4.解排列组合问题的常用方法(高三复习)

探析排列组合常见的十六种解题方法ʏ福建省泉州市第七中学 彭耿铃高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力㊁转化与化归处理能力及应用意识㊂这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值㊂本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考㊂求解排列㊁组合问题的常见方法有以下几种㊂(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们 内部 的排列数,主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;(4)特殊元素㊁位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入m -1块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7) 至多 ㊁ 至少 间接法: 至多 ㊁ 至少 的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲㊁乙㊁丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解㊂一㊁定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置㊂先排末位共有C 13种方法;然后排首位共有C 14种方法;最后排其他位置共有A 34种方法㊂由分步计数原理得,有C 14C 13A 34=288(个)满足要求的数㊂例2 6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )㊂A.192种 B .216种C .240种D .288种解析:若最左端排甲,其他位置共有A 55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A 44=24(种)排法㊂所以共有120+4ˑ24=216(种)排法,选B ㊂小结:位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素㊂若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置㊂若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件㊂二㊁相邻元素捆绑法例3 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?解析:可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排㊂由分步计数原理可得,共有A55A22A22=480(种)不同的排法㊂例4某人射击了8枪,命中4枪,4枪命中且恰好有3枪连在一起的情形共有种㊂解析:命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有A25=20(种)情况㊂小结:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决㊂即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列㊂三㊁不相邻问题插空法例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()㊂A.72B.120C.144D.168解析:歌舞类节目设为a1,a2,a3,小品类节目设为b1,b2,相声类节目设为c㊂先排a1,a2,a3不相邻,顺序如ˑb1ˑb2ˑcˑ,共A33A34种方法,b1b2相邻前提下,ˑb1b2ˑcˑ插空法共A22A33A22种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34-A22A33A22=A33㊃(A34-4)=6ˑ20=120,选B㊂例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为()㊂A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有A34=24(种)方法,故选D㊂例7(2022年新高考Ⅱ卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()种㊂A.12B.24C.36D.48解析:因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式㊂为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式㊂注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A33ˑ2ˑ2=24(种)不同的排列方式,选B㊂小结:元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端㊂四㊁定序问题除序(去重复)㊁空位㊁插入法例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?解析:法一(除序法):对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是A77A33=840㊂法二(空位法):设想有7把椅子,让除甲乙丙以外的4人就座共有A47种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有1ˑA47=840(种)方法㊂法三(插入法):先选三个座位让甲乙丙三人坐下,共有C37种方法,余下4个空座位让其余四人就座,共有A44种方法,则共有C37A44=840(种)方法㊂小结:定序问题可以用除序法,还可转化为空位法㊁插入法㊂五㊁重排问题求幂法例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?解析:完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法, ,由分步计数原理知共有76种不同的分法㊂小结:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置㊂一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n ㊂六㊁环排问题线排法例10 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解析:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=7!=5040(种)排法㊂小结:一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n -1)!种排法㊂如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列,共有1nA mn ㊂七㊁排列组合混合问题先选后排法例11 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法解析:第一步从5个球中选出2个组成复合元素,共有C 25=10(种)方法;再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有A 44=24(种)方法㊂根据分步计数原理,装球的方法共有C 25A 44=240(种)㊂例12 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰㊁短道速滑㊁冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )㊂A.60种 B .120种C .240种D .480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有C 25种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为A 44㊂根据乘法原理,完成这件事共有C 25ˑA 44=240(种)不同的分配方案,选C ㊂例13 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种㊂解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C 24种㊂现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有A 33种㊂根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有C 24A 33=6ˑ6=36(种)㊂小结:解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似㊂八㊁元素相同问题隔板法例14 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?解析:10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙㊂在9个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有C 69=84(种)分法㊂小结:将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排的n -1个空隙中,所有分法数为C m -1n -1㊂九㊁正难则反总体淘汰法例15 从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2个不同的数分别记为a ,b ,共可得到l g a -l gb 的不同值的个数是( )㊂A.9 B .10 C .18 D .20解析:l g a -l g b =l gab,从1,3,5,7,9中任取2个数分别记为a ,b ,共有A 25=20(种)结果㊂其中l g13=l g 39,l g 31=l g 93,故共可得到不同值的个数为20-2=18,选C ㊂例16 某学校安排甲㊁乙㊁丙㊁丁4位同学参加数学㊁物理㊁化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲㊁乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有种㊂解析:把4位同学分成3组,有C 24=6(种)方法,然后进行全排列,即有C 24A 33=36(种)方法,去掉甲㊁乙在一个组的情况,当甲㊁乙在一个组时,参加的方法有A 33=6(种)㊂故符合题意的安排方法有36-6=30(种)㊂小结:有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰㊂十㊁平均分组问题除法例17将5名同学分到甲㊁乙㊁丙3个小组,若甲小组至少2人,乙㊁丙组至少1人,则不同的分配方案种数为()㊂A.80B.120C.140D.50解析:先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有C25C23C11A22=15(种),然后将有2人的两组分给甲㊁乙或甲㊁丙,分配方法是15ˑ(A22+ A22)=60(种);二是3组人数分别为3,1,1,分组方法有C35C12C11A22=10(种),然后将有1人的两组分给乙㊁丙两组,分配方法有10ˑA22 =20(种)㊂共有60+20=80(种)方案,选A㊂小结:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A n n(n为平均分的组数)避免重复计数㊂十一㊁合理分类与分步法例18甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()㊂A.10种B.15种C.20种D.30种解析:由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局㊂当局数为3局时,情况为甲或乙连赢3局,共2种㊂当局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有C23=3(种)情况㊂同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况㊂当局数为5局时,前4局,甲㊁乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有2C24=12(种)情况㊂综上可知,共有2+6+12=20(种)情况㊂选C㊂十二㊁构造模型法例19马路上有编号为1,2,3,4,5, 6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种㊂解析:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C35 =10(种)㊂小结:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决㊂十三㊁分解与合成法例2030030能被多少个不同的偶数整除?解析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2ˑ3ˑ5ˑ7ˑ11ˑ13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有C05+C15+C25+C35+C45+C55=32(个)㊂例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解析:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体,共有C48-12=58(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3ˑ58=174(对)异面直线㊂例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有()㊂A.24对B.30对C.48对D.60对解析:(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60ʎ角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8ˑ12 =96(对),且每对均重复计算一次,故共有962 =48(对)㊂选C㊂方法二:正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有C212=66(对)㊂同一个面上的对角线不满足题意,对面中的对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数,所以不满足题意的共有3ˑ6=18(对)㊂从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有66-18=48(对)㊂选C㊂小结:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略㊂十四㊁复杂问题化归法例2325人排成5ˑ5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解析:将这个问题退化成9人排成3ˑ3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法㊂这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去㊂从3ˑ3方队中选3人的方法有C13C12C11=6(种)㊂再从5ˑ5方阵选出3ˑ3方阵便可解决问题㊂从5ˑ5方队中选取3行3列,有C35C35=100(种)选法,所以从5ˑ5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有C35C35C13C12C11=600(种)选法㊂例24用a代表红球,b代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+a b表示出来,如: 1 表示一个球都不取㊁ a 表示取出一个红球,而 a b 表示把红球和蓝球都取出来㊂以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球㊁5个无区别的蓝球㊁5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()㊂A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)㊃(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)㊃(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个, ,5个,则有(1+a+ a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个, ,5个,有(1+c)5种不同的取法㊂所以所求的取法种数为(1+a+a2+ a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A㊂小结:处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题㊂十五㊁数字排序问题查字典法例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()㊂A.144个B.120个C.96个D.72个解析:首位填4时,比40000大的偶数有2ˑ4ˑ3ˑ2=48(个);首位填5时,比40000大的偶数有3ˑ4ˑ3ˑ2=72(个)㊂故共有48+72=120(个)数满足题意,选B㊂小结:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数㊂十六㊁住店法例267名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为㊂解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家 店 ,五项冠军看作5名 客 ,每个 客 有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能㊂小结:解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,能重复的元素看作 店 ,再利用乘法原理直接求解㊂排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题㊂对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化㊂请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础㊂(责任编辑徐利杰)。

高考数学排列组合解题技巧总结一、定义排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列.组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.二、学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的.2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。

必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。

弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.4、“正难则反”是处理问题常用的策略.三、常用方法1、合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

2、“至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种）3、注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。

解排列组合问题的几种方法郑勇山东省济宁市微山县第三中学272195排列组合问题是高中数学的重点和难点之一，也是新教材中学习概率的基础，是近年高考必考内容。

排列组合是研究计数问题的策略学，首先根据题意弄清是排列还是组合问题以及排列组合混合问题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则。

分析计数原理满足两个条件，①类与类互斥，②总类完备。

分步计数原理的特征是，分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。

这是解决排列组合问题的最基本的方法手段。

具体的题中，这两种原理交叉结合来解决问题。

下面谈一些粗浅的认识及常用的方法，仅供参考。

1、特殊元素·优先法对于有要求的特殊元素，特殊位置要优先安排，在做题时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

合理分配，准确分步是确保解决问题的前提。

例1 ，0、3、5、6、8这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有几个？分析：这里百位及个位是特殊位置，0是特殊元素，若以“元素优先”考虑，则先对0分两类。

第一类：这三位数中含有0 ，再分两类：①0在个位上分两步，（首先个位安排0，百位十位从4个元素中任取2个排序有A24）有A11A24个。

②0不在个位上分三步（首先安排0在十位上，再安排好个位，从两个偶数中取一个有A12，最后安排百位有A13）有A11A12A13个；第二类：这三位数不含有０，此时只有个位是特殊位置分两步（先安排个位有A12再安排十位百位有A23）有A12A23。

由分类计数原理偶数共有（A11A24+A11A12A13）+A12A23=30个，若从“位置优先”考虑，可分0再个位和0不再个位两类：①0在个位有A24,②0 不在个位有A12A13A13，由分类计数原理得偶数共有A24+A12A13A13=30个。

2、间接法对含有否定字眼的问题可以从总体中把不符合要求的删去，此时注意既不能多减又不能少减。

例2，7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。

排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。

排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。

以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。

2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。

3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。

4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。

根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。

5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。

根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。

6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。

通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。

7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。

通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。

8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。

解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。

通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。

同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。

排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。

例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。

2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。

高中数学排列组合解题方法高中数学排列组合解题方法近年来，排列组合题在高考试题中占据较大比例，或单独命题，或与概率内容相结合，由于排列组合题抽象性较强，解题思路灵活，方法多样，切入点多，学生在解题过程中往往容易出现思维遗漏、或重复的错误。

因此，在高中数学排列组合教学过程中，教师要加强解题训练，引导学生熟练掌握和灵活运用解题技巧，使问题迎刃而解。

下面是小编为大家带来的高中数学排列组合解题方法，欢迎阅读。

1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。

它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

例1 在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。

先将原来的6个节目排列好，这时中间和两端有7个空位，然后用一个节目去插7个空位，有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位，有A种方法;将最后一个节目插入到9个空位中，有A种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法AAA=504种。

例2 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C种方法。

故共有AC种方法。

2.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。

例3 有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种？解析：由于甲、乙两人必须要排在一起，故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑，即将两人视为一人，再与其他四人进行全排列，则有A种排法，甲、乙两人之间有A种排法。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑： 对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。

例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。

（2） 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。

（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。

二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。

例2．（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。

（2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。

三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。

例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。

（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。

四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。

例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。

（2） 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。

（3）集合A 有8个元素，集合B 有7个元素，B A 有4个元素，集合C 有3个元素且满足下列条件：Φ≠Φ≠⊂B C A C B A C ,,的集合C 有几个。

（4）从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

例5（1）用1、2、3、⋯9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。

（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。

排列组合中的常用方法1.排列数：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n P mn -=+-⋅⋅⋅--=，（其中m ≤n ，m 、n ∈N ）.注意：为了使m=n 时，!)!(!n n n n P P nn m n =-==公式成立，我们规定10=！（同时11=！）.2.组合数：)!(!!123)2)(1()1()2)(1(m n m n m m m m n n n n P P C m m m n m n-⋅=⨯⨯⋅⋅⋅--+-⋅⋅⋅--==),,(n m N m n ≤∈*且 m n n m n C C -= ),,(n m N m n ≤∈*且.注意：为了使m=n 时，0n n n C C =公式成立，我们规定10=n C ， 所以111010====+++k k kk k k C C C C ；3.排列组合问题联系生活实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

4.排列组合中的常用方法如下：（1）特殊元素和特殊位置问题——优限法 （2）多元问题——合理分类与分步法 （3）相邻问题——捆绑法 （4）不相邻问题——插空法 （5）定序问题——倍缩法 （6）重排问题——求幂法 （7）平均分组问题——除序法 （8）分组问题——隔板法（9）分配问题——先分组后排列法 （10）球盒问题（11）区域涂色问题——分步与分类综合法 （12）“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法（“正难则反”策略） （13）元素个数较少的排列组合问题——枚举法 （14）复杂的排列组合问题——分解与合成法1.特殊元素和特殊位置问题——优限法元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，则先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，则先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。

高考数学排列组合解题的二十一种方法总结，尖子生的秘诀都
在这
今天给大家带来的是高中数学排列组合结题的二十一种方法！
分别包括
一.特殊元素和特殊位置优先策略
二.相邻元素捆绑策略
三.不相邻问题插空策略
四.定序问题倍缩空位插入策略
五.重排问题求幂策略
六.环排问题线排策略
七.多排问题直排策略
八.排列组合混合问题先选后排策略
九.小集团问题先整体后局部策略
十.元素相同问题隔板策略
十一.正难则反总体淘汰策略
十二.平均分组问题除法策略
十三. 合理分类与分步策略
十四.构造模型策略
十五.实际操作穷举策略
十六. 分解与合成策略
十七.化归策略
十八.数字排序问题查字典策略
十九.树图策略
二十.复杂分类问题表格策略
二十一：住店法策略
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高考数学如何解决复杂的排列组合题目高考数学中，排列组合是一个常见的考点，也是考生们容易感到头疼的一部分。

在解决复杂的排列组合题目时，需要一定的方法和技巧。

本文将介绍一些解决复杂排列组合题目的方法和步骤。

一、理解排列和组合的概念在解决复杂排列组合问题之前，我们首先要明确排列和组合的概念。

排列是指从n个不同的元素中取出m个元素进行排列，其中元素的顺序是重要的。

组合是指从n个不同的元素中取出m个元素进行组合，其中元素的顺序是不重要的。

二、解决排列问题的方法对于复杂的排列问题，我们可以采用以下步骤和方法进行解决：1. 确定问题的条件：首先，我们需要明确题目中给出的条件，例如题目中可能会提到某些元素的顺序、限制条件等。

2. 确定问题的类型：根据题目给出的条件，确定排列问题的类型。

一般来说，排列问题可以分为有重复元素和无重复元素两种情况。

3. 使用排列公式计算：根据问题的类型，使用相应的排列公式进行计算。

对于有重复元素的排列问题，可以使用n个元素中有重复元素的排列公式；对于无重复元素的排列问题，可以使用经典的排列公式进行计算。

4. 注意特殊情况：在解决排列问题时，需要注意特殊情况的处理，例如元素有限制、元素的重复使用等。

三、解决组合问题的方法对于复杂的组合问题，我们可以采用以下步骤和方法进行解决：1. 确定问题的条件：与解决排列问题类似，首先需要明确题目中给出的条件，例如题目中可能会提到某些元素的顺序、限制条件等。

2. 确定问题的类型：根据题目给出的条件，确定组合问题的类型。

一般来说，组合问题可以分为有重复元素和无重复元素两种情况。

3. 使用组合公式计算：根据问题的类型，使用相应的组合公式进行计算。

对于有重复元素的组合问题，可以使用n个元素中有重复元素的组合公式；对于无重复元素的组合问题，可以使用经典的组合公式进行计算。

4. 注意特殊情况：在解决组合问题时，同样需要注意特殊情况的处理，例如元素有限制、元素的重复使用等。

解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。

解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。

其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。

一、特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。

例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有24A 个，②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ． 例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B ）。

二、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。

例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。

解决高考数学中的排列与组合问题高考数学中的排列与组合问题常常让考生头疼不已，但只要掌握正确的解题方法和技巧，这些问题将变得简单而有趣。

本文将为大家介绍一些解决高考数学中的排列与组合问题的有效方法。

一、排列问题解决方法排列是从n个元素中选取m个元素进行排列，其中元素的顺序是重要的。

下面是一些解决排列问题的方法：1. 公式法排列问题可以使用公式进行求解，公式为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘运算符。

这个公式可以直接计算出排列的结果。

2. 集合法使用集合的概念可以简化排列问题的解决。

将n个元素放入一个集合中，然后从集合中选取m个元素进行排列，最后将所有可能的排列方式求和即可得到结果。

3. 分类讨论法对于一些特殊的排列问题，可以使用分类讨论的方法求解。

将问题分解成几个简单的子问题，然后分别求解并将结果相加即可得到最终的答案。

二、组合问题解决方法组合是从n个元素中选取m个元素进行组合，其中元素的顺序是不重要的。

下面是一些解决组合问题的方法：1. 公式法组合问题可以使用公式进行求解，公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)。

通过将排列公式中的重复计数去掉，就可以得到组合的公式。

2. 集合法与排列问题相似，使用集合的概念同样可以简化组合问题的解决。

将n个元素放入一个集合中，然后从集合中选取m个元素进行组合，最后将所有可能的组合方式求和即可得到结果。

3. 分类讨论法对于一些特殊的组合问题，同样可以使用分类讨论的方法求解。

将问题分解成几个简单的子问题，然后分别求解并将结果相加即可得到最终的答案。

三、解决高考数学中的排列与组合问题的技巧除了掌握以上的解题方法外，还有一些技巧可以帮助我们更轻松地解决高考数学中的排列与组合问题：1. 灵活运用计数原理计数原理是解决排列与组合问题的基础，灵活运用计数原理可以帮助我们简化问题，加快解题速度。

2. 注意边界条件解决排列与组合问题时，要注意边界条件的处理。

高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

解高中排列组合题的常用方法排列组合是高中数学的重点和难点之一,也是高考必考的内容.学好排列组合对同学有两方面的益处,一方面为同学进一步学好概率知识打下坚实的基础;另一方面使同学进一步理解和掌握分类讨论思想、转化思想和对称思想等数学思想.由于排列组合问题不仅内容抽象,题型多样,解法灵活,而且解题过程中极易出现重复或者遗漏的错误,针对这些问题,下文介绍了八种解排列组合题的常用方法,并且结合一些2009年数学高考题来阐述一下这些方法的具体运用.一、分类法(分类问题)对于可分成若干类完成的排列组合问题,把问题分成若干类(使得每类不重不漏),分别计算出每类的排列组合数,再根据加法原理把各类的排列组合数相加即可.例1 甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种解析此问题可分为两类,第一类是:由甲组中选出一名女生,有C15•C13•C26=225种选法,第二类是:由乙组中选出一名女生,有C25•C16•C12=120种选法,从而共有225+120=345种选法,故选D.例2用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析此问题可分为两类,第一类是:个位、十位和百位上的数字都是偶数的四位数有C23A33C14+A33C13=90个,第二类是:个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数的四位数有C23A33C14+C13C23A33C13=234个,故个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有90+234=324个.评注对于分类问题,关键是正确地分类和准确地计算出每类的排列组合数.练习在11名同学中,有5人只会打篮球,4人只会打乒乓球,另外2人既会打篮球也会打乒乓球,现从11人中选4人打篮球,4人打乒乓球,问共有多少种不同的选法?(答案:185)二、分步法(分步问题)对于可分成若干步完成的排列组合问题,把问题分成若干步,分别计算出每步的排列组合数,再根据乘法原理把各步的排列组合数相乘即可.例3 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有()A. 120种B. 96种C. 60种D. 48种解析此问题可分为四步完成,第一步是:5人中选4人共有C45种,第二步是:星期五选一人有C14种,第三步是:星期六选两人有C23种,第四步是:星期日选一人有C11种,则不同的选派方法共有C45C14C23C11=60种,故选C.例4 甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).解析此问题可分为两步完成,第一步是:先排甲有7种情况,第二步是:再排乙、丙,此步又分为两类,第一类是:当乙和甲站在同一个台阶有1种情况时,丙站在其它六个台阶之一有6种情况,第二类是:当乙站在其它六个台阶其中之一有6种情况时,丙可以任意站有7种情况,则第二步有1×6+6×7=48种情况,故不同的站法种数是7×48=336种.评注对于分步问题,关键是正确地分步和准确地计算出每步的排列组合数.练习n+1本不同的书分给n个人,每人至少一本,问有多少种不同的分法?(答案:C2n+1Ann)三、排除法/间接法(限制条件问题)对于关于有限制条件的排列组合问题,首先求出不加限制条件的排列组合数,然后减去其中不符合条件的排列组合数.例5 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种解析两人各选2门的情况有C24C24种,两人所选两门都不相同的情况有C24C22种,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有C24C24-C24C22=36-6=30种,故选C.例6 某地政府召集5家企业人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A. 14B. 16C. 20D. 48解析不考虑是否来自同一企业的种数是C36,而3人有来自同一企业的种数是C22C14,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为C36-C22C14=20-4=16,故选B.评注对于有限制条件或出现“至少”“至多”之类字眼的题目适合用排除法,就是让不考虑限制条件得到的总排列组合数减去不符合题中限制条件的排列组合数.练习某班有10名中共党员,其中4名男同学,6名女同学,要从这10人中评选出3名“三好学生”,并且至少有1名男同学,问有多少种选法?(答案:100)四、优先法(指定位置问题)对于某几个元素要排在指定位置的排列组合问题,一般应先考虑这些特殊元素,再考虑其他元素.例7 从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()A. 432B. 288C. 216D. 108解析由于是奇数,优先考虑末尾数字从1,3,5,7中取,有种情况;再从剩余三个奇数中选取一个,有C13种情况;从2,4,6三个偶数中选取两个,有C23种情况,再进行十位、百位和千位三个位置的全排列,有A33种情况,则共有C14C13C23A33=216个,故选C.评注上题中要求的是奇数,所以优先考虑末尾数字,再考虑其他位置的数字.练习广东宏远篮球队的10名队员中有3名主力球员,派5名参加比赛,3名主力球员安排在中锋、组织后卫和进攻后卫位置上,从其余7名球员中选2名排在小前锋和大前锋位置,那么不同的出场顺序有多少种?(答案:252)五、插空法(不相邻问题)对于某几个元素不相邻的排列组合问题,可先将其它元素排好,再将这些不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入.例8 5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有种.解析除甲乙外先排其他三人有A33种情况,再将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中有A24种情况,故甲、乙两不相邻的排法有A33A24=72种.评注上题中由于甲、乙不相邻,所以先排其他人,再把甲和乙插进去.练习n个男生要m(m≤n)和个女生合影,要求m个女生两两不相邻,问有多少种不同的排法?(答案:AnnAmn+1)六、捆绑法(相邻问题)对于某几个元素相邻的排列组合问题,可将相邻的元素捆绑在一起,看作一个整体元素与其它元素排列组合,然后再在这个整体元素内部进行排列组合.例9 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A. 60B. 48C. 42D. 36解析有两位女生相邻可从名女生中任取人捆绑在一起记作a,(a共有C23A22=6种不同排法),剩下一名女生记作b,两名男生分别记作甲、乙,则男生甲必须在a、b之间(若甲在a、b两端,则为使a、b不相邻,只有把男生乙排在a、b之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(a左b右和a右b左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,则共有12×4=48种不同排法,故选B.评注上题中由于有两名女生相邻,所以要把这两名相邻女生捆绑在一块看成一个整体.练习5名同学要和2名校长合影,要求排成一排,2名校长相邻且不排在两端,问有多少种不同的排法?(答案:960)七、集合法(交叉问题)对于某些排列组合部分之间有交集的排列组合问题,可用集合中求元素个数公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A ∩B)来求解.例10 50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为()A. 50B. 45C. 40D.35解析由公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B),得两项都参加的学生人数为:Card(A∩B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∪B)=30+25-50=5,则仅参加了一项活动的学生人数为:50-5=45,故选B.评注关键是把公式中的每个量准确地求出来.练习从6名运动员中选出4名参加4×100m接力赛,其中甲不跑第二棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法?(答案:252)八、概率法(概率问题)对于几种情况出现概率相同的排列组合问题,只要求出其中一种情况排列组合数,乘以情况总数就可得到总体情况排列组合数;或者只要求出总体情况排列组合数,除以情况总数就可得到每种情况排列组合数.例11 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).解析由于三个乡镇甲、乙、丙都有可能得到两名大学生,这三种情况出现的概率相同,从而我们不妨只考虑乡镇甲分到两名大学生,乡镇乙、丙各分到一名大学生的情况,这种分配方案有C24C12C11=12种,故总的分配方案有3C24C12C11=3×12=36种.评注关键是搞清楚每种情况发生的概率,再选其中一类特殊情况进行讨论.练习由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,其中个位数小于十位数的共有多少个?(答案:2160) 解排列组台题的方法很多,以上只是对常用方法进行了分析,这里只起抛砖引玉的作用,望大家解题时不断积累经验,总结解题规律,掌握方法和技巧,最终达到灵活运用.责任编校徐国坚。

排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。

例2： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。