究可以在研 究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合 成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基 本运动。然后应用合成运动的理论，推导出平面 运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。
第五章 刚体的平面运动
§5–1 刚体平面运动的研究方法 §5–2 平面图形内各点的速度 §5–3 平面图形内各点的加速度 §5–4 机构运动分析
确定平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位
置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量．所以
xA f1(t) 平面运动方程 yA f2(t)
f3(t)
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的xA, yA, ， 图形S
在该瞬时的位置也就确定了。
解：机构中,OA作定轴转动,AB作 平面运动,滑块B作平动。
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，
且 vA l ,方向如图示。
根据 vB vA vBA, 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
vB vA/cos
l/cos45 2l()
vBAvAtgltg45 l
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有

且
v A 不平行于 v B
。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB v A vM
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A ω O1 B O2 O A B
:
:
v F
v GF cos 45 v C cos 45 v r
v F
v GF
cos
45 v C cos 45 v G 'C
vr 0
v GF 2 r
vG
5 r
26 . 6
平面机构如图所示。曲柄AB以匀角速度 绕轴A转动，使杆CG绕E轴转动。已知： AB=BE=EC=r。在图示位置时，ED=r，杆AB 和杆CG均处于水平。试求该瞬时: （1） 滑块D相对于杆CG的速度;
c
c
vB
v BA
绕O轴转动。求在图示瞬间点C的速度。已知
v CB
vc
B
B
ABC
vB
vA
ABC
o1
o
0
A
vA
o1
o
0
A
vA
在图示齿轮齿条机构中，已知：齿轮 半径R，曲柄OA= 2 R，以匀角速度 0 绕O轴作 定轴转动，OO1=L。试求图示位置 =45°时， 齿轮O1的角速度。
分析：

DE
v A r
vC O 1C

1
AB

vA r

v B r
AB
vC
v D v F r 1

x': aBx' aA sin aBnA y': aBy' aA cos aBt A
20
例：求系统在图示位置时，AB杆的角速度和角加速
度。
OA 2R,u R const.
1.求AB杆的角速度
B e
vr vCA R
30 o
uC
O
vA
A
动 点：C 动 系：AB杆 绝 动：直线 相 动：直线 牵 动：平面运动
vA AB CV A 2 3vO
aO OR
7
A
aAt B
y
aA aAn B
aBt O aO
x
B aBnO
aB aO aBt O aBnO
aA aB aAt B aAnB
大小: ?
方向:
4 ABR 4A2BR
aA aO aBt O aBnO aAt B aAnB
x：0
aO
2.加速度瞬心(Instant Center for acceleration)法
定义：某瞬时平面图形上加速度为零的点，称图形在 该瞬时的加速度瞬心C a
定理：当平面图形的角速度与角加速度不同时为零，
必存在唯一的加速度瞬心
问题：过Ca的任一直线上各点的加速度分布有何特点？ —-- 与图形定轴转动时的加速度分布类似
aB
aA
aBt A
a
n BA
AB 0
B
a
n B
aB aA aBt A
aBn
a
t B
aA
aBt A
D y : aBn aA aBt A cos
aBt A 0
10
例：半径为R 的圆盘在水平板A上纯滚动，若该瞬时板的速度 为u，加速度为a，轮心O相对板的速度为vr，相对加速度为ar。 求圆盘的角速度和角加速度以及圆盘最高点B的速度和加速度

O C
§8-4
用基点法求平面图形内各点的加速度
解：⑴ 车轮作平面运动，瞬心为C ⑵ 利用瞬心法求轮的角速度和 角加速度

t aCO
vO OC vO R
dω 1 dvO aO dt R dt R
⑶ 取轮上O点为基点，利用基点法 求瞬心C的加速度
t n aC aO aCO aCO
B
⑶ 取杆AB上的D点为基点,利用 基点法求A点加速度
t n aA aD aAD aAD
AB
D y aD n a AD
O
C
x
A
t a AD
大小 ? 方向 √
√ √
？ √
√ √

aD l 2
n 2 l 2 aAD AD AB
aD
aA
2 n 向y轴投影得 aA cos60 aD cos60 aAD a A l
杆OA作绕O轴转动 行星齿轮Ⅱ作平面运动
vA OA 1 l1 ⑵ 轮Ⅱ的速度瞬心为C,利用瞬 心法求轮Ⅱ（任意时刻）的 角速度 vA CA l1 r 所以角加速度始终为0
⑶ 取A点为基点,利用基点法求 B,D的加速度
大小 ? 方向 ?
t n aD aA aDA aDA
2 1
aA arctan n aBA
1 (l r )
2
a B a ( a ) l
arctan
r l
例8-13 图示机构中,OD=AD=BD=l,曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动。求当 60 时,尺AB的角加速度和点A的加速度。 解：⑴ 分析各物体的运动 滑块A、B作平移 杆OD绕O 轴转动 杆AB作平面运动 ⑵ 找出杆AB的速度瞬心,利用 瞬心法求杆AB的角速度

ωII vA / CA (R r)ω0 / r 常量
于是 vMA rωII (R r)ω0
再根据M点的速度平行四边形， 即可求出M点速度的大小和方向：
vM 2(R r)ω0 a （vM，vMA） π / 4
2
由牵连运动为平动时的加速度合成定理可求出点M的加速度。 因
牵连法向加速度沿AO方向
滑块B的相对加速度ar也OA方向。 此瞬时vr=0 ，故ak=0
由aa＝aet ＋ aen＋ar ＋ ak
投影得 aa=aet
ae
aB

2v 2 l
a OA

ae OB

2v 2 l2
aB

2v 2 l
解：BE杆作平面运动，可先 求出点B的速度和加速度。点B连 同滑块在OA杆上滑动，并带动杆 OA转动，可按合成运动方法求解 杆OA的wOA和aOA
BE 2l
2l
BE杆作平面运动，在图中，由vE ＝v及vB方向 可知此瞬时O点为BE杆的速度瞬心，因此
以E为基点，点B的加速度为
式中各矢量方向如图所示。
式中：aB的大小和方向已知；aFra bibliotekn A
的大小为：
aAn

v
2 A
OA
方向由A指向O轴，
aAt ?
方向假设如图所示；
OA＝12cm， AB＝30cm， vB＝2 m/s， aB＝1 m/s2 ， 求AB和aAB
aB = aAt + aAn + aBt A + aBnA (1)
aAn

v
2 A
OA
再由速度合成定理知 vM＝ve＋vr
＝vA＋vMA (1) 式中 M点的相对速度vMA沿M点 的相对轨迹（即轮Ⅱ外缘的 圆周）的切线，如图所示。

基点法求加速度的应用
2、基点法求加速度的应用
基点法求平面图形各点加速度
例1
已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆 以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径 为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘上的 两点，点A在系杆的延长线上，而点B在垂直于系 杆的半径上。
基点法求加速度的应用
求：点A和B的 加速度。
l12 0
r
2 2
√ √√
aB
a2 O
aBnO
2
l12
1
l 2 r
arctan
aO
r arctan
an
l
BO
基点法求加速度的应用 基点法求平面图形各点加速度
例2 已知：如图所示，在椭圆规机构。
基点法求加速度的应用
求：当 60 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。
aC aO
aCt O
a
n CO
大 小 ？ aO R R2
方向 ？
2.车轮作平面运动，瞬心为 C。
函数式
vO
R
d 1 dvO aO
dt R dt R
a an R2
C
CO
当车轮在曲线轨道上运动时，轮的角加速度和轮心加速度的关系如何？
基点法求加速度的应用 基点法求平面图形各点加速度
基点法求平面图形各点加速度
解: 1. 基点为Ｏ点
aA
aO
a
t A
O
a
n AO
大小 ?
l12 0
r
2 2
方向 ? √ √ √
？
2. 轮Ⅰ作平面运动，瞬心为C。
2
vO r
1l
r
d2

(
2 r
2


2r r ) 2 2
⑶

O1

vB O1 B

2 r
2 r

2
2
§9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法
1. 问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大
简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等
于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．速度瞬心的概念 一般情况，在每一瞬时，平面图形 上都唯一地存在一个速度为零的点，该 点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转 动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度： vA AP 方向AP，指向与 一致。
５. 注意的问题
(1)速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不
即：刚体的平面运动为平动和转动的合成运动。
§9-2 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法（合成法）
取A为基点, 将动系 固结于A点,动系作平动。
取B为动点, 则B点
的运动可视为牵连运动 为平动和相对运动为圆 周运动的合成。
已知：A点的速度vA，求B点的速度vB
vBA vB
vB vBA
ve vA; vr vBA, va vB 根据速度合成定理 va ve vr , 则B点速度为：
确定平面图形的位置------只需确定平面图形内任意 一条线段的位置．
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位