九年级数学上册 24.1 圆心角、圆周角定理试题(无答案)(新版)新人教版

专题24.1圆的有关性质（测试）一、单选题1．下列各角中，是圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D 中，是圆心角， 故选D ．2．一个周长是l 的半圆，它的半径是（ ） A ．l π÷ B ．2l π÷C ．()2l π÷+D ．()1l π÷+【答案】C 【解析】半圆的周长为半径的π倍加上半径的2倍，所以一个周长是l 的半圆，它的半径是()2l π÷+，所以选C. 3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．4.8【答案】C【解析】∵AB 为直径， ∴90ACB ︒∠=，∴6BC =， ∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===，故选C ． 4．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵30ADC ∠=︒， ∴260AOC ADC ∠=∠=︒． ∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．∴60AOC BOC ∠=∠=︒． 故选：D ．.5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）台．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】设需要安装n （n 是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n ≥360°， 解得n ≥3613，∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选：A ．且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【解析】解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+， 设半径为r 得：()2221020r r =-+， 解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m故选：A ．7．若AB 和CD 的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A ．AB =CDB ．AB 和CD 的长度相等C ．AB 所对的弦和CD 所对的弦相等D ．AB 所对的圆心角与CD 所对的圆心角相等 【答案】D【解析】如图，AB 与CD 的度数相等，A 、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；B 、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；C 、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；D 、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD ＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴»»»AD CD BC==，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．9．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；能完全重合的弧是等弧，所以③错误；经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．10．如图所示，AB 是半圆O 的直径。

人教版九年级数学上册第24章 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习题 一、选择题1．下面图形中的角是圆心角的是(D)A.B. C. D.2．下列说法正确的是(C)A ．相等的圆心角所对的弦相等B ．相等的圆心角所对的弧相等C ．等弧所对的弦相等D ．相等的弦所对的圆心角相等 3．如图，已知A ，B ，C ，D 是圆上的点，AD ︵＝BC ︵，AC ，BD 交于点E ，则下列结论正确的是(C)A ．AB ＝AD B ．BE ＝CDC ．AC ＝BD D ．BE ＝AD4．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝(A)A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠AOE ＝78°，则∠COE 的度数是(C)A ．34°B ．102°C ．68°D ．78°6．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC ⊥AB ，OF ⊥DE ，垂足分别为C ，F ，则下列说法：①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵；③OF ＝OC ；④AC ＝EF.其中正确的个数为(D)A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的2倍，则圆心角∠BOD ＝60°．8．已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°.9．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦．(1)若∠AOB ＝∠COD ，则AB ︵＝CD ︵，AB ＝CD ；(2)若AB ︵＝CD ︵，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；(3)若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ︵＝CD ︵．10．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为30°．11．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.其中正确的有①②③．三、解答题12．如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC.求证：AD ︵＝BC ︵.证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵. ∴AD ︵＝BC ︵.13．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由如下： ∵AB ，DE 是⊙O 的直径， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∴AD ︵＝BE ︵. ∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.14．如图，在⊙O 中，AC ︵＝2AB ︵，试判断AC 与2AB 的大小关系，并说明理由．解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等， ∴当AC ︵＝2AB ︵时，AC ＝2AB.以上解答是否正确？若不正确，请改正． 解：不正确，2AB ＞AC.理由：连接BC ， ∵AC ︵＝2AB ︵， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴AB ＝BC. ∵AB ＋BC ＞AC ， ∴2AB ＞AC.15．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G ，求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF. ∵AB ＝AF ， ∴∠ABF ＝∠AFB.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF. ∴∠GAE ＝∠EAF. ∴GE ︵＝EF ︵.16.如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，并且它们的延长线分别交⊙O 于点A ，B .(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由： 过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG . ∵CE ＝DF ，∴CG －CE ＝DG －DF ，即EG ＝FG . ∵OG ⊥CD ，∴OG 为线段EF 的中垂线． ∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形． (2)证明：连接AC ，BD . 由(1)知OE ＝OF ， 又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE . ∵∠CEA ＝∠OEF ，∠BFD ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB .在△CEA 和△DFB 中，⎩⎨⎧AE ＝BF ，∠CEA ＝∠DFB ，CE ＝DF ，∴△CEA ≌△DFB (SAS)．∴AC ＝BD . ∴AC ︵＝BD ︵.17．如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，求证：AD ＝BE.证明：连接OC ， ∵AC ︵＝CB ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC.∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ＝90°，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)． ∴OD ＝OE. ∵AO ＝BO ，∴AO －OD ＝OB －OE ， 即AD ＝BE.18.如图，在⊙O 中，AM ＝BN ，CM ⊥AO 于点M ，DN ⊥OB 于点N.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接OC ，OD ，则OC ＝OD. ∵AM ＝BN ，OA ＝OB ，∴OA －AM ＝OB －BN. ∴OM ＝ON.∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中， ⎩⎨⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ∴Rt △OMC ≌Rt △OND(HL)． ∴∠MOC ＝∠NOD. ∴AC ︵＝BD ︵.。

新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习一、选择题1、在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对2、如图，在⊙O中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A、5对B、6对C、7对D、8对3、下列说法正确的是（）A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4、下列说法错误的是（）A、等弧所对圆周角相等B、同弧所对圆周角相等C、同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D、同圆中，等弦所对的圆周角相等5、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（）A、20°B、25°C、30°D、50°6、如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA ，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A、25°B、40°C、30°D、50°7、在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对8、下列说法正确的是( )A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9、如图，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A、30°B、60°C、15°D、20°10、如图，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A、75°B、60°C、45°D、30°11、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )A、B、C、D、12、已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A、10°B、20°C、40°D、80°13、如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A、为锐角B、为直角C、为钝角D、二、填空题14、如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.15、如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=________.16、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和，则∠BAC的度数是________.17、如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________.18、如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°19、如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF ，那么________（只需写一个正确的结论）.20、圆周角是24度，那么它所对的弧是________度.三、解答题21、如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D ，求BC、AD 和BD的长.22、如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：(1)△DOE是等边三角形.(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.23、四边形ABCD中，AB∥DC ，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.图24-1-4-1124、在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？25、如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC ，交AC于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC⊥OD；(2)求OD的长；答案解析部分一、选择题1、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补. 【分析】此题考查了圆周角定理，要考虑全面.2、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2= ∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.【分析】在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.3、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】本题考查圆周角和圆心角的联系，解决本题的关键为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定理.4、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中才存在等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了原周角定义，本题为常考题，容易弄错的是在同圆中等弦所对的圆周角相等，而忽略还有互补.5、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，∠AOC的对顶角∠BOD也为50度，弧BD所对的圆周角为∠C，所对的圆心角为∠BOD，∠BOD为∠C的二倍，故选B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的相互联系.6、【答案】A【考点】平行线的性质，圆周角定理【解析】【解答】根据两直线平行内错角相等和同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，可以得到∠C 的度数是25度.【分析】此题考查了圆周角定义.7、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了圆周角定义，要考虑全面.8、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角的定义做题，考察圆周角和圆心角的联系，记住圆周角的度数等于它所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定义，审题一定要仔细，结合基础知识做题.9、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，根据量角器我们可以读出∠BOC的度数为30度，∠BOC为圆心角，∠BAC为圆周角，他们是二倍的关系，故选择C选项.【分析】此题考查了圆周角定义，利用圆心角去推出圆周角的度数.10、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，弧AB所对的圆心角和圆周角分别为∠AOB和∠ACB，圆心角为圆周角的二倍，故本题选择B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的联系，做题时要注意利用所给的条件结合图像去发现所求问题和所给条件之间的相互联系.11、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.【分析】本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形.12、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.13、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角,由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.【分析】直径所对的圆周角等于90度.二、填空题14、【答案】90【考点】圆周角定理【解析】【解答】所求的弧等于半圆周的一半，即90度，∠A随对的弧加上∠B所对的弧加上∠C所对的弧等于弧AC ，弧AC所对的圆心角为180度，所以所对的圆周角为90度.【分析】根据圆周角的定义做题，注意圆心角和圆周角之间的相互联系.15、【答案】50°【考点】圆周角定理【解析】【解答】连结AO ，则AO=OB ，OA=OC ，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.【分析】根据圆周角的定义做题，注意作好辅助线，利用半径相等构造等腰三角形，然后转化角度. 16、【答案】15°或75°【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD ，连结BD ，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.图1 图2【分析】根据圆周角的定义做题，要考虑全面.17、【答案】90°【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE＋弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD ，∠ADB的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°.【分析】根据圆周角的定义做题.18、【答案】60；90【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB=60度，直径所对的圆周角等于90度.【分析】根据圆周角的定义做题，要注意所给条件中等边三角形个内角的度数，及圆周角所对半圆弧的度数.19、【答案】AB=CD【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.【分析】根据弦心距做题，在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.20、【答案】48【考点】圆周角定理【解析】【解答】弧的度数等于它所对的圆心角的度数，圆心角与圆周角为2倍的关系.【分析】根据圆周角和圆心角的联系做题.三、解答题21、【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【分析】已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.22、【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形.【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.【分析】△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.23、【答案】解：∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A ，并延长BA交⊙A于E ，连结DE.∵AB∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为.【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.∵AB∥CD，∴弧 BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为 .【分析】由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.24、【答案】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.【考点】圆周角定理【解析】【解答】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C ，则∠MAN＜∠MCN ，而∠MCN=∠MBN ，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好..【分析】在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.25、【答案】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）解:∵OD∥BC ，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【考点】三角形中位线定理，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【分析】根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.。

1.形成概念
问题5：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点C?观察并比较∠ACB 与∠AOB 由和异同？
我们知道，∠AOB 叫做AB 所对的圆心角，类似地，我们把∠ACB 叫做AB 所对的圆周角
教材定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
2.剖析概念、应用概念
问题6：判断下列图形中所画的∠P 是否为圆周角？并说明理由。

探究定理：
问题7：在同一个圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，那么一条弧所对的圆周角有几个呢？
结论：（1）一条弧所对的圆周角有无数个；（2）优弧和劣弧所对的圆周角大小不同 问题8：∠ACB 与∠AOB 有怎样的关系？
问题9：当点C 移动到C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 时，圆周角与圆心角的数量关系改变没？ 结论：无论移动点C 、还是点C 1 始终有
∠ACB=2
1∠AOB ，即一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半 问题10：通过观察、猜想、我们得到上面的结论，那么如何证明结论呢？
问题11.观察点C 在移动过程中，圆心O 与∠ACB 有哪些位置关系？
结论：有三种情况，
圆心在圆周角的一边上时；圆心在圆周角的内部时；圆心在圆周角的外部
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
证明定理。

隐圆模型一定点定长（一中同长）《墨子，经上》中说：圆，一中同长也。

清朝陈澧《东塾读书记·诸子》解释道：“《几何原本》云：‘圜之中处一圜心，一圜惟一心，无二心，圜界至中心作直线俱等。

’即此所谓‘一中同长’也。

模型分析若有一定点，一动点，且动点到定点的距离为定长，则动点的轨迹为圆模型实例如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC 上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求B'D的最小值.练习：如图，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，点C运动形成的路径长为_________2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________3图2图BC OABC OAABC O图13、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF ，PD ，则PF+PD 的最小值是_________.模型二 共端点，等线段模型（鸡爪模型）12BCA D模型分析（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆； （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。

模型典例如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD ，若∠CAD=76°，则∠CBD=__________度。

练习1、如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB=AC ，AC=AD ，连接BD 。

求证：∠1+∠2=90°。

2、如图，在△ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________模型三定弦定角模型分析若有一固定线段AB及线段AB所对的角（∠C）固定，则点C可以看作是以AB为弧的圆上运动.模型典例如图在△ABC中，BC=2，∠A=45°，求△ABC的面积最大值.练习1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P为一动点，且PA⊥PC，连接BP，则BP的最大值为_____2、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2√3，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是E BCADF模型四 共斜边的直角三角形模型分析：（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等重要的途径之一。

完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。

2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。

3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。

4.同一条弧所对的圆周角有两个。

5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。

圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。

夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。

2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。

3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。

4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。

5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。

6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。

8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。

9.∠DCE=∠A。

1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。

证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。

24.1圆的有关性质一、复习（一）圆及垂径定理1.圆：把平面内到距离等于的点的集合称为圆；我们把称为圆心，把称为半径。

2.我们把连接圆上任意的称为弦，经过的弦称为直径；圆上的部分称为弧。

3.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是。

4.在同一平面内，不在直线上的点确定一个圆。

5.垂径定理:垂直于弦的平分弦,并且平分弦所对的弧。

6.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径弦，并且平分弦所对的两条弧。

（二）圆心角、圆周角1.圆心角：我们把在圆心的角称为圆心角.2.弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。

3.圆周角：在圆周上，并且都和圆相交的角叫做圆周角；在同圆或等圆中，圆周角度数等于它所对的弧上的圆心角度数。

4.相关推论：①半圆或直径所对的圆周角都是_____，都等于_____度；②90°的圆周角所对的弦是；5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，相等的圆周角所对的____和____都相等。

二、引领学习（一）命题判断题1.下列说法正确的是（）A.长度相等的弧是等弧；B.两个半圆是等弧；C.半径相等的弧是等弧；D.直径是圆中最长的弦；2. 以下说法正确的是：（）①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等。

A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③ 3. 下列语句中，正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧也相等；②顶点在圆周上的角是圆周角； ③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列命题中是真命题的为（ ）A.三点确定一个圆B.任何一个三角形有且只有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆 D.等腰三角形的外心一定在它的外部 5.下列说法正确的是 （ ）A.相等的圆心角所对的弧相等B.过圆心的线段是直径C. 半圆是弧D.弦是直径 （二）多解题 1.已知⊙O 的半径为5.（1）弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB ∥CD ，则这两条弦之间的距离为 cm. （2）弦AB=8cm,则该弦所对的弧的中点到弦AB 的距离为 cm. （3）AB 是⊙O 的一条弦，点P 在直线AB 上，PB=3，AB=8，则=PQOQ. 2.点A 、B 、C 是⊙O 上不同的三个点，∠AOB=100°，则∠ACB= °. (变式)：△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB= °. 3.在△ABC 中，AB=AC=5，S ABC ∆=12，则△ABC 外接圆的半径为 。

⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

人教版数学九年级上册第二十四章圆24.1.4圆周角同步测试一、选择题1. 下列图形中的角是圆周角的是()A B C D2. 下列说法中正确的是()A. 顶点在圆周上的角叫圆周角B. 圆周角等于圆心角的一半C. 同弦所对的所有圆周角相等D. 弦所对的圆周角有无数个3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A. 22B. 4C. 42D. 8第3题第4题4. 如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O中，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°5. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是线段BC延长线上的一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是()A. 115°B. 105°C. 75°D. 85°6. ⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对的圆周角为()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°第7题 第8题8. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( ) A. 29° B. 31° C. 59° D. 62°9. 如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为( )A. mB. 180°－m 2C. 90°＋m 2D. m2第9题 第10题10. 如图，BA 是半圆O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠ABC ＝50°，则∠CAB ＝ .11. 如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝ ，∠B ＝ .第11题 第12题12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，连接BC ，AC ，∠BAC ＝60°，弦AD 平分∠BAC ，若AD ＝6，那么AC ＝ .13. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，D ，E 在⊙O 上，说明：BD ＝DE .14. 如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ，若BC ＝BE . 求证：△ADE 是等腰三角形.15. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是CAD ︵上一点(不与C ，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠COB ；(2)点P ′在CD ︵上(不与C ，D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.16. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM . (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长.17. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD .(1)弦长AB ＝ (结果保留根号)； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数.18. 在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD . (1)如图①，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 的半径r ； (2)如图②，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，求∠DCA 的度数.答案1. B2. D3. C4. C5. B6. D7. C8. B9. B 10. 40° 11. 80° 100° 12. 213. 解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠EAD ，∴︵BD ＝︵DE，∴BD ＝DE .14. 证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE .∴∠A ＝∠E .∴AD ＝DE .∴△ADE 是等腰三角形.15. (1)证明：连接OD ，∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴︵BC ＝︵BD ，∴∠COB ＝∠BOD ＝21∠COD .又∵∠CPD ＝21∠COD ，∴∠CPD ＝∠COB .(2)解：∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.证明：∵四边形PCP ′D 是圆内接四边形，∴∠CPD ＋∠CP ′D ＝180°.∴∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.16. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∴︵AB ＝︵CD ，∵M 为︵AD 中点，∴︵AM ＝︵DM ，∴︵AB ＋︵AM ＝︵CD ＋︵DM ，即︵BM ＝︵CM.∴BM ＝CM .(2)解：∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π，∴︵BM 的长＝83×4π＝23π. 17. 解：(1)2(2)∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，∴∠BOD ＝∠B ＋∠BCO ，∠BCO ＝∠A ＋∠D .∴∠BOD ＝∠B ＋∠A ＋∠D .又∵∠BOD ＝2∠A ，∠B ＝30°，∠D ＝20°，∴2∠A ＝∠B ＋∠A ＋∠D ＝∠A ＋50°，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°.18. 解：(1)如图①，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，则AE ＝21AC ＝21×2＝1.∵翻折后点D 与圆心O 重合，∴OE ＝21r .在Rt △AOE 中，AO 2＝AE 2＋OE 2，即r 2＝12＋(21r )2，解得r ＝33.(2)连接BC .∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝65°.根据翻折的性质，︵AC 所对的圆周角为∠B ，︵ABC所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝∠CDB ＝65°，∴∠DCA ＝∠CDB －∠A ＝65°－25°＝40°.。