2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(十八)三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用

2018年全国各地高考数学模拟试题《三角恒等变换》试题汇编（含答案解析）1．（2018•玉溪模拟）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．2．（2018春•岳阳楼区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（Ⅰ）求cosA及边c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣）的值．3．（2018•玉溪模拟）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα4．（2018•北京模拟）已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．5．（2018•铁东区校级二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．6．（2018•江苏模拟）已知三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．若，求（1）cosα+sinα的值；（2）的值．7．（2018•河南一模）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S．△ABC8．（2018•通州区三模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，﹣1≤f（x）≤2．9．（2018•昌平区二模）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．10．（2018•亭湖区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以ox轴为始边作角α，角的终边经过点P（﹣2，1）．（I）求cosα的值；（Ⅱ）求的值．11．（2018•河西区校级模拟）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．12．（2018•商丘二模）在△ABC中，内角A，B，C所对一对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=2sinAcos（A+B），且C=．（Ⅰ）求证：a，b，2a成等比数列；（Ⅱ）若△ABC的面积是2，求c边的长．13．（2018•长安区二模）已知向量=（sinx，3cosx），=（3cosx，cosx），设函数f（x）=+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．14．（2018•兰州模拟）已知向量，函数．（1）求函数y=f（x）的图象对称轴的方程；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值．15．（2018•全国模拟）已知函数f（x）=sin（x+φ）+cos（x+φ）（0＜|φ|＜π）在[0，]上单调递增，且满足f（x）=f（﹣x）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若f（x0）=1，求sin（2x0﹣）的值．16．（2018•浉河区校级三模）已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．17．（2018•江苏模拟）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（2）求f（x）在区间上的最小值．18．（2018•南开区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．19．（2018•大兴区一模）已知函数f（x）=sinx（cosx+sinx）﹣．（I）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）令g（x）=af（x）+b，x∈[，]，其中a＞0．若g（x）的值域为[2，5]，求a和b的值．20．（2018•杭州二模）已知函数f（x）=sin（x）+cos（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y=f（﹣x）的单调减区间．21．（2018•海淀区校级模拟）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．22．（2018•上海模拟）已知y=cosx（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y=f（2x）﹣2f（x）的最小值23．（2018•铁东区校级一模）已知f（x）=sinx，，，，．（1）求的值．（2），求g（x）的值域．24．（2018•天津二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b ﹣c=1，cosA=，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．25．（2018•浦江县模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣2sin2（x﹣α），其中0且f（）=﹣．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间．26．（2018•四平模拟）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围．27．（2018•河西区三模）已知函数f（x）=2cos2x﹣cos（2x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在[]上的单调性．28．（2018•天津一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，sinB=2sinA，cosC=．（Ⅰ）求c和sinA的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．29．（2018•红桥区一模）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．30．（2018•丰台区一模）己知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．31．（2018•北辰区模拟）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，a=3，求△ABC的面积．32．（2018•江苏二模）在平面直角坐标系xOy中，设向量，sinα），，cosβ），，．（1）若，求sin（α﹣β）的值；（2）设，0＜β＜π，且∥，求β的值．33．（2018•石景山区一模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．34．（2018•虹口区一模）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．35．（2018•北京模拟）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．36．（2018•道里区校级一模）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．37．（2018•海淀区一模）已知．（I）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．38．（2018•南京三模）在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．39．（2018•顺义区一模）已知函数．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求f（x）在区间上的最大值．40．（2018•海淀区二模）已知函数f（x）=（Ⅰ）写y=f（x）的相邻两条对称轴的距离；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求a的最大值．参考答案与试题解析1．【分析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）∵tan（α+）=﹣3，α∈（0，），∴tanα＞0，且=﹣3，求得tanα=2．（2）∵sin2α===，cos2α===﹣，∴sin（2α﹣）=sin2α•﹣cos2α•=+=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．2．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与二倍角公式求得cosA，再利用余弦定理求得边长c的值；（Ⅱ）由二倍角公式求得cosB，再利用三角恒等变换求得cos（B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a=3，b=2，∴=，又B=2A，∴=，=，解得cosA=；又a2=b2+c2﹣2bccosA，9=24+c2﹣2•2•c•，c2﹣8c+15=0，解得c=3或c=5；（Ⅱ）∵B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，∴sinB=；∴cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=×+×=．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．3．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．4．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=﹣cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax﹣）+1∵函数的最小正周期为．即T=由T=，可得a=2．∴a的值为2．故f（x）=2sin（4x﹣）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．当4x﹣=时，函数f（x）取得最小值为1﹣．当4x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题5．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．（2）直接利用单调性求出结果．【解答】解：（1）∵函数=sin （2x﹣）﹣2sin（x﹣）cos（x﹣）=sin（2x﹣）﹣sin（2x﹣）=sin（2x﹣）+cos2x=sin2x•﹣cos2x•+cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．（2）∵，∴．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1．又∵，当时，f（x）取最小值．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．6．【分析】（1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求得cosα+sinα的值；（2）由三角函数的平方关系求得sinα、cosα的值，再计算的值．【解答】解：（1）A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），又，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=cosα（cosα﹣3）+sinα（si nα﹣3）=1﹣3（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=；（2）∵cosα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，又α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0；由sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=﹣；∴=sinαcos+cosαsin=×+（﹣）×=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与同角的三角函数计算问题，是基础题．7．【分析】（1）由已知整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanC=1，结合范围C∈（0，π）可求C=．（2）由已知，利用正弦定理可得sinB=，利用大边对大角可求B，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，=bcsinA=sin（+）=．∴△ABC的面积S△ABC【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式，正弦定理，大边对大角，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式、倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式求周期；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，则f（x）的范围可求，结论得证．【解答】（I）解：∵=sinxcosx+cos2x==，∴f（x）的最小正周期为π；（II）证明：∵，∴．∴．则．故﹣1≤f（x）≤2．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．9．【分析】（I）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f（x）的最小正周期；（II）结合已知条件求出，进而可求出函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max=2．当时，f（x）min=﹣1．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．10．【分析】（I）利用任意角的三角函数的定义，求得α+的正弦值和余弦值，再利用两角和差的三角公式求得cosα的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和差的三角公式求得的值．【解答】解：（I）由于角其终边经过点P（﹣2，1），则x=﹣2，y=1，r=|OP|=．故cos（α+）==﹣，sin（α+）==．∴=．（Ⅱ）∵=．则sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．11．【分析】（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+），=，由于函数的最小正周期为π，故ω==1，（Ⅱ）所以：f（x）=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于x在区间[0，]上，所以：函数的单调递增区间为：[]．函数的单调递减区间为：[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12．【分析】（1）由已知结合三角形内角和定理可得sinB=﹣2sinAcosC，进一步得到b=﹣2acosC，再由C的值可得b=a，两边平方后可得a，b，2a成等比数列；（2）由已知及三角形面积公式可得ab=，结合b=，联立两式解得a，b，再由余弦定理求得c．【解答】（1）证明：∵A+B+C=π，sin（A+C）=2sinAcos（A+C），∴sinB=﹣2sinAcosC，在△ABC中，由正弦定理得，b=﹣2acosC，∵，∴b=a，则b2=2a2=a•2a，∴a，b，2a成等比数列；（2）解：S=absinC=ab=2，则ab=，由（1）知，b=，联立两式解得a=2，b=2，由余弦定理得，×．∴c=．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．13．【分析】（Ⅰ）由平面向量的数量积的坐标运算写出f（x），降幂后利用辅助角公式化积，可得函数f（x）的最小正周期和最值；（Ⅱ）直接利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinx，3cosx），=（3cosx，cosx），∴f（x）=+===．∴f（x）的最小正周期为π，最大值为7，最小值为1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，k∈Z．∴k，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．14．【分析】（1）根据函数．利用向量的坐标运算即可得到解析式，化简可求解图象对称轴的方程；（2）根据x在上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．【解答】解：（1）由已知=，对称轴的方程为，即．（2）因为，则，所以，所以．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量的乘积运算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．15．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由函数满足满足f（x）=f（﹣x）．得知函数f（x）关于对称，又函数f（x）在上单调递增，所以f（x）在取得最大值．又，=，所以，故（k∈Z），由于0＜|φ|＜π，所以：．（Ⅱ）由f（x0）=1，知，所以：，=sin[2（）﹣]，=﹣cos2（），=，=﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用及函数的求值．16．【分析】（1）直接利用向量共线的充要条件，把三角函数关系式通过恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调递增区间．（2）利用（1）的解析式，首先确定A的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=．=，=，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，则：（0＜A＜π），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．解得：bc=1所以△ABC的面积为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，向量共线的充要条件的应用，正弦型函数的性质单调性的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题型．17．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，求出正f（x）的最小正周期和对称轴的方程．（2）利用弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）∵函数=sin2x•cos（2π﹣）﹣cos2x•sin（2π﹣）=sin2x•cos+cos2x•sin=sin（2x+），故它的最小正周期为=π．令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最小值为sin=﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，再由两角和的正弦函数公式化简，求出cosB的值，进而求出角B；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式化简求出cosA，sinA的值，再由两角差的余弦函数公式计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=﹣sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=﹣1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）∵sin（）cos（）﹣sin2（）=，∴，∴，即，∴．∵B=，∴cosC====．【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角函数的诱导公式的运用，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得函数的增区间；（Ⅱ）g（x）=af（x）+b=．由x的范围求得相位的范围，进一步得到关于a，b的方程，求解得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx（cosx+sinx）﹣====．由，k∈Z，得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z；（Ⅱ）g（x）=af（x）+b=．当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，∴，解得a=6，b=﹣1．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．20．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）利用正弦函数的单调区间，求得函数y=f（﹣x）的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（x+）=cos（x﹣），∴f （x）=2sin（x+）=﹣2sin（x+）．所以函数f （x）的最小正周期是2π，最大值是2．（Ⅱ）因为 f （﹣x）=2sin（x﹣），令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得+2kπ≤x≤+2kπ，所以单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调区间，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】解：（Ⅰ），=+1，=2sin（2x+）+1，所以函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由于，则：，所以，即，所以函数的值域为f（x）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．22．【分析】（1）根据两角和差的余弦公式进行计算即可（2）利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．【解答】解：（1）若，且α∈[0，π]，则cosα=，则sinα===，则=cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin==+．（2）函数y=f（2x）﹣2f（x）=cos2x﹣2cosx=2cos2x﹣2cosx﹣1=2（cosx﹣）2﹣，∵﹣1≤cosx≤1，∴当cosx=时，函数取得最小值，最小值为﹣．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．23．【分析】（1）由题意，可得，即可求解求的值．（2），利用同角三角函数关系式化简，即可求解值域．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴∴=．（2）令，则∴g（x）的值域为．【点评】本题考查了知识点是两角和与差的公式的应用，构造思想和计算能力，计算难度大，属于中档题．24．【分析】（Ⅰ）由已知求得sinA，结合三角形的面积公式求得bc，再由余弦定理求解a；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得sin2A，cos2A的值，然后展开两角差的余弦求解cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）由cosA=，0＜A＜π，得sinA=，∴S=，即bc=6．又，解得a=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos2A=，sin2A=2sinAcosA=，故cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角形的解法，是中档题．25．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式以及f（）=﹣，求得α的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由已可得，f（）=cosπ﹣2sin2（﹣α）=﹣﹣2cos2α=﹣．其中0，∴cosα=，∴α=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数f（x）=cos2x﹣2sin2（x﹣α）=cos2x﹣2sin2（x ﹣）=cos2x﹣2•=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，∴函数f（x）最小正周期为=π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．26．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ﹣）+，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由（k∈Z），即可解得单调递增区间．（2）当时，可得：，解得：，利用二次函数的性质即可得解．【解答】解：（1）∵=，∴函数f（x）的最小正周期T=π．∵由（k∈Z），得（k∈Z），∴单调递增区间为（k∈Z）．（2）当时，可得：，解得：．存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的图象和性质，属于基本知识的考查．27．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=sin（2x+）．利用周期公式可求f（x）的最小正周期．令2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴方程．（Ⅱ）结合x的范围利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x﹣cos（2x+）﹣1=cos2x﹣cos2x+sin2x=sin（2x+） (3)分∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π，…5分令2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，∴对称轴方程为：x=+，k∈Z…7分（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，设A=[]，B={x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}，可得：A∩B=[﹣，]，…9分∴当x∈[]时，f（x）在区间[﹣，]上单调递增；在区间[，]上单调递减…14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．28．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理求得c，再由正弦定理求得sinA；（Ⅱ）结合（Ⅰ）求得cosA，进一步得到sin2A，cos2A，然后展开两角和的余弦可得cos（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=3，sinB=2sinA，得b=2a=6，又cosC=，∴=36．∴c=6．由cosC=，得sinC=，由正弦定理可得：，即，得sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，sinA=，∵a＜c，∴cosA=．则sin2A=2sinAcosA=，cos2A=．∴cos（2A）=cos2Acos﹣sin2Asin=．【点评】本题考查三角形的解法，考查两角和的余弦，是中档题．29．【分析】（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），由周期公式即可求T的值．（Ⅱ）由x∈，可求．从而可求最大值和最小值及相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1=sin（2x+）+cos（2x﹣）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）T==π．…7 分（Ⅱ）因为x∈，所以．所以当2x=，即x=时，y max=2；当2x=，即x=时，．…（13分）所以当x=时，函数有最大值是2；当x=时，函数有最小值是﹣．【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于中档题．30．【分析】（Ⅰ）根据分式中分母不能为0，可得定义域，利用二倍角公式化简即可f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求解f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0，即x≠，∴f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}．函数=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=sin （2x+）．∴f（x）的最小正周期T=．由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x+）．由≤2x+，k∈Z．可得：≤x≤∴f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．31．【分析】（Ⅰ）由已知展开两角和的正切求得tanA，结合同角三角函数的基本关系式求得sinA，cosA的值，再由倍角公式求出sin2A，cos2A的值，代入两角和的余弦求得cos（2A+）的值；（Ⅱ）由已知与正弦定理求得b，再由两角和的正弦求得sinC，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即．且A为三角形内角，∴A∈（0，），由，解得，，∴，，∴；（Ⅱ）由正弦定理可知，，∴．∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB．∴．【点评】本题考查两角和与差的正弦、余弦和正切，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题．32．【分析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可．（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．【解答】解：（1）因为=（cosα，sinα），=（﹣sinβ，cosβ），，．所以||=||=||=1，且•=﹣cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α﹣β）．……（3分）因为|+|=||，所以|+|2=2，即2+2•+2=1，所以1+2sin（α﹣β）+1=1，即．……（6分）（2）因为，所以．故=（，cos）．……（8分）因为∥，所以．化简得，，所以．…（12分）因为0＜β＜π，所以．所以，即．……（14分）【点评】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力．33．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）===………………（5分）所以周期为．………………（6分）（Ⅱ）因为，所以．………………（7分）所以当时，即x=π时f（x）max=1．当时，即时f（x）min=﹣2．…………（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性以及函数的周期的求法，考查转化思想以及计算能力．34．【分析】（1）利用诱导公式和辅助角化简，根据函数的最小正周期等于π．即可求解ω的值和单调递增区间；（2）根据，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求解最值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的应用，化简能力．属于基础题．35．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），再计算的值和x∈[﹣，]时f（x）的最大与最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．【点评】本题考查了二倍角公式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质，是基础题．36．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦变形，结合x的范围即可求得f（x）的值域；（2）由f（）=求得A，结合余弦定理及已知求得bc，代入面积公式求得△ABC的面积．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx===．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[]，∴sin（2x﹣）∈[﹣]，则f（x）∈[0，]；（2）由f（）=，得sin（A﹣）+，∴sin（A﹣）=0，∵A﹣∈（﹣，），则A﹣=0，即A=．由a=4，b+c=5，a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cosA，得16=25﹣2bc﹣2bc×，即bc=3．∴．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．37．【分析】（I）直接将x=带入计算即可．（Ⅱ）利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）直接将x=带入，可得：==2．（Ⅱ）由=因为函数y=sinx的单调递增区间为（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．38．【分析】（1）利用三角函数的定义，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．（2）利用三角函数的定义，通过两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα=，………………………………（2分）所以cos2α=2cos2α﹣1=．………………………………（4分）（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ=．………………………………（6分）又因为β为锐角，所以cosβ=．………………………………（8分）因为cosα=，且α为锐角，所以sinα=，因此sin2α=2sinαcosα=，……………………………（10分）所以sin（2α﹣β）=×﹣×=．……………………………（12分）因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以﹣＜2α﹣β＜，所以2α﹣β=．…………………………………（14分）【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的定义的应用，考查计算能力．39．【分析】（I）利用和与差的公式和二倍角，辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期．（II）根据x在上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最大值．【解答】解：（1）函数=sin2xcos+cos2xsin﹣cos2x ﹣1=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T=．（2）由x∈上，∴（2x﹣）∈[，]故得当2x﹣=时，即x=时，函数f（x）取得最大值为：sin（）﹣1=．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．40．【分析】（Ⅰ）展开两角差的正弦，降幂后再由辅助角公式化积，求得函数周期，则y=f（x）的相邻两条对称轴的距离可求；（Ⅱ）由x的范围求出相位的范围，再由集合思想方法列式求解．【解答】解：（Ⅰ）∵===．∴函数f（x）的最小正周期．则曲线y=f（x）的相邻两条对称轴的距离为=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．当x∈[0，a]时，∈．∵y=sinx在上单调递增，且f（x）在[0，a]上单调递增，∴⊆，即，解得0．故a的最大值为．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．。

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。

在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。

本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。

通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。

2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。

3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。

二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。

1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。

三角恒等变换-高考数学一题多解三角式的恒等变形是一种基本的数学技能，它的依据是三角变换公式和代数中代数式的恒等变换的一般方法，三角变换公式如：同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角与半角公式、万能公式.积化和差与和差化积公式等，公式的数量较多，学习时要通过理解角的关系以及三角函数的关系揭示公式之间的内在联系、掌握公式的推导线索.要理解公式，注意公式的适用范围和符号的取舍，三角变换贵在灵活运用公式，掌握公式的逆用和各种变形的运用，以达到熟练、恰到好处地运用公式解决具体问题的目的.不同角的三角函数关系式使用起来与同角三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养.已知条件和所要求的角之间不相同时，常看它们的和、差、倍的情况，定能找出角之间的关系.角的变换是三角变换技巧之一，转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换、角的变换、“1”的代换、和积变换、幂的升降变换等，变换时必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.“恒等”这个词始终是三角变换的重点.三角恒等变换中的方法与技巧是必须掌握的解题能力.在三角恒等变换中较为重要的变换技巧如下.（1）函数名称的差异变换：①切割化弦，弦化切割；②异名化同名.（2）角的差异变换：①异角化同角；②拆角、配角技巧.（3）运算结构的差异变换：①升次降次；②分式通分；③无理化有理；④和（差）积互化.（4）常数的处理：特别注意“1”的代换.（5）引入辅助角的变换、角的分析与三角式的配凑.在解题过程中，不论运用什么变换技巧，基本原则是：把握方向，活用公式，注意目标，贵在“恒等”.真可谓：三角变换贵在活，变角变式变函数，恒等始终是重点，公式繁多方法多.【典例】（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A.tan()1αβ+=B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1αβ-=-（一）直接法——由条件推结果【答案】D【解析】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-，即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=，所以()tan 1αβ-=-，故选：D（二）整体构造法——观察角与角的关系找共同点【答案】D【解析】根据sin()cos()αβαβ+++以及4πα+，可以利用辅助角公式，将4πα+当做一个整体，再进行合并，于是有如下解法：sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin ==0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选D【点评】解题的关键当然是如何沟通条件和结论，一种思考是变形条件使之朝结论的目标靠拢，而条件的变形又是多种多样，但应始终抓住是恒等变形，条件式直接变形要始终抓住“恒等”，引进新元更要注意“恒等”.另一种思考是构造法，构造法也不是凭空而得，务必考虑与条件之间的等价关系.（三）特殊值排除法——做选择题的快速解法解法：设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A ，C ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除B ；选D.【点评】排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，【针对训练】（2022·浙江卷T13）1．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．（2022·全国）2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．3．化简：44661cos sin 1cos sin αααα----.4．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=-．5．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=6．22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒=_____________.7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值．8．在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________.9．cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒的值是()A ．-B ．0C ．D ．310．在ABC 中，=4A π∠，边,,a b c 满足22212b a c -=，求tan C 的值.参考答案：1．1045【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos 10θ=，()αθ-=22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.2．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,162A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，113sin ,6222A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.3．23.【分析】方法一：灵活利用平方关系及乘方公式化简即可.【详解】［方法一］：【最优解】“1”的代换化齐次式原式2224422366(cos sin )cos sin (cos sin )cos sin a ααααααα+--=+--2222222cos sin 23cos sin (cos sin )3αααααα⋅==+.［方法二］：公式降幂原式44661(cos sin )1(cos sin )a ααα-+=-+222222242241(cos sin )2cos sin 1(cos sin )(cos cos sin sin )αααααααααα⎡⎤-+-⋅⎣⎦=-+-⋅+2222222112cos sin 1(cos sin )3cos sin αααααα-+=⎡⎤-+-⋅⎣⎦22222cos sin 23cos sin 3a ααα⋅==⋅.［方法三］：降幂原式2242246(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos cos )sin ααααααα-+-=-++-2222244sin (1cos sin )sin (1cos cos sin )ααααααα+-=++-2222222cos 1cos (cos sin )(cos sin )αααααα=+++-22222cos 1cos cos sin a ααα=++-222cos 23cos 3αα==.【整体点评】方法一：根据22cos +sin =1αα化齐次式，简洁易算，是该题的最优解；方法二：根据22cos +sin =1αα以及平方和．立方和公式降幂，是化简求值的常用处理方法；方法三：根据平方差．立方差公式化简降幂，变形难度稍大．4．证明见解析【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以cos α，再利用平方关系，变形分子即可得证.【详解】[方法一]：【最优解】左边＝2cos cos (1sin )ααα-＝21sin cos (1sin )ααα--＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝1sin cos a α+＝右边，等式成立.[方法二]：右边＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝21sin cos (1sin )ααα--＝2cos cos (1sin )ααα-＝cos 1sin αα-＝左边，等式成立.[方法三]：左边＝2cos (1sin )cos ααα-，右边＝(1sin )(1sin )(1sin )cos αααα+--＝21sin (1sin )cos ααα--＝2cos (1sin )cos ααα-，∴左边＝右边，∴等式成立.[方法四]：∵cos 1sin αα-－1sin cos a α+＝2cos (1sin )(1sin )(1sin )cos ααααα-+--＝22cos cos (1sin )cos αααα--＝0.∴等式成立.[方法五]：左边＝cos 1sin αα-＝cos (1sin )(1sin )(1sin )αααα+-+＝2cos (1sin )1sin ααα+-＝1sin cos a α+＝右边.[方法六]：∵(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 1sin αα-＝1sin cos aα+.[方法七]：若证cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立，只需证cos α·cos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，即证cos 2α＝1－sin 2α，此式成立，∴原等式cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立.【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.5．C【详解】[方法一]：sin 1sin ,sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+()sin sin 2παβα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,,0,2222ππππαβα⎛⎫⎛⎫-∈--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,222ππαβααβ∴-=-∴-=.故选：C.[方法二]：222cos sin cos sin 1sin 2222tan tan cos 24cos sin cos sin 2222ββββββπαβββββ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭- 又,,,22442242βπππβππααβ⎛⎫+∈∴=+∴-= ⎪⎝⎭.故选：C.[方法三]：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．6．34【分析】根据两角和的正弦余弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】[方法一]：因为40°＝30°＋10°，所以原式＝22sin 10cos (3010)sin10cos(3010)++++22211sin 10sin10)sin10cos10sin 102222=+-+⋅- 2233(sin 10cos 10)44=+= .[方法二]：原式＝1cos 201cos80sin10cos 4022-+++cos(5030)cos(5030)1sin10cos 402+--=++cos50cos30sin 50sin 30cos50cos30sin 50sin 301sin10cos 402---=++1sin 50sin 30sin10cos 40=-+ 1cos 40(sin 30sin10)=-- 1cos 40[sin(2010)sin(2010)]=-+-- 12cos 40cos 20sin10=-2cos 40cos 20sin10cos101cos10=-sin8013114cos1044=-=-= .[方法三]：换元法令10,40,sin a b cos a b ⎧=+⎨=-⎩得()()()()()11110401050302020,2221110401050302020,22a sin cos sin sin sin cos cos b sin cos sin sin cos sin sin ⎧=+=+==⎪⎪⎨⎪=-=-=-=⎪⎩则原式=222222333()()()()3cos 20sin 20444a b a b a b a b a b ++-++-=+=+=.[方法四]：设2222sin 10cos 40sin10cos 40,cos 10sin 40cos10sin 40x y =++=++ ，则1110401040250240,11180205040.222x y sin cos cos sin sin cos x y cos cos sin cos ⎧+=+++=+=+⎪⎨-=--=--=--⎪⎩所以322x =，故34x =.[方法五]：余弦定理由余弦定理，得2222cos a b ab C c +-=，又由正弦定理，得2sin sin sin a b cR A B C===，于是2222224sin 4sin 22sin 2sin cos 4sin R A R B R A R B C R C +-⋅⋅⋅=，得222sin sin 2sin sin cos sin A B A B C C +-=故22sin 10cos 40sin10cos 40++22sin 10sin 50sin10sin 50=++22sin 10sin 502sin10sin 50cos120=+-223sin 120)24=== .[方法六]：22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒()()22sin 10cos 1030sin10cos 1030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 10sin10sin10cos10sin102222⎛⎫⎛⎫=︒+︒-︒+︒⨯︒-︒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223113sin 10cos 10sin 10sin 104424=︒+︒+︒-︒=故答案为：34.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦余弦公式的应用，属于中档题.7．2875-【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得2π2sin cos sin sin 22sin 4π1tan cos 4x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后利用条件可求出答案.【详解】［方法一］：根据已知角化简 22sin 22sin 2sin cos 2sin 1tan 1cos x x x x sin x x x x++=--2sin cos (cos sin )cos sin x x x x x x +=-π2sin cos sin()4πcos()4x x x x +=+π3cos()45x += ，177ππ124x <<，π4sin()45x ∴+=-，72sin cos 25x x ∴=．∴π2sin cos sin()284π75cos()4x x x x +=-+，∴2sin 22sin 281tan 75x x x +=--．［方法二］：直接展开求sin cos ,sin cos x x x x±()π3cos cos sin 425x x x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，得cos sin x x -=平方得2sin cos x x =725，()2732cos sin 12525x x +=+=， 177,124x ππ<<∴cos sin 0,cos sin x x x x +<+=，∴原式=cos sin 2sin cos cos sin x x x x x x +-＝－2875．［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π4tan(43x +=-）原式＝cos sin 1tan 2sin cos sin 2cos sin 1tan x x x x x x x x x ++=--=πsin2tan 4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，7sin2cos 212cos 2425x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=2875-．［方法四］：整体法求cos x 因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，又 177124x ππ<<，所以sin x =，tan x =7，∴原式＝－2875．【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；方法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求sin cos ,sin cos x x x x ±，化切为弦求出；方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出sin ,cos ,tan x x x ，是该题的通性通法．8．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】[方法一]：由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A b bc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=，∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.[方法二]：由cos cos A b B a =可知cos 0A >，cos 0B >，即0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理结合题意可得cos sin cos sin A B B A =，即11sin cos sin cos ,sin 2sin 222A AB B A B =∴=，据此有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.9．D【详解】[方法一]：()()15453045304530122224154530453045301222cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin =-=++=+==-=-==则原式44=[方法二]：()1tan15tan45tan15tan4515tan301tan151tan45tan15--===-==++原式[方法三]：cos15sin150>>，令cos15sin15(0)cos15sin15t t-=>+，22222cos152sin15cos15sin151sin301cos152sin15cos15sin151sin3033t t-+-===∴=+++则.[方法四]：()()222cos15cos15sin15cos15sin15cos15sin152cos15cos15sin1512cos152sin15cos15cos301sin3022cos152sin15cos15cos301sin30--=++-+-===+++[方法五]：22222cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos30cos15sin152sin15cos151sin303-+-=++-===+++（）（）（）[方法六]：cos15sin15sin15cos15cos15sin15sin15cos151sin30sin302sin60sin602--=-=-++--==（）故选D.10．tan2C=.【分析】方法一：由余弦定理及已知可得3c=，再根据正弦定理的边角关系、三角形内角性质及差角正弦公式得3sin2cos2sinC C C=+，即可求tan C.【详解】［方法一］：【最优解】利用正、余弦定理边化角因为22212b a c-=，2222cosb c a bc A+-=，所以232c=，即3c=，所以33sin sin()2cos 2sin 4C B C C C π==-=+，即tan 2C =.［方法二］：和差化积公式的应用由22212b a c -=得，2221sin sin sin 2B AC -=，即212sincos 2cos sin sin 22222B A B A B A B AC +-+-⨯=，即()21sin sin sin 2C B A C -=，因为0sin 1C <≤，所以()()2sin sin sin B A C A B -==+，即sin cos 3sin cos B A A B =，所以tan 3tan 3B A ==．()tan tan 13tan tan 21tan tan 13A B C A B A B ++=-+=-=-=--．【整体点评】方法一：利用正、余弦定理边化角，再根据消元思想即可解出，是该题的最优解；方法二：利用和差化积公式转化求值，需要较强的运算能力．。

考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--=； cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：ππsin sin33ππcos cos33αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.【答案】【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．学.(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 例如：()()ααββ=+-=，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 cos15cos30cos105sin30︒︒+︒︒的值是A B C ．12D ．1【答案】A【名师点睛】把所求式子中的角105°变为90°+15°，利用诱导公式cos （90°+α）=−sin α化简后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2A ．1-B ．2C ．12D ．1典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β=A ．π4B ．π4- C ．3π4-D ．π4或3π4- 【答案】C又α∈(0,π),所以0<α<.又<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=−.故选C.【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.302βαπ<<<. （1）求α2tan 的值． （2）求β的值.典例4 已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α=A BC D【答案】B【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.4．已知角α,β均为锐角，且3cos5α=,tan(α−β)=，则tanβ=A． B．C． D．3考向三三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式2π(0)Tωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 设函数f(x)=sin2ωx−sin ωx cosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.（1）求ω的值；（2）求f(x)在区间π,]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）f(x)在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.【解析】（1）f (x )=sin 2ωx −sin ωx cos ωx =·sin 2ωx =cos2ωx −sin 2ωx =−sin(2ωx −).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且ω>0,所以=4×,因此ω=1.（2）由（1）知f (x )=−sin(2x −).当π≤x ≤时,≤2x −≤.所以−≤sin(2x −)≤1.因此−1≤f (x )≤.故f (x )在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.5．已知向量a =1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )=a ·b . （1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．1．cos9π·cos 29π ·cos 23()9π-= A ．−18B ．−116 C ．116D ．182．已知1sin cos 5αα-=-，则的值为A ．1225B ．2425-C ．2425D ．1225-3．已知锐角,αβ满足，则αβ+的值为ACD 4．设，，且，则A ．B ．C ．D ．5．已知向量a =(sin(),1)6απ+，b =(4,4cos α)，若a ⊥b ，则sin 4()3απ+=A ．4-B ．14-C ．4D ．146，则sin β= A ．0C7A B CD 8．已知α为锐角，若，则sin α=ABC D 9．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ=__________．10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________.11．已知函数，若为函数()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．12（1）求sin2β的值；（213．已知函数.（1）求的最小正周期和最值；（2）设是第一象限角，且求的值.1．（2016年高考新课标Ⅱ卷）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−7252．（2016年高考新课标Ⅲ卷）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．16253．（2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 4．（2017年高考江苏卷）若π1tan(),46α-=则tan α=___________.5．（2016年高考四川卷）cos 2π8–sin 2π8= . 6．（2016年高考浙江卷）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________．1．【答案】−2sin42．【答案】C【解析】由()sin47sin 3017sin30cos17sin17cos30︒=︒+︒=︒︒+︒︒知，原式3．【答案】（1（2【解析】（1）由1cos ,072ααπ=<<（2）由0βαπ<<<，得0.2αβπ<-<由)(βααβ--=得)](cos[cos βααβ--=.3βπ∴=4．【答案】D5．【答案】（1）π；（2）f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.【解析】f (x )=1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭x ，cos 2x )cos x sin x −12cos 2x=2sin 2x −12cos 2x =ππcossin 2sin cos 266x x -=πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.（2）∵0≤x ≤π2，∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x =0时，f (0)=12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-. 因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.1．【答案】A2．【答案】C 【解析】由题意得，两边同时平方得故选C. 3．【答案】B【解析】因为锐角,αβ，所以因为()0,παβ+∈，所以 B. 4．【答案】B【解析】根据三角函数的基本关系可 得,,因为，，所以，所以（舍）或，得，故选B.5．【答案】B6．【答案】B，0⨯=，不合题意，舍去；，525=，应选B. 7．【答案】DD. 8．【答案】C【解析】∵α为锐角且 则，故本题选C.9．10．【解析】在ABC△ 中，tan tan tan tan 1A B A B ++⋅=，则t a n t a n 1A B A B+=-⋅0πC <<11．【答案】3512．【答案】（1（2【解析】（1（2【名师点睛】在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法是配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和与差的公式展开求值即可.13．【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）.的最小正周期是，最大值为，最小值为. （2），则，即，又为第一象限的角，则，.1．【答案】D【解析】2237cos22cos12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos2cos2sin242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以7sin225α=-，故选D.【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．2．【答案】A【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .4．【答案】75【解析】11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．5．【答案】2【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解．6．，1【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b ==【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin Αx b ωϕ++可得Α和b 的值．。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan 5α=±；当tan 5α=时，可得15a =，25b =，即5a =，5b =，此时5a b -=；当tan 5α=-时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案： 解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=，求方程12f x =（）ππ-［，］上的解。

第三章 第六讲A 组基础巩固一、选择题1．(2017·浙江省杭州市期末数学试题)计算：1－cos 210°cos80°·1－cos20°＝导学号 30071087( A )A ．22 B ．12C ．32D ．－22[解析] 利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．解：1－cos 210°cos80°·1－cos20°＝sin 210°sin10°·1－(1－2sin 210°)＝sin 210°sin 210°·2＝22.故选A ． [点拨] 本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．2．(2016·全国Ⅱ)函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值为导学号 30071088( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112(|sin x |≤1)∴当sin x ＝1时，f max (x )＝5.故选B ． 3．(2017·新疆石河子二中期末数学试题)若cos2αsin (α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为导学号 30071089( C )A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析] 题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解：∵cos2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C ．[点拨] 本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．4．(2017·内蒙古集宁一中高三上学期期中数学试题)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝导学号 30071090( C )A ．－43B ．43C ．43或0D ．－43或0[解析] 把已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理求出cos2α的值，进而求出sin2α的值，即可求出tan2α的值．解：把2sin2α＝1＋cos2α两边平方得：4sin 22α＝(1＋cos2α)2，整理得：4－4cos 22α＝1＋2cos2α＋cos 22α，即5cos 22α＋2cos2α－3＝0， ∴(5cos2α－3)(cos2α＋1)＝0， 解得：cos2α＝35或cos2α＝－1，当cos2α＝35时，sin2α＝1＋cos2α2＝45，tan 2α＝43；当cos2α＝－1时，sin2α＝1＋cos2α2＝0，tan2α＝0，则tan2α＝43或0.故选C ．5．(2016·湖北八校联考)已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为导学号 30071091( D )A ．4 3B ．833C ．4D ．8[解析] 因为f (x )＝2×(tan x ＋cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos x sin x )＝2×1cos x ·sin x ＝4sin2x ，所以f (π12)＝4sin π6＝8.故选D ．6．(2016·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x (π4≤x ≤π2)的最大值为导学号 30071092( B )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3[解析] 依题意，f (x )＝1－cos2(π4＋x )－3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π3)≤1，此时f (x )的最大值是3.故选B ． 7．(2016·吉安模拟)已知θ为第二象限角，25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则sin θ2的值为导学号 30071093( D )A ．－35B ．±35C ．45D ．±45[解析] ∵θ为第二象限角，∴sin θ>0， θ2为第一或第三象限， ∵25sin 2θ＋sin θ－24＝0， ∴sin θ＝－1(舍去)或sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725，∴sin θ2＝±1－cos θ2＝±1625＝±45，故选D ． 8．(2017·安徽省六安一中高三上学期月考(三)数学试题)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则cos2A ＝导学号 30071094( A )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] 由3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1可得，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，故tan A＝33⇒A ＝30°，则cos2A ＝cos60°＝12，故应选A ． 二、填空题9．(2016·九江模拟)化简sin 235°－12cos10°cos80°＝－1.导学号 30071095[解析] sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.10．(2017·湖南省衡阳市八中高三第三次(10月)月考数学试题)已知sin x ＋2cos x ＝0，则sin 2x ＋1＝95.导学号 30071096[解析] sin x ＋2cos x ＝0等价于sin x ＝－2cos x ，∵cos x ≠0，∴tan x ＝－2，∴sin x ＝±255即sin 2x ＋1＝95，故填95.11．(2016·西安模拟)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝－5导学号 30071097 [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝－255，cos φ＝55，当x ＋φ＝2k π＋π2时，函数f (x )取得最大值，即θ＝2k π＋π2－φ.所以cos θ＝cos(π2－φ)＝sin φ＝－255.三、解答题12．(2016·山东济南模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π.导学号 30071098(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．[答案] (1)f (x )＝4cos ωx sin(ωx －π6)＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1 ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期T ＝2π2ω＝π， 所以ω＝1，所以f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π .解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π.所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[π8，3π8]时，(2x －π6)∈[π12，7π12]．当2x －π6＝π12时，f (x )取得最小值，f (x )＝2sinπ12＝2sin(π4－π6)＝6－22； 当2x －π6＝π2时，f (x )取得最大值，f (x )＝2sin π2＝2.所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值为2，最小值为6－22.13．(教材改编题)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π4)－12.导学号 30071099(1)求函数f (x )图象的对称轴方程及最小值； (2)已知f (α－π8)＝225，α∈(0，π4)，求f (α2)的值．[解析] (1)f (x )＝2cos x sin(x ＋π4)－12＝2cos x (22sin x ＋22cos x )－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． 令2x ＋π4＝π2＋k π，得x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，所以函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，最小值为－22.(2)因为f (α－π8)＝22sin2α＝225，所以sin2α＝45.所以cos(π2＋2α)＝－sin2α＝－45＝1－2sin 2(α＋π4)，所以sin 2(α＋π4)＝910.因为α∈(0，π4)，所以sin(α＋π4)＝31010，所以f (α2)＝22sin(α＋π4)＝3510.B 组能力提升1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝导学号 30071100( A )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625[解析] 通性通法 由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎨⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin2α＝1625＋4825＝6425.光速解法 cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.2．(2016·武昌模拟)化简sin4α4sin 2(π4＋α)tan (π4－α)＝导学号 30071101( A )A ．sin2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α[解析]sin4α4sin 2(π4＋α)tan (π4－α)＝sin4α4cos 2(π4－α)·tan (π4－α)＝sin4α4sin (π4－α)cos (π4－α)＝2sin2αcos2α2sin (π2－2α)＝sin2α，故选A ．3．(2017·安徽省黄山市上学期期末数学试题)若cos α＋sin α＝23，则2sin (2α－π4)＋11＋tan α的值为导学号 30071102( D )A ．59B ．0C ．－518D ．－59[解析] 由cos α＋sin α＝23，两边平方可得：2sin αcos α＝－59.再利用和差公式、同角三角函数基本关系式即可得出2sin (2α－π4)＋11＋tan α.解：∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin (2α－π4)＋11＋tan α＝2×22(sin2α－cos2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59.故选D ．[点拨] 本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．化简sin 2(α－π6)＋sin 2(α＋π6)－sin 2α的结果是12.导学号 30071103[解析] 法一：原式＝1－cos (2α－π3)2＋1－cos (2α＋π3)2－sin 2α＝1－12[cos(2α－π3)＋cos(2α＋π3)]－sin 2α＝1－cos2α·cos π3－sin 2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.5．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝(1，tan(α＋β2))(0<α<π4)，且a·b ＝73.导学号 30071104(1)求f (x )在区间[2π3，4π3]上的最值；(2)求2cos 2α－sin2(α＋β)cos α－sin α的值．[解析] (1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin(x －π3)＋2，∵x ∈[2π3，4π3]，∴x －π3∈[π3，π]，∴f (x )的最大值是4，最小值是2. (2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73，∴sin α＝13，又0<α<π4.∴2cos 2α－sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin2αcos α－sin α＝2cos α＝21－sin 2α＝423.。

专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (6) 三角恒等变换与解三角形【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .4．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.5．三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．7．解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果. 【题型示例】题型1、三角变换及应用【例1】【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【变式探究】(1)(2016²高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C 正确；α取π3时，cos 2α＝2cos 2α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12＜0，D 错．故选C.速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案：C【举一反三】 (2015²新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D【变式探究】(2015²四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案62【举一反三】(2015²江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 3【变式探究】(1)(2014²新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(2)(2014²山西)若锐角α满足2sin α＋23cos α＝3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3的值是( )A ．－37B ．－377C ．37D.377【解析】(1)解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2，故选B.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z .∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．【变式探究】(2015²广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________．解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1. 答案 1考点2、正、余弦定理的应用【例2】【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

专题06 三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32 【答案】A【解析】函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A. 2．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43 C.43D.34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．由函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增【答案】C【解析】函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin2x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C.4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图1­6所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图1­6A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32 D ．1＋32【答案】A5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[1，2] 【答案】A【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.6．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( ) A.513B ．－513C.313 D ．－313【答案】D【解析】根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313. 7．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32 B ．12 C ．－12 D ．－32【答案】D8．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 【答案】B【解析】由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B. 9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1­9所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图1­9A ．±223B ．223C ．－223 D.13【答案】C【解析】由图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x＋φ)．又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B＝asin A，则cos B ＝( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32【答案】B【解析】由正弦定理，得b 3cos B ＝a sin A ＝bsin B，即sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又0<B <π，故B ＝π3，cos B ＝12.11．在△A BC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋c b的值为( ) A.22B. 2 C ．2 D ．4【答案】C12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C.332D ．3 3 【答案】C【解析】∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.13．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.14．如图2­1，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A ＝( )图2­1 A.223 B.24 C.64 D.63【答案】C【解析】∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A .∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝BD sin C，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C. 15．设角A ，B ， C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cosA ，则sin A ∶sinB ∶sinC ＝( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 【答案】D【解析】∵A >B >C ，∴a >b >c . 又∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，∴设a ＝n ＋1，b ＝n ，c ＝n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∵3b ＝20a cos A ，∴3b20a＝cos A ，∴3b 20a ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 3n20n ＋1＝n 2＋n －12－n ＋122n n －1，即3n 20n ＋1＝n n －42n n －1，化简得7n 2－27n －40＝0，(n －5)(7n ＋8)＝0， ∴n ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝－87舍.又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 故选D17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B ． 2 C ．3 D. 3 【答案】D18．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A ＝__________. 【答案】23【解析】由题意可知S △ACD ∶S △BCD ＝4∶3，∴AD ∶DB ＝4∶3，AC ∶BC ＝4∶3，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝43sin A ，又B ＝2A ，∴sin 2A ＝43sin A ，∴cos A ＝23.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝∠C ，且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 面积的最大值为__________. 【答案】55【解析】法一：由∠B ＝∠C 得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43，得7a 2＋2b 2＝43，则2b 2＝43－7a 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2b ，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a 22b ＝83－15a 22b，则△ABC 的面积为S＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 23－15a2＝141515a23－15a2≤1415×15a 2＋3－15a22＝1415×43＝55，当且仅当a 2＝8330时取等号，则△ABC 的面积的最大值为55.法二：由∠B ＝∠C 得b ＝c ，所以7a 2＋b 2＋c 2＝43，即为7a 2＋2c 2＝43，则△ABC 面积为12ac 2－a 24＝141515a2c 2－a 2≤1415×832＝55，所以最大值为55.20．如图2­3，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是__________．图2­3【答案】(6,43]【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DAsin θ＝DC120°－θ，则DA ＋DC ＝4[sinθ＋sin(120°－θ)]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin θ＋32cos θ＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.21．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【解析】f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z)． 由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z)．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.22．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π【解析】∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.23．已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________.【答案】35【解析】∵tan α＝2， ∴sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α ＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan αtan 2α＋1 ＝1＋24＋1＝35. 24．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1­7所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.图1­7【答案】－ 325．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R)的对称轴方程．【解析】(1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，2分则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，3分且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)． 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)为f (x )的单调递增区间.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，7分 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.10分由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z)，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z.12分 26．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图1­8所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图1­8(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．【解析】(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55.2分 又cos ∠POQ ＝x P 5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分 由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分 将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1. ∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分 (2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin 2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分 当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，10分 ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)， 即1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).12分 27．已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R. (1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值； (2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分 由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－35.8分 ∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，11分 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452 ＝－1010.12分 28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2 b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C .(1)求B 的大小；(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积． 【解析】(1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C .由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，1分化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，2分 ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.4分 ∵0<B <π，∴B ＝2π3.5分 (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4，6分 ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24.8分 由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，9分 ∵b ＝3，B ＝2π3，∴c ＝b sin C sin B ＝6－22，10分 ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34.12分 29．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos C c. (1)求a b的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．【解析】(1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，1分 ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )，∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C ).3分∵A ＋B ＋C ＝π，4分∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0， ∴b > 3.①8分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3，②10分由①②得b 的取值范围是(3，3).12分30．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上单调递减． (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形．(2)由题意知，2πω＝4π3，解得ω＝32，7分 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)， ∴A ＝π3，8分 由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ，∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝bc ， 即b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c .10分又A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.12分 31．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及 sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.33．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13. 因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝AB sin∠ACB， 所以23sin B ＝AB π－2B ＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB233sin B ， 所以AB ＝4.。

第03节 三角恒等变换班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2018甘肃省天水一中上学期开学】sin75sin15cos75cos15+o o o o 的值为（ ）A. 1B. 0C. 12D. 3【答案】C【解析】()sin75sin15cos75cos15cos 7515cos60+=-=︒o o o o o o =12. 故选：C2.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D3.已知10,2sin cos a R αα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．17【答案】B【解析】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即233sin 4sin cos 2ααα-=，所以22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα-=+， 即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--， 从而得tan(2)74πα-=-.4.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值与最大值的和等于( )A .-2B .0C .32-D .12- 【答案】C5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( ) A ．13 B ．13- C ．23D ．23-【答案】C【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=，故选C. 6. 已知tan 222α=-42ππα<<，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+--απαα4sin 21sin 2cos 22值（ ）A ．2B ．－2C ．223+-D ．223- 【答案】C 【解析】22tan tan 2221tan ααα==--22tan 20αα-=, 解得2tan 2α=-或tan 2α=．因为42ππα<<,所以tan 2α=． 22cos sin 1cos sin 222sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++1tan 22231tan 12αα-===++．故C 正确．7．【2018河北内丘中学8月】若()sin 2sin 2cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A. 45-B. 45C. 35-D. 35【答案】C8. 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为)4()(4πββαπα--+=+， 所以223)tan()tan(1)4tan()tan()]4()tan[()4tan(=-++--+=--+=+πββαπββαπββαπα，答案选C. 9.设a R ∈，函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-满足()(0)3f f π-=．则()f x 的单调递减区间为（ ） A. )Z ](65,3[∈+-k k k ππππ B. )Z ](65,6[∈++k k k ππππ C. )Z ](3,65[∈--k k k ππππ D.)Z ](65,3[∈++k k k ππππ 【答案】D【解析】2()cos (sin cos )cos ()sin 2cos 222af x x a x x x x x π=-+-=-， 由()(0)3f f π-=得：31142a -+=-，∴23a =，∴()3sin 2cos 22sin(2)6f xx x x π=-=-，由3222262k x k πππππ+≤-≤+得：536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调递减区间为：)Z ](65,3[∈++k k k ππππ. 10. 已知ABC ∆中，83sin ,cos 175A B ==，则cos C 等于 A ．1385-或7785 B ．7785 C ．7785- D ．1385-【答案】D11.已知函数23()3sin cos 32f x x x x ωωω=+-，其中0ω>.若()f x 在区间[,]36ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．23 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】因为sin y x =在每个区间[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈上为增函数，故23()3sin cos 33)(0)6f x x x x x πωωωωω=+=+>在每个闭区间[,]()36k k k Z ππππωωωω-+∈上为增函数，依题意知：[,][,]3636k k ππππππωωωω-⊆-+对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是3366ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω≤，故ω的最大值为1. 12.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C 【解析】 由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cossin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

专题16 三角恒等变换【母题原题1】【2018江苏，理16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值．分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 【母题原题2】【2016江苏，理15】在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长；（2）求πcos(6A -)的值.【答案】（1） 【解析】【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.【母题原题3】【2015江苏，理15】在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（1（2【解析】【考点定位】余弦定理，二倍角公式【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】三角函数式的化简与求值在客观题中进行考查通常可单独命题进行考查，试题难度中低档为主，小巧灵活，重视转化思想的应用；在解答题中，常常与三角函数的图象和性质结合、与正弦定理和余弦定理结合，以中档题为主，坚持以“能力立意”的命题趋势，主要考查考生的等价变换能力、运算求解能力、逻辑思维能力、转化的思想． 【方法总结】1. 同角三角函数的基本关系的基本功能就是转化功能，利用它可以使函数种类减少，次数降低，项数减少等，从而达到简化运算的目的．常用有五种转化途径：（1）正弦与余弦的互化；（2）、“1”和正弦、余弦平方和的互化，即“221sin cos θθ=+”；（3）化正弦、余弦为正切，即sin tan cos θθθ=；（4）化正切为正弦、余弦，即sin tan cos θθθ=；（5）正弦、余弦和（差）与积的互化，即()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±． 2. 二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性；(4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．掌握二倍角的两个特殊变式：（1）sin 2cos 22παα⎛⎫=-⎪⎝⎭＝22cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）cos 2sin 22sin cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题】在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值. 【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可； （2）直接利用公式即可. 解析：(1)由于角其终边经过点，点睛：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．2．【江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试卷】已知向量，且共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出tanθ的值，进一步求出结果；（2）根据第一步的结论，利用三角函数关系式的恒等变换进一步求出tanΦ=1，再根据角的范围求出Φ的值.详解：（1）∵，∴，即∴（2）由（1）知，又，∴，∴∴，即，∴，即又，∴.点睛：本题考查的知识要点有向量的坐标运算，向量共线的充要条件，三角函数关系式的恒等变换利用已知条件求出函数的值．属于基础题型. 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．常用的3切互化公式有： sin2θ+cos2θ=1．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.3．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）求的值．【答案】(1) .(2) .∴．点睛：（1）解三角形时要根据条件选择使用正弦定理还是余弦定理，求解过程中要注意三角形中有关知识的合理运用，如三角形内角和定理，三角形中的边角关系等．（2）解三角形经常和三角变换结合在一起考查，根据变换求值时要注意三角函数值的符号，再合理利用公式求解．4．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．5．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1) .(2) .点睛：本题在求的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.6．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】在中，角的对边分别为，，. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1）.（2）15.又，所以，.，.所以的周长为15.7．【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题】在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，， ()sin cos b ββ=-，， 122c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，． （1）若a b c +=，求()sin αβ-的值；（2）设5π6α=， 0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 【答案】(1) 12-；(2) π2β=.∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α=∴31,2a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 2b c ββ⎛+=--+ ⎝⎭. ∵a // ()b c +∴3311cos sin 02222ββ⎛⎫⎛⎫-+---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得， 11sin 22ββ=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<< ∴ππ2π333β-<-<．∴ππ36β-=，即π2β=．8．【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（江苏卷）-数学】设向量,,记． （1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的值域． 【答案】(1)()．(2).9．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）数学（理）试题】在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.【答案】（1）2C π∠=（2）()min 16ABC S ∆= 【解析】试题分析：（1）由CA CBC A C B +=-，两边平方22CA CB CA CB +=-，整理可得0CA CB ⋅=，即CA CB ⊥，从而可得2C π∠=；（2）在直角ADC ∆与直角BDC ∆中中， 4sin sin CD AC A A== ， 4sin sin CD BC B B == ，从而可得114481622sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A∆=⋅=⋅⋅==，根据三角函数的有界性可得ABC ∆面积的最小值.试题解析：（1）由CA CB CA CB +=-，两边平方22CA CB CA CB +=-，10．【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】已知向量()sin ,cos a αα= ， ()1,3b =， 2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若a b ⊥， （1）求α的值；（2）若()3sin ,,562ππαββ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，求角β的大小．【答案】（1）23πα=；（2【解析】试题分析：（1）由a b ⊥，可得sin 0a b αα⋅==， 从而得sin tan cos ααα==，进而可得 23πα=；（2）由62ππβ<<且23πα=，可得62ππαβ<-<，可()4c o s 5αβ-=，根据。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2018甘肃省天水一中上学期开学】sin75sin15cos75cos15+的值为（ ）A. 1B. 0C. 12D. 2【答案】C【解析】()sin75sin15cos75cos15cos 7515cos60+=-=︒=12. 故选：C2.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.3.已知,2sin cos a R αα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ）A ．43 B ．7- C ．34- D ．17【答案】B【解析】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即233sin 4sin cos 2ααα-=，所以22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα-=+， 即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，从而得tan(2)74πα-=-.4.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值与最大值的和等于( )A .-2B .0C .32-D .12- 【答案】C5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( ) A ．13 B ．13- C ．23D ．23-【答案】C【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=，故选C. 6.已知tan 2α=-，且满足42ππα<<，则⎪⎭⎫⎝⎛+--απαα4sin 21sin 2cos 22值（ ）A ．2B ．－2C ．223+-D ．223- 【答案】C【解析】22tan tan 21tan ααα==--2tan 0αα-=,解得tan 2α=-或tan α=．因为42ππα<<,所以tan α=．22cos sin 1cos sin 2sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin cos cos sin cos αααααααααα--==+1tan 31tan αα-===+．故C 正确．7．【2018河北内丘中学8月】若)sin sin 2cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A. 45-B. 45C. 35-D. 35【答案】C8. 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为)4()(4πββαπα--+=+， 所以223)tan()tan(1)4tan()tan()]4()tan[()4tan(=-++--+=--+=+πββαπββαπββαπα，答案选C. 9.设a R ∈，函数．则()f x 的单调递减区间为（ ） A. )Z ](65,3[∈+-k k k ππππ B. )Z ](65,6[∈++k k k ππππ C. )Z ](3,65[∈--k k k ππππ D.)Z ](65,3[∈++k k k ππππ 【答案】D，k Z∈∴()f x的单调递减区间为：)Z](65,3[∈++kkkππππ.10. 已知ABC∆中，83sin,cos175A B==，则cos C等于A．1385-或7785B．7785C．7785- D．1385-【答案】D11.已知函数2()3sin cosf x x x xωωω=，其中0ω>.若()f x在区间[,]36ππ-上为增函数，则ω的最大值为（）A．23B．1 C．32D．2【答案】B【解析】因为siny x=在每个区间[2,2]()22k k k Zππππ-+∈上为增函数，故2()3sin cos)(0)26f x x x x xπωωωωω=+-=+>在每个闭区间[,]()36k kk Zππππωωωω-+∈上为增函数，依题意知：[,][,]3636k kππππππωωωω-⊆-+对某个k Z∈成立，此时必有0k=，于是3366ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω≤，故ω的最大值为1.12.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

第三章第八讲A组基础巩固一、选择题1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的导学号30071156(C)A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°[解析]如图，点B在点A的南偏东30°.2．以观测者的位置作为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北方向为始边，按顺时针方向旋转280°到目标方向线，则目标方向线的位置在观测者的导学号30071157(C)A．北偏东80°B．东偏北80°C．北偏西80°D．西偏北80°[解析]注意旋转的方向是顺时针方向，作出相应的图形分析可得正确选项为C．3．(2017·湖南省常德市石门一中上学期第一次月测数学试题)如图，已知两座灯塔A和B 与海洋观察站C的距离都等于1 km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为导学号30071158(C)A．1 km B． 2 kmC． 3 km D．2 km[解析]先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．解：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120° ＝1＋1＋2×1×1×12＝ 3.即灯塔A 与灯塔B 的距离为 3 km.故选C ．4．(易错题)(2016·山东临沂质检)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为导学号 30071159( A )A ．4003 mB ．40033 mC ．20033mD ．2003m[解析] 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，所以∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，∠DAC ＝30°.因为AB ＝200，所以AC ＝4003 3.在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin120°＝DC sin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)．故选A ．[易错提示] 作图时注意仰角和俯角的作图方法5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是导学号 30071160( A )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里[解析]如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝AB sin45°，解得BC ＝102(海里)．6．(易错题)(2016·辽宁大连模拟)如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底点B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝135°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高AB 为导学号 30071161( D )A ．10 2 mB ．10 3 mC ．15 6 mD ．10 6 m[解析] 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理，得BCsin ∠BDC＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin135°sin30°＝302(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝302×tan30°＝106(m)．故选D ．[易错提示] 涉及立体图形时，注意图形间的立体关系 二、填空题7．在相距2千米的A ，B 两点处观测目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C.导学号 30071162[解析]如图所示， 由题意知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 8．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为 3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为__________km.导学号 30071163[解析]如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3. 设BC ＝x ，则由余弦定理可得： AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°， 即32＝22＋x 2－2×2x cos120°， 整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1(另一解为负值舍掉)． 三、解答题9．(2016·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量长江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，在长江南岸找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1 m.导学号 30071164(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离．[解析] (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin150°＝12×1×1×12＝14(m 2)． (2)因为∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan60°＝3(m)．在△BCE 中．∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°.因为BCsin ∠CEB＝CEsin ∠CBE，所以BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin30°×sin45°＝2(m)．因为cos15°＝cos(60°－45°) ＝cos60°cos45°＋sin60°sin45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ， 可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， 所以AB ＝6－22(m)． 10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？导学号 30071165[答案] 东偏北30°方向[分析] 本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .[解析] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．B 组能力提升1．(2017·四川省成都外国语学校期中数学试题)如图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量A 、B 两点间的距离，选取一条基线CD ，A 、B 、C 、D 在一平面内．测得：CD ＝200 m ，∠ADB ＝∠ACB ＝30°，∠CBD ＝60°，则AB ＝导学号 30071166( A )A ．20033 mB ．200 3 mC ．100 2 mD ．数据不够，无法计算[解析] 由题意可得AC ⊥BD .设AC ∩BD ＝O ，可得△OCD 为等腰直角三角形，求得OC ＝OD 的值，△BCO 中，由直角三角形中的边角关系求得 OB 的值，同理求得OA 的值，再利用勾股定理求得AB 的值．解：如图所示，∵∠ADB ＝∠ACB ＝30°，∠CBD ＝60°，∴AC ⊥BD . 设AC ∩BD ＝O ，则△AOD ∽△BOC ， 设OA ＝x ，OB ＝y ，则AD ＝2x ，BC ＝2y ， ∴OD ＝3x ，OC ＝3y .△COD 中，由勾股定理可得3x 2＋3y 2＝40000，求得 x 2＋y 2＝40 0003，故AB ＝x 2＋y 2＝20033.故选A ．[点拨] 本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，属于中档题． 2．(2016·安徽模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )①则量A ，C ，b .②测量a ，b ，C .③测量A ，B ，a .④测量a ，b ，B ．则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为导学号 30071167( A ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④[解析] 对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离。

高考达标检测（十八） 三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：选D ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．－255 B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.3．(2018·温州测试)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝( ) A ．－35B.35 C ．－45D.45解析：选B ∵sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin π6sin x ＋cos π6cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35.4．(2018·东北三省模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.5．(2018·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝34，则tan θ2＝( )A.7B.17 C ．7D.77解析：选D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以cos θ2＝cos θ＋12＝144， 所以sin θ2＝24，所以tan θ2＝77.法二：由题意得sin θ＝74，所以tan θ＝73. 因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以由tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝73， 解得tan θ2＝77或tan θ2＝－7(舍去)，故选D.6．(2018·吉林大学附中检测)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：选D ∵3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∴3(cos 2 α－sin 2 α)＝22(cos α－sin α)， 易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26， 两边平方得1＋sin 2α＝118，解得sin 2α＝－1718.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－45B ．－35C ．－25D ．－15解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 8．(2018·长沙模拟)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1，则sin 2A ＝( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选D 由两角和的正切公式知tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1＝3tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以tan(B ＋C )＝－33，所以tan A ＝33， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32，故选D.二、填空题9．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.解析：sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：110．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－7911．(2018·东北三省四市联考)已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2 x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 即tan x ＝－2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－312．(2018·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． 解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1171－117＝98. 答案：98三、解答题13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝sin x cos x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故当2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值1，故当f (x )取得最大值1时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪5π12＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝1， ∴x 1＋x 2＝5π6，即x 1＝5π6－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝f (x 2)＝23. 14．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.1．已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18 B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 解析：选D f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 因为π<x <2π，所以ωπ－π4<ωx －π4<2ωπ－π4，因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以⎩⎨⎧22sin ⎝⎛⎭⎫ωπ－π4≥0，22sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π4≥0或⎩⎨⎧22sin ⎝⎛⎭⎫ωπ－π4≤0，22sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π4≤0，则⎩⎨⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58(k ∈Z)或⎩⎨⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18(k ∈Z)，又因为ω>0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin 2ωx ＋φ2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π4时，求f (x )的单调递减区间； (2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π6时，求函数g (x )的值域．解：(1)由题意得，f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝2π＝π，ω＝2.又因为函数f (x )为奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝π6，故函数f (x )＝2sin 2x .令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 令k ＝－1，得－3π4≤x ≤－π4，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π4， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π4. (2)由题意可得，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π6，所以－2π3≤4x －π3≤π3， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3≤32，g (x )∈[－2，3]， 即函数g (x )的值域为[－2，3]．。

2019年高考数学一轮复习第六单元解三角形高考达标检测十八三角恒等变换的3个考查点--化简求值和应用理一、选择题1．(xx·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：选D ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ， 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.3．(xx·温州测试)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝( )A ．－35B.35 C ．－45D.45解析：选B ∵sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin x ＋cos π6cos x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝35.4．(xx·东北三省模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 5．(xx·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝34，则tan θ2＝( )A.7B.17 C ．7D.77解析：选D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos θ2＝cos θ＋12＝144， 所以sin θ2＝24，所以tan θ2＝77.法二：由题意得sin θ＝74，所以tan θ＝73. 因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以由tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝73，解得tan θ2＝77或tan θ2＝－7(舍去)，故选D.6．(xx·吉林大学附中检测)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：选D ∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26， 两边平方得1＋sin 2α＝118，解得sin 2α＝－1718.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－45B ．－35C ．－25D ．－15解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 8．(xx ·长沙模拟)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1，则sin 2A ＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选D 由两角和的正切公式知tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1＝3tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以tan(B ＋C )＝－33，所以tan A ＝33， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32，故选D.二、填空题9．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：110．(xx·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7911．(xx·东北三省四市联考)已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2 x 2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 即tan x ＝－2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－312．(xx·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝α＋β－tan β1＋α＋ββ＝25－131＋25×13＝117，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1171－117＝98.答案：98三、解答题13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝sin x cos x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 故当2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值1，故当f (x )取得最大值1时，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π，k ∈Z. (2)由(1)可知f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1，∴x 1＋x 2＝5π6，即x 1＝5π6－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝f (x 2)＝23.14．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.1．已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 因为π<x <2π，所以ωπ－π4<ωx －π4<2ωπ－π4， 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≥0，22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≤0，22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58(k ∈Z)或⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18(k ∈Z)，又因为ω>0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin2ωx ＋φ2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4时，求f (x )的单调递减区间； (2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求函数g (x )的值域． 解：(1)由题意得，f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，ω＝2.又因为函数f (x )为奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝π6，故函数f (x )＝2sin 2x .令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 令k ＝－1，得－3π4≤x ≤－π4，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4.(2)由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，所以－2π3≤4x －π3≤π3， 所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3≤32，g (x )∈[－2，3]，即函数g (x )的值域为[－2，3]．2019年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时分层作业三十五6.1不等式的性质及一元二次不等式理一、选择题(每小题5分,共35分)1.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式成立的是( )A.a-b>0B.a3+b3>0C.a2-b2<0D.a+b<0【解析】选D.当b≥0时,a+b<0;当b<0时,a-b<0,所以a<b<0,所以a+b<0.2.(xx·运城模拟)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac>bdB.ac<bdC.ad<bcD.ad>bc【解析】选B.根据c<d<0,有-c>-d>0,由于a>b>0,两式相乘有-ac>-bd,ac<bd.3.(xx·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B= ( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解题指南】先求出集合B,再利用Venn图求出A∪B.【解析】选C.B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z},所以B={0,1},所以A∪B={0,1,2,3}.【变式备选】(xx·全国卷Ⅲ)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T= ( )A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【解题指南】根据集合的运算法则进行集合的交集运算.【解析】选D. 在集合S中(x-2)(x-3)≥0,解得x≥3或x≤2,所以S∩T=.4.函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【解析】选D.由题意得-x2+4x-3>0,即x2-4x+3<0,所以1<x<3,又ln(-x2+4x-3)≠0,即-x2+4x-3≠1,所以x2-4x+4≠0,所以x≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3).5.已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|-a<x<5a}C.{x|x<5a或x>-a}D.{x|5a<x<-a}【解析】选C.不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0.因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0,a<-,所以5a<-a,所以不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}.【变式备选】若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是( )A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}【解析】选D.由题意知a=0时,满足条件.当a≠0时,由得0<a≤4.所以0≤a≤4.6.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( ) A. B. C. D.【解析】选A.由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因为a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=.7.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则a的取值范围为 ( )A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【变式备选】若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是( )A.B.C.∪D.【解析】选C.因为x∈(0,2],所以a2-a≥=.要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥.由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即=,故a2-a≥,解得a≤或a≥.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为________.【解析】由题意知-1,2是方程ax2+bx+2=0的根.由根与系数的关系得⇒所以不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0.可知-1,是对应方程的根.所以所求不等式的解集为.答案:9.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题①若ab>0,bc-ad>0,则->0;②若ab>0,->0,则bc-ad>0;③若bc-ad>0,->0,则ab>0.其中正确的命题是________.【解析】ab>0,bc-ad>0,所以-=>0,所以①正确;因为ab>0,又->0,即>0,所以bc-ad>0,所以②正确;因为bc-ad>0,又->0,即>0,所以ab>0,所以③正确.故①②③都正确.答案:①②③10.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是________.【解析】由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有=1,故a=2.结合f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.答案:b<-1或b>21.(5分)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+>b+B.>C.a->b-D.>【解析】选A.取a=2,b=1,排除B与D;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a>b>0时,f(a) >f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立.2.(5分)已知a>b>0,则-与的大小关系是 ( )A.->B.-<C.-=D.无法确定【解析】选B.(-)2-()2=a+b-2-a+b=2(b-)=2(-),因为a>b>0,所以-<0,所以(-)2-()2<0,所以-<.3.(5分)已知下列不等式①x2-4x+3<0;②x2-6x+8<0;③2x2-9x+a<0,且使不等式①②成立的x也满足③,则实数a的取值范围是( )A.a≥B.a≤10C.a≤9D.a≥-4【解析】选C.联立①②得即解得2<x<3,所以2<x<3也满足③2x2-9x+a<0,所以③的解集非空且(2,3)是③的解集的子集.令f(x)=2x2-9x+a,即2<x<3时,f(x)max<0,又f(x)的对称轴为x=.由f(x)=2x2-9x+a<0,得f(2)=8-18+a≤0,且f(3)=18-27+a≤0,解得a≤9.【一题多解】选C.分离变量可得a<-2x2+9x=-2(x-)2+,x∈(2,3)恒成立.记g(x)=-2x2+9x,x∈(2,3),由g(x)>9可知a≤9.4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.【解析】因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,所以1>->,即1>-1->,所以解得-2<<-.5.(13分)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求a的取值范围.(2)若函数f(x)的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.【解析】(1)因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+2ax+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0恒成立.当a≠0时,则有解得0<a≤1,综上可知,a的取值范围是[0,1].(2)因为f(x)==,a>0,所以当x=-1时,f(x)min=,由题意得,=,所以a=,所以不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<0.解得-<x<,所以不等式的解集为.。

第03节 三角恒等变换【考纲解读】1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 对点练习：【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于( )A. 7B. 17C. 1D. 0 【答案】A本题选择A 选项.2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2对点练习：【2017浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】（Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【考点深度剖析】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】002cos10sin20sin70-的值是（ ）A.12【答案】D【解析】故选D.【1-2】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且 ，C 点坐标为 .【1-3】已知：αππ∈⎛⎝⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______.【答案】6533-【解析】334,,cos sin 444545ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=∴-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭112sin 413πβ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭,15cos 413πβ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭()3541233cos cos 4451351365ππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+--=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．【触类旁通】【变式一】已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （Ⅰ）求sin()αβ-的值； （Ⅱ）求cos β的值．∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- =43(55⨯． 【变式二】已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数)(x f )的解析式，并写出)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）ABC ∆的内角分别是A,B,C.若1)(=A f ,4cos 5B =,求C sin 的值.【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1， 由周期,22163221ωπππππ==∴=-=T ，T 2=∴ω. 当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=．)62sin()(π+=∴x x f .由图象可得()f x 的单调减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ.考点2 二倍角公式的运用公式的应用 【 2-1】【2017浙江ZDB 联盟一模】已知1sin 3α=， 0απ<<，则tan α=__________， sincos22αα+=__________． 【答案】4±【解析】因为1sin 3α=， 0απ<<，所以cos tan αα=== 因为0απ<<，所以022απ<<，因此sincos22αα+=== . 【2-2】【江苏省淮安市五模】已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos2sin()4απα-的值为 ．【答案】【2-3】已知π<<x 0，且2572sin -=x ，则⎪⎭⎫⎝⎛-x 4sin π的值为__________. 【答案】45-【解析】因为，所以22x ππ<<，2x ππ<<，sin 0422x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，又因为22116sin (1sin 2)422225x x x x π⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4sin 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【触类旁通】 【变式一】已知sin2cos 022x x-=，（1）求tan x 的值； （2）求cos2sin xx xπ⎛⎫+ ⎪4⎝⎭的值．【变式二】已知2cos 2sin (2sin 1)5ααα+-=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+的值为（ ）A ．17 B ．13 C ．27 D ．23【答案】A【解析】由二倍角公式得52sin sin 22cos 2=-+ααα，整理得52sin sin 2sin 2122=-+-ααα， 因此53sin =α，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，54cos -=∴α，43cos sin tan -==ααα，4tan tan 14tantan 4tan παπαπα-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 71=，故答案为A ． 考点3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.【解析】∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．∴原式成立．【3-2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos (α＋β).【3-3】已知40πα<<，40πβ<<，且)2sin(sin 3βαβ+=，2tan 12tan42αα-=.证明：4πβα=+.【解析】 )2sin(sin 3βαβ+=，即)2sin()sin(3βααβα+=-+，∴αβααβααβααβαsin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(3+++=+++， ∴αβααβαsin )cos(4cos )sin(2+=+， ∴αβαtan 2)tan(=+，又 2tan 12tan42αα-=，∴212tan 1tan 2tan 2=-=ααα， ∴1tan 2)tan(==+αβα， 40πα<<，40πβ<<，∴4πβα=+.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2()2(βαβα+-+.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】【变式一】求证：ααπαcos 1)24tan(1tan =++. 【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++故原式得证． 【变式二】已知20π<<x ，证明：)2sin 1lg()]4cos(2lg()2sin21tan lg(cos 2x x x x x +=-+-+π. 【解析】左边)]4cos(2lg[)2sin 21cos sin lg(cos 2π-+-=⋅=x x x x x )4sin sin 24cos cos 2lg()cos lg(sin ππx x x x +++=)cos lg(sin 2x x += )2sin 1lg(x += =右边. 故原命题成立.考点4三角函数的综合应用【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________．【答案】[，2]【4-2】【2017浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）∴函数的最小正周期是（2）∴，，∴，又.∴∴，∴.【4-3】【2018江苏海安上学期第一次测试】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】(1) ;(2) 当时，取到最大值3；当时，取到最小值..【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：解：（1）因为，，，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.【领悟技法】 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为)sin(ϕω+=x A y 的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质． 【触类旁通】【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数()2sin(0,0)2f x πωϕ=><<的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y 轴交于点(F ,与x 轴交于点B,C, 且MBC 的面积为π．(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若45f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求cos2α的值. 【答案】( Ⅰ) ()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(Ⅱ)35. 【解析】试题分析：试题解析： ( Ⅰ)因为,所以周期，，由,得,因为,所以,所以；(Ⅱ)由,得,所以.【易错试题常警惕】易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值． 易错分析：不注意挖隐含条件，角 的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误． 正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。