高三数学课件：高三排列组合复习

[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 5同．的(2选01法8·高有考C全21C国24＝卷1Ⅰ2(种)从)；2 第位二女种生情，况4 位，男有生2中位选女3生人入参选加， 科不技同比的赛选法，有且 至C22少C14有＝41(种位)．女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 _根__据1_6_分__类_种加．法(计用数数原字理填知写答 ，至案少) 有 1 位女生入选的不同的选 法有 16 种． 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C34＝4(种)，所以至少 有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16(种)．
生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，
则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( )
A．85
B．86
C．91
D．90
思路分析：可采用直接法求解，也可用间接法求解，注意题目
中“至少”的含义．
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素 是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 课时作业 首页 上页 下页 尾页
考点二 组合应用题 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(直接法)由题意，可分 3 类情况： 第 1 类，若男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C31C24＋ C32C14＋C33＝31； 第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C41C23＋ C42C13＋C34＝34； 第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23＋C14C13 ＋C24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21 ＝86.

在实际应用中，排列常用于 安排活动顺序，组合常用于 选择不同项目。
02 排列组合常见题型解析
相邻问题
总结词
相邻问题主要考察元素顺序的排列，解题时需要特别关注元 素的顺序。
详细描述
相邻问题通常涉及到将一组元素按照一定顺序排列，如数字 、字母或图案等。解决这类问题时，需要先确定相邻元素的 顺序，然后根据排列组合的原理计算出所有可能的排列方式 。
高阶练习题2：题目内容 描述
高阶练习题3：题目内容 描述
高阶练习题4：题目内容 描述
1.谢谢聆 听
详细描述
对于一些复杂的问题，可以将它们分解成若干个小的组合或排列问题，然后分别求解。例如，在排列 问题中，可以将问题分解成若干个小的排列问题，然后分别求解，最后将结果综合起来即可。
捆绑与插空
总结词
将某些元素捆绑在一起作为一个整体来考虑，或者在某些元素之间插入其他元素来改变 它们的排列顺序。
详细描述
插空问题
总结词
插空问题主要考察在固定元素之间插入其他元素，解题时需要特别关注插入位置 的选择。
详细描述
插空问题通常涉及到在一组固定元素之间插入其他元素，如数字、字母或图案等 。解决这类问题时，需要先确定插入位置，然后根据排列组合的原理计算出所有 可能的排列方式。
定位问题
总结词
定位问题主要考察将元素放在特定位置 上，解题时需要特别关注元素位置的确 定。
2020年高考真题解析
总结词பைடு நூலகம்
难度适中，注重基础
详细描述
2020年的高考排列组合题目难度适中，主 要考查学生对基础知识的掌握程度和运用能 力。题目设计较为常规，涉及到了排列、组 合以及简单的排列组合综合应用。
2021年高考真题解析

源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
√ A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
先排甲、乙，有 A24种排法，再排丙，有 A14种排法，其余 5 人有 A55种排 法，故不同的排法共有 A24A14A55＝5 760(种).
题型二 组合问题
从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的 有 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即 可，有 C28＝28(种)，故 C 正确；
在 10 人中任选 4 人，有 C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有 C48 ＝70(种)， 故 男 生 中 的 甲 和 女 生 中 的 乙 至 少 要 有 1 人 在 内 的 选 法 有 210 － 70 ＝ 140(种)，故D正确.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一 排列问题
中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活 动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有_1__6_8_0_ 种.(用数字作答)

3... times m}$
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点

10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义

（19）这7名学生分别参加5个不同的学习 兴趣小组，每人只参加一个小组；
(C31A66(2)A22A55(3)72!!(4)A66(5)A66A22(6)A77 2A66 A55(7)A22A33A44(8)A55A33 (9)A44A33(10)A44C53A33(11)73!! (12)A22A44C52A22(13)74!!(14)A22A33A22A33A22 (1 5 )C 6 3(1 6 )C 7 2 C 2 5 ! 2 C 3 3(1 7 )C 7 2 C 5 2 C 3 3(1 8 )C 7 3 C 4 1 C 4 3 ! 1 C 2 1 C 1 1A 5 5 C 7 2 C 2 5 2 ! C 3 1 3 C !2 1 C 1 1A 5 5 (1 9 )5 7
“排列组合”重要知识点
李鸿鹄 栖霞市第一中学
1、排列：
一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
例题2、按下列要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分成三份，每份2本； （2）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）甲乙丙三人，一人得一本，一人得二本， 一人得3本； （4）分成3份，一份一本，一份2本，一份3本； （5）分成3份，一份4本，一份1本，一份1本； （6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外 两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8

高考要求:
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能 用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数公式。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式及 组合数的性质。
热身训练
1.有3名男生，4名女生，在下列不同要求 下求不同的排列方法总数. (1) 甲不在排头，乙不在排尾. (2) 男、女生各不相邻. (3)甲站中间,乙、丙必须相邻。 (4)甲与乙、丙二人不相邻。 (5)3名男生顺序一定且4名女生顺序也一定。
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴

信息传输中的码字排列
在通信中，为了防止干扰和误码，需要采用一定的码制来表示信息。排 列数公式可以用来计算码制中码字的排列数，从而确定信息传输的可靠 性。
03
排列组合解题方法
直接法
总结词
直接法是解决排列组合问题最基础的方法，适用于简单、直观的问题。
详细描述
直接法通过列举或计算直接得出排列或组合的数目，不需要复杂的推理和计算 。例如，计算n个不同元素的全排列数或m个不同元素中取出n个元素的组合数 。
排列数公式反映了排列的基本规律，是组合数学中的重要概 念。
组合数公式
定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合 。所有这样的组合的总数称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C(n,m)。
计算公式
C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]
组合的表示方法
C_n^m 或 nCm
排列与组合的联系与区别
联系：排列和组合都是从n个不同元素中 取出m个元素的问题，区别在于是否考 虑顺序。
排列的元素互不相同，组合的元素可以 相同。
排列的表示方法为A_n^m或nPm，组合 的表示方法为C_n^m或nCm。
区别 排列考虑顺序，组合不考虑顺序。
02
解决相同元素的排列问题时，需要先从一 组相同元素中选取若干个元素，然后对选 取的元素进行排列。例如，有5个相同的 球，要求从中选取3个球进行排列，则可 以先从5个球中选取3个球，然后对这3个 球进行排列。
排列与组合的综合应用题
总结词
排列与组合的综合应用题是指将排列和组合 的知识点结合起来进行考察的问题。
排列组合基本公式
排列数公式
1 2

A. 7 5
B. 5 7
A C
5 7
D.
C5 7
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客人”，每 个“客人”有7种住宿法，由乘法原理得 5 种。
7 5 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 7 呢？
.
7
考向3 涂色问题
【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 180 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事
需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种 方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可 以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3 ＝180种涂色方法．
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
.
3
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。
例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？
分析：可先让其余4人站好，共有 A

知识清单 知识点二 排列
3.排列数公式
Pnm
(n
n! m)!
n (n
1) (n
m 1)
4.全排列公式
Pnn n!
记住下列几个阶乘数：0!=1,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.
知识清单
知识点三 组合
1.组合 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素为一组，称为从n个不 同的元素中任意取出m个元素的一个组合. 2.组合数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为
知识清单
知识点二 排列
1.排列 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列. 2.排列数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，称为从n
个不同的元素中任意取出m个元素的排列数，记作 Pnm.
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
从n个不同的元素中任意取出m个元素的组合数，记作 Cnm

知识清单 知识点三 组合
3.组合数公式
Cnm
Pnm Pmm
n! m!(n m!)
n(n 1) (n m 1) m (m 1) 21
4.组合数的性质
Cnm Cnnm
Cnr1 Cnr Cnr1
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
高中 数学

[解析] (1) 每个小球都可能放入4个盒子 中的任何一个, 将小球一个一个地放入 盒子,共有4 4 4 4 44 256种放法.
[解析] (1) 每个小球都可能放入4个盒子 中的任何一个, 将小球一个一个地放入 盒子,共有4 4 4 4 44 256种放法.
(2) 为全排列问题,共有A44 24种方法.
[考点搜索]
[考点搜索]
1. 不附加条件的排列组合题，大多用 分类讨论的方法，注意分类不重不漏.
2. 若元素必须相附，一般采用看作一 个整体的方法.
3. 元素不相邻，采用插空法. 4. 排列组合的混合型问题，交替使用 两个原理.
[链接高考]
[链接高考]
[例1] (1) 在由数字1，2，3，4，5组 成的所有没有重复数字的5位数中, 大于 23145且小于43521的数共有 ( )
(2) 按(1)的方法，有A33种重复，所以
所求不同分法有C62C42C22 A3 3
15(种).
(3) 分两步：第一步，把6本不同用
书，分为三摊，分别为1本、2本、3本，共
有C
1 6
C
5
2
C
3
3种
方
法
；
第二步，把它们分给甲、乙、丙三
人有A33种方法依分布计数原理，共有
C
1 6
C52
C33
A33种方法.
第四类，4个点都不在α上，只有1种 取法.
应用分类计数原理，得所求的不 同取法数为68+27+30+9+6+1=141.
[例4] 4个男同学，3个女同学站成 一排:
(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？
(2) 任何两个女同学彼此不相邻,有 多少种不同的排法？

例5、9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾
点评：利用对称的思想， （一）先排甲（特殊元素优先考虑） （二）先排尾位(特殊位置优先考虑）
(三）间接法 练习： 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。
分析：五个数组成三位数的全排列有 A 53 个，0排在首位的
⒍高考中考查的思想方法： 分类、分步、对称、逆向思维、 整体等．
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所 涉及问题是排列问题. 解 先排学生共有A88 种排法,然后把老师插入学生之 间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 A74种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为A88A74 种. 结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
有关公式:
A n ( n 1)( n 2)
m n
( n m 1)
n n
( n、 m N , m n )， 特 别 地 , A n ! n! A （常用于证明等式） ( n m )!
m n
⒊组合与组合数:
定义：一般地，从n个不同元素中取出m 个元素，并成一组，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个组合。所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数，用 C nm 表示。
例4 袋中有5分不同硬币23个,1角不同硬币10 个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

m m m +1 = Cm + C + … + C + C n -1 n-2 m+3 m+3
m +1 m +1 = Cm + C = C n -1 n -1 n .
∴左边=右边. 返回目录
考点2
排列问题
有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列 的种数. （1）选其中5人排成一行； （2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置； （3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头； （4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； （5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起； （6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻； （7）全体排成一行，其中男生不能排在一起； （8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保 持不变； （9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人； （10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人. 返回目录
列个数，其中不含某元素a1的有A m 个，含有a1的可这样 n 进行排列：先排a1,有m种排法，再从另外n个元素中取 出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上，有 A m 种排法， n +1
故含a1的有
m -1 种排法 .由加法原理知： mA n
m-1 m Am + mA = A n n n +1 .
返回目录
考 向 预 测
排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，每 年高考都有一两个小题出现.主要考查有附加条件的排 列与组合的应用题，难度一般不会太大，属于容易或 中档题，而且常与概率结合在一起命题.
返回目录
排列与排列数 1.排列:一般地,从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素, ,叫做从n 按照一定的顺序排成一列 个 列.特别地,当n=m时,叫做n个不同元 定 素 全排列 义 的一个 . 2.排列数:从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 所有不同排列的个数 的 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数