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人教版数学九上课件书类比归纳专题：切线证明的常用方法

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切线的证明方法

切线的证明方法

切线的证明方法如下：
1、用判定定理，这是证明切线最多见的方法，也就是如果直线和圆之间有交点，连接交点和圆心，得出半径，只要证明这条半径和这条直线是垂直的就行了。

2、当不确定直线和圆的交点个数或是交点所处的位置的时候，能够通过圆心作出直线的垂线，然后证明从圆心到直线的距离和圆的半径相等就行了。

在几何中，切线是指一条刚好碰触到曲线上某个点的直线。

当切线经过曲线上的某个点，也就是切点的时候，切线的方向和曲线上这个点的方向一样。

在平面几何里面，把和圆只有一个公共交点的直线称作圆的切线。

在高等数学中，对一个函数而言，假设函数的某个地方有导数，那么这里的导数就是经过这里的切线的斜率，这个点和斜率所构成的直线就是这个函数的一个切线。

切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过这个切点的圆的半径，经过圆的半径的不是圆心的一端，而且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线的判定定理是：一条直线如果和一个圆有交点，而且连接交点和圆心的直线和这条直线是垂直的关系，那么这条直线就是圆的切线。

课件_人教版数学九上：切线的判定定理PPT课件_优秀版

课件_人教版数学九上：切线的判定定理PPT课件_优秀版

无交点，作垂直，证半径
有交点，连半径，证垂直
(2)无交点, 作垂直,证半径. 有交点，连半径，证垂直
作
有交点，连半径，证垂直
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿＿＿.
DB
⊙O。求证：⊙O与AC相切。 二、圆心到直线的距离与半径作比较（d r法常用）
求证：AB是⊙O的切线.
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ） ∵ ∠1 = 45°，AT=AB 无交点，作垂直，证半径
例1、如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,求证：AT 是⊙O的切线. 2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿＿＿. 例3、 如图，已知：O为∠BAC平分线上一 有交点，连半径，证垂直
2无、交已点知，如作图垂△直A，BC证内半接径于⊙O，过点A作O直线EF，AB为直径,还需添加O的条件是＿＿＿＿＿.
O
练(2)习无3交、点如, 图作,垂AB直是,证⊙半O的径直l. 径,点D在AB的r 延长线上,BD=OB,点C在⊙O上r, ∠CAB=30°. l
r
l
●
O
┐
l
A
A
A
A
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线 EF，AB为直径,还需添加的条A件B是⊥＿E＿F＿＿＿.使 得EF是⊙O的切线。
练习3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延 长线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线. 有交点，连半径，证垂直
有交点，连半径，证垂直
(1)有交点，连半径,证垂直.
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿＿＿.

专题 切线证明的常用方法

专题 切线证明的常用方法

7．(2018·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD ⊥CD，垂足为 D，连接 BC，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．
l
dr l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的
B
直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
45°
O
有半径，证垂直
45°
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
5．(2018·内江改编)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，
过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连接 DE.判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．
解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，OE 为△ABC 的中位线．∴BE＝CE，∴DE＝BE ＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线
3.(2018·阿坝州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点
D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)直线 DE 与⊙O 相切， 理由如下： 连接 OD，∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA. ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB. ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝180°－90°＝90°， ∴直线 DE 与⊙O 相切

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)

人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)

知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.

9最新人教版数学九年级上册课件 .切线证明的常用方法

9最新人教版数学九年级上册课件 .切线证明的常用方法

典例精 讲 类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC得外接圆，BC为⊙O直 径，作∠CAD=∠B，且点D在BC得延长线 上．求证：直线AD是⊙O得切线．
典例精 讲 类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O得切线．
初中数学知识点精讲课程 切线证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得常用方法
1、圆得切线得判定方法有三种： ①．定义法：直线l 与圆只有唯一得公共点 ②．距离法：圆心O与直线l 得距离d=r ③．切线得判定定理：经过半径得外端并且垂直于这条 半径得直线是圆得切线。 2、切线得证明方法： ①．圆与直线得公共点没有标明字母，则过圆心作直线 得垂线段为辅助线，再证垂线段得长等于半径得长。简 记为：作垂直，证半径。 ②．圆与直线得公共点标明字母，则连这个点和圆心得 到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。简记为： 连半径，证垂直。
变式练 习
典例精 讲 类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB得平分线上，⊙O与PA相切于 点C． 求证证明：：直过线点POB作也O与D⊙⊥OP相B于切点；D，连接 OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB得角平分线上， ∴OC=OD，即OD得长等于⊙O得半 径，
课堂小 结
切线证明得 常用方法
有切点，连半径， 证垂直
无切点，作垂 直，证半径

专题09 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略(解析版)

专题09 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略(解析版)
RtCBE RtHBE HL,
CB HB 8, 设 OE=OB=r, HO BH OB 8 r, OE2 OH 2 HE2, r2 (8 r)2 42. 解得： r = 5 故 O 的半径为 5 【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握 切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键． 5．（2023 秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 ABC 中，C 90 ，点 E 在 AC 边上，BE 平分 ABC ，DE BE 交 AB 于 D ， O 是△BDE 的外接圆．
AB 是 O 的直径， AEB 90 ，即 AEO OEB 90 ， AE 平分 CAB ， CAE EAB ， OA OE ， EAB AEO ， BEF CAE ， BEF AEO ，
BEF OEB 90 ， OE EF ， OE 是 O 的半径， EF 是 O 的切线． （2）设 O 的半径为 x ， 则有 OE OB x ， ∵ EF 是 O 的切线． ∴ OEF 90 ， 在 RtOEF 中， OE 2 EF 2 OF 2 ， x2 202 (x 10)2 ， 解得 x 15， O 的半径为15 ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 4．（2022 秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在 ABC 中， C 90 ， ABC 的平分线交 AC 于点 E，过 点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F， O 是△BEF 的外接圆．
∵四边形 ABDE 是 O 的内接四边形， ∴ B AED 180 ， ∵ DEC AED 180 ， ∴ DEC B． ∵ AB AC ， ∴ B C ， ∴ DEC C ， ∴ DE CD ， ∵ DF AC ， ∴ EF CF 1， ∴ AC AE EF CF 5 ， ∴ AB 5 ， ∴ O 的半径是 5 ．

人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用 专题12 切线证明的常用方法

人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用 专题12 切线证明的常用方法

又∵ OD ⊥ AC ，∴ AC 是☉ O 的切线.
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谢谢观看
Thank you for watching!
又点 D 在☉ O 上，∴ OD 为☉ O 的半径.
∴ DE 与☉ O 相切.
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◆类型二
无切点，作垂直，证半径
4. 原创题
如图，在Rt△ ABC 中，已知 AB ＝4，
BC ＝3，以 AB 边上一点 O 为圆心， OB 为半径作圆.

若 OB ＝ ，求证： AC 是☉ O 的切线.

证明：如图，过点 O 作 OD ⊥ AC
径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为点 F ，点 P 是 CD 延长线上
一点， DE ⊥ AP ，垂足为点 E ，∠ EAD ＝∠ FAD . 求
证： AE 是☉ O 的切线.
证明：如图，连接 OA .
∵ AB ⊥ CD ，
∴∠ AFD ＝90°.
∴∠ FAD ＋∠ ADF ＝90°.
1பைடு நூலகம்
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∵ OA ＝ OD ，
∴∠ ODB ＝∠ B .
∵ AB ＝ AC ，
∴∠ C ＝∠ B .
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∴∠ ODB ＝∠ C .
∴ OD ∥ AC .
∵ DE ⊥ AC ，
∴ DE ⊥ OD .
∵ OD 是☉ O 的半径，
∴ DE 是☉ O 的切线.
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2. （2023·凉山州中考节选）如图， CD 是☉ O 的直
AB 为☉ O 的直径，延长 AC 到点 G ，使得 CG ＝ CB ，

人教版2019秋九年级数学上册专题 13.类比归纳专题：切线证明的常用方法

人教版2019秋九年级数学上册专题 13.类比归纳专题：切线证明的常用方法

类比归纳专题：切线证明的常用方法
——弄清不同条件下的证明方式，体会异同
◆类型一有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直
1．(2016·大连中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.求证：DE与⊙O相切．
2．(2016·广安中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝BF，求证：AB是⊙O的切线．
二、利用勾股定理的逆定理证垂直
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC 于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝ 3.求证：BC是⊙O的切线．
4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．
◆类型二无切点，作垂直，证半径
5．(2016·南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O
为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法16②】
答案：。

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