一元二次不等式恒成立的常见处理策略ppt课件

1一元二次不等式专题辅导“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，成为考试的一个热点.题型一 定义域为R 时即恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a （注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况） 例1已知不等式02>++k x x 对任意的R x ∈恒成立，求k 的取值范围.解：判别式△<0，即可. 例2.若不等式232kx +k 08x -<对任意实数x 恒成立，求k 取值范围.解：若2k=0，则不等式等价为083<-恒成立，满足条件. 若2k ≠0,要使不等式恒成立，则⎪⎩⎪⎨⎧<+=-⋅-=∆<03)83(240222k k k k k ，即⎩⎨⎧<<-<030k k ， 得03-<<k ，综上03-≤<k .变式1：设a 是常数，对任意2,10,x R ax ax ∈++>则a 的取值范围是（ ）变式2：若关于x 的不等式221)(1)20m x m x -+-+<（解集为∅，求实数m 的取值范围.解：不等式的解集为∅，等价为221)(1)20m x m x -+-+≥（恒成立， 当012=-m ，即m=1或m=-1, 当m=1时，不等式等价为2≥0恒成立，满足条件. 当m=-1时，不等式等价为-2x+2≥0,即x ≤1，不满足恒成立，当012≠-m 时，要使221)(1)20m x m x -+-+≥（恒成立，则满足⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-0)1(8)1(01222m m m ， 即⎩⎨⎧≥+--<>0)97(111m m m m ）（或，得⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<>79-111m m m m 或或， 得m>1或m ≤-79，综上m ≥1或m ≤-79.题型二 定义域不为R 时 策略1. 参变分离策略将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 例2 若不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立， 求k 的取值范围.解：不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立，等价为不等式x x k --2>对任意21≤≤x 恒成立， 设x x x --)g(2=，对称轴为21)1(21-=-⨯--=x ，则当x=1时，g(x)取得最大值，g(1)=-1-1=-2,则k>-2.练习：012>+-ax x 在对任意0>x 恒成立， 则实数a 的取值范围是 解：由012>+-ax x 得12+<x ax ，即xx a 12+<对对任意0>x 恒成立，∵x x x x 112+=+212=⋅≥x x ，当且仅当xx 1=即12=x ，即1=x 时，取等号，∴2<a .[)()().(0,4)A ∞∞ Ｂ.0,4 Ｃ.0,+ Ｄ.－，４2策略2. 函数最值策略对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )( 例2若不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立， 求k 的取值范围.解：设kx x x f ++=2)(，对称轴为21121-=⨯-=x ， 则当x=1时，f(x)取得最小值，f(1)=1+1+k=2+k ，则由2+k>0得k>-2. 策略3.零点分布策略对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 例 2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1. 若对于[]1,3x ∈，0)(<x f 恒成立，求m 的取值范围解：当m=0时，f(x)=-1<0，恒成立，满足条件， 当m ≠0时，函数的对称轴为x=21, 当m>0时，f(x)在[1,3]上为增函数，则只需要f(3)<0,即可， 则f(3)=9m-3m-1=6m-1<0,得m<61，此时0<m<61. 当m<0时，f(x)在[1,3]上为减函数，则只需要f(1)<0,即可，则f(1)=m-m-1=-1<0,此时不等式恒成立，综上得m<61.题型三 给定参数范围的恒成立问题策略 变换主元 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围.确定主元的原则：已知谁的范围，谁就是主元； 求谁的范围，谁就是参数.例3 若任意[1,1]k ∈-，函数2()4)42（f x x k x k =+-+-的值恒大于0，则x 的取值范围是解：f(x)=k x kx x 2442-+-+=)2(-x k +442+-x x ， 设g(k)=)2(-x k +442+-x x要使f(x)>0恒成立，等价为g(k)>0恒成立，即⎩⎨⎧>->0)1(0)1(g g ，得⎪⎩⎪⎨⎧>+-=->+-=065)1(023)1(22x x g x x g ，得⎩⎨⎧<><>2312x x x x 或或，得3>x 或1<x ，即x 的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞).变式 若不等式221(1)x m x ->-对 []2,2m ∀∈- 恒成立，求x 的范围.巩固练习1.不等式2230mx mx +-≤对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()30-， B.(]30-，C ．[)30-， D ．[]30-，2.对任意的实数x ，不等式30x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）().-0A ∞， ().0,3B ().-3C ∞， ().-3+D ∞，3.若不等式290x tx -+≥对于任意()0.x ∈+∞都成立，则t 的最大值是 .4.若关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[]2,2a ∈-均成立，则x 的取值范围是 .。

２０２３年９月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次不等式恒成立问题解题策略◉甘肃省卓尼县柳林中学㊀马永福㊀㊀摘要:利用函数思想解决不等式的取值范围问题是高考的热点．解决一元二次不等式恒成立问题的基础是三个 二次 的相互转化,本文中主要通过数形结合思想,从三个类型入手讲解一元二次不等式恒成立的解题策略,旨在培养学生利用化归㊁数形结合㊁函数和分类讨论思想进行解题的意识．关键词:函数;不等式;恒成立㊀㊀由一元二次方程㊁一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:(１)化不等式为标准形式a x２＋b x＋c＞０(或a x２＋b x＋c＜０)(a＞０);(２)求方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根,并画出对应函数f(x)＝a x２＋b x＋c的图象简图;(３)由图象得出不等式的解集．(如表１)表１Δ＞０Δ＝０Δ＜０方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根有两个相异的实数根x１＝－b－b２－４a c２ax２＝－b＋b２－４a c２a有两个相等的实数根x１＝x２＝－b２a没有实数根二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的图象二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的零点有两个零点x１,x２(x１＜x２)有一个零点x＝－b２a无零点a x２＋b x＋c＞０(a＞０)的解集(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)(－ɕ,－b２a)ɣ(－b２a,＋ɕ)Ra x２＋b x＋c＜０(a＞０)的解集(x１,x２)⌀⌀１类型１:在R上恒成立,求参数取值范围(１)若a x２＋b x＋c＞０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＞０,②Δ＜０．(２)若a x２＋b x＋c＜０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＜０,②Δ＜０．例１㊀设a为常数,∀xɪR,a x２＋a x＋１＞０,求a的取值范围．解析:当aʂ０时,根据类型１可知,只需满足a＞０,Δ＝(a)２－４a＜０,即０＜a＜４;当a＝０时,１＞０恒成立．所以a的取值范围是[０,４)．例２若存在实数x,使得x２－４b x＋３b＜０成立,则b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析:该题型的关键词为 存在实数x ,数形结合,可知函数f(x)＝x２－４b x＋３b在x轴下方有图象,即对应方程x２－４b x＋３b＝０有两个不等实数根,所以解题关键是Δ＝(－４b)２－１２b＞０．故b的取值范围是b b＞３４,或b＜０{}．点评:一元二次不等式a x２＋b x＋c＞０或a x２＋b x＋c＜０对 任意 的x在R上恒成立,结合对应函数图象可知,图象与x轴没有交点,转化为对应方程没有实数根即Δ＜０是解题的桥梁,特别注意开口方向的确定;当条件变为 存在 时,要注意桥梁的转化作用．３５Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月上半月㊀㊀㊀２类型２:在某区间上恒成立,求参数取值范围(１)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立,需要考虑函数图象的对称轴x ＝－b２a的位置:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＞０．(２)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＜０且f (n )＜０．(３)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＞０且f (n )＞０．(４)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＜０．例３㊀关于x 的函数f (x )＝m x ２－m x －１,对于x ɪ[１,３],f (x )＜－m ＋５恒成立,求m 的取值范围．分析:由题意可知m x ２－m x ＋m －６＜０在x ɪ[１,３]上恒成立．当m ʂ０时,二次函数图象的对称轴为x ＝１２,函数在区间[１,３]上单调,则分类讨论可得m 的取值范围．还要考虑m ＝０的情况．解:根据题意f (x )＜－m ＋５,得m x ２－m x ＋m －６＜０．令g (x )＝m x ２－m x ＋m －６,当m ʂ０时,g (x )的对称轴为x ＝１２,g (x )在[１,３]上单调．①当m ＞０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递增,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (３)＜０,解得m ＜６７,故０＜m ＜６７．②当m ＜０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递减,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (１)＜０,解得m ＜６,故m ＜０．③当m ＝０时,－６＜０恒成立．综上,实数m 的取值范围为(－ɕ,６７)．点评:一元二次不等式在某个区间上恒成立问题,首先要将不等式化成g (x )＞０或者g (x )＜０的标准形式,然后结合对应函数图象及对称轴的位置,求得参数的取值范围．例４㊀函数f (x )＝x ２＋m x －１,若对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,求实数m 的取值范围．分析:本题属于类型２中的第(２)种情况,只需满足f (m )＜０且f (m ＋１)＜０即可,解:根据题意,对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,则f (m )＜０且f (m ＋１)＜０．即２m ２－１＜０,且２m ２＋３m ＜０．解得－２２＜m ＜０．所以,实数m 的取值范围为(－２２,０)．点评:当二次函数在对应区间上单调,但对称轴位置不好确定时,可将区间两个端点函数值符号的确定作为突破口,进行解答．３类型３:给出参数的范围,求不等式的解集例５㊀对于任意k ɪ[－１,１],关于x 的函数f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k ＞０恒成立,求x 的取值范围．分析:该题型是开口向上的二次函数f (x )＞０恒成立问题,给出参数取值范围,求自变量x 的取值范围,直接求解很麻烦,所以可变换主元进行转化,把k 当作主元,把x 当作参数利用函数的性质求解其范围．解:f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k 换元得g (k )＝(x －２)k ＋x ２－４x ＋４,此时原函数f (x )变成关于k 的一次函数g (k )．一次函数g (k )在其定义域[－１,１]上单调,要使g (k )＞０恒成立,则只需g (１)＞０,g (－１)＞０,{即x ２－５x ＋６＞０,x ２－３x ＋２＞０,{解得x ＞３,或x ＜１．所以x 的取值范围是(－ɕ,１)ɣ(３,＋ɕ)．点评:此类问题的求解有两种方法．(１)直接求解,利用分类讨论思想;(２)应用函数思想,以参数为主元,构造关于参数的函数求解．根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,是解决一元二次不等式恒成立问题的基本思路．解题方法有函数法㊁最值法㊁分离参数法㊁数形结合法等．一元二次不等式恒成立问题的解题过程渗透着换元㊁化归㊁数形结合㊁函数与方程等思想方法,解决问题的过程也是培养学生核心素养的过程．Z４５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。