(完整版)用频率估计概率讲解

《利用频率估计概率》知识全解
课标要求
学会用频率估计概率的方法，并理解这种方法在实际生活中的应用的合理性。

知识结构
（1）理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率.
（2）理解用模拟实验解决实际问题的合理性.
（3）会对简单问题提出模拟实验策略.
内容解析
本节就结合具体情境研究了如何用频率估计概率.问题1应用了“用样本估计总体”的统计思想.问题2略显复杂一方面要应用“用样本估计总体”的统计思想以及用频率估计概率的思想计算出柑橘的损坏率，另一方面还要根据已知的损坏率为达到盈利的目的采取定价决策.问题3的目的不在于让学生获得最后的精确结果，而是让学生根据具体的问题情境设计合适的模拟实验策略.
重点难点
重点：用试验的方法估计事件发生的频率；难点：对简单问题提出模拟实验策略.
教法导引
首先让学生通过具体的实验操作获得一定的活动经验，让学生体会到通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.教学时要注意联系实际问题，可以和学生一起挖掘身边的素材进行教学.
学法建议
勤动手，多动脑，培养团结协作精神，研究问题时要有耐心，还要细心，体会数学知识与实际生活的息息相关和学习数学的快乐.。

一、利用频率估算概率的方法1.在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2.当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率；3.利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P。

4.利用频率估计出的概率是近似值。

二、利用频率估算概率频率：在多次实验中，某个事件出现的次数叫频数，某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率。

概率：又称或然率、机会率或机率、可能性，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量，表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。

三、频率与概率之间的关系频率与概率的区别：事件的概率是客观存在的，是确定的，是个不变的常数.而事件发生的频率是大量重复试验的结果，是不确定的，是变化的数。

它不仅和总的试验次数n有关，即重复试验的次数n不同，结果(频率)可能不同，而且即便是两回大量重复试验的次数n相同，事件出现的次数k也可能不同，结果(频率)也就可能不同.频率与概率的关系：事件发生的频率客观上能够体现事件概率的含义，即一个事件发生的频率越大，说明该事件在总的试验次数n中，出现的次数k相对的越多，也就是说该事件发生的可能性越大;事件发生的频率越小，说明该事件在总的试验次数n中，出现的次数k相对的越少，也就是说该事件发生的可能性越小.反过来，事件发生的概率也应该体现在事件的频率上，即事件的概率越大，该事件发生的可能性越大，应该在总的试验次数n中，该事件出现的次数k相对越多;事件的概率越小，该事件发生的可能性越小，应该是在总的试验次数n中，该事件出现的次数k相对越小.四、如何用频率估计概率？1.要解决这个问题首先要了解频率和概率的定义以及它们之间的相互关系。

用频率估计概率一、知识点1. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝m n.二、标准例题：例1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）A．概率等于频率B．频率等于12C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于正面朝上的次数总次数，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。

故答案为：D总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。

例2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”【答案】D【解析】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确；D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．故选D．总结：本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．例3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】（1）见解析；（2）0.5.【解析】（1）根据题意得：28÷50=0.56；60÷100=0.60；78÷150=0.52；104÷200=0.52；123÷250≈0.49；152÷300≈0.51；350÷251≈0.50；见下表：(2)由题意得：投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)，投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)，则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次,投中的概率约为：796 1400≈0.5.故答案为：0.5.总结：本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.例4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．（1）填空：样本容量为，a＝；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．【答案】（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．解：（1）5415100360÷=，所以样本容量为100；B组的人数为100153515530----=，所以3010030100a=⨯=，则30a=；故答案为100，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于160cm的人数为153045+=，样本中身高低于160cm的频率为450.45 100=，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．总结：本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．三、练习1．以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2 3B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是1 2D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是1 2【答案】D解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确，故选：D．2．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选：C．3．某运动员投篮5次，投中4次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（）A．15B．14C．45D．不能确定【答案】D【解析】因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定.故选：D4．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】B【解析】解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选：B．5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【答案】D【解析】A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为16，故此选项错误；B. 掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为12，故此选项错误；C．掷一枚正六面体的骰子，点数小于4的概率为12，故此选项错误；D．掷一枚正六面体的骰子，点数为3的倍数的概率为10.333，故此选项正确；6．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：当n越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到0.01）【答案】0.82.【解析】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为：0.82.7．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.【答案】20【解析】解：石块标记3的面落在地面上的频率是15100=320，于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是3 20．故答案为：3 20．8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表：投中的频率根据上表，该运动员投中的概率大约是__________（结果精确到0.01）．【答案】0.85【解析】由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在0.85附近，所以该运动员投中的概率大约是0.85. 故答案为：0.85.9．某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为_________________（精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树_________万棵.【答案】0.86 5【解析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86．（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 10．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了60次试验，试验的结果如下：①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为________；②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．【答案】（1）①110；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）16． 【解析】解：（1）①∵实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60， ∴此次实验中“3点朝上”的频率为6÷60=110； ②小红的说法不正确，∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性，∴小红的说法不正确；（2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况：，，，，， ，∴和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种，两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大， 则最大概率为：6÷36=16．11．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3． （1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数． 【答案】（1）50；（2）60 【解析】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个） （2）设小明放入红球x 个．根据题意得：200.5100xx+=+解得：x =60（个）．经检验：x =60是所列方程的根． 答：小明放入的红球的个数为60．12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P=；（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只.【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20.【解析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6（2）摸到黑球的概率P=1-0.6=0.4（3）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20．13．“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有1个红球、2个黄球、3个白球、8个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得1次抽奖机会.(1)小明是否一定能中奖___________；(填是、否)(2)求出小明抽到一等奖的概率；(3)在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和没中奖的机会相等？(只写一种即可)【答案】(1)否；(2)小明抽到一等奖的概率是114；(3)见解析.【解析】解：(1)否；(2)球的个数有123814+++=(个)，而红球有1个所以小明抽到一等奖的概率是1 14；(3)因为黑球的个数有8个，所以没有中奖的概率是84 147=，则中奖的概率是43177 -=，因为43 77≠，所以中奖和没中奖的机会不相等，可以减少2个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）.14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球12(个),黑球8 (个)【解析】(1)a=290500=0.58，故答案为：0.58；(2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60；(3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个).答：黑球8个，白球12个.15．一个袋中装有7个红球，8个黑球，9个白球，每个球除颜色外都相同．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；（2）若先从袋中拿出7个红球和(5)m m>个黑球，再从剩下的球中摸出一球．①若事件“再摸出的球是白球”为必然事件，求m的值；②若事件“再摸出的球是白球”为随机事件，求m 的值，并求出这个事件概率的最小值． 【答案】（1）724；（2）①8m =；②6m =，911. 【解析】解：（1）从袋中随机摸出一个球是红球的概率7778924==++．（2）①由题意袋中，都是白球，8m =． ②由题意6m =或7或8，当6m =时，这个事件概率的最小，最小值911=． 16．小明在一个不透明的口袋里装若干个白球，要求本学习小组的其他成员在不允许将球倒出来数的情况下，估计白球的个数.小组成员小华应用了统计与概率的思想和方法解决了这个问题.他拿了8个黑球放入口袋里，将球搅匀.然后学习小组进行有放回的摸球实验，下表是活动进行中的一组统计数据.请你根据以上统计数据，帮助小华解答下列问题：（1）补全上表中的有关数据，并估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）估计口袋里白球的个数. 【答案】（1）0.4；（2）12. 【解析】（1）上表中的有关数据是0.399，当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近0.4.（2）设白球的个数为x ，则80.48x =+，解得12x =.。

第16讲 用频率估计概率 概率的简单应用例1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右 设草鱼的条数为x ，可得：0.51600800xx=++，∴x =2400，经检验：2400x =是原方程的根，且符合题意， ∴捞到鲢鱼的概率为：8001160080024006=++，故选：D ． 【点睛】本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．例2．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（ ） A ．150B ．126C ．125D ．12【答案】B 【解析】根据概率的求法，在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=mn，列式求解即可． ∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球， ∴摸到白球的概率为215226=，∴摸到白球的频率为：126． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．例3．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况： 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m369133532036335807312628成活的频率m n0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（ ） A ．0.80 B ．0.85C ．0.90D ．0.95【答案】C 略例4．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长1.2m ，宽0.6m ．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为（ ）A ．20.35mB ．20.7mC ．20.144mD ．20.2m【答案】C 【解析】长方形宣传海报的面积为()21.20.60.72m⨯=．∵豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右，∴“节约用水 从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的20%．∴海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积约为()21.20.60.72m⨯=．例5．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】A【解析】设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得99x+＝30%，解方程即可求解．设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据题意，得：99x+＝30%，解得：x＝21，经检验：x＝21是分式方程的解，∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，故选A．【点睛】本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=频数数据总和是解决问题的关键．例6．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】B【解析】由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．由题意可得4100%20% a⨯=，解得20a=．经检验：a=20是原方程的根且符合题意【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键例7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【答案】B【解析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．故选：B．【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．一、单选题1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【答案】A【解析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，此项错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为10.5180.482-=，此项错误；故选：A．【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．2．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=nm，则下列说法正确的是()A．p一定等于12B．p一定不等于12C．多投一次，p更接近12D．投掷次数逐步增加，p稳定在12附近【答案】D【解析】【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在12附近．故选：D．【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87 【答案】C【解析】【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．解：样本中身高不低于170cm的频率5501300.681000+==，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（）A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】【分析】根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.3，进而可估计摸到黄球的概率．∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，∴估计摸到黄球的概率为0.3，故选：A．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．5．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（）A ．112 B ．16C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．设三行三列的方格棋盘的格子坐标为(),a b ，其中开始时骰子所处的位置为()1,1，则图题（2）所示的位置为()3,3，则从()1,1到()3,3且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为2163P ==，故选C ． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．6．如图，小球从A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E 出口落出的概率是（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B 、C 、D 处都是等可能情况，从而得到在四个出口E 、F 、G 、H 也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E 、F 、G 、H 四个，所以小球从E 出口落出的概率是：14；故选：C ． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．7．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D 5【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可 解：大正方形的面积为：21214(21)52⨯⨯⨯+-=， 阴影部分的小正方形的面积为：2(21)1-=， ∴飞镖落在阴影部分的概率是1155÷=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．8．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3，现在有一只20岁的动物，它活到30岁的概率是( )A ．35B ．38C ．58D ．310【答案】B【解析】【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x，故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为0.30.8xx=38．故选：B．【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据：并得出了四个结论，其中正确的是（）A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D．这个盒子中的白球定有28个【答案】B【解析】【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．解：A. 试验1500次摸到白球的频率不一定比试验800次的更接近0.6，故不正确；B. 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故正确；C. 当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m不一定等于1200，故不正确；D. 这个盒子中的白球定估计有40×0.6=24个，故不正确；故选B．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：投石子的总次数50次150次300次600次石子落在空白区域内的次数14次85次199次400次石子落在空白区域内的频率725173019930023依此估计空白比分的面积是（）A．6B．8.5C．9.95D．10【答案】D【解析】【分析】根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积.由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近23，即空白区域的面积占总面积的23，∴空白部分的面积=215103⨯=，故选D.【点睛】此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.二、填空题11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是___________．【答案】0.32【解析】【分析】由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可．解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．故答案为：0.32．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．12．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．【答案】4【解析】【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，∴摸到红球的频率=301 1505=，∵袋子中共有20个小球，∴这个袋中红球约有12045⨯=个，故答案为4．【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为___________cm2．【答案】3【解析】【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，计算即可．解：正方形二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为4cm2，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，∴黑色部分的面积约为：4×75%=3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在99⨯小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字1表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率A区域______B区域（填“>”“<”“=”）.【答案】=【解析】【分析】分别求出A 区域踩到地雷的概率和B 区域踩到地雷的概率即可.∵A 区域踩到地雷的概率为18，B 区域踩到地雷的概率为91=728，∴第二步踩到地雷的概率A 区域和B 区域是相等的.故填=.【点睛】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键． 15．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m 个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可． 根据题意列式：0.541mm =++，解得5m =，则布袋中白球的个数为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．16．小慧在一次用“频率估计概率”的试验中，把“学生知耻处，方知艺不精”中的每个汉字分别写在十张完全相同的卡片上，然后把卡片的背面朝上，随机抽取一张后统计某一个汉字被抽到的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的汉字是______．【答案】知 【解析】 【分析】利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为15，总共有十个汉字，可得此汉字的个数为2，即可求解．解：利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为15，在“学生知耻处，方知艺不精”中总共有十个汉字， 可得此汉字的个数为2， 从而得到此汉字为知， 故答案为：知 【点睛】此题考查了利用“频率估计概率”，解题的关键是理解题意，正确求得抽的此汉字的概率． 17．一名男生投实心球，已知球行进的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为 y=﹣425（x ﹣2）2+8125，那么该男生此次投实心球的成绩是__．【答案】6分 【解析】解：当y=0时，计算得出：x 1=6.5，x 2=-2.5（舍去），由表可以知道当水平距离x=6.5米时，该男生此次投实心球的成绩是6分.18．定义：若自然数n 使得三个数的加法运算“(1)(2)n n n ++++”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为2349++=不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为45615++=产生进位现象；51是“连加进位数”，因为515253156++=产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______． 【答案】2225【解析】 【分析】按照定义将数据依次代入(1)(2)n n n ++++进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.当n=0时，(1)(2)=012=3++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=1时，(1)(2)=123=6++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=2时，(1)(2)=234=9++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=3时，(1)(2)=345=12++++++n n n ，是连加进位数， 故0到9中，0、1、2不是连加进位数；当n=10时，(1)(2)=101112=33++++++n n n ，不是连加进位数，当n=11时，(1)(2)=111213=36++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=12时，(1)(2)=121314=39++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=13时，(1)(2)=131415=42++++++n n n ，是连加进位数， 故10到19中，10、11、12不是连加进位数；以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个， 故取到“连加进位数”的概率是8822=10025. 【点睛】本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键. 三、解答题19．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．(1)估计该麦种的发芽概率．(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g ．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg ）？ 【答案】(1)该麦种的发芽概率约为95%； (2)约需麦种790千克 【解析】 【分析】（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；（2）设约需麦种x 千克，根据x 千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x ×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可 (1)解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%， 故该麦种的发芽概率约为95%； (2)解：设约需麦种x 千克，x ×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3， 化简得15200x=12000000， 解得x =789919， 答：约需麦种790千克 【点睛】本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验n 次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．(1)观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为______． (2)请你估计盒子里白球个数．(3)若往盒子中同时放入x 个白球和y 个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】(1)0.2 (2)1个 (3)31y x =- 【解析】 【分析】（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，所以n 很大时摸到白球的概率将会接近0.2；（2）设盒子里白球有m 个，根据题意列出方程m=0.25，解方程即可得出答案； （3）根据等可能事件概率的计算方法，得到等式10.255xx y +=++，化简后即可得答案．(1)观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，∴摸到白球的频率为0.2(2)设盒子里白球有m 个，根据题意得，m =0.25解得m =1．答:盒子里白球有1个． (3)解：由题意得：10.255xx y +=++．化简整理得：31y x =-．∴y 与x 之间的函数关系式为：31y x =-．（x 为正整数） 【点睛】本题考查用频率估计概率，理解概率的意义，能根据事件发生的频率来估计该事件的概率是解题的关键.21．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明) (2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：根据上表， 下面有三个推断：①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是0.520；③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；其中推断合理的序号是________．【答案】(1)12，14(2)②③ 【解析】【分析】（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．(1)抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是12；若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，则两枚硬币都是正面朝上的概率是14；故答案为：12，14；(2)①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；其中推断合理的序号是②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．22．童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．。