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也可写成 y f ( x 0 x ) x (0 1). 增量 y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
微分中值定理
推论 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 , 那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
五、证明下列不等式： 1、 arctan a arctan b a b ； 2、当x 1时 ， e x ex . 六、证明方程 x 5 x 1 0 只有一个正根 .
七、设函数 y f ( x ) 在 x 0 的某邻域内且有 n 阶导数， 且 f (0) f (0) f ( n 1) ( 0) 试用柯西中值定理 f ( x ) f ( n ) (x ) 证明： n ， （ 0 1）. n! x 八、设 f ( x ) 在[ a , b ]内上连续，在( a , b )内可导，若 0 a b ,则在( a , b )内存在一点 ，使 af (b ) bf (a ) [ f ( ) f ( )](a b ) ] .
f ( x )在[0, x ]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x ) 1 f ( 0 ) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1, 1 1 1 x 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
(a , b) 内至少有一点(a b )，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )(b a ) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f ( a ) f (b ).
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB .
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x )在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间 (a , b) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ),那末在 (a , b ) 内至少有一点 (a b ),使得函数 f ( x )在该点的导数等于零，
例2
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x) C ,
x [ 1,1]
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x ( 0,1)) 矛盾, 为唯一实根 .
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,那末在
( 2) (1)
f (a ) f (b ),
最值不可能同时在端点 取得 . 设 M f ( a ), 则在 (a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
f ( x ) f ( ),
f ( x ) f ( ) 0,
f ( x ) f ( ) 若 x 0, 则有 0; x f ( x ) f ( ) 0; 若 x 0, 则有 x f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x
o
F (a ) F ( 1 ) F ( x )
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f ( a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
证 作辅助函数
则在( a , b )内至少存在一点 , 使得 ( ) 0.
则在( a , b )内至少存在一点 , 使得 ( ) 0.
即 f ( ) f (b) f (a ) F ( ) 0, F (b) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ( ) . F ( b ) F ( a ) F ( )
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x ) 及 F ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b) 内可导,且 F ' ( x ) 在(a , b ) 内每一点处均不为零，那末在(a , b ) 内至少 有一点(a b),使等式
又 f ( 0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
x ln(1 x ) x . 例3 证明当 x 0时, 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
y
C
M N
y f ( x)
B D
A
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b ).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
当 F ( x) x,
F ( b ) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
例4 设函数 f ( x )在[0,1]上连续 , 在(0,1)内可导, 证明 :
f (a ) f (b) f ' ( ) ' 成立. F (a ) F (b) F ( )
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有 一点C ( F ( ), f ( )), 在 该点处的切线平行于 弦AB .
y
C
X F ( x) Y f ( x) M B
A
N
D
F ( 2 )F ( b )
' f 即 () 0
(1)
例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续 ,
f ( x ) 2( x 1),
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f ( ) 0.
取 1, (1 ( 1,3))
或 f (b ) f (a ) f ( )(b a ).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x )在 在(a , b )内可导, x 0 , x 0 x (a , b ), 则有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x (0 1).
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续 , 必有最大值 M 和最小值 m .
(1) 若 M m . 则 f ( x) M . 都有 f ( ) 0. 由此得 f ( x ) 0. (a , b ), ( 2) 若 M m .
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 ( 0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
f ( )存在,
f ( ) f ( ).
只有 f ( ) 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [ 2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件 , 但在内找不到一点能使 f ( x ) 0.
x [a , b ]
且 ab 0
不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题.
练习题
一、 填空题： 1、 函数 f ( x ) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、 设 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x ) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数__________，那 么 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
在(0,1)内至少存在一点 , 有
f (1) f (0) f ( ) 1 0 2
即 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a ) f (b ) Lagrange 定理 中值定理
