201x春八年级数学下册 17 勾股定理 17.1 勾股定理(第2课时)学案 新人教版

17.1 勾股定理(第2课时)一、内容及内容解析1．内容应用勾股定理解决实际问题2．内容解析勾股定理是求解线段长度问题常用的工具之一，由勾股定理可知，如果一个直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．也就是说，在直角三角形中，已知任意两条边的长，就可以求出第三条边的长．勾股定理的应用分为实际生活应用和数学问题应用，本课时重在解决勾股定理在实际生活中的应用．运用勾股定理解决实际问题需要从实际问题中抽象出直角三角形，体现了转化和数形结合的思想，借助几何图形的形象关系来研究数量关系，有助于培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力．因此，利用勾股定理解决实际问题可以培养学生的发散思维和综合解决问题的能力．也是提高学生分析问题和解决问题能力的途径之一．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：运用勾股定理解决实际问题．二、目标及目标解析1．目标(1)能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题；(2)在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长．2．目标解析目标(1)要求学生能根据勾股定理来求实际问题中线段的长度；目标(2)要求学生在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能具体问题通过数学建模“翻译”为数学问题，根据数学问题呈现出来的特征选择或构造适当的直角三角形，建立已知和未知之间的联系，进一步求出未知边的长度．体会数学来源于生活，又应用于生活．三、教学问题诊断分析受已有的知识和实际生活经验的限制，解决实际问题的难点是如何建立数学模型把实际问题转化为数学问题，并能选择合适方法求解．在用勾股定理解决实际问题时，实际问题中呈现出来的可能是边之间的数量关系，此时勾股定理就作为求线段长的一个等量关系式，需要通过列方程解决求线段长度问题．基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：把实际问题转化为直角三角形中的三边关系问题，在实际问题中寻找或建立适当的直角三角形，建立已知边和未知边长度之间的联系.四、教学支持条件分析借助多媒体的演示，帮助学生理解薄木板进门方向的选择和梯子下滑底端的位移，让学生明白学习数学需要直觉，但更需要借助数据说话，数学能帮助我们对生活现象作出更精确的判断与解释！五、教学过程设计(一)创设情境引出课题问题1 上一节课我们学习了勾股定理，你能叙述勾股定理的内容吗？追问：应用勾股定理能解决什么问题？师生活动：教师让学生叙述勾股定理的内容. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，已知其中任意两条边可求出第三边．教师阐述：直角三角形是一个很重要的特殊图形，学习一个几何图形，通常要学习它的定义、性质、判定、应用．勾股定理可用来解决实际问题中一些与边长有关的问题．设计意图：给学生以学法的指导，同时开门见山直入主题．(二)建立模型，解决问题例1 一个门框的尺寸如图17.1(2)-1-1所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？D CA B图17.1(2)-1-1问题2 竖着或是横着能进去吗？师生活动：学生分析进门的方法，得出可以斜着试试看．追问1：如何判断斜着是否可以进入呢？追问2：斜着进入最大的长度是多少？如何计算？师生活动：教师引导学生抽象出17.1(2)-1-2，把矩形问题转化为直角三角形问题．对于 Rt △ABC ，可以求出斜边的长度AC ＝5≈2.236＞2.2，所以木板能从门框通过．图17.1(2)-1-2设计意图：让学生学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形. 分析出已知量，得到待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路．跟踪练习：教科书第26页练习1．例2 如图17.1(2)-2，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4米．图17.1(2)-2①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ ②如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5米，那么梯子底端也外移0.5米吗？师生活动：师生共同分析问题中的已知条件并求解，引导学生抽象出如上图的两个直角三角形解决问题．设计意图：由例1，学生对解决实际问题的一般套路已有一定的经验积累，例2继续深化这种经验，在问题解决中让学生明白学习数学需要直觉，但更需要借助数据说话，数学能帮助我们对生活现象作出更精确的判断与解释！跟踪练习：教科书第26页练习2．AOB C OD B2m问题 3 如果知道平面直角坐标系坐标轴上中任意两点的坐标为(x ，0)，(0，y )，你能求这两点的距离吗？设计意图：让学生了解平面直角坐标系两条互相垂直的坐标轴制造了直角，在平面直角坐标系中经常会利用直角三角形数形结合解决问题．(三)拓展提高 形成技能问题4 我国古代有很多利用勾股定理解决的名题，《九章算术》中就有这样一个问题(书本P 29第10题)：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？翻译成现代文如下：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央长着一株芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上．水深与芦苇的长各有多少尺？ 追问1：本题的已知条件是否和上题解决的一样，是已知一个直角三角形的两条边？ 追：2：AB ，AC 边有何关系，能用同一个量来表示吗？师生活动：师生共同分析已知条件，可设AB ＝x ，则AC ＝x ＋1，可有AB 2＋BC 2＝AC 2可列方程得：x 2＋52＝(x ＋1)2，通过解方程可得AB ，AC ；教师规范书写步骤． 教师归纳：(1)重视对实际问题题意的正确理解；(2)建立对应的数学模型，运用相应的数学知识；(3)方程思想在本题中的运用．设计意图： 体会利用勾股定理列方程解决问题的方法，了解与勾股定理有关的历史名题．(四)回顾总结 纳入系统教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1．利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？2．你觉得解决实际问题的难点在哪里？你有什么好的突破办法？利用勾股定理解决实际问题的注意点是什么？请与大家交流．3．本节课体现了哪些数学思想方法，都在什么情况下运用？(五)布置作业．教科书第28页，2，3，8，11．图17.1(2)-3A B C六、目标检测设计1．在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B＝90゜．①已知a＝5，b＝12，求c；②已知a＝20，c＝15，求b．设计意图：考查勾股定理．2．如图，将一根长24 cm的筷子置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长是h cm，则h的取值范围是______________．设计意图：考查应用勾股定理解决实际问题能力．3．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝32m，求点B到地面的垂直距离BC．设计意图：考查应用勾股定理解决实际问题的能力．4．如图，一棵树台风吹折断后树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？设计意图：考查利用勾股定理列方程解决问题的能力．参考答案：1．①c＝119，②b＝25．2．11 cm≤h≤12 cm．3．点B到地面的垂直距离BC为33m．4．9米．第4题第3题第2题。

第十七章勾股定理2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？处放上了点儿火腿肠粒，你的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径. m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？。

17.1勾股定理（第2课时）教学设计一、教学目标1.理解勾股定理的定义和含义；2.掌握应用勾股定理解决直角三角形的边长问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学准备1.教师准备：黑板、白板笔、投影仪；2.学生准备：教科书、练习册。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和引入相关问题，调动学生的思维，激发学生的学习兴趣。

例如：教师：大家知道什么是勾股定理吗？在什么情况下可以使用勾股定理来求解问题呢？学生：勾股定理是直角三角形中比较重要的一条定理，可以求解直角三角形的边长问题。

教师：非常好！那我们今天就来学习一下关于勾股定理的内容。

2. 概念讲解（10分钟）教师通过投影仪展示相关的图像和公式，结合具体例子，向学生讲解勾股定理的定义和含义。

教师：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腰边的平方之和。

表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。

教师在黑板上写出勾股定理的表达式，并提出问题。

教师：如果一个直角三角形的一条直角边的长度为6，另一条直角边的长度为8，那么斜边的长度是多少？学生：斜边的长度应该是10。

教师：非常好！你是如何求解的呢？学生：根据勾股定理，6² + 8² = c²，解方程可得c = 10。

3. 计算练习（15分钟）教师提供一些计算练习，并让学生根据所学内容解答。

教师可以帮助学生解答疑惑，并对解答正确的学生进行表扬和奖励。

示例练习1：已知一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。

示例练习2：已知一个直角三角形的斜边长度为5，直角边长度为4，求另一条直角边的长度。

4. 综合应用（15分钟）教师提供一些综合应用题，帮助学生将勾股定理应用于实际问题的解决过程中。

教师引导学生分析问题、提炼关键信息，并通过分组讨论的形式进行解答。

示例题1：甲、乙两人站立在直线上，甲人离地面的高度为3米，乙人离地面的高度为4米。

八年级数学（下）教学案 第1课时课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 编写： 审核： 讲学时间【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

【学习重点】：勾股定理的内容及证明。

【学习难点】：勾股定理的证明。

【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长问题：你是否发现23+24与25，25+212和213的关系，即23+24 25，25+212 213， 二、自主学习 思考：（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？（5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

由此我们可以得出什么结论？可猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。

A B三、合作探究 勾股定理证明： 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S 正方形＝_______________＝____________________方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

17.1勾股定理（第二课时）【教学目标】1.进一步理解巩固勾股定理联系二次根式的计算2.运用勾股定理进行简单的计算【重点难点】重点：勾股定理的简单应用难点：勾股定理的应用【教学过程设计】【活动一】(一)介绍勾股定理与第一次数学危机：“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。

但根2很快就引起了数学思想的大革命。

科学史上把这件事称为“第一次数学危机”，也让数学向前大大发展了一步。

引入斜边长为无理数时勾股定理的应用。

【活动二】讲解例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：可以看出，木板横着和竖着都不能通过，只能试着斜着通过师生活动：教师和学生共同完成练习：一个门框的尺寸如图所示，一块长4m，宽3m的薄木板（能或不能）从门框内通过．1m2m师生活动：学生板演，教师进行点评【活动三】例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移动0.5m吗？师生活动：学生先思考如何解决这个问题教师讲解例题规范解题步骤【活动四】巩固提高完成书上26页练习题练习1 如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m，求A，B两点间的距离（结果取整数）2.在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4），求这两点之间的距离课堂小结1.本节课主要学习了哪些内容2.勾股定理如何应用到简单问题的解决中？作业1.复习本节课的内容2.完成练习册上的相关内容3.预习下节课内容板书设计课后反思。

17.1勾股定理全本教案（共3课时）第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课三、课时第1课时共3课时四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识（二）探索新知1.出示课件4-10，探究勾股定理的认识与证明相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边长.学生2回答：斜边正方形的边长最大.教师问：三个正方形A，B，C的面积有什么关系？教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：（1）A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积．（2）B的面积是_______个单位面积．（3）C的面积是________个单位面积．学生1回答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积．学生2回答：(2)B的面积是9个单位面积．学生3回答：(3)C的面积是18个单位面积．教师问：三个正方形A，B，C的面积有什么关系？学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是:S A+S B=S C教师问：S A+S B=S C在图2中还成立吗？学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢？学生回答：A的面积是16个单位面积．B的面积是9个单位面积．C的面积是25个单位面积．教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．学生回答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C.去掉网格结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：式子S A+S B=S C能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?师生一起解答：如图所示：a2+b2=c2教师问：去掉正方形结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？学生回答：a2+b2=c2教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.如何利用拼图证明呢？师生一起看数学家的证明：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．教师依次展示各种证明方法：（1）赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.剪、拼过程展示：（出示课件11）教师问：如何进行证明呢？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，ab+（b-a）2=a2+b2∴c2=4×12(2)毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13)教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2a b,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形a b+c2=4×12=c2+2a b，∴a2+b2+2a b=c2+2a b，∴a2+b2=c2.（3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a 2+b 2=c 2.教师问：你能证明上边的问题吗？学生讨论后回答：证明：∵S 梯形=12（a +b ）（a +b ）, S 梯形=12a b+12a b+12c 2, ∴a 2+b 2=c 2.教师总结归纳;(出示课件16)勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,则a2+b2=c2.总结点拨：（出示课件17）公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.出示课件18，学生口答，教师订正。

人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．.【教学重点】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法．【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究知识点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．知识点二：勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性．让学生满怀激情地投入到数学学习中，提高数学课堂教学效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算．【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？AB CCBA方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.二、合作探究考点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”＝________，证明：∵S大正方形S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形：222222, ，=+--.a cb bc a c a b知识点2：利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值：三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）的主要性质：（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：____________________.（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.6.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.7.如图所示，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，则正方形A，B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．10.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。