概率统计和随机过程课件§1.2 概率的定义及其计算

i 1
n
P( A ) 1 P( A)
S A A 且 A A
P( A) 1
1= P ( S ) P ( A ) P ( A )
若 A B P( B A) P( B) P( A)
P( A) P( B)
B A (B A) 且 A (B A)

P Ai 可列可加性： i 1

P ( Ai )
i 1
19

其中 A1 , A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质

P () 0
P Ai i 1
n
有限可加性: 设 A1 , A2 , An 为两两互斥事件，
P( Ai )
5
A包括两个子事件: (1)只有一个奇数（2）只 有三个奇数, 因此，
1 3 3 1 k C C C C 5 4 5 4
1 3 3 1 C C C C 5 4 5 4 P ( A) 4 C 9
例2 投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5， 而另外两个出现的点数不同且不等于5的概 率.
A=“一个出现点数为5，另外两个出现的 点数不同且不等于5”
3
古典概型的性质：
非负性： A S , P( A) 0 规范性： P( S ) 1
有限可加性：
m P Ai i 1

P( A )
i i 1
m
其中 A1 , A2 , Am 为两两互斥事件。 证明：任意事件A包含的基本事件个数k 满足 k n ， 所以 0 P ( A ) 1。 S包含n个基本事件，据定义 P(S)=1
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件 lim f n ( A ) P ( A ) n 稳定性
16
频率稳定性的实例
蒲丰投币
投一枚硬币观察正面向上的次数 Buffon n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069
皮尔森投币
Pearson n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016
P( A) A的测度 S 的测度 L( A) L( S )
11
几何概型的性质：
非负性： A S , P( A) 0 规范性： P( S ) 1

m P 有限可加性： Ai i 1
P( A )
i i 1

m
其中 A1 , A2 , Am 为两两互斥事件。
P ( A3 )
( N 1) N
k
k
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
nA4 C ( N 1)
m k k m
P ( A4 )
Ck ( N 1)
m
k m
N
k
（5）至少有两个球在同一盒子中
nA N C N k !
k k
5
P( A5 )
N C N k!
将这 n 个元素按一定的次序排成一排， 不同的排法共有
n! k1!k 2 ! k m !
种
26
组合：从 n 个不同的元素中取出 m 个 （不放 回地）组成一组， 不同的分法共有
Cn
m
n! m!( n m)!
多组组合：把 n 个元素分成 m 个不同的组 （组编号）， 各组分别有 k1 , k2 ,, km 个元 素，k1 k2 km n ，不同的分法共有
C n C n k C k
1
k1
k2
km
m
种
27
习 题
• 习题一：6，11，13，15，18
28
它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
2
等可能（古典）概型
定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点：
基本事件的个数有限 每个基本事件发生的可能性大小相同 则称 E 为 等可能概型 等可能概型中概率的计算：
记 n S中所包含的基本事件的个数
k 组成 A的基本事件的个数 k 则 P( A) n
20
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B)
A 证明： B A ( B AB ) 且 A ( B AB )
所以， P(A B) P ( A ) P ( B AB )
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) 0.7 0.1 0.6
(2) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 ) 0.8
(3) P( A1 A2Leabharlann ) P( A1 A2 ) 0.2
23
排列、组合有关知识复习：
一般： ( A ) P( A ) P( A A ) P i i i j
n n i 1 n i 1 1i j n

1i j k n
P( Ai A j Ak ) (1)
n 1
P ( A1 A2 An )
22
例7 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出第 一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率 为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出第一类而答不出第二类问题的概率 (2) 两类问题中至少有一类能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 设事件Ai 表示“能答出第 i 类问题”i = 1,2 (1)
n N
k
设（1）~（5）的各事件分别为 则 n A k! P( A )
1
1
（2）恰有 k 个盒子中各有一球；
nA CN k !
k
2
A1 A5 n A1 k! k n N
P ( A2 )
C N k! N
k
8
k
（3）某指定的一个盒子没有球；
nA3 ( N 1)
k
§1.2 概率的定义及其计算
古典定义 几何定义 统计定义 概率的公理化定义
1
概念复习
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间，记为 样本空间的元素，即E 的每个可能的结果,称为 样本点(or基本事件)，常记为 ， = {} 随机事件 —— 样本空间的子集,常记为 A ,B ,…
6
k C 3 P5
1
2
P ( A)
C3 5 4
1
6
3
例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求
恰有3个球放在同一盒内的概率。
A=“恰有3个球在同一盒内”
k C 5 ( P1 0 P1 0 )
3 3 2
P
C 5 ( P1 0 P1 0 )
3 3 2
10
5
7
例4 （分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（ N）, 设每 k 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率 （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； 解
13
{( x, y ) 0 x 24,0 y 24}
A {( x, y ) ( x, y ) , 0 y x 1, 0 x y 2}
y 24
y=x
S 24
SA 1 2
2
23
2
22
2

P ( A) 1
SA S
0.1207
k k
N
k
1 P ( A2 )
9
几何概型 ( 等可能概型的推广)
例5 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率
10分钟
9点
P ( A) 10 60 1 6
10点
10
几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点 落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为
24
x
14
统计定义—频率 定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次， 则称
f n ( A) nA n
为事件A 在这 n 次试验中发生的频率
15
频率的性质

0 f n ( A) 1
非负性

f n (S ) 1
规范性
事件 A, B互斥，则
f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
18
概率的定义 概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫
哥洛夫1933年建立.
设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理： 非负性： A , P( A) 0 规范性： P( ) 1
又由 AB B ,
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB )
21
推广： P( A B C ) P( A) P( B) P(C )
P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m

i 1
i
种不同的方法 乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m