高中数学竞赛辅导培优六：方程的解与函数的零点

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

函数的零点与方程的解教学讲义必备知识·探新知基础知识知识点1 函数的零点(1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等．知识点2 函数的零点存在定理(1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0；(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．(2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0.基础自测1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．23B ．(32，0)C ．32D ．－32[解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是32.2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] f (1)＝－1＋log 21＝－1，f (2)＝log 22＝1，∴f (1)·f (2)<0，故选B ． 3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1D ．a ≥1[解析] 函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋a ＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a ＜0，得a ＞1.4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有__2__个零点．[解析] 令ax 2＋bx ＋c ＝0，Δ＝b 2－4ac ，∵a ·c <0，∴b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等实根，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ·c <0)有2个零点． 5．求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－5x －6； (2)f (x )＝x 3－7x ＋6； (3)f (x )＝(12)x －4；(4)f (x )＝ln x －1.[解析] (1)令x 2－5x －6＝0，得(x －6)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝6，∴函数f (x )的零点为－1,6. (2)令x 3－7x ＋6＝0，得x 3－x －6x ＋6＝0， ∴x (x ＋1)(x －1)－6(x －1)＝0，∴(x －1)(x 2＋x －6)＝0，∴(x －1)(x ＋3)(x －2)＝0， ∴x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数f (x )的零点为－3,1,2.(3)令(12)x －4＝0，得(12)x ＝4，∴x ＝－2.∴函数f (x )的零点为－2.(4)令ln x －1＝0，得ln x ＝1，∴x ＝e. ∴函数f (x )的零点为e.关键能力·攻重难题型探究题型一求函数的零点(方程的根)例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝(x－1)(x2－4x＋3)x－3；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．[分析]求函数的零点，就是求相应方程的实数根．[解析](1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.(2)令(x－1)(x2－4x＋3)x－3＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.[归纳提升] 1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【对点练习】❶(1)求下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为__3，－1__；②g(x)＝lg x＋2零点为__1100__.(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__－6__.[解析](1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，②由lg x ＋2＝0得，lg x ＝－2，∴x ＝1100.故g (x )的零点为1100.(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0f (4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －4＝016a ＋4b －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，∴f (1)＝a ＋b －4＝－6. 题型二 判断零点所在的区间例2 (2020·江西宜丰中学高一期末测试)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间． [解析] f (1)＝1－9＝－8<0， f (2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0， f (3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． [归纳提升] 判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 【对点练习】❷ 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( C ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] f (－2)＝e －2－2－2＝e －2－4＝1e 2－4<0，f (－1)＝e －1－1－2＝1e －3<0，f (0)＝e 0－2＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，∴函数f (x )的零点所在的一个区间为(0,1)． 题型三 函数零点个数的判断例3 函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则( C ) A ．x 1<2,2<x 2<5B ．x 1>2且x 2>5C ．x 1<2，x 2>5D ．2<x 1<5，x 2>5[分析] f (x )的图象是由g (x )＝(x －2)(x －5)的图象向下平移1个单位得到的，由g (x )的零点可判断x 1，x 2的取值范围．[解析] 作出函数g (x )＝(x －2)(x －5)的图象如图，将y ＝g (x )的图象向下平移1个单位即得y ＝f (x )的图象，由图象易知x 1<2，x 2>5，故选C ．[归纳提升] 判断函数y ＝f (x )的零点的个数的方法(1)解方程法，方程f (x )＝0的实数根的个数就是函数f (x )的零点的个数． (2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与x 轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y ＝h (x )－g (x )的函数，可依据函数h (x )与g (x )的图象的交点的个数来判断函数y ＝h (x )－g (x )的零点的个数．【对点练习】❸ 若x 0是方程(12)x ＝x 13 的根，则x 0属于区间( C )A ．(23，1)B ．(12，23)C ．(13，12)D ．(0，13)[解析] 构造函数f (x )＝(12)x －x 13 ，则函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，又f (0)＝(12)0－0＝1>0，f (13)＝(12)13 －(13)13 >0，f (12)＝(12)12 －(12)13 <0，f (23)＝(12)23 －(23)13 <0，f (1)＝12－1＝－12<0，结合选项，因为f (13)·f (12)<0， 故函数f (x )的零点所在的区间为(13，12)，即方程(12)x ＝x 13 的根x 0属于区间(13，12)．题型四 一元二次方程根的分布问题例4 (2020·天津市河西区高一期末测试)已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求实数m 的值；(2)若f (x )有两个零点，且均比－1大，求m 的取值范围．[分析] (1)f (x )有且只有一个零点，即方程x 2＋2mx ＋3m ＋4＝0有两个相等实数根； (2)f (x )有两个零点，且均比－1大，即方程x 2＋2mx ＋3m ＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．[解析] (1)由题意可知方程x 2＋2mx ＋3m ＋4＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0， ∴m ＝－1或m ＝4.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0－m >－1f (－1)＝1＋m ＋4>0，解得－5<m <－1.∴实数m 的取值范围是(－5，－1)．[归纳提升] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．【对点练习】❹ 若方程kx 2－(2k ＋1)x －3＝0的两根x 1，x 2满足－1<x 1<1<x 2<3，求实数k 的取值范围．[解析] 函数f (x )＝kx 2－(2k ＋1)x －3的图象是连续曲线，则由题意可知f (－1)·f (1)<0且f (1)·f (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(3k －2)(－k －4)<0，(－k －4)(3k －6)<0，解得k <－4或k >2.故实数k 的取值范围是{k |k <－4或k >2}．课堂检测·固双基1．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．2．(2019·广东省肇庆市模拟)“m <1”是“函数f (x )＝x 2＋x ＋m 有零点”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋x ＋m 有零点，∴方程x 2＋x ＋m ＝0有解，则Δ＝1－4m ≥0，解得m ≤14，由于m ≤14⇒m <1，m <1m ≤14，∴“m <1”是“函数f (x )＝x 2＋x ＋m 有零点”的必要不充分条件．3．(2020·天津和平区高一期中测试)函数f (x )＝2x ＋x 的零点所在的一个区间是( C ) A ．(1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(－2，－1)[解析] f (1)＝2＋1＝3>0， f (2)＝4＋2＝6>0， f (0)＝20＝1>0， f (－1)＝12－1＝－12<0，∴f (－1)·f (0)<0，故选C ．4．设函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在闭区间[a ，b ]内有__1__个根．[解析] 由f (a )·f (b )<0知f (x )＝0在[a ，b ]上至少有一个实数根，又f (x )在[a ，b ]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．5．函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点． [解析] 由题意知方程x 2－ax －b ＝0的两个根是2和3， ∴a ＝5，b ＝－6， ∴g (x )＝－6x 2－5x －1， 由－6x 2－5x －1＝0， 解得x 1＝－12，x 2＝－13.∴函数g (x )的零点是－12，－13.。

函数的零点与方程的解的关系在数学中，函数的零点和方程的解是两个非常重要的概念。

函数的零点指的是函数取值为零的点，而方程的解则是使方程等号成立的数值。

在这篇文章中，我们将探讨函数的零点和方程的解之间的关系。

1. 函数的零点函数的零点是指函数在自变量取何值时，函数的取值等于零。

数学上常用符号表示函数的零点，如对于函数f(x)，其零点通常表示为f(x) = 0。

求解函数的零点可以通过方程求解的方法来实现。

2. 方程的解方程的解是指使方程成立的数值。

方程是一个数学表达式，通常使用等号将两个表达式连接起来。

方程的解可以是实数或复数，取决于方程的类型和要求。

3. 函数的零点与方程的解的联系函数的零点与方程的解之间存在紧密的联系。

一方面，我们可以将函数的零点转化为方程，通过求解方程来确定函数的零点。

另一方面，方程的解也可以代入函数中，判断是否为函数的零点。

4. 使用函数的零点求解方程当我们要求解一个方程时，有时候可以将方程转化为函数的形式，并找到该函数的零点来得到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以将其转化为函数f(x) = x^2 - 4，然后求解函数f(x) = 0的零点来得到方程的解。

5. 函数的零点与方程的解的示例让我们以一个简单的例子来说明函数的零点与方程的解之间的关系。

考虑方程x^2 - 9 = 0，我们将其转化为函数f(x) = x^2 - 9，然后求解函数f(x) = 0的零点。

首先，我们将函数的表达式设置为零：x^2 - 9 = 0。

然后解这个方程，我们可以得到x = 3或x = -3。

这两个数值就是方程的解，也是函数f(x) = x^2 - 9的零点。

6. 应用举例函数的零点和方程的解在许多领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，函数的零点可以表示系统的平衡点，而方程的解可以用来描述物理现象。

另一个例子是金融领域中的利息计算。

我们可以将某个金融问题建模为一个函数，并通过求解函数的零点来得到方程的解，从而计算出利率或其他相关的数值。

第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解教学设计一、教学目标1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 二、教学重难点 1.教学重点理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法. 掌握函数零点存在定理并能应用. 2.教学难点数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用. 函数零点存在定理的理解. 三、教学过程 （一）新课导入观察下列三组方程与函数：方程函数2230x x --=223y x x =-- 2210x x -+= 221y x x =-+ 22+30x x -=22+3y x x =-大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x 轴的交点之间的关系.教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230x x --=的根为-1和3，函数223y x x =--的图像与x 轴交于点（-1,0），（3,0）.学生思考回答下面两组关系.学生：2210x x -+=有两个相等的实根为1，函数221y x x =-+的图像与x 轴有唯一的交点（1,0）.22+30x x -=没有实根，函数22+3y x x =-的图像与x 轴无交点.教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容. 探究一：零点的概念教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.学生思考并归纳：零点的概念：对于一般函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点. 提问：考察函数（1）lg y x =；（2）2log (1)y x =+；（3）2x y =；（4）22xy =-的零点.学生思考回答：（1）零点是x =1；（2）零点是x =0；（3）没有零点；（4）零点是x =1. 教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图像与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点. 探究二：二次函数零点的判定提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.对于二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式2Δ4b ac =-.师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?学生回答，教师点评.生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.（2）零点即函数图像与x 轴交点的横坐标.探究三：函数零点存在定理提问：探究函数245y x x =+-的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?教师引导学生思考解决.师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.生：零点-5(6,4)∈--，零点1(0,2)∈，且(6)(4)0,(0)(2)0f f f f --<⋅<. 师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢? 观察下列函数的零点及零点所在区间： （1）()2 1.f x x =- （2）2()log (1)f x x =-.生：（1）函数()2 1.f x x =-的零点为12且(0)(1)0f f <，所以零点所在区间为（0,1）； （2）函数2()log (1)f x x =-的零点为2，2(1,3)∈且(1)(3)0f f <，所以零点所在区间为（1,3）.教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的解.师生合作分析，并剖析定理中的关键词： （1）连续不断；（2）f （a ）f （b ）<0.教师讲解：由于函数图象连续不断，若f （a ）>0，f （b ）<0，则函数y = f （x ）的图象将从x 轴上方变化到下方，这样必通过x 轴，即与x 轴有交点.对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点；（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号；（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.例题：函数2()2f x x ax =-+在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a 得取值范围.学生求解：（1）()f x 在（0,3）内有两个零点，则(0)0(3)0Δ0032f f a >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩622a ⇒-<<-；（2）()f x 在（0,3）内有一个零点，则(0)0(3)0f f >⎧⎨<⎩113a ⇒>.通过实例分析，进一步理解定理. （三）课堂练习例1.求函数3222y x x x =--+的零点，并画出他们的图像.解：因为3222x x x --+()22(2)(2)(2)1(2)(1)(1)x x x x x x x x =---=--=--+，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x 轴分为4个区间：(,1],[1,1],[1,2],[2,)∞∞---+. 在这4个区间内，取x 得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y…-4.381.8821.13-0.632.63…在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?2(1)350x x -++=；(2)2(2)3x x -=-；2(3)44x x =-； 22(4)5235x x x +=+.解：（1）令2()35f x x x =-++，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程2350x x -++=有两个不相等的实数根.（2）2(2)3x x -=-可以化为22430x x -+=，令2()243f x x x =-+，作出函数()f x 的图像，它与x 轴没有交点，所以方程22430x x -+=没有实数根.（3）244x x =-可化为2440x x -+=，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有一个交点，所以方程244x x =-有两个相等的实数根.（4）225235x x x +=+可以化为22250x x +-=，令2()225f x x x =+-做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程22250x x +-=有两个不相等的实数根. （四）小结作业 小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想. 四、板书设计1.零点的概念、求法以及判定.2.函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.。

掌握高考数学中的函数方程与零点问题技巧有哪些要点函数方程与零点问题是高考数学中的一个重要考点，对于学生来说，掌握相关技巧和要点是提高数学成绩的关键。

以下是关于高考数学中函数方程与零点问题技巧的要点总结：1. 正确理解函数方程的概念：函数方程是指含有未知函数的等式。

在解函数方程时，首先需要准确理解函数的定义、性质和相关概念，如定义域、值域、单调性等。

只有建立起对函数的准确理解，才能更好地解决函数方程与零点问题。

2. 利用函数图像来分析问题：在高考数学中，经常需要通过函数图像来分析问题。

掌握函数图像的性质和形状对于解决函数方程与零点问题非常重要。

可以通过绘制函数图像、观察图像的对称性、变化趋势等来加深对函数的理解，并进一步解决函数方程与零点问题。

3. 运用函数性质求解方程：函数的性质可以帮助我们求解函数方程。

例如，奇偶性和周期性可以用来简化方程式。

利用函数的奇偶性，可以缩小方程的解的范围，快速找到部分或全部解。

利用函数的周期性，可以通过求解一个周期内的方程来得到所有解。

4. 使用二次函数相关技巧：高考数学中的二次函数常常涉及函数方程与零点问题的解答。

对于二次函数，要掌握如何求解方程和判别式的应用。

通过化简方程、配方法解方程、分析判别式的值等方法，可以快速求解二次函数的零点和方程。

5. 联立方程求解问题：在解决函数方程与零点问题时，有时需要利用联立方程的方法。

对于多元函数方程，可以通过联立相关方程来求解问题。

通过合理构建方程组、利用消元法或其他解法，可以快速求得多元函数方程的解。

6. 注意边界条件与特殊情况：在解决函数方程与零点问题时，需要特别注意边界条件和特殊情况。

边界条件是指函数的定义域和值域的限制，对于边界上的点，需要进行特殊考虑。

另外，一些特殊情况可能出现在解函数方程时，对于这些情况需要通过分析、代入等方法进行判断。

7. 多样化解题思路和方法：在解决函数方程与零点问题时，要灵活运用不同的解题思路和方法。

4.5.1函数的零点与方程的解（基础知识+基本题型）知识点一 函数的零点1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.2.函数零点与方程的根之间的关系方程()0f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.由此可知，求()0f x =的实数根，就是确定函数()y f x =的零点，一般地，对于不能用公式求根的方程()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根. 提示：（1）并不是所有的函数都有零点，如函数1()f x x=就没有零点. （2）方程不同实数根的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数⇔函数零点的个数.（3）函数的零点不是点：我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点，因此，函数的零点不是点，是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.知识点二 函数零点存在性定理1. 零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也是方程()0f x =的根.2. 零点存在性定理的适用条件（1）判断零点是否存在是存在闭区间[,]a b 上进行的.（2）函数()y f x =在[,]a b 上的图象应是连续无间断的一条曲线.（3）()()0f a f b ⋅<是关键条件，即两端点的函数值必须异号.（4）如果函数()y f x =在两端点处的函数值(),()f a f b 异号，则函数()y f x =的图象至少穿过x 轴一次，即方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个实根c .3. 零点存在性定理的使用范围（1）此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数。

函数的零点与方程的解函数的零点和方程的解是数学中重要的概念，它们在解决数学问题和应用实践中发挥着重要的作用。

本文将介绍函数的零点和方程的解的概念及其应用。

一、函数的零点函数的零点是指函数在实数域中使得函数值为零的自变量的取值。

通常用x表示函数的自变量，用f(x)表示函数的值。

如果存在一个实数x，使得f(x)=0，则称x为函数f(x)的零点。

函数的零点在数学中有广泛的应用。

首先，在代数方程的求解中，可以将方程转化为函数，通过求函数的零点来求解方程。

其次，在数值计算中，求解非线性方程的数值方法也是通过寻找函数的零点。

此外，零点还与函数的图像有密切的关系，在函数的图像中，零点对应于函数与x轴相交的点。

二、方程的解方程的解是指使得方程成立的未知数的取值。

常见的方程类型有线性方程、二次方程、三角方程等。

解方程是数学中基本的运算之一，通过求解方程可以得到方程的解集。

解方程的方法有很多种，比如代入法、消元法、因式分解法等。

其中，代入法是最常用的方法之一，通过代入一个值，验证是否满足方程，从而求解方程的解。

在实际应用中，方程的解也有着广泛的应用。

例如，经济学中的供需方程可以通过求解方程的解来确定市场均衡点；物理学中，方程解能够描述物体的运动状态等。

三、函数的零点与方程的解的关系函数的零点与方程的解有着紧密的联系。

如果一个函数的零点对应于一个方程的解，那么这个方程的解也是这个函数的零点。

通过函数的图像可以更直观地理解函数的零点与方程的解之间的关系。

当函数与x轴相交时，函数的值为零，此时自变量的取值对应于方程的解。

因此，寻找函数的零点就相当于求解方程的解。

四、应用实例假设有一个函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们希望求出函数的零点和方程的解。

首先，令f(x) = 0，得到方程x^2 - 5x + 6 = 0。

然后，可以使用因式分解法或求根公式来求解该方程。

通过求解方程，得到x = 2或x = 3，这两个值即为函数f(x)的零点，也是方程的解。