第34届全国中学生物理竞赛预赛考试(有答案)

第 34 届全国中学生物理比赛初赛试卷一、选择题．此题共 5 小题，每题 6 分．在每题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项切合题意，有的小题有多项切合题意．把切合题意的选项前方的英文字母写在每题后边的方括号内．所有选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错或不答的得 0 分．1．下述实验或现象中，能够说明光拥有粒子性的是()A．光的双缝干预实验B．黑体辐射 C．光电效应 D．康普顿效应1．黑体辐射：在任何条件下，对任何波长的外来辐射完整汲取而无任何反射的物体，但黑体未必是黑色的，比如太阳是一个黑体在黑体辐射中，跟着温度不一样，光的颜色各不相同，黑体表现由红——橙红——黄——黄白——白——蓝白的渐变过程。

普朗克由黑体辐射提出能量子的看法！ CD显然正确！选 BCD．系统l 和系统2质量相等，比热容分别为1和2，两系统接触后达到共同温度T；整个过2 C C程中与外界 ( 两系统以外 ) 无热互换。

两系统初始温度T1和 T2的关系为 ( )A．T1 C2 T－T2)－T ． T1 C1 T－T2)－ T =C1(B=C2(C．T1 C1 T－T2 T ．T1 C2 T－T2 T=C2()+ D=C1()+从表达式看，应是物体 1 的放热 =物体 2 的吸热，成立方程： C1m(T1－ T)=C2m(T－ T2)选 D3．假定原子核可视为均匀球体。

质量数为 A 的中重原子核的半径R 可近似地用公式R=R0A1/3 表示，此中 R0为一常量。

关于核子数相同的原子核，以下说法正确的选项是() A．质量密度是基真相同的B．电荷密度是基真相同的C．表面积是基真相同的D．体积是基真相同的核子数相同→质量数相同→由题知半径相同→CD对；质量数相同→质量基真相同→质量密度基真相同选ACD4．一颗人造地球通信卫星 ( 同步卫星 ) 对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ 0－θ 到东经θ 0+θ 之间的地区。

已知地球半径为R0，地球表面处的重力加快度大小为g，地球自转周期为 T . Δθ的值等于 ( )4π2R0 1/3 4π2R01/3A．arcsin( T2g) B．2 arcsin( T2g )C．arccos ( 4π2R01/3 D 4π2R01/32 ) ．2arccos ( 2 )T g T gR第一算出同步卫星绕地球公转的半径r ，地球自己半径为R，几何关系如右图所示，同步卫星选 C r θ地球5．有 3 种不一样波长的光，每种光同时发出、同时中止，且光强都相同，总的光强为I ，脉冲宽度 ( 发光连续时间 ) 为τ，光脉冲的光强 I 随时间 t 的变化如下图。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析版一、选择题．本题共 小题，每小题 分．在每小题给出的 个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得 分，选对但不全的得 分，有选错或不答的得 分．．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是☎ ✆✌．光的双缝干涉实验 ．黑体辐射 ．光电效应 ．康普顿效应．系统●和系统 质量相等，比热容分别为 和 ，两系统接触后达到共同温度❆；整个过程中与外界☎两系统之外✆无热交换。

两系统初始温度❆ 和❆ 的关系为☎ ✆✌．❆☎❆－❆ ✆ －❆ ．❆☎❆－❆ ✆ －❆．❆☎❆－❆ ✆ ❆ ．❆☎❆－❆ ✆ ❆．假设原子核可视为均匀球体。

质量数为✌的中重原子核的半径 可近似地用公式 ✌ 表示，其中 为一常量。

对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是☎ ✆✌．质量密度是基本相同的 ．电荷密度是基本相同的 ．表面积是基本相同的 ．体积是基本相同的．一颗人造地球通讯卫星☎同步卫星✆对地球的张角能覆盖赤道上空东经→ － →到东经→ →之间的区域。

已知地球半径为 ，地球表面处的重力加速度大小为♑，地球自转周期为❆  →的值等于☎ ✆✌．♋❒♍♦♓⏹☎ ⇨ ❆ ♑ ✆． ♋❒♍♦♓⏹☎ ⇨❆ ♑ ✆．♋❒♍♍☐♦ ☎ ⇨ ❆ ♑ ✆． ♋❒♍♍☐♦ ☎ ⇨❆ ♑ ✆ ．有 种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为✋，脉冲宽度☎发光持续时间✆为⇳，光脉冲的光强✋随时间♦的变化如图所示。

该光脉冲正入射到一长为☹的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面的反射损失。

在通过玻璃棒后光脉冲的光强✋随时间♦的变化最可能的图示是☎虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图✆☎ ✆二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．．☎分✆如图，一个球冠形光滑凹槽深度♒ ❍，球半径为❍．现将一质量为 ♑的小球放在凹槽边缘从静止释放。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析版一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是()A．光的双缝干涉实验B．黑体辐射C．光电效应D．康普顿效应2．系统l和系统2质量相等，比热容分别为C1和C2，两系统接触后达到共同温度T；整个过程中与外界(两系统之外)无热交换。

两系统初始温度T1和T2的关系为()A．T1=B．T1=C．T1=D．T1=3．假设原子核可视为均匀球体。

质量数为A的中重原子核的半径R可近似地用公式R=R0A1/3表示，其中R0AC4．θ之间的A．5．有(发光持续时间)为(虚线6．．7．8．C；经过无9．z=010．u做匀)，理由是__________________________________________________________________________。

三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．(20分)某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示。

A、B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d(d<<l)。

火柴棍A的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部(可近似忽略球状头部的尺度)，另一端顶在火柴棍C的中点。

这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水。

(1)如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水?为什么?(2)加上火柴棍B和C、小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移，通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是( )A．光的双缝干涉实验 B．黑体辐射 C．光电效应 D．康普顿效应1．黑体辐射：在任何条件下，对任何波长的外来辐射完全吸收而无任何反射的物体，……但黑体未必是黑色的，例如太阳是一个黑体……在黑体辐射中，随着温度不同，光的颜色各不相同，黑体呈现由红——橙红——黄——黄白——白——蓝白的渐变过程。

……普朗克由黑体辐射提出能量子的观点！CD明显正确！……选 BCD2．系统l和系统2质量相等，比热容分别为C1和C2，两系统接触后达到共同温度T；整个过程中与外界(两系统之外)无热交换。

两系统初始温度T1和T2的关系为( )A．T1=C2C1(T－T2) －T B．T1=C1C2(T－T2) －TC．T1=C1C2(T－T2) +T D．T1=C2C1(T－T2) +T从表达式看，应是物体1的放热=物体2的吸热，建立方程：C1m(T1－T)=C2m(T－T2)……选D3．假设原子核可视为均匀球体。

质量数为A的中重原子核的半径R可近似地用公式R=R0A1/3表示，其中R0为一常量。

对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是( ) A．质量密度是基本相同的 B．电荷密度是基本相同的C．表面积是基本相同的 D．体积是基本相同的核子数相同→质量数相同→由题知半径相同→CD对；质量数相同→质量基本相同→质量密度基本相同……选 ACD4．一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ0－Δθ到东经θ+Δθ之间的区域。

已知地球半径为R0，地球表面处的重力加速度大小为g，地球自转周期为T . Δθ的值等于( )A．arcsin( 4π2R0T2g)1/3 B．2 arcsin(4π2R0T2g)1/3C．arccos ( 4π2R0T2g)1/3 D．2首先算出同步卫星绕地球公转的半径r，地球自身半径为R选C5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为I，脉冲宽度(发光持续时间)为τ，光脉冲的光强I随时间t的变化如图所示。

第 34 届全国中学生物理比赛初赛试卷一、．本共 5 小，每小 6 分．在每小出的 4 个中，有的小只有一切合意，有的小有多切合意．把切合意的前面的英文字母写在每小后边的方括号内．所有的得 6 分，但不全的得 3 分，有或不答的得 0 分．1．下述或象中，能明光拥有粒子性的是()A．光的双干预B．黑体射C．光效D．康普效1．黑体射：在任何条件下，任何波的外来射完整汲取而无任何反射的物体，⋯⋯但黑体未必是黑色的，比如太阳是一个黑体⋯⋯在黑体射中，跟着温度不一样，光的色各不相同，黑体呈由——橙——黄——黄白——白——白的程。

⋯⋯普朗克由黑体射提出能量子的点！CD明正确！⋯⋯ BCD2．系l和系2量相等，比容分1和2，两系接触后达到共同温度T；整个C C程中与外界 ( 两系以外 ) 无交。

两系初始温度T1和 T2的关系 ( )C2C1A．T1=C1(T－T2)－ T B ．T1=C2( T－T2) －TC1C2C．T1=C2( T－T2) + T D ．T1=C1( T－T2) + T从表达式看，是物体 1 的放 =物体 2 的吸，成立方程： C1m(T1－ T)=C2m(T－ T2) ⋯⋯D3．假原子核可均匀球体。

量数 A 的中重原子核的半径R 可近似地用公式R=R0A1/3表示，此中 R0一常量。

于核子数相同的原子核，以下法正确的选项是() A．量密度是基真相同的B．荷密度是基真相同的C．表面是基真相同的D．体是基真相同的核子数相同→ 量数相同→由知半径相同→CD；量数相同→ 量基真相同→ 量密度基真相同⋯⋯ACD4．一人造地球通星 ( 同步星 ) 地球的角能覆盖赤道上空θ 0－θ 到θ 0+θ 之的地区。

已知地球半径R0，地球表面的重力加快度大小g，地球自周期 T . Δθ的等于 ()A．arcsin(4π2R0)1/3B．2 arcsin(4π2R0)1/3 T2g T2gC．arccos (π2R0)1/3D．2arccos (π2R0)1/34 2 4 2T g T gR第一算出同步星地球公的半径r ，地球自己半径R，几何关系如右所示，⋯⋯同步卫星C rθ地球5．有 3 种不一样波的光，每种光同出、同中止，且光都相同，的光I ，脉冲度 ( 光持 )τ，光脉冲的光I随t的化如所示。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷 班级__________ 姓名__________一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是( )A ．光的双缝干涉实验B ．黑体辐射C ．光电效应D ．康普顿效应2．系统l 和系统2质量相等，比热容分别为C 1和C 2，两系统接触后达到共同温度T ；整个过程中与外界(两系统之外)无热交换。

两系统初始温度T 1和T 2的关系为( )A ．T 1=C 2C 1(T －T 2) －TB ．T 1=C 1C 2(T －T 2) －T C ．T 1=C 1C 2(T －T 2) +TD ．T 1=C 2C 1(T －T 2) +T3．假设原子核可视为均匀球体。

质量数为A 的中重原子核的半径R 可近似地用公式R =R 0A 1/3表示，其中R 0为一常量。

对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是( )A ．质量密度是基本相同的B ．电荷密度是基本相同的C ．表面积是基本相同的D ．体积是基本相同的4．一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ0－Δθ到东经θ0+Δθ之间的区域。

已知地球半径为R 0，地球表面处的重力加速度大小为g ，地球自转周期为T . Δθ的值等于( )A ．arcsin( 4π2R 0T 2g )1/3B ．2 arcsin( 4π2R 0T 2g )1/3C ．arccos ( 4π2R 0T 2g )1/3D ．2arccos ( 4π2R 0T 2g )1/35．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为I ，脉冲宽度(发光持续时间)为τ，光脉冲的光强I 随时间t 的变化如图所示。

第 34 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 一、选择题．本题共 5 小题，每小题 6 分．在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项 符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的 方括号内．全部选对的得6 分，选对但不全的得3 分，有选错或不答的得0 分． 1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是( ) A ．光的双缝干涉实验B．黑体辐射C．光电效应D．康普顿效应1．黑体辐射： 在任何条件下， 对任何波长的外来辐射完全吸收而无任何反射的物体， ⋯ ⋯但黑体未必是黑色的，例如太阳是一个黑体⋯ ⋯ 在黑体辐射中，随着温度不同，光的颜色各 不相同，黑体呈现由 红 ——橙 红 ——黄——黄白——白——蓝白的渐变过程。

⋯ ⋯ 普朗克由 黑体辐射提出能量子的观点！CD 明显正确！ ⋯ ⋯ 选 BCD2．系统 l 和系统 2 质量相等，比热容分别为 C 1 和 C 2，两系统接触后达到共同温度 T ；整个过 程中与外界 ( 两系统之外 ) 无热交换。

两系统初始温度 T 1 和 T 2 的关系为 ( )C 2C 1A ．T 1= ( T －T 2) －TB ．T 1= ( T －T 2) －TC 1C 2C 1C 2C ．T 1=C 2( T －T 2) + TD．T 1=C 1( T －T 2) + T从表达式看， 应是物体 1 的放热 =物体 2 的吸热，建立方程：C1m(T1－T)=C2m(T －T2)⋯ ⋯ 选 D1/3 3．假设原子核可视为均匀球体。

质量数为 A 的中重原子核的半径 R 可近似地用公式 R=R 0A表示，其中 R 0 为一常量。

对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是()A ．质量密度是基本相同的B ．电荷密度是基本相同的C ．表面积是基本相同的D．体积是基本相同的核子数相同→质量数相同→由 题知半径相同→ CD 对；质量数相同→质量基本相同→质量密度基本相同⋯ ⋯ 选 ACD范文范例学习参考4．一颗人造地球通讯卫星 ( 同步卫星 ) 对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ 0－Δ θ 到东经 θ 0+Δθ 之间的区域。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解析1．黑体辐射：在任何条件下，对任何波长的外来辐射完全吸收而无任何反射的物体，……但黑体未必是黑色的，例如太阳是一个黑体……在黑体辐射中，随着温度不同，光的颜色各不相同，黑体呈现由红——橙红——黄——黄白——白——蓝白的渐变过程。

……普朗克由黑体辐射提出能量子的观点！CD 明显正确。

……选 BCD2．从表达式看，应是物体1的放热=物体2的吸热，建立方程：C 1m (T 1－T )=C 2m (T －T 2)……选D 3．核子数相同→质量数相同→由题知半径相同→CD 对；质量数相同→质量基本相同→质量密度基本相同……选 ACD4．首先算出同步卫星绕地球公转的半径r ， 地球自身半径为R ，几何关系如右图所示，…… 选C 5．因为能量是没有损失的，所以通过玻璃棒后 光脉冲的光强(图中实线总面积)应该与原来的光强(虚线 面积)相同。

又因为是三种不同波长的光，所以在同种介质中传播的速度都不相同，所以到达玻璃棒右端点的时间都不同，所以……选D6．典型的单摆模型：T =2πL g =8.88 s ，实际时间是14T =2.22 s 7．两束光到达I 位置的光程差记为d ；对于波长为λ1而言，d =32 λ1 ；对于波长为λ2的单色光而言，d =λ2，故λ2：λ1=38两者电势相等！由第一次知，当电荷量为4μC ：2μC 时，1时，两者电势相等。

……故最终为6μC ：3μC ！ 答案：3μC 9．过F 平行于透镜，作一副光轴。

把过原点O (薄透镜光心)延长后交副光轴于P ，则所有光汇聚于P 点。

故位置坐标为(20, 10．不守恒；墙壁对弹簧有作用力(外力)该力的作用点有位移，所做的功不为零。

11．(1)不能。

从力的平衡看，单一的A 矿泉水的重力平衡。

从力矩的平衡看，重物相对于支撑点O 有一力矩，此力矩没有其它力矩与其平衡，会使火柴棍转动直至掉下。

(2)由于火柴棍A 水平，火柴棍B 的下端正好在A 的中点的正下方，由几何关系知，火柴棍A 和B 之间的夹角为α=60°。

第34届全国中学生物理竞赛试题模拟★ 理论部分一、A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与BC 的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O 与B 球所在处重合，x 轴正方向和y 轴正方向如图．另一质量也是m 的刚性小球D 位于y 轴上，沿y 轴负方向以速度v 0（如图）与B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距A ，B ，C 三球组成的系统的质心最近．二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU （AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m ），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u 0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R e = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s 2 ，不考虑空气的阻力．三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S 的绝热气缸内，有一质量为m 的绝热活塞A 把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A 之间串联着两个劲度系数分别为k 1和k 2（k 1≠k 2）的轻质弹簧．A 的上方为真空；A 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A 所在处的高度（其下表面与yCv 0l αO xA l B缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h 1 = H / 4 ．现给电炉丝R 通电流对气体加热，使A 从高度h 1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h 2 = 3H / 4 ．求此过程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K 吸收的热量为3R / 2 ，R 为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B ．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R 1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R 2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U 时，介质中离球心O 的距离为r 处的场强为E =R 1R 2R 2－R 1 Ur 2，场强方向沿径向．1．已知绝缘子导体球壳的内半径R 2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度E k = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强E ＞E k 时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R 1应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？HAB 图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C 0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C 1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C 2 ．若高压输电线对地电压的有效值为U 0 ．试画出该系统等效电路图．3．若C 0 = 70 pF = 7 × 10－11F ，C 1 = 5 pF ，C 2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）．五、如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O 为原点，建立一直角坐标系Oxy ，y 轴与玻璃管的轴线重合．在x 轴上与原点O 的距离为d 处固定放置一电荷量为Q 的正点电荷A ，一个电荷量为q （q ＞0）的粒子P 位于管内，可沿y 轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．1．求放在管内的带电粒子P 的质量m 满足什么条件时，可以在y ＞0的区域内存在平衡位置．2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m ．以y （m ）表示质量为m 的粒子P 处于平衡位置时的y 坐标．当粒子P 处于稳定平衡状态时，y （m ）的取值区间是_________________；当粒子P 处于不稳定平衡状态时，y （m ）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．3．已知质量为m 1的粒子P 处于稳定平衡位置，其y 坐标为y 1 ．现给P 沿y 轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．4．已知质量为m 2的粒子P 的不稳定平衡位置的y 坐标为y 2 ，现设想把P 放在坐标y 3 处，然后从静止开始释放P ．求释放后P 能到达玻璃管底部的所有可能的y 3（只要列出y 3满足的关系式，不必求解）．六、yG POdAx如图所示，一半径为R 、折射率为n g 的透明球体置于折射率n 0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O 处，左、右球面与光轴的交点为O 1与O 2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O 1点左侧有一发光物点P ，P 点到球面顶点O 1的距离为s ．由P 点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．1．问发光物点P 经此反射器，最后的像点位于何处？2．当P 点沿光轴以大小为v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率n g 取何值时像点亦做匀速运动．七、已知钠原子从激发态（记做 P 3 / 2）跃迁到基态（记做 S 1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0=588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z 轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以 θ 表示钠原子运动方向与z 轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间内的钠原子中速率u 在什么范围内能产生共振吸收，从S 1 / 2 态激发到P 3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为M = 3.79 × 10－26kg ，普朗克常量h = 6.626069 × 10－34J • s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108 m • s －1 ．第34届全国中学生物理竞赛参考解答一、1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D 与B 球发生弹性正碰，所以碰后D 球的速度钠原子激光束u zθ方向仍在y 轴上；设其方向沿y 轴正方向，大小为v ．由于线不可伸长，所以在D ，B 两球相碰的过程中，A ，C 两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A 球的速度沿AB 方向，C 球的速度沿CB 方向．用θ表示B 球的速度方向与x 轴的夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接A ，B ，C 三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动．2．研究碰撞后各球速度的大小．以v 1 ，v 2 ，v 3 分别表示刚碰后A ，B ，C 三球速度的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x 方向有mv 1－mv 3 cos α + mv 2 cos θ = 0 ； （1）沿y 方向有－mv 0 = mv － mv 2 sin θ －mv 3 sin α ． （2）根据能量守恒有12mv 20 = 12mv 21 + 12mv 22 + 12mv 23 + 12mv 2． （3） 因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿AB 方向的速度分量相等，有v 2 cos θ = v 1 ， （4） v 2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v 3 ． （5）将α = π / 3代入，由以上各式可解得v 1 = 312v 0， （6） v 2 = 216v 0， （7） v 3 =33v 0， （8） v = 14v 0 ． （9）3．确定刚碰完后，A ，B ，C 三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短，刚碰后A ，B ，C 三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（x c ，y c ）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有x c = ml cos α－ml3m ， （10）y c =ml sin α3m． （11） 代入数据，得x c = － 16l，（12）y c = 36l．（13）根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度v c的分量为v c x = mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα3m，（14）v c y = －mv2 sinθ－mv3sinα3m．（15）由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得v c x = 0 ，（16）v c y =－512v0．（17）4．讨论碰后A，B，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A，B，C三球组成的系统的质心将从坐标（x c =－l / 6，y c = 3l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0/ 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0/ 4的速度做匀速直线运动．A，B，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则v C，v D不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有vt = y c+ v c y t（18）将v c y ，v，y c的值代入，得t =3l4v0．（19）此时，D球与A，B，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 ．在求出（19）式的过程中，假设了在t = 3l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；因为v3 = 3v0/ 3 ，它在x方向分量的大小为3v0/ 6．经过t时间，它沿x轴负方向经过的距离为l / 8 ．而C球的起始位置的x坐标为l / 2 ．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．二、从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的Ar sePv距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E 表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为r se 的圆A 是地球绕太阳运行的轨道，太阳S 位于圆心．设椭圆B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近日点．由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a 应与日地距离r se 相等，即有a = r se （1）根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a ，由此可以断定，两轨道的交点E 必为椭圆短轴的一个顶点，E 与椭圆长轴和短轴的交点Q （即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴b =r 2se － ( a － SP )2 ． （2）由（1），（2）两式，并将a = r se = 1AU ，SP = 0.01 AU 代入，得b = 0.141AU ． （3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E 点的速度为v ，在近日点的速度为v p ，飞船的质量为m ，太阳的质量为M s ，则有mva sin θ = mv p SP ， （4）式中θ为速度v 的方向与E ，S 两点连线间的夹角：sin θ = ba． （5）由机械能守恒，得12mv 2 －G M s m a = 12mv 2p － GmM s SP． （6） 因地球绕太阳运行的周期T 是已知的（T = 365 d ），若地球的质量为M e ，则有GM s M e a 2 = M e ( 2πT)2a ． （7） 解（3）～（7）式，并代入有关数据，得v = 29.8 km / s ． （8）（8）式给出的v 是飞船在E 点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E 点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在E 点飞船相对地球的速度为u ，因地球相对于太阳的公转速度为v e =2πaT= 29.8 km / s ， （9） 方向如图1所示．由速度合成公式，可知v = u + v e ， （10）速度合成的矢量图如图2所示，注意到v e 与ES 垂直，有u =v 2 + v 2e －2vv e cos ( π2－θ ) ， （11） 代入数据，得u = 39.1 km / s ． （12）u 是飞船在E 点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u 0 ．为了求得u 0 ，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为u 0时，飞船离地心的距离等于地球半径R e ．当飞船相对于地球的速度为u 时，地球引力作用可以忽略．由能量守恒，有12mu 20 －G M e m R e = 12mu 2 ． （13） 地面处的重力加速度为g = GM eR 2e， （14） 解（13），（14）两式，得u 0 = u 2 + 2gR e ． （15）由（15）式及有关数据，得u 0 = 40.7 km / s ． （16）如果飞船在E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变．此时，它应为图2u =v 2 + v 2e －2vv e cos ( π2+ θ ) ， （17） 相应计算，可得另一解u = 45.0 km / s ， u 0 = 46.4 km / s ． （18）如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E 点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变．三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k =k 1k 2k 1 + k 2． （1） 设活塞A 下面有νmol 气体．当A 的高度为h 1时，气体的压强为p 1 ，温度为T 1 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知p 1Sh 1 = vRT 1 ， （2） p 1S = kh 1 + mg ． （3）对气体加热后，当A 的高度为h 2时，设气体压强为p 2 ，温度为T 2 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知p 2Sh 2 = vRT 2 ， （4） p 2S = kh 2 + mg ． （5）在A 从高度h 1上升到h 2的过程中，气体内能的增量△U = v 32R ( T 2－T 1 ) ． （6）气体对弹簧、活塞系统做的功W 等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W = 12k ( h 22－h 21 ) + mg (h 2－h 1 ) ． （7） 根据热力学第一定律，有△Q =△U + W ． （8）由以上各式及已知数据可求得△Q =k 1k 2k 1 + k 2H 2 + 54mgH ． （9） 四、1．根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U 时，在距球心r （R 1＜ r ＜R 2）处，电场强度的大小为E =R 1R 2R 2－R 1 Ur 2． （1） 在r = R 1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以E （R 1）表示此场强，有E ( R 1) =R 2U(R 2－R 1) R 1． （2）因为根据题意，E （R 1）的最大值不得超过E k ，R 2为已知，故（2）式可写为E k =R 2U(R 2－R 1) R 1（3）或U = E k(R 2－R 1) R 1R 2 ． （4） 由此可知，选择适当的R 1值，使(R 2－R 1) R 1最大，就可使绝缘子的耐压U 为最大．不难看出，当R 1 =R 22（5） 时，U 便是绝缘子能承受的电压的最大值U k ．由（4），（5）两式得U k =E k R 24， （6） 代入有关数据，得U k = 155 kV ． （7）当交流电压的峰值等于U k 时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值U e =U k2110 kV ． （8） 2．系统的等效电路如图所示．3．设绝缘子串中间三点的电势分别为U 1 ，U 2 ，U 3 ，如图所示．由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有U 0 C 2C 2 C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 012011010012230211200223031230032()()()0,()()()0,()()0.U U C U C U U C U U C U U C U C U U C U U C U C U C U U C U U C -+----=⎧⎪-+----=⎨⎪+----=⎩ （9）四个绝缘子上的电压之和应等于U 0 ，即( U 0－U 1 ) + ( U 1－U 2 ) + ( U 2－U 3 ) + U 3 = U 0 ． （10）设△U 1 = U 0－U 1 ， △U 2 = U 1－U 2 ，△U 3 = U 2－U 3 ，△U 4 = U 3 ， （11） 则可由（9）式整理得1012200111220123001101220123012001()0,()()0,()()(2)()0;U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C U C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-+=⎩△△△△△△△△ 代入数据，得120123012307050,767050,76146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩76△△6△△△76△△△ （12） 解（12）式，可得△U 1 = 0.298 U 0 ， △U 2 = 0.252 U 0 ，△U 3 =0.228 U 0 ． （13）由（10）～（12）式可得△U 4 =U 3 = 0.222 U 0 ． （14）以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值△U 1 =U e （15）时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏．由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压U 0 C 2C 2 C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 0U 1U 2 U 3U 0max =U e0.298= 369 kV ． （16） 五、1．如图所示，位于坐标y 处的带电粒子P 受到库仑力F E 为斥力，其y 分量为F Ey = kQq r 2 sin θ = k Qqy ( d 2 + y 2)3 / 2， （1） 式中r 为P 到A 的距离，θ为r 与x 轴的夹角．可以看出，F Ey 与y 有关：当y 较小时，（1）式分子中的y 起主要作用，F Ey 随y 的增大而增大；当y 较大时，（1）式分母中的y 起主要作用，F Ey 随y 的增大而减小．可见，F Ey 在随y 由小变大的过程中会出现一个极大值．通过数值计算法，可求得F Ey 随y 变化的情况．令τ= y / d ，得F Ey = kQqd 2 τ( 1 +τ2)3 / 2． （2） 当τ取不同数值时，对应的τ( 1 +τ2)－3 / 2的值不同．经数值计算，整理出的数据如表1所示．表1τ0.100 0.500 0.600 0.650 0.700 0.707 0.710 0.750 0.800τ( 1 +τ2)－3 / 2 0.0985 0.356 0.378 0.382 0.385 0.385 0.385 0.384 0.381由表中的数据可知，当τ= 0.707，即y = y 0 = 0.707d （3）时，库仑力的y 分量有极大值，此极大值为F Ey max = 0.385kqQd 2． （4） 由于带电粒子P 在竖直方向除了受到竖直向上的F Ey 作用外，还受到竖直向下的重力mg 作用．只有当重力的大小mg 与库仑力的y 分量相等时，P 才能平衡．当P 所受的重力mg 大于F Ey max 时，P 不可能达到平衡．故质量为m 的粒子存在平衡位置的条件是mg ≤F Ey max ．由（4）式得m ≤0.385g k qQ d2 ． （5）y GPmgrOdxAF Ey2．y (m )＞ 0.707d ；0＜y (m )≤0.707d ．3．根据题意，当粒子P 静止在y = y 1处时，处于稳定平衡位置，故有132221()Qqy kd y －m 1g = 0 ． （6）设想给粒子P 沿y 轴的一小扰动△y ，则P 在y 方向所受的合力为F y = F Ey －m 1g = kQq ( y 1 +△y )[ d 2 + ( y 1 +△y )2 ]3 / 2－m 1g ． （7）由于△y 为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有F y = kQq ( y 1 +△y )[ d 2 + y 21 + 2y 1△y ]3 / 2－m 1g = kQq ( y 1 +△y )(d 2 + y 21 )3 / 2( 1 － 3y 1△yd 2 + y 21)－m 1g = k Qqy 1(d 2 + y 21 )3 / 2 + k Qq △y (d 2 + y 21 )3 / 2 － k 3qQy 21△y (d 2 + y 21 )5 / 2 － m 1g ．注意到（6）式，得F y =－ m 1g (2y 21－d 2 )(d 2 + y 21) y 1△y ． （8）因y = y 1是粒子P 的稳定平衡位置，故y 1＞0.707d ，2y 21－d 2＞0 ．由（8）式可知，粒子P 在y 方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为ω=(2y 21－d 2 )(d 2 + y 21) y 1g ， （9） 周期为T = 2πω=2π(d 2 + y 21 ) y 1(2y 21－d 2 ) g． （10）4．粒子P 处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A 的静电场中，具有静电势能．当P 的坐标为y 时，其重力势能W g = m 2gy ，式中取坐标原点O 处的重力势能为零；静电势能W E = kqQd2 +y2．粒子的总势能W = W g + W E = m2gy + kqQd2 +y2．（11）势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用．在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值．根据题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置，故y = y2处，势能具有极大值，即W ( y2 )= W max= m2gy2 + k qQd2 +y22．（12）当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为W ( y3 )= m2gy3 + k qQd2 +y23．当y3 ＜y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底．若y3 ＞y2 ，粒子从静止释放能够到达管底，则有W ( y3 ) ＞W ( y2 ) ．所以，y3满足的关系式为y3 ＜y2；（13）或者y3 ＞y2 且m2gy3 + k qQd2 +y23＞m2gy2 + kqQd2 +y22．（14）附：（1）式可表示为F Ey= k Qqr2sinθ= kQqd2cos2θsinθ，式中θ为P，A之间的连线和x轴的夹角．由上式可知，带电粒子P在θ= 0 ，π/ 2时，F Ey= 0 ．在0≤θ≤π/ 2区间，随着θ的增大，sinθ是递增函数，cos2θ是递减函数．在此区间内，F Ey必存在一个极大值F Ey max ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度θ0．经数个计算整理出的数据如表2所示．表2由表中数值可知，当θ= θ0≈0.615 rad（即35.26°）时，F Ey取极大值F Ey max= k Qqd2cos2θ0sinθ0 = 0.385 kQqd2．带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与F Ey相反．故带电粒子P受到的合力F = F Ey －G = k Qqd2cos2θsinθ－mg ．当F = 0 ，即F Ey= G 时，P处于平衡状态．由此可见，当带电粒子的质量m≤F Ey maxg=k ( qQ / d2 ) cos2θ0sinθ0g时，可以在y轴上找到平衡点．六、1．单球面折射成像公式可写成n′s′+ ns=n′－nr，（1）式中s为物距，s′为像距，r为球面半径，n和n′分别为入射光和折射光所在介质的折射率．在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）．（1）第一次成像．令s1和s′1分别表示物距和像距．因s1 = s ，n = n0 = 1，n′ = n g，r = R ，有n g s′1+ 1s1=n g－1R，（2）即s′1 =n g Rs( n g－1 ) s－R．（3）（2）第二次成像．用s2 表示物距，s′2 表示像距，有1 s′2+ 1s2=2r．（4）因s2 = 2R－s′1 ，r= R，由（3），（4）两式得s′2 = ( 2s + 2R－n g s )R3R + 3s－n g s．（5）（3）第三次成像．用s3 表示物距，s′3 表示像距，有n 0 s ′3 + n gs 3 = n 0－n g r． （6） 因s 3 = 2R －s ′2 ，n 0 = 1 ，r = －R ，由（5），（6）两式得s ′3 =( 4s －n g s + 4R )R2n g s －4s + n g R －4R． （7）2．以 v ′ 表示像的速度，则3222[4()()4](44)12()4()4244/.(244)(24)(244)g g g g g g g g g g g g s s n s s R R s n s R R s v t t n s s s s n R R n s s n R R n R s tn s s n R R s n n s s n R R ⎧⎫+-++-+'⎪⎪'==-⎨⎬+-++--+-⎪⎪⎩⎭-=-+-+--+-△△△△△△△△△△ （8）由于△s 很小，分母中含有△s 的项可以略去，因而有v ′ =－n 2g R 2(2n g s －4s + n g R －4R )2 △s △t． （9）根据题意，P 从左向右运动，速度大小为 v ，则有v = －△s△t． （10） 由此可得，像的速度v ′ =n 2g R 2v(2n g s －4s + n g R －4R )2． （11）可见，像的速度与 s 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动．当n =2 （12）时，（11）式分母括号中的头两项相消，v ′ 将与 s 无关．这表明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变为 v ′ = v ，即像的速度和P 的速度大小相等．七、解法一．根据已知条件，射向钠原子的激光的频率v =cλ． （1） 对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 θ 、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率v ′ = v ( 1 +uccos θ )； （2） 改用波长表示，有λ′ =λ1 + uccos θ． （3）发生共振吸收时，应有 λ′ = λ0 ，即λ1 + uccos θ= λ0 ． （4）解（4）式，得u cos θ = c λ －λ0λ0； （5）代入有关数据，得u cos θ = 5.85 × 103 m • s－1． （6）由（6）式，对 θ =30° 的钠原子，其速率u 1 = 6.76 × 103 m • s－1；对 θ = 45° 的钠原子，其速率u 2 = 8.28 × 103 m • s－1 ．运动方向与 z 轴的夹角在 30°～45° 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 × 103 m • s－1＜ u ＜8.28 × 103 m • s－1． （7）共振吸收前后，动量守恒．设钠原子的反冲速率为 V ，则有Mu －hλe z= MV ． （8） 其中 e z 为 z 轴方向的单位矢量．由（8）式得u －V =hM λe z． （9） 钠原子速度（矢量）变化的大小为| u －V | =hM λ； （10） 代入数据，得| u －V | = 2.9 × 10－2 m • s －1 ． （11）解法二．根据已知条件，钠原子从激发态 P 3 / 2 跃迁到基态 S 1 / 2 发出的光谱线的频率v 0 =cλ0； （1） 入射激光的频率v =cλ． （2） 考查运动方向与 z 轴的正方向成 θ 角的某个钠原子．它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒．以 u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度，则有Mu －hvc e z= MV ， （3） 12Mu 2 + hv = 12MV 2 + hv 0 ． （4）把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于 z 轴方向的动量不变，有Mu sin θ = MV sin θ′ ， （5） Mu cos θ －hvc= MV cos θ′ ， （6） 式中θ′ 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角．从（5），（6）两式中消去θ′ ，得M 2u 2 －M 2V 2 = － ( hv c ) 2 + 2Mu hvccos θ ． （7）由（4），（7）两式可得2hv 0 －2hv = －1 M ( hv c )2 + 2hv uccos θ ． （8） 注意到( hv / c )2M ，得 v 0 = v ( 1 +uccos θ )； （9） 改用波长表示，有λ0 =λ1 + uccos θ． （10）解（10）式，得u cos θ = cλ －λ0λ0； （11） 代入有关数据，得u cos θ = 5.85 × 103 m • s－1． （12）由（12）式，对 θ =30° 的钠原子，其速率u 1 = 6.76 × 103 m • s－1；对 θ = 45° 的钠原子，其速率u 2 = 8.28 × 103 m • s－1 ．运动方向与z 轴的夹角在30°～45°区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 × 103 m •s－1 ＜u＜8.28 × 103 m •s－1 ．（13）由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为u－V =hMλe z，（14）速度（矢量）大小的变化为| u－V |=hMλ；（15）代入数据，得| u－V |= 2.9 × 10－2 m •s－1．（16）。

第34届全国中学生物理竞赛试题模拟★ 理论部份一、A ，B ，C 三个刚性小球静止在滑腻的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与BC 的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O 与B 球所在处重合，x 轴正方向和y 轴正方向如图．另一质量也是m 的刚性小球D 位于y 轴上，沿y 轴负方向以速度v 0（如图）与B 球发生弹性正碰，碰撞时刻极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C 的连线都当即断了．求碰后经多少时刻，D 球距A ，B ，C 三球组成的系统的质心最近．二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球周围，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU （AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m ），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相关于地球的发射速度u 0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道周围（也确实是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R e = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加y CD v 0lαOxA l速度g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力．三、如图所示，在一个竖直放置的封锁的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部份．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数别离为k1和k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A的上方为真空；A的下方盛有必然质量的理想气体．已知系统处于平稳状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的紧缩量相等皆为h1 = H / 4 ．现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度h1开始上升，停止加热后系统达到平稳时活塞的高度为h2 = 3H / 4 ．求此进程中气体吸收的热H 量△Q．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R / 2 ，R为普适气体恒量．在整个进程中假设弹簧始终遵从胡克定律．四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一样采纳高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把假设干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r 处的场强为E =R 1R 2R 2－R 1U r 2，场强方向沿径向．1．已知绝缘子导体球壳的内半径R 2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度E k = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强E ＞E k 时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能经受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R 1应取什么数值？现在，对应的交流电压的有效值是多少？2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每一个绝缘子的两导体间有电容C 0 ．每一个绝缘子的下部导体（即导体球）关于铁塔（即对地）有散布电容C 1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有必然的电容，这种电容称为散布电容）；每一个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有散布电容C 2 ．假设高压输电线对地电压的有效值为U 0 ．试画出该系统等效电路图．3．假设C 0 = 70 pF = 7 × 10－11F ，C 1 = 5 pF ，C 2 = 1 pF ，试计算该系统所能经受的最大电压（指有效值）．AB图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙五、如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O 为原点，成立一直角坐标系Oxy ，y 轴与玻璃管的轴线重合．在x 轴上与原点O 的距离为d 处固定放置一电荷量为Q 的正点电荷A ，一个电荷量为q （q ＞0）的粒子P 位于管内，可沿y 轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑彼此作使劲不受玻璃管的阻碍．1．求放在管内的带电粒子P 的质量m 知足什么条件时，能够在y ＞0的区域内存在平稳位置．2．上述平稳状态能够是稳固的，也可能是不稳固的；它依托于粒子的质量m ．以y （m ）表示质量为m 的粒子P 处于平稳位置时的y 坐标．当粒子P 处于稳固平稳状态时，y （m ）的取值区间是_________________；当粒子P 处于不稳固平稳状态时，y （m ）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．3．已知质量为m 1的粒子P 处于稳固平稳位置，其y 坐标为y 1 ．现给P 沿y 轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．4．已知质量为m 2的粒子P 的不稳固平稳位置的y 坐标为y 2 ，现假想把P 放在座标y 3 处，然后从静止开始释放P ．求释放后P 能抵达玻璃管底部的所有可能的y 3（只要列出y 3知足的关系式，没必要求解）．六、如图所示，一半径为R 、折射率为n g 的透明球体置于折射率n 0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O 处，左、右球面与光轴的交点为O 1与O 2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射yGPOdAxP O 1 O 2s器．光轴上O 1点左侧有一发光物点P ，P 点到球面极点O 1的距离为s ．由P 点发出的光线知足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．1．问发光物点P 经此反射器，最后的像点位于何处？2．当P 点沿光轴以大小为v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以如何的速度运动？并说明当球体的折射率n g 取何值时像点亦做匀速运动．七、已知钠原子从激发态（记做 P 3 / 2）跃迁到基态（记做 S 1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0=588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动没必要考虑相对论效应），被一束沿z 轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以θ 表示钠原子运动方向与z 轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间内的钠原子中速度u 在什么范围内能产生共振吸收，从S 1 / 2 态激发到P 3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）转变的大小．已知钠原子质量为M = 3.79 × 10－26kg ，普朗克常量h = 6.626069 × 10－34J • s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108m • s －1．第34届全国中学生物理竞赛参考解答钠原子激光束uzθ一、1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D与B球发生弹性正碰，因此碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向，大小为v ．由于线不可伸长，因此在D，B两球相碰的进程中，A，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A，C两球均无垂直于线方向的作使劲，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向．用θ表示B球的速度方向与x轴的夹角，那么各球速度方向将如图所示．因为现在连接A，B，C三球的两根线当即断了，因此尔后各球将做匀速直线运动．2．研究碰撞后各球速度的大小．以v1，v2，v3别离表示刚碰后A，B，C三球速度的大小，如下图．因为碰撞进程中动量守恒，因此沿x方向有mv1－mv3 cosα+ mv2 cosθ= 0 ；（1）沿y方向有－mv0 = mv－mv2 sinθ－mv3 sinα．（2）依照能量守恒有1 2mv2=12mv21+12mv22+12mv23+12mv2 ．（3）因为碰撞进程中线不可伸长，B ，C两球沿BC方向的速度分量相等，A ，B两球沿AB 方向的速度分量相等，有v2 cosθ= v1，（4）v2 cos [ π－( α+ θ) ]= v3．（5）将α= π/ 3代入，由以上各式可解得v1 =312v0，（6）v2 = 216v0，（7）v3 = 33v0，（8）v= 14v0．（9）3．确信刚碰完后，A，B，C三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时刻极短，刚碰后A，B，C三球组成的系统，其质心位置确实是碰撞前质心的位置，以（x c，y c）表示现在质心的坐标，依照质心的概念，有x c = ml cosα－ml3m，（10）y c = ml sinα3m．（11）代入数据，得x c = － 16l，（12）y c = 36l．（13）依照质心速度的概念，可求得碰后质心速度v c的分量为v c x = mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα3m，（14）v c y = －mv2 sinθ－mv3sinα3m．（15）由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得v c x = 0 ，（16）v c y = －512v0．（17）4．讨论碰后A，B，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A，B，C三球组成的系统的质心将从坐标（x c = －l / 6 ，y c = 3l / 6）处动身，沿y轴负方向以大小为5 v0/ 12的速度做匀速直线运动；而D球那么从坐标原点O动身，沿y轴正方向以大小为v0/ 4的速度做匀速直线运动．A，B，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D 球与C 球不发生碰撞，那么v C ，v D 不变，质心与D 球之间的距离慢慢减少．到y 坐标相同处时，它们相距最近．用t 表示所求的时刻，那么有vt = y c + v c y t （18）将v c y ，v ，y c 的值代入，得t =3l4v 0． （19）现在，D 球与A ，B ，C 三球组成系统的质心二者相距l / 6 ．在求出（19）式的进程中，假设了在t = 3l / 4v 0时刻内C 球未与D 球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；因为v 3 = 3v 0 / 3 ，它在x 方向分量的大小为3v 0 / 6．通过t 时刻，它沿x 轴负方向通过的距离为l / 8 ．而C 球的起始位置的x 坐标为l / 2 ．经t 时刻后，C 球尚未抵达y 轴，可不能与D 球相碰．二、从地球表面发射宇宙飞船时，必需给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有适合的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．现在，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E 表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为r se 的圆A 是地球绕太阳运行的轨道，太阳S 位于圆心．设椭圆B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近日点．由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，依照开普勒第三定律，椭圆的半长轴a 应与日地距离r se 相等，即有a = r se （1）依照椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两核心的距离之和为2a ，由此能够判定，两轨道的交点E 必为椭圆短轴的一个极点，E 与椭圆长轴和短轴的交点Q （即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ ，能够求出半短轴Ar sePvv eB图1b = r2se－ ( a －SP)2 ．（2）由（1），（2）两式，并将a = r se = 1AU ，SP= 0.01 AU代入，得b = 0.141AU ．（3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行进程中，假设以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E点的速度为v，在近日点的速度为v p，飞船的质量为m，太阳的质量为M s，那么有mva sinθ= mv p SP，（4）式中θ为速度v的方向与E ，S两点连线间的夹角：sinθ= ba．（5）由机械能守恒，得1 2mv2 －GM s ma=12mv2p－GmM sSP．（6）因地球绕太阳运行的周期T是已知的（T = 365 d），假设地球的质量为M e ，那么有G M s M ea2= M e (2πT)2a ．（7）解（3）～（7）式，并代入有关数据，得v= 29.8 km / s ．（8）（8）式给出的v是飞船在E点相关于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必需具有的相关于太阳的速度．假设在E点飞船相对地球的速度为u，因地球相关于太阳的公转速度为v e = 2πaT= 29.8 km / s ，（9）方向如图1所示．由速度合成公式，可知v= u + v e ，（10）示，注意到v e 与ES 垂直，有速度合成的矢量图如图2所u =v 2 + v 2e －2vv e cos (π2－θ ) ， （11）代入数据，得u = 39.1 km / s ． （12）u 是飞船在E 点相关于地球的速度，但不是所要求的发射速度u 0 ．为了求得u 0 ，能够从与地心固定连接在一路的参考系来考察飞船的运动．因飞船相关于地球的发射速度为u 0时，飞船离地心的距离等于地球半径R e ．当飞船相关于地球的速度为u 时，地球引力作用能够忽略．由能量守恒，有12mu 20 －G M e m R e = 12mu 2 ． （13） 地面处的重力加速度为g = G M eR 2e， （14）解（13），（14）两式，得u 0 = u 2 + 2gR e ． （15）图2由（15）式及有关数据，得u 0 = 40.7 km / s ． （16）若是飞船在E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，那么（11）式要做相应的改变．现在，它应为u =v 2 + v 2e －2vv e cos (π2+ θ ) ， （17）相应计算，可得另一解u = 45.0 km / s ， u 0 = 46.4 km / s ． （18）若是飞船进入椭圆轨道的地址改在E 点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），那么计算进程相同，结果不变．三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k =k 1k 2k 1 + k 2． （1） 设活塞A 下面有νmol 气体．当A 的高度为h 1时，气体的压强为p 1 ，温度为T 1 ．由理想气体状态方程和平稳条件，可知p 1Sh 1 = vRT 1 ， （2） p 1S = kh 1 + mg ． （3）对气体加热后，当A 的高度为h 2时，设气体压强为p 2 ，温度为T 2 ．由理想气体状态方程和平稳条件，可知p 2Sh 2 = vRT 2 ， （4） p 2S = kh 2 + mg ． （5）在A 从高度h 1上升到h 2的进程中，气体内能的增量△U = v32R ( T 2－T 1 ) ． （6）气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W= 12k ( h22－h21) + mg (h2－h1 ) ．（7）依照热力学第必然律，有△Q=△U + W．（8）由以上各式及已知数据可求得△Q=k1k2k1 + k2H2 +54mgH．（9）四、1．依照题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r（R1＜r＜R2）处，电场强度的大小为E=R1R2R2－R1Ur2．（1）在r= R1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以E（R1）表示此场强，有E ( R1) = R2U(R2－R1) R1．（2）因为依照题意，E（R1）的最大值不得超过E k ，R2为已知，故（2）式可写为E k =R2U(R2－R1) R1（3）或U = E k (R2－R1) R1R2．（4）由此可知，选择适当的R1值，使(R2－R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压U为最大．不难看出，当R1 = R22（5）时，U即是绝缘子能经受的电压的最大值U k ．由（4），（5）两式得U k = E k R24，（6）代入有关数据，得U k = 155 kV ． （7）当交流电压的峰值等于U k 时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值U e =U k2110 kV ． （8） 2．系统的等效电路如图所示．3．设绝缘子串中间三点的电势别离为U 1 ，U 2 ，U 3 ，如图所示．由等效电路可知，与每一个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有12011010012230211200223031230032()()()0,()()()0,()()0.U U C U C U U C U U C U U C U C U U C U U C U C U C U U C U U C -+----=⎧⎪-+----=⎨⎪+----=⎩ （9）四个绝缘子上的电压之和应等于U 0 ，即U 0C 2C 2C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0C 0 C 0U 0 C 2C 2C 2C 2C 1 C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 0U 1U 2 U 3( U 0－U 1 ) + ( U 1－U 2 ) + ( U 2－U 3 ) + U 3 = U 0 ． （10）设△U 1 = U 0－U 1 ， △U 2 = U 1－U 2 ，△U 3 = U 2－U 3 ，△U 4 = U 3 ， （11） 那么可由（9）式整理得1012200111220123001101220123012001()0,()()0,()()(2)()0;U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C U C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-+=⎩△△△△△△△△ 代入数据，得120123012307050,767050,76146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩76△△6△△△76△△△ （12） 解（12）式，可得△U 1 = 0.298 U 0 ， △U 2 = 0.252 U 0 ，△U 3 =0.228 U 0 ． （13）由（10）～（12）式可得△U 4 =U 3 = 0.222 U 0 ． （14）以上结果说明，各个绝缘子经受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子经受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子经受的电压有效值△U 1 =U e （15）时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏．由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串经受的最大电压U 0max =U e0.298= 369kV ． （16）五、1．如图所示，位于坐标y 处的带电粒子P 受到库y GPmgrOdxAF Ey仑力F E为斥力，其y分量为F Ey= k Qqr2sinθ= kQqy( d2 + y2)3 / 2，（1）式中r为P到A的距离，θ为r与x轴的夹角．能够看出，F Ey与y有关：当y较小时，（1）式分子中的y起要紧作用，F Ey随y的增大而增大；当y较大时，（1）式分母中的y起要紧作用，F Ey随y的增大而减小．可见，F Ey在随y由小变大的进程中会显现一个极大值．通过数值计算法，可求得F Ey随y转变的情形．令τ= y / d ，得F Ey= k Qqd2τ( 1 +τ2)3 / 2．（2）当τ取不同数值时，对应的τ( 1 +τ2)－3 / 2的值不同．经数值计算，整理出的数据如表1所示．表1由表中的数据可知，当τ= 0.707，即y = y0 = 0.707d（3）时，库仑力的y分量有极大值，此极大值为F Ey max = 0.385k qQd2．（4）由于带电粒子P在竖直方向除受到竖直向上的F Ey作用外，还受到竖直向下的重力mg 作用．只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时，P才能平稳．当P所受的重力mg大于F Ey max时，P不可能达到平稳．故质量为m的粒子存在平稳位置的条件是mg≤F Ey max ．由（4）式得m ≤0.385g k qQd2 ． （5） 2．y (m )＞ 0.707d ；0＜y (m )≤0.707d ．3．依照题意，当粒子P 静止在y = y 1处时，处于稳固平稳位置，故有132221()Qqy kd y －m 1g = 0 ． （6）假想给粒子P 沿y 轴的一小扰动△y ，那么P 在y 方向所受的合力为F y = F Ey －m 1g = kQq ( y 1 +△y )[ d 2 + ( y 1 +△y )2 ]3 / 2 －m 1g ． （7） 由于△y 为一小量，可进行近似处置，忽略高阶小量，有F y = kQq ( y 1 +△y )[ d 2 + y 21 + 2y 1△y ]3 / 2 －m 1g = kQq ( y 1 +△y )(d 2 + y 21 )3 / 2 ( 1 － 3y 1△yd 2 + y 21)－m 1g= k Qqy 1 (d 2+ y 21 )3 / 2 + k Qq △y (d 2 + y 21 )3 / 2 － k 3qQy 21△y (d 2 + y 21 )5 / 2 －m 1g ．注意到（6）式，得F y = －m 1g (2y 21－d 2 )(d 2+ y 21 ) y 1△y ． （8）因y = y 1是粒子P 的稳固平稳位置，故y 1＞0.707d ，2y 21－d 2＞0 ．由（8）式可知，粒子P 在y 方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳固平稳位置周围的微小振动是简谐运动；其圆频率为ω=(2y 21－d 2)(d 2+ y 21 ) y 1g ， （9）周期为T = 2πω=2π(d2 + y21) y1(2y21－d2 ) g．（10）4．粒子P处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A的静电场中，具有静电势能．当P的坐标为y时，其重力势能W g = m2gy，式中取坐标原点O处的重力势能为零；静电势能W E = kqQd2 +y2．粒子的总势能W = W g + W E = m2gy + kqQd2 +y2．（11）势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起要紧作用，当y较大时，重力势能起要紧作用．在P的稳固平稳位置处，势能具有极小值；在P的不稳固平稳位置处，势能具有极大值．依照题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳固平稳位置，故y = y2处，势能具有极大值，即W ( y2 )= W max= m2gy2 + kqQd2 +y22．（12）当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为W ( y3 )= m2gy3 + kqQd2 +y23．当y3 ＜y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能抵达管底．假设y3 ＞y2 ，粒子从静止释放能够抵达管底，那么有W ( y3 ) ＞W ( y2 ) ．因此，y3知足的关系式为y3 ＜y2；（13）或y3 ＞y2 且m2gy3 + kqQd2 +y23＞m2gy2 + kqQd2 +y22．（14）附：（1）式可表示为F Ey= k Qqr2sinθ= kQqd2cos2θsinθ，式中θ为P，A之间的连线和x轴的夹角．由上式可知，带电粒子P在θ= 0 ，π/ 2时，F Ey= 0 ．在0≤θ≤π/ 2区间，随着θ的增大，sinθ是递增函数，cos2θ是递减函数．在此区间内，F Ey必存在一个极大值F Ey max ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度θ0．经数个计算整理出的数据如表2所示．表2由表中数值可知，当θ= θ0≈0.615 rad（即35.26°）时，F Ey取极大值F Ey max= k Qqd2cos2θ0sinθ0 = 0.385 kQqd2．带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与F Ey相反．故带电粒子P受到的合力F = F Ey －G = k Qqd2cos2θsinθ－mg ．当F = 0 ，即F Ey= G 时，P处于平稳状态．由此可见，当带电粒子的质量m≤F Ey maxg=k ( qQ / d2 ) cos2θ0sinθ0g时，能够在y轴上找到平稳点．六、1．单球面折射成像公式可写成n′s′ +ns=n′－nr，（1）式中s为物距，s′为像距，r为球面半径，n和n′别离为入射光和折射光所在介质的折射率．在此题中，物点P经反射器的成像进程是：先通过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）．（1）第一次成像．令s1和s′1别离表示物距和像距．因s1 = s ，n = n0 = 1，n′ = n g，r = R ，有n g s′1 +1s1=n g－1R，（2）即s′1 =n g Rs( n g－1 ) s－R．（3）（2）第二次成像．用s2 表示物距，s′2 表示像距，有1 s′2 +1s2=2r．（4）因s2 = 2R－s′1 ，r= R，由（3），（4）两式得s′2 = ( 2s + 2R－n g s )R3R + 3s－n g s．（5）（3）第三次成像．用s3 表示物距，s′3 表示像距，有n0 s′3 +n gs3=n0－n gr．（6）因s3 = 2R－s′2 ，n0 = 1 ，r= －R，由（5），（6）两式得s′3 = ( 4s－n g s + 4R )R2n g s－4s+n g R－4R．（7）2．以v′表示像的速度，那么3222[4()()4](44)12()4()4244/.(244)(24)(244)g g g g g g g g g g g g s s n s s R R s n s R R s v t t n s s s s n R R n s s n R R n R s tn s s n R R s n n s s n R R ⎧⎫+-++-+'⎪⎪'==-⎨⎬+-++--+-⎪⎪⎩⎭-=-+-+--+-△△△△△△△△△△ （8）由于△s 很小，分母中含有△s 的项能够略去，因此有v ′ = －n 2g R 2(2n g s －4s + n g R －4R )2△s△t． （9） 依照题意，P 从左向右运动，速度大小为 v ，那么有v = －△s△t． （10） 由此可得，像的速度v ′ = n 2gR 2v (2n g s －4s + n g R －4R )2． （11）可见，像的速度与 s 有关，一样不做匀速直线运动，而做变速直线运动．当n =2 （12）时，（11）式分母括号中的头两项相消，v ′ 将与 s 无关．这说明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变成 v ′ = v ，即像的速度和P 的速度大小相等．七、解法一．依照已知条件，射向钠原子的激光的频率v =cλ． （1）对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 θ 、速度为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率v ′ = v ( 1 +uccos θ )； （2）改用波长表示，有λ′ = λ1 + u ccos θ ． （3） 发生共振吸收时，应有 λ′ = λ0 ，即λ1 + u ccos θ = λ0 ． （4） 解（4）式，得u cos θ = cλ －λ0λ0 ； （5） 代入有关数据，得u cos θ = 5.85 × 103 m • s －1 ． （6）由（6）式，对 θ =30° 的钠原子，其速度u 1 = 6.76 × 103 m • s －1 ；对 θ = 45° 的钠原子，其速度u 2 = 8.28 × 103 m • s －1 ．运动方向与 z 轴的夹角在 30°～45° 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速度范围为6.76 × 103 m • s －1 ＜ u ＜8.28 × 103 m • s －1 ． （7）共振吸收前后，动量守恒．设钠原子的反冲速度为 V ，那么有Mu － h λe z = MV ． （8）其中 e z 为 z 轴方向的单位矢量．由（8）式得u －V = h M λe z ． （9） 钠原子速度（矢量）转变的大小为| u－V |=hMλ；（10）代入数据，得| u－V |= 2.9 × 10－2 m •s－1．（11）解法二．依照已知条件，钠原子从激发态 P3 / 2 跃迁到基态 S1 / 2 发出的光谱线的频率v0 =cλ0；（1）入射激光的频率v = cλ．（2）考查运动方向与z轴的正方向成θ角的某个钠原子．它在共振吸收进程中动量守恒，能量守恒．以u表示该钠原子在共振吸收前的速度，V表示该钠原子共振吸收后的速度，那么有Mu－hvce z= MV ，（3）1 2Mu2 + hv=12MV2+ hv0 ．（4）把（3）式写成份量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于z轴方向的动量不变，有Mu sinθ= MV sinθ′，（5）Mu cosθ－hvc= MV cosθ′，（6）式中θ′为激发态钠原子速度方向与z轴正方向的夹角．从（5），（6）两式中消去θ′，得M2u2－M2V2= － (hvc) 2 + 2Muhvccosθ．（7）由（4），（7）两式可得2hv0 －2hv = － 1M(hvc)2 + 2hvuccosθ．（8）注意到( hv / c )2M，得v 0 = v ( 1 +u c cos θ )； （9）改用波长表示，有 λ0 = λ1 + u ccos θ ． （10） 解（10）式，得u cos θ = cλ －λ0λ0 ； （11） 代入有关数据，得u cos θ = 5.85 × 103 m • s －1 ． （12）由（12）式，对 θ =30° 的钠原子，其速度u 1 = 6.76 × 103 m • s －1 ；对 θ = 45° 的钠原子，其速度u 2 = 8.28 × 103 m • s －1 ．运动方向与 z 轴的夹角在 30°～45° 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速度范围为6.76 × 103 m • s －1 ＜ u ＜8.28 × 103 m • s －1 ． （13） 由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的转变为u －V = h M λe z ， （14） 速度（矢量）大小的转变为| u －V | =h M λ ； （15） 代入数据，得| u －V | = 2.9 × 10－2 m • s －1 ． （16）。