第10章湍流模型

湍流模型目前计算流体力学常用的湍流的数值模拟方法主要有以下三种：直接模拟（direct numerical simulation, DNS）直接数值模拟（DNS）特点在湍流尺度下的网格尺寸内不引入任何封闭模型的前提下对Navier-Stokes方程直接求解。

这种方法能对湍流流动中最小尺度涡进行求解，要对高度复杂的湍流运动进行直接的数值计算，必须采用很小的时间与空间步长，才能分辨出湍流中详细的空间结构及变化剧烈的时间特性。

基于这个原因，DNS目前仅限于相对低的雷诺数中湍流流动模型。

另外，利用DNS模型对湍流运动进行直接的数值模拟对计算工具有很高的要求，计算机的内存及计算速度要非常的高，目前DNS模型还无法应用于工程数值计算，还不能解决工程实际问题。

大涡模拟(large eddy simulation, LES)大涡模拟（LES）是基于网格尺度封闭模型及对大尺度涡进行直接求解N-S方程，其网格尺度比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节，但其计算量仍很大，也仅用于比较简单的剪切流运动及管流。

大涡模拟的基础是：湍流的脉动与混合主要是由大尺度的涡造成的，大尺度涡是高度的非各向同性，而且随流动的情形而异。

大尺度的涡通过相互作用把能量传递给小尺度的涡，而小尺度的涡旋主要起到耗散能量的作用，几乎是各向同性的。

这些对涡旋的认识基础就导致了大涡模拟方法的产生。

Les大涡模拟采用非稳态的N-S方程直接模拟大尺度涡，但不计算小尺度涡，小涡对大涡的影响通过近似的模拟来考虑，这种影响称为亚格子Reynolds应力模型。

大多数亚格子Reynolds模型都是将湍流脉动所造成的影响用一个湍流粘性系数，既粘涡性来描述。

LES对计算机的容量和CPU的要求虽然仍然很高，但是远远低于DNS方法对计算机的要求，因而近年来的研究与应用日趋广泛。

应用Reynolds时均方程(Reynolds-averaging equations)的模拟方法许多流体力学的研究和数值模拟的结果表明，可用于工程上现实可行的湍流模拟方法仍然是基于求解Reynolds时均方程及关联量输运方程的湍流模拟方法，即湍流的统观模拟方法。

【流体流动中存在着大量的密度变化虽然不大，但其影响又不可忽略的情况，如高炉车间里面的气流是远小于音速的流动，可以视为不可压缩流动，但高炉车间铁沟内的温差产生的自然对流对室内空气的流场和温度场在大多数情况存在着显著的影响。

对这类流体流动现象的描述引入著名的Boussinesq假设，可以大大简化所讨论的问题。

Boussinesq假设为：流体密度的变化并不显著地改变流体的性质。

即流体的其它物性不变；密度的变化对惯性力项、压力差项和粘性力项的影响可忽略不计；仅考虑密度的变化对质量力的影响】10湍流模型本章介绍了fluent中湍流模型的详细过程10.1 介绍湍流流动的特征就是速度场是脉动的。

速度的脉动使得输送量诸如动量，能量和物质浓度混合，从而导致它们也脉动。

因为脉动的幅度小，但是频率高，因此对实际的工程问题进行直接的模拟，耗费非常大的计算资源。

然而，瞬态的控制方程可以进行时间上的平均，ensemble-averaged，或者其他操作出去小的脉动分量，得到一系列的修正方程，这样求解起来花费会少些。

然而，修正方程中包含有另外的未知参量，湍流模型就是来定出这些参量。

Fluent中有下面的湍流模型：∙Spalart-Allmaras model∙k- modelso Standard k- modelo Renormalization-group (RNG) k- modelo Realizable k- model∙K- modelso Standard k- modelo Shear-stress transport (SST) k- model∙Reynolds stress model (RSM)∙Large eddy simulation (LES) model10.2 选择湍流模型没有一个万能的湍流模型适用于所有的问题，湍流模型的选择需要考虑流动中物理问题，特定问题的实际情况，需要的精确度水平，可用的计算资源，可用的模拟时间。

湍流模型推导对纳维斯托克斯方程做时间平均处理，即采用雷诺平均法（RANS ：Reynolds-Averaged Navier-Stokes ），可以得到湍流基本方程。

对于任意变量φ，按照雷诺时间平均法，可以拆分为如下格式：φφφ'+=“-” 表示对时间的平均，上标“’”代表脉动量。

按照dt TTt tφφ⎰∆+∆=1计算平均值，将流动变量i u 和p 转换成时间平均和脉动值之和u u u i '+=，p p p '+=为了使方程组更具有封闭性，必须模化雷诺应力，引入模型使方程组封闭。

其方法之一是湍流粘性系数法。

按照基于Boussinesq 的涡粘假设湍流粘性系数法有ij i i t i jj i t j i x u k x u xu u u δμρμρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''-32 上述方程式中t μ为涡粘系数，i u 为时均速度，ij δ是Kronecker 符号，k 为湍流动能（当j i =时，1=ij δ；当j i ≠时，0=ij δ）。

2i i u u k ''=确定涡粘性系数t μ就是整个湍流模型的目标关键，确定湍流粘性系数法具体可以分为零方程模型、一方程模型、和二方程模型等等。

一 零方程模型零方程模型也可称作代数模型，直接建立雷诺应力和时均值的代数关系，从而把涡粘系数和时均值联系到一起的模型。

1 混合长度模式混合长度模式是基于分子运动的比拟，在二维剪切层中导出的。

混合长度l 类比分子运动自由程，在经历混合长度的横向距离上，脉动速度正比于混合长度及流向平均速度梯度，即：yUlu ∂∂∝' （1.1-1） 而粘性系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（分子粘性系数正比于自由程和分子热运动速度之积），从而涡粘系数有如下的估计式：yUl l u v t ∂∂∝'∝2（1.1-2） 在湍流输运中，涡粘系数和沃扩散系数之比定义为普朗特数t Pr ，即：t t t v κ=Pr （1.1-3）工程计算中通常采用0.1~8.0Pr =t 。

大多数飞行器都是在高Re数下飞行，表面的流态是湍流。

为了准确地确定湍流流态下的摩阻、热流，湍流成为一个重要而困难的研究课题。

（一）DNS目前处理湍流数值计算问题有三种方法，第一种方法即所谓直接数值模拟方法（DNS方法），直接求解湍流运动的N-S方程，得到湍流的瞬时流场，即各种尺度的随机运动，可以获得湍流的全部信息。

随着现代计算机的发展和先进的数值方法的研究，DNS方法已经成为解决湍流的一种实际的方法。

但由于计算机条件的约束，目前只能限于一些低Re数的简单流动，不能用于工程应用。

目前国际上正在做的湍流直接数值模拟还只限于较低的需诺数(Re～200)和非常简单的流动外形，如平板边界层、完全发展的槽道流，以及后台阶流动等。

用直接数值模拟方法处理工程中的复杂流动问题，即使是当前最先进的计算机也还差三个量级。

（二）LES另一种方法称做大涡模拟方法（LES方法）。

这是一种折衷的方法，即对湍流脉动部分直接地模拟，将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。

小涡对大涡的影响会出现在大涡方程中，再通过建立模型（亚格子尺度模型）来模拟小涡的影响。

由于湍流的大涡结构强烈地依赖于流场的边界形状和边界条件，难以找出普遍的湍流模型来描述具有不同的边界特征的大涡结构，宜做直接模拟。

相反地，小尺度涡对边界条件不存在直接依赖关系，而且一般具有各向同性性质。

所以亚格子模型具有更大的普适性，比较容易构造，这是它比雷诺平均方法要优越的地方。

自从1970年Deardorff第一次给出具有工程意义的LES计算以来，LES方法已经成为计算湍流的最强有力的工具之一，应用的方向也在逐步扩展，但是仍然受计算机条件等的限制，使之成为解决大量工程问题的成熟方法仍有很长的路要走。

（三）RANS目前能够用于工程计算的方法就是模式理论。

所谓湍流模式理论，就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。

湍流模型及其在CFD中的应用一个例子如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。

上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。

提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反过来影响湍流？一、湍流及其数学描述1、湍流流动的特征流体实验表明，当Reynolds数小于某一临界值时，流动是平滑的，相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminar flow）。

当Reynolds数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。

这时，即使是边界条件保持不变，流动也是不稳定的，速度、压力、温度等流动特性都随机变化，这种状态称为湍流（turbulent flow）.湍流流动的两个例子Larger Structures Smaller Structures湍流涡的特点⏹观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡（turbulent eddies），简称涡（eddy）。

⏹从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随机的。

⏹大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；⏹小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流场尺度的千分之一量级，是引起高频脉动的原因。

涡的生成与耗散⏹大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。

⏹最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机械能就耗散为流体的热能。

⏹同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡又不断产生，构成了湍流运动。

湍流是流体力学中的难题⏹对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是均匀的、各向同性的，可以用经典的统计理论进行分析。

⏹但实际上，湍流是不均匀的。

湍流的作用⏹由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量，它代表着一种横向交换通量，也可以认为是由于湍流流动引起的一种附加剪切应力——影响动量的输运过程。

湍流模型介绍因为湍流现象是高度复杂的，所以至今还没有一种方法能够全面、准确地对所有流动问题中的湍流现象进行模拟。

在涉及湍流的计算中，都要对湍流模型的模拟能力以及计算所需系统资源进行综合考虑后，再选择合适的湍流模型进行模拟。

FLUENT 中采用的湍流模拟方法包括Spalart-Allmaras模型、standard（标准）k ?ε模型、RNG （重整化群）k ?ε模型、Realizable（现实）k ?ε模型、v2 ? f 模型、RSM（Reynolds Stress Model，雷诺应力模型）模型和LES（Large Eddy Simulation，大涡模拟）方法。

雷诺平均与大涡模拟的对比因为直接求解NS 方程非常困难，所以通常用两种办法对湍流进行模拟，即对NS 方程进行雷诺平均和滤波处理。

这两种方法都会增加新的未知量，因此需要相应增加控制方程的数量，以便保证未知数的数量与方程数量相同，达到封闭方程组的目的。

雷诺平均NS 方程是流场平均变量的控制方程，其相关的模拟理论被称为湍流模式理论。

湍流模式理论假定湍流中的流场变量由一个时均量和一个脉动量组成，以此观点处理NS 方程可以得出雷诺平均NS 方程（简称RNS 方程）。

在引入Boussinesq 假设，即认为湍流雷诺应力与应变成正比之后，湍流计算就归结为对雷诺应力与应变之间的比例系数（即湍流粘性系数）的计算。

根据计算中使用的变量数目和方程数目的不同，湍流模式理论中所包含的湍流模型又被分为二方程模型、一方程模型和零方程模型（代数模型）等大类。

FLUENT 中使用的三种k ?ε模型、Spalart-Allmaras 模型、k ?ω模型及雷诺应力模型RSM）等都属于湍流模式理论。

大涡模拟（LES）方法是通过滤波处理计算湍流的，其主要思想是大涡结构（又称拟序结构）受流场影响较大，小涡则可以认为是各向同性的，因而可以将大涡计算与小涡计算分开处理，并用统一的模型计算小涡。