高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合教学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学

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专业. 第1章 集合与常用逻辑用语

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握

说明：“Ⅰ1〞指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1〞指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1〞指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式

本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现．

2.考查内容

从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算；常用逻辑用语主要从四个方面考查：分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“且〞“或〞“非〞以及全称量词与存在量词．

3.备考策略

(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律

①集合的交、并、补集运算问题；

②充分条件、必要条件的判断问题；

③含有“且〞“或〞“非〞的命题的真假性的判断问题；

④含有一个量词的命题的否定问题．

(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

第一节 集合

[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

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专业. 1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．

(4)常见数集的记法

集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号

N N*(或N＋) Z Q R

2．集合间的基本关系

关系 自然语言 符号语言 Venn图

子集 集合A中所有元素都在集合B中(即假设x∈A，那么x∈B) A⊆B或(B⊇A)

真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB或BA

集合

相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B

3．集合的基本运算

运算 自然语言 符号语言 Venn图

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

[常用结论]

1．集合子集的个数

对于有限集合A，其元素个数为n，那么集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

2．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；

∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩ .

专业. (∁UB)．

一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)

(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )

(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )

(3)假设{x2,1}＝{0,1}，那么x＝0,1.( )

(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

二、教材改编

1．假设集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，那么以下结论正确的选项是( )

A．{a}⊆A B．a⊆A

C．{a}∈A D．a∉A

D [由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知a∉A.]

2．集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，那么集合M∪N的子集的个数为________．

64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，

∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，

∴M∪N的子集有26＝64个．]

3．U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，那么∁U(A∪B)＝________.

[答案] {x|x是直角}

4．方程组 x＋y＝1，2x－y＝1的解集为________．

23，13 [由 x＋y＝1，2x－y＝1，得 x＝23，y＝13，

故方程组的解集为23，13.]

5．集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，那么A∩B＝________，A∪B＝________.

(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]

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专业. 考点1 集合的概念

与集合中的元素有关的问题的求解思路

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

(2)看清元素的限制条件．

(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．

1.(2018·全国卷Ⅱ)集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，那么A中元素的个数为( )

A．9 B．8

C．5 D．4

A [由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，应选A.]

2．集合A＝{m＋2,2m2＋m}，假设3∈A，那么m的值为________．

－32 [由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，

那么m＝1或m＝－32.

当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，

故m＝－32.]

3．假设集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，那么a＝________.

0或98 [当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.]

4．a，b∈R，假设a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，那么a2 020＋b2 020＝________.

1 [由得a≠0，那么ba＝0，

所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.]

(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.(2)常用分.

专业. 类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.

考点2 集合的基本关系

判断两集合关系的方法

(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．

(2)化简集合法：用描述法表示的集合，假设代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．

(1)(2019·沈阳模拟)集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，那么( )

A．AB B．BA

C．A⊆B D．B＝A

(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，那么满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

(3)集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，假设B⊆A，那么实数m的取值范围为________．

(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，

所以A＝{x|－1≤x≤1}．

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，

所以BA，应选B.

(2)因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，那么集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．

(3)因为B⊆A，

所以①假设B＝∅，那么2m－1＜m＋1，此时m＜2.

②假设B≠∅，那么 2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．]

[母题探究]

1．(变问法)本例(3)中，假设BA，求m的取值范围．

[解] 因为BA，

①假设B＝∅，成立，此时m＜2. .

专业. ②假设B≠∅，那么 2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.

综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．

2．(变问法)本例(3)中，假设A⊆B，求m的取值范围．

[解] 假设A⊆B，那么 m＋1≤－2，2m－1≥5，即 m≤－3，m≥3.所以m的取值范围为∅.

3．(变条件)假设将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围．

[解] 因为B⊆A，

所以①当B＝∅时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意．

②当B≠∅时， m＋1≤2m－1，m＋1＞5或 m＋1≤2m－1，2m－1＜－2，

解得 m≥2，m＞4或 m≥2，m＜－12，即m＞4.

综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

(1)两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，那么这样的集合M共有( )

A．6个 B．5个

C．4个 D．3个

A [由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．]

2．假设集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，那么实数m的取值范围为________．

[－2,2) [①假设B＝∅，那么Δ＝m2－4＜0，

解得－2＜m＜2，符合题意；

②假设1∈B，那么12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③假设2∈B，那么22＋2m＋1＝0，

解得m＝－52，此时B＝2，12，不合题意．