第四章 集中趋势测量法

集中趋势测度的主要方法
集中趋势测度的主要方法有：
1. 平均数（Mean）：将一组数据求和后除以数据的个数，用于表示数据集的中心位置。

2. 中位数（Median）：将一组数据按照大小排列，取中间位置的数值作为中位数，用于表示数据集的中心位置。

3. 众数（Mode）：出现次数最多的数值，用于表示数据集中出现频率最高的数值。

4. 分位数（Quantiles）：将一组数据按照大小排列，将数据集分成若干部分，以分割点位置的数值作为分位数，常用的有四分位数、十分位数等。

5. 加权平均数（Weighted Mean）：将一组数据按照权重进行加权后求平均数，用于考虑不同数据的重要性。

6. 范围（Range）：数据集中最大值与最小值之间的差距，用于表示数据的离散程度。

7. 方差（Variance）：数据与其平均数之间的差异程度的平方的平均数，用于表示数据的离散程度。

8. 标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，用于表示数据的离散程度。

9. 四分位差（Interquartile Range）：数据中第三四分位数与第一四分位数之间的差距，用于度量数据的离散程度。

10. 偏度（Skewness）：数据分布的偏斜程度，用于判断数据是否呈现正态分布。

11. 峰度（Kurtosis）：数据分布的尖峰程度，用于判断数据是否符合正态分布。

数据的集中趋势的测评方法
集中趋势是描述数据分布的一种重要特征，通常可以用来衡量数据的平均水平。

以下是一些常用的数据集中趋势的测评方法：
1. 平均值：平均值是数据集合中所有数值的总和除以数据个数，是最直观的集中趋势测评方法。

在统计学中，通常用符号"μ"来表示总体的平均值，用符号"X ¯"表示样本的平均值。

2. 中位数：中位数是将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数值。

中位数是一个不受极端值（离群点）影响的集中趋势测评方法。

3. 众数：众数是数据集中出现次数最多的数值，可以用来描述数据集中的典型值。

4. 加权平均值：当不同数值的重要性不一样时，可以用加权平均值来测评数据的集中趋势。

加权平均值是指每个数值乘以其权重后的总和除以权重的总和。

5. 四分位数：四分位数是将数据按大小顺序分为四等分，分别为上四分位数、中位数和下四分位数。

四分位数可以用来衡量数据的分布情况和集中趋势。

这些方法可以根据具体情况选择合适的方式来测评数据的集中趋势，从而更全面地描述数据的特征。

定距测量定序测量集中趋势
集中趋势的测定名词解释：通过计算一个典型的变量值来集中反映一系列变量的一般水平。

这个典型值就叫集中趋势或集中值。

测定集中趋势即对调查统计资料的代表性加以测定。

由于集中趋势最具有代表性，因此用它来估计和预测该研究总体内个体现象的情况，从总体上说出现偏差的可能性最小。

测定集中趋势的常用指标有名词解释：
1.众数，指一组变量值中出现次数最多的那个特征值。

众数一般常用来分析定类变量的集中趋势。

2.中位数，指将一组变量按大小顺序排列起来，处在中间位置上的那个数。

中位数通常用于分析定序变量的集中趋势。

3.算术平均数，指总体中各个变量值的总和除以这些变量的个数所得的商。

算术平均数通常用于分析定距、定比变量的资料，而不适用于定类、定序变量的资料。

第四章 集中趋势测量法统计资料经分类整理后，已经使杂乱无章的资料成为有系统有条理的资料。

为从中获取有用信息，寻求一简单数值以代表总体（或样本）是最起码的，这就提出了平均指标的计算问题。

平均指标的功用是表明现象总体在一定条件下某一数量标志所达到的一般水平。

第一节 算术平均数在社会统计学中．算术平均数是反映集中趋势最常用、最基本的平均指标。

由于统计总体的标志总量通常都是各总体单位标志值之和，而且是与其总体单位数相对应的，因此用总体标志总量除以总体单位数即得算术平均数。

算术平均数一般用X 表示，它在推论统计中被称为均值。

算术平均数表示某一总体之总体单位平均所得的标志值的水平。

在实际工作中，由于统计资料整理的情况不尽相同，我们在运用定义计算算术平均数时，要视资料有没有分组加以区别对待。

在形式上，分组资料的计算式与未分组资料的计算式是有区别的，尽管它们在本质上并没有什么不同。

以后我们将看到，其他平均和变异指标的计算也同样如此。

1．对于未分组资料对于未分组资料，计算算术平均数要用原始式。

2．对于分组资料对于分组资料，计算算术平均数要用加权式。

对于单项数列，很显然，算术平均数X 不仅受各变量值(i X )大小的影响，而且受各组单位数(频数)的影响。

由于i X 对于总体的影响要由频数(i f )大小所决定，所以i f 也被称为权数。

值得注意的是，在统计计算中，权数不仅用来衡量总体中各标志值在总体中作用，同时反映了指标的结构，所以它有两种表现形式：绝对数（频数）和相对数（频率）。

这样一来，在统计学中，凡对应于分组资料的计算式，都被称为加权式。

对于组距数列，由于每一组变量值不止一个，因此先要用每一组的组中值权充该组统一的变量值，然后再计算给定数列的算术平均数。

3．算术平均数的性质(1) 各变量值与算术平均数的离差之和等于0。

(2)各变量值对算术平均数的离差的平方和，小于它们对任何其他数(X ’)偏差的平方和。

也就是说，各变量值与算术平均数的离差的平方和为最小值。

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集中趋势
集中趋势（central tendency）在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在．
集中趋势测度就是寻找数据水平的代表值或中心值，低层数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，能够揭示总体中众多个观察值所围绕与集中的中心，反之，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据．1．测量方法．
取得集中趋势代表值的方法有两种：数值平均数和位置平均数．
2．数值平均数．
从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量，这个量不是各个单位的具体变量值，但又要反映总体各单位的一般水平，这种平均数称为数值平均数．数值平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等形式．
算术平均数：算术平均数就是观察值的总和除以观察值个数的商，是集中趋势测定中最重要的一种，它是所有平均数中应用最广泛的平均数．算术平均数分为简单算术平均数和加权算术平均数．
调和平均数：调和平均数可以看成是变量的倒数的算术平均数的倒数，故有时也被称为“倒数平均数”．调和平均数分为简单调和平均数和加权调和平均数．几何平均数：几何平均数也称几何均值，是n个变量值乘积的n次方根．根据统计资料的不同，几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数之分．3．位置平均数．
位置平均数就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值，它对于整个总体来说，具有非常直观的代表性，因此，常用来反映分布的集中趋势，常用的有众数、中位数．。

被称为集中趋势的测量
被称为集中趋势的测量是指用来描述数据集中分布的统计量，主要有均值、中位数和众数。

1. 均值（mean）是将数据集中的所有数值相加，然后除以数据的总数量得到的平均值。

均值受到极端值的影响较大，易受异常值的干扰。

2. 中位数（median）是将数据集中的数值按照大小排序，找到处于中间位置的数值。

当数据集中有奇数个数值时，中位数是排序后中间位置的值；当数据集中有偶数个数值时，中位数是中间两个数的平均值。

中位数相对于均值来说对极端值的影响较小，更能反映数据的集中趋势。

3. 众数（mode）是数据集中出现频率最高的数值。

一个数据集可以有一个众数、多个众数，或者没有众数。

众数通常用于描述离散型数据的集中趋势，例如表示民意调查中最常见的选项。

这些测量值提供了对数据集中趋势的不同视角，可以帮助人们理解和描述一组数据的中心位置。

3．中位数是处于任意数列中间位置的那个数。

（ ） 4．N 个变量值连乘积的平方根，即为几何平均数。

（ ） 5．各变量值的算术平均数的倒数，称调和平均数。

（ ）六、计算题1．若一总体为2、3、5，求下列各值： （1）N （2）X 1 （3）X 2 （4）X 3 （5）X n （6）∑X （7）∑2X（8）2)1(∑-X（9）∏X （10）∏2X2．已知某社区50名退休老人的年龄如下：81、 56、 76、 67、 79、 62、 72、 61、 77、 62 60、 73、 65、 58、 70、 60、 59、 69、 58、 68 80、 59、 62、 59、 83、 68、 63、 70、 69、 59 64、 75、 66、 74、 65、 87、 58、 81、 68、 63 56、 58、 77、 57、 72、 65、 65、 61、 73、 79①试编一频数分布数列（要求：第一组下限取56；组距取4）；②试求该社区退休老人年龄的算术平均数和中位数；③试求该社区退休老人年龄的标准差和标准差系数。

3．已知一未分组资料为2、3、5、8、9、12，试求：算术平均数、中位数、众数、调和平均数、几何平均数。

4．某街道8户居民在某月的收入分布如下：（单位：元） 257，278，305，278，340，413，327，241。

求8户居民收入的算术平均数和中位数，并指出众数。

5．某工厂50名职工每周工资数分配情况如下表，试求：（1）算术平均；（2）中位数；（3）众数；（4）调和平均数；（5）几何平均数。

工资数（元） 人数 60－62 3 63－65 10 66－68 20 69－71 13 72－74 4 合计50207，221，205，195，206，229，211，201，196，205。

（1）请按5组将上面原始数据编制成频数分布表（采用等距分组）； （2）计算该厂工人的平均工资（要根据上表来计算）； （3）计算该厂工人工资的中位数。

第四章 集中趋势测量法第一节算术平均数简单算术平均数•加权算术平均数•算术平均数的性质 第二节中位数对于未分组资料•对于分组资料•四分位数与其他分位数•中位数的性质 第三节众数对于未分组资料•对于分组资料•众数的性质 第四节几何平均数与调和平均数及其他几何平均数•调和平均数•各种平均数的关系 、填空称为（ 5. 6.7.是（1•某班级中男生人数所占比重是 66.7%，则男生和女生的比例关系是（ 2.在频数分布图中，（ ）标示为曲线的最高点所对应的变量值。

3•在频数呈偏态分布时，（ ）必居于X 和M 0之中。

4•算术平均数、调和平均数、几何平均数又称为（ ）平均数，众数、中位数又 ）平均数不受极端变量值得影响。

）来计算的，所以又称为（ ）平均数。

）为权数，加权调和平均数是以（ ）为权数的。

）平均数，其中（ 调和平均数是根据（ 加权算术平均数是以（ 对于未分组资料，如总体单位数是偶数，则中间位置的两个标志值的算术平均数就二、单项选择1. 分析统计资料, A 众数2. 对于同一资料, 可能不存在的平均指标是（ B 算术平均数 C 中位数 算术平均数，调和平均数和几何平均数在数量级上一般存在如下关 ）。

D 几何平均数 系（ A 算术平均数 B 中位数C 调和平均数D 几何平均数4.从计算方法上看，RQ i /K p 是（）A 算术平均数B 调和平均数C 中位数D 几何平均数3.下面四个平均数中, 只有（）是位置平均数。

5.由右边的变量数列可知：（）。

M 0> Md ；M d> M o ;M 0 >30M d>306.某车间三个小组，生产同种产品，其劳动生产率某月分别为150, 160, 165 （件/工日），产量分别为4500, 4800, 5775 （件），则该车间平均劳动生产率计算式为（）。

150罗165158.33 （件/工日）150 5775158.53 （件/工日）45000 4800 57775 158.68 （件/工日）15^ T6y 365~物50 160 165=158.21 （件/ 工日）7.关于算术平均数的性质，不正确的描述是（A B C 各变量值对算术平均数的偏差和为零；算术平均数受抽样变动影响微小；算术平均数受极端值的影响微小；各变量值对算术平均数的偏差的平方和，小于它们对任何其它数偏差的平方和。

集中趋势的度量方式以集中趋势的度量方式为标题，我们将探讨一些常用的统计学方法，用于描述和衡量数据集的集中趋势。

集中趋势是指数据集中的位置，它反映了数据的平均水平或中心位置。

常见的集中趋势度量方式包括平均数、中位数和众数。

1. 平均数平均数是最常见的集中趋势度量方式之一。

它是将数据集中的所有数值相加，然后除以数据集中的观测数量得到的结果。

平均数可以精确地衡量数据集的集中趋势，但它对异常值非常敏感。

如果存在异常值，平均数可能会被拉向异常值的方向，导致结果不准确。

2. 中位数中位数是将数据集按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

如果数据集的观测数量为奇数，则中位数就是排在中间位置的数值；如果数据集的观测数量为偶数，则中位数是中间两个数值的平均值。

与平均数不同，中位数对异常值不敏感，因此在存在异常值的情况下，中位数更能真实地反映数据集的集中趋势。

3. 众数众数是数据集中出现次数最多的数值。

一个数据集可以有一个或多个众数。

众数用于描述数据集中的重复出现的值，特别适用于离散型数据。

众数可以帮助我们了解数据集中最常见或最典型的数值。

除了上述常见的集中趋势度量方式，还有一些其他的方式可以用于描述数据的集中趋势。

4. 加权平均数加权平均数是在计算平均数时给不同观测值赋予不同的权重。

这种方法常用于处理不同观测值的重要性不同的情况。

例如，在计算学生成绩的平均分时，可以根据学分的权重给不同科目的观测值赋予不同的权重，以更准确地计算平均分。

5. 几何平均数几何平均数是将数据集中的所有观测值相乘，并对结果开n次方，其中n为数据集中的观测数量。

几何平均数常用于计算增长率或比率。

它适用于正值数据集，并对极端值不敏感。

6. 加权中位数加权中位数是在计算中位数时给不同观测值赋予不同的权重。

这种方法常用于处理具有不同重要性的观测值的情况。

例如，在计算收入中位数时，可以根据不同人群的权重给不同收入水平的观测值赋予不同的权重，以更准确地计算收入中位数。

集中趋势的使用方法
集中趋势是用于描述数据集中位置的统计学概念。

它可以通过以下三种方式来衡量：
1. 平均数：所有数值的总和除以样本数量。

2. 中位数：将数据从小到大排序后，处于正中间的那个数值。

3. 众数：数据集中出现最频繁的数值。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的集中趋势指标。

例如，在正态分布的情况下，平均数更加合适；而在数据存在异常值、极端值或分布不均匀的情况下，中位数和众数则更适合描述数据的中心位置。

除了简单的统计量之外，我们还可以通过箱线图、直方图等可视化方式来观察数据的集中趋势。

通过这些方法，我们可以更好地理解和描述数据分布的中心。