用频率估计概率和用列举法求概率

1 概率初步知识点总结
一、随机事件
1. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，概率：0<P(A)<1.
2. 必然事件：在一定条件下,必然发生的事件，概率：P(A)=1.
3. 不可能事件：在一定条件下,一定不会发生的事件，概率：P(A)=0.
二、用列举法求概率
1. 列举法求概率：
三、与面积有关的概率
1. 与面积有关的概率：积（长度）
全部结果构成的区域面长度）发生对应的区域面积（事件A A P =
)( 四、用频率估计概率
1. 用频率估计概率：在大量重复实验条件下，事件发生的频率在某一常数附近摆动可用其频率估计概率.。

《用频率估计概率》《用频率估计概率》是《概率初步》这一章的最后一节内容，它是在学习了概率和用列举法求概率的基础上，进一步探究用试验的方法利用频率来估计非等可能事件的概率，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。

本节教材一开始设置了一个投币试验，首先要求学生亲自动手试验获得数据，从数据中发现规律；同时又给出历史上投币试验的众多数据，为学生发现规律提供帮助。

通过学生的亲手试验和历史数据，学生可以用已有的统计知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率大小。

可以发现，在重复投掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0。

5左右摆动，随着投掷次数的增加，频率会呈现出一定的稳定性，这个稳定值与用古典概型求出的概率是一致的，从而说明用频率估计概率方法的合理性。

由于用频率估计概率不受随机试验中结果种数有限和各种结果发生等可能的限制，所以它的适用的范围比列举法求概率要大得多。

【知识与能力目标】1、能够通过随机试验，获得事件发生的频率；2、知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系。

【过程与方法目标】通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法。

【情感态度价值观目标】利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。

【教学重点】通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。

【教学难点】对大量重复试验得到频率的稳定值的分析。

多媒体课件、教具等。

一、创设情境，引入新课 问题1 回答下列问题：（1）用列举法求概率的条件是什么？ （2）用列举法求概率的方法是什么？ （3）在P (A )＝nm，P (A )的取值范围是什么？ （4）常用的列举试验结果的方法有哪些？归纳：（1）用列举法求概率的条件是：①每次试验中，可能出现的结果是有限的；②每次试验中，各种结果发生的可能性相等。

（2）每次试验中，有n 种可能结果（有限个），发生的可能性相等；事件A 包含其中m 种结果，则P (A )＝nm 。

《用频率估计概率》教案教学目标知识与技能1.理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.2.了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.过程与方法通过做抛掷硬币试验，让学生体会到为什么可以用频率来估计概率.情感态度通过本节课学习，让同学们体会到科学来源于实践的道理，激发他们动手、动脑、探究、归纳的兴趣和欲望.教学重点了解用频率估计概率的必要性和合理性.教学难点大量重复试验得到频率值的分析，对频率与概率之间关系的理解.教学过程一、情境导入，初步认识同学们口答下列几个问题.(1)用列举法求概率的条件是什么？(2)用列举法求概率的公式是什么？(3)常用的列举法有哪几种方法？二、思考探究，获取新知1.用频率估计概率活动探究1①将学生分小组完成教材P134“做一做”活动具体做法是：将全班学生分成几个小组，每小组里面选定两名同学抛硬币，其余的同学记录试验结果，完成“教材做一做”中的统计表和统计图.②将各小组完成的统计表和统计图进行交流或展示，让同学们从中发现有什么共同点，从而完成“做一做”中的(3)、(4).归纳：①随着掷硬币次数的增加，“正面朝上”的频率稳定在12左右.②通过大量的重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.2.用模拟试验求各种可能结果发生的可能性不相等事件的概率.【教学说明】①对于掷硬币试验，它的所有可能结果是有限的，只有两个，而且出现两种结果的可能性相等，可以用前面所学的方法求概率.②对于一般的随机事件，当试验所有的可能结果不是有限个，或者各种结果发生的可能性不相同的，就不能用前面所学的方法求其概率.活动探究2教材P135做一做——抛瓶盖试验【教学说明】①问：瓶盖与硬币有什么不同？②试验的方法和过程与［活动探究1］一样分小组完成.归纳：在同样条件下，大量重复实验时，如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P(A)=P.【教学说明】频率与概率的区别和联系.1.频率和概率都是刻画随机事件发生可能性大小的量.2.频率与试验次数及具体试验有关，具有随机性.3.概率是刻画随机事件发生可能性大小的，是一个固定值，不具有随机性.4.每次试验的可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率.3.例题讲解例:瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”.由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计.例2一粒木质中国象棋“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：(1)请将数据表补充完整；(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【分析】利用“频率=事件发生的次数÷实验次数”完成表格，将表格对应转化成折线图，结合折线图估计事件概率.解：(1)18，0.52，0.55.(2)频率分布折线图如下：(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，即P(“兵”字面朝上)=0.55.三、运用新知，深化理解1.关于频率与概率的关系，下列说法中正确的是( )A.频率等于概率B.当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D.试验得到的频率与概率不可能相等2.在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种球共20只，某学习小组做摸球实验，每次摸完再把它放回袋中，不断重复，下表是一次摸球实验的一组统计数据：(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少？假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=________.(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有_______只，________只.【教学说明】学生自主完成以上题目.【答案】1.B2.(1)0.6 (2)812练习题：如课本图是一个能自由转动的转盘，盘面被分成8个相同的扇形，颜色分为红、黄、蓝三种.转盘的指针固定，让转盘自由转动，当他停止后，记下指针指向的颜色.如此重复50次，把结果记录在表中.(1)是估计当圆盘停下时，指针指向黄色的概率是多少？(2)如果自由转动圆盘240次，那么指针指向黄色的次数大约是多少？四、师生互动，课堂小结1.本节课主要学习了用频率估计概率的条件和方法.2.通过本节课的学习你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.课后作业1.教材P138练习.2.完成同步练习册中本课时的练习.。

树状图和表格法求概率知识点一利用频率估计概率1、在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.2、我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.注意：（1）在试验时应注意试验的随机性；（2）要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的“波动”就会越小，即趋于相对稳定的状态；（3）得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值.我们可以用频率来估计概率，但是不能说频率等与概率，区别在于：频率是通过多次试验而得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性.3、频率与概率的联系：利用频率估计概率：在进行大量试验时，随着试验次数的增加，一个不确定事件的发生的频率逐渐稳定到某一个数值，在这个数值附件摆动，这个数值便是，因此可以用平稳时的频率来估计这个事件发生的概率。

利用概率指导频率：频率的合理性和科学性依赖于概率理论的严密性。

4、频率与概率的区别：1）概念不同：每个对象出现的次数与总次数的比值称为。

刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的。

2）意义不同：频率所描述对象可以是确定事件，也可以是不确定事件。

概率所描述对象通常为不确定事件。

3）性质不同：频率是试验统计值，是随着试验次数的变化而不断变化的。

概率是不确定事件本身所固有的特性，是不确定事件的一种内部规律，其数值是固定的，不随着试验次数的变化而变化。

注意：频率是变化的，概率是固定的。

二者存在一定的偏差，频率的值无限接近于概率的值。

5、利用频率估计概率可以估算数学或实际生活中的不能或不易直接获得的数值。

6、用抽取法估计数目两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录其中某一个颜色的球出现的次数，利用频率估计概率估算这一颜色球的数量。

依据：重复多次试验时，试验频率约等于概率。

（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一个颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复上述过程，摸一定的次数，求出这个颜色球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数量。

25．3 用频率估计概率【教材分析】《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。

它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。

概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。

纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。

【教学目标】根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识目标：1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。

2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。

方法与过程目标：1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系.2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.情感态度与价值观目标:1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。

2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。

【重点与难点】重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。

2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。

难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。

【学生分析】学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。

所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。

【教学方法】树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。

25.3 用频率估计概率教师备课素材示例●归纳导入(1)我们知道，任意抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率是0.5，许多科学家曾做过成千上万次的试验，其中部分结果如下(2)两个同学一组多次抛硬币，计算出“正面向上”的频率；(3)归纳：试验次数越多，频率越接近概率．【教学与建议】教学：通过抛硬币试验的引入，体会频率与概率的关系．建议：让学生两个人合作抛硬币，记录并计算出频率．●复习导入通过前面知识的学习，请同学们回答下列问题：(1)用列举法求概率的条件和方法是什么？(2)列表法、画树状图法是不是列举法，它们在什么时候应用？(3)当列举法不能求出某事件的概率时，还有没有其他的方法？【教学与建议】教学：通过复习，使学生加深对列举法求概率的理解，同时产生探索其他方法求概率的兴趣．建议：问题3，教师可以直接点题．在做大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在概率值附近．【例1】(1)在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算硬币正面朝上的概率，其试验次数分别为10，20，50，100次，其中试验相对科学的是(D)A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组(2)做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为(B)A．0.22B．0.42C．0.50D．0.58理解和巩固利用频率估计概率的方法，灵活解决问题．【例2】(1)为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做了记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量为(A) A．1250条B．1750条C．2500条D．5000条(2)含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有__9__张．(3)为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积约是__4__m2.让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，加强应用统计与概率的意识．【例3】某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表(数据分(1)(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？(3)该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1∶3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？解：(1)“直播”教学方式学生的参与度更高．理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高；(2)12÷40×100%＝30%.答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%；(3)“录播”总学生人数为800×11＋3＝200(人)，“直播”总学生人数为800×31＋3＝600(人)，所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×440＝20(人)，“直播”参与度在0.4以下的学生数为600×240＝30(人)，所以参与度在0.4以下的学生共有20＋30＝50(人).高效课堂 教学设计1．学会根据问题的特点，用统计频率来估计事件发生的概率．2．理解用频率估计概率的方法，渗透转化和估算的数学方法．▲重点对利用频率估计概率的理解和应用．▲难点比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法．◆活动1 新课导入1．举例说明什么是确定事件，什么是不确定事件．答：确定事件：太阳从东方升起．不确定事件：打开电视正在直播足球比赛．2．什么是概率？答：在一定条件下，重复做n 次试验，m 为n 次试验中事件A 发生的次数，如果随着n 逐渐增大，频率m n逐渐稳定在某一数值p 附近，那么数值p 称为事件A 在该条件下发生的概率，记作P(A)＝p.3．抛掷一枚硬币，落定后，正面朝上的概率是多少？你是怎样求出来的？答：概率是0.5.4．当试验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，该如何求事件发生的概率呢？答：在相同的条件下，通过大量的重复试验，可以用这个事件发生的稳定的频率值作为这个事件发生的概率的估计值．◆活动2 探究新知1．教材P 142～145.提出问题：(1)试验：把全班同学分成8组，每名同学掷一枚硬币10次，每组统__0.5__左右摆动；(3)随着抛掷次数的增加，一般地，频率呈现出一定的稳定性，在0.5左右摆动的幅度会越来越__小__．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于__0.5__．学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的__频率m n__稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率P(A)＝__p__．(注意：用频率估计概率的条件是大量重复试验)◆活动4 例题与练习例1 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下__0.6__(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是__0.6__，摸到黑球的概率是__0.4__；(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？解：白球：20×0.6＝12(个)，黑球：20×0.4＝8(个).练习1．教材P147习题25.3第1，2题．2．小华练习射击，共射击600次，其中380次击中靶子，由此估计小华射击一次击中靶子的概率是( C )A．38%B．60%C．63%D．无法确定3．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则布袋中红色球可能有( B )A．4个B．6个C．34个D．36个◆活动5 课堂小结频率与概率的关系：区别：①频率反映事件发生的频繁程度；概率反映事件发生的可能性大小；②频率是不能脱离具体的n次试验的结果，具有随机性；概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．1．作业布置(1)教材P147～148习题25.3第3，4，5题；(2)对应课时练习．2．教学反思[第（1）题图][第（2）题图]。

27.3 利用频率估计概率（第1课时）教学目标：1．理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．掌握用模拟实验求概率的方法及其他们的应用。

重难点、关键：重点：讲清用频率估计概率的条件及方法。

难点与关键：比较用列举法求概率与用频率估计概率的条件与方法。

疑难分析：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.教学过程：一、复习引入请同学们口答下面几个问题：1.用列举法求概率的条件是什么？2.用列举法求概率的方法是什么？3.A=事件，P(A)的取值范围是什么？4.列表法、树形图法是不是列举法，他在什么时候应用？二.展示学习目标（口述）1.理解用频率估计概率的条件及方法。

2.应用用频率估计概率的方法解决一些实际问题。

三.出示自学提示，布置自学任务阅读课文第99页的内容，根据要求完成下面的实验和问题（课前完成）：1.实验：前后两排学生为一组，每组同学掷一枚硬币50次，记录硬币正面向上的频数，求出正面向上的频率。

2.根据表25-4思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？3.你认为在什么情况下采用频率估计概率的办法？4.对一个随机事件A，用频率估计的概率P(A)可能小于0吗？可能大于1吗？5.思考：抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5，是不是抛掷10次一定会有5次正面向上？四.教师组织引导学生梳理知识1.完成实验任务。

（1）汇总，填写表格.（2）完成绘图.（3）思考：频率在那个数左右浮动？2.针对提出的问题，各小组回报学习结果。

3.归纳总结。

4.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中各次比赛进球的频率。

北师大版九年级上册第三章概率的进一步认识知识归纳及例题【学习目标】1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 【知识点梳理】要点一、用树状图或表格求概率 1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 知识点诠释：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 知识点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ； （3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=. 知识点二、用频率估计概率 1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值.概率：事件A 的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 知识点诠释：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量nm nm重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.知识点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.类型一、用树状图或表格求概率1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概率为. 【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少. 举一反三：【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C.【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（ ）. A ．BC D【答案】 D.2. （2016•大庆）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．13141234141312143413【答案】C.【解析】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况， ∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C ．【总结升华】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三：【变式1】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D.【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P （停在阴影部分）=. 类型二、频率与概率3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率等于概率 B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 试验得到的频率与概率不可能相等【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的. 【答案】B.【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近. 【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.1918291323类型三、利用频率估计概率4. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格：落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2) 0.70；(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.70；(4) 0.70×360°=252°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．5.（2015春•泰兴市期末）在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．（1）试求出a的值；（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．【思路点拨】（1）根据频率估计概率，可得到摸到红球的概率为20%，然后利用概率公式计算a的值；（2）根据概率公式分别计算出摸出一个球是红球或白球或蓝球的概率，然后根据概率的大小判断这三个事件发生的可能性的大小．【答案与解析】解：（1）a=4÷20%=20；（2）在一个暗箱里放有20个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，蓝求有6个，所以从中任意摸出一个球，该球是红球的概率=20%；该球是白球的概率==50%；该球是蓝球的概率==30%，所以可能性从小到大排序为：①③②．【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”. 举一反三：【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .【变式2】一只箱子里原有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率． （2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为，则需要再加入几个红球？ 【答案】类型四、概率的简单应用6. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【思路点拨】（1）问属于古典概型；（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，计算小王和小李各自取胜的概率，再去做判断. 【答案与解析】（1）P （抽到牌面数字４）=；（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：53一共有9种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.【总结升华】列表法可以不重不漏地列出所有可能的结果.举一反三：【变式】（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】解：（1）根据题意画图如下：∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∵P（小明获胜）==；（2）∵P（小明获胜）=，∵P（小东获胜）=1﹣=，∵这个游戏不公平．23。

2024年广东省中考数学总复习专题22
概率
一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．二、概率的计算
1．公式法：P（A）=m
n，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发
生的频率m
n来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动
的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．
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《数学活动：探究几何概率的求解》教案2分钟活动二【几何概率的应用】如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，求：这粒米落在圆内的概率是多少？8分钟活动三【实验与探究----π的估计】如图是一个正方形及其内切圆，请你借助这个图形和上一道题目的结论，设计一个实验来估算π的值。

教师给出几种方法：1.可以把这个图案做成一个靶面，然后随机向其投掷飞镖，利用飞镖落在圆内的概率进行估算2.可以向这个图中随机扔一把豆子，计算落在圆内的豆子数与落在正方形内的豆子数的比值进行估算给出具体的实验步骤进行模拟操作，观看视频1分钟活动小结古人计算圆周率，一般是用割圆术法，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。

而今天我们通过随机模拟的方法对π进行估计，这也体现了“用频率估计概率”的广泛应用。

在今天的实验与探究中，我们学习了几何概率的定义，与概率的古典定义比较，它也要求每种试验结果是等可能的，但没有结果种数有限的限制。

5 训练提高如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC，BD过圆心O，AC⊥BD，点P是圆内随机确定的一个点，求点P落在四边形ABCD内的概率。

小明为估计π的值，进行投掷飞镖实验，共随机掷飞镖335次，其中落在四边形ABCD内211次，落在圆外10次，小明此次实验估计的π值是多少？（精确到小数点后两位）1 小结在实验中你们有哪些发现？存在哪些问题？出现这些问题的原因是什么？对改进实验的精确度你们准备采取哪些措施？3 布置作业综合训练一、选择题1.下列事件中,是不可能事件的为()A.买一张电影票,座位号是奇数B.射击运动员射击一次,命中9环C.明天会下雨D.度量三角形的内角和,结果是360°2.下列说法正确的是()A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B.“抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖D.“抛一枚质地均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近3.如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到号码为1的卡片的概率是()A. B. C. D.4.一只蚂蚁在如图所示的树上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它获得食物的概率是()A. B. C. D.5.一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球,其中2个红色,1个白色,1个黑色,搅匀后从布袋里摸出1个球,摸到红球的概率是()A. B. C. D.6.如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2在x轴上,点B1,B2在y轴上,其坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1), B2(0,2),分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是()A. B. C. D.7.如图,甲为四等分数字转盘,乙为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘,当转盘停止转动后(若指针停在边界处则重转),两个转盘的指针恰好有一个指向阴影区域的概率是()A. B. C. D.8.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于n2,则算过关;否则不算过关.则能过第二关的概率是()A. B.C. D.二、填空题9.如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取一个数,那么取到的数恰好是5的倍数的概率是.10.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们除颜色外其他均相同,其中有2个红球,每次摸球前先将盒子中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,则可以推算出n大约是.11.如果小球在如图所示的地面上自由滚动,并随机停留在某块方砖上,那么它最终停留在黑色区域的概率是.12.今年五一节,某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会(如图,转盘被分为8个全等的小扇形),当指针最终指向数字8时,该顾客获一等奖;当指针最终指向2或5时,该顾客获二等奖(若指针指向分界线则重转).经统计,当天发放一、二等奖奖品共600份,那么据此估计参与此次活动的顾客为人次.三、解答题13.有一个质地均匀的正12面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同).投掷这个正12面体一次,记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式“P(A)=+P(B)”是否成立,并说明理由.14.一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“灵”“秀”“神”“州”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球,则球上的汉字刚好是“神”的概率为多少?(2)甲从中任取一个球,不放回,再从中任取一个球,请用画树状图的方法,求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“灵秀”或“神州”的概率P1;(3)乙从中任取一个球,记下汉字后再放回袋中,然后再从中任取一个球,记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“神州”的概率为P2,指出P1,P2的大小关系(请直接写出结论,不必证明).15.小亮与小齐学习概率初步知识后设计如下游戏:小亮手中有方块10,8,6三张扑克牌,小齐手中有方块9,7,5三张扑克牌.每人从各自手中取一张牌进行比较,牌面上的数字大的为本“局”获胜,每次取的牌不能放回.(1)若每人随机取手中的一张牌进行比赛,求小齐本“局”获胜的概率;(2)若本局采用三局两胜制,即胜2局或3局者为本次比赛获胜者.当小亮的三张牌出牌顺序为先出6,再出8,最后出10时,小齐随机出牌应对,求小齐本次比赛获胜的概率.16.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种情况是等可能的,那么当三辆汽车经过这个十字路口时:(1)求三辆车全部同向而行的概率;(2)求至少有两辆车向左转的概率;(3)由于十字路口右转弯处是通往新建经济开发区的,因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了多次统计,发现汽车在此十字路口向右转的频率稳定于,向左转和直行的频率均稳定于.目前在此路口,汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒,在绿灯总时间不变的条件下,为了缓解交通拥挤,请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整.综合训练一、选择题1.D2.D3.A4.A根据题意可知蚂蚁可以选择的路径共有9条,其中可以获得食物的有3条.故P(获得食物)=.5.A6.B分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形的所有情况有:△A1OB2,△A1OB1,△A2OB1,△A2OB2共4种情况,其中是等腰三角形的为△A1OB1和△A2OB2两种情况,所以所求概率为.7.D8.A根据题意,当点数之和大于×22=5时,能过第二关.列表如下:点数123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知,共36种等可能的结果,点数之和大于5的结果数是26,故P(能过第二关)=.二、填空题9.10.1011.12.1 6008个小扇形中有3个可以获奖,600÷=1 600.三、解答题13.解不成立.理由:因为P(A)=,P(B)=,而,所以等式不成立.14.解(1)任取一个球,共有4种不同结果,所以球上汉字刚好是“神”的概率是.(2)由题知树状图如下:共有12种等可能的取法,能满足要求的有4种,所以P1=.(3)P1>P2.15.解(1)每人随机取一张牌共有9种等可能的情况:[或(10,9),(10,7),(10,5),(8,9),(8,7),(8,5),(6,9),(6,7),(6,5)]小齐获胜的情况有(8,9),(6,9),(6,7),共三种,所以小齐获胜的概率为P1=.(2)根据题意,小亮的出牌顺序为6,8,10时,小齐随机出牌有6种:(9,7,5),(9,5,7),(7,9,5),(7,5,9),(5,9,7),(5,7,9),小齐获胜的情况只有(7,9,5)一种,所以小齐获胜的概率为P2=.16.解(1)根据题意,画出树状图如下:P(三辆车全部同向而行)=.(2)P(至少两辆车向左转)=.(3)由于汽车向右转、向左转、直行的概率分别为,在不改变绿灯亮的总时间的条件下,可调整绿灯亮的时间如下:左转绿灯亮的时间为90×=27秒;直行绿灯亮的时间为90×=27秒;右转绿灯亮的时间为90×=36秒.。