复合函数零点个数问题

已知函数的上的图象如下图所示.给出下列四个命题：
①方程有且仅有6个根; ②方程有且仅有3个根;
③方程有且仅有5个根; ④方程有且仅有4个根.
需要详解
另外，复合函数的零点问题，也详细说明一下，比如说子函数有3个零点，复合到含有2个零点的母函数就变成有2+3=5个零点或者是2*3=6个零点（假设子母函数定义域都是R）向左转|向右转
1）f[g(x)]:f(x)存在三个零点，分别是[-2,-1][0][1,2];而g(x)的值在[-2,-1]上对应的x有两个，在[1,2]上对应的x有两个，g(x)=0的根也是两个，所以复合函数有六个根。

2）f(x)+g(x),这个答案是有些问题的，这个要看两个函数复合后函数在某一区间的单调问题，如果复合后在譬如[0,1]区间上是单调的，那这个答案应该是对的
3）f(x)*g(x),这个答案是最简单的，只要f(x)或g(x)其中有一个为0，且f(x)和g(x)不同时为0，这样f(x)和g(x)的乘积的根就是他们分别得根数相加。

4）g[f(x)],其道理同（1）,g(x)有两个零点，在[-2,-1]和[0,1]内，f(x)的值在[-2,-1]内对应的x 有1个，f(x)的值在[0,1]内对应的x有三个，加起来是四个。

对于其他的复合函数的问题，只能说f(x)*g(x)的根数是二者的根数相加（f(x)和g(x)不同时为0），若f(x)和g(x)在x=x1时同时为0，则要相应减去相同的根数。

其他的f[g(x)]的问题只能是具体问题具体分析了。

至于f(x)+-g(x)的问题是最为复杂的。

秘籍提示：①先看外层零点，把外层零点一一列出：t1，t2，t3 ；②再在外层函数作直线y =t1，y =t1 ，交点个数即为复合函数零点个数.2.20 抖音直播直播—复合函数零点问题——利哥数学，快乐上分我们来一起看几个题去理解秘籍，如下图，左边为f (x)图像，右边为g(x)图像.【例题1】求 f [f (x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然四个交点，所以f [f (x)]的零点个数为 4.【例题2】求 f [g(x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然两个交点，所以f [g(x)]的零点个数为 2.⎨2x ，x ≤ 0 【例题 3】求 g [g (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然七个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 7.【例题 4】求 g [f (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然六个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 6.【例题 5】（2019 春•邯郸期末）函数 f (x ) = ⎧| log 2 x | ，x > 0 ，则函数 g (x ) = 3 f 2(x ) - 8 f (x ) + 4 的零点个数是⎩ ( )A ．5B ．4C ．3D ．6【解析】令 f (x )= t ，则 g (x ) = 3 f 2 (x ) - 8 f (x ) + 4 ⇒ h (t ) = 3t 2 - 8t + 4 ，外层函数为 h （t ）， h （t ）有两个零点t 1 = 2 ，t3 2 = 2 ，在内层函数 f (x )作直线 y = 2 、y = 2 ，如图，3显然五个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 5，故选 A ．⎩ 4⎨ 现学现卖⎧x2 - 2x + 4, x 0【卖弄 1】（2019 秋•东莞市期末）已知函数 f (x) =⎨⎩lnx, x > 0，若函数 g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为( )A．m <94B．m - 28C． -28 m <94D．m > 28【解析】作出f (x) 的图象如图：设t =f (x) ，则由图象知当t 4时，t =f (x) 有两个根，当t < 4 时，t =f (x) 只有一个根，若函数g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R) 有三个零点，等价为函数g(x) =h(t) =t2 + 3t +m 有两个零点，其中t < 4 或t 4 ，则满足⎧ = 9 - 4m > 0，1 2⎧m <9⎨f (4) = 16 + 12 +m 0⎪，得m - 28 ，故选B ．⎪⎩m -28【卖弄2】（2019•山东模拟）已知函数f (x) =| x2 - 4x + 3 |，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A．(-2, 0) B．(-2, -1) C．(0,1) D．(0, 2)【解析】 f (1)=f (3)= 0 ，f (2)= 1 , f (x) 0 ，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，∴t 2 +bt +c = 0 ，其中一个根为 1，另一个根在(0,1) 内，∴g(t) =t2 +bt +c ，g (1)= 1 +b +c = 0 ，g(-b ) < 0 ，20 <-b< 1，g(0) =c > 0 2方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根∴c =-1 -b > 0 ，b ≠-2 ，-2 <b < 0 ，即b 的范围为：(-2, -1) ，故选B ．得则1【卖弄3】（2019 秋•双流县校级期中）已知函数y =f (x) 和y =g(x) 在[-2 ，2] 的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；（2）方程g[f(x)]=0有且仅有3个根（3）方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；（4）方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1【解析】（1）正确，（2）错误，（3）（4）正确，故选B．【卖弄 4】已知函数 f (x) =lnx，关于x 的方程 f (x) -x1f (x)=m 有三个不等的实根，则m 的取值范围是( )A．(-∞, e -1)eB．(-∞,1-e)eC．(e -1, +∞)eD．(1-e, +∞)e【解析】 f '(x) =1 -lnx，当0 <x <e 时， f '(x) > 0 ，当x >e 时， f '(x) < 0 ，x2即函数f (x) 在(0, e) 为增函数，在(e, +∞) 为减函数，则 f (x)max =f (e) =1，则f (x) 的图象如图所示：令t =f (x) ，e则 f (x) -1f (x)=m 可变形为t -1-m = 0 ，t即t 2 -mt - 1 = 0 ，设方程t 2 -mt - 1 = 0 有两个根t ，t ，1 2关于 x 的方程 f (x) -1f (x)=m 有三个不等的实根等价于t =f (x) 的图象与直线t =t1 ，t =t2的交点个数之和为 3，由图可知t < 0 <t 1，设g(t) =t2 -mt -1 ，2 1<eg( ) =1-m- 1 > 0 ，解得：m <1-e ，故选B ．e e2 e e3 3 ⎨ ⎧| lg (-x ) |, x < 0 【卖弄 5】（2019•全国模拟）定义域为 R 的函数 f (x ) = ⎪ ，若关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1 ⎨ 1 x⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2有 6 个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A ． (-2, - 3)B ． (-2, 0)⎧| lg (-x ) |, x < 0C ． (-3, - 3)D ． (- ， +∞) 【解析】 函数 f (x ) = ⎪ 1，作出它的图象如图所示：⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1有 6 个不同的零点，则令t = f (x ) ，则关于t 的方程3t 2 + 2bt + 1 = 0 在(0,1) 上有 2 个不同解． 即函数 g (t ) = 3t 2 + 2bt + 1在(0,1) 上有 2 个不同零点，⎧ = 4b 2 - 12 > 0⎪ b ⎪0 < - < 1故有 ⎨ 3 ，求得-2 < b < - ，故选 A ．⎪ f (0) = 1 > 0⎪ ⎪⎩ f (1) = 3 + 2b + 1 > 0x。

我们要找出一个指数型复合函数的零点。

首先，我们需要理解什么是零点。

一个函数的零点是指函数值为0的x值。

例如，函数f(x) = x^2 - 4 的零点是x = ±2，因为f(2) = 0 和f(-2) = 0。

对于指数型复合函数，例如f(x) = a^x + b^x，我们可以通过令它等于0来找到零点。

即：a^x + b^x = 0但是，请注意，对于非线性指数函数，我们通常不能直接找到所有零点。

这是因为指数函数是非线性的，所以它的解可能不是简单的x值。

为了找到这个函数的零点，我们可以使用数值方法，例如二分法或牛顿法。

这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。

为了找到指数型复合函数的零点，我们可以使用二分法或牛顿法等数值方法。

这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。

例如，对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以使用二分法来找到它的零点。

首先，我们需要选择一个初始区间[a, b]，然后反复将区间一分为二，并检查中间点的函数值。

如果中间点的函数值为负，则说明零点在右半部分；如果中间点的函数值为正，则说明零点在左半部分。

通过不断缩小区间，我们可以找到函数的零点。

另一种方法是使用牛顿法。

牛顿法是一种迭代方法，它基于函数的泰勒级数展开来逼近函数的零点。

对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以将其泰勒级数展开并保留前几项，然后将其等于0来求解x。

通过不断迭代，我们可以找到函数的零点。

需要注意的是，对于非线性指数函数，我们可能无法找到所有的零点。

因此，在使用数值方法时，我们需要合理选择初始区间或迭代初值，以确保找到的零点具有一定的精度和可靠性。

学之导教育中心教案学生: 康洋 授课时间: 8.15 课时: 4 年级: 高二 教师： 廖课 题 复合函数、零点问题教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、必修1函数知识梳理二、错题再现1、已知实数a,b 满足等式11()()23a b ，下列5个关系式正确的有：（1）0<a<b;(2)a<b<0;(3)0<a<b;(4)b<a<0;(5)a=b2、如果函数y=a 2x+2ax-1(a>0,且a ≠1)[-1,1]上的最大值为14，求a 值3、求值（1）（log 43+log 83）（log 32+log 92） （2）本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）对数函数的定义:（二）对数函数图象及性质：在同一坐标中画出下列函数的图像：（1）y=log 2x （2）y=log 3x （3）y=log 21x （4）y=log 31x练习：1 求下列函数的定义域（1）y=log 5(1-x) (2)y=log 7x311a>10<a<1 图 像性质 （1）定义域： 值域:（2）过定点： （3）奇偶性：(4)单调性：（4）单调性：（5）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 (5)(3)y=)34(lo 5.0-x g (4)y=)31(log 2x -(5)y=log x+1(16-4x) (6) y=)32lg(422---x x x2、比较下列各值的大小（1）log 1.51.6,log 1.51.4 (2) log 1.12.3和log 1.22.2 (3) log 0.30.7和log 2.12.9 (4) 8.2log 7.2log 2121和3、已知集合A={2≤x ≤π},定义在集合A 上的函数y=log a x 的最大值比最小值大1，求a 值4、求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值5.求函数y=log a (2-ax-a 2x )的值域。

一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。

2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。

3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。

4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。

5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。

二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。

7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。

8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。

9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。

10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。

三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。

12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。

13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。

14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。

15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。

四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。

17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。

18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。

复合函数零点个数的探究
《复合函数零点个数的探究》
复合函数是指由两个或两个以上函数组合而成的函数，它在函数分析学中占有重要地位。

其中，复合函数的零点个数是研究复合函数的重要组成部分，也是比较重要的研究内容。

首先，要求复合函数的零点个数，就必须先确定复合函数的组成函数，然后求出每个函数的零点个数，最后把每个函数的零点个数相加，得到复合函数的零点个数。

其次，复合函数的零点个数受到组成函数的影响，如果组成函数中有多项式函数，则可以用多项式的零点公式求出零点个数；如果组成函数中有指数函数，则可以用指数函数的零点公式求出零点个数；如果组成函数中有对数函数，则可以用对数函数的零点公式求出零点个数。

最后，复合函数的零点个数也受到复合函数的结构影响，如果复合函数是由两个函数相乘组成的，则其零点个数等于两个函数零点个数的乘积；如果复合函数是由两个函数相加组成的，则其零点个数等于两个函数零点个数的和。

研究复合函数的零点个数是一项复杂的工作，必须充分考虑复合函数的结构、组成函数的性质和零点公式等因素，才能准确求出复合函数的零点个数。

函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。

1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、 抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域 【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、 关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、 函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。

复合函数的零点问题(解析版)复合函数的零点问题(解析版)复合函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个或多个基本函数按照一定的规则组合而成。

零点问题是指找出函数在定义域内使得函数取零值的自变量的取值。

一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数按照一定的运算规则组合而成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量x进行g(x)的运算，然后再对结果进行f(x)的运算。

在复合函数的运算中，需要符合以下性质：1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，复合函数f(g(h(x)))可以简写为(f∘g∘h)(x)。

2. 基本函数的定义域和值域：复合函数的定义域由其中的基本函数的定义域决定，值域受到基本函数值域的限制。

二、复合函数的求解方法对于复合函数的零点问题，可以通过以下方法进行求解：1. 代数法：将复合函数表示为等式，然后对方程进行变形和化简，最终解得零点的取值。

2. 几何法：将复合函数的图像与直线y=0相交的点作为复合函数的零点。

三、实例分析为了更好地理解复合函数的零点问题，下面以一个实例进行分析：例：已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = x-2，求复合函数f(g(x))的零点。

解：首先将复合函数表示为等式：f(g(x)) = 0sin(g(x)) = 0然后对方程sin(g(x)) = 0进行求解：由于sin函数的周期为2π，且在每个周期内有零点，因此可以得到：g(x) = 2kπ，其中k为整数。

将g(x) = 2kπ代入函数g(x) = x-2中：x-2 = 2kπ，解得x = 2kπ+2综上，复合函数f(g(x))的零点为x = 2kπ+2，其中k为整数。

四、结论与总结通过以上例子，我们可以看出复合函数的零点问题是通过将复合函数表示为等式，然后对方程进行求解来解决的。

根据实际情况选择合适的代数法或几何法进行求解，最终得到复合函数的零点的取值。

复合函数方程有解或根的个数问题类型一、(())=k f g x 或(())=k g f x方法：设()=t g x ，则()=k g t ，由()=k g t 求出t 的值或范围，然后结合图象由=y t 和y ()=g x 的交点个数即可。

例1（2019甘肃二诊文12）函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，如图所示，则方程（f（x ））2﹣5f （x ）+6＝0的所有根之和为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2例2.已知函数)(x f ，x ∈[﹣2，2]的图象如图，y ＝g （x ）的图象如图，若函数y ＝f （g （x ））与y ＝g （f （x ））的零点个数分别为m ，n ，则m +n 的值是（ ）A ．5B ．6C ．9D ．12例3.已知函数()2,04sin ,0π⎧≤=⎨<≤⎩x x f x x x ，则集合{|(())0}==M x f f x 中元素的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例4．（2009•福建）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a=-对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是( )A ．{1，2}B ．{1，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}例5.已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2巩固练习：1.（1）已知函数()24=-f x x x ，若方程()()2-32=0+⎡⎤⎣⎦f x f x 的实根个数，（2）已知函数()24=-f x x x ，若方程()()22-32=0+⎡⎤⎣⎦f x af x a 的实根个数， 2.已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.设集合A=[0,1),B=[1,2],已知函数⎩⎨⎧∈-∈+=B x x A x x x f ,241)(，,若A x ∈0且A x f f ∈))((0，则0x 的取值范围是（ ）A. ]2141，（B.]121，（C. )2141，（ D .），（1214．（2019•西湖区校级模拟）函数||()(0,1)x b f x a a a -=>≠的图象关于直线x b =对称，据此可推测，对于任意的非零实数a ，b ，m ，n ，p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是( )A ．{1，2}B ．{1，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}5．（2015•南充模拟）已知函数1||,0()0,0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同实数解的充要条件是( )A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0c =D ．2b -且0c =6．（2005•上海）设定义域为R 的函数||1||,1()0,1lg x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解得充要条件是( )A ．0b <且0c >B ．0b >且0c <C ．0b <且0c =D ．0b 且0c =7．（2018•长安区二模）已知函数11,1|1|()3,1x x f x x ⎧+≠⎪-=⎨⎪=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123(())f f x x x ++的值为( )A ．12B ．32C ．2D ．38．（2015秋•上海校级月考）设定义域为R 的函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，则b c +值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．不能确定9．（2014•泉州模拟）设定义在R 上的函数1,3|3|()1,3x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x b ++=有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(-∞，2)(2--⋃，1)-10．（2011•柳州一模）设函数22,0()21,0x x f x x x x ⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()f x af x =恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．[0，1]D ．(1,)+∞11．（2018秋•青羊区校级期中）设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程2(())([()]1)0f x a f x --=恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(-∞，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，0](1,)+∞D ．(-∞，1)(1--⋃，0](1,)+∞12．（2013秋•青羊区校级期中）已知函数1,0(),0x x f x lnx x +⎧=⎨>⎩，则函数[()1]y f f x =+的零点个数( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．513．（2012•荆州模拟）已知()f x 为偶函数，当0x 时，2()(1)1f x x =--+，满足[f f （a ）1]2=的实数a 的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．814．（2019•陕西二模）已知函数2,0()(1),0x e x f x x x ⎧=⎨->⎩，又函数2()()()1()g x f x tf x t R =++∈有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A ．(,2)-∞-B ．(2,)+∞C ．(2,2)-D ．(2,4)15．（2019•长沙一模）已知()|1|1x f x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)16．（2016•绍兴二模）已知函数21,0()21,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 ．17．（2011•鼓楼区校级模拟）设定义在R 上的函数1,1|1|()1, 1.x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++= ．18．（2011•重庆模拟）已知函数()||3f x x =-，关于x 的方程2()4|()|0f x f x k -+=恰有8个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．19．（2015•上海二模）设定义域为R 的函数，若关于x 的函数2||,0()2,0lgx x f x x x x >⎧=⎨--⎩，若关于x 的函数22()2()1y f x bf x =++有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ．。