上海市2017年高三数学排列组合二项式概率统计复习题(含解析)沪教版

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习排列组合专题之排列组合、二项式定理②教学目标（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．知识梳理1：分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。

(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n 种不同的方法。

2：排列的计算：从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数P mn =n（n－1）（n－2）…（n－m+1）=)!(!mnn-.P nn=n（n－1）（n－2）…3·2·1=n!. 规定0！=13：组合的计算：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn表示.组合数公式C mn =!)!(!mmnn-.组合数的两个性质：（1）C m n =C mn n-；（2）C m n 1+=C mn +C 1-m n（口诀：上取大，下加一。

证明方法：1.公式法。

2.构造模型，从n+1个球中取出m 个球）. 4. 二项式定理： 1.概念 二项式定理：nn n r r n r n 1n 1n n 0n n bC b a C b a C a C )b a (+++++=+--通项公式r r n r n r b a C T -+=1，r=0，1，2，…，n2.二项式系数的性质：（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即nn0n C C =，rn nr n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n nC 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n nC +相等，且为最大值；（3）+++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C5.常用方法：在处理排列组合问题时遵循以下原则：（1）特殊元素优先安排（2）合理分类与准确分步（3）排列、组合混合问题先选后排（4）相邻问题捆绑处理（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.二项式定理的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式,；（3）证明整除性。

专题8：排列、组合、二项式定理、统计与概率1、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．2、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示)．3、某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40％．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．4、设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为—10，则a =． 5、盒子中装有编号为1，2，3，4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示）．6、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 。

7、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）8、课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为.9、随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为.(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）。

10、将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5:3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取______个个体．11、从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃"的概率为____________（结果用最简分数表示）．12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）.13、某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。

n nnn高三数学第一轮复习单元测试（9）—《排列、组合、二项式、概率与统计》一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A ．从 10 只编号的球(0 号到 9 号)中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ(文)现有 10 张奖票，只有 1 张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为（ ）1 1 A ． ，1021 1B ． ，2 1011C ．，10 1019D ．，10 102．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有 45 名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A ．900 个 B ．1080 个 C ．1260 个 D ．1800 个3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到 4 号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A ．4 种B ．6 种C ．8 种D ．10 种2n +1 与 A 3 的大小关系是（）2n +1 > A 3 2n +1 < A 3 2n +1 = A 3 D ．大小关系不定niilog 2 f (3) 5．(理)若 f (m )=∑ m Cn ，则i =01 A ．2 B ．2等于（）2 f (1) C ．1 D ．3（文）某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A ．1320B ．288C ．1530D ．6706．(理)在二项式( x - i )6 的展开式中(其中i 2=－1)，各项系数的和为（）A ．64 iB ．－64 iC ．64D ．－643 4．A A ．A B ．A C ．A log（文）已知(2a3+ 1)n 的展开式的常数项是第7 项，则正整数n 的值为（）aA．7 B．8 C ．9 D．10 7．右图中有一个信号源和五个接收器。

【高效整合篇】专题六 排列组合、二项式定理，概率与统计（一）选择题（12*5=60分）1．【广西高级中学2017届高三11月阶段性检测】如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（ ）A ．685B ．695C ．14D ．715【答案】D2．【2017届安徽皖南八校高三联考二】()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为( )A ．10B ．—30C ．-10D ．-20 【答案】C【解析】由题意得展开式中3x 的系数为32552102010CC -=-=-,选C ．3．【2017届安徽皖南八校高三联考二】某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法（按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( ）A ．16B ．17C ．18D ．19 【答案】C【解析】第一组用简单随机抽样抽取的号码为1000443(181)1840--⨯=,选C ．4．【2017届广东省高三理上学期阶段性测评一】在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ,则2y x >的概率为（ ）A 。

14B ．12C ．34D ．13【答案】A【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=。

选A.5．【河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知函数()sin 3cos f x x x =,当[]0,x π∈时,()1f x ≥的概率为( )A ．13B ．14C.15D ．12【答案】D 【解析】()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，4333x πππ≤+≤，()3,2f x ⎡⎤∈-⎣⎦,要使()1f x ≥，则5,03362x x ππππ≤+≤≤≤，故概率为12。

6．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ，则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．14【答案】A7．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为( ）A．0。

第十一章 概率与统计一．基础题组1. 【2017高考上海，9】已知四个函数：①y x =-；②1y x=-；③3y x =；④12y x =.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点” 的概率为 . 【答案】13【解析】考查函数图象交点的个数：y x =- 与1y x=-有2个交点； y x =- 与3y x = 有1个交点； y x =- 与12y x = 有1个交点；1y x=-与3y x = 有0个交点； 1y x=-与12y x = 有0个交点；3y x =与12y x = 有2个交点；结合古典概型公式可得：所选两个函数的图像有且仅有一个公共点的概率为2163p == . 2.【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 【考点】中位数的概念【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 3.【2016高考上海理数】如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【解析】试题分析：共有28C 28=种基本事件，其中使点P 落在第一象限的情况有23C 25+=种，故所求概率为528. 【考点】排列组合、古典概型、平面向量的线性运算【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.4.【2016高考上海文数】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】16【考点】古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.5. 【2015高考上海理数】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.2 5.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望【名师点睛】一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，均值E (X )是一个实数，由x 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．6. 【2014上海,理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是（结构用最简分数表示）. 【答案】115【考点】古典概型．7. 【2014上海,理13】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为.【答案】0.2【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2P P P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，当4P 越大时，其值越大，又41P <，因此1234234P P P P +++4≤5(1)P -，所以554(1)5 4.2P P -+≥，解得50.2P ≥．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．8. 【2014上海,文13】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是（结构用最简分数表示）. 【答案】115【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为8112015P ==． 【考点】古典概型．9. 【2013上海,理8】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)． 【答案】1318【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－2529C 13C 18=.10. 【2013上海,文6】某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______． 【答案】78 【解析】平均成绩＝40607580100100⋅+⋅＝78. 11. 【2013上海,文11】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．【答案】57【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

专题1: 排列、组合和二项式定理1.排列数P mn 中1,n m n m ≥≥∈N 、;组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式 ：!P (1)(2)(1)()()!m n n n n n n m m n n m =---+=≤-；P !(1)(2)21n n n n n n ==--⋅。

【例1】（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为（2）满足288P 6P x x -<的x ＝(2)组合数公式：()P (1)(1)!()P (1)21!!m m n nm m n n n m n C m n m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01nC =. 【例2】已知16m n mn m n C C A +++=，求 n ，m 的值?(3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++.2.解排列组合问题的依据是：①分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事）；②分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）；③有序排列，无序组合．【例3】（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种.（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（8）f 是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有 个；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有 组3.解排列组合问题的方法有： （1）特殊元素、特殊位置优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； ②位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置。

二模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为mn P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】（长宁金山青浦2017二模16）设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足 对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） A. 512 B. 256 C. 255 D. 64 【答案】A【点评】排列问题，列举法找出规律.【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n m m m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n -=.【例1】有15本不同的书，其中6本是数学书，问： （1）分给甲4本，且都不是数学书； （2）平均分给3人； （3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本； （5）1人2本，1人7本，1人6本.【答案】(1)49C (2)55510515C C C (3)3355510515P C C C （4）66713215C C C （5）3366713215P C C C【点评】注意平均分组问题.【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式： mn n m n C C -=；111+++=+m n m n m n C C C .【例1】(1)22361212x x x C C -+=,求x . (2) 333333345678C C C C C C +++++= .(3) 173213n n n n C C -++=. 【答案】(1)2236x x x -=+ 或221236x x x -=-- 2560x x --=或260x x +-=122,3x x == 或343,2x x =-=经检验2x =(2)原式=33333343456789126C C C C C C C +++++==(3)1721713631332n n n n n n-≤⎧⇒≤≤⇒=⎨≤+⎩∴ 原式=11181112191219121931C C C C +=+=+= 【点评】牢记组合中的两个基本公式.【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式.【知识点4.1】 应用记数原理【例1】(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？ (3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？ 【答案】(1)81 (2)36(3)42 【点评】计数原理.【知识点4.2】捆绑法与插空法、隔板法【例1】9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？ （1）排成一排；（2）排成前排4人，后排5人；（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻； （4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻； （5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾； （6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减； （8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个. 【答案】（1）99P （2）99P （3）2787P P（4）2828P P（5）81178777P P P P+（或9879872P P P -+）（6）992P （7）48C （8）226726P P P【例2】（宝山区7）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【参考答案】1688.【例3】（普陀区4）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.【参考答案】24.二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：kk n k nk b a C T -+=1(0,1,2,,)k n =;其中：kn C (0,1,2,,)k n =叫做二项式系数.【例1】（崇明2017二模7）若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为 ． 【答案】15； 【点评】公式应用.【例2】（虹口2017二模5）若7)(a x +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数=a ． 【答案】1【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：k n n k n C C -= ；② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n nn n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C N n ∈.【例1】（闵行、松江2017二模5）若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ． 【答案】16 【点评】公式应用. 【例2】（青浦区8）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．【参考答案】30.【例3】（长宁嘉定2）nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n ___________．【参考答案】4.【例4】（杨浦区3）若的二项展开式中项的系数是，则___________．【参考答案】4.【例5】（金山区9）(1+2x )n 的二项展开式中，含x 3项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ． 【参考答案】5.【例6】（徐汇区2）在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【参考答案】20.【例7】（虹口区8）若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于 ．【参考答案】20.【例8】（崇明区7）若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞++++= ．【参考答案】13-.【例9】（浦东区5）91)x二项展开式中的常数项为________. 【参考答案】84.【例10】（奉贤区10）代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答）概率论初步()13nx +2x 54n =【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】（浦东新区2017二模7）已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是__________. 【答案】0.98【例2】（徐汇2017二模6）把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示） 【答案】710【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】（长宁金山青浦2017二模10） 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = . 【答案】0.03【例2】 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不 大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为 . 【答案】97.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】（嘉定2017二模10）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种新产品研发成功的概率为______________． 【答案】1513【例2】（2009年高考理16）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F ⋅的值等于（ ） .A 0 .B 116 .C 14.D 12 【答案】B.【例3】（崇明区10）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是 ． 【参考答案】47.【例4】若事件A 、B 满足142()()()255P A P B P AB ===，，，则()()P AB P AB -= ． 【参考答案】310.【例5】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）. 【参考答案】221.【例6】（青浦区9）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【参考答案】151192.【例7】（长宁嘉定9）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 【参考答案】167. 【例8】（杨浦区4）掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为____________． 【参考答案】12.【例9】（金山区8）若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 ． 【参考答案】0.6.【例10】（黄浦区10）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 【参考答案】516.【例11】（徐汇区9）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【参考答案】16.【例12】（普陀区6）若321()nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 【参考答案】5.统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）.基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则样本平均数：n x x x x n+++=21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-= 样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：(n x xs ++-=,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】（2014年高考文5）某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ． 【答案】70.【例2】（浦东新区2017二模6）若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 . 【答案】9【点评】数据变动对平均数与方差的影响.【例3】（2009年高考理17文18）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）.A 甲地：总体均值为3，中位数为4 .B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .C 丙地：中位数为2，众数为3 .D 丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D.【例4】某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1. 73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是 （米）． 【参考答案】1. 72.【例5】（黄浦区9）已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人． 【参考答案】140.【例6】（崇明区5）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字）． 【参考答案】169.1.【例7】（闵行松江区12）设*n ∈N ，n a 为(4)(1)nnx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .【参考答案】254.【例8】（宝山区14）在x x62()-的二项展开式中，常数项等于（ ） （A ）160- （B ）160 （C ）150- （D ）150 【参考答案】A .【例9】 二项式40的展开式中，其中是有理项的项数共有( ). (A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项 【参考答案】()B .2019年二模真题汇编一、填空题宝山区1、在()()5311x x -+的展开式中，3x 的系数为___________（结果用数值表示） 【答案】9-【解析】观察法，3x 可以是()51x -中3x 项和后面的式中1相乘，也可以是()51x -中常数项和3x 相乘，()()5332351110x C x x -⇒-=-；()()50055111x C x -⇒-=所以系数为9- 10. 一个口袋中装有9个大小形状完全相同的球，球的编号分别为…,1,2,9，随机摸出两个球，则两个球的编号之和大于9的概率是_____（结果用分数表示）. 【答案】95 【解析】()2912342205369P C +++=== 崇明区1、已知二项式62)(xa x +的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是________. 【答案】2【解析】由通项公式可知，r r r r r r r x C a xa x C T 31266261)()(--+⋅==，令3312=-r ，得3=r ，所以，160363=C a ，解得2=a2、甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为__________（用数字作答）【答案】61【解析】61332433=⋅P C P奉贤2．在62()x x+的展开式中常数项为 【答案】160【解析】1602,322336266661=∴=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+C r x C x x C T r r r rr rr ， 10. 随机选取集合{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集A 和B 且A B ≠∅的概率是 【答案】4937【解析】{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集有7个，所以选取A 和B 的总结果数是4977=⨯种。

上海市 2017 届高三数学理一轮复习专题打破训练摆列组合二项式定理一、二项式定理1、（ 2016 年上海高考）在3x2x 项等于 _________n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数2、（ 2015 年上海高考）在（ 1+x+1）10的睁开式中， x2项的系数为45（结果用数值x2015表示）．3、（杨浦区 2016届高三三模）若 (x 1)n( n N*)睁开式中各项系数的和等于64 ，则展x开式中 x3的系数是4、（上海市理工附中等七校2016 届高三 3 月联考）在x(1x)6的睁开式中，含x3项的系数是．5、（上海市六校2016 届高三 3 月综合修养调研）在( x22) 7的二项睁开式中，x5项的系x数为6、（上海市十三校2016 届高三第二次（ 3 月）联考）二项式(2x1) 6睁开式的常数项为2 x_________.x n7 、（崇明县2016 届高三二模）设a0， n是大于 1 的自然数，的睁开式为1aa0 a1 x a2 x2a n x n．若a1 3 ，a2 4 ，则a．268、（奉贤区 2016届高三二模）在x1睁开式中常数项是_______． (用数值回答 )x9、（黄浦区 2016届高三二模）在代数式(4 x22x 5)(112 )5的睁开式中，常数等于x10、（浦东新区2016 届高三二模）已知ax1x 6二项睁开式中的第五项系数为15，则正2实数 a ＝.1 11、（徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模）试写出xx 7睁开式中系数最大的项________n12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）记2x1(n N*）的睁开式中x第 m 项的系数为 b m，若 b32b4，则 n________．13、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知n N*，若C n12C n222 C n32n 2 C n n 12n140 ，则 n________．14、（金山区2016 届高三上学期期末）二项式( x 163系数的值是x2)睁开式中 x15、（静安区 2016届高三上学期期末） ( x y z)8的展开式中项 x3 yz4的系数等于.(用数值作答 )16、（普陀区2016 届高三上学期期末）在(2 x1)7的二项睁开式中，第四项的系数为__________.二、摆列组合1、（ 2015 年上海高考）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选用 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不一样的选用方式的种数为120（结果用数值表示）．2、（浦东新区 2016 届高三三模）设整数n 3 ，会合P1,2,,n ，A、B是P的两个非空子集，则所有知足： A 中的最大数小于 B 中的最小数的会合对A, B 的个数为3、（崇明县2016 届高三二模）从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人构成一个医疗小组，若这个小组中一定男女医生都有，共有种不一样的组建方案（结果用数值表示）．4、（奉贤区2016 届高三二模）从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个会谈会，若这 4人中一定既有男生又有女生，则不一样的选法共有________种．5、（虹口区2016 届高三二模）在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选用 5 人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不一样的选用方式的种数为（结果用数值表示） .6、（宝山区2016 届高三上学期期末）两个三口之家，共 4 个大人， 2 个儿童，商定礼拜日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐 4 人，此中两个儿童不可以独坐一辆车，则不一样的搭车方法种数是．7、（崇明县2016届高三上学期期末）在上海高考改革方案中，要求每位高中生一定在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试 .小王同学对理科学科比较感兴趣，决定起码选择两门理科学科，那么小王同学的选科方案有___________种 .8、（静安区2016届高三上学期期末）在产品查验时，常采纳抽样检查的方法.此刻从100 件产品 (已知此中有 3 件不合格品 )中随意抽出 4 件检查，恰巧有 2 件是不合格品的抽法有种 . (用数值作答 )9、（闸北区 2016 届高三上学期期末）将序号分别为1、 2、 3、 4、 5 的 5 张观光券所有分给4 人，每人起码 1 张，假如分给同一人的2 张观光券连号，那么不一样的分法种数是；（用数字作答）10、（长宁区 2016届高三上学期期末）某校要求每位学生从8门课程中选修 5 门，此中甲、乙两门课程至多只好选修一门，则不一样的选课方案有___________种（以数字作答）11、将2名教师 , 4名学生疏成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1名教师和 2 名学生构成,不一样的安排方案共有（）A．12种B．10种C．种D．种12、若从 1,2,2,,9 这9 个整数中同时取 4 个不一样的数, 其和为偶数 ,则不一样的取法共有（）A．60 种B．63 种C．65 种D．66 种13、两人进行乒乓球竞赛,先赢三局着获胜,决出输赢为止 ,则所有可能出现的情况(各人胜败局次的不一样视为不一样情况 )共有（）A．10 种B．15 种C．20 种D．30 种14、现有 16 张不一样的卡片 ,此中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张 .从中任取 3 张,要求这 3张卡片不可以是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张 .不一样取法的种数为（）A． 232 B ．252C． 472D． 48415、把 5 件不一样产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有种 .参照答案一、二项式定理1、【答案】 112 【分析】试题剖析：由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2n ，由题意得 2n256 ，因此 n8 ，T r 1 C 8r ( 3 x) 8 r (2)r8 4r考点：中二项式的通项为( 2)rC 8r x 3 3 ，求常数项则令x84r 0 ，因此 r 2，因此 T 3 112 .3 32、解：∵∴仅在第一部分中出现x 2 项的系数．3、 154、 155、－ 2806、－ 202 7、 38、 581 9、 15 10、235 11、12、 5x13、 4 14、－ 615、 28016、－ 560二、摆列组合1、解：依据题意，报名的有 3 名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师，在 9 名老师中选用 5 人，参加义务献血，有5C 9 =126 种；此中只有女教师的有C 65=6 种状况；则男、女教师都有的选用方式的种数为 126﹣ 6=120 种；故答案为： 120．2、【答案】n22n 11【分析】设会合A中的最大数为k，则 B 中的最小数可取值的会合为k1, k2, ,n ，则由题意知：会合A的个数为：C k01C k11C k k112k1 个，而此时会合 B 的个数为：C n1k C n2k C n n k k2n k 1 个，因此会合对A, B的个数为 2k 12n k12n 12k 1n 112n1个。

沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理本章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种2．在某次数学测验中，记座号为(1,2,3,4)n n =的同学的考试成绩为()f n ，若{70,85,88,90,98,()100}f n ∈且满足(1)(2)(3)(4)f f f f <<<，则这四位同学考试成绩的所有可能有（ ）． A ．15种B ．20种C ．30种D ．35种3．用0,1, 2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有 A ．48个B ．12个C ．36个D ．28个4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有（ ） A ．240种 B ．180种 C ．120种 D ．60种5．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++L ，则0242n a a a a ++++=L （ ）． A ．3nB ．32nC ．312n -D ．312n +6．2019201918171121234⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯201918211231920⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯⨯L L L 等于（ ）． A ．172 B ．182C ．192D ．2027．若81471212x x C C -+=，则x =________．8．有4个男生、3个女生，高矮互不相同，现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，共有______种排法．9．在1到100这100个正整数中，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，这样的取法有_______种．10．一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．11．若把英文单词“hello ”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种． 12．如图，用6种不同颜色对图中A ，B ，C ，D 四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．13．从一个小组的若干人中选出4名代表的方法种数为A ，又从该小组B 中选出正、副组长各一人的选法种数为B ，且:7:3A B =，则此小组的人数为__________． 14．若()()*31nx n -∈N 展开式中各项系数的和为128，则展开式中2x项的系数为_________．15．10()x y z ++展开式的项数共有_________项．16．221222(1)(1)(1)n n n x x x x x --+++++(1)n n x x +++L 的展开式中，n x 项的系数为________．17．从0，1，2，⋯，6这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c ，求：()1可组成多少个不同的二次函数？ ()2其中对称轴是y 轴的抛物线有多少条？18．某商场开展促销抽奖活动，摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出的6个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖．一位顾客可能抽出的不同号码组共有m 组，其中可以中奖的号码共有n 组，求nm的值． 19．从1,2,3,,31L 中任取三个或三个以上的数，使其和为偶数的取法共有多少种？20．求证：当*n N ∈，且2n …时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除． 21．求多项式()2009220082008x x +++()2009220092009x x --展开式中x 奇次项系数的和．参考答案1．C 【解析】 【分析】从4个人中选2个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分组方法，即1，1，2， 首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有C 42A 33＝36种结果， 故选：C ． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用分组分配问题，注意此类问题一般要首先分组，再进行排列，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】四位同学的成绩不同，先从()f n 中6个数取出4个数，而四位同学成绩有大小关系，每取出4个数对应一种情况，即可得出所有可能为46C . 【详解】{70,85,88,90,98,()100}f n ∈且满足(1)(2)(3)(4)f f f f <<<，则这四位同学考试成绩的所有可能有426615C C ==. 故选：A . 【点睛】本题考查组合应用问题，定序相当于无序是解题的关键，属于基础题. 3．D 【解析】第一种：1x3xxx ：1，3有22A 种排法，剩余3空有33A 种排法，共22A 33A =12种；第二种：X1X3X:首位从2，4中选一种有2种排法，1，3有22A 种排法，剩余2空有22A 种排法，共222A 22A =8种；第三种：XX1X3，首位从2，4中选一种有2种排法，1，3有22A 种排法，剩余2空有22A 种排法，共222A 22A =8种；共28种． 4．A 【解析】 【分析】首先确定取出一双同色手套的情况数；再求解出剩余2只手套的取法数；根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】取出的一双同色手套的颜色共有166C =种情况在剩余的5双手套中，取不同颜色的2只共有：11108402C C =种取法∴任取4只，恰好有一双同色的取法有：640240⨯=种取法故选：A 【点睛】本题考查组合计数问题的求解，涉及到分步乘法计数原理的应用；易错点是在取不同颜色的2只手套时，忽略无顺序的问题，造成情况重复.5．D 【解析】 【分析】 在()22201221nn n x xa a x a x a x ++=++++L 中，分别令1x =和1x =-，将所得两个方程相加即可得到结果. 【详解】 在()22201221nn n x xa a x a x a x ++=++++L 中，令1x =，得012323nn a a a a a =+++++L ，令1x =-，得012321n a a a a a =-+-++L ，所以()()012320123231nn n a a a a a a a a a a +=++++++-+-++L L ，所以31n +()02422n a a a a =++++L ，所以0242n a a a a ++++=L 312n +. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理中的赋值法，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据组合数公式及二项式系数和的性质解答即可； 【详解】 解：2019201918171121234⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯201918211231920⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯⨯L L L 02461820202020202020C C C C C C =++++++L()0123192020202020202012C C C C C C =++++++L ()20201911112222=+=⨯= 故选：C 【点睛】本题考查组合数公式及二项式系数的性质的应用，属于基础题. 7．12【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可； 【详解】 解：因为81471212x x C C -+=所以8147x x -=+或814712x x -++=解得2x =或12x =当2x =时，4712x +>无意义，故舍去；故答案为：12【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 8．840 【解析】 【分析】首先将4个男生全排列，再对3个女生相邻与否分类讨论，最后根据分类加法计算原理及分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：首先将4个男生全排列有44A 种排法；①3个女生不相邻，即将3个女生插入5个空档，因为要求从左到右女生从矮到高排列，所以35C 种排法②3个女生均相邻，则有15C 种排法； ③3个女生其中两人相邻，则有2152C C 种排法按照分类加法计算原理及分步乘法计算原理可得一共有()4312145552840A C C C C ++=种 故答案为：840 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，注意分类、分步计数原理的合理应用，属于中档题. 9．1295 【解析】 【分析】两数的积是7的倍数，这两数至少有一数是7的倍数，分成两类：一类是7的倍数的数取出两数相乘，另一类是7的倍数的数取一个非7的倍数的数取一个相乘，而1到100这100个正整数有14个是7的倍数，再由分类加法原理，即可得出结论.【详解】在1到100这100个正整数中，是7的倍数有14个，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，分成两类：一类是两数都是7的倍数，有21471391C=⨯=，另一类是两数中只有一数是7的倍数，有11148614861204C C=⨯=，共有取法9112041295+=.故答案为：1295.【点睛】本题考查组合和加法计数原理的应用，合理分类是解题的关键，属于基础题.10．285.【解析】【分析】按照十位上的数字分成9类，再分类计数后相加即可得结果.【详解】按照十位上的数字分成9类：第一类：十位上的数字为0时，百位有9种，个位也有9种，此时满足条件的三位数有9981⨯=种；第二类：十位上的数字为1时，百位有8种，个位也有8种，此时满足条件的三位数有8864⨯=种；第三类：十位上的数字为2时，百位有7种，个位也有7种，此时满足条件的三位数有7749⨯=种；第四类：十位上的数字为3时，百位有6种，个位也有6种，此时满足条件的三位数有6636⨯=种；第五类：十位上的数字为4时，百位有5种，个位也有5种，此时满足条件的三位数有5625⨯=种；第六类：十位上的数字为5时，百位有4种，个位也有4种，此时满足条件的三位数有4416⨯=种；第七类：十位上的数字为6时，百位有3种，个位也有3种，此时满足条件的三位数有339⨯=种；第八类：十位上的数字为7时，百位有2种，个位也有2种，此时满足条件的三位数有224⨯=种；第九类：十位上的数字为8时，百位有1种，个位也有1种，此时满足条件的三位数有111⨯=种；所以符合条件的三位数共有816449362516941++++++++=285.故答案为：285.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是合理分类，并且要注意百位和个位上的数字可以相同，属于基础题.11．59【解析】【分析】五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，五个字母进行全排列的结果要除以2，在所有结果里有一个是正确的，减去一个正确的，得到可能的错误结果．【详解】解：由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题Q五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．【点睛】本题是一个排列组合及简单的计数问题问题，元素中出现了2个相同的元素，这样的排列要把全排列数字除以2，若出现n个相同的元素，则最后结果要除以n n A，本题是一个易错题．12．480【解析】【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算可得；【详解】解：依题意，首先染A 区域有6种选择，再染B 区域有5种选择，第三步染C 区域有4种选择，第四步染D 区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有6544480⨯⨯⨯=种方法故答案为：480 【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题. 13．10 【解析】 【分析】设此小组人数为()4n n ≥，则4n A C =，22n B C =，根据:7:3A B =可求n 的值.【详解】设此小组人数为()4n n ≥，则4n A C =，22n B C =，故42723n nC C =，整理得到()()()()1237241322n n n n n n ---=-⨯，故25500n n --=，解得10n =. 故答案为：10. 【点睛】本题考查排列、组合在计数中的应用以及与组合数有关的方程的求解，前者注意计数过程中的有序与无序的区别，后者应熟记组合数的计算公式. 14．189- 【解析】 【分析】根据展开式中各项系数的和求出7n =，再利用展开式的通项公式可求得结果. 【详解】依题意可得()311128n⨯-=，即2128n =，解得7n =，所以()731x -展开式的通项公式为()()71731rr r r T C x -+=⋅-()77713rr rr C x --=-⋅⋅，0,1,2,3,4,5,6,7r =.令72r -=，得=5r ，所以()731x -展开式中2x 项的系数为2573189C -⨯=-.故答案为：189-. 【点睛】本题考查了二项展开式的各项系数的和，考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题. 15．66 【解析】 【分析】由1010109101000111100()[()]()()x y z x y z C x y C x y z C z ++=++=++++⋯+，根据二项式定理()n x y +展示式中共有1n +项，即可求出上式中展开后共有多少项．【详解】解：因为101091010060111010()[()]()()x y z x y z C x y C x y z C z ++=++=++++⋯+根据二项式定理：()n x y +展示式中共有1n +项，所以上式中：第一项0101()C x y +展开后共有11项，第二项9101()C x y z +展开后共有10项，⋯十一项101010C z 展开后只有1项；这样，共有11109432166+++++++=L 项． 故答案为：66． 【点睛】本题考查了二项展开式的所有项的应用问题，也考查转化法与转化思想的应用问题，属于基础题． 16．21nn C + 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式求得已知式为()()21111n nn x x x +++-+，再根据二项式定理即可得出答案. 【详解】解：221222(1)(1)(1)nn n x x x x x --+++++(1)n n x x +++L 可以看作是首项为2(1)n x +公比为1xx+的等比数列的前1n +项的和， 所以221222(1)(1)(1)nn n x x x x x --+++++()1211(1)111n nn nx x xx x x x +⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-++++L ()()21111n nn x x x ++=+-+根据二项式定理含n x 的项仅在()211n x ++中，通项公式为：121,0,1,2,21k kk n T C x k n ++=∈+L .所以n x 项的系数为21nn C +. 故答案为：21nn C +. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用与等比数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题. 17．()1180个；()230条. 【解析】 【分析】()1由二次函数的定义，0a ≠，则a 有16C 种取法；在剩下的6个数字中取两个作为b 和c ，有26P 种，进而可求得结果.()2要求对称轴是y 轴，则0b =，在余下的6个数字中取两个作为a 和c ，有26P 种，进而求得结果. 【详解】解：()1由二次函数的定义，0a ≠，则a 有16C 种取法；在剩下的6个数字中取两个作为b 和c ，有26P 种．所以共有二次函数1266180C P ⋅=（个）；()2要求对称轴是y 轴，则0b =，在余下的6个数字中取两个作为a 和c ，有2630P =条.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分析能力，属于基础题.18．542【解析】 【分析】根据组合的实际应用和分类加法计数原理，分别计算m 与n 的值，从而得出结果． 【详解】解：根据题意，10个号码中任意抽出6个组成一组，可得610210m C ==， 6个号码中至少有5个与摇出的号码相同，有51664625C C C =⋅+种，∴25521042n m ==. 故答案为：542. 【点睛】本题考查组合的实际应用和组合数的运算，以及分类加法计数原理，考查分类思想和计算能力.19．302241-. 【解析】 【分析】由题意，取出的奇数必须是偶数个（包括不取奇数）,然后按照取出的数中奇数的个数分为9类分类计数，再相加即可得到答案. 【详解】由题意，取出的奇数必须是偶数个（包括不取奇数）．（1）奇数一个都不取，则偶数可取3,4,5,,15L 个，共有()0315161511545C C C C ⋅+++L 种取法； （2）奇数取2个，则偶数可取1,2,3,,15L 个，共有()2121516151515C C C C ⋅+++L 种取法；（3）奇数取4个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(401161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（4）奇数取6个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(601161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（5）奇数取8个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(801161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（6）奇数取10个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1001161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（7）奇数取12个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1201161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（8）奇数取14个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1401161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（9）奇数取16个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1601216151515C C C C ⋅++++L )1515C 种取法．所以所求取法共有()()02416012151616161615151515C C C C C C C C ++++⋅++++L L (001615C C-⋅+)122015151615C C C C +-⋅=15153022(115105)1202241⋅-++-=-.【点睛】本题考查了分类计数原理，考查了二项式系数的性质，属于中档题. 20．证明见解析 【解析】 【分析】利用数学归纳法证明即可． 【详解】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-， 显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =…时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除， 设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=- 12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+- 1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++ 122()()k kb a b r a b a -=-+- 12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n …时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明整除问题，考查了计算能力，属于中档题． 21．1- 【解析】 【分析】将所给多项式记为()f x ，利用()1f 和()1f -可求得结果. 【详解】记()()()20092009222008200820092009f x x x x x =+++--，令()401840201182f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，则()()2009200901240181401740170f a a a a =+-=+++⋅⋅⋅+=，()01240181112f a a a a -=+=-+-⋅⋅⋅+=，()()()135********a a a a f f ∴+++⋅⋅⋅+=--=-，13540171a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-，即奇次项的系数和为1-. 【点睛】本题考查多项式的展开式中奇次项的系数和的求解问题；求解各项系数和、奇次项和偶次项系数和的问题，通常采用赋值法来进行求解.。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理一、排列、组合一、解答题(★★★) 1. （1）用排列数表示：；（2）若，求的值.(★★★) 2. （1）计算：；（2）求；（3）求证：为偶数.(★★★) 3. 分别从集合和集合中各取两个数字，问：（1）可组成多少个四位数？（2）可组成多少个四位偶数？(★★★) 4. 四位同学参加三项不同的竞赛.（1）每位同学必须参加一项，有几种不同结果？（2）每项竞赛只有且必须有一位同学参加，有几种不同结果？（3）每位同学最多参加一项，且每项竞赛只许有一位同学参加，有几种不同结果？(★★★) 5. 以立方体八个顶点中的四个为顶点，共可构成多少个四面体？(★★) 6. （1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？（2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？(★★★) 7. 一排个空位，四人就坐其中的个位子.（1）若每人左、右两边都有空位，有几种坐法？（2）若个空位中，个相连，另个也相连，但个不连在一起，有几种坐法？(★★) 8. 要从15个候选人（其中女生6人）选出5人担任干部.（1）女生至少一人当选，有几种选法？（2）男、女生都至少有两人当选，有几种选法？(★★★) 9. 有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”5个项目的测试，每位同学上午、下午各测试1个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上午、下午都各测试1人，则不同的安排方式有多少种？(★★★) 10. 若Ü ，求符合条件的二次函数的解析式有多少种？(★★★) 11. 由、、、组成无重复数字的四位数，求：（1）这些数的数字和；（2）这些数的和.(★★) 12. 学校开设的课程有语文、数学、外语、政治、物理、化学、体育门，若星期五只排节课，并且规定体育不排在第一和第四节，问星期五的课表有几种排法？(★★★) 13. 由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字，且偶数数字与奇数数字相间隔的四位数？(★★) 14. 两个相交平面 M与 N，它们的交线为 l.在 l上有3点，除这3点外在平面 M， N上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(★★★) 15. 划船运动员8人，其中3人只会划右舷，2人只会划左舷，3人左右舷都会划，现在要从这8人中选6个人，3个划右舷，3个划左舷，共有多少种选法？二、单选题(★) 16. 等于（）.A．B．C．D．(★★) 17. 已知集合Ü ，且 A中至少有一个奇数，则这样的集合有（）.A．2个B．3个C．4个D．5个(★★) 18. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共（）A．24种B．18种C．12种D．6种(★★★) 19. 用、、、四个数字可组成必须含有重复数字的四位数有（）A．个B．个C．个D．个(★★★) 20. 从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A．70种B．84种C．140种D．35种(★★) 21. 书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种(★★) 22. A， B， C， D， E五个字母排成一排，字母 A排在字母 B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（）.A．24B．12C．60D．120(★★★) 23. 直线，在上有4个点，在上有6个点，把这些点作为端点连成线段，这些线段在与之间最多有交点（）.A．24个B．45个C．80个D．90个(★★★) 24. 5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（）.A．288种B．72种C．36种D．24种(★★★) 25. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（）A．2B．3C．4D．5(★★) 26. 满足，且的有序数组共有（）个.A．B．C．D．(★★) 27. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A．45种B．36种C．28种D．25种(★★★★) 28. 如图，在某海岸 P的附近有三个岛屿 Q， R， S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A．24种B．20种C．16种D．12种(★★★) 29. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）.A．20种B．16种C．12种D．8种(★★★★) 30. 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种三、填空题(★★) 31. 乘积展开后的项数为________.(★★) 32. 在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.(★★) 33. 方程的解为 ________ .(★★) 34. 6个学生排成一排，其中甲、乙两人不能相邻的排法种数为________.(★★★) 35. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成_______个无重复数字且2、3相邻的四位数.(★) 36. 坐标平面上有5个点：，，，，，以它们为顶点可以组成的不同的三角形有_________个.(★★) 37. 将12本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲拿3本，乙拿3本，丙拿6本，则不同的分法有________种.(★★) 38. 6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.(★) 39. 个人参加、、跑的决赛，同一个项目中，并列冠军的情况不发生，则冠军分配的不同情况有________种.(★★★) 40. 已知，则_________.(★★) 41. 在2000到6000中，有 _________ 个没有重复数字的奇数.(★★) 42. 在正八边形的顶点与中心共9个点中，以其中的3个点为顶点的三角形有________个(★★) 43. 有 A， B， C， D， E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次， A，B两位同学去问成绩，老师对 A说：“你没能得第一名”，又对 B说：“你是第三名”，从这个问题分析，这五人的名次排列共有_______种可能.(★★) 44. 已知集合，，从集合 S， P中各取一个元素作为点的坐标，在直角坐标系中表示不同点的个数为_________.(★★★) 45. 从编号为1，2，3，…，9的9个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这4个球排成一排，共有_________种不同的排法.(★★★) 46. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .。

2017年上海高考数学试题及解析：一、填空题题目：已知集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5}，则A∩B=______。

答案：{3,4}解析：根据集合的交集定义，A∩B即为集合A和集合B中共有的元素，所以A∩B={3,4}。

题目：若排列数Am6=6×5×4，则m=______。

答案：3解析：排列数Am6=6×5×…×(6-m+1)，由题意知6-m+1=4，解得m=3。

题目：不等式x-1/x>1的解集为______。

答案：(-∞,0)解析：由不等式x-1/x>1，移项得1-1/x>1，即-1/x>0，解得x<0，所以原不等式的解集为(-∞,0)。

题目：已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______。

答案：9π解析：设球的半径为R，由球的体积公式4/3πR2=9π。

题目：已知复数z满足z^2+3z=0，则|z|=______。

答案：3解析：由z2=-3z，即z(z+3)=0，解得z=0或z=-3。

由于复数z的模为其实部和虚部的平方和的平方根，而z=0的模为0，z=-3的模为3（因为-3是实数，所以其模就等于其绝对值），但题目要求的是满足z2+3z=0（除非将0视为复数，但其模仍为0，与题目要求的答案不符），所以只考虑z=-3，即|z|=3。

题目：设双曲线x^2/9-y^2/b^2=1(b>0)的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=______。

答案：11解析：双曲线x^2/9-y^2/b^2=1中，a=3（因为x^2的系数是1/9，所以a^2=9，即a=3）。

由双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=2a=6，又|PF1|=5，解得|PF2|=11或-1（舍去），故|PF2|=11。

7-12题（略，详细解析可参考相关文档或资料）二、解答题（部分）（注意：由于解答题通常包含多个小题和详细的解题步骤，这里只给出部分题目的答案和简要解析，具体解题过程可参考相关文档或资料。

2017-2021年上海市高考数学真题分类汇编：排列组合与概率统计一．填空题（共20小题）1．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）2．（2022•上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．3．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．4．（2021•上海）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟5．（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，x2的系数为80，则a＝．6．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．7．（2020•上海）已知二项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为．8．（2020•上海）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．9．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．（2019•上海）在的展开式中，常数项等于．11．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）12．（2019•上海）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．13．（2019•上海）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．第1页（共13页）。