【知识学习】高三数学理科几何证明总复习教学案

立体几何中的有关证明与综合问题例1．已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。

（1）求证：AC⊥面BB’C’C。

（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC⊂面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。

（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C 内的射影B’C⊥BC’。

即四边形BB’C’C为菱形。

此时，BC=BB’。

因为B’D⊥面ABC，所以，BDB'∠就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。

由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时BDB'∠=︒60。

即当α=︒60时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

例2．如图：已知四棱锥ABCDP-中，AC C'底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。

（1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ；（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。

在正方形ABCD 中，DC ⊥CB ， ∴ DE ⊥CB 。

又C BC PC =⋂，PBC BC PC 面⊂,， ∴ DE ⊥PBC 面。

又⊂DE 面EDB ，∴ 平面EDB ⊥平面PBC 。

（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习几何证明选讲教案理新人教A版选修4-1第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理．2．会证明并应用直角三角形射影定理．1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定理①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．②判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．②推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形相似的判定定理①判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和．( )(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．( )(3)在△ABC中，AD是BC边上的高，若AD2＝BD·CD，则∠A 为直角．( )(4)在直角三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AD，则BC2＝BD·AB.( )(5)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：83.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm.∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：244.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：45[典题1] (1)如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BF FC的值． 第(1)题图 第(2)题图(2)如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．[听前试做] (1)如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM .又点D 是AC 的中点，∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. (2)设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH， ∴x 4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43. 即△DEF 的边长为43. 对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FG AD的值． 解：由平行线分线段成比例定理得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. [典题2] 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．[听前试做] (1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4. 又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10， 所以20＝12×10×AM ， 所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM. 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE4＝55＋52，解得DE＝83.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED，CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC.∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.[典题3] 如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB ⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.[听前试做] 在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E .∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2. 又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DC AC， ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22＝12， ∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC. 证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线，∴DF AE ＝BD AB，①AF EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC.③ 由①③得DF AE ＝AB BC ，④ 由②④得DF AF ＝AE EC. —————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．2．等积式的证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．[易错防范]1．平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．1.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠C .又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°.又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM .又∵∠EMA ＝∠AMD ，∴△AMD ∽△EMA . ∴AM DM ＝EM AM，∴AM 2＝DM ·EM . 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2. 又DE ＝12CD ＝12AB ， ∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AF AC的值． 解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ，∴AF CF ＝AE CN， ∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AM BM＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15. 4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE BF， 即AE ·BF ＝2DE ·AF .5. (2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证： (1)EF ⊥BC ；(2)∠ADE ＝∠EBC .证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a .(1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB. ∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°，∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE. 证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AM AE， 因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF . 对△MBN 有AB AM ＝BD DN， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DC DN . 对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝AC AF. 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE. 第二节 直线与圆的位置关系考纲要求：1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理．2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等．②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角．②90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等．( )(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆．( )(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．( )(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．( )(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PA ＝AB＝5，CD＝3，则PC的长为________．解析：设PC＝x，由割线定理知PA·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：23．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：44．如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E 分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝________.解析：设x＝BC＝AD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x＋10)＝4(x＋4)，∴x＝2，∴AB＝42－22＝2 3.答案：23[典题1] (2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[听前试做] (1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF 的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF ，从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1. 于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. [典题2] 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．[听前试做] (1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCAF＝DCAE，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2 .证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O 的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.[典题3] 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[听前试做] 连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB .因为AC 是⊙O 1的切线，所以∠BAC ＝∠ADB .又∠BAC ＝∠CEP ，所以∠ADB ＝∠CEP ，所以AD ∥EC .(2)法一：因为PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线，所以PA 2＝PB ·PD ，即62＝PB ·(PB ＋9)．所以PB ＝3或PB ＝－12(舍去)．在⊙O 2中由相交弦定理，得PA ·PC ＝BP ·PE ，所以PE ＝4. 所以DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16.因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12.法二：设BP ＝x ，PE ＝y .因为PA ＝6，PC ＝2，所以由相交弦定理得PA ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12.① 因为AD ∥EC ，所以DP PE ＝AP PC ，所以9＋x y ＝62.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝－1(舍去)，所以DE ＝9＋x ＋y ＝16.因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．处理与圆有关的比例线段问题的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系．2．圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．3．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．4．相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．[易错防范]1．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．1．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC.D为圆O上一点，且AD∥OC.(1)求证：CO平分∠DCB；(2)已知AD·OC＝8，求圆O的半径．解：(1)证明：连接OD，BD，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴OC⊥BD.设BD∩OC＝E，OD＝OB，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE，∴BE＝DE，同理，△CBE≌△CDE，∴∠BCO＝∠DCO，∴CO平分∠DCB.(2)∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD∥OC，∴∠DOC＝∠ODA，∴∠DOC＝∠OAD，∴Rt△BDA∽Rt△CDO.∴AD·OC＝AB·OD＝2OD2＝8.所以所求圆的半径为 2.2．(2015·湖南高考)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明： (1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .3．(2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD ＝3.又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.4. (2016·开封模拟)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O 在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．5．(2016·南昌模拟)如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D 和E.(1)求证：AB·PC＝PA·AC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴AB·PC＝PA·AC.(2)∵PA 为圆O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC ，∴PC ＝40，BC ＝30.又∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝900， 又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝125，AB ＝65， 连接EC ，则∠CAE ＝∠EAB ，∠CEA ＝∠DBA ，∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC，AD ×AE ＝AB ×AC ＝65×125＝360. 6．(2016·唐山模拟)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC ＝BC ，求∠BAC .解：(1)证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF .设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰三角形ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.。

高中数学证明教案
一、教学目标：
1. 了解数学证明的基本概念和方法。

2. 掌握数学证明的基本步骤和技巧。

3. 提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重点和难点：
重点：掌握数学证明的基本步骤和技巧。

难点：独立完成数学证明题目。

三、教学内容：
1. 数学证明的基本概念和特点。

2. 数学证明的基本方法和步骤。

3. 数学证明的常见技巧和策略。

四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入数学证明的概念，引发学生的兴趣和思考。

2. 提出问题：给学生提出一个需要证明的数学问题，要求学生独立思考一段时间后展开讨论。

3. 解题方法：介绍数学证明的基本方法和步骤，帮助学生理清证明的思路。

4. 案例分析：带领学生分析一道典型的证明题目，帮助学生理解数学证明的具体操作过程。

5. 练习训练：让学生在教师的指导下进行数学证明的练习，提高学生的解题能力。

6. 总结提升：对本节课的内容进行总结，并提出下节课的学习任务和要求。

五、教学评价：
1. 通过课堂练习和作业检查，检验学生是否掌握了数学证明的基本方法和技巧。

2. 通过课堂讨论和问答环节，了解学生是否能够独立进行数学证明的思考和操作。

六、教学反思：
1. 分析学生在学习数学证明过程中的问题和困难，并找出解决方法。

2. 对教学内容和方法进行评估和调整，提高教学效果和学生学习兴趣。

最新整理高三数学20 高考数学备考几何证明复习教案选考部分第一讲：几何证明选讲1．在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则 .类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________解析： PA、PB、PC两两互相垂直, PA⊥平面PBC. 由已知有:PD= , 即2．如图，点是圆上的点,且 ,则对应的劣弧长为．答案：3．如图，AB为的直径，C为上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交于Q，若，AB=4，则 .答案：34．如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．解析:解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则5．如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 . .c.o.m图3解析：连结AO,OB,因为 ,所以 , 为等边三角形,故圆O的半径 ,圆O的面积 .6．如图, 是两圆的交点, 是小圆的直径, 和分别是和的延长线与大圆的交点,已知 ,且 ,则 =______ _____.7．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。

若AD＝2，AE ＝1，则CD的长为 3 。

8．如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点,且OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则△ABD的面积是_____ ______．9．如图，已知与相交于A，B两点，直线PQ切于P，与交于N、Q两点，直线AB交PQ于M，若MN=2， PQ=12，则PM=__4__。

10．如图，平分，，，如果，则的长为．11．如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，若CD=4，BD=8，用圆O 的半径等于 5 ．12．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是______.解析分别连结OB、OC、AC.∴OB⊥EB，OC⊥EF，∵∠E=46°，∴∠BOC=134°，∴∠BAC=67°，∵∠DCF=32°，∴∠CAD=32°，∴∠BAD=67°+32°=99°.答案：99°13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=4 cm,AC=3 cm,DE∥BC且DE把△ABC 周长分为相等的两部分，则DE=_____.解析∵∠BAC=90°,∴BC=5 cm.设AD=x cm,AE=y cm,则x+y=6 ①②14．四边形ABCD为圆的内接正方形，AD=4，弦AE平分BC交BC于M，则CE 的长为_____.。

《几何证明复习》教学设计教学目标：1.熟练运用三角形、四边形的相关知识解决问题；2.经历观察，猜想，推理验证等过程，发展几何直观，积累分析问题和探究问题的经验，培养学生的探究、推理能力；3.灵活应用正向推理、逆向推理、正逆结合三种推理方式解决几何证明问题。

教学重难点：灵活应用三角形、四边形的相关知识，选择适当的推理方式解决几何证明问题。

教学过程：第一环节前置诊断教学内容：1、已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接AE,CF,AC.求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足时，四边形AECF是矩形；（3）当△ABC满足时，四边形AECF是菱形；2、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，连接AD，若AD⊥BC, 试判断四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论。

设计意图：1、题目1考查学生证明三角形全等时步骤的规范性，以及从平行四边形到矩形或菱形的变形中能不能准确找到突破口；题目2注重呈现学生不同的的思维过程。

2、了解学情，依据学情提高课堂的针对性。

教学策略：学生课前完成前置诊断，教师课前批阅，了解学情，收集上课资源。

第二环节诊断反馈教学内容：1、通过PPT呈现学生课前测的完成情况。

2、几何画板动态呈现平行四边形到特殊平行四边形的变形。

设计意图：1、落实步骤的规范性，注意方法多样化和优化，关注不同思维方式。

2、从图形的角度引导学生关注特殊四边形的性质和判定。

学情预设及教学策略：学生在讲解时可能只关注到知识层面，教师要适时进行方法层面的引导，同时引导学生关注不同方法之间的比较。

第三环节课堂探究探究一教学内容：从基本图形出发，通过条件不断变化和特殊化依次完成五个变式的探究。

在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，分别过点C、D作BD和AC的平行线，交于点E.问题1：试判断四边形OCED是什么特殊的四边形。

问题2：你能拖动点A的位置来改变四边形ABCD的形状，使四边形OCED更特殊吗？问题3：在四边形ABCD是矩形的基础上，连接OE，与DC相交于点F，若∠DBC=60°，试判断四边形OBCE是什么特殊的四边形，并说明理由。

总复习数学教案高中
主题：高中数学总复习
时间：2周
教学目标：
1. 复习高中数学的重点知识点
2. 提高学生解题能力和思维逻辑
3. 为高考做好最后一次综合性的复习
教学内容：
第一周：
1. 复习代数与方程部分：包括多项式、一元二次方程、不等式、函数等
2. 复习几何部分：包括平面几何和立体几何的知识点
3. 复习概率与统计部分：包括概率的基本概念、排列组合、统计图表等
第二周：
1. 复习三角函数部分：包括三角函数的基本概念、常用公式等
2. 复习数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列、数学归纳法的应用等
3. 复习解析几何部分：包括直线、平面、圆的方程、三角形的性质等
教学方法：
1. 教师讲解复习重点知识点，引导学生理清思路，掌握解题方法
2. 组织学生进行针对性的练习，加强对知识点的巩固
3. 布置作业，督促学生独立思考、解题
4. 定期组织模拟考试，检验学生学习效果
教学资源：
1. 教材、课外辅导书等书籍
2. 论坛、网络资源等
3. 模拟试题、习题等
评价方式：
1. 平时作业的表现
2. 模拟考试成绩
3. 课堂表现和参与度
注意事项：
1. 保持良好的学习状态，认真对待每一堂课
2. 积极主动地找老师请教问题
3. 涉及重要知识点的内容要重点掌握
以上是本次高中数学总复习教案的大体框架，希望同学们在此次复习中能够全力以赴，取得优异的成绩。

祝愿大家高考顺利，取得理想的成绩！。

高考数学立体几何备考复习教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。

2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握立体几何的解题方法，提高解题能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习立体几何的兴趣，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. 立体几何的基本概念：点、线、面的位置关系，空间向量。

2. 立体几何的性质：平行公理，空间向量的运算律。

3. 立体几何的定理：平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。

4. 立体几何的计算：体积、表面积、角、距离的计算。

5. 立体几何的综合应用：空间几何体的结构特征，几何体的运动变化。

三、教学重点与难点1. 教学重点：立体几何的基本概念、性质和定理，立体几何的计算方法。

2. 教学难点：立体几何的综合应用，空间想象能力的培养。

四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论、探索相结合的方法，引导学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理。

2. 通过案例分析、几何画板演示等手段，培养学生的空间想象能力。

3. 组织学生进行合作学习，提高学生的解题能力。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习与作业：检查学生完成的练习和作业，评估学生的掌握程度。

3. 考试成绩：定期进行立体几何的测试，分析学生的成绩，了解学生的学习效果。

教案第一课时：立体几何的基本概念1. 教师讲解立体几何的基本概念，如点、线、面的位置关系，空间向量。

2. 学生通过案例分析，理解并掌握基本概念。

第二课时：立体几何的性质1. 教师讲解立体几何的性质，如平行公理，空间向量的运算律。

2. 学生通过几何画板演示，直观地理解立体几何的性质。

第三课时：立体几何的定理1. 教师讲解立体几何的定理，如平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。

2. 学生通过案例分析，掌握立体几何的定理。

数学高考专题复习课教案一、教学目标。

1. 知识目标，复习高考数学中的重点知识点，包括函数、导数、不等式、平面向量、立体几何等内容。

2. 能力目标，提高学生的数学解题能力，培养学生的逻辑思维和数学建模能力。

3. 情感目标，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心，培养学生的坚韧不拔的学习态度。

二、教学重点和难点。

1. 教学重点，重点复习高考数学中的常见题型和解题技巧，帮助学生掌握解题方法。

2. 教学难点，帮助学生理解和掌握数学中的抽象概念和思维方法，提高解题能力。

三、教学内容。

1. 函数。

a. 函数的概念和性质。

b. 函数的图像和性质。

c. 函数的运算和复合函数。

d. 函数的应用题。

2. 导数。

a. 导数的定义和性质。

b. 导数的计算和应用。

c. 函数的极值和最值。

d. 函数的图像和导数的关系。

3. 不等式。

a. 不等式的基本性质。

b. 一元一次不等式和一元二次不等式的解法。

c. 不等式组的解法。

d. 不等式在几何问题中的应用。

4. 平面向量。

a. 平面向量的概念和性质。

b. 平面向量的运算和应用。

c. 平面向量的数量积和向量积。

d. 平面向量在几何问题中的应用。

5. 立体几何。

a. 空间直角坐标系和空间向量。

b. 空间中的点、直线和平面。

c. 空间几何体的性质和计算。

d. 空间几何问题的解法。

四、教学方法。

1. 理论讲解，通过教师讲解和板书展示，系统地介绍各个知识点的概念、性质和解题方法。

2. 例题演练，选择典型的高考题目，进行详细的解题分析和演示，让学生掌握解题技巧。

3. 课堂练习，布置一定数量的课堂练习题，让学生在课堂上进行练习和讨论，及时发现和纠正错误。

4. 课后作业，布置大量的课后作业，包括选择题、填空题、解答题和证明题，巩固学生的知识点和解题能力。

五、教学评价。

1. 课堂表现，通过课堂练习和讨论，评价学生的课堂表现和学习态度。

2. 作业完成情况，检查学生的课后作业完成情况，及时发现和纠正错误。

高中数学几何复习教案
时间：2小时
一、复习要点：
1. 直线、线段、射线的定义及性质；
2. 角的分类及性质；
3. 相交线和平行线的性质；
4. 三角形的分类及性质；
5. 四边形的分类及性质；
6. 圆的定义及性质；
7. 相交圆的性质；
8. 几何证明方法。

二、教学步骤：
1. 复习直线、线段、射线的定义及性质，通过例题练习巩固概念；
2. 复习角的分类及性质，包括对顶角、同位角、内错角、补角等的掌握；
3. 复习相交线和平行线的性质，着重讲解平行线的判定方法；
4. 复习三角形的分类及性质，包括对等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的认识；
5. 复习四边形的分类及性质，强调对矩形、正方形、菱形、梯形等的认识；
6. 复习圆的定义及性质，包括对弧长、圆心角、同弦角等的了解；
7. 复习相交圆的性质，引导学生掌握切线、切点、切圆的相关概念；
8. 复习几何证明方法，包括直接证明、间接证明、反证法等。

三、教学建议：
1. 学生可以通过课堂练习、小组讨论、实例演练等方式巩固复习内容；
2. 鼓励学生在复习过程中多做笔记、总结，提高复习效率；
3. 老师要及时纠正学生的错误，引导其正确理解几何知识；
4. 给学生留下适量的课后作业，巩固所学知识。

四、教学反馈：
1. 老师可以通过课堂问答、练习考核等方式了解学生的掌握情况；
2. 学生也可以通过课后测试、讨论、反馈等方式向老师反馈自己的学习情况。