浙江省宁波市金兰教育合作组织2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 图片版含答案

浙江省强基联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =， 则()UA B ⋃=（ ）． A ．∅B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,42．已知直线10ax y +-=与直线10x ay +-=互相垂直，则a =（ ）． A ．1或1-B ．1C ．1-D ．03．已知向量()3cos ,2a α=与向量()3,4sin b α=平行，则锐角α等于（ ）． A ．π4B ．π6C ．π3D ．5π124．三条不重合的直线a ，b ，c 及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）． A ．若//a α，//a β，则//αβB ．若a αβ⋂=，αγ⊥，βγ⊥，则a γ⊥C ．若a α⊂，b α⊂，c β⊂，c a ⊥，c b ⊥，则αβ⊥D ．若a αβ⋂=，c γ⊂，//c α，//c β，则//a γ 5．已知110a b<<，给出下列四个不等式：①a b >；②a b <；③a b ab +<；④33a b >其中不正确的不等式个数是（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值为（ ）．A B C D 7．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1B ．2C ．2.5D ．48．已知函数()()2lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值，则实数t 的取值范围为（ ）． A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭9．已知单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且25a c b c -+-=，则2a c +的取值范围是（）． A ．[]1,3B．⎡⎤⎣⎦C ．⎣D ．⎤⎥⎣⎦10．已知()2f x x =，()1g x x =-，令()()()1f x g f x =，()()()1n n f x g f x +=，则函数()()20201x f x ϕ=-的零点个数为（ ）． A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，511a =-，则3a =______，5S =______． 12．若3log 21x =，则22x x -+的值为______；若30log 14a <<（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为______．13．在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c ，已知1b =，2c =且()2cos cos cos A b C c B a ⋅+=，则A =______；若M 为BC 的中点，则AM =______．14．某空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则其体积是______3cm ， 表面积是______2cm ．15．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．16．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n⨯-⋅+⨯=++，则23m n+的取值范围为______．17．如图所示，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，AD =90ADC ∠=︒．沿直线AC将ACD △翻折成ACD '△，直线AC 与BD '所成角的余弦值的最大值是______．18．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC CE =，点F 为CE 的中点．（Ⅰ）证明：//AE 平面BDF ；（Ⅱ）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 19．已知向量()sin ,cos m A A =，()3,1n =-，1m n ⋅=，且A 为锐角．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）函数()()cos24cos sin f x x A x x =+∈R ，若()3|f x t -≤恒成立，求实数t 的范围． 20．已知圆C 经过点()1,3A 、()2,2B ，并且直线:320m x y -=平分圆C ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若过点()0,1D ，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ． ①求实数k 的取值范围； ②若12OM ON ⋅=，求k 的值．21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()n n a n n S *+=∈N ． （Ⅰ）证明{}1n a -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()211n n b n a =--，n b 的前n 项和为n T ，求n T ； （Ⅲ）求证：12311112nn a a a a ++++<+． 22．已知函数()()24f x x x a x =+-∈R ．（Ⅰ）存在实数[]12,1,1x x ∈-使得()()12f x f x =成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）对任意的[]12,1,1x x ∈-都有()()12 f x f x k -≤成立，求实数k 的最小值．参考答案1．C2．D3．A 4．B 5．C6．C7．A 8．A9．D10．D11．4-；20-12．103；30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭13．π3；714．13；3 15．5316．21718．【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接FO ， 由点O ，F 为中点，所以//FO AE ，FO ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF ；（Ⅱ）假设存在点P ，使得PM BE ⊥， 即222220PM BE PE BM PB ME ⋅=+--=， 设2BC CE x ==，2CD y =，所以BM ME ==PE PB =，故点P 的位置在的中点．19．【解析】（Ⅰ）ππ13sin cos 2sin 1sin 662m n A A A A ⎛⎫⎛⎫⋅=-=-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因A 为锐角，所以π3A =． （Ⅱ）()2cos22sin 12sin 2sin f x x x x x =+=-+， 令[]sin 1,1x m =∈-，所以()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因()()()33333f x t f x t t f x t -≤⇒-≤-≤⇒-≤≤+， 所以302t ≥≥-． 20．（Ⅰ）由题意可得圆心C 在直线320x y -=上．又因圆过()1,3A 、()2,2B ，所以AB 中垂线1y x =+， 故圆心为320213x y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩， 故圆心为()2,3，半径为1，所以圆C 的方程为()()22231x y -+-=． （Ⅱ）设直线l 为1y kx =+，①1d k =<⇒<<． ② 联立方程得()()()()2222114470231y kx k x k x x y =+⎧⎪⇒+-++=⎨-+-=⎪⎩ 12212271441x x k k x x k ⎧=⎪⎪+⇒⎨+⎪+=⎪+⎩，因()()2212121212244118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+． 所以1k =．21．【解析】（Ⅰ）因111n n n n S a n S a n --+=⇒+=-， 作差得121n n a a --=， 令1n =得112a =，11111222nn n n a a a a ---==--， 所以{}1n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列． 故112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）()()()()12121323211222n n nn nn n n b n a ---++=--==-，所以2332n nn T +=-． （Ⅲ）11211211212122n n n n n n n a a -=⇒-=≤=--，所以12311111122112n nn a a a a -++++-≤<-， 所以12311112nn a a a a ++++<+． 22．（Ⅰ） ()22244,4144,x x a x af x x x x x a x a⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩（1）当1a ≤-时，得()f x 在[]1,1x ∈-单调递增，显然不满足题意；（2）当11a -<<时，得()f x 在[]1,x a ∈-单调递减，在[],1x a ∈单调递增，显然满足题意； （3）当1a ≥时，得()f x 在[]1,1x ∈-单调递减，显然不满足题意； 所以11a -<<．（Ⅱ）由题意可得，因()0f x ≥，()()12f x f x k -≤成立， 即只需满足()()12max min f x f x k -≤成立即可， （1）当1a ≤-时，得()f x 在[]1,1x ∈-单调递增， 故()()()()12max min 118f x f x f f -=--=，所以8k ≥．（2）当11a -<<时，得()f x 在[]1,x a ∈-单调递减，在[],1x a ∈单调递增， 故()()(){}{}1max max 1,1max 54,54f x f f a a =-=+-，()22min f x a =，所以()()212max min 245,0145,10a a a f x f x a a a ⎧-++<<⎪-=⎨--+-<≤⎪⎩， 得()()()12max minmax8f x f x -=，所以8k ≥．（3）当1a ≥时，得()f x 在[]1,1x ∈-单调递减， 故()()()()12max min 118f x f x f f -=--=，所以8k ≥． 综上所得，8k ≥．。

2020至2021学年高二上学期余姚中学期中考试高二数学一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆222:1(0)4x y C b b+=>的一个焦点为(1,0)，则(b = )A ．1B ．2C ．3D ．52．下列叙述正确的是( )A ．若“p 且q ”为真，则p ，q 恰有一个为真命题B ．已知a ，b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件C ．命题:0p x ∀>，都有1x e >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D ．与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是“若b M ∉，则a M ∈”3．已知α，β是两个不重合的平面，直线//m α，直线n β⊥，则“αβ⊥”是“//m n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为12cm ，现有体积为372cm π的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为( ) A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm5．已知1F 、2F 是椭圆22:182x y C +=的两个焦点，若椭圆C 上的点P 满足∠F 1PF 2＝90°，则点P 的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个FE D 1C 1B 1A 1D CBA5．正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11B C ，1CC 的中点，平面1BD E 与平面11AA D D 的交线为l ，则( ) A ．1l A D ⊥B ．1//l BC C ．1//lD C D ．1l B F ⊥7．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积分别为1、32、3，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A ．14πB ．72π C ．494πD ．7143π8．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为γ，则( )A ．αβB ．αβC ．αγD ．βγ9．已知椭圆222:1(1)x T y a a+=>的左焦点(2,0)F -，过点(0,1)M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l ，若P 为椭圆上任一点，记点P 到1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ，则2212d d +的最大值为( )A ．2B ．134C ．52D ．25410．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 上一动点（不包括端点），下列判断中正确的个数是()①不论P 点在什么位置，过P 点有且只有一个平面与直线CD ，11A D 都平行②不论P 点在什么位置，过P 点有且只有一个平面与直线CD ，11A D 所成角均为45︒；③不论P 点在什么位置，过P 点有且只有一条直线与直线CD ，11A D 都垂直④不论P 点在什么位置，过P 点有且只有一条直线与直线CD ，11A D 都相交 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。

2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 命题p：“∃n∈N，则n2>2n”的否定是（）A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∀n∈N，n2<2n2. 双曲线x24−y25=1的渐近线方程为( )A.y=±√52x B.y=±2√55x C.y=±54x D.y=±32x3. 不等式ax2−5x+c<0的解集为{x|2<x<3}，则a，c的值为（）A.a＝6，c＝1B.a＝−6，c＝−1C.a＝1，c＝6D.a＝−1，c＝−64. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466−485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺．A.4 7B.1629C.815D.455. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A.+＝1B.+＝1C.+x2＝1D.+y2＝16. 不等式x2+3x+2>0成立的一个必要不充分条件是（）A.(−1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−∞, −2]∪[−1, +∞)D.(−1, +∞)∪(−∞, −2)7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为（）A.x2+y2＝9B.x2+y2＝7C.x2+y2＝5D.x2+y2＝48. 已知数列{a n}的首项a1=21，且满足(2n−5)a n+1=(2n−3)a n+4n2−16n+15，则{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。