直线与圆锥曲线的位置关系综合应用(附详细答案)【打印讲义】

教学过程一、复习预习1、椭圆的定义和几何性质2、双曲线、抛物线的定义和几何性质3、直线与圆锥曲线的位置关系4、点差法二、知识讲解考点1直线与圆锥曲线C 的位置关系将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。

（1）交点个数①当 a =0或a ≠0,⊿=0时，曲线和直线只有一个交点； ②当 a ≠0，⊿>0时，曲线和直线有两个交点； ③ 当⊿〈0 时，曲线和直线没有交点； （2） 弦长公式:斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A (x 1，y 1)，B （x 2,y 2）,则21|| AB x x -=一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用.三、例题精析【例题1】【题干】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率.【答案】e =【解析】设()2211,),,(y x B y x A ，AB 的中点为),(00y x M ，代入椭圆方程得11222222221221=+=+by a x b y a x ，，两式相减，得1212221212y y x x a b x x y y ++-=--。

AB 的中点为),(00y x M 在直线l 上,0200=-∴y x ，012120222x x x y y y +==+，而22143x y +=，故2212b a =,则e =.【例题2】【题干】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1，。

直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若过点⎪⎭⎫⎝⎛1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点， 且N 为线段C D 的中点，求直线l 的方程.【答案】()12222±≠=+x y x ；012=-+y x【解析】（Ⅰ)由题意可得:()12222±≠=+x y x（Ⅱ）当直线l ⊥x 轴时,直线的方程为21=x ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,2126,21D C ，, 其中点不是N ，不合题意。

第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系一、课程标准1. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系2. 会求直线与圆锥曲线相交时的弦长3. 求圆锥曲线的中点弦 二、基础知识回顾1、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由()0,0Ax By C F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2、弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·.3、中点弦所在直线的斜率圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k ，其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标三、自主热身、归纳总结 椭圆x 29＋y 24＝1的位置关1、直线y ＝kx －k ＋1与系为( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定 【答案】 A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2、 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 【答案】 C【解析】 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．3、过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条 【答案】C【解析】过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．故选C .4、过点A(1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M ，N 两点，则|MN|＝____．【答案】26【解析】由题意可知直线方程为y ＝x －1，联立⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝2x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝4，∴可得|MN|＝2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2 6.5、设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为____．【答案】5【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋（ba）2＝ 5.四、例题选讲考点一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝kx ＋2，椭圆C ：x 24＋y 2＝1.试问当k 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1) 有两个不重合的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点．【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋4y 2＝4，消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，依题意，得Δ＝(16k)2－4×(1＋4k 2)×12＝16(4k 2－3)． (1) 当Δ>0，即k<－32或k>32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2) 当Δ＝0，即k ＝±32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3) 当Δ<0，即－32<k<32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．变式1、若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C ：y 2＝x 恰好有一个公共点，求实数k 的取值集合．【解析】 因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x有唯一一组实数解，消去y ，并整理得k 2x 2＋(4k －1)x ＋4＝0. ①当k ＝0时，解得x ＝4，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2；②当k≠0时，Δ＝(4k －1)2－4×4k 2＝－8k ＋1， 令Δ＝0，解得k ＝18，此时原方程组有唯一解．综上，实数k 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，18.变式2 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－153，－1 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－k 2≠0，k<0，Δ＝16k 2－4（1－k 2）×（－10）＞0，x 1＋x 2＝4k1－k2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0， 解得－153＜k ＜－1，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1. 变式3、已知椭圆x 24＋y 2＝1，直线l ：y ＝x ＋35，则椭圆C 上点到直线l 距离的最大值为________，最小值为________． 【答案】 21010【解析】 先求与直线l ：y ＝x ＋35平行且与椭圆相切的直线m ，设直线m 的方程为x －y ＋t ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.因为直线m 与椭圆相切， 所以Δ＝64t 2－80(t 2－1) ＝0，解得t ＝±5，即直线m 的直线方程为x －y ±5＝0，所以椭圆C 上点到直线l 距离的最大和最小值就是直线l ：y ＝x ＋35分别与两条平行线x －y ±5＝0之间的距离，故最小值是|35－5|2＝10，最大值是|35＋5|2＝210.变式4、（安徽蚌埠二中2019届模拟）已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．【解析】将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0①，Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 考点二 圆锥曲线的弦长问题例2、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．【答案】553【解析】由题意知椭圆的右焦点F 2的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组()2221154y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得x 1＝53，x 2＝0，则||AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5×53＝553.变式1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD.当直线AB 的斜率为0时，AB ＝4.(1) 求椭圆的方程；(2) 若AB ＋CD ＝487，求直线AB 的方程．【解析】 (1) 由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2) ①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知AB ＋CD ＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以AB ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2.同理，CD ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12（k 2＋1）3k 2＋4， 所以AB ＋CD ＝12（k 2＋1）3＋4k 2＋12（k 2＋1）3k 2＋4＝84（k 2＋1）2（3＋4k 2）（3k 2＋4）＝487，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.变式2、已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与抛物线C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P.(1) 若AF ＋BF ＝4，求直线l 的方程； (2) 若AP →＝3PB →，求AB 的长．【解析】 (1) 设直线l 的方程为y ＝32x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由抛物线焦半径公式可知AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋32＝4，所以x 1＋x 2＝52.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，y 2＝3x ，消去y 并整理，得9x 2＋(12m －12)x ＋4m 2＝0，则Δ＝(12m －12)2－144m 2>0，解得m<12，所以x 1＋x 2＝－12m －129＝52，解得m ＝－78，所以直线l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2) 设P(t ，0)，直线l 的方程为x ＝23y ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＋t ，y 2＝3x ，消去x 并整理，得y 2－2y －3t ＝0，则Δ＝4＋12t>0，解得t>－13，所以y 1＋y 2＝2，y 1y 1＝－3t. 因为AP →＝3PB →，所以y 1＝－3y 2， 所以y 2＝－1，y 1＝3，所以y 1y 2＝－3， 则AB ＝1＋49·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝133×4＋12＝4133.方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算． (3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．考点三 求圆锥曲线的中点弦例3、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )，线段MN 的中点P (x 0，y 0)，则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝()041n ----＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN ；当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.因为点M ，N 在椭圆E 上，所以⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，整理得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，所以y 0x 0＝－n 4，即直线OP 的斜率为k O P ＝－n 4，因为直线OD 的斜率为k OD ＝－n4，所以直线OD 平分线段MN . 变式1、 已知P(1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内的一点，经过点P 引一条弦交椭圆于A ，B 两点，且此弦被点P 平分，则此弦所在直线的方程为 【答案】 x ＋2y －3＝0【解析】 方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2－4k(k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，所以x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1.又因为x 1＋x 2＝2，所以4k （k －1）2k 2＋1＝2，解得k ＝－12，故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0.变式2、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在椭圆E上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设F 为椭圆E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过点F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN.【解析】 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(－4，n)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)， 则2x 0＝x 1＋x 2，2y 0＝y 1＋y 2. 由(1) 可得F(－1，0)， 则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－（－1）＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN ； 当n≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.因为点M ，N 在椭圆E 上，所以⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，①x 224＋y223＝1，②由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，又2x 0＝x 1＋x 2，2y 0＝y 1＋y 2，所以y 0x 0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n4，因为直线OD 的斜率为k OD ＝－n 4，所以直线OD 平分线段MN.方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数考点四 圆锥曲线中的最值问题例4、已知动圆过定点(2,0)，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H ，点E (m,0)(m ＞0)为一个定点，过点E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交H 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)求轨迹H 的方程；(2)若m ＝1，且过点E 的两条直线相互垂直，求△EMN 的面积的最小值．【解析】(1)设动圆圆心的坐标为(x ，y )＝x 2＋4，化简得y 2＝4x ，所以动圆圆心的轨迹H 的方程为y 2＝4x .(2)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点，因为k 1k 2＝－1，所以AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由1214y k x y x=-⎧⎨=⎩，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2＝4k 21＋2.因为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1. 同理，可得N (2k 21＋1，－2k 1)． 所以S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·()()2221122k k +-＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值 4.变式1、已知动圆过定点A(2，0)，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H ，点E(m ，0)(m>0)为一个定点，过点E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交H 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1) 求轨迹H 的方程；(2) 若m ＝1，且过点E 的两条直线相互垂直，求△EMN 的面积的最小值； (3) 若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 【解析】 (1) 设动圆圆心的坐标为(x ，y)，由题意知（x －2）2＋y 2＝x 2＋4，化简得y 2＝4x ，所以动圆圆心的轨迹H 的方程为y 2＝4x. (2) 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， 因为AB ⊥CD ，所以k 1k 2＝－1.设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，消去x 并整理，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2＝4k 21＋2.因为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1.同理，可得N(2k 21＋1，－2k 1)． 所以S △EMN ＝12EM·EN＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·（2k 21）2＋（－2k 1）2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (3) 设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －m ），y 2＝4x ，消去x 并整理，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2m ＝4k 21＋2m.因为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ，2k 1. 同理，可得N ⎝⎛⎭⎫2k 22＋m ，2k 2， 所以k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，所以直线MN 的方程为 y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m)＋2， 所以直线MN 过定点(m ，2)．变式2、已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且椭圆C 的顶点在圆M ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －222＝12上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB ，CD ，求|AB|＋|CD|的最小值．【解析】(1)由题意可知2b ＝2，b ＝1.又椭圆C 的顶点在圆M 上，则a ＝2，故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在或为零时，|AB|＋|CD|＝32；当直线AB 的斜率存在，且不为零时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，消去y ，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，故|AB|＝1＋k 2· （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22（k 2＋1）k 2＋2.同理可得|CD|＝22（k 2＋1）2k 2＋1，∴|AB|＋|CD|＝62（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1，则t ＞1，0＜1t ＜1，∴|AB|＋|CD|＝62t 2（2t －1）（t ＋1）＝62⎝⎛⎭⎫2－1t ⎝⎛⎭⎫1＋1t ＝62－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94，当0＜1t ＜1时，2＜－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≤94，∴823≤|AB|＋|CD|＜32，综上可知，823≤|AB|＋|CD|≤32，∴|AB|＋|CD|的最小值823 方法总结：1．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．2．最值问题的两类解法技巧(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．考点五 圆锥曲线中的定点、定值问题例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．【解析】(1)∵直线过点(a ，0)和(0，1)，∴直线的方程为x ＋ay －a ＝0，∵直线与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|－a|1＋a 2＝63，解得a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：当直线AB 的斜率不存在时，设A(x 0，y 0)，则B(x 0，－y 0)，由k 1＋k 2＝2得y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝2，解得x 0＝－1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m(m≠1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒（kx 2＋m －1）x 1＋（kx 1＋m －1）x 2x 1x 2＝2，即(2－2k)x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k)(2m 2－2)＝(m －1)(－4km)，即(1－k)(m 2－1)＝－km(m －1)，由m≠1得(1－k)(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m(x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)．综上，直线AB 过定点(－1，－1)．变式1、如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】由已知得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋λPC →·PD →＝－2－λ＝－3，故存在常数λ＝1.综上可知，存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.变式2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A(a ，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．【解析】(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明：(方法1)由(1)，知A(2，0)，B(0，1)．设P(x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM|＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN|＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN|·|BM|＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值．(方法2)点P 在曲线⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 12＝1上，不妨设P(2cos θ，sin θ)，当θ≠k π且θ≠k π＋π2(k ∈Z)时，直线AP 的方程为y －0＝sin θ2（cos θ－1）(x －2)，令x ＝0，得y M ＝sin θ1－cos θ；直线BP 的方程为y －1＝sin θ－12cos θ(x －0)，令y ＝0，得x N ＝2cos θ1－sin θ，∴|AN |·|BM |＝2⎪⎪⎪⎪1－cos θ1－sin θ·⎪⎪⎪⎪1－sin θ1－cos θ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2（1－sin θ）（1－cos θ）（1－sin θ）（1－cos θ）＝2×2＝4(定值)．当θ＝k π或θ＝k π＋θ2(k ∈Z)时，M 、N 是定点，易得|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |＝4.方法总结：1．定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．2．圆锥曲线中定点、定值问题的解法 (1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． (2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．五、优化提升与真题演练1、（2018年高考浙江卷）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=， 即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-， 由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有03e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 3、（2020年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+= （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠. ∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,Q Q y∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 4、（2020年全国1卷）.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭5、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又2c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>, 所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <。

专题65 直线与圆锥曲线的位置关系专题知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(1)当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0①直线与圆锥曲线__相交__； ①Δ＝0①直线与圆锥曲线__相切__； ①Δ＜0①直线与圆锥曲线__相离__．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点， ①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是__平行__； ①若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是__平行或重合__． 2．解决圆锥曲线问题的思路与方法(1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a ，b ，c 或p ，基本方法是利用定义或利用待定系数法求解．(2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类讨论、等价转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法．3．弦长问题求直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式：设两个交点为1122(,),(,)x y x y ，则弦长l =考点探究考向1 直线与圆锥曲线的位置关系【例】 （2019徐州高三期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q 的坐标为(3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．【解析】（1）由32(3,),(3,0)3N Q ，得直线NQ 的方程为332y x =-． 令0x =，得点B 的坐标为(0,3)-．所以椭圆的方程为22213x y a +=． 将点N 的坐标3(3,)代入，得223()(3)213+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为3y kx =-．在3y kx =-中，令0y =，得3P x =，而点Q 是线段OP 的中点，所以3Q x =． 所以直线BN 的斜率0(3)2302BN BQ k k k k--===-．联立223143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)830k x kx +-=，解得83M k x =． 用2k 代k ，得2163316N kx k =+．又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． 故8316323k k ⨯=⨯，又0k >，解得6k =． xy O B N MPQ D所以直线BM的方程为y =方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得21433y y =+．将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ． 故直线BM的方程为y x =． 题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若①ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解析】 (1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2e ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c a ＝12，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为：x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B (6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2)，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1，得：y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k 23＋4k 2＝－1，即：(3＋4k 2)y 02－12ky 0＋(16k 2－12)＝0(*)·由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 20＝(6－8k 23＋4k 2)2＋(y 0－12k 3＋4k 2)2，即4＝(6－8k 23＋4k 2)2＋(12k 3＋4k 2)2－24k3＋4k 2y 0，即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0，所以k ＝0或y 0＝－2k 3＋4k 2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)．综上，直线l 的方程为y ＝0，y ＝±34(x ＋2)．考向2 圆锥曲线中的最值、范围问题【例】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .(①)当直线的P A 斜率为12时，求①FMN 的外接圆的方程；(①)设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求①APQ的面积的最大值．【解析】 (1)由题意，得⎩⎨⎧c a ＝22，c ＋a2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k(x ＋4)，k>0，则M(0，4k)，所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，则N(0，－2k )．(i )当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M(0，2)，N(0，－4)，F(22，0)，因为MF①FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以①FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.(ii )联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋4），x 216＋y 28＝1，消去y并整理得，(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P (4－8k 21＋2k 2，8k1＋2k 2)，直线AN的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得，Q (8k 2－41＋2k 2，－8k1＋2k 2)，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以①APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k ≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取“＝”．所以①APQ的面积的最大值为8 2. 题组训练1.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (1，32)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0.(1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．【解析】 (1)①e ＝c a ＝12，且过点P (1，32)，①⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a ＝2c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，①椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)则F 1M →＝(5，y 1)，F 2N →＝(3，y 2)，F 1M →·F 2N →＝15＋y 1y 2＝0，①y1y 2＝－15，又①MN ＝||y 2－y 1＝⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15||y 1＋||y 1≥215，当且仅当|y 1|2＝15时等号成立，①MN 的最小值为215. (3)圆心C 的坐标为(4，y 1＋y 22)，半径r ＝||y 2－y 12.圆C 的方程为(x －4)2＋(y －y 1＋y 22)2＝（y 2－y 1）24，整理得：x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0.①y 1y 2＝－15，①x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0.令y ＝0，得x 2－8x ＋1＝0，①x ＝4±15.①圆C 过定点(4±15，0)．2.（2019·如皋中学高三期中）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．【解析】（1）由题意可得，1b =，c e a ==， 得22134a a -=， 解24a =， 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-，同理得直线PB 的方程为 0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，线段MN 的中点004(4,)yx ，所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =， 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈．设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2．考点3 中点弦问题【例】 过点P (－1，1)作直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求直线AB 所在直线的方程．【解析】 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，①由①－①得y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）4（y 1＋y 2）＝－2×（－2）4×2＝12.①线段AB 所在直线的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.题组训练1.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 【解析】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，①b ＝23.①所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.考点4 探索性问题【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)因为椭圆过点P(43，b 3)，所以169a 2＋19＝1，解得a 2＝2，又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2，所以AF 2①F 2P ，即－bc ·b343－c ＝－1，所以b 2＝c(4－3c)．而b 2＝a 2－c 2＝2－c 2，所以c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1，故椭圆C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4pkx ＋2p 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋2k 2)(2p 2－2)＝8(1＋2k 2－p 2)＝0，即1＋2k 2＝p 2.设在x 轴上存在两点(s ，0)，(t ，0)，使其到直线l 的距离之积为1，则||ks ＋p k 2＋1·||kt ＋p k 2＋1＝||k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2k 2＋1＝1，即(st ＋1)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋3)k 2＋(s ＋t )kp ＋2＝0(**)．由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋1＝0s ＋t ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1t ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－1t ＝1，而(**)不恒成立．①当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝±2时，定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1·d 2＝(2－1)(2＋1)＝1.综上，存在两个定点(1，0)，(－1，0)，使其到直线l 的距离之积为定值1. 题组训练1.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，直线l ：x －my －1＝0(m ①R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点D (52，0)，连接BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)令m ＝0，则A(1，32)，B(1，－32)或者A(1，－32)，B(1，32)．当A(1，32)，B(1，－32)时，P(4，32)；当A(1，－32)，B(1，32)时，P(4，－32)，所以，满足题意的定直线l 2只能是x ＝4.下面证明点P 恒在直线x ＝4上．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为y 1，从而只要证明P(4，y 1)在直线BD 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my －1＝0，x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0.①Δ＝144(1＋m 2)>0，①y 1＋y 2＝－6m4＋3m2，y 1y 2＝－94＋3m 2.①①k DB －k DP＝y 2－0x 2－52－y 1－04－52＝y 2my 2＋1－52－y 132＝32y 2－y 1（my 2－32）32（my 2－32）＝y 1＋y 2－23my 1y 2my 2－32.将①式代入上式，得k DB －k DP ＝0，所以k DB ＝k DP .①点P (4，y 1)恒在直线BD 上，从而直线l 1，直线BD 与直线l 2：x ＝4三线恒过同一点P ，所以存在一条定直线l 2：x ＝4使得点P 恒在直线l 2上．2.已知①22:1O x y +=和点M (4，2)．(1) 求以点M 为圆心，且被直线y=2x —1截得的弦长为4的①M 的方程；(2) 设P 为(1)中①M 上任一点，过点P 向①O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设圆方程为222(4)(2)x y r -+-=，①被直线y=2x —1截得的弦长为4，①2249r =+=，① ①M 的方程：（x —4）2+（y —2）2=9；（2）设P (x ，y )，假设存在定点R (m ，n )，使得PQ PR 为定值λ1λ=，平方、整理得222222x y mx ny m n +--++=222(1)x y λ+-．①点P 在①M 上，①x 2+y 2=8x+4y —11，代入得22842211x y mx ny m n +--++-=2(8412)x y λ+-．即得22(82)(42)(11)m x n y m n -+-++-=2(8412)x y λ+-（*）．由题意，上式对在①M 上任意的x ，y 都成立，则2222282=842=411=12m n m n λλλ⎧-⎪-⎨⎪+--⎩，，，解得=21=2m n λ=，，或21=55m n λ=，，．故存在定点R 1（2，1）或R 2 2155（，），使得PQ PR或4.。

直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.∵k 2≠0，∴x 1+x 2=22)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(4222-++k k k =8，∴k 2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为x =3021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－2422121y y x x +⋅+ =－244⨯=－21. 由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0.答案：x +2y －8=0●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ =αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2π时的情况. 【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）； （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|. 请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ， y =k （x +1）ky 2+y －k =0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．消去x 后，整理得∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）.∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+ =214)1(2+k. ∵S △OAB =10， ∴10=21412+k.解得k =±61. 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.剖析：设B 、C 两点关于直线y =kx +3对称，易得直线BC ：x =－ky +m ，由B 、C 两点关于直线y =kx +3对称可得m 与k 的关系式，而直线BC 与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k 的范围.解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m . ∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++. 又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0， 即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0. 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B 、C 两点在抛物线上得“Δ＞0”.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.（1）解法一：由y 2=4（x －1）知抛物线C 的焦点F 坐标为（2，0）.准线l 的方程为x =0.设动椭圆C 1的短轴的一个端点B 的坐标为（x 1，y 1）（x 1＞2，y 1≠0），点P （x ，y ），x =221+x ， x 1=2x －2， y =21y ， y 1=2y . ∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设点B 在准线x =0上的射影为点B ′，椭圆的中心为点O ′，则椭圆离心率e =||||BF O F '，由||||B B BF '=||||BF O F '，得22)2()222(22-+--x y x =22)2()222(222y x x +----， 整理，化简得y 2=x －2（y ≠0），这就是点P 的轨迹方程.则 ∴解法二：抛物线y 2=4（x －1）焦点为F （2，0），准线l ：x =0.设P （x ，y ），∵P 为BF 中点，∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设椭圆C 1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，则c =（2x －2）－2=2x －4，b 2=（2y ）2=4y 2，∵（－c ）－（－ca 2）=2， ∴cc a 22-=2， 即b 2=2c .∴4y 2=2（2x －4），即y 2=x －2（y ≠0），此即C 2的轨迹方程.x +y =m ， y 2=x －2m ＞47. 而当m =2时，直线x +y =2过点（2，0），这时它与曲线C 2只有一个交点，∴所求m 的取值范围是（47，2）∪（2，+∞）. ●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 解析：P （a ，b ）点在双曲线上，则有a 2－b 2=1，即（a +b ）（a －b ）=1.d =2||b a -=2，∴|a －b |=2.又P 点在右支上，则有a >b ，（2）解：由 （y ≠0），得y 2+y －m +2=0，令Δ=1－4（－m +2）＞0，解得∴a －b =2.∴|a +b |×2=1，a +b =21. 答案：B2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，m 1≤1且m ＞0，得m ≥1.故本题应选C. 答案：C3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.解析：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入双曲线方程3x 2－y 2=1相减得直线AB 的斜率k AB =2121x x y y --=2121)(3y y x x ++ =2232121y y x x ++⨯=123⨯=6. 答案：64.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.解析：设过F （2p ，0）的直线为y =k （x －2p ），k ≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.答案：21p - α2sin 2p 5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞26. 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ， y = 1242+-k k +2＝1222+k . x =1242+-k k ， y =1222+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21． 6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.解：设椭圆方程22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）， ∵e ＝23，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为224b x ＋22by ＝1. 把直线方程代入化简得5x 2－8x +4－4b 2＝0.设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51（4－4b 2）. 从参数方程 （k ＜－26或k ＞26），∴y 1y 2＝（1－x 1）（1－x 2）＝1－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝51（1－4b 2）. 由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝85，a 2＝25. ∴椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1. 7.已知直线y =（a +1）x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.y =（a +1）x －1， y 2=ax ，x =1，y =0.（2）当a ≠0时，方程组化为aa 1+y 2－y －1=0. x =－1， y =－1.若a a 1+≠0，即a ≠－1，令Δ=0，得1+4·aa 1+=0，解得a =－54，这时方程组恰有 x =－5，y =－2.综上所述，可知当a =0，－1，－54时，直线与曲线恰有一个公共点. ●思悟小结 1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥使其恰有一组解.（1）当a =0时，此方程组恰有一组解 若aa 1+=0，即a =－1，方程组恰有一解 解析：联立方程组 一解曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d =2212))(1(x x k -+＝2212))(11(y y k -+. 再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.5.求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.3，与直线x+y－1=0相交6.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为2于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.7.已知直线y=（a+1）x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值.。

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一)直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离(无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆:()222210x y a b a b+=>>为例(1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y )并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交,相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同,可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆:()222210x y a b a b -=>>为例：（1)联立直线与双曲线方程：222222y kx m b x a y a b=+⎧⎨-=⎩,消元代入后可得：()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>,所以消元后的方程一定是二次方程,但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。

所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当2220b bb a k k a a ->⇒-<<时,常数项为()22220a m a b -+<,所以0∆>恒成立,此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a -<⇒>或bk a <-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断：① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系,不能简单的凭公共点的个数来判定位置。

直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一.考点分析。

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得 到一个一元二次方程 ，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、A =0、△ < 0.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q • +黑2）2或|AB|= Jl + p • Ivi -73!=+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐・上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既 熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 .二.考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主， 一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何 性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置 关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值 范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）2 2椭圆C:务+^y2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆Ca b标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已当直线斜率不存在是，则AB=yi-y2.PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4C 的方程；（I ）求椭圆（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、关于点M I 的方程.B 点的坐〖答案〗解法一：22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为a b在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —c2=4.2所以椭圆C 的方程为x_92丄=1.4(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.2所以 Xj^—18k +9k =224 + 9k 2 解得k98 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.2 2=(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且即 8x-9y+25=0.由①一②得因为A 、 代入③得所以直线 2X 12X 2(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,9 98y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9所求直线方程符合题意 .)l 的方程为 (经检验2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,曲线C i 的内切圆半径为 迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C 2的标准方程;(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.M 是I 上异于椭圆中心的点.(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程;(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C 2为焦点在X 轴的椭圆;(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍1 1 2然成立；(2)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I由不等式放缩即可求出最小值 .2ab=475,〖答案〗(I)由题意得《 a b2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .J a 2+b232 2因此所求椭圆的标准方程为0+£ = 1. 5 4AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为a, b 的方程组，曲线C i(n) ( 1)假设y =kx(k 工0), A(X A,Y A).r 2区+解方程组｛5 4l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2所以OA 2Y A20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------2 2 2设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),当且仅当4 +5k 2=5 +4k 2时等号成立，即k = ±1时等号成立,40此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =40.92后2=245.9所以MO2，即x 2+y2、2 20(1 +k 2)=扎 --------因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y1一匚X ，因此X 2 + y 2 =入2 r20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y、2 20(x 2 +y 2) =h -------- 2 ------- T~4y +5x2又 X 2 +y2H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂4 5又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.45(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得2X A20 = 2，4+5k 2y A 220k— 24 +"2 2z 丄=1, 由｛5 4解得 I 1 L 1x,220k 2X M _5 +4k 22y M20 5 +所以OA2 =xA 中2 y A 220(1+k 2)=2~ 4+5kAB 2=4 OA80(1+ k 2) 4 +5k 2，OM220(1 + k 2) = 2~ 5 + 4k解法一：由于S A AMBT AB 2臥2 280(1+k )汽 20(1 +k )400(1 +k 2)22 2400(1+= 22f 22昭「4 + 5k 2+5 +1600(1 +k 2)2 <40 f—2 2— I81(1 + k 2)2l 9 丿J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB2 9综上所述，△ AMB的面积的最小值为409解法二：因为1OA2+OM 220(1+k )4+5k2+ ——4+5k2+5+4k220(1+ k)= 20*)5 + 4k29"20OA1+ --OMOA|[|OM[，OA J OM I当且仅当4 +5k2 =5 +4k2时等号成立，即k = ±1时等号成立, 40 此时△ AMB面积的最小值是S AAMB =—.9当k =0，S SMB =丄咒2翕咒2 =275>402当k不存在时，S AAMB=丄咒=2亦294O>一•9 40综上所述，△ AMB的面积的最小值为上.93.(广东省实验中学 2008届高三第三次模拟考试，理科， 20)已知抛物线 x2= — y，直线L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m € R且m^— 1)与抛物线交于 A，B两点•(1)当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界),并求该区域的面积•为直径的圆C上；并求(3)将抛物线x2= — y的图像按向量a = (4, 16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若g(x) =6lnx+m,问是否存在实数 m,使得y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•〖解析〗(1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应的面积，计算时可以整体代入；(2)证明抛物线的顶点在以线段 AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心的轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;(3)构造函数®(x) =g(x) - f(X)=x2 -8x +6In x + m，因为x^O，所以 y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数W(x)有两个正零点的问题，要对®(x)的单调性进行讨论，从而求出使得®(x)由两个正零点的m的取值范围x€( 0,(1)当m=0时，直线L 的方程为：y+3x+1=0,故所求区域2对应的不等式组为[y +x 乞0；[y + 3x + 1 > 0 y = -X e 2得x 2-3x-仁 0*) y + 3x+1 = 0贝x 2为方程(* 的两解，即 X t + X 2 = 3,X 1X 2 = — 1,X 2 - X t = = J 13/.所求区域面积亠X2设A (X 1,y 1), B(X 2,y 2),不妨x^X 1,则由*S =「(-x 2+3x +1 dx(X 33x 2Y x / 1 r -—+ ——+X l |x ： = (X 2 -X 1 1 --収13 2 丿1V 3、_13J13+ X2 ) -X 1X 2】+3(X 1 +X2)+1]2 丿(2)令k=y^,则直线L 的方程为y = kxm +1L2由* y X 得：X 2+ kx -1=0,方程有解，且x 1, x 2为其两解, y = kx -1 贝 y X 1 + X 2 = —k, X 1X 2 = -1,-1,设A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)/. OA ”OB = X 1X 2 + 丫』2 = X1X 2 +(X 1X 2 ) = —1 + 1 = 0.以AB 为直径的圆 恒过抛物线顶点(0,0设以AB 为直径的圆的圆心坐标为(X, y),2 2milX 1 +X 2 k y 1 + y 2X 1 + X 2贝寸 X = ------ = 一 一2(X 1 + X2 ) - 2X 1X 22 2 2 2 2 得y =-2x 2-1,即所求的圆心轨迹方程 为y = -2x 2-1k 2—— 一1(3)依题意，f(x)=-x2+8x,令护(X)=g(x) -f(x) = x2-8x+6lnx + m.因为x> 0,要使函数f(X)与函数g (x)有且仅有2个不同的交点，则函数®(x) =x 2 -8x +61 nx +m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 平'6 ■■申(X) =2x -8 + -= 2空二g =2(x -1)(x -3)(x 〉0) x€( 1, (X)c0,®(x)是减函数 x€( 3,®'(x) >0,®(x)是增函数当 x=1 或 x=3 时，cp'(X)=0•••甲(x)极大值为申⑴=m-7;申(X)极小值为W(3) =m +6In3-15又因为当X70时，W(X)T 二当X T P时，申(X)T 邑所以要使W(x) =0有且仅有两个不同的正根，必须且只须『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0[◎(3) <0 [护(1)>0 t m+61 n3-15c0 [m-7A0•- m=7 或m =15 -61 n3.•••当m=7或m =15-61 n3.时，函数f (x)与g (x)的图象有且只有两个不同交点4. ( 2008年广东卷，文科，20)2 2设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2 =8( y- b).如图所示，过点2b2 b2F(0, b +2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i .(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2 )设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由标).〖解析〗(1)由已知可求出 G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出F i点的坐标，由椭圆方程也可以求出F i点的坐标，从而求出b =1，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA 'PB = 0 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.P,使得△ ABP (不必具体求出这些点的坐以P点的1 答案〗(1)由x2=8(y-b)得y=1x2+b ,81当y =b +2 得x = ±4，二G 点的坐标为(4,b +2) , y'= —x ,4过点G的切线方程为y-(b+2) =x-4即y=x + b-2，F i点的坐标为(b,0)，令y=0得x=2-b，二F i点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得2二2—b =b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+ y2=1和x2 =8(y-1)；2(2) •••过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 PA 以N PAB 为直角的RtAAB P 只有一个，同理二 以N PBA 为直角的RUABP 只有一个。

第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示 命题探究1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元二次方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，则弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求出．3 圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0) k ＝b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．注意点 直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.1．思维辨析(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )(3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327答案 A解析 联立椭圆方程与直线方程，得ax 2＋b (1－x )2＝1，即(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，y1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－2b a ＋b ＝2aa ＋b ，AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，AB 中点与原点连线的斜率k ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.故选A.3．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________．答案 x －y －1＝0或x ＋y －1＝0解析 设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8得k 2＝1，∴k ＝±1，∴l 的方程为：x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[考法综述] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1 直线与圆锥曲线的位置关系典例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，则实数a 的取值为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0 B ．{－1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－45，0 [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0x 1＋x 2＝4k 1－k2>0x 1x 2＝－101－k 2>0解得－153<k <－1.(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.故选A.[答案] (1)D (2)A【解题法】 直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解．(3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2 直线与圆锥曲线的弦长问题典例2 已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1(a >2)． 将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)， 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， ∴0≤m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， 得|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22. 又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3， 故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝2， 当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时取等号． 当m ＝±2时，满足0≤m 2<8. 故直线l 的方程为y ＝2x ±2.【解题法】 直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3 中点弦问题典例3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863. 【解题法】 弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立 将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43答案 D解析 由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.4．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S△AFO＝12|OF|×y1＝12×14y1＝18y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1－y2.由98y1－y2＝98y1＋(－y2)≥298y1×(－y2)＝298×2＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c 的最大值为________．答案2 2解析直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为22，又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤22，即实数c的最大值为22.6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m2－1,2m)．由|FQ|＝2知(2m)2＋(2m2－1－1)2＝2，解得m2＝1或m2＝0(舍去)，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解 解法一：(1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24 ＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 解法二：(1)同解法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.10．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎨⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3.因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)． 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 11．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解 (1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1.同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．[错解][错因分析] 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．[正解] 设M (x M ，y M )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .设直线CD 的斜率为k ′，因为CD ⊥AB ，所以k ′＝－1k .同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＝y 22－y 21x 22－x 21， 由于点A ，C 都在双曲线上，故有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2－y 21－y 22b 2＝0，所以k 1k 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2>0.则2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k 1k 2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，所以e＝1＋b 2a 2＝3，故选B.3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. 答案 ①④解析 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．6．[2016·冀州中学热身]已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ， 代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点的横坐标为x 0，则 x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3＝1＋t2， 由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，②显然t ≠0，所以h ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋1，③ 当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，此时h ≤－3，不满足①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋⎝⎛⎭⎪⎫－1t ≥2，当且仅当t ＝－1时取等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.7. [2016·枣强中学周测]已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程；(2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．解 (1)左焦点坐标为F (－1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由∠AOB ＝60°，得圆心O 到直线l 的距离d ＝13，又d ＝|k |k 2＋1，∴|k |k 2＋1＝13，解得k ＝±22. ∴直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ>0得1＋2k 2>m 2①，且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2.∵△POQ 的重心恰好在圆x 2＋y 2＝49上， ∴(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4， 即(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4， 即(1＋k 2)(x 1＋x 2)2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4. ∴16(1＋k 2)k 2m 2(1＋2k 2)2－16k 2m 21＋2k2＋4m 2＝4， 化简得m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1，代入①式得2k 2>0，∴k ≠0，又m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1＝1＋4k 44k 2＋1＝1＋44k 2＋1k 4.∵k ≠0，∴m 2>1，∴m >1或m <－1.8．[2016·冀州中学预测]已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．解 (1)∵F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，∴不妨设F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∵椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，∴设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据已知得⎩⎨⎧c ＝4，c a ＝45，b 2＝a 2－c 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，a ＝5，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴P (m ，n )是椭圆E 上的点．∴m 225＋n 29＝1. ∵m 225＋n 29≤m 29＋n 29＝m 2＋n 29，∴m 2＋n 2≥9. ∵曲线M 是圆心为(0,0)，半径r ＝2的圆，圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2≤13<2，∴直线mx ＋ny ＝1与曲线M 有两个公共点．设直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长为l ，则l ＝22－1m 2＋n2. ∵m 225＋n 225≤m 225＋n 29＝1， ∴m 2＋n 2≤25.∴9≤m 2＋n 2≤25.∴125≤1m 2＋n 2≤19，∴179≤2－1m 2＋n 2≤4925. ∴173≤2－1m 2＋n 2≤75. ∴2173≤l ≤145.∴直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2173，145. 9．[2016·衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解 (1)由已知得焦点坐标为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝m 2＋1·(4m )2－4×(－4)＝4(m 2＋1)． 所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.10．[2016·枣强中学模拟]已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时线段CD 的中点不是点N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2.②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×12＝－1.所以直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋2y －3＝0.11．[2016·衡水二中期末]已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知|EG |＝|ES |，∴|EG |＋|EC |＝|ES |＋|EC |＝62， 又|GC |＝6<62，∴点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为62的椭圆．故动点E 的轨迹M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆M 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 218＋y 29＝1，消去y ，化简得3x 2＋4mx ＋2m 2－18＝0.∵直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点， ∴Δ＝16m 2－12(2m 2－18)>0， 化简得m 2<27，解得－33<m <33， ∴x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2(m 2－9)3. ∵以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4(m 2－9)3－4m 23＋m 2＝0，解得m ＝±23，由于±23∈(－33，33)，∴符合题意的直线l 存在，所求的直线l 的方程为 y ＝x ＋23或y ＝x －2 3.12．[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan ∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．解 (1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)， 则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)， 当λ＝1时，MF →＝FN →， ∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c ， 由M ，N 两点在椭圆上， ∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN →＝(0,2y 2)，AF →＝(c ＋4,0)，MN →·AF →＝0， ∴MN →⊥AF →.(2)当λ＝1时，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，∴AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063， ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22， ∴56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2，a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(3)因为AM →·AN →·tan ∠MAN ＝2S △AMN ＝|AF ||y M －y N |＝63， 由(2)知点F (2,0)，所以|AF |＝6，即得|y M －y N |＝ 3.当MN ⊥x 轴时，|y M －y N |＝|MN |＝2b 2a ＝2×26≠3，故直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．联立⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 26＋y 22＝1，得(1＋3k 2)y 2＋4ky －2k 2＝0，y M ＋y N ＝－4k 1＋3k 2，y M ·y N ＝－2k 21＋3k 2，∴|y M －y N |＝24k 4＋24k 21＋3k 2＝3，解得k ＝±1.此时，直线MN 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)答案 A解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1，x >0，y >0可得N ⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，x >0，y >0可得M (a ，b )，又F 1(－c,0)，则kMF 1＝ba ＋c，k ON ＝b 2a b 2＋c2，∵MF 1∥ON ， ∴b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，∴a b 2＋c 2＝b (a ＋c )，又b 2＝c 2－a 2，∴2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，∴2e 0－e 30＝2e 20－2，设f (x )＝x 3＋2x 2－2x －2，f ′(x )＝3x 2＋4x －2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，即f (x )在(1，＋∞)上至多有1个零点，f (1)＝1＋2－2－2<0，f (2)＝22＋4－22－2>0，∴1<e 0< 2.故选A.14．[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析 设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，得|PF 2|＝a －m ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴a －m ＝2c ，又由e 1＝c a ，e 2＝c m ，得a ＝c e 1，m ＝c e 2，从而有c e 1－c e 2＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1，由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1，可得13<e 1<12，令1－2e 1＝t ，则0<t <13，e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2.又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上为减函数，则0<t <13时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴0<t <13时，f (t )>43，故e 1e 2>13.15．[2016·衡水二中模拟]如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得2a ＝4，a ＝2c ，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，则M (4，y )，F (1,0)，其中－2≤x ≤2，∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2.∴|PF |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋3－34x 2＝14(x －4)2，|PM |2＝|x －4|2，|FM |2＝32＋y 2＝12－34x 2. ①若|PF |＝|FM |，则14(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝－2或x ＝4(舍去)，当x ＝－2时，P (－2,0)，此时P 、F 、M 三点共线，不符合题意，∴|PF |≠|FM |；②若|PM |＝|PF |，则(x －4)2＝14(x －4)2，解得x ＝4，不符合题意； ③若|PM |＝|FM |，则(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝4(舍去)或x ＝47，当x ＝47时，y ＝±3157，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，±3157，满足题意． 综上可得，存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3157或⎝ ⎛⎭⎪⎫47，－3157，使得△FPM 为等腰三角形．16．[2016·枣强中学期末]如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，则b ＝c 2，又c 2＝a 2－b 2，所以4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。

第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系（教师）【2013年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得． 解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )． A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二 由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围． [审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上． 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)． 令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)， 将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0·()－k ，y 0＝1. 故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确． 【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0， 解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答． 【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A|＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a ，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)． F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(2011·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56. 答案：B5．(2012·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(2011·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a ，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)， 所以a ＝22，c ＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)， 则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(2012·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4.令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ，而3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增， 所以S △BPQ ＝123t ＋1t ≤3，当t ＝1时取等号， 即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12. 综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。

教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆锥曲线的地点关系含分析编辑： __________________时间： __________________第 8节直线与圆锥曲线的地点关系最新考纲中心修养考情聚焦直线与圆锥曲线的地点关系1.直线与圆锥曲线的地点关系向来是高考的热门、考察知的判断与应用、完成直观想象识有直线与椭圆、抛物线相1.掌握解决直线与椭圆交、波及弦长、中点、面积和数学运算的修养．、抛物线的地点关系的、对称性等问题．题型既有2.依据直线与圆锥曲线的地点思想方法．求参数、加强逻辑推理和数学选择题、填空题、又有解答2.认识圆锥曲线的简单题、难度不小、属中高档题运算的修养．应用．型、做题时要充足利用函数3.弦长问题与中点弦问题的研3.理解数形联合的思想与方程思想、转变与化归思究、提高逻辑推理和数学运算的修养想、数形联合等数学思想的运用直线与圆锥曲线的地点关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y、整理获得对于 x的方程 ax2＋bx＋ c＝0.方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的解l 与 C1的交点b＝ 0无解 (含 l是双曲线的渐近线 )无公共点a＝ 0有一解 (含 l与抛物线的对称b≠ 0轴平行或与双曲线的渐近线一个交点平行 )>0两个不等的解两个交点a≠ 0＝ 0两个相等的解一个切点<0无实数解无公共点(2)几何法：在同向来角坐标系中画出圆锥曲线和直线、利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的地点关系．1.直线与圆锥曲线的订交弦长问题设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l 与圆锥曲线 C订交于 A、B两点、 A(x1、y1 )、B(x2、y2)、则 |AB |＝1＋ k2|x1－ x2|＝1＋ k2·x1＋ x22－ 4x1x2＝1＋1·|y1－ y2|＝k212－ 4y 1y 2 .特别、若直线过抛物线的焦点、则弦长2p1＋k2 · y 1＋ y 2 |AB|＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ sin2 α(α为弦 AB 的倾斜角 )．2．中点弦的重要结论x2 y2AB 为椭圆 a2＋ b2＝1(a>b>0) 的弦、 A(x 1、y 1)、 B(x 2、 y 2)、弦中点 M(x 0、y 0)．b2x0(1)斜率： k ＝－ a2y0.b2 (2)弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值－a2[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”．(1) 直线与双曲线有且只有一个公共点、则鉴别式 ＝ 0.( )(2) 经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点． ( )(3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()x2＋y2＝1恒有两个公共点． ()(4)直线 y ＝kx ＋ 1与椭圆 5 9(5) 直线与椭圆有且只有一个公共点、则其鉴别式 ＝ 0.()答案： (1) × (2)× (3)√ (4) √ (5)√[小题检验 ]x2 y2 ＝1的地点关系为 ()1．直线 y ＝ kx －k ＋ 1与椭圆9 ＋ 4A ．订交B ．相切C ．相离D ．不确立分析： A [ 直线 y ＝kx － k ＋ 1＝ k(x － 1)＋1 恒过定点 (1,1)、又点 (1,1)在椭圆内部、故直线与椭圆订交． ]2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 解析：A[直线与双曲线相切时、只有一个公共点、但直线与双曲线订交时、也可能有一个公共点、例 如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．应选A.]x2 y23．若直线 y ＝kx 与双曲线9 － 4 ＝ 1订交、则 k 的取值范围是 ()2A. 0，32B. －3， 022C.－，D. －∞，－ 2 ∪ 2，＋ ∞3 3分析： C[ 双曲线 x2 － y2＝ 1 的渐近线方程为2 94y ＝ ± x 、若直线与双曲线订交、数形联合、32 2得 k ∈ －3，3 .]x24．( 人 教A版 教 材P80A组 T8改 编 )已知与向量v ＝ (1,0)平行的直线 l 与双曲线4－ y 2＝ 1订交于 A 、 B 两点、则 |AB|的最小值为 ________．分析： 由题意可设直线 l 的方程为 y ＝m 、代入x24－ y 2＝ 1得x 2＝ 4(1＋ m 2)、所以 x 1＝ 41＋ m2＝ 2 1＋ m2、 x 2＝－ 2 1＋m2、所以 |AB|＝ |x 1－ x 2|＝ 4 1＋ m2≥ 4、即当 m ＝0时、 |AB|有最小值 4.答案： 4x2＋y 2＝1的弦被点 1 1 均分、则这条弦所在的直线方程是________．5．椭圆 2 2，2 分析： 设弦的两个端点为 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、则 x 1＋ x 2＝ 1、 y 1＋ y 2＝ 1.∵A 、 B 在椭圆上、∴ x212＋ y21＝1、 x22＋ y2＝ 1.x 1＋ x 2x 1－ x 2两式相减得＋ (y 1＋ y 2)(y 1－ y 2)＝ 0、即y1－ y2 ＝－ x1 ＋ x2 ＝－ 1、x1－x22 y ＋y即直线 AB 的斜率为－ 12.∴直线 AB 的方程为 y － 1＝－ 1 x － 1、2 2 2 即 2x ＋ 4y － 3＝0.答案： 2x ＋ 4y －3＝ 0[ 题组集训 ]1．若过点 (0,1)作直线、使它与抛物线 y 2 ＝4x 仅有一个公共点、则这样的直线有 ()A ．1条B ．2条C ． 3条D ．4条分析： C[ 联合图形剖析可知、知足题意的直线共有 3 条：直线 x ＝ 0、过点 (0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点 (0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x ＝ 0)、应选 C.]2．双曲线 C ：x2－y2a2b2＝ 1(a ＞ 0、b ＞ 0)的右焦点为 F 、直线 l 过焦点 F 、且斜率为 k 、则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都订交的充要条件是()bbA ． k ＞－ aB ． k ＜ aC ． k ＞ b 或k ＜－ bD ．－ b ＜ k ＜ba aa a分析： D[ 由双曲线渐近线的几何意义知－b＜ k ＜b.应选 D.]aa3．若直线 mx ＋ ny ＝4和圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4没有交点、则过点 (m 、 n)的直线与椭圆x2 ＋ y29 4＝ 1的交点个数为 ()A ．至多一个B ． 2C ． 1D ． 0分析： B[ ∵直线 mx ＋ ny ＝ 4 和圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4 没有交点、∴4 ＞2、∴ m 2＋ n 2m2＋ n2＜ 4.∴ m2＋ n2＜ m2＋ 4－ m2＝ 1－ 5m 2＜ 1、∴点 (m 、 n) 在椭圆 x2＋ y2＝ 1 的内部、∴过点 (m 、 9 4 9 4 36 9 4n)的直线与椭圆x2＋y2＝ 1 的交点有 2 个、应选 B.]94判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可获得一个对于x 、 y 的方程组、消去 y(或 x) 得一元方程、此方程根的个数即为交点个数、方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象、依据图象判断公共点个数．提示：直线与双曲线订交时要注意交点的地点限制参数的范围．考点二依据直线与圆锥曲线的地点求参数 (师生共研 )[ 典例](1) 若直线 y ＝ kx ＋2与双曲线 x 2－ y 2＝ 6的右支交于不一样的两点、则k 的取值范围是 ()－ 15， 1515A. 33B.0，3C. －15， 0 D. －15，－ 133[分析] Dy ＝ kx ＋ 2， [ 由得 (1－ k 2) x 2－ 4kx － 10＝ 0、x2 － y2＝ 6，1－ 4k2 ≠0＝ 16k2 － 4 1－ k 2 × － 10 ＞ 0∴x 1＋ x 2＝ 4k 2＞0、1－k10x 1x 2＝ k 2－ 1＞015直线与双曲线右支有两个不一样交点、解得－3 ＜ k ＜－ 1.应选 D.](2)(20xx ××· 市 模 拟 )已知直线 3x － y －3＝ 0与抛物线 y 2＝ 4x 交于 A 、 B 两点 (A 在 x 轴上方 )、与 x 轴交于 F 点、→＝ λ→OFOA→)＋ μOB 、则 λ－ μ＝ (1 111A. 2 B ．－ 2 C.3D ．－3[分析 ]B [ 直线 3x － y － 3＝0过抛物线的焦点 F(1,0) 、1把直线方程代入抛物线的方程y 2＝ 4x 、解得 x ＝ 3、或 x ＝ 3、不如设 A(3,23)y ＝ 23y ＝ 23 3、 B 1，－2 3.33→ → →∵OF ＝λOA ＋ μOB 、∴ (1,0) ＝ (3λ、 2 3λ)＋ 13μ，－ 2 3 3μ＝ 3λ＋ 13μ， 2 3λ－ 2 3 3μ .∴3λ＋ 1μ＝ 1,2 3λ－ 23μ＝ 0、∴ λ＝1、 μ＝ 3、3344则λ－ μ＝－1.应选 B.]2由地点关系求字母参数时、用代数法转变为方程的根或不等式解集、也能够数形联合、求出界限地点、再考虑其余状况．[追踪训练 ]1．(20xx ××·市三模)已知 F 为椭圆x2 ＋y2 43＝ 1的左焦点、 A 是椭圆的短轴的上极点、点B 在 x 轴上、且 AF⊥AB 、 A 、 B 、 F 三点确立的圆 C 恰巧与直线 x ＋ my ＋ 3＝ 0相切、则 m 的值为 ( )A ．±3B. 3 C ．± 3D ．3分析：C[由题意可知：椭圆x2＋y2＝ 1的左焦点 (－ 1,0)、设 B(x,0)、由 AF ⊥4 3x － 1x ＋ 1 AB 、且 A 、B 、 F 三点确立的圆 C 、圆心 C2 ， 0 、半径为 r ＝2.在△ AOC 中、由 |AO|2＋ |OC|2＝ |AC |2＝ r 2、即( 3)2＋x － 1 2 ＝ x ＋ 1 2、解得 x ＝ 3、则 C(1,0)、半径为 2、 22由题意可知：圆心到直线x ＋ my ＋ 3＝0距离 d ＝|1＋m ×0＋3|＝ 2、1＋ m2解得 m ＝ ± 3.应选 C.]2．已知直线 y ＝ x ＋ m 被椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1截得的弦长为22、则 m 的值为 ________．5解析：把直线 y ＝x ＋ m 代入椭圆方程得 4x 2＋ (x ＋m)2＝ 1、即 5x 2＋2mx ＋m 2－ 1＝0、设该直线与椭圆 订交于两点 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、则 x 1、 x 2是方程 5x 2＋ 2mx ＋m 2－ 1＝0的两根、＝ 4m 2 － 20(m2225 .由韦达定理可得 x 1＋ x 2＝－ 2m、 x 1·x 2＝m2－1 、所以 |AB|＝－ 1)＝－ 16m ＋ 20>0、即 m < 4 5 512 2－ 4x 1 24m2－ 4m2－4＝ 2 2、所以 m ＝ ±1.1＋ 12· x ＋ xx ＝ 2·2555答案： ±1考点三 弦长问题 (师生共研 )[ 典例 ] (20xx ××· 市 摸 底)如图、在平面直角坐标系xOy 中、椭圆x2 ＋y2a2b2＝ 1(a>b>0)的离心率为 1、过椭圆右焦点 F 作两条相互垂直的弦AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0时、2AB ＝ 4.(1)求椭圆的方程；48(2)若 |AB|＋ |CD|＝ 7 、求直线 AB 的方程．直观想象、逻辑推理、数学运算—— 直线与椭圆地点关系综合问题中的中心修养以学习过的直线与椭圆地点关系的有关知识为基础、借助直线、椭圆等平面图形的几何性质、经过逻辑推理将已知条件代数化、并经过消元等进行一系列的数学运算、进而使问题得以解决．信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算x2 y2椭圆 a2＋b2c 1＝2 着眼点 1：求椭圆的方程：1a＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为 2 待定系数法、经过解方程过椭圆右焦点 F 的弦 AB 斜率为 0求出 a 和 b2a ＝ 4时、 AB ＝4分两种状况议论：① 着眼点 2：求直线 AB 的方程 过椭圆右焦点 F 的弦 AB 与 CD 互 当两条弦中一条弦所在直线 ：待定系数法求出直线 AB相垂直、当直线 AB 斜率为 0时的斜率为 0时、另一条弦所在的斜率 k 、也就是利用弦长48直线的斜率不存在；② 48、 |AB|＝ 4、 |AB|＋ |CD |＝ 7当两弦所在直线的斜率均存公式将 |AB|＋ |CD |＝ 7在且不为 0转变为对于 k 的方程c 1[分析 ](1)由题意知 e ＝a ＝ 2、 2a ＝ 4.a ＝2， 又 a 2＝b 2＋c 2、解得b ＝ 3，所以椭圆方程为x24＋ y23＝ 1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0 时、另一条弦所在直线的斜率不存在、由题意知 |AB|＋ |CD |＝ 7、不知足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0 时、设直线 AB 的方程为 y ＝ k(x － 1)、 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2)、则直线 CD 的方程为 y ＝－1k (x － 1)．将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理、得(3 ＋4k 2 )x 2－ 8k 2x ＋ 4k 2－12＝ 0、则 x 1＋ x 2＝ 8k2 、x 1·x 2＝4k2 －12、3＋ 4k23＋ 4k2所以 |AB|＝ k2＋ 1|x 1－ x 2|＝12 k 2＋ 1 k2＋ 1· x 1＋ x2 2－4x1 x 2＝ 3＋4k 2 .12 1＋ 12＋ 1k2＝ 12 k 同理、 |CD|＝43k 2＋ 4 .3＋k2所以 |AB|＋ |CD |＝ 12 k 2＋ 112 k 2＋1 3＋4k 2＋3k 2＋484 k 2＋ 1 248 、解得 k ＝ ±1、＝3＋4k 23k 2＋ 4 ＝ 7 所以直线 AB 的方程为 x － y － 1＝0 或 x ＋ y － 1＝ 0.1．利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情况、若 k 不存在时、可直接求交点坐标再求弦长；2．波及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．[追踪训练 ]已知圆 C ： x 2＋( y － 1)2 ＝5、直线 l ： mx － y ＋ 2－ m ＝0.(1)求证： ? m ∈R 、l 与圆 C 总有两个不一样的交点 A 、 B ；(2)当 |AB|取最小值时、求 l 的方程与 |AB|的最小值．x2＋ y － 1 2＝ 5，解： (1) 由 消去 y 并整理得、 (1＋ m 2)x 2＋ 2m(1－ m)x ＋m 2－ 2m － 4＝ 0、mx －y ＋ 2－ m＝ 0所以 ＝ [2m(1－m)] 2－4(1＋ m 2)(m 2－ 2m － 4)＝ 16 m ＋ 115＞ 0、 4 2＋16 所以 ? m ∈ R 、直线 l 与圆 C 总有两个不一样的交点 A 、 B.2－ 1＝ 1、(2)由 (1)可得 k CD ＝ 1－ 0当|AB |取最小值时、直线 l 的斜率 k ＝－ 1、即 m ＝－ 1、故此时直线 l 的方程为－ x － y ＋3＝ 0、即 x ＋ y － 3＝ 0.x ＋ y －3＝ 0，设 A(x 1、 y 1 )、 B(x 2、y 2)、不如设x 1＜ x 2、由 消去 y 并整理得x2＋ y － 1 2＝ 5，2x 2－ 4x － 1＝ 0. ①解①得 x 1＝ 1－ 26、 x 2＝ 1＋ 26、所以 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 23. 考点四 中点弦问题 (多维研究 )[命题角度 1] 由中点弦确立直线方程1．已知 (4,2)是直线 l 被椭圆x2 ＋y2 369＝ 1所截得的线段的中点、则 l 的方程是 ________________ ．分析： 设直线 l 与椭圆订交于 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2 )．则x21＋ y21＝ 1、且x2＋ y2＝ 1、369369两式相减得y1－y2＝－ x1＋ x2.x1－x24 y 1＋y 2 又 x 1＋ x 2＝ 8、 y 1＋ y 2＝ 4、y1 － y2 1所以 x1 － x2 ＝－ 2、故直线 l 的方程为1y － 2＝－ 2(x － 4)、即 x ＋ 2y － 8＝0.答案： x ＋ 2y －8＝ 0由中点弦确立直线方程常用点差法：即设出弦的两头点坐标后、代入圆锥曲线方程、并将两式相减、式中含有x 1＋ x 2、 y 1＋ y 2、y1－ y2三个未知量、这样就直接联系了中点和直线的x1－ x2斜率、借用中点公式即可求得斜率；也能够利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程获得方程组、化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．[提示 ] 中点弦问题常用的两种求解方法各有缺点：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解、需关注直线的斜率问题；点差法在确立范围方面略显不足．[命题角度 2]由中点弦确立曲线方程2．已知椭圆 E ：x2 ＋y2 a2b2＝ 1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)、过点 F 的直线交 E 于A 、 B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1 、－ 1)、则 E 的方程为 ()x2＋ y2＝ 1 B.x2＋y2＝1A. 45 363627x2＋ y2 ＝1D.x2＋y2＝1C.27 1818 9x21 y21x2 y2分析： D[设 A( x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2 )、则 a2＋b2＝ 1、 a2＋ b2＝ 1、两式作差并化简变形得y1－ y2＝x1－ x2b2 x 1＋ x 2y1 － y2 0－ －1 1、 x 1＋ x 2＝ 2、 y 1＋ y 2＝－ 2、所以 a 2 ＝ 2b 2、又由于－ 2 1 2 、而 ＝ ＝ 2 a y ＋y x1 － x23－ 1a 2－b 2＝c 2＝ 9、于是 a 2＝ 18、 b 2 ＝9.应选 D.]由中点弦确立曲线方程、一般常用点差法、用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式、求解即可．[命题角度3]由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x2－y2 a2b2＝ 1(a>0 、 b＞ 0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4、若抛物线 y＝ ax2上的两点 A(x11、y1)、B(x2、y2 )对于直线 y＝ x＋m对称、且 x1x2＝－2、则 m的值为 ()35A. 2B. 2C．2 D ． 3分析： A[ 由双曲线的定义知2a＝ 4、得 a＝ 2、所以抛物线的方程为y＝2x2.由于点 A(x1、 y1)、 B(x2、 y2)在抛物线 y＝ 2x2上、所以 y1＝ 2x 12、 y2＝ 2x2、两式相减得 y1－ y2＝ 2(x1－x2)(x1＋x2)、不如设 x1＜ x2、又 A、 B对于直线 y＝ x＋ m对称、所以y1－ y2 x1－ x2＝－ 1、故 x121、而 x1 21、解得 x1＝－21 、设A(x1122＋ x ＝－2x ＝－21、 x ＝2、 y )、 B(x 、 y )的中点为M(x0、 y0)、则 x0＝x1 ＋ x2＝－1、 y0＝y1＋ y2＝2x21＋2x2 2422＝5、由于中点 M在直线 y＝ x＋ m上、所以5＝－1＋ m、解得 m＝3.应选A.]4442由中点弦解决对称问题、第一依据斜率之积等于－1、用点差法表示出有关式子．再利用中点在已知直线上、代入解的．[命题角度4] 由中点弦解决离心率问题4．(20xxx2＋y2＝ 1(a＞ b＞ 0)的右焦点为 F(1,0)、且离心率为1 、××·市一模 )已知椭圆 r：a2 b22△ABC的三个极点都在椭圆r 上、设△ABC三条边 AB、 BC、 AC的中点分别为 D、 E、M 、且三条边所在直线的斜率分别为k1、 k2、 k3、且 k1 231＋1＋1、 k 、 k 均不为 0.O为坐标原点、若直线 OD 、 OE、OM 的斜率之和为 1.则k1k2k3＝ ________.分析：由 c＝ 1、 e＝c＝1、则 a＝ 2、b2＝a2－ c2＝ 3、a2x2y2∴椭圆的标准方程为 4 ＋3＝1.设A(x1、y1)、 B( x2、 y2)、 C(x3、 y3)、 D(s1、 t1)、 E(s2、t2)、 M(s3、t3)．由A、 B在椭圆上、则 3x21＋ 4y21＝ 12,3x2＋ 4y2＝ 12、两式相减获11/17y1－ y2＝－3x1＋x2、所以 k1＝y1－ y2＝－3x1＋ x2＝－3s1、即1＝－4t1、同理1x1－ x24·x1－ x24·＋ y24·k13s1k2 y1＋ y2y1t1＝－3s24t2、k31＝－3s34t3、所以k11＋k21＋k31＝－43t1s1＋s2t2＋s3t3、直线 OD 、 OE、OM 的斜率之和为1、则1＋1＋1＝－4. k1 k2 k334答案：－由中点弦解决离心率问题、指导思想是整体代换、设而不求、设出两个有关点的坐标、利用点差法、把有关的关系式是表示出来、再依据详细题目的条件求解．1．已知抛物线 y2＝ 2x、过点 (－ 1,2)作直线 l、使 l与抛物线有且只有一个公共点、则知足上述条件的直线l共有 ()A．0条 B ．1条C． 2条D．3条分析： D[ 由于点 (－ 1,2)在抛物线y2＝2x 的左边、所以该抛物线必定有两条过点(－1,2)的切线、过点 (－ 1,2)与 x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点、所以过点(－ 1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点、应选 D.]2．直线 y＝ x＋1截抛物线 y2＝ 2px所得弦长为 26、此抛物线方程为 ()A ． y2＝－ 2x B． y2＝ 6xC． y2＝－ 2x或y2＝6x D．以上都不对分析：C[由y＝ x＋ 1，得 x2＋ (2－ 2p)x＋ 1＝ 0.x1＋ x2＝2p－ 2、x1x2＝ 1. ∴ 2 6 y2＝ 2px＝ 1＋ 12· x＋ x2－ 4x1x2＝2· 2p－ 22－4.解得 p＝－ 1或 p＝3、2∴抛物线方程为 y2＝－ 2x或y2＝ 6x.应选 C.]3．过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2－y2 2＝ 1交于 A、 B两点、使点 P为 AB中点、则这样的直线()A ．存在一条、且方程为2x－ y－ 1＝ 0B．存在无数条C．存在两条、方程为2x±(y＋ 1)＝ 0D．不存在分析： D[ 设 A(x1、y1 )、B(x2、y2)、则 x1＋ x2＝ 2、y1＋ y2＝2、则11 x21－ y21＝ 1、 x2－ y2 22＝ 1、两式相减得 (x1－ x2)( x1＋ x2)－12 (y1－ y2)( y1＋ y2)＝ 0、所以 x1－ x2＝12(y1－ y2)、即 k AB＝2、故所求直线方程为y－ 1＝ 2(x－ 1)、即 2x－ y－ 1＝ 0.y＝ 2x－1，联立1可得2x2－ 4x＋ 3 ＝ 0 、但此方程没有实数解、故这样的直线不存x2－2y2＝ 1在．应选 D.]4．(20xx· 全国Ⅰ卷)设抛物线C： y2＝4x的焦点为 F 、过点 (－ 2,0)且斜率为2 3→ →的直线与 C交于 M、 N两点、则 FM·FN ＝()A ． 5B ． 6C． 7D． 8分析： D[ 如图焦点 F(1,0)、2直线的方程为 y＝3(x＋ 2)、将其代入 y2＝ 4x得： x2－ 5x＋ 4＝0、设M (x1、 y1)、 N(x2、 y2)、则 x1＋ x2＝ 5、 x1x2＝ 4、→→∴FM ·FN ＝(x1－ 1、 y1 ) ·(x2－ 1、 y2)＝ (x1－ 1)(x2－ 1)＋ y1y22 2＝x1x2－ (x1＋ x2)＋ 1＋ (x1＋ 2) ·(x2＋2)3 3 13125＝9 x1x2－9(x1＋ x2)＋9＝139× 4－19× 5＋259＝ 8.]5．(20xx ·浙江百校联盟联考)已知椭圆x2＋y2 a2b2＝1(a>b>0)的右极点和上极点分别为A、B、左焦点为F .以原点O为圆心的圆与直线BF相切、且该圆与 y轴的正半轴交于点 C、过点 C的直线交椭圆于 M、 N两点．若四边形 FAMN 是平行四边形、则该椭圆的离心率为()3123A. 5B. 2C.3D.4分析： A[ 由于圆 O 与直线 BF 相切、所以圆O 的半径为bc、即 |OC|＝bc、由于四边形a aFAMN 是平行四边形、所以点M 的坐标为a＋ c，bc、代入椭圆方程得a＋2c 2＋c2b2＝ 1、所2a4a a2b2以 5e2＋ 2e－ 3＝ 0、又 0<e<1、所以 e＝35.应选 A.]6．(20xx ·全国卷Ⅲ )已知点 M(－ 1,1)和抛物线 C： y2＝ 4x、过 C的焦点且斜率为k的直线与 C交于 A、B两点．若∠AMB ＝90°、则 k ＝ ________.y2＝ 4x 分析： 设直线 AB 的方程为 y ＝ k( x －1)、由y ＝ k x － 1得k 2x 2－ (2k 2＋ 4)x ＋ k 2＝ 0、设 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2)．则x 1＋ x 2＝2k2 ＋ 4、 x 1·x 2＝ 1.k2∵∠ AMB ＝90°、∴ k MA ·k MB ＝－ 1解 y1－ 1 y2 － 1x1 · ＝－ 1.＋1 x2 ＋ 1化简得 k 2－ 4k ＋ 4＝ 0、解得 k ＝ 2. 答案： 27．过点 M(2、－ 2p)作抛物线 x 2＝ 2py(p ＞0)的两条切线、切点分别为A 、B 、若线段 AB 的中点的纵坐标为6、则 p 的值是 ________．分析： 设点 A(x 1122x 、、y )、 B( x 、y )、依题意得、 y ′ ＝ px1 x1 x21切线 MA 的方程是 y － y 1＝ p (x －x 1 )、即 y ＝ p x －2p .又点 M(2 、－ 2p)位于直线 MA 上、于是有－ 2p ＝x1× 2－x21、即 x21－ 4x 1－ 4p 2＝ 0；同理有x2－ 4x 2－ 4p 2＝ 0、所以 x 1、 x 2 是方程p 2px 2－ 4x － 4p 2＝ 0 的两根、则 x 1＋ x 2＝ 4、 x 1x 2＝－ 4p 2.由线段 AB 的中点的纵坐标是6 得、 y 1＋ y 2＝ 12、即 x21＋ x2＝ x 1＋ x 22－ 2x 1x 2＝ 12、 16＋ 8p2＝ 12、解得 p ＝ 1 或 p ＝ 2.2p2p2p答案： 1或 28．(20xx ××·市模拟)椭圆x2＋y243＝ 1的左、右焦点分别为 F 1、 F 2、过椭圆的右焦点 F 2作一条直线 l 交椭圆与 P 、Q 两点、则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ________________________________________________________ ________________ ．分析： 由于三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍、且△ F 1PQ 的周长是定值 8、所以只要求出△F 1PQ 内切圆的半径的最大值即可．设直线 l 方程为 x ＝my ＋1、与椭圆方程联立得(3m 2＋ 4)y 2＋ 6my － 9＝0.设 P(x 1、 y 1)、Q(x 2、y 2)、则 y 1＋ y 26m、y 1 y 29、＝－3m2＋ 4 ＝－3m2＋ 4于是 S △F 111 212122－ 4y 1 2m2＋1PQ ＝2|F F | ·|y － y |＝ y ＋ yy ＝ 123m 2＋ 42.∵ m2＋ 1 2＝ 1≤ 1 、2 4 13m ＋＋ 6 169m2＋ 9＋m2＋ 1∴S △ F 1PQ ≤ 3所之内切圆半径r ＝2S △F1PQ ≤ 3、所以其面积最大值是9 π.84169答案： 16π9．(20xx ·北京模拟)已知椭圆 C ：x2 ＋y2 a2b2＝ 1(a>b>0)的离心率为1、椭圆的短轴端点与双曲线y2 22－ x 2＝ 1的焦点重合、过点 P(4,0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 订交于 A 、B 两点．(1)求椭圆 C 的方程；→ →(2)求 OA ·OB 的取值范围．解： (1) 由题意知 e ＝ c ＝ 1、所以 e 2＝c2＝a2－b2＝ 1、所以 a 2＝4b 2.a 2 a2a243y2由于双曲线2 － x 2＝ 1 的焦点坐标为 (0、 ± 3)、所以 b ＝3、所以 a 2＝4、所以椭圆 C 的方程为x2＋y2＝ 1.43→ →(2)当直线 l 的倾斜角为 0°时、不如令 A(－ 2,0)、 B(2,0)、则 OA ·OB ＝－ 4、当直线 l 的倾斜角不为 0°时、设其方程为 x ＝ my ＋ 4、由x ＝ my ＋ 4， ? (3m 2＋ 4)y 2＋ 24my ＋ 36＝ 0、3x2＋ 4y2＝ 12由 >0? (24m)2－ 4× (3m 2＋ 4)× 36>0? m 2 >4、设 A(my 1＋ 4、y 1)、 B(my 2＋ 4、y 2)．由于 y 1 224m、 y 1236 、＋ y ＝－3m2＋ 4y＝3m2＋ 4→ →＝ (my 1 2 1 22 1 2 12 1 2 116 －4、所以 OA·OB 3m2＋＋ 4)(my ＋ 4)＋ y y ＝ m y y ＋ 4m(y ＋ y )＋ 16＋ y y ＝ 4→ → －4， 13.由于 m 2>4、所以 OA ·OB ∈ 4综上所述、→ →的取值范围为－ 4， 13.OA ·OB 410． (20xx ××·市一模)已知椭圆 C ：x2 ＋y2a2 b2＝ 1(a ＞ b ＞0)的离心率为2、 F 121x22、 F 分别是椭圆 C 的左、右焦点、椭圆 C 的焦点 F 到双曲线 2－ y2＝ 1渐近线的距离为 33.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 AB ： y ＝kx ＋ m(k ＜0) 与椭圆 C 交于不一样的 A 、B 两点、以线段 AB 为直径的圆经过点25F 2、且原点 O 到直线 AB 的距离为、求直线 AB 的方程．解： (1) ∵椭圆 C ：x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为2、a2 b22∴c＝2、∵双曲线x2－ y 2＝ 1 的一条渐近线方程为 x － 2y ＝ 0、a22椭圆 C 的左焦点 F 1(－ c,0)、∵椭圆 C 的焦点 F 1 到双曲线x2－ y 2＝1 渐近线的距离为3 .23∴ d ＝|－c|＝ 3＝ c 得 c ＝ 1、1＋2 33则 a ＝ 2、 b ＝ 1、则椭圆 C 的方程为x2＋ y 2＝ 1；2(2)设 A 、 B 两点的坐标分别为 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、 由原点 O 到直线 AB 的距离为25、得5|m| ＝2 5、1＋ k25即 m 2＝ 4(1＋ k 2)、① 5将 y ＝ kx ＋ m( k ＜0)代入 x22 ＋ y 2＝ 1；得 (1＋ 2k 2)x 2＋ 4kmx ＋ 2m 2－ 2＝ 0、则鉴别式＝ 16k 2 m 2－ 4(1＋ 2k 2)(2m 2－ 2)＝ 8(2k 2－ m 2＋ 1)＞ 0、∴ x 1＋ x 2＝－ 4km 、x 1x 2＝2m2－ 2、1＋ 2k21＋ 2k2 ∵以线段 AB 为直径的圆经过点 F 2、→ →＝ 0、∴AF2 ·BF2 即( x 1－ 1)(x 2－ 1)＋ y 1y 2 ＝0.即( x 1－ 1)(x 2－ 1)＋ (kx 1 ＋m)(kx 2＋ m)＝0、即(1 ＋k 2)x 1x 2＋ (km － 1)(x 1＋ x 2)＋ m 2＋1＝ 0、∴ (1 ＋k 2)2m2－2＋ ( km － 1) － 4km ＋m 2＋ 1＝ 0、 1＋ 2k21＋ 2k2 化简得 3m 2＋ 4km － 1＝ 0 ②由①②得 11m 4－ 10m 2－ 1＝ 0、得 m 2＝ 1、∵ k ＜0、m＝ 1∴1、知足鉴别式＝ 8(2k2－ m2＋ 1)＞ 0、k＝－21∴AB 的方程为y＝－2x＋ 1.。

§直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线公共点；相切时，直线与圆锥曲线有公共点；相交时，直线与椭圆有公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线：＋＋＝与二次曲线：(，)＝，由消元，如果消去后得：＋＋＝，()当≠时，①Δ＞，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线；②Δ＝，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线；③Δ＜，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线．()注意消元后非二次的情况，即当＝时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线与双曲线的渐近线的位置关系是；当圆锥曲线是抛物线时，直线与抛物线的对称轴的位置关系是．()直线方程涉及斜率要考虑其不存在的情形．．直线与圆锥曲线相交的弦长问题()直线：＝＋与二次曲线：(，)＝交于，两点，设(，)，(，)，由得＋＋＝(≠)，则＋＝，＝，＝．()若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．()利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．()点差法：若直线与圆锥曲线有两个交点，，一般地，首先设出(，)，(，)，代入曲线方程，通过作差，构造出＋，＋，－，－，从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠．无一个两个()①相交②相切③相离()平行或重合平行或重合．()－＝若过点(，)作直线，使它与抛物线＝仅有一个公共点，则这样的直线有( )．条．条．条．条解：结合图形分析可知，满足题意的直线共有条，直线＝，过点(，)且平行于轴的直线以及过点(，)且与抛物线相切的直线(非直线＝)．故选.()若直线＋＝和圆：＋＝没有交点，则过点(，)的直线与椭圆＋＝的交点个数为( )．至多个．．．解：∵直线＋＝和圆：＋＝没有交点，∴>，∴＋<.∴＋<＋＝－<，∴点(，)在椭圆＋＝的内部，∴过点(，)的直线与椭圆＋＝的交点有个．故选.若直线＝＋与双曲线－＝的右支交于不同的两点，则的取值范围是( )解：由得(－)－－＝.设直线与双曲线右支交于不同的两点(，)，(，)，则解得－<<－.故选.直线－－＝(∈)与椭圆＋＝的交点个数为．解：易知直线－－＝(∈)过定点(，)，而＋＜，所以点在椭圆＋＝内，直线与椭圆的交点个数为.故填.已知倾斜角为°的直线通过抛物线＝的焦点，且与抛物线相交于，两点，则弦的长为．解：直线的方程为＝＋，联立得－＋＝.设(，)，(，)，则＋＝，∴＝＋＋＝＋＝.故填.类型一弦的中点问题()已知一直线与椭圆＋＝相交于，两点，弦的中点坐标为(，)，则直线的方程为．解法一：根据题意，易知直线的斜率存在，设通过点(，)的直线的方程为＝(－)＋，代入椭圆方程，整理得(＋)＋(－)＋(－)－＝.设，的横坐标分别为，，则＝－＝，解之得＝－.故直线的方程为＝－(－)＋，即＋－＝.解法二：设(，)．∵中点为(，)，∴点坐标是(－，－)．将，点的坐标代入方程＋＝，得＋－＝，①及(－)＋(－)＝，化简为＋－－＋＝.②①－②，得＋－＝，化简为＋－＝.。

（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系Oy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.（1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离.（2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长1212||(0)＝AB x x y y k =-=-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a-.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a.（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆，直线y ＝＋m ．(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；(2)若与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ．（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，1．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点．考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程； （2）若，求x AB的最小值．∴，即，∴，∴，，典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．【解析】（1）由已知得，则，又，∴，∴椭圆的方程为221124x y +=． （2）由221124y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得①.∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，设、，则，，当时，， 此时，线段的中垂线方程为，即，令，得． 当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．2．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点． （1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦研究等.典例5 如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4内一个定点，过E 作斜率分别为1，2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（1）若m ＝1，12＝－1，求△EMN 面积的最小值； （2）若1＋2＝1，求证：直线MN 过定点．典例6 已知椭圆E 22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线ly =+2与椭圆E 交于不同的两点A ,B .（1）直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由； （2）求△ABM 的面积的最大值.【解析】（1）因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =c ,a =2,所以a =2,b =,所以椭圆E +=1,点M (0,).将直线ly =+2代入椭圆E 的方程,整理得(3+42)2+16+36=0. (*)设A (1,y 1),B (2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16)2-4(3+42)×36=48(42-9)>0,所以∈(-∞,-)∪(,+∞),1+2=234k-+,12=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为MA ·MB=(12121212kx kx y y x x x x ⋅=()122123x x k x x ++=+2222233493613636434k k k k k ⎛⎫-⋅+ ⎪+-⎝⎭=+=+=+,3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的方程； （2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线=与椭圆=的位置关系为A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则A ．B ．16C ．32D ．4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率A．B．C．D．5．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若22AB BC=,则双曲线的渐近线方程为A．(+1)+y=0 B．(+1)y-=0C．(+1)±y=0 D．(+1)y±=06．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos∠MON的值为A．513B．513-C．13D．13-7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A．10 B．9C．8 D．78．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,A B两点．若AB的中点坐标为(1,1)-，则E的方程为A．221189x y+=B．2213627x y+=C．2212718x y+=D．2214536x y+=9．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为A．B．C．D．10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则A．2 B．3C．D．11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是A．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图,过抛物线22(0)y px p=>的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为A．29y x=B．26y x=C．23y x=D．y2=13．已知椭圆C+=1,过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,若=2,则直线l的斜率为A．114±B．114C．D14．若直线y=-1与抛物线y2=4有且只有一个公共点,则的值为_________.15．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________．16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．18．过抛物线Cy 2=上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ 恒过定点_________.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，焦距是（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =，求k的值．20．已知抛物线上的点P 到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点. （1）求抛物线的方程；（2）若的面积为，求直线的方程.21．设A、B分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线2y x=-与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D使OM ON tOD+=，求t的值及点D的坐标．22．已知抛物线22(0)y px p=>上的点(3,)T t到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且5OA OB⋅=，其中O为坐标原点．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．23221yb-=（0a>，0b>）上，且双曲线的一条渐近y+=．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A B、两个不同的点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.25．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值．26．直线:0l x y -=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为1、2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．82．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．143．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若O M N △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．44．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________________． 5．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．8．（2018北京理科）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．9．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C 过点1,)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．10．（2018天津理科）设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求的值．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．12．（2017新课标全国I 理科）已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．2．【解析】由22131x x y y a -==+⎧⎨⎩消去y 得22(3)220a x ax ---=．3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得22,2c b a ==又222a b c +=，解得2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222(14)84(1)0k x mkx m ---+=，则222212221226416(14)(1)08144(1)14m k k m mk x x k m x x k ∆⎧⎪=+-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+=⎪-⎩， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++=222414m k k --，4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线. 令，可知：,1．【答案】A【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A ． 2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x =±，∴当﹣1＜≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；当≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点. 把1y kx =-代入得22(1)250k x kx -+-=，令22420(1)0k k ∆=+-=，解得=或=﹣（舍去）．∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜＜．故选D ．3．【答案】C【解析】由题意知，AB 所在直线的方程为，联立消元得，设，则，所以，故选C ．4．【答案】B5．【答案】C【解析】由题意知直线过点A (a ,0),且斜率=tan 135°=-1, 则直线的方程为+y-a =0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B (,),C (,-),则有22222222(,)a b a b BC a b a b=---,(,)ab ab AB a b a b =++-.因为,所以222ab ba b a b-=+-, 化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)±y =0.故选C.6．【答案】B【解析】由题意,a 2=4,b 2=3,故c ===1.不妨设M (1,y 0),N (1,-y 0),所以+=1,解得y 0=±32, 所以|MN |=3,|OM |=|ON.由余弦定理知22222235cos 213OM ON MNMON OM ON+-+-∠===-,故选B.7．【答案】B8．【答案】A【解析】由题意设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12121222120x x y y y y a x x b +-++⨯=-；因为AB 的中点坐标为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-；因为1212101132AB y y k x x ---===--，所以2221202a b-+⨯=，所以222a b =；因为3c ==2218,9a b ==．所以E 的方程为221189x y +=．故选A ．9．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得x y ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得222244443a b a b +=+，即，解得．故选B ．10．【答案】B11．【答案】B 【解析】联立方程得，消去y 化简得，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．12．【答案】C是23y x =,选C. 13．【答案】C【解析】由题意可得,直线l 的斜率存在且不为0,不妨设直线ly =(-1),则由2228y kx k x y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得,(1+22)2-42+22-8=0. 设A (1,y 1),B (2,y 2),则由根与系数的关系可得1+2=22412k k +,12=222812k k-+. 因为=2,所以1+22=3,所以2=223212k k++,1=,所以12=·,化简得2=,解得=±,故选C.14．【答案】-1或0【解析】当=0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;当≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即=-1.从而=-1或0.16．【答案】【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程，整理得，∵渐近线与抛物线相切，，即.故答案为.17．【答案】【解析】设，中点，则，把点代入椭圆的方程，整理得，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+， 即.18．【答案】(2,-1)19．【解析】（1）由题意得2c =，所以22c =，又c a =，所以23a =，21b =， 所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k⋅=+，又CD =1212()y y k x x -=-，所以5=， 又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k-=+-=-++， 代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=， 解得297k =-（舍去）或23k =，即k =经验证，k =故k = 20．【解析】（1）设，由定义知，，，故抛物线的方程为.（2）设，由（1）知.若直线的斜率不存在，则方程为，故直线的方程为或.21．【解析】（1）由实轴长为，得a=，渐近线方程为y x=，即0b x y±=，=，又2222,3c b a b=+∴=，所以双曲线的方程为221123x y-=．（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y，则120120,x x tx y y ty+=+=，由21222238401123y xx x xx y⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以1212()4123y y x x+=+-=，所以0xy=又22001123x y-=，所以03xy⎧=⎪⎨=⎪⎩所以4t =，所以D ．22．【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =，23．【解析】（1）由题意知，22121a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．因此，所求双曲线C 的方程是，即2231x y -=． （2）∵直线l 过点(0,1)且斜率为k ，∴直线l 的方程为1y kx =+．由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=． ∵直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，∴22230(2)4(3)(2)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=---->⎪⎩，解得((3,3)(3,6)k ∈-．（3）设直线l 与双曲线C 的交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由（2）可得1221222323k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，24．【解析】（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、. 由题设知：.由，得，则.∴椭圆的方程为.（2）过点，斜率为的直线：，即：.与椭圆的方程联立，消去得①，由与椭圆有两个不同的交点，知，解得2k <-或2k >. ∴k的取值范围是2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，可知1x 、2x 是①的两根，∴不存在满足题设条件的.25．【解析】（1）由21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得214p =，则2p =.所以抛物线1C 的标准方程为24y x =.下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上，可解得1b c ==，则a =故椭圆2C 的标准方程为2212y x +=. （2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(0,)N k -．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=， 则216160k ∆=+>，21212224,1k x x x x k++==.由1NA AF λ=，2NB BF λ=，得111(1)x x λ-=，222(1)x x λ-=， 整理得121212,11x xx x λλ==--， 故12121212121212()21111()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 故12λλ+为定值1-.26．【解析】（1，则椭圆的离心率为ce a==，此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1(,1)2--． ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，易知1m ≠±．设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+.（1）∵124k k +=，∴1212114y y x x --+=， 即1212114kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)4x x k m x x ++-=.把（1）代入得21km k m -=+，则2(1)k m =+，故12km =-. 则直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-， 故直线AB 过定点1(,1)2--．1．【答案】D2．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP 的2tan PAF ∠=2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 3．【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．4．【答案】2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M'x y ，分别过点A ，B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B'，因为90AMB ∠=︒，所以111||||(||||)(||||)222MM 'A BAF BF A A B B '==+=+'，因为M'为AB 的中点，所以MM'平行于x 轴，因为1()1,M -，所以01y =，则122y y +=，所以2k =．5．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，6．【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为=1． 由已知可得，点A 的坐标为(1,)2或(1,2-，所以AM的方程为2y x =-+2y x =-． （2）当l 与轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．7．【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22x FA x ===-，同理2||22x FB =-， 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．8．【解析】（1）因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ， 所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩可得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-．9．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>． 又点13,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =．因此点P的坐标为．10．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（1，y 1），点Q 的坐标为（2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2A Q =．由4AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去，可得1y =．易知直线AB 的方程为+y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（+1）=边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以的值为111228或．11．【解析】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2l x my =+．由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 圆M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=． 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.12．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．。

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P180])1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2|y 1－y 2| ＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤 设点—设出弦的两端点坐标 ↓代入—代入圆锥曲线方程 ↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B ．13C.14D ．4C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜b aD [解析] 由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜ba. 3．过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定B [解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B ．4．过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．[解析] 过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. [答案] 2 65．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．[解析] 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．[答案] 3直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P181][典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组错误!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[学生用书P181][典例引领](2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 的面积．【解】 (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[注意] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .(1)求轨迹Z 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．[解] (1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|P A |＝|AM |＝8， 所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆， 所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 212＝1.(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0， 所以x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝24（1＋k 2）3＋4k 2，同理可得|FG |＝24（1＋k 2）4＋3k 2，所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2（4＋3k 2）（3＋4k 2），设t ＝k 2＋1，则t >1， 所以|DE |＋|FG |＝16812＋t －1t2，当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0<y ≤14，所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎭⎫967，14.综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.中点弦问题[学生用书P182][典例引领](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1.于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 218＋y 214＝1，① x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12.又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.求M 的方程．[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.[学生用书P370(独立成册)]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C [解析] 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba>2，所以e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C [解析] 因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以AK ＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条 B [解析] 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝±2.所以这样的直线有两条．4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条C [解析] 直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [解析] 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．(2017·江西五市八校二模)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327A [解析] 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，所以－32×(－1)＝－a b ，所以a b ＝－32，故选A.7．(2017·广州市高考模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为AF →＝2FB →，所以1－x A ＝2(x B －1)，又x A x B ＝1，所以x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.[答案] 948．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[解析] c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.[答案] 32159．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2， 即y ＝3x －32p ，联立抛物线方程， 消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1＝32p ，x 2＝16p ， 则|AF ||BF |＝32p ＋12p 12p ＋16p ＝3. [答案] 310．(2017·辽宁沈阳二中模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．[解析] 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)． 由方程组错误!消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0. 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝ （1＋22）⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. [答案] 55311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ．若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．[解] 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0， Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝⎛⎭⎫14，－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝⎛⎭⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．[解] (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3， 两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2，1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.13．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12B ．－12C ．－14D ．－2B [解析] 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有错误!两式相减得错误!＝－错误!，整理得x 1＋x 22（y 1＋y 2）＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B ． 14．(2017·湖南四地联考)若抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m对称，且x 1x 2＝－12，则实数m 的值为________． [解析] 由题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝2x 2得2x 2＋x －b ＝0，所以x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－b 2＝－12， 所以b ＝1，即直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，代入y 0＝－x 0＋1， 得y 0＝54，则M ⎝⎛⎭⎫－14，54， 又M ⎝⎛⎭⎫－14，54在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m .所以m ＝32. [答案] 3215．(2017·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围．[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14， 所以a 2＝43b 2. 因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)， 所以b ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由错误!⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4，设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4， 因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134. 16．(2017·赣南五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝t OP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．[解] (1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*) 因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，所以k 2<12. 设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， 对于OS →＋OT →＝t OP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上任意位置均适合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k 1＋2k 2， 所以x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2. 因为点P 在椭圆上，所以32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k 2t 2（1＋2k 2）2＝1， 整理得t 2＝16k 21＋2k 2，由k 2<12知，0<t 2<4， 所以t ∈(－2，0)∪(0，2)．综上可得t ∈(－2，2)．。