晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷(文科)

2015~2016年度高三阶段性质量检测数学试卷（文科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A= {x |x<-3或x>4}，B={x|x ≥m}.若A ∩B={x|x>4}，则实数m 的的取值 范围是 A ．（-4,3) B ．[-3,4] C ．(-3,4) D ．(一∞，4] 2．设向量a=(6，x)，b=(2，-2)，且(a-b)⊥lb ，则x 的值是A ．4B ．-4C ． 2D ．-2 3．已知在等差数列{ a n ）中，a 1=-1，公差d=2，a n =15，则n 的值为A.7 B ．8 C ． 9 D ．10 4．若a=log 32,b=log 23,c=log 413，则下列结论正确的是 A ．a<c<b B ．c<b<a C ．10a< b 13（） D. lg a<b 12（） 5．已知2cos()3(0),cos()(12cos )022m m πθπθθ-=<+-<且，则θ是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角6．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a, b ，c ，若c=2a, bsinB-asin A=12asin C,则cos B 等于A ．34B ．23C ．13D ．127. 已知数列a 1，32121,,,n n a a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n }中的项是A ．16B ．128C ．32D ．64 8．已知函数f (x) =2sinxsin(x+3π+ϕ)是奇函数，其中ϕ∈(0，π)，则函数g (x)=cos(2x-ϕ) 的图象A ．关于点（12π，0）对称B 可由函数f (x)的图象向右平移3π个单位得到C 可由函数f (x)的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数f (x)的图象向左平移12π个单位得到9．已知命题:p ∀x ∈[-1，2]，函数f (x) =x 2-x 的值大于0．若pVq 是真命题，则命题q可以是A ．x ∃x ∈（一1，1），使得cos<12B ．“一3<m<0”是“函数f (x) =x+log a x+m 在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C ． x=6π曲线fsin2x+cos2x 的一条对称轴D ·若x ∈(0，2)，则在曲线f (x)=e x(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于一1e10．设函数()11,1121,1x x x f x x ⎧+-≥⎪+⎪=⎨⎪<⎪⎩，则不等式2(6)()f x f x ->的解集为A ．(-3，1)B ．(-3，2)C ．（一2） D ．（-2）11．已知非零向量a ，b 的夹角为钝角，|b|=2．当t= 一2时，|b 一ta|（t ∈R)取最小值为詈，则a ·(b-a)等于A ．一4825B ． -2C ．一115D ．9512．若函数f (x) =ln x+（x 一b)2(b ∈R)在区间[12，2]上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是A （一∞，32）B （一∞，94） C （一∞，3） D ．）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上．13．若tan x= 一3，则2213cos sin cos cos xx x x-=+ ． 14. 在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||3||,BO CO AO xAB y AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r当时，则x-y= 。

2015届高三年级第三次四校联考数学（文）试题(考试时间120分钟 满分150分)一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为R ，集合A={}4|2<∈x R x ，B={}41|≤<-x x ，则 A =)(B C R A.()2,1- B.()1,2-- C.(]1,2-- D.()2,2- 2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A.i B.i +1 C.i - D.i -13.若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q = A.1 B.2 C.2- D.44.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为A .x y 23±= B .x y 3±= C .x y 21±= D .x y ±=5.已知命题:p ,x R ∃∈使23x x>；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π38B.π316 C.π8 D.π364 7.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为 A .41 B .43C .94D .169 8.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B . 2 C .12D .1-9.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是10.在半径为cm 10的球面上有C B A ,,三点，如果38=AB ，060=∠ACB ，则球心O 到平面ABC 的距离为A .cm 2B .cm 4C .cm 6D .cm 8 11.已知函数)2||,0)(2cos()(πϕωπϕω<>-+=x x f 的部分图象如图所示，则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππ C .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,62ππ D .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,32ππ 12.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量),1(x a =，)2,1(-=x b ，若b a //，则=x .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则1-x y 的最小值是 .15.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量)2,1(1=+n n P P ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .ABDC16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos42BA -22-=. （1）求角C 的大小； （2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊， 记为x ，已知甲、乙两组的平均成绩相同. （1）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率. 19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所 在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ． （1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE的距离．0 1 甲 乙 9 9 1 18 9 x 2（18题图）（19题图）20. (本小题满分12分)已知点)0,1(A ,点P 是圆C ：22(1)8x y ++=上的任意一点,，线段PA 的垂直 平分线与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；（2）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围． 21. (本小题满分12分)设函数xkx x f +=ln )(，R k ∈. (1) 若曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直，求)(x f 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意021>>x x ，2121)()(x x x f x f -<-恒成立，求k 的取值范围. 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =. (1)求证:△APM ∽△ABP ;(2)求证:四边形PMCD 是平行四边形.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()f x =|2||2|x x ++-，R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M . （1）求M ；（22015四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC{}4|2<∈x R x （22题图）二填空题 13. 2或1- 14. 1 15. 2n 16. 210<<b 三解答题17.解：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ………………2分化简得 =+)cos(B A 22-, ………………………4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π………………………6分 （２）由已知及正弦定理得4=b ………………………8分又 S ΔABC =8，C=4π ∴ 128sin =C ab ， 得24=a ………………………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . ………………………12分18. （1） ，甲104111199=+++=x ，乙104012198=++++=x x ∴1=x (2)分 ， 又 1]10-111011()910()910[(4122222=+-+-+-=）（）甲S 25]10-121011()910()810[(4122222=+-+-+-=）（）乙S ………………4分 ∴22乙甲S S <∴甲组成绩比乙组稳定。

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．C．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．164．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．C．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．解答：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．点评：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．16考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．解答：解：由题意，a5=log8=3，∵{a n}是等差数列，∴a4+a6=2a5=6，故选：A．点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴（k+2）﹣3k=0，解得：k=1，∴•=1×2+1×2=4，故选D点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15考点：循环结构；选择结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．解答：解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）A．B．C．1 D．2考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．解答：解：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）∴AF的方程是y=（x﹣1），设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，利用韦达定理x3x1=1，∴x3=，∴y3=k0（x3﹣1）=﹣，即C（，﹣），同理D（，﹣），∴k2==2k1，∴=．故选：B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：先表示出和，和，再表示出，，从而表示出，求出其范围，从而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的范围，进而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值．解答：解：∵x1＜x2，∴，，又∵x3＜x4，∴，，∴，；∴；又，∴；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈故选：B．点评：本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴a C51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）考点：回归分析．专题：计算题；概率与统计．分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的定义域及其求法．专题：导数的综合应用．分析：设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．解答：解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，∴g（x）＜g（），x∈（0，π），或g（x）＞g（﹣），x∈（﹣π，0），∴，或．故x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．故答案为：（﹣，0）∪（，π）点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式求得数列的通项公式，得到数列的奇数项和偶数项，然后代入T2014，分组后利用等比数列的求和公式得答案．解答：解：由S n=（﹣1）n a n+，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣．n为偶数时，a n﹣1=；n为奇数时，2a n+a n﹣1=，∴a2=a4=…=a2014=0．∴T2014=（﹣a1+a2﹣a3+…+a2014）+（++…+）=﹣（a1+a3+…+a2013）+（++…+）=﹣（）+（++…+）=﹣+=．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的前n项和，训练了数列的分组求和，是中档题．三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．解答：解：（1）由正弦定理得：===2，即c=2a=4，∵cos（A+B﹣C）=cos（π﹣2C）=﹣cos2C=﹣2cos2C+1=，∴cosC=﹣；（2）由余弦定理得：cosC=，把a=2，c=4，cosC=﹣代入得：b=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵AC⊂平面PAC，∴面PAC⊥面PBC（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．∴，，．由，得，由==，∴，解得m=．则，．设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，∴=（1，，1）．取平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴===．∴．∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示对应的概率，求出Y的分布列，计算“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率；（2）分析X的可能取值，求出X的分布列与数学期望．解答：解：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示概率，得Y的分布列如下；Y 2 3 4 6PA表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件A对应两种情形：①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟；②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟；∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）=×+×=；（2）X的取值为0、1、2，X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟，∴P（X=0）=P（Y＞4）=；X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟，∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）=×++=；X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟，∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=×=；∴X的数学期望是E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是得出随机变量的可能取值，把随机变量与事件结合起来，是中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调区间．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出函数g（x）的单调性极值与最值．因此函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．由于在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，可得：函数f（x）在（0，e]上不单调，于是．解得①，此时，当x变化时，可得函数f（x）的单调性极值与最值．由于x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由题意当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．由f′（x）＜0，解得0＜x＜2；由f′（x）＞0，解得2＜x．∴函数f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；单调递减区间为（0，2）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当1＜x时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．∵g（0）=0，g（1）=1，1＞g（e）=e•e1﹣e=e2﹣e＞0，∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．∵在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，∴函数f（x）在（0，e]上不单调，∴．∴①，此时，当x变化时，列表如下：xf′（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值单调递增∵x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由于对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．令h（a）=a﹣2，，h′（a）=．令h′（a）=0，解得a=0．当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）为增函数；当a∈时，h′（a）＜0，函数h（a）为减函数．∴当a=0时，函数h（a）取得极大值即最大值，h（0）=0．即②式在恒成立．由③式解得a≤，④．由①④可得：当a∈时，对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠AC D=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年东北三省三校第一次高考模拟考试文科数学参考答案13．4030 14．-6 15．-16 16．②③④三、解答题 17．解：（1）设ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，则由已知：1sin 22bc θ=，0cos 4bc θ<≤， ……4分可得，tan 1θ≥，所以：[,)42ππθ∈ ……6分（2）2()2sin ()[1cos(2)]42f ππθθθθθ=+=-+(1sin 2)sin 212sin(2)13πθθθθθ=+=+=-+ ……8分∵[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈，∴π22sin(2)133θ≤-+≤即当512πθ=时，max ()3f θ=；当4πθ=时，min ()2f θ= 所以：函数()f θ的取值范围是[2,3] ……12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）150.00350100x x⨯=∴= 15401010035y y +++=∴= ……2分 400.00810050=⨯ 350.00710050=⨯ 100.00210050=⨯DCBAFE……5分（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分 其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是7()10P A =. ……12分 19．（本小题满分12分）（1）证明： ABCD 是菱形，//BC AD ∴. 又⊄BC 平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，//BC ∴平面ADE . ……2分 又BDEF 是正方形，//BF DE ∴.BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，//BF ∴平面ADE . ……4分 BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF BC BF B =，∴平面BCF //平面AED .由于CF ⊂平面BCF ，知//CF 平面AED . ……6分 （2）解：连接AC ，记AC BD O =. ABCD 是菱形，AC ⊥BD ，且AO = BO ．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥.DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF-的高. ……9分由ABCD 是菱形，60BCD ∠=，则ABD ∆为等边三角形，由AE ，则（3/g m μ）1AD DE ==，2AO =，1BDEF S =，136BDEF BDEF V S AO =⋅=，23BDEF V V ==. ……12分 20．（本小题满分12分）解：（1）设动圆圆心坐标为(,)x y ，半径为r ，由题可知2222222(2)42x y r y x x r⎧-+=⎪⇒=⎨+=⎪⎩； ∴动圆圆心的轨迹方程为24y x = ……4分（2）设直线1l 斜率为k ,则12:2(1);:2(1).l y k x l y k x -=--=-- 点P （1,2）在抛物线24y x =上22448402(1)y xky y k y k x ⎧=∴⇒-+-=⎨-=-⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y ,0>∆恒成立，即(),012>-k 有1≠k118442,2,,P P kky y y y kk--∴==∴=代入直线方程可得212(2)k x k -= ……6分同理可得 2222(2)42,k kx y k k++==- ……7分 212221242421(2)(2)ABk ky y k k k k k x x k +----===-+--- ……9分 不妨设:AB l y x b =-+. 因为直线AB 与圆C=解得3b =或1, 当3b =时, 直线AB 过点P ,舍当1b =时, 由2216104y x x x y x=-+⎧⇒-+=⎨=⎩；32,||8AB ∆===P 到直线AB 的距离为d =PAB 的面积为 ……12分21．解：（1）由已知：()ln 12(0)f x x ax x '=++>，切点(1,)P a ……1分 切线方程：(21)(1)y a a x -=+-，把(0,2)-代入得：a = 1 ……3分 （2）（I ）依题意：()0f x '=有两个不等实根设()ln 21g x x ax =++，则：1()2(0)g x a x x'=+> ①当0a ≥时：()0g x '>，所以()g x 是增函数，不符合题意； ……5分 ②当0a <时：由()0g x '=得：102x a=->依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<< 综上所求：102a -<<，得证； ……8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当0>x 且0→x 时-∞→x ln ，112→+ax ，∴当0>x 且0→x 时-∞→)(x g)(x g ∴在1(0,)2a-上必有一个零点． 当a x 21->时，设x x x h -=ln )(，xx x x x h 22211)(/-=-=4>∴x 时，024ln )4()(<-=<h x h 即x x <ln 4>∴x 时，1221ln )(++<++=ax x ax x x g设x t =，12122++=++t at ax x 由0a <，+∞→x 时，0122<++t at0)(<∴x g )(x g ∴在1(,)2a-+∞上有一个零点 综上，函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．方法二2ln )(ax x x x f +=有两个极值点,即/()ln 12(0)f x x ax x =++>有两个零点,即xx a 1ln 2+=-有两不同实根. 设x x x h 1ln )(+=,2/ln )(x xx h -=,当0)(/>x h 时，10<<x ；当0)(/<x h 时，1>x当1=x 时)(x h 有极大值也是最大值为1)1(=f 12<-∴a ，2->a 0)1(=eh ，故)(x h 在()1,0有一个零点当1>x 时，01ln 0ln >+∴>x x x 且011ln lim lim ==++∞→+∞→xx x x x 1>∴x 时1)1()(0=<<h x h0,02<∴>-∴a a综上函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．② 证明：由①知:/(),()f x f x 变化如下:由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,又/(1)(1)210f g a ==+> ,故211x x << (10)分所以：21)1()(,)1()(21->=><=<a f x f a f x f 即1()0f x <，21()2f x >-． ……12分22．选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连结OE ，∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点，∴ OD 平行且等于12AC ，∴∠A =∠BOD ， ∠AEO = ∠EOD ， ∵OA = OE ，∴∠A = ∠AEO ，∴∠BOD = ∠EOD ……3分 在ΔEOD 和ΔBOD 中，∵OE = OB ，∠BOD= ∠EOD ，OD = OD ， ∴ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴∠OED = ∠OBD = 90°，即OE ⊥BD∵是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线 ……5分 （II ）延长DO 交圆O 于点F ∵ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴DE = DB ，∵点D 是BC 的中点，∴BC = 2DB ， ∵DE 、DB 是圆O 的切线，∴DE = DB ，∴DE ·BC = DE ·2DB = 2DE 2 ……7分 ∵AC = 2OD ，AB = 2OF ∴DM · AC + DM · AB = DM · (AC + AB ) = DM · (2OD + 2OF ) = 2DM · DF ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线， ∴DE 2 = DM · DF ，∴DE · BC = DM · AC + DM · AB ……10分 23．选修4-4： 坐标系与参数方程FC D MO BEA解：（1）由 2cos ρθ=，得：22cos ρρθ=，∴ 222x y x +=，即22(1)1x y -+=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= ……3分由12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x m +，即0x m -=， ∴直线l的普通方程为0x m -= ……5分（2）将12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)1x y -+=，得：221112m t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：221)20t m t m m -+-=，由0∆>，即223(1)4(2)0m m m --->，解得：-1 < m < 3设t 1、t 2是上述方程的两实根，则121)t t m +=-，2122t t m m =- ……8分 又直线l 过点(,0)P m ，由上式及t 的几何意义得212|||||||2|1PA PB t t m m ⋅==-=，解得：1m =或1m =，都符合-1 < m < 3， 因此实数m 的值为1或11 ……10分24．选修4-5： 不等式选讲解：（1）当x < -2时，()|21||2|1223f x x x x x x =--+=-++=-+，()0f x >，即30x -+>，解得3x <，又2x <-，∴2x <-； 当122x -≤≤时，()|21||2|12231f x x x x x x =--+=---=--， ()0f x >，即310x -->，解得13x <-，又122x -≤≤，∴123x -≤<-； 当12x >时，()|21||2|2123f x x x x x x =--+=---=-， ()0f x >，即30x ->，解得3x >，又12x >，∴3x >. ……3分 综上，不等式()0f x >的解集为1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. ……5分（2）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩ ∴min 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ……8分 ∵0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，∴2min 542()2m m f x ->=-， 整理得：24850m m --<，解得：1522m -<<，因此m 的取值范围是15(,)22-.……10分。

2015年高考考前质量监测试题（三）文科数学试题参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题（每小题5分）1. C2. D3. B4. A5. B6. B7. C8. C9. D10. A11. C12. D二、填空题（每小题5分）13. {1，2} 14. 15. [,1)16.三、解答题17．解：(Ⅰ)设数列的公比为（），由题意得，解得或(舍去)．⋯⋯3分由得，故．⋯⋯6分⋯⋯9分经检验，当时，也符合上式，因此时，都有.又，故．⋯⋯12分18．(Ⅰ) 解：取P A的中点M，由侧面为正三角形可得DM⊥P A，又可证AB⊥平面P AD，所以AB⊥DM，所以DM⊥平面P AB，即DM为点D到平面P AB的距离．⋯⋯4分在△P AD中，P A=PD=AD=2，则DM=．所以点D到平面P AB的距离为．⋯⋯6分(Ⅱ) 证明：取PD，PC的中点E，F，连接AE，BF，EF，则EFCD，又AB∥CD，AB=CD，∴EF∥AB，EF=AB,∴四边形ABFE为平行四边形，∴BF∥AE．由侧面为正三角形可得AE⊥PD；由∥，，，可得CD⊥平面P AD．⋯⋯10分所以CD⊥AE，所以AE⊥平面PCD．则BF⊥平面PCD，又平面PBC，所以平面⊥平面．⋯⋯12分19．解：(Ⅰ)经计算可知选甲、乙两题得分的平均数为，⋯⋯2分选甲、乙两题得分的方差分别为．因此选作乙题更加稳妥. ⋯⋯6分(Ⅱ) 根据题意，可得列联表如下：⋯⋯8分而犯错误概率不超过1%的临界值，，因此在犯错误概率不超过1%的情况下，认为该选做题得满分与选题无关. ⋯⋯12分20. 解：(Ⅰ)圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=4．由于以AB为一边的正方形内接于圆E，由平面几何知识知，圆心(a，2a)到直线x-y=0的距离为，∴=，∴a = ±2．⋯⋯6分(Ⅱ)假设E1，E2存在，则E1，E2均在直线l：y =2x上，过点P与l垂直的直线l'的方程为y= -(x-5)，则l与l'的交点为Q(1，2). ∵|PQ|=2．∴正三角形的边长为. ⋯⋯8分不妨设E1 (a，2a)，则| E1Q|= =，化简得：3a2－6a－1=0，∴Δ＞0，∴满足条件的圆E1，E2存在.又| E1P|=| E2P|=，∴圆P的半径为－2．⋯⋯12分21.解：（Ⅰ）由，得．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以的最小值为. ⋯⋯4分（Ⅱ）因为，所以．令，则．由（Ⅰ）知当时，即,所以.所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以在上的最小值. ⋯⋯8分（ⅰ）当时，，所以在内无零点；（ⅱ）当时，，所以在内有唯一的零点；（ⅲ）当时, , ,所以在区间内有唯一零点；由（Ⅰ）知当时,.综上所述：当时，在内无零点；当b=e时，在内有唯一的零点；当b>e时，在内有两个零点．⋯⋯12分选做题22．（Ⅰ）直线PC与圆O相切．⋯⋯1分证明：连接OC，OD，则∠OCE=∠ODE．∵CD是∠ACB的平分线，∴=，∴∠BOD=90°，即∠OED+∠ODE=90°．∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC=∠OED．∴∠OCE+∠PCE=90°，即∠OCP=90°，∴直线PC与圆O相切．⋯⋯5分（Ⅱ）解：因为AB=10，BC=6，∴AC=8．由CE为∠ACB的平分线，可得，BE=．⋯⋯10分23.解：(Ⅰ)曲线C的普通方程为+y2=1，其右焦点为（1，0），而直线l过该点，所以直线l与曲线C相交. ⋯⋯5分(Ⅱ)将代入椭圆方程+y2=1得3t2+2t-2=0，设A，B对应的参数为t1，t2,则t1t2=－，∴|P A|⋅|PB|=.由对称性可知，|PE|⋅|PF|＝ .∴|P A|⋅|PB|＋|PE|⋅|PF|＝．⋯⋯10分24．解：（Ⅰ）∵|x+3|+|x+2|≥|(x+3)－(x+2)|=1，当(x+3)(x+2)≤0，即-3≤x≤－2时取等号，∴a+b+c≤1，即a+b+c的取值范围是（-∞，1]．⋯⋯5分（Ⅱ）∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+ b²+c²=(a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca)≥1-2( a²+ b²+c²)，∴a²+ b²+c²≥．⋯⋯10分。

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，C U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{5} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{3，4，6}2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．164．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=10．（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．411．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．16．（5分）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B=cos2B+2cosB．（1）求角B的大小；（2）若a=2，S=2，求b的值．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．19．（12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数，令（m∈R）．（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．四、选修4-4:坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，C U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{5} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{3，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据B补集及全集U求出B，找出A与B的公共元素即可．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵集合A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}．故选B点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．16考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．解答：解：由题意，a5=log8=3，∵{a n}是等差数列，∴a4+a6=2a5=6，故选：A．点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴（k+2）﹣3k=0，解得：k=1，∴•=1×2+1×2=4，故选D点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15考点：循环结构；选择结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．点评：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．11．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（0，m），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△B FO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）考点：回归分析．专题：计算题；概率与统计．分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．解答：解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．16．（5分）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=4．考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0解答：解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．点评：本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求T n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B=cos2B+2cosB．（1）求角B的大小；（2）若a=2，S=2，求b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（1）根据二倍角的余弦公式，结合2cos2B=cos2B+2cosB可得，结合0＜B ＜π，可得；（2）根据正弦定理的面积公式，可得，结合a=2且算出c=4，最后在△ABC中，利用余弦定理得：b2=12，从而得出．解答：解：（1）∵2cos2B=cos2B+2cosB，cos2B=2cos2B﹣1∴2cosB﹣1，可得又∵0＜B＜π，∴．…6分（2）∵a=2，且，∴c===4，∴△ABC中，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB==12．∴（舍负）．….12分点评：本题结合二倍角的三角函数公式和正、余弦定理，求△ABC的角B大小，并在已知边a长和面积的情况下求边b的长，着重考查了解三角形的常用思路与方法，属于中档题．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC 的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面AB C，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．解答：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（4分）（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…（8分）因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．…（10分）由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．…（11分）△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…（12分）所求体积等于．…（13分）点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和体积的计算，同时考查了推理论证和计算能力，属于中档题．19．（12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．分析：（Ⅰ）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够比较两组员工的业务水平．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率．解答：解：（Ⅰ）依题意，=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S==5.2，S==2．∵=，S甲2＞S乙2，∴两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，∴P（A）=．点评：本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数，令（m∈R）．（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）由题意，得．讨论m的范围判断函数的单调性与其最值，通过最小值与0的关系得到m的范围．（2）≤0，所以函数H（x）在上单调递减．，所以设判断其单调性求其最值即可证得．解答：解：（1）由题意，得．①当m＞0时，，因此f（x）在（0，+∞）上单调递增，由对数函数的性质，知f（x）的值域为R，因此∃x＞0，使f（x）≤0成立；②当m=0时，，对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；③当m＜0时，由得，x﹣0+f（x）↘极小值↗此时．令．所以对∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0]．故∃x＞0，使f（x）≤0成立，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．（2）∵，∴．∀x∈，≤0，所以函数H（x）在上单调递减．于是．．记，则，所以函数在（1，e]上是单调增函数，所以，故对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．点评：解决至少存在问题可从正面入手找到存在的原因也可以先做它的反面，证明不等式问题一般利用导数判断函数单调性通过函数的单调性求函数的最值，在利用最值求证不等式，函数与不等式结合是2015届高考考查的热点之一．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、选修4-4:坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，C U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{5} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{3，4，6}2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．164．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=10．（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．411．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．16．（5分）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B=cos2B+2cosB．（1）求角B的大小；（2）若a=2，S=2，求b的值．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．19．（12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数，令（m∈R）．（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．四、选修4-4:坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，C U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{5} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{3，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据B补集及全集U求出B，找出A与B的公共元素即可．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵集合A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}．故选B点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．16考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．解答：解：由题意，a5=log8=3，∵{a n}是等差数列，∴a4+a6=2a5=6，故选：A．点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴（k+2）﹣3k=0，解得：k=1，∴•=1×2+1×2=4，故选D点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15考点：循环结构；选择结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选： A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．点评：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．11．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（0，m），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△BFO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）考点：回归分析．专题：计算题；概率与统计．分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．解答：解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．16．（5分）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=4．考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0解答：解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．点评：本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求T n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B=cos2B+2cosB．（1）求角B的大小；（2）若a=2，S=2，求b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（1）根据二倍角的余弦公式，结合2cos2B=cos2B+2cosB可得，结合0＜B ＜π，可得；（2）根据正弦定理的面积公式，可得，结合a=2且算出c=4，最后在△ABC中，利用余弦定理得：b2=12，从而得出．解答：解：（1）∵2cos2B=cos2B+2cosB，cos2B=2cos2B﹣1∴2cosB﹣1，可得又∵0＜B＜π，∴．…6分（2）∵a=2，且，∴c===4，∴△ABC中，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB==12．∴（舍负）．….12分点评：本题结合二倍角的三角函数公式和正、余弦定理，求△ABC的角B大小，并在已知边a长和面积的情况下求边b的长，着重考查了解三角形的常用思路与方法，属于中档题．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC 的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．解答：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（4分）（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…（8分）因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．…（10分）由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．…（11分）△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…（12分）所求体积等于．…（13分）点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和体积的计算，同时考查了推理论证和计算能力，属于中档题．19．（12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．分析：（Ⅰ）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够比较两组员工的业务水平．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率．解答：解：（Ⅰ）依题意，=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S==5.2，S==2．∵=，S甲2＞S乙2，∴两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，∴P（A）=．点评：本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数，令（m∈R）．（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）由题意，得．讨论m的范围判断函数的单调性与其最值，通过最小值与0的关系得到m的范围．（2）≤0，所以函数H（x）在上单调递减．，所以设判断其单调性求其最值即可证得．解答：解：（1）由题意，得．①当m＞0时，，因此f（x）在（0，+∞）上单调递增，由对数函数的性质，知f（x）的值域为R，因此∃x＞0，使f（x）≤0成立；②当m=0时，，对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；③当m＜0时，由得，x﹣0+f（x）↘极小值↗此时．令．所以对∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0]．故∃x＞0，使f（x）≤0成立，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．（2）∵，∴．∀x∈，≤0，所以函数H（x）在上单调递减．于是．．记，则，所以函数在（1，e]上是单调增函数，所以，故对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．点评：解决至少存在问题可从正面入手找到存在的原因也可以先做它的反面，证明不等式问题一般利用导数判断函数单调性通过函数的单调性求函数的最值，在利用最值求证不等式，函数与不等式结合是2015届高考考查的热点之一．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、选修4-4:坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（理科）一.选择题本大题共60分，每小题5分1．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i2．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）dx等于（）A．3 B．6 C．9 D．3e4．（5分）已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．7．（5分）具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是（）A．①③B．②④C．①④D．①③④8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5 C．D．1510．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣） D．（，2π）11．（5分）如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]12．（5分）设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（）A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x1＜x2二.填空题，共20分，每题5分13．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．14．（5分）已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=．15．（5分）已知函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=．16．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．三.解答题，共70分，6小题．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．20．（12分）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．21．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题本大题共60分，每小题5分1．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：求出两复数的共轭复数，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．解答：解：∵z1=1+i，z2=2﹣2i，∴，∴•===．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答：解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评：本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．3．（5分）dx等于（）A．3 B．6 C．9 D．3e考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：dx=3lnx=3lne2﹣3ln1=6，故选：B点评：本题主要考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题4．（5分）已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出⊥的充要条件是x=±，从而得到答案．解答：解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x2=0⇒x=±，故x=±是⊥的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．5．（5分）在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2a n﹣1=64，可得a1a n=64．与a1+a n=34联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1，a n．由前n项和S n=42，利用=42，解得q．再利用通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a n﹣1=64，∴a1a n=64．又a1+a n=34，联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1=2，a n=32．∵前n项和S n=42，∴=42，即=42，解得q=4．∴32=2×4n﹣1，解得n=3．故选：D．点评：本题考查了等比数列的性质、通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答：解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．7．（5分）具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是（）A．①③B．②④C．①④D．①③④考点：进行简单的合情推理；函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：对所给的函数结合：f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的函数，进行验证即可．解答：解：显然，函数：①y=x﹣；设f（x）=y，则f（）=﹣f（x）的函数，故满足“到负”交换的概念；对于②：满足f（）=f（x），不合乎题意，对于③：y=lnx，显然，f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；对于④：y=‘当0＜x＜1时，f（）=﹣x=﹣f（x），当x＞1时，0＜＜1，f（）==﹣f（x），当x=1时，=1，∴x=1，∴f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；故选：D．点评：本题重点考查了合情推理、函数的性质等知识，属于中档题，解题关键是理解“到负”交换的函数这一个概念．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥O A，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5 C．D．15考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差中项的性质可得2m+3n=5，化简式子m+++n后，由“乘1法”和基本不等式求出它的最小值．解答：解：因为2m，，3n成等差数列，所以2m+3n=5，所以m+++n=++=+，因为m＞0，n＞0，所以=（2m+3n）（）=（13+）≥（13+2）=5（当且仅当时取等号），则，所以m+++n≥5+=，则m+++n的最小值为，故选：C．点评：本题考查等差中项的性质，“乘1法”和基本不等式求最值问题，考查推理与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣） D．（，2π）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，结合所给函数图象关于y轴对称，得到该θ=﹣，然后，化简函数即可．解答：解：∵函数f（x）的图象关于y中对称，∴当x=0时，函数f（x）取得最大（或最小）值，此时，f（x）=2sin（θ﹣），∵|θ|＜，∴θ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）﹣cos（x）=﹣2cos，∴函数f（x）在区间（﹣，﹣）上为减函数，故选：C．点评：本题重点考查了三角函数公式、三角恒等变换等公式、属于中档题．11．（5分）如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为动点与定点连线的斜率问题，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，求出斜率得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，3），联立，得C（1，6），联立，得B（），令z==，则z+1=，表示可行域内的点（x，y）与点（）连线的斜率，当连线过点（1，6）时，z﹣1取最大值，当连线过点（）时，z﹣1取最小值．∴的取值范围是[]．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（）A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x1＜x2考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题；证明题．分析：由题意可得：f（x）=f（|x|），结合导数可得f′（|x|）＞0，所以f（|x|）在上为增函数，又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），进而根据函数的单调性得到答案．解答：解：由题意可得：f（x）=f（|x|），因为当时，f′（|x|）=sinx+xcosx＞0，所以此时f（|x|）为增函数．又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），故|x1|＞|x2||，所以x12＞x22．故选B．点评：本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题．二.填空题，共20分，每题5分13．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先求得sin（+α）=cosα=，则有cos2α=2cos2α﹣1=．解答：解：sin（+α）=cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考察了二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．14．（5分）已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=﹣10．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意根据向量数量积运算即可求得结论．解答：解：•=•（）=﹣=4×3×cos﹣42=6﹣16=﹣10．故答案为﹣10．点评：本题主要考查向量的运算法则及数量积运算，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出函数的解析式，通过g（t）=2，利用分段函数列出方程，分别求出t的值即可．解答：解：函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），所以2﹣k﹣2=0，解得k=0，所以g（x）=，∵g（t）=2，∴当t≤0时，g（t）=2t﹣2=2，解得t=2（舍去）；当t＞0时，g（t）=log2（t+1）=2，解得t=3．综上，t=3．故答案为：3．点评：本题考查分段函数的解析式的求法，分段函数的应用，函数的零点，考查计算能力．16．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，从而求出等差数列{a n}，进而求数列{b n}的通项及前n项和公式，再由题意验证最小距离即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，a1=1，d=2；则a n=2n﹣1，b n=a n+=2n+2n﹣1，则S n=（1+2）+（3+4）+…+（2n+2n﹣1）=（1+3+5+…+2n﹣1）+（2+4+8+…+2n）=+=n2+2n+1﹣2，易验证点（3，S3）即（3，23）到直线2x+y﹣24=0的距离最小，即d==，即点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为，故答案为：．点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前n项和的求法，用到了拆项求和数列求和公式，属于中档题．三.解答题，共70分，6小题．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）结合正弦定理和余弦定理即可证明：△ABC为钝角三角形；（2）根据三角形的面积公式即可求c．解答：解：（1）∵sinA+sinB=2sinC，∴由正弦定理得a+b=2c，∵a=2b，∴3b=2c，即c=，则a最大，则cosA===，则A为钝角，故△ABC为钝角三角形；（2）∵cosA=，∴sinA=，∵S△ABC==，即=，b，解得b=，则c=．点评：本题主要考查解三角形的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由新定义得到不等式，求解不等式后结合不等式的解集列关于a，b的方程，则答案可求；（2）把不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立看作是关于t的一次不等式，然后由t取﹣1和1时对应的代数式大于0求得x的取值范围．解答：解：（1）由（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0，得（x+1）（a+1﹣x）＞0，∴（x+1）（x﹣a﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜a+1，∵不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，∴b=﹣1，a+1=1， a=0；（2）由（1）知，A=（﹣1，1），令g（t）=xt+（x2﹣2x+1），对于任意的t∈（﹣1，1），不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，当x=0时，上式显然成立；当x≠0时，则，即，解得：或．∴实数x的取值范围是．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，训练了更换主元法思想方法，是中档题．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．解答：解：（1）函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0），则0=，则b=1，则f（x）==，f（x）在（0．+∞）上为增函数，理由如下：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=﹣（）=，由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由于f（x）在（0．+∞）上为增函数，则函数f（x）在[，5a]上的值域是[f（），f（？5a）]，即有，解得，a=．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．20．（12分）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．解答：解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，则△ACD为直角三角形．∵△ABC是正三角形，∴取BC的中点M，连结MO，则MO∥CD，∴MO⊥面ABC，以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2，AD=4，∴AM=，∴B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），在Rt△ACD中，CD=．∴BE=CD=，即E（1，2，0）则，∵点F在线段AB上，∴设BF=xBA，（0≤x≤1）则∴F（1﹣x，0，），则，，设面CEF的法向量为，则由得，，令a=，则b=﹣1，c=，即，平面BCE的法向量为，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为，即，∴，平方得，解得：，解得x=﹣1（舍去）或x=．即F是线段AB的中点时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．21．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）在中，令n=1，n=2，得，解得a n=2n﹣1，由足=，能求出a1，d和T n．（II）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．由此解得λ＜25；当n为奇数时，要使不等式恒成立，需不等式恒成立，解得λ＜﹣21．由此能够求出λ的取值范围．解答：解：（I）在中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，（3分）（II）（1）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（8分）（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵是随n的增大而增大，∴取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（10分）综合（1）（2）可得λ＜﹣21∴λ的取值范围是{λ|λ＜﹣21}．（12分）点评：本题考查等差数列的首项、公差的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列与不等式的综合运用．解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、等价转化法的合理运用．22．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）化简不等式f（x）﹣1＜a为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，求导讨论函数的单调性，从而求函数的最小值，证明最小值小于0即可．解答：解：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，故h（x）=（x﹣1）e x+1在（0，+∞）上是增函数，又∵h（0）=0，故f（x）=在（0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在[，2]上的最小值为f（）=2﹣2，最大值为f（2）=e2﹣；（2）证明：f（x）﹣1=，不等式f（x）﹣1＜a可化为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，令g（x）=e x﹣（a+1）x﹣1，则g′（x）=e x﹣（a+1），令e x﹣（a+1）=0解得，x=ln（a+1），故当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0，当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0，则当x=ln（a+1）时，g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1），令m（a）=（a+1），（a≥0），则m′（a）=﹣＜0，则当a＞0时，m（a）＜m（0）=0；故g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1）＜0，故存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（理科）一.选择题本大题共60分，每小题5分1．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i2．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）dx等于（）A．3 B．6 C．9 D．3e4．（5分）已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．7．（5分）具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是（）A．①③B．②④C．①④D．①③④8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5 C．D．1510．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣） D．（，2π）11．（5分）如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]12．（5分）设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（）A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x1＜x2二.填空题，共20分，每题5分13．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．14．（5分）已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=．15．（5分）已知函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=．16．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．三.解答题，共70分，6小题．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．20．（12分）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．21．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题本大题共60分，每小题5分1．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：求出两复数的共轭复数，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．解答：解：∵z1=1+i，z2=2﹣2i，∴，∴•===．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答：解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评：本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．3．（5分）dx等于（）A．3 B．6 C．9 D．3e考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：dx=3lnx=3lne2﹣3ln1=6，故选：B点评：本题主要考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题4．（5分）已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出⊥的充要条件是x=±，从而得到答案．解答：解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x2=0⇒x=±，故x=±是⊥的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．5．（5分）在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2a n﹣1=64，可得a1a n=64．与a1+a n=34联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1，a n．由前n项和S n=42，利用=42，解得q．再利用通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a n﹣1=64，∴a1a n=64．又a1+a n=34，联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1=2，a n=32．∵前n项和S n=42，∴=42，即=42，解得q=4．∴32=2×4n﹣1，解得n=3．故选：D．点评：本题考查了等比数列的性质、通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答：解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．7．（5分）具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是（）A．①③B．②④C．①④D．①③④考点：进行简单的合情推理；函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：对所给的函数结合：f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的函数，进行验证即可．解答：解：显然，函数：①y=x﹣；设f（x）=y，则f（）=﹣f（x）的函数，故满足“到负”交换的概念；对于②：满足f（）=f（x），不合乎题意，对于③：y=lnx，显然，f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；对于④：y=‘当0＜x＜1时，f（）=﹣x=﹣f（x），当x＞1时，0＜＜1，f（）==﹣f（x），当x=1时，=1，∴x=1，∴f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；故选：D．点评：本题重点考查了合情推理、函数的性质等知识，属于中档题，解题关键是理解“到负”交换的函数这一个概念．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥O A，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5 C．D．15考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差中项的性质可得2m+3n=5，化简式子m+++n后，由“乘1法”和基本不等式求出它的最小值．解答：解：因为2m，，3n成等差数列，所以2m+3n=5，所以m+++n=++=+，因为m＞0，n＞0，所以=（2m+3n）（）=（13+）≥（13+2）=5（当且仅当时取等号），则，所以m+++n≥5+=，则m+++n的最小值为，故选：C．点评：本题考查等差中项的性质，“乘1法”和基本不等式求最值问题，考查推理与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣） D．（，2π）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，结合所给函数图象关于y轴对称，得到该θ=﹣，然后，化简函数即可．解答：解：∵函数f（x）的图象关于y中对称，∴当x=0时，函数f（x）取得最大（或最小）值，此时，f（x）=2sin（θ﹣），∵|θ|＜，∴θ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）﹣cos（x）=﹣2cos，∴函数f（x）在区间（﹣，﹣）上为减函数，故选：C．点评：本题重点考查了三角函数公式、三角恒等变换等公式、属于中档题．11．（5分）如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为动点与定点连线的斜率问题，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，求出斜率得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，3），联立，得C（1，6），联立，得B（），令z==，则z+1=，表示可行域内的点（x，y）与点（）连线的斜率，当连线过点（1，6）时，z﹣1取最大值，当连线过点（）时，z﹣1取最小值．∴的取值范围是[]．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（）A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x1＜x2考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题；证明题．分析：由题意可得：f（x）=f（|x|），结合导数可得f′（|x|）＞0，所以f（|x|）在上为增函数，又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），进而根据函数的单调性得到答案．解答：解：由题意可得：f（x）=f（|x|），因为当时，f′（|x|）=sinx+xcosx＞0，所以此时f（|x|）为增函数．又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），故|x1|＞|x2||，所以x12＞x22．故选B．点评：本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题．二.填空题，共20分，每题5分13．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先求得sin（+α）=cosα=，则有cos2α=2cos2α﹣1=．解答：解：sin（+α）=cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考察了二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．14．（5分）已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=﹣10．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意根据向量数量积运算即可求得结论．解答：解：•=•（）=﹣=4×3×cos﹣42=6﹣16=﹣10．故答案为﹣10．点评：本题主要考查向量的运算法则及数量积运算，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出函数的解析式，通过g（t）=2，利用分段函数列出方程，分别求出t的值即可．解答：解：函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），所以2﹣k﹣2=0，解得k=0，所以g（x）=，∵g（t）=2，∴当t≤0时，g（t）=2t﹣2=2，解得t=2（舍去）；当t＞0时，g（t）=log2（t+1）=2，解得t=3．综上，t=3．故答案为：3．点评：本题考查分段函数的解析式的求法，分段函数的应用，函数的零点，考查计算能力．16．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，从而求出等差数列{a n}，进而求数列{b n}的通项及前n项和公式，再由题意验证最小距离即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，a1=1，d=2；则a n=2n﹣1，b n=a n+=2n+2n﹣1，则S n=（1+2）+（3+4）+…+（2n+2n﹣1）=（1+3+5+…+2n﹣1）+（2+4+8+…+2n）=+=n2+2n+1﹣2，易验证点（3，S3）即（3，23）到直线2x+y﹣24=0的距离最小，即d==，即点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为，故答案为：．点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前n项和的求法，用到了拆项求和数列求和公式，属于中档题．三.解答题，共70分，6小题．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）结合正弦定理和余弦定理即可证明：△ABC为钝角三角形；（2）根据三角形的面积公式即可求c．解答：解：（1）∵sinA+sinB=2sinC，∴由正弦定理得a+b=2c，∵a=2b，∴3b=2c，即c=，则a最大，则cosA===，则A为钝角，故△ABC为钝角三角形；（2）∵cosA=，∴sinA=，∵S△ABC==，即=，b，解得b=，则c=．点评：本题主要考查解三角形的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由新定义得到不等式，求解不等式后结合不等式的解集列关于a，b的方程，则答案可求；（2）把不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立看作是关于t的一次不等式，然后由t取﹣1和1时对应的代数式大于0求得x的取值范围．解答：解：（1）由（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0，得（x+1）（a+1﹣x）＞0，∴（x+1）（x﹣a﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜a+1，∵不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，∴b=﹣1，a+1=1， a=0；（2）由（1）知，A=（﹣1，1），令g（t）=xt+（x2﹣2x+1），对于任意的t∈（﹣1，1），不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，当x=0时，上式显然成立；当x≠0时，则，即，解得：或．∴实数x的取值范围是．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，训练了更换主元法思想方法，是中档题．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．解答：解：（1）函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0），则0=，则b=1，则f（x）==，f（x）在（0．+∞）上为增函数，理由如下：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=﹣（）=，由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由于f（x）在（0．+∞）上为增函数，则函数f（x）在[，5a]上的值域是[f（），f（？5a）]，即有，解得，a=．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．20．（12分）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．解答：解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，则△ACD为直角三角形．∵△ABC是正三角形，∴取BC的中点M，连结MO，则MO∥CD，∴MO⊥面ABC，以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2，AD=4，∴AM=，∴B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），在Rt△ACD中，CD=．∴BE=CD=，即E（1，2，0）则，∵点F在线段AB上，∴设BF=xBA，（0≤x≤1）则∴F（1﹣x，0，），则，，设面CEF的法向量为，则由得，，令a=，则b=﹣1，c=，即，平面BCE的法向量为，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为，即，∴，平方得，解得：，解得x=﹣1（舍去）或x=．即F是线段AB的中点时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．21．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）在中，令n=1，n=2，得，解得a n=2n﹣1，由足=，能求出a1，d和T n．（II）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．由此解得λ＜25；当n为奇数时，要使不等式恒成立，需不等式恒成立，解得λ＜﹣21．由此能够求出λ的取值范围．解答：解：（I）在中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，（3分）（II）（1）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（8分）（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵是随n的增大而增大，∴取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（10分）综合（1）（2）可得λ＜﹣21∴λ的取值范围是{λ|λ＜﹣21}．（12分）点评：本题考查等差数列的首项、公差的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列与不等式的综合运用．解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、等价转化法的合理运用．22．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）化简不等式f（x）﹣1＜a为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，求导讨论函数的单调性，从而求函数的最小值，证明最小值小于0即可．解答：解：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，故h（x）=（x﹣1）e x+1在（0，+∞）上是增函数，又∵h（0）=0，故f（x）=在（0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在[，2]上的最小值为f（）=2﹣2，最大值为f（2）=e2﹣；（2）证明：f（x）﹣1=，不等式f（x）﹣1＜a可化为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，令g（x）=e x﹣（a+1）x﹣1，则g′（x）=e x﹣（a+1），令e x﹣（a+1）=0解得，x=ln（a+1），故当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0，当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0，则当x=ln（a+1）时，g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1），令m（a）=（a+1），（a≥0），则m′（a）=﹣＜0，则当a＞0时，m（a）＜m（0）=0；故g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1）＜0，故存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。