3.2 用频率估计概率

3.2用频率估计概率分层训练提分要义【基础题】1．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有()A．6个B．16个C．18个D．24个2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：有下面四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②④3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．人数60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.874．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）抽取件数50 100 150 200 500 800 1000 （件）合格频数48 98 144 193 489 784 981 A．12 B．24 C．1188 D．11765．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．306．如图为某一试验结果的频率随试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（）A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2B．掷一枚硬币，出现正面朝上C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球D．从分别标有数字l，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于77．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：一组二组三组四组五组六组七组八组九组十组摸球的次数100 100 100 100 100 100 100 100 100 100摸到白球的次数41 39 40 43 38 39 46 41 42 38请你估计袋子中白球的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）．类型健康亚健康不健康数据（人）32 7 1A．32 B．7 C．710D．459．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球10．如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（）A．20 B．30 C．40 D．6011．从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：线路/公交车用时的30≤t≤35 35≤t≤40 40≤t≤45 45≤t≤50 合计频数/公交车用时甲59 151 166 124 500乙50 50 122 278 500丙45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定12．某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：轮数投球数命中数命中率第一轮10 8 0.8则他的投篮命中率为（）A．45B．23C．34D．不能确定13．为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x （cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm 的人数是（）A．28500 B．17100 C．10800 D．1500【中档题】14．一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球______个．15．某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为_________．（精确到0.01）16．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．17．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：根据列表，可以估计出n的值是____．【综合题】18．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？19．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是（精确到0.01），黄球有个；（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．20．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．21．新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．0~20% 20%~50% 50%~80% 80%~100%录播 5 18 14 13 直播2152112（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于50%的概率；（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为3:5，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在20%以下的共有多少人？22．某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t （单位：C ︒）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表： 最高气温t（单位：C ︒）天数每天销售量（瓶）20t < 15 240 2025t ≤< 30 300 25t ≥45500（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率； （2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润．23．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：（1）计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．24．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．。

3.2用频率估计概率一、选择题。

1. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（）A．5 B．6 C．7 D．82. 在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率3. 某同学为了估算瓶子中有多少颗豆子，首先从瓶中取出60颗并做上记号，接着将所有做好记号的豆子放回瓶中充分摇匀．当再从瓶中取出100颗豆子时，发现其中有12颗豆子标有记号，根据实验估计该瓶装有豆子大约（）A．800颗B．500颗C．300颗D．150颗4. 有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了5个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，则盒中白色小球的个数可能是（）A．16个B．20个C．24个D．25个5．在一个不透明的布袋中，装有除颜色外其他完全相同的红色、黄色的玻璃球共40个，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色的频率稳定在45%，则口袋中黄色球的个数很可能是（）A．18B．20C．22D．246．某淘宝商家为“双11大促”提前进行了预热抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表．若随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（精确到0.01）（）转动转盘的次数200600100016002000落在“10元优惠券”区域的次数64186300472602落在“10元优惠券”区域的频率0.3200.3100.3000.2950.301A．0.32B．0.31C．0.30D．0.297．一个不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球个数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为( )A．60个B．50个C．40个D．30个8．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复实验，经过统计得“凹面朝上”的频率为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒盖出现“凹面朝上”的概率为（）A．22% B．44% C．50% D．56%9．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7 10. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组11. 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A． B． C． D．12. 甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现点的概率B．从一个装有个白球和个红球（每个球除颜色外都相同）的袋子中任取一个球，取到红球的概率C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率D．任意写一个正整数，它的绝对值大于的概率二、填空题。

3.2用频率估计概率教学设计平中数学组（一）教学目标：1、经历试验、统计等活动，能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

2、能理解频率与概率的区别与联系。

3、能用频率与概率的关系解决日常生活中的一些相关问题。

4、通过贴近学生生活的有趣的生日问题，实验统计，提高学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度。

（二）教学重难点：1、重点：（1）用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率。

（2）能用频率与概率的关系解决日常生活中的一些相关问题。

2、难点：试验方案的设计。

（三）目标导入：一（复习回顾）概率:事件发生的可能性,也称为事件发生的概率.频数:在实验中,每个对象出现的次数称为频数。

频率:所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率。

频率=总数频数 A 可能发生的情况可能发生的总情况二（新课导入）生日相同的概率（提问）（1）你认为在多少个同学中，才一定会有2个同学的生日相同呢?400位同学中一定会有2个同学的生日相同吗? 300位呢 ? 你是怎样想的？（2）有人说：“50个同学中，就很有可能有2个同学生日相同。

”你同意这种说法吗？请与同伴交流。

（议一议）请就问题（2）请设计试验方案，并与同伴交流。

（做一做）（1）每个同学课外调查10个人的生日。

（2）从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中生日相同的2个人的次数，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中：（3）根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率。

（提问）实际上这个问题的理论上概率大概为97％，同学们，你们的估计值和实际概率接近吗？（小结）通过这个试验，谈谈我们的感想吧。

1、这个问题“50个人中有2个人的生日相同”是很有可能发生的。

2、当试验次数越多时，频率越稳定于概率。

3、对于一些比较复杂的或不能计算出概率的的事件，我们可以通过实验来求出频率，然后用频率来估计概率。

3.2用频率估计概率教学设计任意抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率是0.5，许多科学家曾做过成千上万次的实验，其中部分结果如下表：观察上表，可以发现实验次数越多，频率越接近概率．(m>n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”.300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗？不一定．但有2个同学的生日相同的可能性较大．“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同.”，你同意这种说法吗?同意。

【议一议】为了证明上述的说法是否正确，我们可以通过大量重复试验，用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率.请你设计试验方案.(1)每个同学课外调查10个人的生日.(2)从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同.每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在表格中.“50人中有2人生日相同”的频率=“50人中有2人生日相同”的频数总调查次数(3)根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率.“n个人中至少有2人相同”的概率统计如下：【归纳】(1)用频率估计概率：当试验次数足够大时，随机事件出现的频率稳定于相应的理论概率附近；(2)用频率估计概率的条件：试验的次数必须足够大．(3)计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事稳定于某个常数p，那么估计事件A 件A发生的频率mn发生的概率P(A)=p.【想一想】(1)一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少?(2)一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？(1)每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.(2)每次随机摸出6个球，并记录其中红球与白球的比例，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.【思考】频率与概率有什么区别与联系？所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变，而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关..例、六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的不透明的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动的人数为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个．(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；(2)请你估计袋中白球有多少个．方法指导：(1)由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得；(2)由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解．解：(1)∵1000040000＝14，∴参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为14 (2)∵试验次数很大时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是14.设袋中白球有x 个．1．不透明的袋子里放有4个黑球和若干个白球(这些球除颜色外都相同)，老师将全班学生分成10个小组，进行摸球试验，经过大量重复摸球试验，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在0.2附近，则袋子中白球的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4 2．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是 ( ) A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．任意写一个整数，它能被2整除的概率C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1个球，取到红球的概率3.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率是_____(精确到0.1)．4.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；(2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率P（白球）= .5.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重 2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.。

课时目标1.经历进行试验、统计结果、合作交流的过程,能用试验频率估计一些复杂的随机事件发生的概率,进一步体会概率的意义.2.经历试验、统计等活动,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.3.通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计,提高学生学习数学的兴趣,培养学生严谨的科学态度.学习重点掌握用试验频率估计复杂的随机事件发生的概率的方法.学习难点用试验频率估计随机事件发生的概率,关键是通过试验、统计活动,进一步体会随机事件的概率的意义.课时活动设计情境引入同学们的生日都是什么时候?在班级中有多少人生日相同?设计意图:从同学们熟悉的问题引入,激发学生的学习兴趣.探究新知1.问题:(1)400个同学中,一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?有什么依据呢?(2)300个同学中,一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?(3)有人说:“50个同学中,就很可能有2个同学的生日相同.”你同意这种说法吗?对于问题(1),学生能给予肯定的回答“一定”,对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理”加以解释.例如,有的学生会给出如下的解释:“一年最多有366天,400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日,相当于400个物品放到366个抽屉里,一定至少有2个物品放在同一抽屉里.”对于问题(2),学生会给出“不一定”的答案.对于问题(3),学生会表示怀疑,不太相信.于是,在班级课堂里展开现场的调查.得到数据后请学生反思:①如果50个同学中有2个同学生日相同,能否说明50个同学中有2个同学生日相同的概率是1?②如果50个同学没有2个同学生日相同,能否说明50个同学中有2个同学生日相同的概率为0?2.(1)每个同学课外调查10个人的生日.(2)从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日,记录其中是否有2个人的生日相同.每选取50个被调查人的生日为一次试验,重复尽可能多次试验,并将数据记录在下表中:(3)根据上表的数据,估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率. 设计意图:通过具体收集数据、试验、统计结果的过程,丰富学生的数学活动经验,并对本节课有更直观的感知,经历用试验频率估计理论概率的过程,初步感受到生日相同的概率较大.典例精讲1.一个口袋中有3个红球、7个白球,这些球除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球,这个球是红球的概率是多少?解:P (这个球是红球)=33+7=310.2.一个口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同.如果不将这些球倒出来数,那么你能设计一个试验方案,估计其中红球和白球的比例吗?解:可以先将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个,记下颜色后放回.不断重复这个过程,共摸n 次(n 要足够大,例如n ≥100),其中m 次摸到红球.由此可以估计出:从口袋中随机摸出一球,它是红球的概率为mn .另一方面,假设口袋中有x 个红球,从口袋中随机摸出一球,它是红球的概率应该等于x10.由x10=mn ,得x =10m n;白球数量为10-x =10(n -m )n(个).因此,口袋中红球和白球的数量比约为m n -m.设计意图:本环节旨在引导学生思考如何利用频率与概率之间这种关系解决一些问题,感受概率与统计之间的联系.巩固训练1.课外调查的10个人的生肖分别是什么?他们中有2人的生肖相同吗?6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案,估计6个人中有2个人生肖相同的概率.2.一个口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有69次摸到红球.请你估计这个口袋中红球和白球的数量.解:因为共摸了100次球,有69次摸到了红球,所以摸到红球的概率=0.69,所以可估计这个口袋中红球的数量为0.69×10≈7(个),则这个口袋=69100中白球的数量=10-7=3(个).所以估计这个口袋中红球和白球的数量分别为7个、3个.设计意图:第1题与前面生日问题类似,借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算,丰富数学活动经验,直观感受较复杂事件的概率问题.课堂小结1.经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程,知道了用试验频率来估计一些复杂的随机事件的概率,当试验次数越多时,试验频率稳定于理论概率.2.直觉不可靠.设计意图:通过课堂小结,归纳本节课的收获,有助于学生深入理解课堂内容,并且能够提高他们独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第71页习题3.4第1,2题.2.七彩作业.3.2 用频率估计概率用试验频率来估计随机事件的概率:当试验次数越多时,试验频率稳定于理论概率.教学反思。

课题：§3.2《用频率估计概率》教材：北师大版义务教育教科书九年级数学上册第69～71页【要点分析】本节学习应注重在具体情境中体会概率的意义，体会频率与概率之间的联系.教学内容具有挑战性，猜想、动手操作、实验验证是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程，数学活动本身就是对思维的一种挑战，在知识学习中时应积极参与试验过程，亲身动手从事实验，收集实验数据，分析数据，从而获得事件发生的频率，通过频率来估计概率.并及时地与同伴进行交流，消除一些错误的经验，体会随机现象的特点，学会计算概率的方法.对于本章的学习应注意以下几点：1. 体会当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率；2. 对于通过试验的方法估计一个事件发生的概率有难度时，通常也采用模拟实验的方法来估计该事件发生的概率，如学会用计算机产生随机数来模拟实验等.【教材分析】《用频率估计概率》选自北师大版义务教育教科书九年级数学上册第三章第2节内容.它是七年级学习概率知识的延伸，在第一课时学习用表格和树状图求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系.概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛.纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础.【学情分析】七年级已经认识了许多随机事件，研究了一些简单随机事件发生的可能性（概率），并对一些现象做出合理解释，对一些游戏活动的公平性作出了自己的判断，学生已经能够计算简单的等可能事件的概率，并了解用实验的方法去估计随机事件的概率的思想方法，但学生对概率的认识和理解有必要随着其数学活动经验的不断加深进一步得到发展，是一个螺旋上升的过程.九年级学生在探究能力、操作能力、合作交流能力等方面都有很大提高，逻辑思维能力相比七年级阶段已经有了较大发展，自己可以通过实验发现问题解决问题.【教学理念】数学教学是数学活动的教学，是教师引起、维持、促进学生数学活动的教学.数学活动是外部的操作活动与内部的思维活动的统一体，而思维活动的引发需要外在的活动刺激.据此，本节课的设计思路为：问题驱动+活动主线.即按照学生的认知规律，创设问题情境，使学生的思维活动和操作活动贯穿本节课的始终，在学生“动手做数学”的过程中去观察、实验、探究，体会当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率，知道据此可以估计某一随机事件发生的概率，在学习过程中积累数学活动经验.【教学目标】知识与技能目标：1.通过摸球等实验理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率，知道据此可以估计某一随机事件发生的概率；2.结合具体情境初步感受统计推理的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系；过程与方法目标：1.通过经历“猜测结果——进行试验——收集数据——分析实验结果”等活动过程，建立正确的概率直觉，进一步发展合作交流的意识和能力；2.通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和方法。

3.2用频率估计概率一、单选题1．某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（ ）A．380粒B．400粒C．420粒D．500粒【答案】D【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得．【解析】解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒），故选：D．【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．2．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【答案】A【分析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．【解析】A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误；故选：A．【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．3．在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次．其中哪位同学的实验相对科学( )A．小明B．小亮C．小颖D．小静【答案】D【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．【解析】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的小静．故选：．【点睛】考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．身高人数60260550130根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（）A．0.32B．0.55C．0.68D．0.87【答案】C【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【解析】解：样本中身高不低于170cm的频率，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5 的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2 的概率D．朝上的点数是3 的倍数的概率【答案】D【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项.【解析】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，A的概率为1÷6×100%≈16.67%，B的概率为3÷6×100%=50%，C的概率为4÷6×100%≈66.67%，D的概率为2÷6×100%≈33.33%，即朝上的点数是 3 的倍数的概率与之最接近，故选：D【点睛】本题考查随机事件发生的概率，折线统计图的制作方法，求出每个选项的事件发生概率，再依据折线统计图中反映的频率进行判断．6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有100个，除颜色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在15%、40%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．45B．40C．15D．55【答案】A【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．【解析】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，摸到白球的频率为，故口袋中白色球的个数可能是个．故选A．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘以部分所占总体的比值．7．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）A．5B．10C．15D．20【答案】A【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．【解析】设白球有x个，根据题意得：，解得：x=5，即白球有5个，故选A．【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．8．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n1001503005008001000投中次数m5896174302484601投中频率n/m0.5800.6400.5800.6040.6050.601这名球员投篮一次，投中的概率约是（ ）A．0.58B．0.6C．0.64D．0.55【答案】B【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格可得答案.【解析】由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.6附近，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6.故选：B.【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定.9．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据：摸球的次数n10020030050080010001500摸到白球的次数m70128171302481599903摸到白球的频率0.700.640.570.6040.6010.5990.602则下列结论中正确的是（ ）A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7B．当n=2000时，摸到白球的次数m=1200C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近D．这个盒子中约有28个白球【答案】C【解析】【分析】根据表中信息可知多次试验的频率稳定值0.6附近，及概率公式解答即可.【解析】由表中信息可知n越大时摸到白球的概率越接近0.6，故A选项错误，当n=2000时，摸到白球的次数是随机事件，m不一定是1200，故B选项错误，当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近，故C选项正确，根据稳定的频率等于概率，盒子中约有400.6=24个白球，故D选项错误，故选C.本题考查用频率估算概率及概率公式，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率并熟练掌握概率公式是解题关键．10．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：种子个数2003005007008009001000发芽种子的个187282735624718814901数发芽种子的频0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901率有下面四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②④【答案】D①发芽率=发芽种子数除以总种子数；②频率稳定在0.9可估计概率约是0.9；③不能用特殊值代表概率；④用概率估计总体.【解析】①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率大约是0.891，故错误；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1），故正确；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错误；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽，故正确．其中正确的是②④，故选D．【点睛】本题考查频率与概率、频率估计概率、概率估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键，难度容易.二、填空题11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是___________．【答案】0.32【分析】由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可．【解析】解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．故答案为：0.32．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．12．事件A发生的概率为，大量重复试验后，事件A平均每n次发生的次数是10，那么n＝__．【答案】200【分析】根据概率的意义进行解答即可得出答案．【解析】事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每n次发生的次数是10，则n＝10200；故答案为：200．【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．13．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．【答案】①③④【分析】利用频率与概率的意义即可得出．【解析】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值．14．某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有_____千克种子能发芽．【答案】8.8【分析】观察图中的频率稳定在哪个数值附近，由此即可求出作物种子的概率.【解析】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.88左右，∴10kg种子中能发芽的种子的质量是：10×0.88=8.8（kg）故答案为：8.8．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．15．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是________．【答案】10【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解析】由题意可得， =0.2，解得，n=10．故估计n大约有10个．故答案为10．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．16．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色与红球不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．【答案】20【分析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.【解析】设原来红球个数为x个，则有=，解得，x=20，经检验x=20是原方程的根.故答案为20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.17．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球有_____个．【答案】30【分析】根据摸到红球的次数求出摸到红球的概率，再根据概率公式求出白球的个数即可.【解析】∵总共摸了200次，其中有50次摸到红球，∴摸到红球的概率为=，设白球有x个，则（x+10）=10，解得：x=30.∴白球有30个.故答案为30【点睛】本题考查利用频率估计概率及概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解题关键.18．小明在操场上做游戏,他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC(如图).为了知道它的面积,小明在封闭图形内划出了一个半径为1 m的圆,在不远处向圈内掷石子,且记录如下:依此估计此封闭图形ABC的面积是 m2.【答案】3π【分析】根据表格中提供的数据计算出石子落在圆内的概率与落在阴影内的概率，根据计算出的概率得出圆面积与阴影部分面积的关系，计算出圆的面积和阴影部分面积，即可解答．【解析】由题表中的信息得，石子落在圆内的频率为:，石子落在阴影内的频率为，由此可得阴影部分的面积约为圆面积的2倍；∵S圆=π m2，∴S阴影=2π m2，∴封闭图形ABC的面积是：π+2π=3π m2.故答案为3π.【点睛】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，解题的关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法．19．下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．抛掷结果5次50次300次800次3200次6000次9999次出现正面的频131135408158029805006数出现正面的频20％62％45％51％49.4％49.7％50.1％率(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20％，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______；(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到______次正面，正面出现的频率是______；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到______次反面，反面出现的频率是______；(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是______．【答案】4 80% 5006 50.1% 4993 49.9% 50%【分析】根据频数即一组数据中出现数据的个数，频率=频数÷总数作答．【解析】解：（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到4次反面，反面出现的频率是80%；（2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到5006次正面，正面出现的频率是50.1%；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到4993次反面，反面出现的频率是49.9%．（3）根据图表可估计正面出现的概率为50%.故答案为4，80%；5006，50.1%；4993，49.9%；50%．【点睛】本题考查了频数的概念，频数的计算方法．注意各个小组的频数和等于数据总数，各个小组的频率和是1．20．由于各人的习惯不同，双手交叉时左手大拇指在上或右手大拇指在上是一个随机事件(分别记为A，B)，曾老师对他任教的学生做了一个调查，统计结果如下表所示：2012届2013届2014届2015届2016届参与人数106 110 98 104 112B54 57 49 51 56频率0.509 0.518 0.500 0.490 0.500若曾老师所在学校有2 000名学生，根据表格中的数据，在这个随机事件中，右手大拇指在上的学生人数可以估计为________名．【答案】1000【解析】试题解析：频率的平均数为：（0.509+0.518+0.5+0.49+0.5）÷5=0.5034≈0.5 2000×0.5=1000，故右手大拇指在上的学生人数可以估计为1000名.三、解答题21．对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；抽取球数n5010050010005000优等品数m45924558904500优等品频率(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?【答案】（1）见解析；（2）0.9【分析】（1）根据表格中所给的样本容量和频数，由频率=频数：样本容量，得出“优等品”的频率，然后填入表中即可；（2）用频率来估计概率，频率一般都在0.9左右摆动，所以估计概率为0.9，这是概率与频率之间的关系，即用频率值来估计概率值．【解析】解：（1）“优等品”的频率分别为45÷50=0.9，92÷100=0.92，455÷500=0.91，890÷1000=0.89，4500÷5000=0.9．填表如下：抽取球数n5010050010005000优等品数m45924558904500优等品频率0.90.920.910.890.9（2）由于“优等品”的频率都在0.9左右摆动，故该厂生产的羽毛球“优等品”的概率约是0.9．【点睛】本题是一个统计问题，考查样本容量，频率和频数之间的关系，这三者可以做到知二求一，本题是一个基础题，可以作为选择题和填空题出现．22．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996116290480601摸到白球的频率 0.640.58 0.600.601（1）完成上表；（2）“摸到白球”的概率的估计值是　（精确到0.1）；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？【答案】（1）0.59，0.58；（2）0.6；（3）黑球8个，白球12个．【分析】（1）将m和n的值分别代入求解即可得出答案；（2）根据表中数据，取平均值即可得出答案；（3）根据总数和摸到白球的概率求出白球的个数，再用总数减去白球的个数，即可得出答案.【解析】（1）填表如下：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996116290480601摸到白球的频率0.590.640.580.580.600.601（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．答：黑球8个，白球12个．【点睛】本题考查的是数据统计，难度系数较低，解题关键是用样本概率估计总体概率. 23．2019年女排世界杯中，中国女排以11站全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军.某校七年级为了弘扬女排精神，组建了排球社团，通过测量同学们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.(1)填空：样本容量为___，a=___；(2)把频数分布直方图补充完整；(3)若从该组随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率.【答案】（1）样本容量为100，a=30;（2）见解析（3）【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；（3）计算出样本中身高低于165cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．【解析】解：（1）15÷=100，所以样本容量为100；B组的人数为100-15-35-15-5=30，所以a%=×100%=30%，则a=30；故答案为100，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于165cm的人数为15+30+35=80，样本中身高低于165cm的频率为，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率为．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．24．某马拉松赛事共有三项：．“半程马拉松”、．“10公里”、．“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）求小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率；（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：调查总人数501002005001000参加“迷你马拉松”人数214579200401参加“迷你马拉松”频率0.4200.4500.3950.4000.401①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为_____________；（精确到0.1）②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少．【答案】（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）①0.4；②估计参加“迷你马拉松”的人数是12000人．【分析】（1）利用概率公式直接得出答案；（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数．【解析】解：（1）∵小明参加了该现赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为．（2）①0.4．②30000×0.4=12000（人），∴估计参加“迷你马拉松”的人数是12000人．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．25．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n20484040100001200024000摸到白球的次数m106120484979601912012摸到白球的频率0.5180.50690.49790.50160.5005（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．【答案】（1）0.5；（2）2个；（3）．【分析】（1）由表的第三行从左往右看，摸到白球的频率越来越接近0.5，所以答案是0.5；（2）由（1）得到的频率可以估算出概率，再用概率乘以球的总个数可以得到白球的个数；（3）用列表法把所有结果列举出来，再用两个球颜色相同的结果数目除以总的结果数目即可得到答案．【解析】解：（1）由题可得：当n很大时，摸到白球的频率接近0.5．故答案为：0.5；（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）；（3）列表得：第二次第一次白1白2黑1黑2白1（白1，白1）（白1，白2）（白1，黑1）（白1，黑2）白2（白2，白1）（白2，白2）（白2，黑1）（白2，黑2）黑1（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑1）（黑1，黑2）黑2（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑1）（黑2，黑2）由列表可得：共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能，∴P（颜色相同）==．【点睛】本题考查概率的综合应用，熟练掌握用频率估计概率的方法、用列表法计算概率的方法及概率的应用是解题关键．26．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：射击次数20406080100120140160射中9环以上的次数1533637997111130射中9环以上的频率0.750.830.800.790.790.790.81（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由.【答案】（1）48 0.81；（2）0.8．【分析】（1）根据频数的计算方法计算即可；（2）根据频率估计概率．【解析】解：（1）答案为：48，0.81；（2）解：P（射中9环以上）=0.8从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

2用频率估计概率●情景导入《红楼梦》第62回中有这样的情节：当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同……袭人笑道：“这是他来给你拜寿，今儿也是他们生日，你也该给他拜寿．”宝玉听了喜的忙作了下揖去，说：“原来今儿也是姐妹们芳诞．”平儿还福不迭……探春忙问：“原来刑妹妹也是今儿？我怎么就忘了．”……在上面的名著中提到了生日相同的问题．那么，在几个人中，2个人的生日相同的概率到底有多大呢？我们还能用树状图或表格求这个问题的概率吗？我们又有什么样的方法求这个问题的概率呢？带着这些问题我们来学习用频率估计概率．【教学与建议】教学：引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣．建议：提出用以前学习的知识求概率无法得出结果，引入用频率来估计概率．●置疑导入问题1：每年有多少天？问题2：400个人，一定有生日相同的人吗？问题3：300个人，一定有生日相同的人吗？问题4：猜想“50个人中有两人生日相同”是大概率事件还是小概率事件？【教学与建议】教学：通过猜测与事实的矛盾冲突引入新课．建议：多鼓励学生发表自己的观点．命题角度1利用频率估计概率当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计频率来估计概率．【例1】(1)菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，则塘里大约有鱼(B)A．1 600条B．1 000条C．800条D．600条(2)在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为__30__．命题角度2统计与概率的综合运用加强数学的应用性，在数学活动中获得生活经验，加强应用统计与概率的意识．【例2】为庆祝中国共产党建党102周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表：组别成绩x(分)频率A75≤x<806B80≤x<8514C85≤x<90mD90≤x<95nE95≤x≤100p请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题：(1)上表中的m＝______，n＝______，p＝____；(2)这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图；(3)已知该校有1 000名学生参赛，请估计竞赛成绩不低于90分的学生有多少人？(4)现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．解：(1)1884(2)成绩的中位数落在C组，补全频数分布直方图如图所示；(3)1 000×8＋450＝240(人)， 答：估计竞赛成绩不低于90分的学生有240人；(4)将“小丽”和“小洁”分别记为A ，B ，另两个同学分别记为C ，D ，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的共有2种，∴P (恰好抽到小丽和小洁)＝212 ＝16. 高效课堂 教学设计1．经历试验、统计等活动，体会随机事件内部所蕴涵的客观规律．2．能用试验频率估计一些随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义．▲重点用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率．▲难点大量重复试验得到频率稳定值的分析．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)我们知道，任意抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率是0.5，许多科学家曾做过成千上万次的实验，实验者 抛掷次数n “正面朝上”次数m 频率m /n隶莫弗 2 048 1 061 0.518 1布丰 4 040 2 048 0.506 9皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5◆活动2 实践探究 交流新知【探究1】提出问题(多媒体出示)(1)400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗？(2)300个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗？(3)有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同．”你同意这种说法吗？处理方式：教师找学生回答问题，引发学生认知冲突．答案预设：(1)一定有2个同学的生日相同，根据抽屉原理．(2)不一定有2个同学的生日相同，但是可能性较大．(3)同意．【探究2】设计方案提出问题：(多媒体出示)请你尝试设计试验方案，估计“50个人中，有2个同学的生日相同”的概率，并与同伴交流．方案设计：方案一：小组内把每个成员收集出来的数据组成50个数据．方案二：小组之间交换数据组成50个数据．方案三：全班选取5名同学收集的数据，组成50个数据．方案四：把全班50名同学的生日组成50个数据．方案五：每组中选取一名同学收集的数据组成50个数据．方案六：50名同学随机说出自己收集的一个数据，组成50个数据．方案七：50名同学随意写一个日期，组成50个数据．方案八：教师用多媒体投影展示50名中国伟人的生日．【探究3】统计数据1．每名组长到讲台上用多媒体展示自己小组调查的数据，记录其中有无2个人生日相同的情况．班长进行统计，有记为“1”，无记为“0”．2．教师鼓励其他同学展示自己调查的数据．3．教师引导学生用其他方法统计数据．4．班长统计试验的总次数为m ，记为“1”的次数为n ，据此估计“50个人中，有2个人的生日相同”的概率．5．你还有其他比较简便的方法来估计“50个人中，有2个人的生日相同”的概率吗？【探究4】方法提炼1．同学们设计的试验方案可以分为几类？为什么？谈谈你的看法．2．在之前的概率学习中，你用过类似的方法吗？3．请你设计一个方案，估计“6个同学中有2个同学生肖相同”的概率．学生答案预设：1．设计的方案分成两大类：一是真实调查，二是模拟试验．2．在掷骰子、转转盘、摸球、摸扑克牌等游戏中，用到过这种方法．3．类似生日相同的试验设计方案，估计“6个同学中有2个同学生肖相同”的概率．归纳：(1)用频率估计概率：当试验次数足够大时，随机事件出现的频率稳定于相应的理论概率附近；(2)用频率估计概率的条件：试验的次数必须足够大．◆活动3 开放训练 应用举例例1 六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的不透明的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动的人数为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个．(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；(2)请你估计袋中白球有多少个．【方法指导】(1)由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得；(2)由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解．解：(1)因为10 00040 000 ＝14 ，所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为14； (2)因为试验次数很大时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是14.设袋中白球有x 个．根据题意，得6x ＋6 ＝14，解得x ＝18，经检验，x ＝18是原分式方程的解，且符合题意，所以估计袋中白球有18个．◆活动4 随堂练习1．不透明的袋子里放有4个黑球和若干个白球(这些球除颜色外都相同)，老师将全班学生分成10个小组，进行摸球试验，经过大量重复摸球试验，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在0.2附近，则袋子中白球的个数是(D)A ．4B ．3C ．2D ．12．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(D)A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B ．任意写一个整数，它能被2整除的概率C ．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率D ．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1个球，取到红球的概率3．一个不透明的袋子中放有除颜色外都相同的黑、白两种球，其中黑球6个，白球若干个．为了估算袋子中白球的个数，摇匀后从袋子中取出1个球，然后放回，共取50次，其中取出白球45次，则可估算袋子中白球的个数为__54__．4．一个有10万人的小镇，随机调查了2 000人，其中有250人看中央1台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大概是多少？该镇看早间新闻的大约有多少人？解：他看早间新闻的概率大概是2502 000＝0.125，该镇看早间新闻的人数大约是100 000×0.125＝12 500(人). ◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？有什么感受？教学说明：大量的重复试验，可以用频率来估计概率．作业：课本P71习题3.4中的T1、T2.通过本节课的学习，使学生明白通过大量的重复试验，可以把稳定在某个常数附近的频率作为事件发生的概率．教师需要引导学生体会统计概率的本质是估计，用频率估计概率的目的是为了解释现象、解释生活，而不是为了得到一个准确的数值．。

3.2 用频率估计概率【学习目标】1．能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．2．能利用计算器或计算机等进行模拟试验，估计一些复杂的随机事件发生的概率．【学习重点】了解用频率估计概率的必要性和合理性．【学习难点】大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率之间关系的理解．情景导入 生成问题1．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A 、B 平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．若同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数的概率是13． 2．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为( D )A .34B .14C .13D .12自学互研 生成能力知识模块 探索用频率估计概率1．先回答下面的问题：问题1：投掷一枚质地均匀的硬币时，结果正面向上的概率是多大？答：0.5问题2：周末，县体育馆有一场精彩的篮球比赛，小亮手中有一张球票，小强和小明都是班上的篮球迷，两人都想去，小亮很为难，不知给谁，请大家帮小亮想个办法解决这个问题． 方案：投掷硬币，若正面朝上，小强获得球票；若反面朝上，小明获得球票．问题3：为什么要用投掷硬币的方法呢？ 理由：这样做公平．能保证小强和小明得到球票的可能性一样大，即得票概率相同．问题4：如果掷硬币机会均等，若投掷10次硬币，是否一定是5次正面向上？投掷50次，100次……？2．自学自研课本P 69－71页内容，初步了解如何用频率估计概率．内容：《红楼梦》第62回中有这样的情节：当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同……袭人笑道：“这是他来给你拜寿．今儿也是他的生日，你也该给他拜寿．”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：“原来今儿也是姐姐的芳诞．”平儿还福不迭……探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了．”……探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日．人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的……”目的：以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣．问题：(1)400位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？有什么依据吗？(2)300位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？(3)教师提出一个论断：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”，你相信吗？对于问题(1)，学生能给予肯定的回答“一定”，对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理”加以解释．例如，有的学生会给出如下的解释：“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里——抽屉原理：把m 个物品任意放进n 个空抽屉(m ＞n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”．对于问题(2)，学生会给出“不一定”的答案．对于问题(3)，学生会表示怀疑，不太相信．于是，在班级课堂里展示现场的调查．得到数据后请学生反思．①如果50个同学中有2人生日相同，能否说明50人中有2人生日相同的概率是1？②如果50人中没有2人生日相同，就说明50人中2人生日相同的概率为0?学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子．例如：随意抛掷一枚硬币，若国徽面朝上，说它的确概率为1，国徽面朝下的概率为0，显然是错误的，我们知道它们的概率均为0.5.随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上”的概率为1，6朝下的概率为0，显然也是错误的，我们知道它们的概率为16. 应用迁移，巩固提升内容：每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率．设计方案：学生自主设计． 方案一：将每个同学调查的生日随机排列成一方阵，然后按某一规则从中选取50个数据进行实验(如25×20)，从某行某列开始，自左而右，自上而下，选出50个数；方案二：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取；方案三：从50个同学手里随机抽取一个调查数据，组成50个数据；方案四：全班分成10个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，随机抽取5个，然后10个小组的结果放在一起组成50个数据．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 探索用频率估计概率检测反馈 达成目标1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( D )A ．频率就是概率B ．频率与试验次数无关C ．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是(D)A．6B．10C．18D．203．周琦是我国篮坛冉冉升起的一颗新星，他在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数10100 10000投中次数9 89 9012试估计周琦在这段时间内定点投篮投中的概率是0.9．(结果精确到0.1)4．“六一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是200个．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。