第三章 稳定性分析

第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性主要内容： 1、 李亚普诺夫稳定性概念 2、 稳定性定理 3、 系统稳定性分析 4、 非线性系统稳定性分析难点：李亚普诺夫函数的构造§3.l 李亚普诺夫第二法的概述3.1.1物理基础系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是 ε≤∆∞→)(lim t x t式中)(t x ∆为系统被调量偏离其平衡位置的大小；ε为任意小的规定量。

物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即e t X X =∞→lim ，那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。

基本思想：李亚普诺夫引入了“广义能量”函数，称之为李亚普诺夫函数，表示为 V(x,t)，它是状态n x x x ,,,21 和时间t 的函数。

对定常系统，“广义能量”函数则为V(X)。

如果考察的动态系统是稳定的，当存在),,,()(21n x x x V X V =对任意e X X ≠（平衡点）时，0V 0)(<>）（、X X V 成立，且对e X X =时，才有0V)(==）（X X V 。

关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数。

数学基础:二次型及其定号性。

3.1.2二次型及其定号性1．二次型n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式为222112222222121112112211121),,,(nnn n n n n n n n n n x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x V ++++++++++++= 称为二次型。

式中，),,2,1,(n k i a ik +是二次型的系数。

设ki ik a a =，既对称且均为实数。

用矩阵表示二次型较为方便，即[]PX X x x x a a a a a a a a a x x x X V T n nn n n n n n =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121222211121121,,,)( 必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。

(1)正定性当且仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X ，恒有V(X)>0，则V(X)为正定。

(2)负定性如果V(X)是负定的,或仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X ，恒有V(X)<0,则V(X)为负定。

(3)正半定性与负半定性 如果对任意0≠X ，恒有0)(≥X V ，则V(X)为正半定或称准正定。

如果对任意0≠X ，恒有0)(≤X V ，则V(X)为负半定或称准负定。

(4) 不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定。

2. 赛尔维斯特准则①二次型PX X X V T =)(或对称矩阵P 为正定的充要条件是P 的主子行列式均为正，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a P 212222111211 如果,0,,0,0222112112111>=∆>=∆>=∆P a a a a a n则P 为正定，即V(X)正定。

②二次型PX X X V T =)(或对称阵P 为负定的充要条件是P 的主子行列式满足)(0为奇数i i <∆；n ,,2,1i )0(i i =>∆为偶数。

§3．2 李亚普诺夫意义下的稳定性3.2.1平衡点的概念 系统描述为),(t X f X= 式中 X 为n 维状态向量。

当在任意时间都能满足 0),(=t X f e （3.1）时称为系统的平衡状态。

凡满足式(3．1)的一切值均是系统的平衡点，对于线性定常系统,),(AX t X f X == A 为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态；对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。

由式(3．1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。

任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 0),0(=t f3.2.2李亚普诺夫定义下的稳定性下面用二维空间图3．1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。

稳 定渐近稳定不稳定图 3.1)(εS1．稳定与一致稳定设e X 为动力学系统),(t X f X= 的一个孤立平衡状态。

如果对球域)(εS 或任意正实数0>ε，都可找到另一个正实数),(0t εδ或球域)(δS ，当初始状态X 0满足),(00t X X e εδ≤-时，对由此出发的X的运动轨迹有ε≤-∞→e t X X lim ，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。

如果δ与初始时刻t 0无关，则称平衡状态e X 为一致稳定。

2．渐近稳定和一致渐近稳定设e X 为动力学系统),(t X f X= 的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近e X 的任一初始状态X 0出发的运动轨迹有0lim =-∞→e t X X 或),,2,1(0)(lim n i x x ie i t ==-∞→，即收敛用于平衡状态e X ，则称平衡状态e X 为渐近稳定。

如果δ与初始时刻t 0无关，则称平衡状态e X 为一致渐近稳定。

渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。

如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。

即),,2,1(0)(lim n i x x ie i t ==-∞→对所有点都成立，称平衡状态为大范围渐近稳定。

可见，这样的系统只能有一个平衡状态。

由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。

在控制工程中，确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度，从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。

3．不稳定如果平衡状态e X 既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当0t t >并无限增大时，从X 0出发的运动轨迹最终超越)(εS 域，则称平衡状态e X 为不稳定的。

§3．3 李亚普诺夫稳定性定理定理3．1 设系统的状态方程为),(t X f X= 式中，)(0),0(0t t t f ≥=如果有连续一阶偏导数的标量函数),(t X V存在，并且满足以下条件： ),(t X V 是正定的；),(t X V是负定的。

则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。

如果随着∞→X ，有∞→),(t X V ，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。

例3．1 设系统方程为⎩⎨⎧+--=--=)()(22212122221121x x x x xx x x x x 试确定其平衡状态的稳定性。

解 很明显，原点)0,0(21==x x 是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数V(X)为2221)(x x X V += 则 221122)(xx x x X V +=将系统方程代入上式得22221)(2)(x x X V +-= ( V(X)为正定) 又由于∞→X 时，∞→)(X V ，因此系统在平衡点(0,0)是大范围渐近稳定的。

定理3．2 设系统的状态方程为 ),(t X f X= 式中 )(0),0(0t t t f ≥=。

如果存在一标量函数V(X,t)，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：),(t X V 是正定的；),(t X V是负半定的； ]),,,([00t t X t V Φ 对任意t 0和任意00≠x ，在0t t ≥时不恒等于零。

则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。

如果还有∞→X 时，∞→),(t X V ，则为大范围渐近稳定。

式中的),,(00t X t Φ表示0t t =时从0x 出发的解轨迹。

由于),(t X V不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面),(t X V 相切。

然而，由于]),,,([00t t X t V Φ 对于任意t 0和任意00≠X 在0t t ≥时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上0),(=t X V)，而必须运动到原点。

例3．2 设系统方程为21221x x x x x --== 确定系统平衡状态的稳定性。

解 显然，原点(0,0)为给定系统的唯一平衡状态。

选取标准型二次函数为李氏函数，即2222112221222),(),(x x x xx t X V x x t X V -=+=+= ( V(X,t)为正定) 当 0,021==x x 时，0),(=t X V 0,021=≠x x 时，0),(=t X V 因此),(t X V是负半定的。

下面我们进一步分析),(t X V 的定号性，即当0,021=≠x x 时,),(t X V 是否恒等于零。

由于222),(x t X V -= 恒等于零，必需要求22x 在02t t ≥时恒等于零，而22x 恒等于零又必需要求2x 恒等于零。

但从状态方程212x x x --= 来看，在0t t ≥时，要使022=x 和02=x ，必需满足1x 等于零的条件。

这表明),(t X V 只可能在原点)0,0(21==x x 处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。

又由于∞→X 时，有∞→)(X V ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即]2)[(21),(2221221x x x x t X V +++=则)(),(2221x x t X V +-= 是负定的。

而且当∞→X 时， ∞→),(t X V ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

由上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。

上面第二种情况下的选择，消除了进一步对),(t X V判别的必要性。

定理3．3 设系统方程为 ),(t X f X= 式中,)(0),0(0t t t f ≥=。

如果存在一个标量函数),(t X V ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： ),(t X V 是正定的；),(t X V是负半定的，但在某一X 值恒为零。

则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的，但非渐近稳定。

这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。

例3．3 系统方程为1221x xKx x-== 试确定系统平衡状态的稳定性。

解 显然，原点为平衡状态。

选取正定函数为李氏函数，即)(),(2221Kx x t X V += (K>0)则 02222),(21212211=-=+=x Kx x Kx xKx x x t X V 由上式可见，),(t X V在任意X 值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的，但不是渐近稳定的。