高三—排列组合复习

1.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A ．120种B ．96种C ．78种D ．72种解析：①若甲在排位，剩下四人可自由排，有44A =24种排法；②若甲在第二、三、四位上，则有54131333=A A A 种排法；共78种。

2.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）A ．8B ．24C ．48D ．120解析：483412=A A 。

3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648解析：当尾数是2、4、6、8时，个位有四种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，共有8*8*4=256；当尾数为0时，百位有9种选法。

十位有8种结果，共有9*8*1=72；共有256+72=328.4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.6种B.12种C.24种D.30种解析：①所有两人各选修2门的总数362424=C C ；②两人所选两门都相同的有624=C 种；③都不同的种数为624=C ；所以恰好有一门相同的选法有36-6-6=24种。

5.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种解析：恰有1名女同学的选法分两类：甲组选一男一女，乙组两男的选法有225261315=C C C 种；乙组选一男一女，甲组两男的选法有120121625=C C C 种，共有345种。

6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.36解析：法一）总的方法数是363324=A C ，甲乙被分到同一个班级的方法数是633=A ，故甲乙不分到同一个班级的方法数是36-6=30.法二）如丙丁分到同一个班级，则为33A ；如甲丙分到同一个班级，则丁只能独自一个班级，方法数是33A ；如乙丙分到同一个班级，则丁也只能独自一个班级，方法数是33A ；同理，若丁分到甲或乙所在班级，方法数是332A 。

高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。

在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。

在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。

一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。

比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。

组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。

比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。

二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。

这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。

2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。

比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。

四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。

下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。

1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。

比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。

排列组合一、知识网络二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点一．分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。

2 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。

3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。

二．排列1 定义（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .2 排列数的公式与性质（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1（2）排列数的性质：（Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）（Ⅲ）（分解或合并的依据）三．组合1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。

排列组合高考知识点排列组合是高中数学中比较重要的知识点之一，也是高考必考的内容。

掌握好排列组合的基本概念和解题方法，对于应对高考数学考试是非常关键的。

本文将从排列和组合两个方面对这一知识点进行详细的介绍和讲解。

一、排列排列是指从一组对象中选择若干个进行有序的排列。

在排列中，对象的顺序是非常重要的，即不同的顺序产生的结果是不同的。

1.1 基本概念在排列中，从n个不同对象中取出m (1≤m≤n)个进行排列，叫做从n个不同对象中取出m个的m排列(n次排列)，用符号A（n，m）表示。

公式为：A（n，m）= n(n-1)(n-2) ... (n-m+1) = n!/(n-m)!其中，! 表示阶乘运算，即 n! = n(n-1)(n-2) ... 3*2*1。

1.2 解题思路解决排列问题的关键是要明确题目所求的是多少个对象的排列，以及是否要考虑顺序。

通常，在问题中会明确给出这些信息。

根据题目中的条件，使用相应的公式计算即可得出结果。

二、组合组合是指从一组对象中选择若干个进行无序的组合。

在组合中，对象的顺序不重要，即不同的顺序产生的结果是相同的。

2.1 基本概念在组合中，从n个不同对象中取出m (1≤m≤n) 个对象进行组合，叫做从n个不同对象中取出m个的m组合(n取m)，用符号C（n，m）表示。

公式为：C（n，m）= n!/[(n-m)! * m!]2.2 解题思路解决组合问题的关键是要明确题目所求的是多少个对象的组合，以及是否要考虑顺序。

如果题目明确要求考虑顺序，则需要使用排列的方法；如果题目没有明确要求考虑顺序，则使用组合的方法。

根据题目中的条件，使用相应的公式计算即可得出结果。

三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用。

下面以几个实例来说明排列组合在解决问题中的作用。

3.1 奖项抽选假设某次抽奖活动中，有10个人参与，其中有5个奖项要分发。

问共有多少种分发奖项的方案？解：这是一个从10个人中选出5个的组合问题。

2023年高考数学考点复习——排列组合考点一、排列例1、A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A．24种B．36种C．48种D．60种例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（）A．48种B．96种C．240种D．480种例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（）A．216种B．240种C．288种D．384种跟踪练习1、A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C 去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（）A．108B．120C．144D．1562、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A．14B．16C．512D．7243、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A．112B．16C．15D．134、甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）A．19B．16C．13D．125、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种.7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）8、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（）A．288种B．144种C．96种D．48种9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（）A．48个B．60个C．72个D．84个10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A．42种B．96种C．120种D．144种11、一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．12、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）考点二组合例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10 B．20 C．540 D．1080例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种．例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10 B．20 C．60 D．100跟踪练习1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A和B两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（）A．4 B．8 C．10 D．122、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答）3、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A．20 B．55 C．30 D．255、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A、B、C、D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有（）A．39种B．168种C．1268种D．1680种6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A．84 B．168 C．240 D．2527、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()考点三排列组合综合运用例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．345例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）A．24种B．36种C．60种D．72种跟踪练习1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．420种B．780种C．540种D．480种2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．3453、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到A，B，C三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A社区的概率为（）A．16B．12C．13D．345、5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）A．60 B．80 C．100 D．1206、某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（）A．36 B．30 C．24 D．187、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）A．54431384322C C C AAB．54421384233C C C AAC．544138422C C CAD．5441384C C C8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36 B．48 C．72 D．1209、2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）A．4704种B．2800种C．2688种D．3868种10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48011、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48013、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种B．78种C．84种D．144种14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.15、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．。

排列与组合1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。

取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。

一、走进教材1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24二、走近高考3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。

(用数字作答)三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。

5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。

6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。

考点一简单的排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻。

【变式训练】(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种考点二组合问题【例2】(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。

高三数学排列组合知识点归纳总结数学是一门需要大量的思考和应用的学科，其中排列组合是数学中的一个重要部分。

在高三数学学习中，排列组合也是必修的一个内容，掌握了排列组合的知识，既能够帮助我们解决实际问题，又能够培养我们的思维能力和数学思维方式。

本文将对高三数学中的排列组合知识点进行归纳总结。

一、排列问题排列是指将若干个不同的元素按照一定的顺序排列起来，根据实际问题的不同，排列分为不放回排列和放回排列。

1. 不放回排列不放回排列的特点是每次抽出一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。

例如，将10个不同的球依次排列，共有多少种排列方式？解法：根据乘法原理，第一个球有10种选择，第二个球有9种选择……依次类推，最后一个球有1种选择，因此共有10*9*…*1=10!种排列方式。

2. 放回排列放回排列的特点是每次抽出一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。

例如，将10个不同的球排列，每次抽取时都将球放回，共有多少种排列方式？解法：与不放回排列不同，放回排列时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有10*10*…*10=10^n种排列方式。

二、组合问题组合是指从若干个不同的元素中取出一部分元素，不考虑其顺序，根据实际问题的不同，组合分为不放回组合和放回组合。

1. 不放回组合不放回组合的特点是每次抽取一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。

例如，从10个不同的球中取出3个球，共有多少种组合方式？解法：根据组合的定义，只要选择了球，无论其顺序如何，都算作同一种组合方式。

所以，共有C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!)种组合方式。

2. 放回组合放回组合的特点是每次抽取一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。

例如，从10个不同的球中取出3个球，每次抽取时都将球放回，共有多少种组合方式？解法：与不放回组合不同，放回组合时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有C(10+3-1,3) = C(12,3) =12!/(3!(12-3)!)种组合方式。

数学高三复习知识点组合与排列数学高三复习知识点：组合与排列在数学中，组合与排列是两个重要的概念，也是数学高三复习的重点知识点之一。

组合与排列在概率统计、离散数学等领域都具有广泛的应用。

本文将介绍组合与排列的基本概念及其相关性质，帮助高三学生复习和理解这一知识点。

一、排列的概念和性质排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素的方式。

设有n个元素，从中选取m个进行排列，则记为P(n,m)。

排列的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1乘到n的乘积。

排列的性质有以下几点：1. 排列的个数是固定的，对于不同的n和m，排列的个数是不同的。

2. 当m=n时，全排列的个数为n!。

3. 当m>n时，排列的个数为0。

4. 当m<n时，排列的个数为负数，表示无意义。

排列涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行排列，问有多少种不重复的排列方式；从n个元素中选出m个元素进行排列，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。

二、组合的概念和性质组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。

设有n个元素，从中选取m个进行组合，则记为C(n,m)。

组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)组合的性质有以下几点：1. 组合的个数是固定的，对于不同的n和m，组合的个数是不同的。

2. 当m=0或m=n时，组合数为1。

3. 当m>n时，组合数为0。

4. 当m<n时，组合数为正整数。

组合涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行组合，问有多少种不重复的组合方式；从n个元素中选出m个元素进行组合，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。

三、排列与组合的联系与应用排列与组合有很多联系与应用，在实际问题中经常出现。

以下是一些常见的联系与应用：1. 从n个元素中选取m个元素进行排列，等价于从n个元素中选取m个元素进行组合，再将这m个元素进行排列。

排列组合知识点归纳总结高考一、简介排列组合是数学中的一个重要分支，也是高考数学考试中常见的题型。

掌握排列组合的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将对排列组合的基本概念、计算公式以及应用进行总结和归纳。

二、基本概念1. 排列排列是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列。

排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，不考虑其顺序，进行组合。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!)三、排列组合的计算公式1. 排列当元素可以重复使用时，排列的计算公式为：A'(n,m) = n^m2. 组合当元素可以重复使用时，组合的计算公式为：C'（n，m）= C（n+m-1，m）四、应用1. 随机抽奖在某次抽奖活动中，参与者共10人，要从中抽取3名幸运儿，问有多少种可能的结果？解题思路：这是一个组合问题，从10人中抽取3人，不考虑顺序。

根据组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!), 可以得出C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120 种可能的结果。

2. 配对组合在某次活动中，有5对情侣参加，要求每对情侣都不跟自己的伴侣配对，问有多少种可能的配对方式？解题思路：这是一个排列问题，每对情侣都有两种可能的配对方式。

根据排列的计算公式A(n,m) = n! / (n - m)!, 可以得出A(10,5) = 10! / (10 - 5)! = 30,240 种可能的配对方式。

3. 买彩票中奖某彩票号码由6个数字组成，开奖时从0-9之间随机选择6个数字作为中奖号码，以每注彩票中奖概率为4‰，购买一张彩票的中奖概率是多少？解题思路：这是一个组合问题，从10个数字中选择6个数字作为中奖号码，不考虑顺序。

完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲：排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：对于一件事情，有两种不同的方案，第一类方案有m种不同的方法，第二类方案有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。

二、排列数1.组合：从n个元素中取出m个元素，记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列：1）全排列：将n个元素全排列，记作Ann!2）从n个元素中取出m个元素，并将这m个元素全排列，记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和：Cnr2.展开式的第r项：Tr+1Cnr例题1：(x-1)4的展开式中的常数项是（）A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2：在二项式(x-2y) 5的展开式中，含x2y3的项的系数是（）A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练：1、在二项式(x21)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是（）A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中，含x2y4的项的系数是（）A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中，x2的系数等于？6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为？7、(x22)2x的展开式中常数项是70，则n=？若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40，则a=？四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题，弄清要做什么事；2.确定采取分步还是分类，或分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

高考数学复习考点题型归类解析专题46排列组合一、关键能力1. 理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. （1）考查两个计数原理；（2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用．（3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查． 二、必备知识1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．(3)排列数公式：这里并且(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.2.组合的相关概念及组合数公式n m m n ≤n m n m m n ≤n m m n A ()()()121mn A n n n n m =---+,n m N∈m n ≤n n ()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=()!!m n n A n m =-0!1=(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．[来源:学.科.网](3)组合数的计算公式：，由于，所以.(4)组合数的性质：①；②；③.三、高频考点+重点题型 考点一 、排列问题例1-1、有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( )A ．66种B ．60种C ．36种D ．24种 【答案】B 【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解. 【详解】首先对五名学生全排列，则共有55120A =种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况， 所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有55602A =种情况. 故选：Bn m m n ≤n m n m m n ≤n m m n C ()()()()121!!!!mmnnmm n n n n m A n C A m m n m ---+===-0!1=01n C =m n m n n C C -=11m m m n n n C C C -+=+11r r n n rC nC --=例1-2、男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共（ ）种不同排法. 【答案】40 【分析】给6个人编号，在进行分类讨论，即可求解 【详解】不妨给6人从左至右依次编号为：123456，先讨论男女男女男女的排法， 若甲排1号位，则乙只能排二号位，剩下两男两女全排列，共有222214A A ⋅⋅=种；若甲排3号位，则乙可以选择2号位或4号位，剩下两男两女全排列，共有222228A A ⋅⋅=种； 若甲排5号位，则乙可以选择4号位或6号位，剩下两男两女全排列，共有222228A A ⋅⋅=种； 合计20种排法，若再将男女调换位置，则符合条件的总排法有20240⨯=种， 故答案为：40例1-3、名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有__________种排法． 【答案】 【解析】当两端都是男生时：当两端都是女生时：共有种排法 故答案为例2-1、用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )3322576242342288A A A ⨯⨯=242342288A A A ⨯⨯=576576A ．96个B ．78个C ．72个D ．64个 答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B. 例2-2、用0,1,2,3,4,5这6个数字． (1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? (1)156 (2)132(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时,有A 35个；第二类：2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个(A 14种),十位和百位从余下的数字中选,有A 24种,于是有A 14·A 24个；第三类：4在个位时,与第二类同理,也有A 14·A 24个．由分类加法计数原理得,共有A 35＋2A 14·A 24＝156(个)．(2) 先排0,2,4,再让1,3,5插空,总的排法共A 33A 34＝144(种),其中0在排头,将1,3,5插在后3个空的排法共A 22·A 33＝12(种),此时构不成六位数,故总的六位数的个数为A 33A 34－A 22A 33＝144－12＝132(种).对点练1．（2021·浙江高二期中）将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）123455A B CA ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种. 故选：A.对点练2.（2021·江西·横峰中学高二期中（理））现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________.（用数字作答） 【答案】336 【分析】根据排列定义及公式即可求解. 【详解】423648601234551131221133135336A =1222()1,3()2,4()1,3()2,5()1,4()2,5()1,4()3,5()1,5()2,4()2,4()3,5633636A =64362+=从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为38876336A=⨯⨯=，故共有336种不同的选派方案.故答案为：336考点二.组合问题例3-1、(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)答案16解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故所求选法共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．方法二间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．例3-2．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．答案596解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C512－C1515C47－C57＝596(种)．例4-1．(2021·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案182解析甲、乙中裁一人的方案有C12C38种，甲、乙都不裁的方案有C48种，故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182(种)．例4-2.（2021·河南高考模拟（理））安排，，，，，，共6名义工照顾A B C D E F甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ） A.30种B.40种C.42种D.48种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法其中照顾老人甲的情况有：种照顾老人乙的情况有：种照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种符合题意的安排方法有：种本题正确选项：对点练1、甲、乙两人从4门课程中各选修2门．求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ (1)24 (2)30(1)解法1：甲或乙中一人先选,方法有C 24,另一人再选,有C 12C 12种,则选法种数共有C 24C 12C 12＝24(种)．解法2：先确定相同的那一门,有C 14种,再甲、乙各选一本不同的,有A 23种,则选法种数共有C 14·A 23＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种,因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30(种).对点练2、.（湖南高考真题）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允A B 62264C C 90=A 1254C C 30=B 1254C C 30=A B 1143C C 12=∴9030301242--+=C许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A.10B.11C.12D.15 【答案】B 【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42=6个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C 41=4个；第三类：与信息0110有没有两个对应位置上的数字相同有C 40=1个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有6+4+1=11个，故选B ．对点练3．（2021·浙江温州·高三月考）一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种. 【答案】30 【解析】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,即得解. 【详解】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,所以含有编号为3的总数为.故答案为：30.47C 45C 47C 45C 447530C C -=变式4.(2021·杭州二模)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 D共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种),故选D ．考点三、排列与组合的综合问题例5、（多选题）2021年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（） A ．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共种 【答案】ABC 【解析】对于选项A ：若企业没有派医生去，每名医生有种选择，则共用种，若企业派1名医生则有种，所以共有种.对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有种， A B C C A 34C 24216=C 134232C ⋅=163248+=211342132236C C C A A ⋅=对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，若甲企业分人，则有种；若甲企业分 人，则有种，所以共有种.对于选项D ：所有不同分派方案共有种. 故选：例6、（2017·浙江高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 【解析】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.对点练1.（2021·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法有（ ）A ．96种B ．48种C ．144种D ．72种 【答案】D 【分析】A 2336A =12123126C C A =6612+=43ABC 13316240C C =422412A =4012480⨯=22226215C C =422412A =1512180⨯=480180660+=660将涂色方法分为两类，即,,,A B D F 用三种颜色涂和用两种颜色涂，分别计算出两种情况下涂色方案的种数，根据分类加法计数原理即可求得结果.【详解】将六个方格标注为,,,,,A B C D E F ，如下图所示，①若,,,A B D F 用三种颜色涂，则,D F 同色或AF 同色或AD 同色，当,D F 同色时，六个方格的涂色方法有313212A C =种；当AF 同色时，六个方格的涂色方法有313212A C =种；当AD 同色时，六个方格的涂色方法有31132224A C C =种；②若,,,A B D F 用两种颜色涂，则,,A D F 同色，此时六个方格的涂色方法有21132224A C C =种； 综上所述：不同的填涂方法有1212242472+++=种.故选：D.对点练2.(2021·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有 ()A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种【答案】B【解析】根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有166C =种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B.巩固训练一. 单选题1．三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ）A ．6种B ．9种C ．18种D ．36种【答案】C【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.【详解】由题意可得22233233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，故选：C2．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种【答案】C【分析】222422226C C A A ⨯=甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168答案 B解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．4.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 B解析根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32答案 C解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．6．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法() A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种答案 D解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有C12C12A22A22种摆放方法．7．十三届全国人大二次会议于2021年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为()A．6 B．12 C．16 D．18答案 B解析如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有C23A22＝6(种)安排数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有C13A22＝6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.8．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C解析根据题意，可分为两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)．9．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63 C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.10．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()A．24种B．28种C．36种D．48种答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A24＝24(种)．(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24(种)；因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．11．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案 D解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．12．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )A ．55B ．59C ．66D ．71答案 D解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组．其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A 33＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A 22＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A 33＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A 33＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A 33＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A 33＝18(种)情形．依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)二. 填空题13．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数. 14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+=15.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种；③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为：120.16.（2021·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.17．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．答案40解析第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．18．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．答案180解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法．19．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答) 答案 23解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 35－C 33＝9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 35－C 33＝9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 45＝5， 综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.20．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．三. 解答题21．求下列各式中的正整数n ：（1）33210n n A A =；（2）101098765n A =⨯⨯⨯⨯⨯．21 / 21 【答案】（1）8n =（2）6【分析】（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解； （1）解：因为33210n n A A =，所以()()()()221221012n n n n n n ⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-，解得8n =； （2）解：因为101098765n A =⨯⨯⨯⨯⨯，又()10109101n A n =⨯⨯⨯-+，所以1015n -+=，解得6n =.22．利用组合数公式证明111m m m n n n C C C ++++=．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为()11(1)!1!()!m n n C m n m +++=+-，()()()1!11!!!(1)!(1)!!()!(1)!()!(1)!()!m m n n n n m m n n n C C n m m m n m m n m m n m +⎡⎤-+++⎣⎦++==--+-+--=+， 所以111m m m n n n C C C ++++=。

高三讲义：排列组合【知识园地】1. 加法原理（分类计数原理）如果完成一件事有n 类不同的情况, 第i 类情况中有i m 种方法, 则完成这件事的总方法数为:____________________,2. 乘法原理（分步计数原理）如果完成一件事有n 个不同的步骤, 第i 个步骤有i m 种方法, 则完成这件事的总方法数为:____________________,eg: （1）用1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的三位数？（2）用1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的三位偶数？3. 排列与组合(1) 排列与排列数从n 个_______的元素中, 任取()m m n ≤个元素, 按照____________排成一列, 叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列. 记上述的排列的个数为P m n , 则P m n =_____________________________.定义正整数n 的阶乘为!n = ______________, 并规定0!= ____. P m n 用阶乘可表示为公式P m n =________.(2) 组合与组合数从n 个_______的元素中, 任取()m m n ≤个元素, ____________, 叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合. 记上述组合的个数为C mn , 用阶乘可表示为C m n =_________.组合数具有以下性质: (i)_____________(对称性); (ii)________________.排列与组合的区别：排列考虑顺序，组合不考虑顺序eg: 某班要选举班级干部，现有10名候选人．（1）从这10名候选人中选出3人组成班委，有______种不同的选法？（2）从这10名候选人中选出3人分别担任班长，副班长，学习委员，有____种不同的选法？【例题讲解】例1、（1）用0，1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的三位数？（2）用0，1、2、3、4、5可以组成________个没有重复数字的三位奇数？例2、6个人站成一排，（1）共有多少种排法？（2）若其中甲不能站在排头，也不能站在排尾，共有多少种排法？不同 不同（3）若其中甲乙两人必须相邻，共有多少种排法？若是甲乙两人必须相邻，丙丁两人也必须相邻，共有多少种排法？（4）若其中甲乙两人必须不相邻，共有多少种排法？（5）甲和乙两人之间插入3个人，共有多少种排法？例2、共有9名医疗人员，其中6名男医生，3名女医生，从中选出5人组成一个医疗小组.（1）共有多少种选法？（2）如果这个小组中男医生3名，女医生2名，共有多少种选法？（3）如果这个小组中必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（4）如果这个小组中至少1名女医生，共有多少种不同的组建方案？例3、（1）4件不同的礼品分给3个小朋友，每人至少一件，有多少不同的分法。