2019_2020学年高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则学案北师大版选修2_2

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。

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法则课后演练提升北师大版选修2—2一、选择题1．函数y＝cos 2x＋sin错误!的导数为( )A．－2sin 2x＋错误!B．2sin 2x＋错误!C．－2sin 2x＋错误!D．2sin 2x－错误!解析：y′x＝（cos 2x＋sin x)′＝(cos 2x)′＋（sin x）′＝－sin 2x·（2x)′＋cos错误!·（错误!）′＝－2sin 2x＋错误!.答案: A2．函数y＝log3cos2x的导数是（)A．－2log3e·tan x B．2log3e·cot xC．－2log3cos x D.错误!解析：y′＝错误!log3e（cos2x)′＝错误!log3e·2cos x·（cos x)′＝错误!log3e·2cos x（－sin x)＝－2log3e·tan x.答案：A3．曲线y＝e错误!在点(4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.错误!e2B．4e2C．2e2D．e2解析：因为y′＝错误!·e错误!,所以切线的斜率k＝错误!e2.所以切线的方程为y－e2＝错误!e2（x－4)．所以横、纵截距分别为2，－e2。

5 简单复合函数的求导法则1． 设函数)(u f y =与函数)(x u ϕ=构成复合函数))((x f y φ=；如果 ① 函数)(x u ϕ=在点x 处可导；② 函数)(u f y =在对应点)(x u ϕ=可导；则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导，且)()())((x u f x f x u x ϕ''='，即 x u x u y y ''='，或 . 证 设x 有增量0Δ≠x ，则相应地函数u = φ (x )有增量Δu ，从而函数y = f (u )有增量Δy ，由②及极限与无穷小的关系知 )(u f u 'α+∆∆=∆∆=→∆uy u y u 0lim （其中00→⇒→∆αu ）, 当0≠∆u 时有 uu u f y u ∆+∆'=∆α)(；(1)当0=∆u 时，规定α = 0，上式仍成立。

两边同除以x Δ，得 ⑵由于)(x u ϕ=点x 可导，必定在点x 连续，于是00)()(0→⇒→-∆+=∆⇒→∆αϕϕx x x u x ；再由①知，(2)式令0Δ→x 取极限，即得 x u x u u f xy x x x u x ∆∆⋅+∆∆'=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim )(lim α)()(x u f x u ϕ'⋅'=， 即x d u d u d y d x d y d ⋅=. xu x u u f x y u ∆∆α∆∆∆∆+'=)(xd u d u d y d x d y d ⋅=复合函数的求导法则也形象地称为链式法则——函数对自变量的导数=函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

它是微分运算技巧的重要基础。

1．2sin x y =，求xd y d . 【解析】设 2x u =，则u y sin =，所以 22cos 22)(cos )()(sin x x x u x u xd u d u d y d x d y d =⋅=''=⋅=. 注 熟练后不必写出中间变量了，但一定注意不能漏掉对中间变量的求导：. 2．x y tan ln =，求xd y d . 【解析】 x x x u x u xd u d u d y d x d y d tan sec sec 1)(tan )(ln 22=⋅=''=⋅=. 注 链式法则可以推广到有限多个函数：设函数)(,)(,)(x h v v g u u f y ===均可导，则有)()()(x h v g u f dx dv v d u d u d y d x d y d '⋅'⋅'=⋅⋅=. 3． )e cos(ln x y =，求y d . 【解析】 . 4．x y 1sin e =，求xd y d . 【解析】.5． μx y = ( x > 0 )，求y '.x x x x x x x e x d y d e tan e )()e sin ()e (cos 1)e (cos )e (cos 1-='⋅-='=2222cos 22cos )(cos x x x x x x x d y d =⋅='⋅=x x x x x x x x d y d x x x x 1cos e 1)1()1(cos e )1(1cos e )1(sin e 1sin 221sin 1sin 1sin ⋅-=-⋅⋅='⋅⋅='⋅=【解析】1ln ln ln )ln ()()(-=='='='='μμμμμμμμx x e x e e x y x x x .注 将幂函数转化为指数函数，和将幂指函数转化为指数的复合函数的方法是求极限和导数常用的方法。

§5简单复合函数的求导法则最新课程标准学科核心素养能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算)3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)[教材要点]要点一复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成____________，称这个函数为函数y＝f (u)和u ＝φ(x )的____________，记作____________，其中u为中间变量．要点二复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y x′＝____________．即y对x的导数是__________________．状元随笔(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．( )(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.( )(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.( )(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x．( )2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( )A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x3．若函数f(x)＝3cos (2x＋)，则f′()等于( )A．－3 B．3C．－6 D．64．曲线y＝e－x在点(0，1)的切线方程为________．题型一求复合函数的导数例1 求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝cos (2 021x＋8)；(3)y＝e1－3x；(4)y＝ln (2x－6)．方法归纳复合函数求导的步骤跟踪训练1 (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；(3)y＝sin (－2x＋)；(4)y＝102x＋3.题型二复合函数的导数与曲线的切线问题例2 (1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为__________．方法归纳准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．跟踪训练2 (1)设曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，则切线l的方程为________；若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，则实数u的取值范围为________________________________________________________________________．题型三复合函数的导数在实际问题中的应用例 3 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin (t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．方法归纳将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．跟踪训练3 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克易错辨析对复合函数求导不完全致错例4 函数y＝x e1－2x的导数y′＝________．解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x(－2)＝(1－2x)e1－2x.答案：(1－2x)e1－2x【易错警示】出错原因纠错心得对e1－2x 的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错．复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导．[课堂十分钟]1．y＝5的导数是( )A．54B．5C．104D．542．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )A．2x －y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．e x－y －2e ＋1＝0D．e x＋y ＋2e－1＝03．(多选题)下列导数运算正确的有( )A．′＝B ．′＝(x＋1)e xC．′＝2e2xD．′＝4．已知f(x)＝sin ，则f′＝____________．5．设函数f(x)＝a e x ln x＋.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．§5简单复合函数的求导法则新知初探·课前预习要点一x的函数复合函数y＝f(φ(x))要点二y u′·u x′y对u的导数与u对x的导数的乘积[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.答案：AD3．解析：由题意得f′(x)＝－6sin (2x＋)，∴f′()＝－6sin＝6sin＝6×＝3.答案：B4．解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴y′|x＝0＝－1，∴切线方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝0题型探究·课堂解透题型一例1 解析：(1)设u＝φ(x)＝3－4x，则y＝f(u)＝＝u－4，∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(3－4x)′＝(－4u－5)·(－4)＝＝.(2)设u＝φ(x)＝2 021x＋8，则y＝f(u)＝cos u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cos u)′·(2 021x＋8)′＝(－sin u)·2 021＝－2 021sin (2 021x＋8)．(3)设u＝φ(x)＝1－3x，则y＝f(u)＝e u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(e u)′·(1－3x)′＝e u·(－3)＝－3e1－3x.(4)设u＝φ(x)＝2x－6，则y＝f(u)＝ln u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(ln u)′·(2x－6)′＝×2＝＝.跟踪训练1 解析：(1)设u＝φ(x)＝2x－1，则y＝f(u)＝u4，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设u＝φ(x)＝1－2x，则y＝f(u)＝＝，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝)′·(1－2x)′＝)·(－2)＝＝.(3)设u＝φ(x)＝－2x＋，则y＝f(u)＝sin u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sin u)′·(－2x＋)′＝cos u·(－2)＝－2cos (－2x＋)．(4)设u＝φ(x)＝2x＋3，则y＝f(u)＝10u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln 10)×2＝(2ln 10)102x＋3.题型二例2 解析：(1)设x>0，则－x<0，因为x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝e x－1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.(2)因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.答案：(1)2x－y＝0 (2)跟踪训练2 解析：(1)令y＝f(x)，则曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(x)＝(e ax)′＝a e ax.所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.(2)f′(x)＝2ax＋(x<2)，∴f′(1)＝2a－2 又f(1)＝a，∴切线l的方程为：y－a＝(2a－2)(x－1)，即2(a－1)x－y＋2－a＝0.若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，则圆心到直线l的距离d＝<.解得a>，即实数a的取值范围为(，＋∞)．答案：(1)2 (2)2(a－1)x－y＋2－a＝0 (，＋∞)题型三例3 解析：设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos x·＝cos .将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝(m/h)．它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.跟踪训练3 解析：M′(t)＝，由M′(30)＝＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝，所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝＝600×＝150(太贝克)．故选D.答案：D[课堂十分钟]1．解析：令u＝3x2＋2x，则y＝u5，∴u′x＝6x＋2，y′u＝5u4，∴y′x＝y′u·u′x＝5.故选A.答案：A2．解析：∵y＝e2x－4，求导得y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，所以切线的斜率为2.又当x＝2时，y＝e2x－4＝e0＝1，所以切点为(2，1)．所以切线方程为2x－y－3＝0.故选A.答案：A3．解析：对于A，′＝′＝－x－2＝－，故错误；对于B, ′＝x′e x＋x′＝(x＋1)e x，故正确；对于C, ′＝′e2x＝2e2x，故正确；对于D, ′＝′＝，故错误．故选BC.答案：BC4．解析：由f(x)＝sin ，可得f′(x)＝cos ·′＝，故f′＝＝－.答案：－5．解析：(1)由f(x)＝a e x ln x＋，得f′(x)＝(a e x ln x)′＋′＝a e x ln x＋.(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝a e＝e，∴a＝1.。

复合函数的求导法则教案教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.（二）教学重、难点及分析重点：理解简单复合函数的复合过程，简单复合函数的求导法则的应用.难点：复合函数结构的分析，简单复合函数的求导法则的应用.教学三维目标（一）知识与技能（1）了解简单复合函数的求导法则；（2）会运用上述法则，求简单复合函数的导数.（二）过程与方法培养学生感悟由特殊到一般的直观归纳的研究方法，培养学生的归纳总结能力与主动观察和探究发现的能力.（三）情感态度与价值观1.通过提问使学生展现自己.2.让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.一、复习回顾基本初等函数的导数公式公式1.0)(,)(='=x f c x f 则若公式2.1)(,)(-⋅='=n n x n x f x x f 则若公式3.x x f x x f cos )(,sin )(='=则若公式4.x x f x x f sin )(,cos )(-='=则若公式5.)0(ln )(,)(>='=a a a x f a x f x x 则若公式6.x x e x f e x f ='=)(,)(则若公式7.)10(ln 1)(,log )(≠>='=a a a x x f x x f a 且则若 公式8.xx f x x f 1)(,ln )(='=则若 导数的运算法则法则1：两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即[])()()()(x g x f x g x f '±'='±法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='⋅法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方.即[]0)(,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 法则2推论：[])()()()(x f c x f c x f c x f c '='+'='⋅二、探究引入思考：如何求函数)23ln(+=x y 的导数呢？我们无法用现有的方法求函数)23ln(+=x y 的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设23+=x u ，则u y ln =.即)23ln(+=x y 可以看成是由u y ln =和23+=x u 经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数.如果把y 与u 的关系记作)(u f y =，u 和x 的关系记作)(x g u =，“复合”过程可以表示为 )23ln())(()(+===x x g f u f y .如函数2)32(+=x y ，是由2u y =和32+=x u “复合”而成的. 三、新课讲解复合函数的概念：一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数.记作))((x g f y =.实战演练例：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成.x x y +=22)1()sin(log )2(2x e y =注意：法则可推广到两个以上的中间变量.解：x x u y u +==2,2)1(x v e v u u y ===,log ,sin )2(2复合函数求导法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为：x u x u y y '⋅'='即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.推广：)(u f y =，)(v g u =，)(x h v = x v u x v u y y '⋅'⋅'='无论是几层函数复合都可以按照复合函数求导法则，外导乘内导例 求)23ln(+=x y 的导数解：第一步：u y ln =，23+=x u 第二步：uy u1='，3='x u 第三步：23331+=⋅='x u y x（学生总结复合函数求导步骤）复合函数求导三部曲：第一步：分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量）.第二步：层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）.第三步：相乘还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原）.例 求下列函数的导数（以老师计算、演示为主，说明根据复合函数求导公式求导数的具体操作过程.）（1）2)32(+=x y解：方法一()91243222++=+=x x x y 128+='x y思维点拨：括号直接展开求导；本题还有另外的解法，学生思考分析.方法二函数2)32(+=x y 可以看作函数2u y =和32+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有 ()()'+⋅'='⋅'='322x u u y y x u x ()12832422+=+=⋅=x x u（2）105.0+-=x e y 解：函数105.0+-=x e y 可以看作函数ue y =和105.0+-=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+-⋅'='⋅'='105.0x e u y y u x u x ()05.0-⋅=ue 105.005.0+--=x e（3）()ϕπ+=x y sin （其中ϕπ,均为常数）解：函数()ϕπ+=x y sin 可以看作函数u y sin =和ϕπ+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+⋅'='⋅'='ϕπx u u y y x u x sinu cos π=()ϕππ+=x cos（4）32-=x y解：函数()2132-=x y 可以看作函数21u y =和32-=x u 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ()'-⋅'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅'='3221x u u y y x u x 2121221--=⋅=u u ()3213221-=-=-x x 通过例题，使学生掌握复合函数求导的方法和步骤.四、当堂检测1.若函数x y 2sin =，则y '等于（ ） A .x 2sin B .x sin 2 C .x x cos sin D .x 2cos2.函数()223-=x y 的导数为（ ） A .()232-x B .x 6 C .()236-x x D .()236-x3.求下列函数的导数.（1）xe y 3=（2）3cos x y =解：（1）x e y 33='（2）3sin 31x y -=' 总结：复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.能力提升1.求函数x e y x ππsin =的导数.解：x e x e y x x ππππππcos sin +='2.求函数()52sin 2+=x x y 的导数.解：()()52cos 452sin 2+++='x x x y3.求函数21x xy +=的导数.解：()()()2222111x x x x x y +'+-+'=' 222121211x xxx x +⋅+-+= 2222111x x x x ++-+= ()()2222111x x x x ++-+= ()22111x x ++=简单复合函数导数的应用1. 求曲线12)(+=x ex f 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处的切线方程. 解：122)(+='x e x f 22)21(0==-'=e f k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2121x y 即022=+-y x ∴切线方程为022=+-y x五、课堂小结1. 复合函数求导的一般步骤为“分层→求导→相乘回代”.2.（1）分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键（2）对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外向内逐层求导.六、课后作业（拓展延伸）（1）()()x y sin sin sin = （2）()()x y ln ln ln =。

[A组基础巩固]1．函数y＝2sin 3x的导数是()A．2cos 3x B．－2cos 3xC．6sin 3x D．6cos 3x解析：y′＝(2sin 3x)′＝6cos 3x.答案：D2．y＝(3x2＋2x)5的导数是()A．5(3x2＋2x)4(6x＋2)B．(6x＋2)5C．10(3x＋2)4D．5(3x＋2)4(6x＋2)解析：y′＝5(3x2＋2x)4·(3x2＋2x)′＝5(3x2＋2x)4(6x＋2)．答案：A3．y＝log3cos2x的导数是()A．y′＝－2log3e·tan x` B．y′＝2log3e·cot xC．y′＝－2log3cos x D．y′＝log3e cos2x解析：y′＝1cos2x log3e·(cos2x)′＝1cos2x log3e·2cos x·(cos x)′＝1cos2x log3e·2cosx·(－sin x)＝－2log3e·tan x，故选A.答案：A4．函数y＝x2cos 2x的导数为()A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解析：y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos2x －2x 2sin 2x . 答案：B5．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( ) A ．20 mm B ．400 mm C.12mm/minD.14mm/min 解析：f ′(t )＝1210t ·10＝510t， ∴f ′(40)＝5400＝14. 答案：D6．若f (x )＝e x ＋e －x2，则f ′(0)＝________.解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 答案：07．若y ＝x 2(1＋x )，则y ′＝________. 解析：y ′＝2x (1＋x )＋x 2(1＋x )′＝3252x ＋2x .答案：3252x ＋2x8．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________. 解析：f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3，所以f ′(2)＝1ln 3. 答案：1ln 39．求下列函数的导数：(1)y ＝cos(π4－3x )；(2)y ＝1x (2＋5x )10；(3)y ＝12ln(1＋x 2)．解析：(1)y ′＝[cos(π4－3x )]′＝－sin(π4－3x )·(－3) ＝3sin(π4－3x )．(2)y ′＝[1x (2＋5x )10]′＝－1x 2(2＋5x )10＋1x ·10(2＋5x )9·5＝－(2＋5x )10x 2＋50(2＋5x )9x ＝(2＋5x )9(45x －2)x 2.(3)y ′＝12[ln(1＋x 2)]′＝12·11＋x 2·(1＋x 2)′ ＝12(1＋x 2)·2x ＝x 1＋x 2. 10．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点(－12，ln 2)处切线的倾斜角． 解析：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在点(－12，ln 2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.[B 组 能力提升]1．函数y ＝e 2x－4在点x ＝2处的切线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．e x －y －2e ＋1＝0D ．e x ＋y ＋2e －1＝0解析：y ′＝2e 2x －4，则当x ＝2时，y ′＝2e 0＝2，∴斜率为2. 又当x ＝2时，y ＝e 2×2－4＝1，∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x －y －3＝0. 答案：A2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝(4e x ＋1)′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x ＋2＋1e x，故tan α＝y ′|x ＝x 0＝－4e x 0＋2＋1e x 0.因为e x 0＋1e x 0≥2，所以e x 0＋1e x 0＋2≥4，故tan α＝－4e x 0＋2＋1e x∈[－1,0)，又α∈[0，π)，所以α∈[3π4，π)． 答案：D3．函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．解析：因为y ＝sin 2x ，所以y ′＝2sin x (sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x ， 所以k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝sin π3＝32.答案：324．已知函数f (x )＝x －1x ＋a ＋ln(x ＋1)，其中实数a ≠－1.若a ＝2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝x ＋a －(x －1)(x ＋a )2＋1x ＋1＝a ＋1(x ＋a )2＋1x ＋1.当a ＝2时，f ′(0)＝2＋1(0＋2)2＋10＋1＝74，而f (0)＝－12，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74(x －0)，即7x －4y －2＝0. 答案：7x －4y －2＝05．求证：定义在R 上的偶函数在x ＝0处的导数为零． 证明：设f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )． 两边对x 求导，得f ′(－x )·(－x )′＝f ′(x )， 即－f ′(－x )＝f ′(x )．令x ＝0，有－f ′(0)＝f ′(0)，所以f ′(0)＝0. 6．设一质点的运动规律为S (t )＝e 1－3tcos(2πt ＋π3)，试求t ＝13时质点运动的速度v .解析：由S (t )＝e 1－3tcos(2πt ＋π3)得S ′(t )＝－3e 1－3tcos(2πt ＋π3)＋e 1－3t [－sin(2πt ＋π3)]·2π＝－3e 1－3tcos(2πt ＋π3)－2π·e 1－3t sin(2πt ＋π3)，∴S ′(13)＝－3e 0cos π－2πe 0sin π＝3. 即当t ＝13时，质点运动的速度v ＝3.。