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武汉科技大学_信号与系统习题精解第7章

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武汉科技大学-信号与系统习题精解第1章

武汉科技大学-信号与系统习题精解第1章

第1章 信号及信号的时域分析1.1本章要点本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法；了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础。

1、信号的分类（1）连续信号与离散信号一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。

仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。

（2）确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。

即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值。

随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号。

（3）周期信号与非周期信号对于连续信号)(t f ，若存在0>T ，使得)()(t f rT t f =+，r 为整数，则称)(t f 为周期信号；对于离散信号)(n f ，若存在大于零的整数N ，使得)()(n f rN n f =+，r 为整数，则称)(n f 为周期信号。

不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。

① 几个周期信号相加而成的信号的周期问题几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数0T 。

以周期分别为1T 、2T （角频率分别为21,ΩΩ）的两个信号相加产生的信号()t f 为例，如果===ΩΩ211221n n T T 有理数，21,n n 均为整数，则()t f 为周期信号，其周期0T 为 22112211022Ω=Ω===ππn n T n T n T （1-1） ② 离散正（余）弦信号的周期问题时域连续的正（余）弦信号一定是周期信号，但时域离散的正（余）弦信号不一定是周期信号，要求周期N 为正整数。

信号系统习题解答khdaw

信号系统习题解答khdaw
1-1 题 1-1 图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是 非周期信号？哪些是有始信号？
kh da
(c)
后
答 案
解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、 (b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题 1-2 图示信号 f( t )，试画出下列信号的波形。 [提示：f( 2t )表示将 f( t )波形 t 压缩，f( )表示将 f( t )波形展宽。] 2
可见
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
18 若有线性时不变系统的方程为 1-8
w.
若在非零 f( t )作用下其响应 y (t ) = 1 − e − t ，试求方程
ww
的响应。 故响应
解 因为 f( t ) → y (t ) = 1 − e − t ，由线性关系，则 2 f (t ) → 2 y (t ) = 2(1 − e − t )
且
y (t ) = ∫ x (t )dt ,
故有
x(t ) = y ′(t )
1-5 已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线 性时不变系统？
解 设 T 为系统的运算子，则可以表示为
不失一般性，设 f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则
6
w.
网
uC du +C C R dt
co m
由于
yzi ( 0+ ) = A1 = 1
−2A1 + A2 = 2 所以
A2 = 4
故有
y zi (t ) = (1 + 4t )e −2t ,

信号与系统王明泉第七章习题解答

信号与系统王明泉第七章习题解答

（1）当，始终为负，收敛域为，为最大收敛半径； （2）当，可分解为两项级数的和，第一项为z的正幂次级数，根据 阿贝尔定理,其收敛域为，为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其 收敛域为；取其交集，该左边序列的收敛域为。 4．双边序列 双边序列指为任意值时,皆有值的序列，即左边序列和右边序列之 和。其变换： 双边序列的收敛域为一环形区域。 下表列出了序列的形式与变换收敛域的关系。
（1） （2） （3） （4） 解：（1） 对差分方程两边取单边Z变换， 解：（2） 解：（3） 解：（4） 7.9分别求下列差分方程的系统函数、系统频率响应函数和单位样值响 应函数，并画出系统函数的零极点图和系统框图。 （1） （2） （3） （4） 解：（1） 系统函数，极点： 单位样值响应 频率响应 系统框图如图（1）所示，零极点图如图（a）所示。 解：（2） 系统函数，极点：，零点： 单位样值响应 频率响应 系统框图如图（2）所示，零极点图如图（b）所示。 解：（3） 系统函数 极点：，零点： 单位样值响应 频率响应 系统框图如图（3）所示，零极点图如图（c）所示。 解：（4） 系统函数 极点：，零点： 单位样值响应 频率响应 系统框图如图（4）所示，零极点图如图（d）所示。
7.2 本章重点
（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）； （2）z域分析（求解分析系统）； （3）系统的频率响应函数。
7.3 本章的知识结构 7.4 本章的内容摘要
7.4.1 Z变换
（1）定义
表示为：。
（2）收敛域
1.有限长序列 （1）当时，始终为正，收敛条件为； （2）当时，始终为负，收敛条件为； （3）当时，既取正值，又取负值，收敛条件为。 2.右边序列 （1）当时，始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为，为最小 收敛半径； （2）当时，分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛 域为；第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为；取 其交集得到该右边序列的收敛域为。 3．左边序列

武汉科技大学_信号与系统习题精解第8章

武汉科技大学_信号与系统习题精解第8章
称为图行列式，定义为：
(8-7)
式中：
为第 个环路的传输值
为所有环路的传输值之和
为所有相互不接触的两个环路的传输值的乘积之和
为所有相互不接触的三个环路的传输值的乘积之和
…
为第 个正向传输路径的传输值
为与 不相接触的子图部分的 值
6
若对 求拉普拉斯反变换，则 的每个极点将对应一个时间函数。也就是说，冲激响应 的函数形式完全取决于 的极点；而幅度和相角将由极点和零点共同决定。因此， 完全由 的零、极点位置决定。
综上所述，根据 判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查 的系数 。若 中有缺项(至少一项为零)，或者 的符号不完全相同，则 不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若 的系数 无缺项并且符号相同，则 满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。
（1）求系统的冲激响应；
（2）求在 激励下系统的完全响应。
解：(1)设初始状态为零，则有：
所以
（2）两边同时取拉氏变换，把初始状态一并代入
例2某线性时不变系统输入为单位阶跃信号时的阶跃响应为 ，求使输出为 的输入信号 。
解：由阶跃响应求得冲激响应为
则系统函数为
输出 的Laplace变换为
所以输入信号 的Laplace变换为
为霍尔维兹多项式的必要条件是： 的各项系数 都不等于零，并且 全为正实数或全为负实数。若 全为负实数，可把负号归于 的分子 ，因而该条件又可表示为 。显然，若 为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。
罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯一霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯-霍尔维兹准则)。

(完整word版)第7章 信号与系统课后习题解答

(完整word版)第7章 信号与系统课后习题解答

7-1解 对于（a)图 (1）流图性质简化：21bx E x +=312dx ax x +=()32dx bx E a ++= ⇒ abdx aE x -132+=123ex cx x +=()22bx E e cx ++=()abdx aE be c eE -13+++=()()ab aE be c eE ab d be c x ---1113++=⎪⎭⎫⎝⎛+ R x =3所以 bedcd ab ace bed cd ab bea ac abe e E R H -------11+=++==（2)按梅森公式：图（a)有三个环路,环路增益为：edb cd ab 所以ebd cd ab ---1=∆图（a ）有二条前向通路,通路增益为ac e ，且与各环路都相接触,即各特征行列式的余子式都为1，1=i ∆ 。

所以按梅森公式bedcd ab ace E R H ---1+==对于图(b ） （1)流图性质简化:221dx bE x +=()221112dx bE c aE cx aE x ++=+= ⇒ cdcbE aE x -1212+=2ex R = 所以 11-ae H cd =21-cbeH cd= （2）按梅森公式：图(b ）有一个环路，环路增益为：cd对输入1E 有一条前向通路,通路增益为ae ，所以11-aeH cd =对输入2E 有一条前向通路，通路增益为cbe ，所以21-cbeH cd=7—2解()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=t e t e t t t t e t e t t 21212211142783λλλλλ--()()()t t t r 1132λλ+=7—3解（1）模拟框图：题7—3解图1状态方程与输出方程：()()()()()()⎩⎨⎧+=+=+n e n n n n n 21221311λλλλλ-- ()()n n y 1λ= （2）模拟框图：题7-3解图2状态方程与输出方程：()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=+=+=+4-3-4-2-7-3-111143214433221n e n e n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλ ()()()()()()()()4-3-4-2-7-3-143214n e n e n n n n n n y ++=+=λλλλλ7—4解（1)系统函数可以改写为子系统相乘和相加形式如下()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⨯=5121115s s s s H -， ()53426521++++=s s s s H - 由上两式可以画出级联和并联形式流图()t e 1-()t 1-1-（a ）()t e ()t r （b ）题7—4解图1(2）系统函数可以改写为子系统相乘和相加形式如下()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=41311111s s s s H -- ()438323161+++++=s s s s H -- 由上两式可以画出级联和并联形式流图()t e 1-()t 1-1-（a)()t e ()t r 1-（b ）题7—4解图27—5解（a ）两条前向通路,三个环路，通路和环路间都接触.41321521413211H H H H H H H H H H H H H H ---+=（b)一条前向通路，三个环路,通路与所有环路都接触，有两个不接触环路。

武汉科技大学-信号与系统习题精解第10章

武汉科技大学-信号与系统习题精解第10章

230第10章 无限冲激响应数字滤波器的设计10.1 本章要点1、IIR 数字滤波器设计的基本概念及方法（1）IIR 数字滤波器的性能指标数字滤波器的频率响应)(ωj e H 可表示为：)()()(ωϕωωj j j e e H e H =式中，)(ωj e H 称为幅频特性，表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况；)(ωϕ称为相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

对IIR 数字滤波器，通常用幅频响应)(ωj e H 来描述性能指标。

需要注意的是数字滤波器的频率响应)(ωj e H 是以π2为周期的，滤波器的低频频带处于π2的整数倍附近，而高频频带处于π的奇数倍附近，这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。

所以，一般只给出],0[π区间上的性能指标描述。

IIR 低通滤波器的幅频特性如图10-1所示。

图中，p ω和s ω分别称为通带截止频率和阻带截止频率。

通带频率范围为p ωω≤≤0，在通带中要求1)(11≤≤-ωδj e H ；阻带频率范围为πωω≤≤s ，在阻带中要求2)(δω≤j e H ；从p ω到s ω称为过渡带，在过渡带内，幅频响应平滑地从通带下降到阻带。

1δ在具体指标中往往用通带内允许的最大衰减p α表示，2δ用阻带内允许的最小衰减s α表示，p α和s α分别定义为：dB eH e H pj j p )()(lg 200ωα=dB eH e H sj j s )()(lg200ωα=如果将)(0j e H 归一化为1，则p α和s α可分别表示为：dBeH pj p )(lg 20ωα-= dBe H sj s )(lg 20ωα-=231当c p ωω=时，幅度下降到707.022≈，此时dB p 3=α，所以常称c ω为3dB 通带截止频率。

c ω是滤波器设计的重要参数之一。

图10-1 IIR 低通滤波器的幅频特性（2）IIR 数字滤波器的设计方法设计一个数字滤波器，可分为以下3步： ① 根据实际要求确定滤波器的性能指标。

武汉科技大学信号及系统期末试卷

武汉科技⼤学信号及系统期末试卷武汉科技⼤学考试卷（A 卷）课程：信号与系统（闭卷）（2014/05 ）专业班级姓名学号⼀、填空题（每空2分，共20分）１．已知某系统的输出)(t r 与输⼊()e t 之间的关系为∑∞-∞=-=n nT t t e t r )()()(δ，其中T 为常数，则该系统是（线性/⾮线性）线性系统。

２．?-=+πππδdx x x )2()sin( -1 。

３．连续时间系统的传输算⼦为)2)(1(3)(+++=p p p p H ，则描述该系统的⽅程为()3()2()()3()r t r t r t e t e t ''''++=+，该系统的⾃然频率为 -1、-2 。

４．信号)f(t)=5cos(3t)+10cos(5t ππ的周期是_2_，其平均功率等于 62.5 ⽡。

５．信号)(t f 的最⾼频率为10m f kHz =，其奈奎斯特抽样频率s ω=4410π? 弧度/秒，信号(0.1)f t 的m f = 1kHz ，(0.1)f t 的奈奎斯特抽样间隔=s T 500s µ。

６．已知离散时间LTI 系统的单位函数响应为()cos(/3)()h k k k u k π=，则该系统为（稳定/不稳定）不稳定系统。

⼆、（12分）已知)(tf 的波形如图⼀所⽰。

)(t f （1）写出)(t f 的表达式；（2）画出()2(1)2tg t f =-+的波形； t（3）求()()dg t h t dt=的傅⾥叶变换。

图⼀解：（1）()[()(1)]f t t t t εε=-- （2分）（2分）（3 ()2()[()(2)]h t t t t δεε=--- （2分）2211()2[()](1)2(1)j j H j e e j j ωωωπδωωω--=-+-=-- （4分）三、（18分）已知)(t f 的频谱函数为)(ωj F ，其频谱图如图⼆所⽰。

信号与系统第七章课后答案

第 7 章习题答案
7-1 分别绘出下列各序列的图形。 （2）x[n] 2n u[n] （3）x[n] (1/ 2)n u[n] （4）x[n] (2) n u[ n] （1）x[n] (1/ 2)n u[n] 解：
x[ n ]
1
x[n]
1
0 1 2 (1) 3 4
n
0
1
2 3 (2)
x[n]
1
x[n]
-4
-3
-2 (1)
-1
0
n
0
1
2 (2)
3
4
n
x[n]
-4 1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0
x[n] n
-1
n
(4)
(3)
7-3
分别绘出下列各序列的图形。 （2） x[n] cos
n 10 5
n （1） x[n] sin 5
1 z2 X (z) ( 1 1 2 z 1 )( 1 2 z 1 ) ( z 1 2 )( z 2 ) X (z) z 1 4 z ( z 1 2 )( z 2 ) 3( z 1 2 ) 3( z 2 )
X (z)
z 4z 3( z 1 2 ) 3 ( z 2 )
N
)
由于 x[n] 、 h[n] 均为因果序列，因此 y[n] 亦为因果序列，根据移位性质可求得
y [ n ] Z 1 [Y ( z )]
1 1 (1 a n 1 ) u [ n ] (1 a n 1 N ) u [ n N ] 1 a 1 a
7-24 计算下列序列的傅里叶变换。
(2)

武汉科技大学_信号与系统习题精解第6章

4. LTI 系统的数学模型（输入输出方程） 一个 n 阶 LTI 连续系统，若其激励为 f (t ) ，响应为 y( t ) ，则描述该系统输入输出关系的 数学模型是 n 阶常系数线性微分方程，它可以写为：
n m
∑ ai y ( i) (t ) = ∑ b j f ( j) (t)
i= 0 j= 0
∑ a N − i y ( n − i ) = ∑ bM − j f ( n − j )
i= 0 j= 0
（ 6-7）
式中， a i (i
= 0,1,⋯, N ) 和 b j ( j = 0,1,⋯ , M ) 都是常数，且 aN = 1 。
5. 系统的框图表示 表 6-1 中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励 f (⋅ ) 与响应 y (⋅) 之间的运 算关系（箭头表示信号传输的方向） 。
f ' (t ) → y f ' ( t )
（6-4） （6-5）
∫
（4）因果性： 如果 f (⋅ ) = 0 ， t （5）稳定性：
t
−∞
f ( x) dx → ∫ y f ( x )dx
−∞
t
< t0 （或 k < k0 ） ，则 y f (⋅ ) = 0 ， t < t0 （或 k < k 0 ）
（ 6-16）
（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系 统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响 应。 ） 8. LTI 系统时域分析中根据初始状态（ 0 − 状态）求初始条件（ 0 + 状态） “初始条件”（或 0 + 状态） ：在 t = 0 + 时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即 y (i ) (0 + ) ， 其中 i = 0,1,⋯ , n − 1 。

信号与系统第七章课后习题答案



k 1
z
1
k
1 z 1 z
0 z
F( z )
k 1
f (k )z k

k
[(k 1) (k 2)]z k z2 z 1 z

k 1
z k z 1 z 1
例 7.1- 2 已知无限长因果序列f(k)=akε(k)。求f(k)
d d k f ( k ) ( z ) ( z ) F ( z ) z dz dz
d d d z k f ( k ) ( z ) z F ( z ) dz dz dz
|a|<|z|<|b|
Im[z]
Im[z] |a |
Im[z]
|a | o Re[z] o Re[z] o
|a|
Re[z] |b |
(a)
(b)
(c)
图 7.1-1 例7.1-2、例7.1-3、例7.1-4图
7.1.3 常用序列的双边Z变换
(1) f (k ) (k )。
F ( z)
k
例 7.2-3 已知
1 k 1 f (k ) 3 (k 1), 2
k
求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解 令f1(k)=3k+1ε(k+1)，则有
1 f ( k ) f1 ( k ) 2
z z2 由于 F1 ( z ) Z [ f1 (k )] z z3 z3
k
(k ) z k 1

（2） f1 (k ) (k m), f 2 (k ) (k m), m为正整数.
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170第7章 连续时间系统的频域分析7.1 学习要点1 频率响应的定义频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换)(Ωj Y 与激励的傅里叶变换)(Ωj F 之比，即)()()(ΩΩΩj F j Y j H def=。

)(Ωj H 可写为：()ΩϕΩΩj ej H j H )()(=,其中，)(Ωj H 是输出与输入信号的幅度之比，称为幅频特性（或幅频响应）；)(Ωϕ是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。

2虚指数信号通过线性系统假设一个单位冲激响应为)(t h 的线性时不变系统，若有激励信号∞<<∞-=t et f tj Ω)(则系统的零状态响应为：tj f ej H t y ΩΩ)()(=所以，当虚指数信号tj e Ω通过线性系统时，其零状态响应就是用tj e Ω乘以)(Ωj H 。

3 正弦信号通过线性系统若线性系统的激励为正弦信号∞<<∞-+==-t eeA t A t f tj tj )(2cos )(ΩΩΩ则系统的零状态响应为：[])(cos )())((2)(ΩϕΩΩΩΩΩ+=+=-t j H A eej H A t y tj tj f所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与)(Ωj H 模值的乘积，其相位为激励的初相位与)(Ωj H 相位的和。

4 非正弦周期信号通过线性系统周期为T 的非正弦周期信号)(t f 可展开为：∑∞-∞==n tjn neFt f Ω)(171式中，dt et f TF TTtjn n ⎰--=22)(1Ω则线性系统对该信号的零状态响应为：tjn n nf ejn H Ft y ΩΩ)()(∑∞-∞==[])()()(ΩθΩϕΩΩn n t n j n n ejn H F ++∞-∞=∑=[])()(cos )(210ΩθΩϕΩΩn n t n jn H FF n n+++=∑∞=式中，)(Ωθn j n n eF F =，)()()(ΩϕΩΩn j ejn H jn H = 。

所以，当周期信号)(t f 作用于线性系统时，其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励信号的周期相同。

5 非周期信号激励下系统的响应当线性时不变系统的单位冲激响应为)(t h ，激励为)(t f 时，系统的零状态响应为：)(*)()(t h t f t y =对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：)()()(ΩΩΩj H j F j Y =即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。

在求得)(Ωj Y 后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。

6 系统实现无失真传输的条件：（1）系统在全部频率范围(,)-∞+∞内为常数，即系统的通频带应为无穷大；（2）系统的相频特性应为通过原点的直线，即)(Ωϕ在整个频率范围内与Ω成正比。

设输入信号为)(t f ，那么经过无失真传输，输出信号应该为：()()d y t Kf t t =-，即输出信号的幅度是输入信号幅度的K 倍，而且比输入信号延时了d t 秒。

其幅频响应和相频响应分别为：⎭⎬⎫-==d t K j H ΩΩϕΩ)()(信号通过系统的延时为：ΩΩϕd d t d )(-=7 理想低通滤波器的定义具有图7-1所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤波器。

172图7-1 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性可见，该滤波器对低于c Ω的频率成分不失真地全部通过，而对高于c Ω的频率成分完全抑制掉，称c Ω为截止角频率。

所以，c ΩΩ<的频率范围称为通带；c ΩΩ>的频率范围称为阻带。

理想低通滤波器的频率响应函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><=-cc t j dKej H ΩΩΩΩΩΩ 0)(8 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应为：)]([)(d c c t t Sa K t h -=ΩπΩ取1=k ，其波形如图7-2所示。

图7-2 理想低通滤波器的冲激响应由图7-2可知，冲激响应)(t h 的波形不同于激励信号()t δ的波形，产生了严重失真。

另外，冲激响应)(t h 在0<t 的时候存在，这说明理想低通滤波器是一个非因果系统，是物理不可实现的系统。

9 理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应为：)]([2)(d c t t Si KK t g -+=Ωπ取1=k ，)(t g 的波形如图7-3所示。

173图7-3 理想低通滤波器的阶跃响应由图7-3可知，理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，这表明阶跃响应的建立需要一段时间；同时波形出现过冲激振荡，这是由于理想低通滤波器是一个带限系统所引起的。

7.2 精选例题例1 已知一个连续LTI 系统可用)()(2)(t f t y dtt dy =+描述，利用傅里叶变换求下列输入信号作用下的输出)(t y ： （1）)()(t u e t f t -=（2）)()(t u t f =解：对微分方程求傅里叶变换，得：)()(2)(ΩΩΩΩj F j Y j Y j =+频率响应为：ΩΩΩΩj j F j Y j H +==21)()()(（1）输入)()(t u e t f t-=，其傅里叶变换为ΩΩj j F +=11)(，ΩΩΩΩΩj j j H j F j Y +-+==2111)()()(求其反变换可得)()()(2t u eet y tt---=。

（2）输入)()(t u t f =，其傅里叶变换为ΩΩπδΩj j F 1)()(+=，ΩΩΩπδΩΩΩπδΩΩΩj j j j j H j F j Y +⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==2121121211)()()()(174求其反变换可得)()1(21)(2t u et y t--=。

例2 如例2图所示的RC 电路，若激励电压源)(t U s 为单位阶跃信号)(t u ，求电容电压)(t U c 的零状态响应。

例2图解：电路的频率响应函数为：ΩααΩΩΩΩΩΩj RCj RC Cj R C j j U j U j H s c +=+=+==1111)()()(式中，RC1=α。

单位阶跃信号)(t u 的傅里叶变换为：ΩΩπδΩj j U s 1)()(+=可得零状态响应)(t U c 的频谱函数为：)()(1)()()()(ΩαΩαΩδΩααπΩΩπδΩααΩΩΩj j j j j j U j H j U s c +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++== 考虑到冲激函数的取样性质，得：ΩαΩΩπδΩj j j U c +-+=11)()(取上式的傅里叶反变换，得输出电压)()1()()sgn(2121)(t u et u et t U ttc αα---=-+=式中，RC1=α。

例3 某LTI 系统的频率响应为ΩΩΩj j j H +-=22)(，若系统输入为)2cos()(t t f =，求该系+-()s U t RC+-()c U t175统的输出)(t y 。

解：因为[])2()2()(-++=ΩδΩδπΩj F ，所以系统的输出)(t y 的傅里叶变换)(Ωj Y 为：[][])2()2()2()2(22)()()(-++=-++⋅+-==ΩδΩδπΩδΩδπΩΩΩΩΩj j j j F j H j Y 得输出为t t y 2sin )(=。

例4 已知某一理想低通滤波器的频率响应为)()(240ΩΩG j H =，若输入信号为)10(cos )100cos(20)(42t t t f =，求输出()t y 。

解：对输入信号进行化简，得：t t t t f )100102cos(5)102100cos(5)100cos(10)(44-⨯+⨯++=即输入信号包含了三个频率成分：1000=Ω，41102100⨯+=Ω以及10010242-⨯=Ω。

由于系统频率响应是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让1000=Ω的频率分量通过，而1Ω和2Ω无法通过，故)100cos(10)(t t y =。

例5 已知系统框图如例5图所示，其中)(1t G 为门函数，子系统的单位冲激响应为：∑+∞-∞=-=n n t t h )2()(1δ， ttt hππ23s i n)(2=系统输入为t t e πcos )(=（+∞<<∞-t ）。

（1）求子系统输出)(t ω的傅里叶变换；（2）证明)(t ω傅里叶系数为2cos )1(12ππk k C k -=；（3）求系统的稳态响应。

例5图解：（1）[])()()()(11t h t G t e t *⋅=ω，()tω()t (e t176因为 [])()()()(πΩδπΩδπΩ++-=↔j E t e ，⎪⎭⎫⎝⎛↔2)(1ΩSa t G 由频域卷积定理得：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛*++-↔⋅22212)()(21)()(1πΩπΩΩπΩδπΩδππSa Sa Sa t G t e 再由时域卷积定理可得：)(2221)()(1ΩπΩπΩΩωj H Sa Sa j W t ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=↔ 而∑+∞-∞=-=n n t t h )2()(1δ的周期2=T，角频率为πΩ=1，由于其单周期)()(10t t h δ=的傅里叶变换为1)(10=Ωj H ，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：∑∑+∞-∞==+∞-∞==⋅=n jn jn n n eej H Tt h πΩΩΩΩ21|)(1)(1101故其傅里叶变换为：∑∑+∞-∞=+∞-∞=-=-=n n n n j H )()(221)(1πΩδππΩπδΩ则)(12cos2)()(2cos2)(2221)(22221πΩδππΩδππππΩπΩπΩΩn nn n n n j H Sa Sa j W n n -⋅-=-⋅--=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∞+-∞=∞+-∞= （2）由（1）知)(t ω也是周期2=T ，角频率为πΩ=1的周期信号。

若)(t ω的傅里叶级数为1)(Ωωjn n neWt ∑+∞-∞==，则其傅里叶变换为：)(2)(πΩδπΩn Wj W n n-=∑+∞-∞=与（1）的结果相对比直接可得)1(2cos2n n W n -=ππ。

177（3）由傅里叶变换的对称性可知)(23sin)(32ΩπππG ttt h ↔=，即系统)(2t h 是一个理想低通滤波器，其截止频率为23π。

由（2）知)(t ω的基波频率为πΩ=1，则2次谐波和2次谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：)c o s (211)(411)(t eet r tj tj πππππ+=++=-例6已知系统的单位冲激响应为t ttt h 1000cos 24sin )(⋅=π，输入t ttt f 997cos 25sin )(⋅=π，求系统的输出)(t y 。