多目标规划方法概述(PPT课件)
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多目标规划求解方法介绍
2. 过程：无妨设其次序为 f1, f2 , , f p
先求解
min
(P1)s.t.
f1 ( x) xS
得最优值 f1*
，记 S1 x f1(x) f1*
S
再解
min
(P2 )s.t.
f2 ( x) x S1
得最优值
f
* 2
，S2
x
f2 (x)
f
* 2
S1
依次进行，直到
(Pp )ms.ti.n
取 1 0, , p1 0 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：
^
^
S
x
f j (x)
f
* j
j
S j1, j 2,3, , p
三、功效系数法：
设目标为：f1(x), f2 (x), , f p (x) 其中： f1(x), , fk (x) 要求min；
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
j=2只有一个
于是可得四组解，如图15所示。
~0
x
(1,4)T
,t
0,
f10
3,
f
0 2
15;
~1
x
(4.8,3.2)T
,t
1,
f11
17.6,
多目标规划教材(PPT 116张)
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
多目标规划与决策概述(PPT 121页)
0.3x1 0.6x2 310 x1, x2 0
节约用水指标 50万方
2008.2.29
(2) 线性加权法
当m个目标都要求最小(或最大)时，可以 根据它们的重要程度分别给以相应的大小不同 的非负权重，这样就构成新的单一目标函数：
m
U(X)i fi(X)mionrm ( ax)
i1
2008.2.29
6.1 多目标规划的模型与概念 opF(tx)(f1(x)f,2(x) ,,fp(x)T)
gi(x)bi,i1,2, ,m 1、一般没有最优解，扩展解的概念。 2、有效解、若有效解、满意解
2008.2.29
f2
5 4
3 2
1
f1
2008.2.29
(1)有效解 设X*∈R,如果不存在X ∈R, 使
2008.2.29
实例2：
某城市附近有三个地表水库（A、B、C）的 水可以利用。A距城市最近，是主要的供水水源； B距城市的距离介于A、C之间。水库C的库容是 水库B的两倍。
这三个水库除供水外还被用来养鱼、控制 洪水和发电。
有三种水库调度管理方案：（1）进行日调 节；（2）进行月调节；（3）不进行调节。不 同方式下效益不一样。
1971年Saaty为美国国防部研究“应急计划”， 1972年为美国科学基金会研究电力在工业部门 分配问题。
1973年为苏丹政府研究苏丹运输问题。
2008.2.29
6.3.1 层次分析法的基本步骤
1、建立递阶层次结构； 2、构造判断矩阵； 3、求此矩阵的最大特征根及相对应的特
征向量； 4、确定权重； 5、并进行一致性检验。
2008.2.29
Delphi法的几个原则
1)对DelPhi方法作出充分说明：在发出调查表的 同时，应向专家说明DelPhi法的目的和任务。
节约用水指标 50万方
2008.2.29
(2) 线性加权法
当m个目标都要求最小(或最大)时，可以 根据它们的重要程度分别给以相应的大小不同 的非负权重，这样就构成新的单一目标函数：
m
U(X)i fi(X)mionrm ( ax)
i1
2008.2.29
6.1 多目标规划的模型与概念 opF(tx)(f1(x)f,2(x) ,,fp(x)T)
gi(x)bi,i1,2, ,m 1、一般没有最优解，扩展解的概念。 2、有效解、若有效解、满意解
2008.2.29
f2
5 4
3 2
1
f1
2008.2.29
(1)有效解 设X*∈R,如果不存在X ∈R, 使
2008.2.29
实例2：
某城市附近有三个地表水库（A、B、C）的 水可以利用。A距城市最近，是主要的供水水源； B距城市的距离介于A、C之间。水库C的库容是 水库B的两倍。
这三个水库除供水外还被用来养鱼、控制 洪水和发电。
有三种水库调度管理方案：（1）进行日调 节；（2）进行月调节；（3）不进行调节。不 同方式下效益不一样。
1971年Saaty为美国国防部研究“应急计划”， 1972年为美国科学基金会研究电力在工业部门 分配问题。
1973年为苏丹政府研究苏丹运输问题。
2008.2.29
6.3.1 层次分析法的基本步骤
1、建立递阶层次结构； 2、构造判断矩阵； 3、求此矩阵的最大特征根及相对应的特
征向量； 4、确定权重； 5、并进行一致性检验。
2008.2.29
Delphi法的几个原则
1)对DelPhi方法作出充分说明：在发出调查表的 同时，应向专家说明DelPhi法的目的和任务。
多目标决策方法讲义(PPT40页)
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午2时2分15秒 下午2时 2分14: 02:1521.6.28
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
计算优系数和劣系数之前，必须确定各目 标的权数。
一、目标权数的确定
确定权数的方法有： • 简单编码法 • 环比法 • 优序图
• 简单编码法 将目标按重要性依次排序，最次要的目
标定为1，然后按自然数顺序由小到大确定 权数。此种方法计算简单，但是权数差别小， 欠缺合理性。
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• 环比法
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
（1）除去从属目标，归并类似目标。
（2）把那些只要求达到一般标准而不要求达 到最优的目标降为约束条件。
（3）采取综合方法将能归并的目标用一个综 合指数来反映。
2. 分析各目标重要性大小、优劣程度，分 别赋予不同权数。
二、 层次分析法
层次分析法，简称AHP法，是用于处理有 限个方案的多目标决策方法。
劣系数的最好标准是 0。
《多目标规划》PPT课件
2021/4/24
16
多目标规划的象集
研究象集的作用在于：
(1) 求出F R中的有效点和弱有效点，就可确定有效解和弱有效解；
(2) 对象集F R的研究可以提供—些解多目标规划的方法；
f x
f x
f1 x f2 x
f2 x f1 x
2021/4/24
Re* a,b
O
ab
x
O a cd b x
13
a
b
多目标规划的解集
❖ 解集之间的关系
(1)
p
若
i1
Ri*
，则 Ra*b
p
i 1
Ri*
(2) Re* Rw*e R
(3) Ri* Rw*e (i 1, 2,..., p)
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
24
25
400
800
26
15
600
500
28
2021/4/24
6
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单
目标规划问题：min fi x, xR, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优
解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最
优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
多目标规划ppt
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
第6章多目标规划方法精品PPT课件
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(m ZiF n(X ) )
（6.1.3）
(X)G
（6.1.4）
式中： ZF(X)是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
G是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
甘肃农业大学资源与环境学院
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
尽可能的小，或即：
(x12x22)min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4
x
2
x1
0
x 1 0 , x 2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
甘肃农业大学资源与环境学院
第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
n
f1(x1，……，xn) bixi max i1 n
f2(x1，……，xn) aixi min i1
多目标规划方法讲义(PPT42张)
max Z ( X )
s . t .
（1）
( X ) G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
i 1 k
( x , x , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
x d d 200 1 d d 0( j 1 . 2 . 3 ) j, j x d d 250 2
2 3
2 3
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 x 4 x d d 3600 d , d 0 则变为 9 1 2 4 4 4 4
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
s . t .
（1）
( X ) G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
i 1 k
( x , x , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
x d d 200 1 d d 0( j 1 . 2 . 3 ) j, j x d d 250 2
2 3
2 3
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 x 4 x d d 3600 d , d 0 则变为 9 1 2 4 4 4 4
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
多目标规划方法讲义(PPT 76张)
9
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型
方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
讲多目标规划方法
多目标规划解的讨论——非劣解 多目标规划及其求解技术简介
效用最优化模型罚款模型 约束模型目标规划模型
目标达到法
多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多 目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。
在图1中，max(f1, f2) .就
方案①和②来说，①的
f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无
法确定这两个方案的优
与劣。 在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比
图1 多目标规划的劣解与非劣解
④好, ⑥比②好, ⑦比
③好……。
而对于方案⑤、 ⑥、⑦之间则无法确 定优劣，而且又没有 比它们更好的其他方 案，所以它们就被称 为多目标规划问题的 非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。 当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
3
一
多目标规划及其非劣解
多目标规划模型
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型
方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
讲多目标规划方法
多目标规划解的讨论——非劣解 多目标规划及其求解技术简介
效用最优化模型罚款模型 约束模型目标规划模型
目标达到法
多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多 目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。
在图1中，max(f1, f2) .就
方案①和②来说，①的
f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无
法确定这两个方案的优
与劣。 在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比
图1 多目标规划的劣解与非劣解
④好, ⑥比②好, ⑦比
③好……。
而对于方案⑤、 ⑥、⑦之间则无法确 定优劣，而且又没有 比它们更好的其他方 案，所以它们就被称 为多目标规划问题的 非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。 当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
3
一
多目标规划及其非劣解
多目标规划模型
多目标规划模型概述ppt
hj(X)0
X(x1,x2,...x.n), 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)
弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 , x 2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2(X)40x0160x02 20000
f3(X)3x12x2 90
由主要目标法化为单目标问题
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2
的函数：
U (x)U (f1,f2,..f.p),
并设
aij fi(xj )
且各个方案的效用函数分别为
U (xj)U (a1j,a2j,.a .p .)j,
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ord(U X)(U(X1)U , (X2),..U ..(,Xp))T s.t. gi(X)0
hj(X)0
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
opt(FX)(f1(X),f2(X),...f.p,(X))T s.t. gi(X)0
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x 1 600 x 2
X(x1,x2,...x.n), 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)
弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 , x 2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2(X)40x0160x02 20000
f3(X)3x12x2 90
由主要目标法化为单目标问题
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2
的函数：
U (x)U (f1,f2,..f.p),
并设
aij fi(xj )
且各个方案的效用函数分别为
U (xj)U (a1j,a2j,.a .p .)j,
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ord(U X)(U(X1)U , (X2),..U ..(,Xp))T s.t. gi(X)0
hj(X)0
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
opt(FX)(f1(X),f2(X),...f.p,(X))T s.t. gi(X)0
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x 1 600 x 2
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一、多目标规划及其非劣解
如果将（1.1）和（1.2）式进一步缩写， 即：
m ax(m in)ZF(X) （1.3）
(X) G
（1.4）
式中：Z F(X)是k维函数向量，k是目标函数的个数； ( X ) 是m维函数向量； G 是m维常数向量；m是约束方程的个数。
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一、多目标规划及其非劣解
对于线性多目标规划问题，（1.3）和（1.4）式可以进一步用矩阵
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大纲
多目标规划及其求解技术简介 目标规划方法 多目标规划应用实例
1 多目标规划及其非劣解 多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。 （二）对于多目标规划问题，可以将其数学模
显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥
、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它
们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解
。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
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二、多目标规划的非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大 或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托 解）。
的数学形式为：
LK
minZ pl ( l kdk l kdk)
（2.18）
l1 k1
i(x 1 ,x 2 , ,x n ) g i( i 1 ,2 , ,m ) （2.19）
fi d i d ifi (i 1 ,2 , ,K )
式中：d
i
和
d
i
分别表示与
f i 相应的、与 f i * 相比
型一般地描写为如下形式：
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一、多目标规划及其非劣解
m
ax(m
in)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min)
f2 ( X
)
m ax(m in) fk ( X )
1( X )
g1
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
)
2
(
X
)
G
g2
m
(
X
)
g
m
（1.1） （1.2）
式中： X[x1,x2, ,xn]T为决策变量向量。
多目标规划方法 Multi-objective Programming
背景介绍
在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经 济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问 题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理 学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
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2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为 单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。
一、效用最优化模型 二、罚款模型 三、约束模型 四、目标规划模型 五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算 。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间 通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
表示：
m ax(m in)ZAX （1.5）
BX b
（1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
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二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
k
式中，诸 应满足：
i 1
i1
若采用向量与矩阵 maxT
(X) G
（2.5） （2.6） （2.7）
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 f i 与期望值 f i 之间的偏差来选择问题的解，其数学表
达式如下：
k
minZ ai(fi fi)2 i1
maxZ(X) （2.1）
(X) G
（2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各
目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max ii i1
（2.3）
i(x 1 ,x 2 , x n ) g i(i 1 ,2 , ,m ) （2.4）
i(x 1 ,x 2 , ,x n ) g i( i 1 ,2 , ,m )（2.13）
fjm infjfjm ax(j2 ,3 , ,k) （2.14）
采用矩阵可记为：
m ax(m in)Zf1(X) (X) G
（2.15） （2.16）
Fmin 1
F1F1max
（2.17）
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值 f i ，同时给每一个目标赋予一个优 先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级 (L K ) ，目标规划模型
（2.8）
i(x 1 ,x 2 , ,x n ) g i( i 1 ,2 , ,m )（2.9）
或写成矩阵形式：
m inZ (F F )TA (F F ) （2.10）
(X) G 式中， a i 是与第i个目标函数相关的权重；
A是由 ai(i1,2, ,k) 组成的m×m对角矩阵。
（2.11）
（2.20）
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
p l 表示第l个优先级；
lk
、
lk
表示在同一优先级 p
l
中，不同目标的正、负偏差变量的权系
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该 目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则 该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：
m a x (m in )Z f1 (x 1 ,x 2 , ,x n ) （2.12）
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小）， 而不顾其它目标。
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二、多目标规划的非劣解
非劣解：可以用图1.1说明。
图1.1 多目标规划的劣解与非劣解
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二、多目标规划的非劣解
在图1.1中，就方案①和②来说，①的 f 2 目标值比②大，但其目标 值 f 1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，