北师版八年级数学上册1.2一定是直角三角形吗 学案+同步练习

1.2 一定是直角三角形吗一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（）A．与B．与C．与D．以上都不正确3．在中，若，，，则（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（ ）A．120B．160C．216D．965．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题9．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．10．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是____．10题图 11题图 14题图11．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．12．若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=____时,这个三角形是直角三角形.13．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．14．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是________．15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是_______，_______.三、解答题17．如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．18．在中，D是边上的点，，，，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．19．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．20．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.21．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何?（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇?22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.参考答案1．C【思路点拨】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详细解答】∵,,,∴4,6,8不能组成直角三角形．,故A不符合题意;∵,,,∴6,8,9不能组成直角三角形,故B不符合题意;∵,,,∴5,12,13能组成直角三角形,故C符合题意;∵,,,∴5,11,12不能组成直角三角形,故D不符合题意;故选:C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解决本题的关键．2．B【思路点拨】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详细解答】解：∵b2-a2=c2，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴∠C与∠A互余．故选：B．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．3．C【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可求解．【详细解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．故选：C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．【详细解答】.①，故不是成为直角三角形的必要条件，故=58°，∠C=180°－∠A－【思路点拨】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.【详细解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴BC2 +AB2= AC2，∴△ABC是直角三角形.故选B.【方法总结】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理. 9．4【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决．【详细解答】解：，三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，这个三角形中最短边上的高为4，故答案为：4．【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．10．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详细解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【方法总结】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．11．2【详细解答】试题分析：根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2个．考点：勾股定理的逆定理，化简得：，m=2,，或（舍去）．【思路点拨】设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可【详细解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为则解得则这个三角形的三边长分别为又这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为则它的面积是故答案为：．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为【详细解答】因为大正方形ABCD中4个直角三角形全等,根据全等三角形的性质可得:BE=AH=DG=CF=3,又因为小正方形的边长是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,根据勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面积是25,故答案为25.15．【详细解答】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；∵米，而13 ²=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．故小白兔第一次左拐的角度是90°.16．【解析】【思路点拨】仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得.【详细解答】观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.17．四边形ABCD的面积是36【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形ABCD的面积的面积+的面积，列式进行计算即可得解．【详细解答】解：连接，∵AB=3，BC=4，，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC===5．=AB+AC =×3×4+×5×12=36ABCD的面积是36==9【方法总结】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出BC===16=×7×12=42勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，非负数的性质点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.21．（1）正东或正西；（2）小时.【解析】【思路点拨】对于（1），先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；对于（2），根据“路程和÷速度和=相遇的时间”列式计算即可求解.【详细解答】（1）因为，所以两组同学行走的方向成直角.因此，第二组同学行走的方向为正东或正西.（2）根据题意，得（小时）.即两组同学经过小时后相遇.【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理的运用，牢记定理是解题的关键.22．，.【思路点拨】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．【详细解答】∵n=3时,a=2×3=6,b=32−1=8,c=32+1=10，n=4时,a=2×4=8,b=42−1=15,c=42+1=17，故答案为，.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律。

一定是直角三角形吗班级：___________姓名：___________得分：__________一．选择题（每小题7分，28分）1.下列三角形中,是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边长分别为32,42,52C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边长为7,24,252.如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )A.72+242=625=252，152+242=791≠202;B.72+242=625=252，152+202=625≠242;C.72+242=625=252，152+202=625=252;D.152+242=791≠252，72+202=449≠252.5.下列命题中的假命题是( )A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，则△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，则△ABC是直角三角形6.将直角三角形三边扩大同样的倍数,得到的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形二、解答题（每小题12分，72分）1、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.2. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？3.如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）4.如图1，一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得BD 长为0.5m ，求梯子顶端A 下落了多少米．图2图1A BCEDCBA参考答案一．选择题1. D【解析】要满足勾股定理逆定理,D中72+242=252.所以选D.2． B【解析】由半圆的面积公式及勾股定理的逆定理，判断出这个三角形为直角三角形．解：设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．3. D【解析】注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)4 C【解析】因为是两个直角三角形，就是要验证是否满足勾股定理.5．D【解析】A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°.则△ABC是直角三角形.B.在△ABC中，若a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形.C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，可设∠A=5x,则∠B=2x，∠C=3x，∠A+∠B+∠C=180°,即5x+2x+3x=180°.解得x=18°，故∠A=5x=5×18°=90°,则△ABC 是直角三角形. D.在△ABC 中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，可设a=2x ，则b=2x ，c=3x ，(2x)2+(2x)2=8x 2≠(3x)2,即a 2+b 2≠c 2.由勾股定理逆定理知△ABC 不是直角三角形. 6．B【解析】将直角三角形三边扩大相同倍数后,仍满足勾股定理,所以仍是直角三角形. 二、解答题1. 解：由已知得(a 2－10a +25)+(b 2－24b +144)+(c 2－26c +169)=0 (a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0由于(a －5)2≥0，(b －12)2≥0，(c －13)2≥0. 所以a －5=0，得a =5；b －12=0，得b =12；c －13=0，得c =13.又因为132=52+122，即a 2+b 2=c 2所以△ABC 是直角三角形.2、解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB=13，因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系3、解：由题意可知：∠ACP ＝ ∠BCP ＝ 90°，∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°在Rt △BPC 中，∵∠BCP ＝90°，∠BPC ＝45°，∴60==PC BC 在Rt △ACP 中，∵∠ACP ＝90°，∠APC ＝30°，∴320=AC∴32060+=+=BC AC AB ≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)答：教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94．6米．4. 解：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2∴2.52＝AC 2＋1.52，∴AC ＝2（m ）．在Rt △EDC 中，DE 2＝CE 2＋CD 2，∴2.52＝CE 2＋22∴CE 2＝2.25，∴CE ＝1.5（m ）， ∴AE ＝AC －CE ＝2－1.5＝0.5（m ） 答：梯子顶端A 下落了0.5m ．。

2 一定是直角三角形吗一、选择题：1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 5cm ，12cm ，13cm B 5cm ，8cm ，11cm C 5cm ，13cm ，11cm D 8cm ，13cm ，11cm2、⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ） A ∠ C B ∠AC ∠BD 不能确定3、由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A a=7，b=25，c=24 B a=2.5，b=2，c=1.5 C a=45，b=1，c= 32 D a=15，b=20，c=254、三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形5、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =10 cm ，则可知最长边上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm6.满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c =3∶4∶5C.∠C =∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C =12∶13∶157.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，128.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是A.42B.52C.7D.52或79.如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1 B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形 二、填空题：10、若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。

北师大新版八年级上学期《1.2 一定是直角三角形吗》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：152．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝12，b＝13，c＝5C．a＝15，b＝8，c＝17D．a＝13，b＝14，c＝153．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a﹣1，a+1，4a（a＞1）．其中能构成直角三角形的有（）A．①②③B．②③④C．①②D．①②④4．下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（）A．B．7，24，25C．4，5，6D．5．根据下列所给条件判断，△ABC不是直角三角形的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝5B．AB＝9，BC＝40，AC＝41C．AB＝7，BC＝8，AC＝25D．AB＝5，BC＝12，AC＝136．下面四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（）A．6、8、10B．7、24、25C．2、5、4D．9、12、157．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：8．以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，B．3，4，5C．1，2，D．6，8，129．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，910．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、611．下列几组数中是勾股数的一组是（）A．3，4，6B．1.5，2，2.5C．6，8，13D．9，12，15 12．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3B．1，，C．2，3，4D．5，12，13 13．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，314．下列各组数中，是勾股数的（）A．，，1B．1，2，3C．1.5，2，2.5D．9，40，41 15．下列各组数为勾股数的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．4，8，8D．3，15，17二．填空题（共10小题）16．已知三角形的三边长分别为8、15、17，则该三角形的面积为．17．已知一个三角形的三边长分别为，，2，则这个三角形的面积为．18．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是．19．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC ＝°．20．在△ABC中，a＝3，b＝7，c2＝58，则S△ABC＝．21．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．22．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是．23．已知一组勾股数中有一个数是2mn（m、n都是正整数，且m＞n≥2），尝试写出其它两个数（均用含m、n的代数式表示，只要写出一组）：，．24．下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5），，25．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：．三．解答题（共5小题）26．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．27．如图，在四边形ACBD中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．连接AB，求证：AD⊥AB．28．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．29．阅读下面材料：勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．30．我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b ＜c）：表一表二（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是，a、b、c之间的数量关系是；（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是，a、b、c之间的数量关系是；（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值．北师大新版八年级上学期《1.2 一定是直角三角形吗》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．【点评】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝12，b＝13，c＝5C．a＝15，b＝8，c＝17D．a＝13，b＝14，c＝15【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．3．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a﹣1，a+1，4a（a＞1）．其中能构成直角三角形的有（）A．①②③B．②③④C．①②D．①②④【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：∵①12+2＝2，故能构成直角三角形；②42+32＝52，故能构成直角三角形；③62+72≠82，故不能构成直角三角形；④（a﹣1）2+（a+1）2≠（4a）2，故不能构成直角三角形．∴能构成直角三角形的是①②．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（）A．B．7，24，25C．4，5，6D．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、（）2+（）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．5．根据下列所给条件判断，△ABC不是直角三角形的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝5B．AB＝9，BC＝40，AC＝41C．AB＝7，BC＝8，AC＝25D．AB＝5，BC＝12，AC＝13【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；B、92+402＝412，故是直角三角形，故本选项不符合题意；C、72+82≠252，故不是直角三角形，故本选项符合题意；D、52+122＝132，故是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6．下面四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（）A．6、8、10B．7、24、25C．2、5、4D．9、12、15【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、22+42≠52，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．【解答】解：A、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；B、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；D、正确，12+（）2＝22符合勾股定理的逆定理，故成立；故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．8．以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，B．3，4，5C．1，2，D．6，8，12【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：12+22＝5＝（）2，A能构成直角三角形；32+42＝25＝52，B能构成直角三角形；12+（）2＝4＝22，C能构成直角三角形；62+82＝100≠122，D不能构成直角三角形；故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．9．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，9【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键．10．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．11．下列几组数中是勾股数的一组是（）A．3，4，6B．1.5，2，2.5C．6，8，13D．9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、42+32≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数；B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；C、62+82≠132，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、92+122＝152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．12．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3B．1，，C．2，3，4D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．【解答】解：A、∵12+22＝5≠32＝9，∴不是勾股数；B、∵12+（）2＝3≠（）2＝3，但和不是正整数，∴不是勾股数；C、∵22+32＝13≠42＝16，∴不是勾股数；D、∵52+122＝169＝132＝169，∴是勾股数．故选：D．【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．13．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，3【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．14．下列各组数中，是勾股数的（）A．，，1B．1，2，3C．1.5，2，2.5D．9，40，41【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．【解答】解：A、和不是整数，此选项错误；B、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；D、∵92+402＝412，∴是勾股数，此选项正确．故选：D．【点评】此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…15．下列各组数为勾股数的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．4，8，8D．3，15，17【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、不是勾股数，因为12+22≠32；B、是勾股数，因为32+42＝52；，且，3，4，5是正整数；C、不是勾股数，因为42+82≠82；D、不是勾股数，因为32+152≠172．故选：B．【点评】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…二．填空题（共10小题）16．已知三角形的三边长分别为8、15、17，则该三角形的面积为60．【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定此三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算方法求出该三角形的面积．【解答】解：∵82+152＝172，∴此三角形是直角三角形，且直角边为15，8，那么它的面积S＝×15×8＝60．故答案为：60．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形面积的计算方法，正确掌握直角三角形的判定方法是解题关键．17．已知一个三角形的三边长分别为，，2，则这个三角形的面积为．【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解．【解答】解：∵22+（）2＝6＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴这个三角形的面积是×2×＝．故答案为：．【点评】此题主要是勾股定理的逆定理的运用，同时熟悉直角三角形的面积公式．18．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是36．【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长．根据勾股定理的逆定理可得到△BCD也是直角三角形，从而求得△ABC与△BCD的面积和即得到了四边形ABDC的面积．【解答】解：连接BC，∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，故答案为：36【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝10，∠ABC＝45°．【分析】连接AC，根据勾股定理得到AB2，BC2，AC2的长度，证明△ABC是等腰直角三角形，继而可得出∠ABC的度数．【解答】解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：10，45．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．20．在△ABC中，a＝3，b＝7，c2＝58，则S△ABC＝10.5．【分析】由勾股定理的逆定理，先验证两小边的平方和等于最长边的平方，那么此三角形是直角三角形，再利用三角形面积公式求即可．【解答】解：∵a＝3，b＝7，∴a2+b2＝58，又∵c2＝58，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝×3×7＝10.5．故答案是10.5．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．21．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：16，63，65．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点评】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．22．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是17．【分析】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a，b，求得a+b的值．【解答】解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a＝5，b＝12，∴a+b＝17，故答案为：17．【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．23．已知一组勾股数中有一个数是2mn（m、n都是正整数，且m＞n≥2），尝试写出其它两个数（均用含m、n的代数式表示，只要写出一组）：m2﹣n2，m2+n2．【分析】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，据此可得其它两个数．【解答】解：∵一组勾股数中有一个数是2mn（m、n都是正整数，且m＞n≥2），∴其它两个数为：m2﹣n2和m2+n2，或m2n2+1和m2n2﹣1，或m2n+n和m2n﹣n，或mn2﹣m和mn2+m．（答案不唯一）故答案为：m2﹣n2，m2+n2．【点评】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理逆定理的运用，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．24．下列各组数据是勾股数的有2组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5），，【分析】根据勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【解答】解：因为62+82＝102；72+242＝252，6，8，10，7，24，25都是正整数∴勾股数有2组，故答案为2．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．25．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：11，60，61．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）26．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．【分析】（1）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n，∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．∴∠C＝90°．∴△ABC是为直角三角形；（2）∵∠A＝30°，∴＝＝，∴m＝3n．【点评】题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．27．如图，在四边形ACBD中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．连接AB，求证：AD⊥AB．【分析】利用勾股定理的逆定理证明即可．【解答】证明：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝32+42＝25．在△ABD中，∵AB2+AD2＝25+122＝169，BD2＝132＝169，∴AB2+AD2＝BD2．∴△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°，∴AD⊥AB．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC＝2AB＝4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BC＝＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4，在△ACD中，AC＝4，CD＝3，AD＝5，∵42+32＝52，即AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∴Rt△ABC的面积为AB•BC＝×2×2＝2，又∵Rt△ACD的面积为AC•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCD的面积为：2+6．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．29．阅读下面材料：勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：正确．理由：∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c为勾股数．当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．【点评】本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．30．我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b ＜c）：表一表二（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是b+1＝c，a、b、c 之间的数量关系是a2＝b+c；（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2＝c，a、b、c 之间的数量关系是a2＝2（b+c）；（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值．【分析】（1）根据表中的数得出规律即可；（2）根据表中的数得出规律即可；（3）根据32+42＝52得出答案即可．【解答】解：（1）当a为大于1的奇数，b、c的数量关系b+1＝c，a、b、c之间的数量关系是a2＝b+c，故答案为：b+1＝c，a2＝b+c；（2）当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2＝c，a、b、c之间的数量关系是a2＝2（b+c），故答案为：b+2＝c，a2＝2（b+c）；（3）∵32+42＝52，∴，∴c＝1．【点评】本题考查了勾股数的应用，能根据表中的数据得出规律是解此题的关键．。

1.2一定是直角三角形吗一、单选题1．如图，矩形ABCD的边AB在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，AD=2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为（）2．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是()3．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（）A．10B．9C．8D．74．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（）A．4B．8C．12D．185．如图，在四边形ABCD中，AB=4，CD=13，DE=12，∠DAB=∠DEC=90°，∠ABE=135°, 四边形ABCD的面积是 ( )A．94B．90C．84D．786．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：∠a2+b2=25，∠a－b=1，∠ab=12，∠a+b=7．正确的是（）A．∠∠B．∠∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠7．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）8．如图，点P(−2,3)，以点О为圆心，以OP长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A；则点A的坐标为（）9．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）10．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（）A．80m B．100m C．120m D．140m二、填空题11．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x的结论有 .(填序号)12．阅读材料：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C=90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．请回答：下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有（直接填写图序号）．13．若a+b=12，则√a2+4+√49+b2的最小值为．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，若直角三角形的短直角边长2，小正方形面积为4，则大正方形面积为；15．师大一中准备办自己的农场，如果设计成等腰三角形的样子，要求等腰三角形的一边长为20，面积为 160，则该等腰三角形的周长为三、解答题16．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成以下图形）．试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a，b，c之间的数量关系．（1）三边a，b，c之间的数量关系为．（2）理由：17．作图题：在数轴上表示出﹣√10的点．18．已知：如图，四边形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积．19．如图，小明同学为了测量电视塔OC的高度，发现电视塔在某一时刻的塔影一部分OA在地面，还有一部分AP在坡度为1：√3的山坡上，且O、A、B在同一直线上，并测得OA=50m，AP=20m，在P处测得塔顶C的仰角为45°，求电视塔OC的高度（结果保留根号）.20．拼图是一种研究代数恒等式的重要方法，所谓的拼图指的是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到代数恒等式(1)智慧学习小组探索了用4个如图1所示的全等的长方形（长、宽分别为a、b）拼成不同的图形．在研究过程中，他们用这4个长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形．拼图前后，请写出该小组所用图形（4个长方形）的面积的计算方法：拼图前：___________ ；拼图后：__________ ；因为拼图前后的面积不变，所以可得代数恒等式：_____________.(2)利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知2(x+y)=9,2(x−y)=3,求xy 的值．(3)超人学习小组受智慧学习小组的启发，用4个如图3所示的全等的直角三角形（三边长分别为a、b、c）拼成了两种“中空”的正方形.请你画出这两种图形：由上面的图形可得代数恒等式：________________ .(4)利用（3）中得到的代数恒等式，解决下面的问题：在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的长.21．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是2cm，高是3cm．（1）小明想在长方体盒子里插入一根细木棒，求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）在长方体盒子外表面的A点有一只蚂蚁，若它想吃到E点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？。

一定是直角三角形吗一、选择题1.(济南山大附中期末)下列四组线段不能围成直角三角形的是（)A.a=8，b=15,c=17B。

a = 9,b=12，c=15C。

a=5,b=3，c=2D.a : b : c=2 : 3 ： 42。

(广东培正中学期中）一个三角形的三边长 a、b、c 满足()2-+-+-=,则1216200a b c这个三角形最长边上的髙为（）A。

9。

8 B. 4。

8 C. 9. 6 D. 10二、填空题3.将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍、3倍、4倍、…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16,20……则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出三组基本勾股数：____，____，____.4。

把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题写成“如果……，那么……"的形式：____。

5.(杭州十三中期末）某数学兴趣小组在一次数学课外活动中测得一块三角形稻田的三边长分别为14 m， 48 m, 50 m,则这块稻田的面积为_______________。

三、解答题6。

判断以a=10，b=8,c=6为边长组成的三角形是不是直角三角形．解:因为a2 +b2=100+64=164≠c2,即a2+b2≠c2，所以以a、b、c为边长不能组成直角三角形．请问:上述解法对吗？为什么？7.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4—b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2 =a4-b4，①∴c2（a2-b2)= （a2+b2)（a2—b2）．②∴c2 =a2 +b2．③∴△ABC是直角三角形．④（1）上述解题过程是从哪一步开始出错的？写出代号，并注明原因．（2)写出本题的正确结论,并写出推到过程.8.在△ABC中，AC=8，BC=6，DE为△AEB中AB边上的高且DE=12,S△ABE =60，求∠C的度数.9。

一定是直角三角形吗◆基础训练一、选择题1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）.A.8，15，17B.4，5，6C.5，8，10D.8，39，402.有四个三角形，分别满足下列条件：①两角之和等于第三角；②两边之和等于第三边；③两角的平方和等于第三个角的平方；④两边的平方和等于第三边的平方.其中直角三角形有（）个.A.1B.2C.3D.43.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）.A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：5二、填空题4.在△ABC中，若BC2+AB2=AC2，则∠A+∠C=_______.5.一个三角形的三边分别为5，12，13，则此三角形为_______三角形.三、解答题6.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，试求△ABC的面积.7.如图，在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8，请问：△DEF是等腰三角形吗？说说你的理由.◆能力提高一、填空题8.若△ABC的三边a，b，c满足a=5，b=12，c为奇数，且a+b+c能被3整除，则c=_____，△ABC是_______三角形.9.如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD•分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，•那么牧童至少应该走_______.二、解答题CD，连接BE、EF、10.如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且DF=14BF，试问BE与EF的位置关系如何？并说明理由.11.已知三角形三边之比为5：12：13，它的周长为90cm，求它的面积.◆拓展训练12.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，•试判断△ABC 的形状.参考答案1.A2.B3.D4.905.直角6.847.EG=15⇒∠DGE=90°⇒△DEF 是等腰三角形.8.13 直角 9.1300mAB）2=BC2+CF2，BE与EF•垂直.10.BE2+EF2=AB2+AE2+DE2+DF2=AB2+（3411.120cm212.（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，∴a=5，b=12，c=13，∴△ABC 为直角三角形.。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．14C．7D．7或252．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，153．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，414．在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a2＝（c﹣b）（c+b）B．a＝1，b＝2，c＝3C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（）A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边长分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝a2+c2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．无法确定7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形二．填空题8．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．9．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．10．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．11．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝°．13．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q 两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．三．解答题14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．15．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a＝3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．17．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．（1）求AB的长；（2）求△ABD的面积．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．19．如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．21．如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．22．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．参考答案一．选择题1．解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，故选：D．2．解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．3．解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．4．解：A．∵a2＝（c﹣b）（c+b），∴a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+22＝1+4＝5，32＝9，∴12+22≠32，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．5．解：连接CD，BC，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝45°，故选：C．6．解：∵b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．故选：B．7．解：A、如果a2＝b2﹣c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．二．填空题8．解：∵62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8＝24．故答案为：24．9．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．10．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．11．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，故答案为：（13，84，85）．12．解：设小正方形的边长是1，则AO＝CO＝3，所以△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝∠OAC＝45°，∵∠ABC+∠BAC＝∠ACO，∴∠ABC+∠BAC＝45°，故答案为：45．13．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，∴6﹣2x＝2x，解得x＝；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（6﹣2x），解得x＝．答：或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为或．三．解答题14．解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5，又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．15．（1）证明：当a＝3时，a+1＝4，a+2＝5，∵32+42＝52，∴这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）解：根据三角形的三边关系，得a+a+1＞a+2，解得a＞1．故a的取值范围是a＞1．16．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．17．解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴AB的长为2；（2）∵AB2+BD2＝（2）2+22＝12，AD2＝（2）2＝12，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ABD＝90°，∴△ABD的面积＝AB•BD＝×2×2＝2，∴△ABD的面积为2．18．（1）证明：连结CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE，∵BE2﹣EA2＝AC2，∴CE2﹣EA2＝AC2，∴EA2+AC2＝CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；（2）解∵D是BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10，∵∠A＝90°，AC＝6，∴AB＝＝＝8，在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，∵CE＝BE，∴62+AE2＝（8﹣AE）2，解得：AE＝，∴AE的长为．19．（1）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∵∠D＝90°，CD＝8，DE＝6，∴CE＝＝＝10；（2）证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125，∴AE2＝AC2+CE2，∴∠ACE＝90°．20．解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：221．解：∵AD＝17，AC＝15，DC＝8，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∵AB＝25，AC＝15，∴由勾股定理得：BC＝＝20，∴BD＝BC﹣DC＝20﹣8＝12，∴△ABD的面积是＝＝90．22．证明：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，同理：CD2＝20，∴AD2+CD2＝100，∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，∴AC2＝100，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝10，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF＝．。

1.2一定是直角三角形吗一、填空题1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．B．6、8、10 C．5、12、13 D．2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12 3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．12，15，17 C．9，16，25 D．5，12，134.在△ABC中，AB=1，AC=3，BC=2，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5．已知△ABC为直角三角形，在下列四组数中，不可能是它的三边长的一组是（）A．9，40，41 B．6，8，10 C．3，3，4 D．7，24，25 6.下面各组数：①3，4，5；②0.3，0.4，0.5；③7，24，25；④9，40，41；⑤13，84，﹣85；⑥15，100，101．其中，能组成一组勾股数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，8.以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，D．2，，49.下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组10.如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11.如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（）A．4, B．6, C．16, D．5512.分别以下列四组数为一个三角形的边长①6，8，10②5，12，13 ③8，15，16④4，5，6，其中能构成直角三角形的有（）A．①④B．②③C．①②D．②④二、填空题13.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点构成直角三角形（请填“能”或“不能”）14.已知三角形的三边分别是9，12，15，这个三角形的面积是．15．有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是．16．已知一个三角形三边长之比为1：2：，则这个三角形是．17．如果一个三角形的三边长之比为9：12：15，且其周长为72 cm，那么它的面积为____18．若三角形的三边满足a：b：c＝5：12：13，则这个三角形中最大的角为度．19.个三角形的边长分别为：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，直角三角形的个数是________（填序号）．三、解答题20．已知两条线段的长分别为8和15，当第三条线段的长取整数时，这三条线段能组成一个直角三角形，求第三条线段的长．21．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．22. 如图，已知，，，．（1）试猜想线段与的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若，，求的长．（提示：连接）23．一如图，已知四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12，且∠A＝90°，连接BD，试判断△BDC的形状，并说明理由．24.已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．25．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面（是一个长方形）倒下到的位置连接，，，设，，.（1）试用，有关的代数式表示梯形的面积；（2）试用，，有关的代数式分别表示，，的面积；（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：.。

北师大新版八年级数学上学期《1.2一定是直角三角形吗》同步练习一．选择题（共12小题）1．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5 B．5、12、13 C．、2、D．7、24、25 2．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2=c2B．a=5，b=12，c=13C．∠A=∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：54．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（）A．9个B．8个C．7个D．6个5．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．有长度分别为5，7，9，12，13，15，16，20，24，25的木棒，用它来摆成直角三角形，可以重复使用，问可摆成不同的直角三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．A．1组B．2组C．3组D．4组8．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（）A．3，4，5 B．C．0.3，0.4，0.5 D．30，40，50 9．若a，b，c为△ABC的三边，下列条件不能判定△ABC是Rt△ABC的是（）A．a：b：c=1：2：3 B．a2﹣b2=c2C．∠A﹣∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=1：1：210．已知△ABC的三边a、b、c满足关系式|a﹣5|+（4﹣c）2+b2﹣6b+9=0，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定11．若一个三角形三边a，b，c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二．填空题（共4小题）13．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：．14．已知：如图，四边形ABCD，AB=8，BC=6，CD=26，AD=24，且AB⊥BC．则：四边形ABCD的面积为．15．如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式+|c﹣15|+b2﹣18b+81=0，则△ABC的形状是．16．如图△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC长为．三．解答题（共4小题）17．如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2，BC=，画出△ABC，并判断△ABC是不是直角三角形．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．（1）求证：∠BAC=90°；（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，请求出BP的长．19．如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．20．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=，b=，c=．（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数．参考答案一．选择题1．C．2．C．3．D．4．A．5．C．6．D．7．A．8．B．9．A．10．B．11．D．12．B．二．填空题13．11，60，61．14．144．15．直角三角形．16．2．三．解答题17．解：如图，△ABC即为所求．∵AC=2，BC=，∴AC2+BC2=20+5=25，∵AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．18．（11）证明：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，∴AB2=AD2+BD2=20，又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，∴AC2=CD2+AD2=80，∵BC=CD+BD=10，∴BC2=100，∴AC2+AB2=100=BC2，∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．（2）解：分三种情况：①当BP=AB时，∵AD⊥BC，∴AB==2，∴BP=AB=2；②当BP=AP时，P我BC的中点，∴BP=AB=5；③当AP=AB是，BP=2BD=4；综上所述：BP的长为2或5或4．19．解：连结AC，在△ADC中，∵∠D=90°，AD=12，CD=9，∴AC==15，S△ABC=AD•CD=×12×9=54，在△ABC中，∵AC=15，AB=25，BC=20，∴BC2+AC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=AC•BC=×15×20=150．∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=150+54=204．20．解：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=22﹣1，b=4，c=22+1，n=3时，a=32﹣1，b=2×3，c=32+1，n=4时，a=42﹣1，b=2×4，c=42+1，…∴a=n 2﹣1，b=2n，c=n 2+1．（2）a、b、c为边的三角形时：∵a2+b2=（n2﹣1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．（3）由分析得出：第5组的式子为：112+602=612．故答案为：112+602=612．。