高三数学上学期期中试题文无答案

2022－2023学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.{}|12x x -<≤ B.{}|01x x ≤<C.{}|01x x ≤≤ D.{}|02x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】根据交集的知识确定正确选项.【详解】依题意A B = {}|01x x ≤<.故选：B2.命题“x ∃∈R ，2330x x -+<”的否定是（）A.x ∀∈R ，2330x x -+>B.x ∀∈R ，2330x x -+≥C.x ∃∈R ，2330x x -+>D.x ∃∈R ，2330x x -+≥【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“x ∃∈R ，2330x x -+<”的否定为：x ∀∈R ，2330x x -+≥．故选：B ．3.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据命题的充分必要性直接判断.【详解】对于不等式11a <，可解得1a >或a<0，所以1a >可以推出11a <，而11a<不可以推出1a >，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A.4.已知函数()2f x x =，则()()()11limx f x f x∆→+∆-=∆A.4 B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据极限的定义计算即可.【详解】()()()()2200011112lim limlim lim 22x x x x f x f x x xx xxx∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆+∆===∆+=∆∆∆；故选：B.5.已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则sin()sin cos πθθθ-=+（）A.13-B.13C.23-D.23【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的定义得tan θ，再由诱导公式和弦化切公式可得选项.【详解】角∵θ的终边经过点(1,2)P ，则2tan 21θ==，∴sin()sin tan 2sin cos sin cos tan 13πθθθθθθθθ-===+++，故选：D ．6.若0.12a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.1c =，则（）A.b a c >> B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.【详解】0.20.20.112202b a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭，由对数函数的性质可得2log 0.10c =<，故b a c >>.故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.7.已知奇函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()20f -=，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A .（－∞，－2）∪（0，2）B.（－2，0）∪（2，＋∞）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2，0）∪（0，2）【答案】C 【解析】【分析】首先根据题意得到函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，再结合单调性解不等式即可.【详解】因为奇函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()20f -=，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，所以当(),2x ∈-∞-，0x <，()0f x >，满足()0xf x <，当()2,0x ∈-，0x <，()0f x <，不满足()0xf x <，当()0,2x ∈，0x >，()0f x >，不满足()0xf x <，当()2,x ∈+∞，0x >，()0f x ，满足()0xf x <，综上：()0xf x <的解集为()(),22,∞∞--⋃+.故选：C8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，则下列结论中错误的是（）A.当0x >时，()()e 1xf x x -=--B.函数()f x 有3个零点C.()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D.12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<【答案】A 【解析】【分析】由奇函数求出0x >的解析式即可判断A 选项；解方程求出零点即可判断B 选项；解分段函数不等式即可判断C 选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D 选项.【详解】对于A ，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，()()()e 1x f x x f x --=-+=-，则()()()e 1e 1x x f x x x --=--+=-，A 错误；对于B ，易得()00f =，当0x <时，()()e10xf x x =+=，可得=1x -；当0x >时，()()e 10xf x x -=-=，可得1x =，则函数()f x 有3个零点，B 正确；对于C ，由()()()e 1,00,0e 1,0x x x x f x x x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当0x <时，由()()e 10xf x x =+<得1x <-；当0x >时，由()()e10xf x x -=-<得01x <<，则()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 正确；对于D ，当0x <时，()()e 1xf x x =+，()()e 2x f x x '=+，当<2x -时，()0f x '<，()f x 单减，此时()0f x <；当20x -<<时，()0f x ¢>，()f x 单增，()10f -=，0x →时，()1f x →；2x =-时，()f x 有极小值()212e f -=-；结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()f x的图象，结合图象知，()f x 的值域为()1,1-，则12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 正确.故选：A.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知平面向量()()2,1,4,8a b =-=，则（）A.//a bB.a b⊥ C.()2,9a b +=D.()6,7a b -=--【答案】BCD 【解析】【分析】应用向量数量积的坐标运算可得0a b ⋅= ，由向量坐标的线性运算求a b + 、a b - ，即可得答案.【详解】由题设，()()2,14,824180a b ⋅=-⋅=-⨯+⨯= ，故a b ⊥ ，A 错误，B 正确；()()2,14,8(2,9)a b +=-+=，C 正确；()()2,14,8(6,7)a b -=--=--，D 正确.故选：BCD10.设集合{}{}27120,10A x x x B x ax =-+==-=，若A B A ⋃=，则实数a 的值可以为（）A.14B.0C.3D.13【答案】ABD 【解析】【分析】解方程可得集合A ，再结合集合间运算结果分情况讨论.【详解】由A B A ⋃=，得B ⊆又{}{}271203,4A x x x =-+==，当B =∅时，即0a =，B A ⊆成立；当B ≠∅时，{}3B =，13a =，或{}4B =，14a =，故选：ABD.11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称B.函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减D.该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的图象，可求出()f x 的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】由函数的图象可得2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当π6x =-时，πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，故A 正确；对于B ，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，令ππ3π+2π2+2π232k x k ≤+≤()k ∈Z ，解得π7π+π+π1212k x k ≤≤，则函数()f x 的单调递减区间为π7π+π,+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，故C 错误；对于D ，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin 222sin 263y x x ⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭的图象，即D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.12.已知函数()()2,01|ln 1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩，若方程()2f x kx =-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值可以是（）A.12B. C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】作出函数()()2,01|ln 1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩的大致图象，将方程()2f x kx =-有两个不相等的实数根，转化为2y kx =-与()y f x =图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案【详解】如图，作出函数()()2,01|ln 1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩的大致图象，当2x ≥时，1()ln(1),()1f x x f x x '=-=-，故()f x 在点(2,0)处的切线斜率为1121=-，直线2y kx =-过定点(0,2)-，当01k <≤时，2y kx =-与()y f x =图象有一个交点；直线2y kx =-过点(1,1)时，3k =，此时2y kx =-与()y f x =图象有2个交点；当13k <<时，2y kx =-与()y f x =图象有一个交点；当3k >时，2y kx =-与()y f x =图象有2个交点；综上，当3k ≥时，2y kx =-与()f x 图象有2个交点，故方程()2f x kx =-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值可以是3，4，故选：CD三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若()1,2a = ，(),3b x x =- ，a b ∥ ，则x 的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据向量平行的充要条件即可求得.【详解】解：a b∥ ∴123x x=-，解得1x =．故答案为：114.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．【答案】120【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为n ︒，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.【详解】解：设扇形的半径为r ，圆心角为n ︒，依题意可得2618027360n rn r ππππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得9120r n =⎧⎨=⎩；故答案为：12015.设2a = ，3b = ，36a b -= ，则向量a 与b的夹角的余弦值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用向量的夹角公式直接求得．【详解】因为2a =，3b = ，36a b -= ，所以22239636a b a a b b -=-⋅+= ，即946936a b ⨯-⋅+=，所以32a b ⋅= ，即323cos ,2a b ⨯⨯= ，所以1cos ,4a b = ．因为[],0,πa b ∈，所以向量夹角的余弦值为14．故答案为：14．16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为8311,1,11n S a a S +=-=-，则n nS 的最大值为_____.【答案】54【解析】【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，再利用导数求n nS 的最大值即可.【详解】解：因为{}n a 是等差数列，且有34111,11a a S +=-=-，所以11291115511a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得141a d =⎧⎨=-⎩，所以5n a n =-，(9)2n n n S -==2922n n-+，令329()22n n n f n nS ==-+，所以2'33(6)()922n n n f n n --=-+=，因为*N n ∈，所以当16n ≤≤时，'()0f n ≥，()f n 单调递增；当7n ≥时，'()0f n <，()f n 单调递减；所以max ()(6)54f n f ==，故答案为：54.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17.已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）1122n a n =+（2）12n n b -=或()12n n b -=--【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程求得1a 和d 的值，即可求解；（2）等比数列{}n b 的公比为q ，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得1b 和q 的值，即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+【小问2详解】设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n ．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，，求ABC 面积．【答案】（1）3π（【解析】【分析】（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sin C 不为0，求出cos A 的值，即可求出A 的度数；（2）由a ,b 与A 的值，利用正弦定理列出关系式，求出B 值进而得C 角，再由三角形ABC 面积公式即可求值．【详解】解：（1）由//m n 得，(2)cos cos 0c b A a B --=，由正弦定理可得，(2sin sin )cos sin cos 0C B A A B --=，可得：2sin cos sin()0C A A B -+=，即：2sin cos sin 0C A C -=，由sin 0C ≠，可得：1cos 2A =，又(0,)A π∈，可得：3A π=．（2）由已知及正弦定理得sin sin a b A B =即43sin sin 3B π=可得1sin 2B =a b > A B ∴>即B=6π故C=2πABC ∆的面积114383sin 4=2233S ba C ==⨯⨯．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题．19.设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值-1.（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）1,3a b ==-（2）()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-.【解析】【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出1,3a b ==-；（2）结合第一问得到单调区间.【小问1详解】2()3f x ax b '=+，由题意得：30f a b '+=，(1)11f a b =++=-，解得：1,3a b ==-，此时()()2()33311f x x x x '=-=+-，当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故1x =为极值点，满足题意，所以1,3a b ==-.【小问2详解】由（1）可知：当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-20.已知函数()cos cos 2,f x x x x x =-∈R ．（1）求函数()f x 在()0,π上的单调区间；（2）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3a =，求ABC 的周长的取值范围．【答案】（1）单调增区间是50,,36πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，单调减区间是536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）(]6,9【解析】【分析】（1）根据题意得()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，进而求得函数的单调区间，再结合()0,x π∈求解即可；（2）根据题意求得3A π=，进而结合余弦定理得2()39b c bc +-=，再根据基本不等式求解即可.【小问1详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈，得Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，3222Z 262k x k k πππππ+≤-≤+∈，，得65Z 3k x k k ππππ+≤≤+∈，因为()0,x π∈，所以，当1k =时得单调递增区间为5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；当0k =时得单调递增区间为3π⎛⎤ ⎥⎝⎦0，，单调递减区间为536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.所以函数()f x 在()0,π上的单调增区间是50,,36πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，单调减区间是536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【小问2详解】解：由（1）有，2sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为A 为锐角，,663A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66A ππ-=，即3A π=，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos3b c bc π=+-⋅，所以229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，又22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()223()94b c b c ++-≤，得6b c +≤，当且仅当3==b c 时取等号，又3b c a +>=，所以(]6,9a b c ++∈，所以，ABC 周长的取值范围是(]6,921.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设216n n n c a a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得23n T k k <-对于*n ∈N 恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n a n=（2）存在，k 的最小值为4【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得n T ，求得n T 的取值范围，结合二次函数的性质求得k 的最小值.【小问1详解】依题意2n S n n =+，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，当1n =时上式也符合，所以2n a n =.【小问2详解】()()21616411222222n n n c a a n n n n n n +⎛⎫==== ⎪⋅+++⎝⎭，1111111112132435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111213221212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，n T 为单调递增数列，111432233T ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则433n T <≤，所以2233,330k k k k -≥--≥，函数()233f x x x =--的对称轴为32x =，()()11335,24635f f =--=-=--=-，()()39933,4161231f f =--=-=--=当32x ≥时，()f x 递增.所以使2330k k --≥成立的正整数k 的最小值为4.22.已知函数()324f x x ax =-+-，其中a 为实常数．（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若存在()00,x ∈+∞，使得不等式()00f x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）35y x =-（2）答案详见解析（3）()3,+∞【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（3）结合（2），对a 进行分类讨论，结合()f x 的单调区间、最值，求得a 的取值范围.【小问1详解】()()32'234,36f x x x f x x x =-+-=-+，所以()()'12,13f f =-=，所以切线方程为()()231,35y x y x --=-=-.【小问2详解】()f x 的定义域为R ,()'223233f x x ax x x a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当a<0时，()f x 在区间()()()'2,,0,,0,3a f x f x ⎛⎫-∞+∞< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'2,0,0,3a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.当0a =时，()'0f x ≤，()f x 在R 上递减.当0a >时，()f x 在区间()()()'2,0,,,0,3a f x f x ⎛⎫-∞+∞< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'20,,0,3a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.【小问3详解】由（2）知：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上递减，()()040f x f <=-<，不符合题意.当0a >时，在区间()0,∞+上，)3max 244327a x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，依题意可知344027a ->，解得3a >.综上所述，a 的取值范围是()3,+∞.第17页/共17页。

厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高三数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集=U R ，集合2{0,1,2},{|0}A B x x x ==+=，则下列关于集合,A B 关系的韦恩图正确的是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，结合集合A 即可得答案.【详解】由集合2{|0}B x x x =+=，{0,1}B =-,又集合{0,1,2}A =，所以{0}A B = ，结合选项就得A 故选：A.2.已知复数z =，则z 的共轭复数z =（）A.14-- B.13i 2- C.14-+ D.13i 2-+【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的四则运算求出z，再根据共轭复数的概念即可解出．【详解】由)()2i i13i41z---===+，知14z-+=.故选：C．3.已知a，R,0b ab∈≠，则使11a b<成立的一个充分不必要条件是（）A.a b>B.0a b<< C.()0ab a b-> D.0a b>>【答案】D【解析】【分析】由题意只要利用不等式的性质即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：a b>不能推出11a b<，若1,2a b==-，则11a b>，故a b>不是11a b<的充分条件，故A 错误；对于选项B：11a ba b<<⇒>，故0a b<<不是11a b<的充分条件，故B错误；对于选项C：()()221110,000ab a b ab ab a ba b b a->≠⇒⋅->⇒->，故可知()0ab a b->是11a b<成221110,00()0ab a b ab a bb a b⎛⎫<≠⇒-<⇒->⎪⎝⎭所以()0ab a b->是11a b<的充分必要条件，故C错误；对于选项D：11a ba b>>⇒<，故0a b>>是11a b<的充分条件，但是11a b<不能推出0a b>>，若2a=-，=3b，则不满足0a b>>，故0a b>>是11a b<的充分不必要条件，故D正确.故选：D4.将3πsin34y x⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到()y g x=的图象，再将()y g x=图象向左平移3π4，得到()y xϕ=的图象，则()y xϕ=的解析式为（）A.siny x= B.cosy x= C.sin9y x= D.3πsin92y x⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.【详解】将3πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到()3πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭=x g x 的图象，再将()y g x =图象向左平移3π4，得到()3π3πsin sin 44x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦的图象，故选：A.5.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若2AC = ，3AB =，则||AP 的值为（）A.B.132C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】设CP CD λ=，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出λ、m 的值，依题意可得ADC△为等边三角形，求出CP ，再由余弦定理求出AP 即可；【详解】解：设CP CD λ=，则221()(1)332AP AC CP AC CD AC AB AC AB AC AB mAC λλλλ=+=+=+-=+-=+，∴21=32=1m λ-λ⎧⎪⎨⎪⎩，解得3=41=4m λ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．因为3AB = ，所以223AD AB ==，又2AC = ，π3BAC ∠=，所以ADC △为等边三角形，所以π3ACD ∠=，3342CP CD ==，由余弦定理22222331132cos 2222224AP A A C C CD C C D D A ⎛⎫=+-⋅+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭∠=，所以2AP =；故选：B6.已知()0,πα∈，且3cos 28cos 5αα-=，则sin 2α=（）A.459-B.C.49-D.4527-【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于3cos 28cos 5αα-=，所以()232cos18cos 5αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），由于()0,πα∈，所以5sin 3α==，所以45sin 22sin cos 9ααα==-.故选：A7.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A.3.048分钟 B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C 【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log 4，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，170T =，010T =-，10T =，代入公式得：()()()31030334log log 4log 80log 20t T T T T =---=-⎡⎤⎣⎦33804lg 44log 4log 420lg 3===8lg 280.301 5.048lg 30.477⨯=≈≈（分钟），故选：C.8.设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A.c<a<b B.c b a <<C.a b c << D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数e ,,ln(1)1xxy x t u x x===---，1)x ∈-，显然0,0y t >>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)上单调递减，1)x ∀∈-，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈-时，e 1xx x x <-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e 10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈-，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈-，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)-上单调递增，1)x ∀∈-，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈-时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c<a<b .故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合得题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A.12sin cos 25αα= B.7sin cos 5αα+=C.0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.4tan 3α=【答案】ABD 【解析】【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα故选：ABD10.已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A.21π3PF F Ð=B.2112MF PF =C.ED.E 的渐近线方程为y =【答案】BD 【解析】【分析】根据题意得2//OM PF ，212PF F F ⊥，2112MF PF =；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠= ，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.【详解】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知222221PF c a b -=，所以22b PF a =，又122F F c =，1230PF F ∠= ，所以22c a=)222c a ac -=220e --=，解得：e =C 错误；所以==c e a ，所以223c a =，所以22222b c a a =-=，所以ba=所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．11.已知()[]()sin 1,1f x x x x =+∈-，且实数a ，b 满足()()10f a f b +-=成立，则以下正确的是（）A.ab 的最大值为14B.ab 的最小值为2-C.14a b+的最小值为9 D.b a -的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件可得1a b +=，其中[]1,1a ∈-，[]0,2b ∈，即可判断每个选项正误.【详解】()f x 为奇函数，()()()()()10111f a f b f a f b f b a b +-=⇒=--=-⇒=-，()f x 定义域为[]1,1-，则[]1,1a ∈-，[][]11,10,2b b -∈-⇒∈，并且1a b +=，()21111424ab b b b ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，A 正确；当2b =，1a =-时，ab 最小值为2-，b a -最大值为3，B 、D 正确；14121a b+=-+=，C 错误.故选：ABD.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.当M 为AD 中点时，三棱锥M -BDP 的体积为124B.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132C.若保持PM =，则点M 在侧面内运动路径的长度为3πD.若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为抛物线【答案】ABC 【解析】【分析】求得三棱锥M -BDP 的体积判断选项A ；依据同一平面内两点之间线段最短判断选项B ；先判断出点M 在侧面内运动的轨迹，再去求得其长度判断选项C ；建立空间直角坐标系求得点M 的轨迹方程判断选项D.【详解】选项A ：当M 为AD 中点时，11111113322224M BDP P BDM BDM V V S PC --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△.判断正确；选项B ：将平面ABCD 与平面11BB C C 展开在同一平面，连接AP ，则2222313122AP AD PD ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭又将平面ABCD 与平面11DD C C 展开在同一平面，连接AP ，则2222313122AP AB PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭综上，沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132.判断正确；选项C ：取1DD 中点E ，连接,PE ME PM，则PE ⊥平面11AA D D ，PE ME ⊥，则()2222=211ME PM PE -=-则点M 在侧面11AA D D 内运动轨迹为以E 为圆心半径为1的劣弧，分别交11AD A D 、于21M M 、，则121π3D E D M M E ∠=∠=则21π3M M E ∠=，劣弧21M M 的长为ππ1=33⨯.判断正确；选项D ：以D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：则11(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),(0,0,1)B B D D ，设(,0,)M m n ，[],0,1m n ∈则1111(1,1,1),(,0,1),(1,1,0)D B D M m n D B =-=-=11122111cos 3(1)D B D M MD B D B D M m n ⋅∠==⋅⋅+- 11111111116cos 332D B D B B D B D B D B ⋅∠==⋅⋅ 又()1110,πMD B B D B ∠=∠∈，则111cos cos MD B B D B ∠=∠221633(1)m n =⋅+-整理得2222210m n mn m n ++--+=即10m n +-=10m n +-=，[],0,1m n ∈表示线段，则点M 的轨迹不为抛物线.判断错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a ，b 满足()3,4a =r ，6a b ⋅=，7a b -= ，则b = ______.【答案】6【解析】【分析】先由a的坐标，得到a r ，然后根据7a b -= ，两边同时平方，即可求得b .【详解】因为()3,4a =r，则5a = ，又因为6a b ⋅=，7a b -= ，所以22249a a b b -⋅+=r r r r ，即2366b b =⇒=r r 故答案为:6.14.若函数2())f x x x =为奇函数，则=a ________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，求出()f x 的表达式，由奇函数的定义可得()()0f x f x +-=，变形计算可得a 的值，验证即可得答案．【详解】解：因为函数())2lnf x x x =-为奇函数，所以()()0f x f x -+=，而())2lnf x x x -=，则()()))22lnlnf x f x x x x x+-=-++)))()22222lnlnlnln x x x x xx x x a x ⎡⎤=-++=-+=+-⎢⎥⎣⎦2ln 0x a ==，所以ln 0a =，则=1a .故答案为：1.15.写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.【答案】1y =或247250x y ++=或4350x y --=【解析】【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ，易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上，在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ，则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=，综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.16.如图，在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE 是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =.则平面展开图中sin GCF ∠=___________，四棱锥P ABCD -的外接球半径为___________.【答案】①.35##0.6②.6【解析】【分析】由题意可得sin sinBCF DCG ∠=∠=22GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，然后利用三角恒等变换公式可求得sin GCF ∠的值，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，由已知条件可得平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，则PH ⊥平面ABCD ，设ABP 的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，从而可得四边形OMHN 是矩形，连接OD ，利用勾股定理可求得结果【详解】因为在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE 是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =，所以sin sinBCF DCG ∠=∠=所以sin sin(2)2GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，sin(222DCG ππ=-∠-，cos 2DCG=-∠2432sin 12155DCG =∠-=⨯-=，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，在四棱锥P ABCD -中，,AD AP AD AB ⊥⊥，AP AB A = ，所以AD ⊥平面ABP ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，因为PAB 为等边三角形，所以PH AB ⊥，因为平面ABCD ⋂平面ABP AB =，PH ⊂平面ABP ，所以PH ⊥平面ABCD ，设ABP 的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ，则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ，所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ，由于PAB 为等边三角形，所以113323323NH PH ==⨯⨯=，所以33OM =,设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，则22215193412R OM DM =+=+=，解得576R =，故答案为：35，576四、共解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､､证明过程或演算步骤.17.正项等差数列{}n a 满足14a =，且247,2,28+-a a a 成等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）22n a n =＋；（2）24n n +【解析】【分析】（1）假设公差，由等比中项列式，解出公差由等差数列通项公式即可求出；（2）求出n S ，表示出n b ，由其特点，利用裂项相消的方法求前n 项和.【详解】（1）设数列{}n a 公差为0d d （＞），由已知得：()()2274282a a a －＝＋，化简得：24120d d ＋－＝，解得：2d ＝或6d ＝－（舍），所以()1122n a a n d n ＝＋－＝＋．（2）因为()()1226+322n n a a n n Sn n n ++===，所以()()2111112321212n n b S n n n n n n ====-+++++++，所以123n n T b b b b ⋯＝＋＋＋＋＝11111111-+-+-+...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝11-2224n n n =++．【点睛】本题考查数列通项公式及前n 项和的求法，求通项时若已知数列类型可设首项及公差或公比然后列式解方程，求和时若通项为分式类型，则可考虑尝试裂项相消的求法.18.如图，在ABC 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD 的面积为423，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．【答案】（1）83AD =；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos B ，利用同角三角函数的平方关系可求得sin B 的值，然后在ABD △中，利用正弦定理可求得AD 边的长；（2）设CD t =，则2BD t =，利用三角形的面积公式可求得t 的值，然后在ABD △、ACD 中利用正弦定理，再结合sin sin ADB ADC ∠=∠，可求得结果.【小问1详解】解：因为3cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得()()3sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故1cos 3B =，则B为锐角，所以，sin 3B ==，34ADC π∠=，则4ADB π∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，∴22232=，解得83AD =．【小问2详解】解：设CD t =，则2BD t =，423ACD S =△，则3ABC ACD S S ==△△，即1222323t ⨯⨯⨯=2t =，故36BC t ==，由余弦定理可得AC =在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故2sin 4CAD ADC ∠=∠，因为()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠∠，所以，sin sin 24BAD CAD ∠==∠19.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t （0≤t ≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：t （时）03691215182124y （米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①sin()y A t ωϕ=+，②cos()y A t b ωϕ=++，③sin y A t b ω=-+(0,0,0)A ωπϕ>>-<<．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【答案】（1）作图见解析；选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）安排早上5点至7点以及11点至18点【解析】【分析】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质求出该拟合模型的函数解析式即可．（2）由0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令y ≥1.05，得1sin 62t π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，从而解出121127k t k -≤≤+，即可求出结果．【小问1详解】根据表中近似数据画出散点图，如图所示：结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，∴ 2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+====，，∵2126T ππωω==∴=，，∴0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又∵函数y ＝0.9cos （6t π+φ）+1.5的图象过点()3,2.4，∴2.40.9cos(3) 1.56πϕ=⨯++，∴cos 12πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴sin 1ϕ=-，又∵0πϕ-<<，∴φ2π=-，∴0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【小问2详解】由（1）知：0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭令y ≥1.05，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴1sin 62t π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴()722666k t k k Z πππππ-≤≤+∈，∴121127k t k -≤≤+，又∵5≤t ≤18，∵5≤t ≤7或11≤t ≤18，∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．20.如图，三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，平面ABC⊥平面11AA C C .（1）证明：1A C ⊥平面ABC ；（2）若BC 与平面1AA B 所成角的正弦值为7，求平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）57【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BD ⊥1AC ，再证明出AB ⊥1AC ，从而得到1A C ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【小问1详解】取AB 的中点N ，AC 的中点D ，连接BD ，1A N ，CN ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，所以1A N AB ⊥，BD ⊥AC ，CN ⊥AB ，因为ABC⊥平面11AA C C ，交线为AC ，因为BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因为1AC ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1AC ，因为1A N NC N = ，1,A N NC ⊂平面1A NC ，所以AB ⊥平面1A NC ，因为1AC ⊂平面1A NC ，所以AB ⊥1AC ，因为AB BD B = ，,AB BD ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ；【小问2详解】过点C 作CF //AB ，以C 为坐标原点，CN 所在直线为x 轴，CF 所在直线为y 轴，1CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()()()1110,0,0,,1,0,0,0,,0,2,,C BAA mB mC m --，0m >，()()()1,0,2,0,1,0AA m AB BC ===- ，()10,2,2CB =，设平面1AA B 的法向量为(),,t x y z =，则()()()()1,,0,,0,2,020t AA x y z m y mz t AB x y z y ⎧⋅=⋅=++=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩，解得：0y =，设1x =，则z m=，故31,0,t m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故21cos ,7BC t BC t BC t⋅==⋅ ，因为0m >，解得：2m =，故31,0,2t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11BB C C 的法向量为(),,n ab =，则()()()()1,,0,2,2220,,1,00nCB a b c b c n BC a b c b ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，设1b =，则31,3c a =-=-，则3,1,13n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为θ，则5cos cos ,7t n t n t nθ⋅===⋅ ，故平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为57.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0，且经过点()．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P ．当点P 位于第一象限，且PAB 被x 轴分割为面积比为3:2的两部分时，求直线AB 的方程．【答案】（1）22163x y -=；（2）y =.【解析】【分析】（1）由题意可得22229811a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解方程组即可求出结果；（2）分别将直线AB 以及直线l 的方程与双曲线联立，表示出点B 与点P 的坐标，然后根据题意得到关于,k m 的方程组，解方程组即可求出结果.【小问1详解】因为22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0，且经过点()，所以22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩．故双曲线C 的标准方程为22163x y -=．【小问2详解】由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 的方程为y kx =．联立22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩消去y ，得()221260k x --=．由21200k k ⎧->⎨≠⎩得22k -<<且0k ≠，解得22612x k =-．因为l 与AB 垂直，所以设l 的方程为1y x m k=-+．联立221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，化简得()()222224230k x kmx k m -+-+=．由22k -<<且0k ≠，得220k -≠．因为l 所以Δ0=，即()()22222168320k m km k ++-=，化简得()22232k m k =-，且点2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭．因为P 点位于第一象限，所以0m <，202k -<<．不妨设A ，B 分别位于双曲线的左、右两支上，记BP 与x 轴的交点为M ．因为PAB 被x 轴分割为面积比为3:2的两部分，且PAO 与PBO 面积相等，所以POM 与BOM 的面积比为1:4，由此可得4P B y y =-．因此2242mk k ⨯=--，即()22222616122m k k k ⨯=--．又因为()22232k m k =-，所以223616212k k ⨯=--，解得225k =．因为02k -<<，所以5k =-，故直线AB的方程为y x =．【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.22.已知函数ln ()()a x f x a R x+=∈．（1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a +<．【答案】（1）1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义和函数()ln g x x =求出公切线方程，再将公切线方程与函数()f x 联立，表示21ln a x x e =-，再构造函数21()ln m x x x e=-利用导数求出其单调区间和值域，可求出a 的取值；（2）要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可，而1x =时函数()k x 的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上，若设121,x x =>则12211111x x x +=+<+，所以只需利用导数证明11a <即可.【详解】解：（1）设公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=，将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-．令21()ln m x x x e =-，对之求导得：22()x e m x ex-'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点．对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =x >()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >2001()02u x ax x =-+>，即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点．练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．下面证明12111x x a+<．由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>12211111x x x +=+<+11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a'=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a <．【点睛】此题考查切线与导数的关系，利用导数研究函数零点个数，利用导数证明不等式，考查数学转换思想和计算能力，属于难题.第26页/共26页。

2023届河北省唐山市开滦第一中学高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}2340B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}32x x -<<D ．{}21x x -<<【答案】B【分析】先化简集合A ，B ，再求二者交集【详解】{}{}322,1,0,1A x Z x =∈-<<=--，{}{}234041B x x x x x =+-<=-<<，则{}2,1,0A B =--． 故选：B ． 2．已知复数21iz =-，复数z 是复数z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】根据复数的运算性质，得到2z z z ⋅=，即可求解.【详解】根据复数的运算性质，可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ．3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【答案】B【详解】试题分析：等差数列前n 项和公式1()2n n n a a s +=，481111111()11()111688222a a a a s ++⨯====． 【解析】数列前n 项和公式．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16C ．20D ．24【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A ：出现的点数为质数，事件B ：出现的点数不小于3，则事件A 与事件B （ ） A ．相互独立 B ．对立C ．互斥但不对立D ．概率相等【答案】A【分析】根据()()()P AB P A P B =即可得到答案。

2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{|5}A x N x =∈≤与集合{|(2)0}B x x x =->，则A B =()A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．[2,5)D ．(2,5]2.复数2i12iz -=+的虚部为()A ．1B ．1-C ．iD ．i-3.下列函数中最小值为4的是()A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222xxy -=+ D.4ln ln y x x=+4.在空间中，若,,a b c 是三条直线，,αβ是两个平面，下列判断正确的是()A ．若a 的方向向量与α的法向量垂直，则//a α；B ．若//a α，βα⊥，则a β⊥；C ．若αβ⊥，c αβ= ，a c ⊥，则a α⊥；D ．若,αβ相交但不垂直，c α⊂，则在β内一定存在直线l ，满足l c ⊥.5.“0x >”是“+sin 0x x >”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b <+> =()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A .若函数x y a =(0a >且1a ≠)及log b y x =（0b >且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足()A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>8.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B.1010C.1010-D .31010-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==.若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是()A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数a =.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．13.函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若||23AB =，则||CD =______.ABCD1D 1A 1B 1C E F15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.(本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求角A 的值，进而再求()f B 的取值范围.17.（本小题满分14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t (分钟/天)20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF ，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中EF ∥AD ∥BC ，4AD =，2EF BC AB ===，ED =M为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF .再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：（Ⅰ）求证：BM ∥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B AE F --的余弦值.（Ⅲ）在线段AE 上是否存在点Q ，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQ AE 的值，若不存在，请说明理由.条件①：平面CDE ⊥平面ABCD ；条件②：平面ADEF ⊥平面ABCD ；条件③：EC =.19.（本小题满分15分）已知椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分15分）已知函数212)(1()e 2x f x ax x -=-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21.（本小题满分14分）设数阵111202122,a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈⋅⋅⋅，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅其中*12, 6.l e e e l N l <<⋅⋅⋅<∈≤且定义变换k ϕ为“对于数列的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”12(,,,).l k e e e =⋅⋅⋅0()s A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A ，⋅⋅⋅，以此类推，最后将1l A -经过le ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .（Ⅰ）若011A ⎛= ⎝25⎫⎪⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（Ⅱ）若013A ⎛=⎝36⎫⎪⎭，{1,3},S =求0()s T A 的值；（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过4-.2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）BBCDCDACAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.-3或012.21n n +13.23π14.415.①②④；(,](0,)e -∞-+∞ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+.由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+.所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-.即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(214B π-≤+≤.由2())24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡-⎢⎥⎣⎦，.………………13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C==，(2)==P ξ202628C C 128C =.所以ξ的分布列为ξ012P152837128ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ.……………11分（Ⅲ）X <甲X 乙;22ss >甲乙……………13分（Ⅰ） 等腰梯形ABCD M 是AD 中点MD BC ∴=MD BC∴∥∴平行四边形BCDM BM CD ∴∥BM ∉ 平面CDE CD ∈平面CDE BM ∴∥平面CDE .（Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系选③：取MD 中点Q ，连接CQ 和EQ EC = 3EQ=CQ =∴EQ CQ⊥∴二面角2E AD C π--=∴平面ADEF ⊥平面ABCD 取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系(0,2,0)A-1,0)B-C (0,2,0)D (0,1,3)E (0,1,3)F -(0,0,0)M (1,0)BA =- (0,3,3)AE = 设平面BAE 的一个法向量(,,)n x y z =00n BA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0330y y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令x =，则3y =-，3z =，则3,3)n =- 易知(1,0,0)m =-是平面AEF的一个法向量cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==-经检验，B AE F --为钝角，所以二面角B AE F --的余弦值为77-（Ⅲ）设,[0,1]AQAEλλ=∈，(0,3,3)AQ AE λλλ== ，(0,32,3)MQ MA AQ λλ=+=- ||7|cos ,|7||||MQ n MQ n MQ n ⋅<>==⋅解得153λ±=,均不满足题意，故不存在点Q .解：（Ⅰ）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）设:AC y kx m =+,1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y ,33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+,21225515m x x k-=+.(1)由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即22655m k =+(2)又20125215x x km x k +==-+,00215m y kx m k =+=+且M 同时也是OB 的中点,所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上,所以223355x y +=，即02024205x y +=，222254()20(51515km m k k -+=++，所以22451m k =+(3)由(2)(3)解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）111(0)e 22f e-=⋅=，∴切点为1(0,2e ，又21221()e ]2(1)[22(e 1)x x f x ax x x ax a a --+-'==+-，∴(0)0f '=，∴切线方程为102y e-=.（Ⅱ）定义域为R ，21()2(1)e x f x x ax a -'=+-1当0a =时，21()2e x f x x -'=-，令0()f x '>得0x <，∴()f x 增区间为(,0)-∞；令0()f x '<得0x >，∴()f x 增区间为(0,)+∞；∴()f x 在0x =取极大值，合题意.2当0a <时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,0ax x a-==<，x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '-0+0-()f x 减极小值增极大值减∴()f x 在0x =处取得极大值，∴0a <合题意.3当0a >时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,a x x a-==(i)当10aa-<即1a >时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极小值，不合题意.(ii)当10aa-=即1a =时,()0f x '≥在R 上恒成立，∴()f x 在R 上增，无极大值点.北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案第6页，共6页(iii)当10a a->即01a <<时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,0)-∞01(0,)a a -1a a -1(,)a a -+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极大值，∴01a <<合题意.综上可得：a 的取值范围是(,1)-∞（Ⅲ）1(0,]221.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）经过2f 变换111A æ-ç=ççè25ö-÷÷÷÷ø（Ⅱ）013A æç=ççè36ö÷÷÷÷ø经过1j 变换得到113A æ-ç=ççè36ö-÷÷÷÷ø经过3j 变换得到313A æç=ççè36ö÷÷÷÷-ø，所以0()13(3+S T A =++-）（-6)= -5（Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A f j =,对于第一行11a 和12a ①若1112a a =，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a -，12a -；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。

成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。

浙江省杭州学军中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1. 设全集U =R ，集合M ={x |x ＞1}，P ={x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.2. 设纯虚数z 满足=1+ai （其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ）A. 1B.C. 2D.3. 若x 、y 满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.4. 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要的条件是（ ）A. B. C. D.5. 函数y =的图象大致是（ ） A. B. C. D.6. 已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A. ,0是的一个周期B. ,1是的一个周期C. ,1是的一个周期D. ,的最小正周期不存在7. 若关于x 的不等式|x +t 2-2|+|x +t 2+2t -1|＜3t 无解，则实数t 的取值范围是（ ）A. B. C. D.8. 若O 是△ABC 垂心，且，则m =（ ）A. B. C. D.9. 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx （|b |≤2|a |），定义f 1（x ）=max{f （t ）|-1≤t ≤x ≤1}，f 2（x ）=min{f （t ）|-1≤t ≤x ≤1}，其中max{a ，b }表示a ，b 中的较大者，min{a ，b }表示a ，b 中的较小者，下列命题正确的是（ ）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题）11.（1-2x）5展开式中x3的系数为______；所有项的系数和为______．12.等比数列{a n}中，，则=______，a1a2a3a4=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则C=______；若，△ABC的面积为，则a+b=______．14.已知函数，则=______，若函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，则k的取值范围是______．15.已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，则x+y+xy的最小值为______．16.已知平面向量满足，则的最大值为______．17.当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2恒成立，则7a+b的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值及最小值．19.已知在△ABC中，|AB|=1，|AC|=2．（Ⅰ）若∠BAC的平分线与边BC交于点D，求；（Ⅱ）若点E为BC的中点，求的最小值．20.已知正项等差数列{a n}满足：，其中S n是数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，证明：．21.设函数f（x）=e x-ax+a，a∈R，其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：．22.已知函数f（x）=ln x-ax2-bx-2，a∈R．（Ⅰ）当b=2时，试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意的，方程f（x）=0恒有2个不等的实根，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜-1}，∴M∪P=P，M∩P=M．故选：C．先分别求出集合M，P，利用交集和并集的定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由=1+ai，得z=，由z为纯虚数，得，即a=1．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，属于基础题．根据充要条件的定义，逐一分析给定四个条件与a＞b的充要关系，可得答案．【解答】解：a＞b+1是a＞b的充分不必要的条件；a＞b-1是a＞b的必要不充分条件；|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件；2a＞2b是a＞b的充要条件.故选：B．5.【答案】D【解析】解：当x＞0时，y=x lnx，y′=1+ln x，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：若x为有理数，D（D（x））=D（1）=1，若x为无理数，D（D（x））=D（0）=1，综上D（D（x））=1，排除C，D．根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A错误，若x为有理数，D（x+1））=1，D（x）=1，则D（x+1）=D（x），若x为无理数，D（x+1））=0，D（x）=0，则D（x+1）=D（x），综上D（x+1）=D（x），即1是函数D（x）的一个周期，故选：B．根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件和定义是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|≥|（x+t2-2）-（x+t2+2t-1）|=|-2t-1|=|2t+1|，∴关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解等价于|2t+1|≥3t，∴或，t＜0，解得t≤1．．故选：C．先求f（x）的最小值，然后把关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解转化为|2t+1|≥3t，解不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．8.【答案】D【解析】解：在△ABC中，sin B sin C≠0，由，得+=2m•，连接CO并延长交AB于D，∵O是△ABC垂心，∴CD⊥AB，=+∴+=2m•（+），两端同乘以得•+•=2m•（+）•，∴•c2+•bc•cos A=2m••=2m•||•c•cos0°=2m•b cos A•c∵A=∴•c2+•bc•=bcm，由正弦定理化为•sin2C+•sin B sin C•=m•sin B sin C，∴cos C sinC+cos B sin C=m•sin B sin C，又sin C≠0，约去sin C，得cos C+cos B=m•sin B，∵C=π-A-B=-B，∴cos C=cos（-B）=-cos B+sin B，代入上式，得∴sin B=m•sin B，又sin B≠0，约去sin B，利用垂心的性质，连接CO并延长交AB于D，得到CD⊥AB，把由，变形，两端同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简得到得cos C+cos B=m•sin B，再把cos C化为cos（-B）整理就可以得到m的值．本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．9.【答案】C【解析】解：对于A，若f1（-1）=f1（1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f（-1）＞f（1）或f（-1）=f（1）．故A错误；对于B，若f2（-1）=f2（1），则f（-1）是f（x）在[-1，1]上的最小值，∴f（-1）＜f（1）或f（-1）=f（1），故B错误；对于C，若f2（1）=f1（-1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最小值，而f1（-1）=f（-1），f1（1）表示f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f1（-1）＜f1（1）．故C正确；对于D，若f2（1）=f1（-1），由新定义可得f1（-1）≥f2（-1），则f2（1）≥f2（-1），故D错误．故选：C．由新定义可知f1（-1）=f2（-1）=f（-1），f（x）在[-1，1]上的最大值为f1（1），最小值为f2（1），即可判断A，B，D错误，C正确．本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：a n+1-a n=≥0，a1=-，等号不成立，可得a n+1＞a n，∴数列{a n}是递增数列．∵数列{a n}满足，∴==-，∴b n==-∴数列{b n}的前项和为S n=-+-+……+-=2-．则使得|S2021-k|=|2--k|使得|S2021-k|最小的整数k的值为2．故选：C．a n+1-a n=≥0，可得数列{a n}是递增数列．数列{a n}满足，可得==-，b n==-进而得出结论．本题考查了数列的递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】-80 -1【解析】解：根据题意得，（1-2x）5展开式的通项为T r+1=（-2x）r=（-2）r x r令r=3得（-2）3=-80，令x=1得所有项的系数和为（1-2）5=-1故答案为-80，-1运用二项展开式的通项及所有项系数的和可解决此问题．本题考查二项展开式的通项及所有项的系数和．12.【答案】【解析】解：∵等比数列{a n}中，，∴q==，故答案为：，．推导出q==，由等比数列的通项公式得==，a1a2a3a4=，由此能求出结果．本题考查等差数列的两项和的比值、四项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】 7【解析】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，∴由正弦定理可得，解得，∴，解得ab=6，∵，cos C=，∴，解得a=1，b=6或a=6，b=1，∴a+b=7．故答案为：，7．由正弦定理可得，从而得到，由，得ab=6，由此利用余弦定理能求出a+b．本题考查三角形的角及边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．14.【答案】 [0，+∞）【解析】解：根据题意，函数，则f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8；由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，∴当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0．函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，即函数y=f（x）与函数y=k有无穷多个交点，则k≥0．故答案为：6-8；[0，+∞）．由f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8可得解；根据由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0，零点问题转化为交点问题，即可求解．本题考查分段函数的性质，涉及函数与方程的关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，所以x2+y2=1-xy≥2xy，解得，又由已知得（x+y）2=xy+1，由于是求最小值，故可取，所以，令，则xy=t2-1，，故当时x+y+xy的最小值为，故答案为：．本题已知条件二元二次方程表示平面上的一条曲线，所求式子也是二元函数最值问题，从基本不等式角度出发，然后换元处理即可．本题考查了基本不等式的性质、换元解决二元函数最值问题，考查了推理能力与计算能16.【答案】10【解析】解：∵，设与的夹角为θ，∴===，∴cosθ=-1时，取得最大值10．故答案为：10．根据，可设与的夹角为θ，根据=进行数列的运算即可得出，从而可求出的最大值．本题考查向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】[-4，8]【解析】解：当x∈[1，4]时，不等式可化为，若a=0，则0≤b≤4，故7a+b∈[0，4]；若a＞0，y=，y'=a-=a（1-）=a，当x∈[1，2]，y递减，x∈[2，4]，y递增，可得x=1，y最大值为5a，x=2，y最小3a，故3a+b≥0，5a+b≤4，7a+b═-（3a+b）+2（5a+b）≤8，若a＜0，由上知，5a+b≥0，3a+b≤4，由7a+b═-（3a+b）+2（5a+b≥-4，综上，7a+b∈[-4，8]．故答案为：[-4，8]．当x∈[1，4]时，不等式可化为，分三种情况讨论，根据3a+b，5a+b的范围，确定7a+b 范围．考查不等式恒成立问题，函数最值计算，线性规划解不等式，中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x•（cos x-sin x）+=sin x cosx-sin2x+ =sin2x-•+=sin（2x+）．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：（1）AD为∠BAC的平分线，|AC|=2|AB|，所以|BD|=2|DC|，由B，C，D三点共线，，所以==．（2）由E为BC的中点，，由平行四边形对角线的性质，所以=，所以由柯西不等式（）（）≥（2+1）2=9，故的最小值为．【解析】（1）利用三点共线定理，求出，代入求出即可；（2）根据平行四边形对角线性质得到=，利用柯西不等式求出最值．考查三点共线定理，向量的运算，平行四边形对角线性质，柯西不等式，中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，数列{a n}为正项等差数列，所以a1=1，所以=1+，整理得：a2（a2+1）（a2-2）=0，所以a2=2，或a2=0（舍）或a2=-1（舍）所以数列{a n}的公差d=2-1=1，所以a n=1+（n-1）×1=n；（Ⅱ）证明：=（-1）n-1-（-1）n，∴b1+b2+b3+……+b n=（1+）+（--）+（+）+……+（（-1）n-1-（-1）n，）=1-≤1+=，命题得证．【解析】（Ⅰ）将原式中的n换为1，2得到a1，a2的方程组，解出a1，a2的值，即可得到公差，进而得到数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和，再放缩证明即可．本题考查了等差数列的通项公式，列项相消法求数列的前n项和，放缩法证明不等式．考查了运算求解能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）=e x-ax+a，∴f'（x）=e x-a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=ln a，当f'（x）＜0时，x＜ln a，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞ln a，f（x）是单调增函数，于是当x=ln a时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（ln a）=a（2-ln a）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜ln a，f（1）=e＞0，存在3ln a＞ln a，f（3ln a）=a3-3a lna+a＞a3-3a2+a＞0，又由f（x）在（-∞，ln a）及（ln a，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．（2）∵，∴两式相减得a=，记=s（s＞0），则f′（）=-=[2s-（es-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），则g'（s）=2-（e s+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）=0，而＞0，∴f′（）＜0．又f'（x）=e x-a是单调增函数，且＞，∴f′（）＜0．【解析】（1）由f（x）=e x-ax+a，知f′（x）=e x-a，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；（2）由x1、x2的关系，求出f′（）＜0，然后再根据f′（x）=e x-a的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；本题属于难题，考察了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）当b=2时，f′（x）=-2ax-2=，x＞0，（1）当a＞0，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（2）当a=0时，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（3）当-＜a＜0，令f′（x）=0，解得x=或x=∴当0＜x＜，或x＞时，f′（x）＞0，当＜x＜时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，（4）a≤-，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）问题等价于=ax+b有两解令g（x）=，x＞0有g′（x）=，x＞0，令g′（x）=0，解得x=e3，当0＜x＜e3，g′（x）＞0，当x＞e3，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，e3）上单调递增，在（e3，+∞）上单调递减，当x→-∞时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0，∵g（e2）=0，∴由图象可知a＞0时，过（0，-）作切线时，斜率a最大，设切点为（x0，y0），则有y=•x+，∴=-，∴x0=e，此时斜率a取最大值，故a的取值范围为（0，]．优质资料\word可编辑【解析】（Ⅰ）根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，（Ⅱ）问题等价于=ax+b有两解，令g（x）=，利用导数和函数最值的关系，即可求出．本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想．11 / 1111。

浙江省菱湖中学高三上学期期中考试（数学文）一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn ）图是 ( )2、已知，其中为虚数单位，则 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 33、已知函数，若 = （ ） (A)0(B)1(C)2(D)34、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如上图所示,则其侧面积．．．等于( )A. B.2 C. D.65、如图所示的程序框图中输出的S= （ ） A ．B. C. D. 16、函数是 （ ）A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数7、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ）A. 18B. 24C. 60D. 90 . 8、若向量，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9、函数f （x ）= （ ） (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）U R ={1,0,1}M =-{}2|0N x x x =+=()2,a ib i a b R i+=+∈i a b +=1-)1(log )(2+=x x f ()1,f α=α3239998100991011001)4(cos 22--=πx y ππ2π2π{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S (x,3)(x )a R =∈x 4=5||=→a 2xe x +-的零点所在的一个区间是10、设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 （ ） A ．B ．C ．D ．3 二、填空题（每小题4分，共28分） 11、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 .12、三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 。

2022-2023学年度高中数学期中考试卷高三数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上．第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}2．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A．y =B ．cos y x = C ．3x y = D ．ln y x =3．若x ，y 满足约束条件2,24,0,x yx y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A ．2-B ．4C ．8D ．124．函数()sin cos 33xxf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和25．已知()2f x x =，且()12f m '=-，则m 的值等于（ ）A ．4-B ．2C ．2-D ．2±6．在下列区间中，函数()23x f x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，7．22π5πcos cos 1212-=（ ）A ．12 BCD8．已知:p 12,x x 是方程2560x x +-=的两根，:q 126x x =-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若函数)()ln f x x =为奇函数，则=a （ ）A ．14 B ．12 C ．1 D ．210．已知 0,0x y >>且141x y +=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<11．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．已知ln ππa =，1eb =，ππec =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c<a<b第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．14．曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．15．已知,αβ都是锐角，111cos ,cos()714ααβ=+=-，则β=___________. 16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题（其中17题10分，其余每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知tan 3α=，求以下各式的值． (1)3sin cos 2sin 3cos αααα-+； (2)2sin 2sin cos ααα-．18．已知函数()21log 1x f x x-=+， （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式()1f x >的解集.19．在ABC 中，A ∠=60°，c =37a . (1)求sin C 的值；(2)若a =7，求ABC 的面积.20．已知函数1()4cos cos 12f x x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 21．已知函数3()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间和极值．22．已知函数2()2ln f x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅰ)求证：当2x >时，()34f x x >-.数学试卷参考答案1．A【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4MN =．故选：A.2．D【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可.【详解】解：对于A ：y =[)0,∞+，函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：cos y x =为偶函数，但是函数在()0,∞+上不具有单调性，故B 错误；对于C ：3x y =为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：()ln y f x x ==定义域为{}|0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==， 故ln y x =为偶函数，又当()0,x ∈+∞时ln y x =，函数在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D3．C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.4．C【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T ，最大故选：C ．5．D【分析】求导，由()12f m '=-建立方程求解即可 【详解】()22f x x '=-，()2212f m m '=-=-，解得2m =±. 故选：D6．C【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可【详解】由题意，因为()2222310f =--=-<，()3323320f =--=>，由零点存在定理，故函数()23x f x x =--的零点所在的区间为()2,3故选：C 7．D【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos 6π== 故选：D.8．A【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，再结合充要条件的判定可得答案.【详解】若:p 12,x x 是方程2560x x +-=的两根，则121256x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 因为121212566x x x x x x +=-⎧⇒=-⎨=-⎩，126x x =-⇒121256x x x x +=-⎧⎨=-⎩， 所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.9．C【分析】根据奇函数定义式列方程求解即可.【详解】()))f x x x -==因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即)))22ln ln ln ln[()]ln 0x x x x x a x a ⎡⎤+==+-==⎢⎥⎣⎦所以1a =. 故选：C.10．D【分析】根据基本不等式可取x y +的最小值，从而可求实数m 的取值范围.【详解】Ⅰ0,0x y >>，且141x y +=，Ⅰ144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，Ⅰmin ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.11．D【解析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.【详解】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， Ⅰ2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中， 整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， Ⅰ522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 即2,Z 3k k πϕπ=-∈； ||2ϕπ<， Ⅰ3πϕ=-， Ⅰ()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. Ⅰ将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， Ⅰ()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， Ⅰ()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；Ⅰ()g x 的最小正周期22T ππ==， 故B 不正确.令2,32πππ+=+∈x k k Z ， 解得,122k x k Z ππ=+∈， 则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ， 可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，Ⅰ函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.12．D【分析】构造函数ln ()x f x x =，利用导函数求出单调性，利用单调性比较大小. 【详解】设ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x -'=， 当0f x 得：()0,e x ∈，当()0f x '<时，()e,x ∈+∞，所以()f x 在()0,e 上单调递增，()e,+∞上单调递减，又πe πe >>，所以()()()πe πe f f f <<，即c <a <b ．故选：D ．13．-7【详解】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-.点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.14．30x y -=.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．π3##60 【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos cos[()]βαβα=+-，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】 α、β为锐角，0παβ∴<+<1cos 7α=，11cos()14αβ+=-sin α∴==sin()αβ+=cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111()147=-⨯12= 由于β为锐角，π3β∴=故答案为：π316 【分析】方法一：由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，由A 为锐角，求得cos A =， bc =，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin 2A =．又因为2228b c a +-=， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2cos 8bc A =，所以cos 0A >，即A为锐角，且cos A =，从而求得bc =， 所以ABC的面积为111sin 222S bc A ===. ［方法二］：角化边因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得4sin bc bc ab C +=，即2sin c a C =，又sin sin c a C A=，所以，1sin 2A =．又因为2228b c a +-=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2cos 8bc A =，所以cos 0A >，即A为锐角，且cos A =，从而求得bc =， 所以ABC的面积为111sin 222S bc A ===. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出sin A ，再结合余弦定理求出bc ，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出sin A ，再结合余弦定理求出bc ，即可求出面积．17．(1)89； (2)310. 【分析】（1）化简原式为3tan 12tan 3αα-+即得解； （2）化简原式为22tan 2tan tan 1ααα-+即得解. 【详解】（1）解：sin 313sin cos 3tan 18cos sin 2sin 3cos 2tan 3923cos αααααααααα⋅---===++⋅+. （2）解：222222i 2sin cos tan 2tan 3sin 2sin sin cos tan 110s n cos ααααααααααα---===++.18．（1）()1,1-；（2）函数()f x 为奇函数；（3）11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）真数位置大于0，得到x 的取值范围；（2）得到()f x -，然后判断与()f x 的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于x 的不等式，从而得到x 的解集.【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式101x x->+， 解得11x -<<,函数的定义域为()1,1-.（2）函数()f x 为奇函数，证明：由第一问函数的定义域为()1,1-， ()()12211log log 11x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数.（3）解不等式()1f x >， 即21log 11x x ->+ 即221log log 21x x->+， 从而有11121x x x-<<⎧⎪-⎨>⎪+⎩， 所以113x -<<. 不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.19．(2)【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，（2）求出c ，再利用余弦定理求出b ，然后利用三角形面积公式可求得答案【详解】（1）在ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或=5b -（舍）.所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯ 20．(1)π(2)()f x 的最大值为2，最小值为1-【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式将()f x 的解析式化为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得到答案； （2）求出π26x +的范围，然后根据正弦函数的知识可得答案. 【详解】（1）因为()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝⎭， 故()f x 的最小正周期为π；（2）因为ππ64x -≤≤，所以ππ2π2663x -≤+≤， 所以当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值2； 当ππ266x ，即π6x =-时，()f x 取得最小值1-. 21．（1）20y +=；（2）单调增区间(,1)-∞-，(1,)+∞，单调减区间(1,1)-；极小值为(1)2f =-，极大值为(1)2f -=．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值【详解】解：（1）2()33f x x '=-，所以(1)0,(1)2f f '==-,故切线方程为20y +=；（2）2()33f x x '=-，解()0f x '>，得1x >或1x <-；解()0f x '<，得11x -<<；所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间所以()f x 的极小值为(1)2f =-，极大值为(1)2f -=.22．(1)f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.【分析】(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；(Ⅰ)作差构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}，Ⅰf ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-， 由f ′(x )>0， 得x>1; 由f ′(x )<0， 得0<x<1Ⅰf (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．(2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4，Ⅰg ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， Ⅰ当x >2时，g ′(x )>0，Ⅰg (x )在(2，＋∞)上为增函数，Ⅰg (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0，Ⅰ当x >2时， x 2-2lnx>3x -4,即当x >2时()34f x x >-..【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．。

2024~2025学年度第一学期调研测试高三数学（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1.请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效.2.答题前，务必将自己的考场号、座位号、姓名、准考证号涂写在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足，则（）A. B. C. D.3.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.4.函数的图象大致是（）A. B. C. D.5.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.设数列的前项之积为，满足，则（）A. B. C. D.7.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少。

已知改良工艺前的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过{}2|log1=>A x xR=C A()0,2(]0,2(),2-∞(],2-∞z()34512i+=+z i=z5131351251340.32=a20.3=b()2log0.3(1)=+>xc x x a b c<<b a c<<a b c<<c b a<<b c a()2cos22π=--xy x()33=-f x x x()212,-a a a(-()1,4-(]1,2-()1,2-{}na nnT()*21N+=∈n na T n2024=a4047404910111012101110134048404932.25g/m32.21g/m nnr()()0.25*0103R,N+=+-⋅∈∈n tnr r r r t nr1rn时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）A.12B.13C.14D.158.已知某个三角形的三边长为，，，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.不存在实数，使得C.若向量，则或D.若向量在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为10.对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ）A.函数的图象关于点对称B.函数在区间上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.曲线在处的切线的斜率为111.已知函数，及其导函数，的定义域均为R ，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ）A.为偶函数B.的图象关于点对称C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.30.65g /m lg20.30≈lg30.48≈a b c <a b a b 2=-+y ax bx c a ()1,1212⎛⎝⎛ ⎝⎫⎪⎭)=a m ()0,1=b 2= a 1⋅= a b m ∥a b()4⊥-a ab 1=m 3=m a b - b ab 23π()21cos sin 2=+-f x x x x ()=y f x ()5,012π()=y f x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()=y f x 3πcos2=-y x ()=y f x 4π=x ()f x ()g x ()'f x ()'g x ()21-f x 1=x ()()11++=+f x g x x ()()1+=-+f x g x x ()21=g ()f x ()g x ()3,3()2021'=g ()991g 4949==∑i i12.函数的单调递增区间为________.13.已知是数列的前项和，是和的等差中项，则________.14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知集合，.（1）当时，求；（2）在“充分条件”“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.是否存在正实数，使得“”是“”的________？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，，且对任意，都有.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求的面积.17.（本小题满分15分）已知函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若且恒成立，求的最小值.18.（本小题满分17分）已知数列前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状()()2ln 812=-+f x x x n S {}n a n n S 3n a 2-=n S △ABC A B C a b c 22233=-c a b ()tan -A B {}2|7100,R =-+<∈M x x x x {2,R}=-<∈‖∣N xx m x 1=m ⋂M N m ∈x M ∈x N m m △ABC A B C a b c ()()2sin ,sin =-m x A A ()cos ,1= n x ()=⋅ f x m n R ∈x ()()512π≤f x f ()fx =a sin sin +=B C △ABC ()ln =-f x x ax ()2=g x ax0≠a ()f x 0>a ()()≤f x g x a {}n a n n S ()*21N =-∈n n S a n {}n a =n n b na {}n b n n T ()32(1)0λλ=-⋅-≠n n n n c a λ*N ∈n 1+>n n c c λ态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形；（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，证明：；（3）已知函数，其中，，.若对任意的恒成立，求的最大值.()e e 2-+=x xD x ()e e 2--=x xR x ()()()()[]2222=--R x y D x R x D x =y t ()=y D x ()=y R x 1x 2x 3x (123ln 1++>+x x x ()()()2=--f x D x aR x b 2840+≤a b a R ∈b ()4f x …))ln1,ln 1⎡⎤∈-⎣⎦x +a b。