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多目标规划

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多目标规划应用实例

多目标规划应用实例

02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。

多目标规划

多目标规划

解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2

《多目标规划实例》课件

《多目标规划实例》课件
PART 02
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。

多目标规划

多目标规划
求解原多目标问题，就只要构造为严格单调增 或是单调增就行了，这种称为评价函数。
这种求解多目标问题的解的方法就称为评价函数法。
不同的构造的方法(当然得到不同的有效解) 形成不同的评价函数法。
4.1线性加权法 (最基本的评价函数法)
取(z)=u1z1+u2z2+…+urzr,其中ui≥0,i=1:r,u1+…+ur=1
f i(x’) ≤ f i(x*),(i=1:r,至少有一个严格小于成立)， 而为严格单调增函数，故(f(x’))< (f(x*)) 与x*是单目标函数的最优解矛盾！
f:RnRr, :RrR1,x*是min (f(x))的极小点 s.t. x D
若为单调增函数，则x* Pw(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后 的单目标问题的最优解，即得到原问题的一个弱有效解)
特别地，若ui>0,i=1:r,则可验证(z)是严格单调增函数。
评价算法的理论依据
f:RnRr, :RrR1, x*是min (f(x))的极小点
s.t. x D 若为严格单调增函数，则x* P(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后的 单目标问题的最优解，即得到原问题的一个有效解) 证明:反证法。 设x*P(f,D),则必存在一点x’ D,使得
现验证minf1(x),xD的最优解x*是多目标问题的一个有效解：
按定义只要说明找不到x D使得
f1(x) ≤f1(x*) f2(x)<f2(x*)
或
f1
f2
f1(x)<f1(x*) f2(x)≤f2(x*)
或
x* ·
f1(x) <f1(x*)
f2(x)<f2(x*)

多目标规划

多目标规划

这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。

多目标规划的原理和

多目标规划的原理和

多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。

与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。

目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。

1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。

目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。

2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。

在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。

解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。

3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。

非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。

要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。

4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。

常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。

评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。

5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。

Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。

6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。

因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。

多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。

它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。

多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。

总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。

多目标规划

多目标规划

多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。

在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。

多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。

多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。

在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。

优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。

多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。

它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。

例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。

多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。

在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。

在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。

多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。

不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。

总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。

它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。

多目标规划(运筹学

多目标规划(运筹学

环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。

《多目标规划模型》课件

《多目标规划模型》课件

02
权重法的主要步骤包括确定权重、构造加权目标函数、求解加权目标函数，最 后得到最优解。
03
权重法的优点是简单易行，适用于目标数量较少的情况。但缺点是主观性强， 依赖于决策者的经验和判断。
约束法
1
约束法是通过引入约束条件，将多目标问题转化 为单目标问题，然后求解单目标问题得到最优解 。
2
约束法的主要步骤包括确定约束条件、构造约束 下的目标函数、求解约束下的目标函数，最后得 到最优解。
多目标规划模型
目录
• 多目标规划模型概述 • 多目标规划模型的建立 • 多目标规划模型的求解方法 • 多目标规划模型的应用案例 • 多目标规划模型的未来发展与挑战
01 多目标规划模型概述
定义与特点
定义
多目标规划模型是一种数学优化方法 ，用于解决具有多个相互冲突的目标 的问题。
特点
多目标规划模型能够权衡和折衷多个 目标之间的矛盾，寻求满足所有目标 的最佳解决方案。
02 多目标规划模型的建立
确定目标函数
01
目标函数是描述系统或决策问题的期望结果的数学表达 式。
02
在多目标规划中，目标函数通常包含多个目标，每个目 标对应一个数学表达式。
03
目标函数的确定需要考虑问题的实际背景和决策者的偏 好。
确定约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件。 02 在多目标规划中，约束条件可以分为等式约束和
谢谢聆听
模型在大数据和人工智能时代的应用前景
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着大数据和人工智能技术的快速发展，多目标规划模型 在许多领域的应用前景广阔。
大数据时代带来了海量的数据和复杂的问题，这为多目标 规划模型提供了广阔的应用场景。例如，在金融领域，多 目标规划可以用于资产配置和风险管理；在能源领域，多 目标规划可以用于能源系统优化和碳排放管理。同时，随 着人工智能技术的不断发展，多目标规划模型有望与机器 学习、深度学习等算法相结合，共同推动相关领域的发展 。

多目标规划

多目标规划

指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。

在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。

应用领域

多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价

标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……

多目标规划的研究趋势

( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。

运筹学课件 第五章多目标规划

运筹学课件 第五章多目标规划
目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数

多目标规划

多目标规划
பைடு நூலகம்
5、多目标规划解的概念
1、若多目标规划问题的解能使所有的目标都 达到，就称该解为多目标规划的最优解；
2、若解只能满足部分目标，就称该解为多目 标规划的次优解；
3、若找不到满足任何一个目标的解，就称该 问题为无解。
5、多目标规划解的概念举例
一个企业需要同一种原材料生产甲乙 两种产品，它们的单位产品所需要的 原材料的数量及所耗费的加工时间各 不相同，从而获得的利润也不相同 （如下表）。那么，该企业应如何安 排生产计划，才能使获得的利润达到 最大？
初始单纯形表
C
64 00

CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 2 3 1 0 100 50
0 X4 4 2 0 1 120 30

640 0 0
C
64 00

CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 0 2 1 -1/2 40
6 X1 1 1/2 0 1/4 30

0 1 0 -3/2
费用确定）；
4、多目标规划优先级的概念
1、目标等级化：将目标按重要性的程度不同 依次分成一级目标、二级目标…..。最次要 的目标放在次要的等级中。
2、对同一个目标而言，若有几个决策方案都 能使其达到，可认为这些方案就这个目标 而言都是最优方案；若达不到，则与目标 差距越小的越好。
4、多目标规划优先级的概念
建立多目标规划数学模型： 目标函数：Min S=P1d1-+P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120

多目标规划求解方法介绍

多目标规划求解方法介绍

多目标规划求解方法介绍多目标规划（multi-objective programming，也称为多目标优化）是数学规划的一个分支，用于处理具有多个冲突目标的问题。

在多目标规划中，需要找到一组解决方案，它们同时最小化（或最大化）多个冲突的目标函数。

多目标规划已经在许多领域得到了应用，如工程、管理、金融等。

下面将介绍几种常见的多目标规划求解方法。

1. 加权和法（Weighted Sum Method）：加权和法是最简单和最直接的多目标规划求解方法。

将多个目标函数通过赋予不同的权重进行加权求和，得到一个单目标函数。

然后使用传统的单目标规划方法求解该单目标函数，得到一个最优解。

然而，由于加权和法只能得到权衡过的解，不能找到所有的非劣解（即没有其他解比它更好），因此它在解决多目标规划问题中存在局限性。

2. 约束方法（Constraint Method）：约束方法是将多目标规划问题转化为一系列带有约束条件的单目标规划问题。

通过引入额外的约束条件，限制目标函数之间的关系，使得求解过程产生多个解。

然后使用传统的单目标规划方法求解这些带有约束条件的问题，得到一组最优解。

约束方法可以找到非劣解集合，但问题在于如何选择合适的约束条件。

3. 目标规划算法（Goal Programming Algorithms）：目标规划算法是特别针对多目标规划问题设计的一类算法。

它通过将多个目标函数转化为约束关系，建立目标规划模型。

目标规划算法可以根据问题的不同特点选择相应的求解方法，如分解法、交互法、加权法等。

这些方法与约束方法相似，但比约束方法更加灵活，能够处理更加复杂的问题。

4. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种启发式的优化方法，也可以用于解决多目标规划问题。

它模仿自然界中的进化过程，通过不断地进化和迭代，从初始种群中找到优秀的个体，产生一个适应度高的种群。

在多目标规划中，遗传算法通过构建适应度函数来度量解的好坏，并使用交叉、变异等操作来产生新的解。

数学中的混合整数规划与多目标规划

数学中的混合整数规划与多目标规划

数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。

本文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。

一、混合整数规划混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。

它的特点是既包含了整数变量，又包含了连续变量。

混合整数规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x,y)$$$$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$$$x \in X , y \in Y$$其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量，$X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。

为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界算法、混合整数线性规划算法等。

这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。

混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物流领域中，为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。

混合整数规划可以帮助解决这类问题，提高效益。

二、多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。

多目标规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$$$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$$$x \in X$$其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。

多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。

帕累托最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。

加权和法是指通过给不同目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。

多目标规划

多目标规划

方法三
约束模型（极大极小法）
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选 择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标 组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选 择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划 问题：
max(min) Z f1 ( x1 , x2 , , xn )
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问 题有了新的限制，既目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束 起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。 例如：在例一中，规定Z1 的目标值为 50000,正、负 偏差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约束，既 70 x1 + 120 x2＋ d1 d1＝50000， 同样，若规定 Z2＝200， Z3＝250 则有
min
X ,
i ( X ) 0
( i 1, 2,, m)
fi ( X ) i fi* , ( i 1, 2, , k )
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划概述
目标规划的数学模型 目标规划的图解法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。

《多目标规划》课件

《多目标规划》课件

约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件，通常表示为决 策变量的不等式或等式。
02
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、技术限制、经
济限制等。
约束条件的处理需要考虑其对目标函数的综合影响，以确定最
03
优解的范围。
决策变量
01 决策变量是规划问题中需要确定的未知数，通常 表示为数学符号或参数。
多目标规划的算法改进与优化
混合整数多目标规划算法
结合整数规划和多目标规划的优点，解决具有离散变量的 多目标优化问题。
进化算法
借鉴生物进化原理，通过种群进化、基因突变等方式寻找 多目标优化问题的Pareto最优解。
梯度下降法
利用目标函数的梯度信息，快速找到局部最优解，提高多 目标规划的求解效率。
多目标规划在实际问题中的应用前景
特点
多目标遗传算法能够处理多个相互冲突的目标函数，提供一组非劣解集供决策者选择。 它具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，适用于复杂的多目标优化问题。
注意事项
多目标遗传算法需要合理设置遗传参数和选择策略，以确保求解的有效性和准确性。
04
多目标规划案例分析
生产计划优化案例
总结词
生产计划优化案例主要展示多目标规划在生产计划方面的应 用，通过合理安排生产计划，降低成本并提高生产效率。
《多目标规划》课件
• 多目标规划概述 • 多目标规划的基本概念 • 多目标规划的常用方法 • 多目标规划案例分析 • 多目标规划的未来发展与展望
目录
01
多目标规划概述
定义与特点
定义
多目标规划是一种决策方法，旨在同 时优化多个目标函数，并考虑多个约 束条件。
特点

多目标规划的若干理论和方法共3篇

多目标规划的若干理论和方法共3篇

多目标规划的若干理论和方法共3篇多目标规划的若干理论和方法1多目标规划的若干理论和方法多目标规划是指在多目标条件下进行决策的一种数学方法，它把一个问题转化成一个具有多个目标约束条件的数学优化问题。

在现代化的社会经济发展中，人们往往不仅仅关注单一的目标，而是有着多种不同的目标和需求。

因此，多目标规划技术应运而生，被广泛应用于各行各业的决策和管理中。

本文将简单介绍多目标规划的若干理论和方法。

一、多目标规划的相关理论1. Pareto最优解Pareto最优解是多目标规划中比较重要的概念之一，它指的是在多个目标之间不能再做出更好的妥协的一种解法。

具体来说，如果一个解决方案比其他所有解决方案在某个目标上优秀，而在其他目标上没有任何明显的劣势，则该解决方案就被称为Pareto最优解。

2. 支配支配是另一个多目标规划的重要概念，它指的是在所有可能的解空间中，一个解决方案中所有目标值都比另一种解决方案好，则前者支配后者。

例如，如果一个解决方案在所有目标上都比另一个解决方案好，则前者支配后者。

3. 目标规划多目标规划中，一个重要的理论发展就是目标规划。

它把问题分解为多个聚焦于更少数目标的小问题。

通过优化多个小问题的解决方案，最终达到全局最优解。

二、多目标规划的方法1. 权值法权值法是多目标规划的一种基础方法，其主要思路是通过对每个目标进行加权求和，将多目标问题转化为单一目标问题。

先确定每个目标的权重，然后将所有目标的得分加权求和，得到唯一的一个综合得分。

由此作为参考，进一步进行优化。

2. 线性规划法线性规划法是一种基础的多目标规划方法，它的求解过程基于线性规划。

将所有的目标约束转为线性规划约束条件，然后通过线性规划问题来求解最优解。

3. 模糊规划法模糊规划法是一种基于模糊数学的多目标规划方法。

它采用模糊数值来表达目标和约束条件，并通过模糊方法解决多目标策略问题。

4. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的求解多目标规划问题的方法。

多目标规划求解方法介绍

多目标规划求解方法介绍
§3.3 多目标规划求解方法介绍
一、约束法
1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
(VP)V s.t.
min F (x) gi (x) 0, i
f1 ( x), , 1,, m
f p (x)
T
S x gi (x) 0,i 1,,m
无妨设 f1(x)为主要目标，对其它各目标 f2(x),, f p (x) 可预先
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
f p (x) x S p1
得最优值
f
* p
则 Sp
x
f p (x)
f
* p
Sp1 是在分层序列意义下的最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下的最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一个j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
考虑上述(VP)问题， 为主目标。
fk (x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
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ricanxinghuji实习小编一级|消息 | 我的百科 | 我的知道 | 百度首页 | 退出我的贡献草稿箱我的任务为我推荐新闻网页贴吧知道MP3图片视频百科文库进入词条搜索词条帮助设置••••••••••••••多目标规划科技名词定义中文名称：多目标规划英文名称：multiple objective program定义：生态系统管理中，为了同时达到两个或两个以上的目标，需要在许多可行性方案中进行选择的整个过程。

所属学科：生态学（一级学科）；生态系统生态学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片多目标规划是数学规划的一个分支。

研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

又称多目标最优化。

通常记为 MOP(multi-objective programming)。

目录基本定义规划简史求解方法多目标规划方法多目标规划及其非劣解投资的收益和风险基本定义规划简史求解方法多目标规划方法多目标规划及其非劣解投资的收益和风险展开编辑本段基本定义多目标规划multiple objectives programming数学规划的一个分支。

研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。

又称多目标最优化。

通常记为 VMP。

在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量多目标规划一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。

因此有许多学者致力于这方面的研究。

1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克尔、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。

求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。

对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

编辑本段规划简史多目标最优化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。

他从政治数学规划经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。

1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。

1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。

同年，H.W.库恩和 A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。

1963年，L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。

1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。

自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。

至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。

编辑本段求解方法化多为少的方法即线性规划把多目标规划问题归为单目标的数学规划(线性规划或非线性规划)问题进行求解经济学家帕雷托，即所谓标量化的方法，这是基本的算法之一。

① 线性加权和法对于多目标规划问题(VMP)，先选取向量要求λi>0(i=1,2,…,m)作各目标线性加权和然后求解单目标数学规划问题。

λ 的各个分量λi(i=1,2,…,m)通常叫做权系数。

它的大小反映了各相应分目标在问题中的重要程度。

一般，对权系数的不同选取,可以得到问题(VMP)的不同的有效解或弱有效解。

如何选取权系数，对于不同的问题可以有不同的处理方法。

线性规划② 理想点法为了求解多目标规划问题（VMP），先依次极小化各个分目标。

设求得第 i个目标的极小值多目标规划，则得到R中的一个点多目标规划多目标规划。

由于点ƒ多目标规划的各个分量对于相应的分目标而言是最理想的值,故称ƒ多目标规划为问题（VMP）的理想点。

选取权系数λi>0（i=1,2，…，m），并作偏差（函数）多目标规划，最后求解数学规划问题问题 (2)的最优解是问题(VMP)的有效解。

理想点法的基本思想是在某种意义下使向量目标函数与所考虑问题的理想点的偏差为极小，来求出多目标规划问题的有效解。

在上述偏差中,p的不同取值代表了不同意义的偏差。

当取p=2，λi=1(i=1，2，…,m)，则偏差就为距离多目标规划多目标规划。

这种情形，理想点法也叫做最短距离法。

分层求解法生态规划对于问题（VMP），假若目标函数多目标规划的各个分目标可以按其在问题中的重冯·诺伊曼要程度排出先后次序，并设这个次序为：ƒ1(x),ƒ2(x),…，ƒm(x)。

先对第一个目标进行极小化：多目标规划，设得到的最优解为x。

然后,按下述格式依次分层对各目标进行极小化：式中多目标规划。

设k=m时得到问题(3)的最优解x，则在每一多目标规划的条件下，x是多目标规划(VMP)的有效解。

在实用中,为了保证每一多目标规划,常把上述Xk中的等式约束作适当的宽容，即给出一组所谓宽容量δi(i=1,2,…，m- 1),并以多目标规划代替 (3)中的Xk。

在δi>0 的条件下，由多目标规划k代替Xk所得到的x是多目标规划 (VMP)的弱有效解。

其它方法对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

编辑本段多目标规划方法生态规划多目标规划是数学规划的一个分支。

研究多于一个的目标函数在给定区域上的O.莫根施特恩最优化。

又称多目标最优化。

通常记为 MOP(multi-objective programming)。

在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。

因此有许多学者致力于这方面的研究。

1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。

编辑本段多目标规划及其非劣解多目标规划模型任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：多目标规划模型环境（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。

有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程，则：Z=F(X) 是k维函数向量，Φ(X)是m维函数向量；G是m维常数向量；多目标规划的非劣解多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），投资而不顾其它目标。

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲ 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。

所有非劣解构成的集合称为非劣解集。

当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。

效用最优化模型线性加权法最优化模型思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。

这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：罚款模型线性规划理想点法思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的解。

[1]约束模型极大极小法理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就最优化可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。

假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题。

在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标fi* ( i=1,2,…,k ) ,每一个目标对应的权重系数为ω i* ( i=1,2,…,k ) ，再设γ为一松弛因子。

目标规划模型目标规划法需要预先确定各个目标的期望值 fi* ，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级( L≤K)。

编辑本段投资的收益和风险1.风险大，收益也大。

2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。

即:冒险的投资者投资会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。

3. 曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。

对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。

参考资料•1线性规划/view/92066.htm开放分类：数学，生态学，规划，生态系统生态学我来完善“多目标规划”相关词条：整数规划动态规划非线性规划博弈论二次规划百度百科中的词条内容仅供参考，如果您需要解决具体问题（尤其在法律、医学等领域），建议您咨询相关领域专业人士。

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