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数学物理方法（I）高飞2014-2015年秋季大连理工大学物理与光电工程学院sxwlff_gf@Password：sxwlff2014§1.4 解析函数解析函数的定义解析函数与函数可导、C-R条件之间的关系；以及解析函数的充分必要条件调和函数-满足二维拉普拉斯方程已知解析函数的实部（或虚部）求解析函数；§1.5 几种简单的解析函数幂函数 指数函数 三角函数()nf z z=()zf z e= 双曲函数§1.6 多值函数第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 柯西公式§2.4 泊松积分公式一般：曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向。
那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向，写为C -曲线方向的说明闭曲线：正方向和边界线的正方向一致——左侧A(起点)B(终点)CC1.定义设l 为复平面上的一条分段光滑的曲线c （A →B ），复变函数f(z)在该曲线上有定义。
()111()()nnkkk k kk k f zz f z ττ-==-=∆∑∑a)任意分割n 段b) 求和曲线积分012111,,,...,,,...,k k k n nz z z z z z z z -+-τkAB1lim ()()nk k cn k S f z f z dzτ→∞==∆≡∑⎰由于[][]()(,)(,)(,)(,)cccS f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ==-++⎰⎰⎰c) 取极限,0n z →∞∆→,()(,)(,)dz dx idy f z u x y iv x y =+=+极限值S 为函数f(z)沿曲线c 的积分1lim ()nk kn k S f z τ→∞==∆∑则τkAB被积函数积分路径()CS f z dz=⎰复变积分存在的条件： c 是分段光滑曲线 若曲线C 是闭曲线，记为 如果存在，一般不能写成。
第二讲 复变函数复变函数定义设D ⊆ 为一个子集,若对于D 内每一点z ,按照对应法则:f D → ,有确定的复数w 与之对应,则称w 是z 的复变函数,记为()w f z =.z 称为自变量. 复变函数()w f z =,对给定的一个z ,w 可能不唯一.若z D ∀∈,()w f z =唯一,则称f ()z 为单值函数;否则,称为多值函数.例1(单值函数):(1)()n w z n =∈Z (2)1w =(3)1110n n n n w a z a z a z a --=++++ ()i a ∈Z (4)1n w z= (,{0})n z ∈∈- Z (5)z w e =,令z x iy =+,则(cos sin )z x iy x w e e e y i y +===+ 所以x w e =,arg w y =.(6)(定义余弦函数)cos 2iz ize e z -+ 注:当z ∈R ,根据Euler 指数表达式cos sin iz e z i z =+和cos sin iz e z i z -=-可得上式.同理,可定义正弦函数为sin 2iz ize e z i-- . (7)sin tan cos z z z = cos cot sin z z z= (8)w z =(这是一个特殊函数,单值函数,不能求导) (9)w z =(此函数不能求导,定义域为 ,值域为R ) (10)(,,,)az b w a b c d cz d+=∈+例2(多值函数):(1)1nw z ==当取1z =时,利用Euler 公式得 (2)1()i k e k π=∈Z12k i n n e π==当0,1,2,,1k n =- 时n 个不同的值.比如取2n =时,有2()2k i i k e e ππ==(21)2(2)2121()12()i m im i i k i m im k e e e e k m m ee k m m ππππππ+⎧==⋅==-=+∈⎪=⎨====∈⎪⎩，，Z Z . 结论有两个值,分别为1和-1. 复变函数1nw z =的反函数为n z w =,由于原函数为多值函数所以反函数方程有n 个解.更一般的,z w 分别用Euler 指数表示法表示得 ,i i z re w e θϕρ==,代入1nw z =得(2)i k i n e θπϕρ+=1(2)(1,2,,1)k k n n ρϕθπ⎧=⎪⇒⎨=+=-⎪⎩， 所以w 能取多值.函数1nw z =也可表示为(从这里很明显的看出此函数为多值函数).(2)ln ()w z z =∈ →反函数为w z e =令w u iv =+,i z re θ=代入w z e =,得(2)i i k u iv u iv re re e e e θθπ++===⋅可推出,2()u r e v k k θπ==-∈Zln u r ⇒=(唯一)2()v k k θπ=+∈Z (无穷多值)即函数ln ()w z z =∈ 为多值函数.函数ln ()w z z =∈ 也可表示为(从这里很容易看出此函数为多值函数).。
