【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(六十一) 选修45 1绝对值不等式 文 新人教A版

选修4－5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(理科专用)1. 解不等式：|2x －1|＜3.解：|2x －1|＜3－3＜2x －1＜3－1＜x ＜2.2. 若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围．解：∵ ||x＋1|－|x －2||≤|(x＋1)－(x －2)|＝3，∴ －3≤|x＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a>|x ＋1|－|x －2|有实数解，知a 2－4a>－3，解得a>3或a<1.3. 不等式|2－x|＋|x ＋1|≤a 对于任意x∈[0，5]恒成立的实数a 的集合是多少？ 解：当x∈[0，2]时，|2－x|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3，当x∈[2，5]时，|2－x|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≤9，综上可得|2－x|＋|x ＋1|≤9，∴ a ≥9.4. 解不等式：|2x ＋1|－|x －4|<2.解：① 当x≥4时，2x ＋1－(x －4)<2，∴ x ∈；② 当－12≤x<4时，2x ＋1＋x －4<2，∴ －12≤x<53；③ 当x<－12时，－2x －1＋x －4<2.∴ －7<x<－12.综上，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－7，53. 5. (2014·南通一模)已知：a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x－1＋a －(x －a)|＝|2a －1|. 又a≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.6. 若对任意x∈R ，||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：||2－x ＋||3＋x ≥5，要||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.7. 设a∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)．(1) 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54；(2) 求使函数f(x)最大值为178时a 的值．(1) 证明：∵ |x|≤1，|a|≤1，∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|＝|a|·|x2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝|1－x 2|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54.(2) 解：当a ＝0时，f(x)＝x(－1≤x≤1)的最大值是f(1)＝1，从而a≠0，故知f(x)是二次函数．∵ f(±1)＝±1，∴ f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)有最大值178⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，∴ a ＝－2.8. 已知函数f(x)＝|x －a|－2|x －1|(a∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的最大值； (2) 解关于x 的不等式f(x)≥0.解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝|x －3|－2|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≥3，－3x ＋5，1<x<3，x ＋1，x ≤1，所以，当x ＝1时，函数f(x)取得最大值2. (2) 由f(x)≥0得|x －a|≥2|x－1|，两边平方得(x －a)2≥4(x －1)2，即3x 2＋2(a －4)x ＋4－a 2≤0， 得[x －(2－a)][3x －(2＋a)]≤0，所以，①当a>1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ，2＋a 3； ② 当a ＝1时，不等式的解集为{x|x ＝1}；③ 当a<1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 3，2－a .9. 设函数f(x)＝|x －2a|，a ∈R .(1) 若不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3}，求a 的值； (2) 若存在x 0∈R ，使f(x 0)＋x 0<3，求a 的取值范围．解：(1) 由题意可得|x －2a|<1可化为2a －1<x<2a ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝1，2a ＋1＝3，解得a ＝1.(2) 令g(x)＝f(x)＋x ＝|x －2a|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x<2a ，所以函数g(x)＝f(x)＋x 的最小值为2a ，根据题意可得2a<3，即a<32，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. 10. 已知函数f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1) 当a ＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2) 若存在x∈R ，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．解：(1) |x ＋1|≥2|x|x 2＋2x ＋1≥4x 2－13≤x ≤1，∴ 解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1. (2) ∵ 存在x∈R ，使|x ＋1|≥2|x|＋a ， ∴ 存在x∈R ，使|x ＋1|－2|x|≥a.令φ(x)＝|x ＋1|－2|x|，即有a≤φ(x)max ，φ(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1≤x<0，x －1，x<－1.当x≥0时，y ≤1；当－1≤x<0时，－2≤y<1；当x<－1时，y<－2.综上可得φ(x)≤1，∴ a ≤1. 即a 的取值范围是(－∞，1]．11. 已知函数f(x)＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m)． (1) 当m ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1) 由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋1＋x －2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x<2，x ＋1－x ＋2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1－x ＋2＞5解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2) 不等式f(x)≥1即|x ＋1|＋|x －2|＞m ＋2.∵ x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，要使不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴ m ＋2≤3，∴ m 的取值范围是(－∞，1]．第2课时 不等式证明的基本方法(理科专用)1. 求不等式|x ＋1|＋|x －2|>5的解集．解：不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1＋2－x>5，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2，x ＋1＋2－x>5，或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，x ＋1＋x －2>5，解得x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)．2. (2014·镇江期末)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．解：∵ (a＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．∴(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.3. 已知x 、y∈R ＋，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：已知x 、y∈R ＋，且1x ＋9y＝1，有x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x ＋9xy＋10≥2y x ·9x y ＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y 即x ＝4、y ＝12时，取“＝”．∴ x ＋y 的最小值为16.4. 已知x 2＋y 2＝1，求3x ＋4y 的最大值．解：(换元法)由x 2＋y 2＝1，可设x ＝cos α，y ＝sin α，则3x ＋4y ＝3cos α＋4sin α＝32＋42cos (α－φ)≤5，其中cos φ＝35，sin φ＝45，∴ (3x ＋4y)max ＝5.5. 设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜1.证明：由2n≥n＋k ＞n(k ＝1，2，…，n)，得12n ≤1n ＋k ＜1n.当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴ 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n＝1. 6. 已知a 、b 、c 为正数，且满足acos 2θ＋bsin 2θ<c ，求证：acos 2θ＋bsin 2θ< c.证明：由柯西不等式可得acos 2θ＋bsin 2θ≤[(acos θ)2＋(bsin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12＝(acos 2θ＋bsin 2θ)12< c.7. 已知a 、b 、c∈R ＋，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥cb a＋a c b ＋b a c. 证明：∵ a、b 、c∈R ＋，∴ b 2a ＋c2b ≥2b 2a ·c2b ＝2c b a. 同理，c 2b ＋a2c≥2ac b ，a 2c ＋b2a≥2b a c ， 三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥cb a＋a c b＋b a c . 8. 已知a 、b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b2b ＋1≥1.证明：(证法1)a 2a ＋1＋b2b ＋1－1＝a 2（b ＋1）＋b 2（a ＋1）－（a ＋1）（b ＋1）（a ＋1）（b ＋1）＝a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1（a ＋1）（b ＋1）.∵ a ＋b ＝2，∴ a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝1－ab（a ＋1）（b ＋1）.∵ a 、b 都是正实数，∴ ab ≤（a ＋b ）24＝1，∴ a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1≥0，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. (证法2)由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1[(a ＋1)2＋(b ＋1)2]≥(a＋b)2. ∵ a ＋b ＝2，∴ 上式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1×4≥4， 即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. (证法3)∵ a、b 都是正实数，∴ a 2a ＋1＋a ＋14≥a ，b 2b ＋1＋b ＋14≥b.两式相加，得a2a ＋1＋a ＋14＋b 2b ＋1＋b ＋14≥a ＋b. ∵ a ＋b ＝2，∴ a 2a ＋1＋b2b ＋1≥1.9. (2014·苏北三市期末)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.证明：(证法1)因为a 、b 、c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc)23，1a ＋1b ＋1c≥3(abc)－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc)－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，所以原不等式成立．(证法2)因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca.所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca ≥6 3.所以原不等式成立．10. (2014·徐州二模)已知x 、y 、z∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.11. (2014·南通二模)各项均为正数的数列{x n }对一切n∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.试证明：(1) x n ＜x n ＋1；(2) 1－1n＜x n ＜1.证明：(1) 因为x n ＞0，x n ＋1x n ＋1＜2，所以0＜1x n ＋1＜2－x n ，所以x n ＋1＞12－x n，且2－x n ＞0.因为12－x n －x n ＝x 2n －2x n ＋12－x n ＝（x n －1）22－x n≥0，所以12－x n ≥x n ，所以x n ≤12－x n＜x n ＋1，即x n ＜x n ＋1.(2) 下面用数学归纳法证明：x n ＞1－1n.① 当n ＝1时，由题设x 1＞0可知结论成立；② 假设n ＝k 时，x k ＞1－1k，当n ＝k ＋1时，由(1)得x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1.由①②可得x n ＞1－1n.下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k ＞1，则一定存在自然数m ，使得x k ＞1＋1m.因为x k ＋1x k ＋1＜2，x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝mm －1，x k ＋2＞12－x k ＋1＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1＝m －1m －2，…，x k ＋m －1＞m －（m －2）m －（m －1）＝2，与题设x k ＋1x k ＋1＜2矛盾，所以x n ≤1.若x k ＝1，则x k ＋1＞x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾． 所以x n ＜1成立．。

2021年高考数学绝对值不等式课时提升作业理北师大版选修4-1一、选择题1.(xx·宝鸡模拟)不等式|x-2|>x-2的解集是( )(A)(-∞,2) (B)(-∞,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-∞,2)∪(2,+∞)2.(xx·蚌埠模拟)若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为( )(A)a>5 (B)a≥5 (C)a<5 (D)a≤53.(xx·潍坊模拟)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )(A)[-5,7](B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7,+∞)(D)(-∞,-4]∪[6,+∞)二、填空题4.(xx·天津高考)集合A={x∈R||x-2|≤5}中最小整数为.5.(xx·陕西高考)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.6.(xx·江西高考)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.三、解答题7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|.(1)求x的取值范围,使f(x)为常数函数.(2)若关于x的不等式f(x)-a≤0有解,求实数a的取值范围.8.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集.(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.9.(xx·辽宁高考)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值.(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立,求k的取值范围.10.(xx·玉溪模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m.(1)当m=5时,求f(x)>0的解集.(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.11.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R).(2)若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.a(其中a>0).12.(xx·哈尔滨模拟)已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2(1)当a=4时,求不等式的解集.(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选A.∵|x-2|>x-2,∴x-2<0,即x<2.2.【解析】选D.∵|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,∴a≤5.3.【解析】选D.①当x≥5时,不等式化为x-5+x+3≥10,解得x≥6;②-3<x<5时,不等式化为5-x+x+3≥10,即8≥10,不等式不成立,故这时原不等式无解;③x≤-3时,5-x-(x+3)≥10,解得x≤-4.由①②③得x≤-4或x≥6.4.【解析】不等式|x-2|≤5,即-5≤x-2≤5,∴-3≤x≤7,故集合A={x|-3≤x≤7},故最小的整数为-3.答案:-35.【解析】方法一:在数轴上确定点1,再移动点a的位置,观察a点的位置在-2和4的位置时验证符合题意.因为它们是边界位置,所以-2≤a≤4.方法二:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,只要有|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.答案:[-2,4]6.【解析】当|2x-1|=0时,x=,当|2x+1|=0时,x=-.当x<-时,不等式化为1-2x-2x-1≤6⇒->x≥-;当-≤x≤时,不等式化为1-2x+2x+1≤6⇒-≤x≤;当x>时,不等式化为2x-1+2x+1≤6⇒<x≤.综上可得,不等式的解集为[-,].答案:[-,]7.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x+3|=则当x∈[-3,1]时,f(x)为常数函数.(2)方法一:如图所示,由(1)得函数f(x)的最小值为4.∴a≥4.方法二:|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|,∴|x-1|+|x+3|≥4,等号当且仅当x∈[-3,1]时成立,得函数f(x)的最小值为4,则实数a的取值范围为a≥4.8.【解析】(1)原不等式等价于或或解之得<x≤2,或-≤x≤,或-1≤x<-,即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.9.【解析】(1)因为|ax+1|≤3⇒-4≤ax≤2,而f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},当a≤0时,不合题意;当a>0时,-≤x≤,对照得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(),则h(x)=所以|h(x)|≤1,由于|f(x)-2f()|≤k恒成立,故k≥1.10.【解析】(1)由题设知:|x+1|+|x-2|>5,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.或或解得f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥2,即|x+1|+|x-2|≥m+2,∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,不等式|x+1|+|x-2|≥m+2的解集是R,∴m+2≤3,m≤1,m的取值范围是(-∞,1].11.【解析】(1)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,解集为R;当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).12.【解析】(1)当a=4时,|2x+1|-|x-1|≤2,x<-时,-x-2≤2,得-4≤x<-;-≤x≤1时,3x≤2,得-≤x≤,x>1时,x≤0,此时无解,∴不等式的解集为{x|-4≤x≤}.(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|=故f(x)∈[-,+∞),即f(x)的最小值为-,所以若使f(x)≤log2a有解,只需log2a≥f(x)min,即log2a≥-,解得a≥,即a的取值范围是[,+∞).33677 838D 莍20728 50F8 僸C 39843 9BA3 鮣\737780 9394 鎔38057 94A9 钩uj @27426 6B22 欢。

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课时提升作业五绝对值不等式的解法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·临沂高二检测)>0的解集为( )A.B.C.D.{x|x∈R且x≠-3}【解析】选C.原不等式可化为解得x>或x<-且x≠-3.2.(2016·济南高二检测)不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解是( )A.0B.-1C.1D.2【解析】选A.根据绝对值的几何意义,得不等式|x-2|+|x-1|≤3的解为0≤x≤3.所以不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解为0.3.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是( )A.0B.1C.-1D.2【解析】选B.|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得a≤1,所以a的最大值为1.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·德州高二检测)已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5},B={x|a<x<6}且A∩B=(2,b),则a+b=________. 【解析】A={x|0<x<5},由A∩B=(2,b)知故a+b=7.答案:75.(2016·石家庄高二检测)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为__________.【解析】方法一:由得x≤-3;由无解;由得x≥2.即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案:{x|x≤-3或x≥2}三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·武汉高二检测)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.已知a+b=1,对任意的a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围. 【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥9,故+的最小值为9,因为对任意的a,b∈(0,+∞),使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以|2x-1|-|x+1|≤9,当x≤-1时,2-x≤9,所以-7≤x≤-1;当-1<x<时,-3x≤9,所以-1<x<;当x≥时,x-2≤9,所以≤x≤11.综上所述,x的取值范围是-7≤x≤11.8.(2016·聊城高二检测)已知函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a的值. 【解析】①当a≤2时,f(x)=②当a>2时,f(x)=由①②可得f(x)min=f==3,解得a=-4或8.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点 (距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B.2.(2016·石家庄高二检测)设函数f(x)=则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪B.(-∞,-2]∪C.(-∞,-2]∪D.∪【解析】选A.由题意知,当x<1时,f(x)≥1等价于(x+1)2≥1,解得x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,f(x)≥1等价于4-≥1,解得1≤x≤4.综上所述,满足题设的x的取值范围是(-∞,-2]∪.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·安阳高二检测)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a=__________. 【解析】由|ax-2|<3得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,又知道解集为,所以a=-3.答案:-34.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解. 【解析】函数f(x)=| x-a|+|x-b|的值域为:2≤.【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1=当x≥1时,由f(x)≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)≤1得x≥0,故0≤x<1;综上可知,f(x)≤1的解集为M=.(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x2=xf(x)(x+f(x))=xf(x)=x(1-x)=-≤.关闭Word文档返回原板块。

第一节绝对值不等式1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.知识点一绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当______________时，等号成立．答案1．ab≥0 2.(a－b)(b－c)≥01．判断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]知识点二含绝对值的不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法(1)|ax ＋b |≤c ⇔______________； (2)|ax ＋b |≥c ⇔______________.3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案1．{x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a ，或x <－a } {x |x ∈R ，且x ≠0}2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案：24．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：|x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．答案：A热点一 绝对值三角不等式的应用【例1】 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.【证明】 ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y－2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .热点二 含绝对值的不等式的解法考向1 “|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c (c >0)”型不等式的解法 【例2】 (1)|5－4x |>9的解集是________．(2)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．【解析】 (1)因为|5－4x |>9，所以5－4x >9或5－4x <－9，所以4x <－4或4x >14，所以x <－1或x >72，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >72. (2)由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >72 (2)0≤x ≤4 考向2 “|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x ＋b |≤c (c >0)”型不等式的解法 【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (Ⅰ)画出y ＝f (x )的图象；(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集．【解】 (Ⅰ)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为{x |x <13或x >5}．所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}.(1)若不等式|x －a |＋3x ≤0(其中a >0)的解集为{x |x ≤1}，则实数a 的值是________． (2)解不等式|2x ＋1|－|x －4|>0.解析：(1)不等式|x －a |＋3x ≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(2)解：令f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0得x >－5，所以x ≥4时，不等式成立．当－12≤x <4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以，1<x <4时，不等式成立．当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以，x <－5时，不等式成立．综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．答案：(1)2热点三 绝对值不等式的恒成立问题【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(Ⅱ)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 【解】 (Ⅰ)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (Ⅱ)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集．(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >32，x ＋＋x －，或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，x ＋－x －，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋－x －解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0，则不等式解集为R .。

选修4－5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(对应学生用书(理)197～198页)含有绝对值的不等式的解法．① 理解绝对值的几何意义. ② 会解绝对值不等式：|ax ＋b|≤c，|ax ＋b|≥c.③ 了解绝对值不等式：|x －c|＋|x －b|≥a 的解法．1. 解不等式：|x ＋1|>3.解：由|x ＋1|＞3得x ＋1＜－3或x ＋1＞3，解得x ＜－4或x ＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．2. 解不等式：3≤|5－2x|<9.解：⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9|2x －5|≥3⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<92x －5≥3或2x －5≤－3⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x ≥4或x≤1，得解集为(－2，1]∪[4，7)． 3. 已知|x －a|<b(a 、b∈R )的解集为{x|2<x<4}, 求a －b 的值．解：由|x －a|<b ，得a －b<x<a ＋b.又|x －a|<b(a 、b∈R )的解集为{x|2<x<4}，所以a －b ＝2.4. 解不等式：|2x －1|－|x －2|<0. 解：原不等式等价于不等式组 ① ⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，2x －1－（x －2）＜0，无解； ② ⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ＜2，2x －1＋（x －2）＜0，解得12<x<1；③ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－（2x －1）＋（x －2）＜0，解得－1＜x≤12.综上得－1＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}．5. 若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围．解：由绝对值不等式的性质知，|x －4|＋|x －3|≥|(x－4)－(x －3)|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．1. 不等式的基本性质① a>b b<a ；② a>b，b>c a>c ；③ a>b a ＋c>b ＋c ；④ a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；⑤ a>b>0a n>b n(n∈N，且n>1)；⑥ a>b>0na>nb(n∈N，且n>1)．2. 含有绝对值的不等式的解法① |f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；② |f(x)|<a(a>0)－a<f(x)<a.3. 含有绝对值的不等式的性质① |a|＋|b|≥|a＋b|；② |a|－|b|≤|a＋b|；③ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.[备课札记]题型1 含绝对值不等式的解法 , 1) 解不等式：|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解： ① 当x<－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<10，∴ x<－3.② 当－3≤x<12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x)<x 2＋1，解得x<－25，∴ －3≤x<－25.③ 当x≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x>2，∴ x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－25或x>2}．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.(1) 当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2) 若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f (x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x －5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}． (2) f(x)≤|x－4||x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a| 4－x －(2－x)≥|x＋a| －2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]．题型2 含绝对值不等式性质的运用, 2) (2014·苏锡常镇一模)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 变式训练已知函数f(x)＝|x －a|.(1) 若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a 的值； (2) 在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2) 当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|≥|(2－x)＋(x ＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x ＋3)≥0即当－3≤x ≤2时等号成立．所以实数m 的取值范围是{m|m≤5}．题型3 含绝对值不等式综合运用, 3) 设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a ＞0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝1时，f (x)≥3x＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2) 由f(x)≤0得|x －a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x －a ＋3x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x≤a a －x ＋3x≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x≤a，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.变式训练已知f(x)＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.证明：∵ |f(a)－f(b)|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b||a ＋b|1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b|≤|a|＋|b|＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴ |a ＋b|1＋a 2＋1＋b2<1. ∵ a ≠b ，∴ |a －b|>0.∴ |f(a)－f(b)|<|a －b|.1. 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：因为|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则a≤8，即实数a 的取值范围是(－∞，8]．2. 在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集．解：由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，即－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4，所以原不等式的解集为[0，4]．3. (2014·南京、盐城一模)已知x 、y∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1.证明：因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|. 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1.4. 设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A.(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．解：(1) 因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32. 因为a∈N *，所以a ＝1.(2) 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.1. 解不等式：|x －1|>2x.解：当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x －1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2； 当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解． 综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．2. 若不等式|3x －b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b 的取值范围．解：由|3x －b|＜4，得－4＜3x －b ＜4，即b －43＜x ＜b ＋43.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧4≤b＜7，5＜b≤8，所以5＜b ＜7.3. 设函数f(x)＝|2x －a|＋5x ，其中a>0.(1) 若a ＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值． 解：(1) 当a ＝3时，不等式f(x)≥5x＋1可化为 |2x －3|≥1.由此可得x≥2或x≤1，故不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1，或x≥2}．(2) 由f(x)≤0得|2x －a|＋5x≤0，此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x<a 2，－（2x －a ）＋5x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，x ≤a 7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a 2，x ≤－a 3.因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a 3}．由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.4. 已知函数f(x)＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a)． (1) 当a ＝2时，求函数f(x)的最小值；(2) 当函数f(x)的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a>0， 即|x －1|＋|x －5|>a.(1) 当a ＝2时，f(x)＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)， 设g(x)＝|x －1|＋|x －5|，则g(x)＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6，x ≥5，4，1＜x ＜5，6－2x ，x ≤1，g(x)min＝4，f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2) 由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4，|x－1|＋|x－5|－a>0，∴ a<4.∴ a的取值范围是(－∞，4)．1. |ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1) |ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c；(2) |ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.2. |x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)199～202页)证明不等式的基本方法．① 了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法. ②能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式．1. 设a、b∈R＋，试比较a＋b2与a＋b的大小．解：∵ (a＋b)2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝（a－b）22≥0，∴a＋b≥a＋b2.2. 若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．解：(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即a＋b＋c的最大值为 3.3. 已知关于x的不等式x＋4x－a≥3，在x∈(a，＋∞)上恒成立，求实数a的最小值．解：∵ x＋4x－a＝x－a＋4x－a＋a≥24＋a＝4＋a，∴ a＋4≥3，∴ a≥－1.∴ 实数a 的最小值为－1.4. (2014·南通二模)已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R.求证：⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y.证明：因为x＞0，y＞0，所以x＋y＞0，所以要证⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)．即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y.5. 用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>12(n>1，n∈N*)的过程中，用n＝k ＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.解：当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1（k＋1）＋（k＋1），故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1，即A＝1（2k＋1）（2k＋2）.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2. 不等式证明的其他方法和技巧 (1) 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2) 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C 1≥C 2≥…≥C n≥B ，利用传递性达到证明的目的．(3) 数学归纳法3. 柯西不等式的二维形式(1) 柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2) 柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.(3) 三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2. 4. 柯西不等式的一般形式设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1，2，…，n)为任意实数，则∑ni ＝1a 2i ∑n i ＝1b 2i ≥(∑ni ＝1a ib i )2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n)．5. 算术—几何平均不等式a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a 1，a 2，…，a n ∈R ＋)．题型1 用比较法证明不等式, 1) 求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.证明：∵ (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0. ∴ a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 备选变式（教师专享）(2014·常州期末)已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1] ＝(1－y)(xy －1)(x －1)， ∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而，左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.题型2 用分析法、综合法证明不等式, 2) 已知x 、y 、z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得yzx＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .只要证x 2＋y 2＋z2xyz≥yz ＋zx ＋xy xyz ，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．变式训练已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，即证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，此式显然成立．∴ 原不等式成立． 题型3 均值不等式与柯西不等式的应用, 3) (2014·泰州期末)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，∴ abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”． 变式训练若实数x 、y 、z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：∵ (12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋2y ＋3z)2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，∴ x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.备选变式（教师专享）(2014·无锡期末)已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a 、b 、c 的值．解：∵ a ＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a 、b 、c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2，等号成立． 1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027., 4) 求函数y ＝1－x ＋4＋2x 的最大值． 解：∵y 2＝(1－x ＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2](1－x ＋2＋x)＝3×3，∴ y ≤3，当且仅当11－x ＝22＋x时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) 因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(2) 证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a 、b 、c∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.1. (2014·南京二模)已知a 、b 、c∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b)2＋(3c)2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(a ＋b ＋c)2.因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c)2≤11，即－11≤a ＋b ＋c≤11.故a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111.2. 设x 、y 、z∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．解：由柯西不等式可知(x ＋2y ＋3z)2＝14≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)，因为x 2＋y 2＋z 2＝1，所以当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．此时y ＝2x ，z ＝3x 代入x ＋2y ＋3z ＝14得x ＝1414，即 y ＝21414，z ＝31414，所以x ＋y ＋z ＝3147.3. 已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：∵ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)， 又a≥b>0，∴ a ＋b>0，a －b≥0，2a ＋b≥0， ∴ (a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0，∴ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，∴ 2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.4. (2014·南京、盐城期末)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.1. (2014·江苏)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy. 证明：因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y≥33x 2y>0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy.2. 已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) ∵ f(x＋2)＝m －|x|≥0，∴ |x|≤m ， ∴ m ≥0，－m≤x≤m，∴ f(x ＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m ＝1.(2) 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，a 、b 、c∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.3. 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1(1) 若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，求x ，y ，z 的值．(2) 若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，求正数t 的取值范围．解：(1) ∵ (2x 2＋3y 2＋6z 2)(12＋13＋16)≥(x＋y ＋z)2＝1，当且仅当2x 12＝3y 13＝6z 16时取“＝”．∴ 2x ＝3y ＝6z. ∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x ＝12，y ＝13，z ＝16.(2) ∵ (2x 2＋3y 2＋tz 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1t ≥(x ＋y ＋z)2＝1，∴ (2x 2＋3y 2＋tz 2)min ＝156＋1t.∵ 2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，∴ 156＋1t ≥1. ∴ t ≥6.4. (2014·苏锡常镇二模)已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x 、y 、z 都成立，求实数a 的取值范围．解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2][12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132]≥(x＋y ＋z)2.所以x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z13时取等号，即x ＝611，y ＝311，z ＝211取等号．则|a －2|≤611.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.1. 算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n>1且n∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n n 叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的几何平均数．基本不等式：(n∈N*，a i∈R＋，1≤i≤n)．2. 绝对值三角形不等式若a、b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.推论1：|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3. 柯西不等式若a、b、c、d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.4. 三角不等式设x1、y1、x2、y2∈R，则x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。

绝对值不等式(45分钟60分)1.关于x的不等式lg(错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

)<m .(1)当m=1时,解此不等式.(2)设函数f(x)=lg(错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

),当m为何值时,f(x)<m恒成立? 【解析】(1)当m=1时,原不等式可变为0<|x+3|-|x-7|<10,可得其解集为{x|2<x<7}.(2)设t=|x+3|-|x-7|,则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10.因y=lgx在(0,+∞)上为增函数,则lgt≤1,当t=10,x≥7时,lgt=1,故只需m>1即可,即m>1时,f(x)<m恒成立.2.(2016·邯郸模拟)设函数f(x)=|2x+1|+|x-a|(a∈R).(1)当a=2时,求不等式f(x)≤4的解集.(2)当a<-错误！未找到引用源。

时,若存在x≤-错误！未找到引用源。

使得f(x)+x≤3成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x+1|+|x-2|,当x≥2时,f(x)≤4,即为(2x+1)+(x-2)≤4,即x≤错误！未找到引用源。

成立,则有2≤x≤错误！未找到引用源。

,显然不成立;当x≤-错误！未找到引用源。

时,f(x)≤4,即为-(2x+1)-(x-2)≤4,即x≥-1,则-1≤x≤-错误！未找到引用源。

;当-错误！未找到引用源。

<x<2时,f(x)≤4,即为(2x+1)-(x-2)≤4,即x≤1,则有-错误！未找到引用源。

<x≤1.综上,原不等式的解集为[-1,1].(2)由a<-错误！未找到引用源。

,x≤-错误！未找到引用源。

可得f(x)+x=错误！未找到引用源。

因为存在x≤-错误！未找到引用源。

使得f(x)+x≤3成立,所以3≥(f(x)+x)min=-a-1,所以求得a≥-4,则a的取值范围为错误！未找到引用源。