RC和RL电路的暂态过程

§4-5暂态过程一、RL 电路的暂态过程如图，当电键K 合到a 点时，电路中的电流从零开始增长，所以在线圈中将产生感应电动势，从而产生感应电流，这个感应电流阻碍原电流的增长，所以使回路中的电流不能立即达到稳定值I0，也就是说，当直流电动势接入电路后，电流值从零增长到稳定值需要一个暂短的过程，这个过程叫暂态过程。

同理，当电流达到稳定值后，如突然把电键从a 断开合到b ，即把电源电动势突然从电路中撤去，电路中的电流开始下降，此时线圈中也将产生感应电动势，阻碍原电流的下降，所以回路中的电流不能立即降为零，这个过程也叫暂态过程。

先讨论直流电动势突然引入回路的情况：如果电路中没有线圈，当K 合上时，回路中的电流几乎立即达到稳定值R I ε=0。

现在回路中有线圈存在，当K 合到a 点时，回路中的电流从无到有随时间变化，所以0≠dt dI ，于是在线圈中产生自感电动势dtdI L L −=ε。

这个感应电动势和原电动势串联在电路和中，选取逆时针方向为回路绕行方向，此时感应电动势为顺时针方向，得到：0=−−dt dI l IR ε，我们用分离变量法求解这个一阶线性常系数非齐次微分方程：初始条件为： 分离变量得： 两边积分：利用初始条件t=0时I=0代入上式得：而这就是在开关接通后电路中电流I 的变化规律，下图画出了I 随时间t 的变化曲线：在RL 电路的暂态过程中，电流I 以指数方式随时间t 增长，最后达到稳定值。

从理论上说，要达到稳定值I 0须经过无限长的时间，但实际上，当即经过时间τ，电流以达到稳定值的63％，所以τ反映电流达到稳定值的63％所须的时间，称为回路的时间常数。

当电流达到稳定值后，突然把电键合到b ，电源突然从回路中撤去，电流从I 0急剧下降，于是0≠dtdI 线圈中产生感应电动势，企图阻碍电流的减少，仍取逆时针方向为回路的绕行方向，回路方程为：初始条件为：方程分离变量，两边积分得：式中，τ为回路的时间常数，这就是当电源电动势突然撤去时后回路中电流的变化规律，它以指数的形式随时间下降，当τ=t 时，电流下降到I 0的37％。

实验二十 RLC 串联电路的暂态过程电路的暂态过程就是当电源接通或断开后的“瞬间”，电路中的电流或电压非稳定的变化过程。

电路中的暂态过程不可忽视，在瞬变时某些部分的电压或电流可能大于稳定状态时最大值的好几倍，出现过电压或过电流的现象，所以如果不预先考虑到暂态过程中的过渡现象，电路元件便有损伤甚至毁坏的危险。

另一方面，通过暂态过程的研究，还可以从积极方面控制和利用过渡现象，如提高过渡的速度，可以获得高电压或者大电流等。

【实验目的】1．研究RC 串联电路的暂态特性。

2．研究RLC 串联电路的暂态特性。

3．加深R 、L 和C 各元件在电路中的作用。

【预习重点】1．RC 电路、RLC 电路的暂态特性。

2．电阻、电容元件的功能。

3．示波器的原理和使用方法。

【实验原理】1．RC 串联电路RC 串联电路的暂态过程就是当电源接通或断开后的“瞬间”，电路中的电流或电压非稳定的变化过程。

将电阻R 和电容C 串联成如20-1所示的电路图，当K 与“1”接通时，其充电方程为： q iR E C+= （20.1） 或写成 dq q R E dt C+= （20.2）图20-1 RC 串联电路的暂态过程示意图上述方程的初始条件是0)0(q =，因此可以解出式（20.2）的解/(1)t q Q e τ-=- （20.3） 式中 τ（RC ）称为RC 串联电路的时间常数，单位为秒；Q （EC =）为电容器C 端电压为E 时所贮藏的电荷量大小，单位为库仑；q 为t 时刻电容器贮藏的电荷量。

由式（20.3）可计算出电容和电阻两端的电压与时间关系的表达式：//(1)t c U q C E e τ-==- （20.4）/t R dq U REe dt τ-== （20.5） 当K 与“0”接通时，放电方程为：10dq R q dt C+= （20.6） 根据初始条件 (0)q Q EC ==，可以得到/t q Q e τ-= （20.7）/t C U E e τ-= （20.8）/t R U E e τ-=- （20.9）由上述公式可知，C U ，R U 和q 都按指数变化，τ值越大，则C U 变化越慢，即电容的充电或放电越慢。

大学物理课题RC、RLC电路的暂态过程教学目的 1、观察RC电路的暂态过程，理解时间常数τ的意义。

2、观察RLC串联电路的暂态过程及其阻尼震荡规律。

重难点 1、观察RC电路的暂态过程，理解时间常数τ的意义；学会测量RC暂态过程半衰期的方法，并由此求出时间常数τ。

观察RLC串联电路的暂态过程及其阻尼震荡规律。

2、理解当L、C一定时，R值的不同导致RLC电路出现三种不同的阻尼震荡的原因。

教学方法讲授与实验演示相结合。

学时 3学时。

一．前言RC串联电路与直流电源相接，当接通电源或断开电源的瞬间将形成电路充电或放电的瞬态变化过程，这瞬态变化快慢是由电路各元件量值和特性决定的，描述瞬态变化快慢的特性参数就是放电电路的时间常数或半衰期。

本实验主要研究当方波电源加于RC串联电路时产生的RC瞬态放电曲线及用示波器测量电路半衰期的方法；同时还要了解方波电源加于RLC串联电路时产生的阻尼衰减震荡的特性及测量方法。

二．实验仪器FB318型RLC电路实验仪，双踪示波器。

三．实验原理1、RC电路的瞬态过程电阻R与纯电容C串联接于阻为r的方波信号发生器中，用示波器观察C上的波形。

在方波电压值为U0的半个周期时间，电源对电容C充电，而在方波电压为零的半个周期，电容器捏电荷通过电阻（R+r）放电。

充放电过程如图所示，电容器上电压U C随时间t的变化规律为U C= U0[1-e-t/(R+r)c] (充电过程) （1）测RC充放电电路tRC放电曲线U C= U0e-t/(R+r)c（放电过程）（2）式中，(R+r)c称为电路的时间常数（或弛豫时间）。

当电容C上电压在放电时由U C减少到U0/2时，相应经过的时间成为半衰期T1/2，此时T 1/2=（R+r ）c ㏑2=0.693（R+r ）c (3) 一般从示波器上测量RC 放电曲线的半衰期比测弛豫时间要方便。

所以，可测量半衰期T 1/2，然后，除以㏑2得到时间常数（R+r ）c 。

一阶RC 和RL 电路的暂态分析如图1所示，在开关动作以后，电路将出现暂态。

开关初始状态是打开的，所以电路中没有电流，i ＝0，并且vR =0。

电容两端的电压vc 未知，是我们要确定的量。

它可能等于零（vc = 0），也可能已经被充电（vc =）。

0V图1我们假定在开关闭合前的电容已处于稳态，或者称为稳定状态。

电容两端的电压vc =，开关在t ＝0时闭合，闭合后的电路如图2所示。

0V图2开关闭合后，电路中开始出现电流。

电容中贮存的能量，其大小为221C C Cv E =将会逐渐以热量的形式消耗在电阻上。

在经过一段时间以后，电路中的电流将会变为零，电路达到一个新的稳定状态，此时i =0，vc =0，vR =0。

电路的暂态特性描述的是电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态的过程。

这节课我们将学习如何描述和理解这种暂态现象。

RC 电路的零输入响应我们首先研究零输入的RC 电路， 如图3所示。

图3我们假定电容是理想的，而且电容两端的电压在开关动作之前已经被充电至。

在t ＝0时，开关闭合。

电路中开始出现电流，在t >0时，我们得到的电容两端电压是一个关于时间t 的函数。

因为电容两端的电压应该是连续的，所以在时，=。

00V vc t =−=c v +=0t c v 0V我们首先要做的是得到这个电路的特性方程，可以通过基尔霍夫定律求解。

这里我们使用基尔霍夫电压定律：0)()(=+t v t v c R （0.1）由电阻以及电容的电压电流关系，可得方程0)()(=+t v dtt dv RCc c （0.2） RC 与时间具有同样的单位，即（Ohm ）（Farad ）→seconds （s F =•Ω）。

RC 称为电路的时间常数，通常用τ来表示，即RC =τ。

式（0.2）与电路的初始状态有关，电容初始电压00V vc t ==决定了电路在t >0时的特性。

实际上，由于电路中没有任何电源作用，所以这种特性也叫做电路的自然响应。

RLC 串联电路的暂态特性实验目的1． 通过对RC 和RL 电路的暂态过程的学习，加深对电容和电感特性的认识。

2． 考察与研究RLC 串联电路的暂态过程的三种状态。

3． 学习实验方波信号与双综示波器，显示暂态信号。

4． 学习实验数字式示波器，了解示波器的存储、输出功能。

实验原理(1) RC 串联电路在由R 、C 组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程．其中信号源用方波信号．在上半个周期内，方波电压+E ，其对电容充电；在下半个周期内，方波电压为零，电容对地放电．充放电过程中的回路方程分别为RC RC 0cc cc dU U E dtdU U dt =+==+=通过以上二式可分别得到、的解。

半衰期1/21/2ln 20.693(=1.443T T τττ==或） (2) RL 串联电路与RC 串联电路进行类似分析可得，RL 串联电路的时间常数t及半衰期分别为1/2/,0.6930.693/L R T L R ττ===(3) RLC 串联电路在理想化的情况下，L 、C 都没有电阻，可实际上L 、C 本身都存在电阻，电阻是一种耗损元件，将电能单向转化成热能。

所以电阻在RLC 电路中主要起阻尼作用。

所以根据阻尼震荡方程可以三种不同状态的解，分别为欠阻尼、过阻尼和临界阻尼。

实验仪器方波信号发射器、数字式存储示波器、电阻箱、电容箱、电感等。

实验内容1．RC电路的暂态过程研究：q-t曲线的观测：按图示连接，实验建议取电容C=0.05μf，方波发生器输出频率f=1Khz，分别取电阻R=1kΩ、10kΩ，观察双综示波屏幕上同时出现的方波与UC信号。

按屏幕显示将它们绘制在同一毫米方格纸内。

考察不同RC曲线是否与理论分析符合。

再调节R，使之逐渐增加到90kΩ，可以发现图形发生明显变化，类似三角波，分析说明为什么会产生三角波形？I-t曲线的观测：因为U R=iR，电流I(t)与U R(t)随时间t变化的规律相同，所以电阻R 的两端电压波形U R(t)和电流波形I(t)等效。

RCRLC电路的暂态过程在电路分析中，RC和RLC电路是两种常见的电路类型。

RC电路由一个电阻和一个电容器组成；RLC电路由一个电阻、电感器和电容器组成。

在这两种电路中，可以观察到暂态过程，也就是初始状态到恢复稳态的过程。

接下来我们将重点讨论RC电路和RLC电路的暂态过程。

首先，我们来讨论RC电路的暂态过程。

当RC电路开始工作时，初始电压通过电阻和电容器进行放电。

初始时，电容器上的电压等于电压源提供的电压，而电流经过电阻器。

然后，根据基尔霍夫电压定律，电容器电压和电阻电流之和等于电源电压。

这导致电压和电流随着时间的推移而逐渐减小，直到达到稳态。

在暂态过程中，电容器的电压和电阻的电流满足以下方程：Vc(t)=V0*e^-(t/(RC))I(t)=I0*e^-(t/(RC))其中，Vc(t)表示电容器的电压随时间的变化，V0是初始电压，t是时间，R是电阻值，C是电容器的电容值。

I(t)表示电阻的电流随时间的变化，I0是初始电流。

从上述方程中可以看出，电容器的电压和电阻的电流随着时间不断减小，且速度随时间的增加而减小。

在t=0时刻，电容器的电压等于初始电压V0，而电阻的电流等于初始电流I0。

随着时间的推移，电压和电流以指数速度减小。

当t趋于无穷大时，电容器的电压和电阻的电流趋于0，电路达到稳态。

接下来我们来讨论RLC电路的暂态过程。

与RC电路类似，RLC电路的暂态过程也涉及电感器和电容器。

当RLC电路开始工作时，电感器和电容器都储存了一定的能量。

在暂态过程中，电容器的电压和电感器的电流随时间的变化遵循以下方程：Vc(t)=V0*e^-(t/(RC))I(t)=I0*e^-(t/(RC))+(V0-Vc(t))/L其中，Vc(t)表示电容器的电压随时间的变化，V0是初始电压，t是时间，R是电阻值，C是电容器的电容值。

I(t)表示电感器的电流随时间的变化，I0是初始电流，L是电感器的电感值。

从上述方程中可以看出，与RC电路不同，RLC电路中的电压和电流是相互影响的。

RCRLC电路的暂态过程在研究RCRLC电路的暂态过程之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是电容的电压和电感的电流的初始条件。

电容的电压初始条件是电容两端电压在电路初始状态时的值。

电感的电流初始条件是电流在电路初始状态时的值。

其次是RCRLC电路的初始状态。

初始状态是指在暂态过程开始时电路的状态，可以是由直流源（DC）与电路连接或者其他的一些非齐次状态。

在RCRLC电路的暂态过程中，主要有两个过程，即充电过程和放电过程。

首先是充电过程。

在RC电路中，当电压源连接到电路上时，电路处于初始状态。

电阻导致电流开始从电压源流向电容器，同时电容器开始充电，电压逐渐增加。

在充电过程中，电压的变化遵循指数衰减规律。

充电过程的时间常数τ可以通过RC电路的电阻和电容的值计算得出。

随着时间的推移，电容的电压逐渐接近电源电压，直到达到最大值。

接下来是放电过程。

在RC电路中，放电是指当电源与电路断开连接时，电容通过电阻器放电的过程。

初始状态下，电容器已经充电到一定电压。

在放电过程中，电容开始放电，电压逐渐降低，直到最后电容器的电压降为零。

放电过程的时间常数τ也可以通过RC电路的电阻和电容的值计算得出。

在RLC电路中，暂态过程包括充电过程和放电过程以及电感电流的变化。

在初始状态下，电容器和电感器的电压和电流有初始条件。

当电源与电路连接时，电流开始从电源流向电容器和电感器。

在充电过程中，电容器的电压逐渐增加，同时电感器的电流也逐渐增加。

当充电过程结束，电容器的电压达到最大值，电感器的电流也达到最大值。

然后在放电过程中，电容器开始放电，电压逐渐降低，同时电感器的电流也逐渐降低。

放电过程的时间常数τ可以通过RC电路的电阻、电容和电感的值计算得出。

最终，当电容器的电压降为零，电感器的电流也降为零，电路将进入稳态。

总结来说，RCRLC电路的暂态过程是电路从初始状态转换到满足一定条件的过程。

在过程中，电容器的电压和电感器的电流会随着时间的推移发生变化，符合指数衰减的规律。

实验：R-L-C电路的暂态研究A实验原理：1 RC串联电路的暂态过程：当t=0时，方波电压u(t)从0耀变到E。

这时电路通过R对电容C充电。

由于电容两端的电压u c不能突变，上升必须经过一个充电过程。

这就是电路的暂态过程。

设电路中的充电电流为，则，因此电路回路方程是1方程1是一个微分方程。

考虑t=O时u c=0V的初始边界条件，则方程的解是：23这就是电路的充电过程，u c与i均呈指数规律变化，只是u c随时间的增加而增加；i随时间的增加而减小。

如果当u(t)从E突变为0V，这时电路处于放电过程，方程是：4考虑t=0时u C=E 的初始条件，方程的解为：56由解可以知道u c与I仍然是呈指数规律变化，u c随时间的增加而减小；i随时间的增加而减小，而且方向相反。

经研究可知。

对于RC串联电路它的充放电过程快慢均由时间常数决定，的物理含义是指：当电容上的电压从0上升到E的倍，即0.63时所需要的时间。

或者电容上的电压从E减小到E的倍，即0.36时所需要的时间。

2 RLC串联电路的暂态过程：由基而尔霍夫电路定律可以知道；7即 8因为u(t)是一方波信号，当u(t)=E时电路处于充电状态；u(t)=0V时处于放电状态。

以放电状态作为研究状态，则8式中的u(t)=0V，假设初始条件t=0 u C=E，方程按RLC取值的不同，可以成三种情况讨论：A：，电路呈阻尼振荡状态方程的解是：9其中 1011图就是振荡波形图,为了对阻尼振荡状态有明确的了解，特分析以下几个物理参数。

1）时间常数：的物理意义是代表振幅衰减快慢的程度。

被称为衰减系数，可以从波形上任找一振幅定为研究的起始量，时间定为, 振幅标号N，由9式可以知道：12设振荡周期是T，当振幅为时：13因为，因此13式可以改写成：14由12，14式可以知道：，进一步求得：152) 振荡园频率与振荡周期T：在RLC电路中，L，C都是储能元件，能量可以可逆转换，电路振荡衰减是由于存在耗能元件R，从公式11可以知道，如果将电阻R取得非常小，使，则由公式11可知：16正好是LC电路的固有频率，由于，那么周期为：173）品质因素Q：品质因素Q值的物理意义是电路中储能与每周期内耗能量之比的倍：19合并19与10式得： 20B：当时，电路处于临界阻尼状态，由11式可以知道这时，电路正好满足不振荡条件，此时衰减最快。