江苏专用高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习文苏教版

第1讲 直线与圆[考情考向分析] 高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题．其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是C 级要求．热点一 直线、圆的方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为____________． 答案 x －y －1＝0解析 方法一 易知l 的斜率必存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt△OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt△OMH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以l ：x －y －1＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1，又点A 在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为x －y －1＝0.(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋1)2＋y 2＝4解析 由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，a ＞－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.思维升华 求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用．跟踪演练1 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________． 答案 x ±3y ＋4＝0解析 设AB 的中点为D ，则CD ⊥AB ， 设CD ＝d ，AD ＝x ，则PA ＝AB ＝2x ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得d 2＋x 2＝r 2＝5，① 在Rt△PDC 中，由勾股定理得d 2＋9x 2＝CP 2＝25，② 由①②解得d 2＝52.易知直线l 的斜率一定存在，设为k ， 则l ：y ＝k (x ＋4)，圆心C (1,0)到直线l 的距离为d ＝|5k |k 2＋1＝102，解得k 2＝19，k ＝±13，所以直线l 的方程为y ＝±13(x ＋4)，即为x ±3y ＋4＝0.(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程为________________________． 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上， 说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，③由①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52 或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2018·江苏仪征中学检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A ()－1，0， B ()1，2.(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12 ？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为()x －22＋y 2＝4，所以圆心C ()2，0，半径为2.因为l ∥AB, A ()－1，0， B ()1，2，所以直线l 的斜率为2－01－()－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0, 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝||2－0＋m 2＝||2＋m 2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝()2＋m 22＋2,解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P ()x ，y ， 则()x －22＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝()x ＋12＋()y －02＋()x －12＋()y －22＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋()y －12＝4,因为||2－2<()2－02＋()0－12<2＋2，所以圆()x －22＋y 2＝4与圆x 2＋()y －12＝4相交，所以点P 的个数为2.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法： ①几何法：利用d 与r 的关系； ②代数法：联立方程之后利用Δ判断；③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． (2)判断圆与圆的位置关系，一般用几何法，其步骤为： ①确定两圆的圆心坐标和半径长；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪演练2 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23， 得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.(2)(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－72， 72 解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10, 即x 2＋y 2－2x －3≤0， 因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2， 所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0， 化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72.热点三 直线、圆的综合问题例3 如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP →是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1,2)，设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连结AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP → ＝2BA →·BP →；当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10， 综上所述，(BM →＋BN →)·BP →为定值－10.思维升华 直线、圆的综合问题包括和圆有关的定点定值问题、范围问题及探究性问题．解决的基本思路有两种：代数法和几何法，解题时要注意充分利用方程、向量及图形的特征． 跟踪演练3 (2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)． 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 答案 3解析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.2．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为____________．答案 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解析 方法一 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝(a －3)2＋(－4a ＋2)2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝ (1－3)2＋(－4＋2)2＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.3．(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是______． 答案 (－32，－6]∪[6，32)解析 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即||OD →2≥18||AB →2，再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d <r ，得||b 2<3，所以－32<b <32，根据||OD→2≥18||AB →2，||AB →2＝4()9－|OD →|2得，||OD →2≥3，由点到直线的距离公式可得||OD→2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－6，综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32)．4．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． (1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解 (1)设圆心M ()a ，0，由已知得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， ∴||8a －382＋()－62＝12，又∵M 在l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1. 故圆M 的方程为()x －12＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2，∵圆M 与AC 相切，∴1＝||k 1＋t 1＋k 21，∴k 1＝1－t22t ， 同理， k 2＝1－()t ＋622()t ＋6，∴k 1－k 2＝3()t 2＋6t ＋1t 2＋6t ，∴S ＝6()t 2＋6t t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274，∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.A 组 专题通关1．直线过点(－5,4)且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为5，则此直线方程为________． 答案 2x ＋5y －10＝0解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为x a ＋yb＝1，a >0，b >0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋4b ＝1，12a ·b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，故所求直线方程为2x ＋5y －10＝0.2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x ＋5)2＋y 2＝5 解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5. 所以圆O 的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为______． 答案2555解析 圆心为点(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 4．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆O 相切，则直线x ＋y ＋m ＝0与圆O 的位置关系是________．答案 相交解析 由点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点， 得5|t |<1.因为直线 tx ＋2ty ＝m 圆O 相切，所以|m |5|t |＝1， 所以|m |<1.又圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O (0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以位置关系为“相交”．5．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________________． 答案 4解析 ∵圆的标准方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝5， 可知圆心为C (3,4)，半径为 5. 如图可知，CO ＝5，∴OP ＝25－5＝2 5. 设OC 与PQ 的交点为M ， 在Rt△POC 中，OC ·PM ＝OP ·PC ，∴PM ＝25×55＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.6．(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． 答案 19解析 根据题意画图，连结OP ，OA ，过O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，又AB ⊥CD ，AB ＝CD ，∴四边形EPFO 为正方形，由圆的方程得圆心O (0,0)，半径r ＝4 ，OP 2＝()－22＋32＝13，OE 2＝132 AE 2＝OA 2－OE 2＝16－132＝192， ∴AE ＝192，∴AB ＝CD ＝38， ∴S 四边形ACBD ＝12AB ·CD ＝19.7．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________． 答案 4解析 由题意知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5＜|m |＜35， 又O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝(5)2＋(25)2＝25，∴m ＝±5， ∴AB ＝2×5×255＝4. 8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 52－4解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝5 2. 所以(PM ＋PN )min ＝52－4.9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________． 答案 x ＋y －3＝0解析 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0， 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1， 又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3， 故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0，即m ＝－3， 故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. ∵x 1,2＝4(1＋k )±－12k 2＋32k －122(1＋k 2)， ∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．圆心M 在曲线y 2＝－18x 上，圆M 与y 轴相切且与圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1外切，则圆M 的方程为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4解析 设圆M ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵b 2＝－18a ，r ＝|a |，∴a ＝－b 218，r ＝b 218，圆心C (－2,3)，r c ＝1，又圆M 与圆C 外切，则MC ＝r ＋r c ， 即(a ＋2)2＋(b －3)2＝r ＋1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 218＋22＋(b －3)2＝b 218＋1，解得b ＝3或b ＝6.∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4.12．已知以O 为圆心的圆与直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )(m ∈R )恒有公共点，且要求圆O 的面积最小，则圆O 的方程为________________． 答案 x 2＋y 2＝25解析 因为直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )过定点T (4,3)， 由题意知，要使圆O 的面积最小， 定点T (4,3)在圆上， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.13．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为________． 答案 －3＋2 2 解析 如图所示，设PA ＝PB ＝x (x ＞0)，∠APO ＝α， 则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x 2， sin α＝11＋x2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos 2α＝x 2(1－2sin 2α)＝x 2(x 2－1)x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1，令PA →·PB →＝y ，则y ＝x 4－x 2x 2＋1，即x 4－(1＋y )x 2－y ＝0.因为x 2是实数，所以Δ＝[－(1＋y )]2－4×1×(－y )≥0，y 2＋6y ＋1≥0，解得y ≤－3－22或y ≥－3＋2 2.又因为x2＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋y ＞0，－y ＞0，所以y ∈[)－3＋22，0. 故(PA →·PB →)min ＝－3＋2 2.14．(2018·江苏省如皋中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度；(2)如图，设M ()x 1，y 1， P ()x 2，y 2是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于()0，m 和()0，n ，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由于圆心()0，0到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝||－232＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1()－x 1，－y 1，M 2()x 1，－y 1， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点， 可得x 21＋y 21＝4, x 22＋y 22＝4. 直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0， 求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0， 求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝ x 22()4－x 21－x 21()4－x 22x 22－x 21＝4.故mn为定值．。

专题五 解析几何 第1讲 直线与圆练习 理一、填空题1.(2015·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________.解析 因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 (x －1)2＋(y －1)2＝22.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________.解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.答案25553.(2016·南京、盐城模拟)过点P (－4，0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________.解析 设AB 的中点为点D ，则CD ⊥AB ，设CD ＝d ，AD ＝x ，则PA ＝AB ＝2x ，在直角三角形ACD 中，由勾股定理得d 2＋x 2＝r 2＝5.在直角三角形PDC 中，由勾股定理得d 2＋9x 2＝CP 2＝25，解得d 2＝52.易知直线l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋4)，圆心C (1，0)到直线l 的距离为d ＝|5k |k 2＋1＝102，解得k 2＝19，k ＝±13，所以直线l 的方程为y ＝±13(x ＋4)，即为x ±3y＋4＝0.答案 x ±3y ＋4＝04.(2016·苏州调研)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析 由弧长相等得弧所对的圆心角相等，所以四段弧所对的圆心角都是90°，直线l 1，l 2分布在圆心的两侧，且圆心到直线l 1，l 2的距离d ＝22r ＝2，即|a －1|2＝2，|b －1|2＝2，所以a ＝22＋1，b ＝－22＋1或a ＝－22＋1，b ＝22＋1，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18.答案 185.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________.解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝5 2. 所以(PM ＋PN )min ＝52－4. 答案 52－46.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝________.解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3, 3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)，所以CD ＝4. 答案 47.(2016·江西七校第二次联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝14a 2的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是________.解析 如图，∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为FP 的中点，又O 为FF ′的中点，∴OE 为△PFF ′的中位线， ∴OE ∥PF ′，OE ＝12PF ′，∵OE ＝12a ，∴PF ′＝a ，∵PF 切圆O 于E ，∴OE ⊥PF ，∴PF ′⊥PF ， ∵FF ′＝2c ，PF －PF ′＝2a ， ∴PF ＝2a ＋a ＝3a ，∴由勾股定理得a 2＋9a 2＝4c 2， ∴10a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝102. 答案1028.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________. 解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心到直线的距离为12a 2＋b2＝22， 即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2. 设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝（2－1）2＝2－1. 答案2－1二、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.解方程易得：x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.10.(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.11.已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2，3)，求椭圆方程.(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值； (3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0，9)时，求这个圆的方程.解 (1)∵双曲线焦点为(±2，0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4，0)，B (4，0)，F (2，0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t ＞0). ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2，3).所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB →|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1，2＝t ＋72t±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0，9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t＝18，此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。

解析几何第1讲直线与圆一、单项选择题1．直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，则直线l的方程为()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝02．(2022·福州)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为() A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝43．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于()A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.94．过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，若P A⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为()A．1 B. 2C．2 2 D．3 25．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是() A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝46．已知圆O ：x 2＋y 2＝94，圆M ：(x －a )2＋(y －1)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝π3，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－15，15]B ．[－3，3]C ．[3，15]D ．[－15，－3]∪[3，15]7．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．[7，＋∞)C ．[10，＋∞)D ．[15，＋∞)8．(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，|AB |＝|AC |，点B (－1,1)，点C (3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O ：x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |的最小值为( ) A. 2B ．2 2 C. 3D ．2 3二、多项选择题9．已知直线l 过点(3,4)，点A (－2,2)，B (4，－2)到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．x －2y ＋2＝0B ．2x －y －2＝0C ．2x ＋3y －18＝0D ．2x －3y ＋6＝010．在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2022·南通)已知P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，直线l 1：x cos θ＋y sin θ＝4与l 2：x sin θ－y cos θ＝1交于点Q ，则( )A ．l 1⊥l 2B ．直线l 1与圆O 相切C ．直线l 2与圆O 截得弦长为2 3D ．|PQ |长的最大值为17＋212．(2022·龙岩质检)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，则( )A ．当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)B ．|P A |的取值范围为[6，＋∞)C ．当△P AB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫12，12三、填空题13．与直线2x －y ＋1＝0关于x 轴对称的直线的方程为__________________．14．过点P (2,2)的直线l 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则直线l 的方程为____________________．15．(2022·杭州模拟)在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A 在直线l ：y ＝2x 上，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 的另一个交点为D .若AB ⊥CD ，则圆C 的半径等于________．16．若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与坐标轴分别交于三个不同的点A ，B ，C ，则△ABC 的外接圆恒过的定点坐标为________．。

专题六解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. (必修2 P106习题7改编)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+3y-3=0的距离为.2. (2013·陕西高考改编)若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆C的位置关系是.3. 若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.4. (2013·南通三模)在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆C:(x-1)2+y2=4上的任意一点,已知点Q(2a,a-3)(a∈R),则线段PQ长度的最小值为.5. (2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0,直线l经过点(1,0).若对任意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长为定值,则直线l的方程为.6. 已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为22,则圆C的标准方程为.7. (2013·苏、锡、常二模)已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,若∠PCQ=90°,则实数a= .8. 已知圆x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q关于直线kx-y+4=0对称,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则直线PQ的方程为.二、解答题9. 已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1) 若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2) 若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m的取值范围.10. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(1) 求圆O1的标准方程;(2) 过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若d 与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标及λ的值.11. (2013·南通二模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0<r<a),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q.(1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;(2) 求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.专题六解析几何第1讲直线与圆1. 12. 在圆外3. (x-2)2+(y+3)2=54.5-25. 2x+y-2=06. (x-3)2+y2=47.58. y=-12x+32或y=-12x+549. (1) 因为x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,即(x+a)2+(y-a)2=4a,所以圆心为C(-a,a),半径为r=2a.设直线l被圆C所截得的弦长为2t,圆心C到直线l的距离为d,m=4时,直线l:x-y+4=0, 圆心C到直线l的距离22t2=(2a)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10,又0<a≤4,所以当a=3时,t2最大为10,t最大为10,即直线l被圆C所截得弦长的值最大,其最大值为210.(2) 圆心C到直线l的距离d=|--|2a a m+=|-2|2m a,因为直线l是圆C的切线,所以d=r,即|-2|2m a=2a,所以m=2a±22a.因为直线l在圆心C的下方,所以-a-a+m<0,m<2a,所以m=2a-22a=(2a-1)2-1,因为a∈(0,4],所以m∈[-1,8-42].10. (1) 由题设,得圆O1的半径为4,所以圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.(2) 当直线l的斜率存在时,设直线l为y-b=k(x-a),即kx-y-ak+b=0.则点O,O1到直线l的距离分别为2-1ka bk +,h12-9-1k ka bk++,从而d 1.由1dd =λ,得64-22(-)1ka b k+=22(-9-)16-1k ka b k ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦λ2, 整理得[64-a 2-16λ2+λ2(a-9)2]k 2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b 2-λ2(16-b 2)=0. 由题意,上式对于任意实数k 恒成立,所以2222222264--16(a-9)0,2[-(a-9)]0,64--(16-)0,a b a b b λλλλ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.①如果b=0,则64-16λ2=0,解得λ=2(舍去负值).从而a=6或18, 所以λ=2,点P(6,0),P(18,0).②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,从而λ2=-9aa ,所以3a 2-43a+192=0.但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此该方程无实数根,舍去.当点P 的坐标为(6,0)时,若直线l 的斜率不存在,此时d=47,d 1=27,所以1d d =2,也满足.综上所述,满足题意的λ=2,点P 有两个,坐标分别为(6,0)和(18,0). 11. (1) 当r=2,M(4,2),则A 1(-2,0),A 2(2,0). 直线MA 1的方程为x-3y+2=0,解224,-320,x y x y ⎧+=⎨+=⎩得P 86,55⎛⎫⎪⎝⎭.直线MA 2的方程为x-y-2=0,解224,--20,x y x y ⎧+=⎨=⎩得Q(0,-2).所以直线PQ 的方程为2x-y-2=0.(2) 由题设得A 1(-r,0),A 2(r,0).设M(a,t),直线MA 1的方程为y=ta r +(x+r),直线MA 2的方程为y=-t a r (x-r) .解222,(x r),x y r t y a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩得P 222222()-r 2(),()()r a r t tr a r a r t a r t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭. 解222,(x-r),-x y r t y a r ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得Q 222222-r(a-r)2(-),-(-)(-)rt tr a r a r t a r t ⎛⎫⎪++⎝⎭. 于是直线PQ 的斜率k PQ =2222--ata t r ,直线PQ 的方程为y-222()()tr a r a r t +++=22222222()-r ---()at r a r t x a t r a r t ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭.上式中令y=0,得x=2r a ,是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点2,0r a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

第1讲 直线与圆(小题)热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B2≠0)． 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0 C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝0跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2， 则sin 2α等于( ) A.23 B ．±35 C ．－35 D.35(2)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．3．解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________．跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________________． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．3．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．例3 (1)(2019·莆田质检)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝4相交于M ，N 两点．若|MN |≥22，则m 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－4,4]C ．[0,2]D ．(－22，－2]∪[2,22)(2)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________． 跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10 B ．4 3 C ．8 D ．215(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3真题体验1．(2018·全国Ⅲ，文，8)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]2．(2016·全国Ⅱ，文，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．23．(2018·全国Ⅰ，文，15)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 押题预测1．圆(x －2)2＋y 2＝1与直线3x ＋4y ＋2＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上三种情况都有可能2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 3．甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________．A 组 专题通关1．(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30° D ．150°2．(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或－x ＋y ＝13．(2019·厦门模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切，则圆O 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋y 2＝44．(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．107．(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|P A →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4D ．226＋28．(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 9．(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝20 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝20D ．x 2＋(y ＋2)2＝510．(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1211．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 12．(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标的取值范围是( ) A ．|x |≥1 B ．|x |>1 C ．|x |≥2D ．|x |≥2213．(2019·福建四校联考)已知直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．14．(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线3x ＋4y ＋4＝0均与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．15．(2019·晋中模拟)已知圆C 经过点A (1,3)，B (4,2)，与直线2x ＋y －10＝0相切，则圆C 的标准方程为________．16．(2019·宝鸡质检)圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.B 组 能力提高17．(2019·齐齐哈尔模拟)已知半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ ＝π3，则t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－233，0∪(0，3] B ．[－3，0)∪⎝⎛⎦⎤0，233C.⎣⎡⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎣⎡⎭⎫－233，0∪⎝⎛⎦⎤0，233 18．(2019·淮南模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对于下列结论：①符合[OP ]＝2的点P 的轨迹围成的图形面积为8；②设点P 是直线l 1：3x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]min ＝1；③设点P 是直线l 2：y ＝kx ＋1(k ∈R )上任意一点，则使得“[OP ]最小的点P 有无数个”的充要条件是k ＝1；④设点P 是圆x 2＋y 2＝2上任意一点，则[OP ]max ＝2. 其中正确的结论序号为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④。

第1讲 直线与圆1．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________． [解析] 由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜3．[答案] (－3， 3)2．(2019·扬州期末)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． [解析] 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17．因为3－2＜d ＜3＋2，所以两圆相交．[答案] 相交3．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为________．[解析] 动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0． 又Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，所以 （4－1）2＋（0－m ）2＝3，解得m ＝0．所以a ＋c ＝2． 又a >0，c >0，所以12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．[答案] 944．已知以原点O 为圆心的圆与直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )，(m ∈R )恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小，则圆O 的方程为________．[解析] 因为直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )过定点T (4，3)，由题意，要使圆O 的面积最小，则定点T (4，3)在圆上，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25．[答案] x 2＋y 2＝255．(2019·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a >0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．[解析] 由题意可得圆N 与圆M 内切或内含，则|ON |≥2恒成立，即|ON |min ＝|OM |－1≥2，|OM |≥3，即a 2＋(a －3)2≥9，又a >0，得a ≥3，则a 的最小值是3．[答案] 36．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________．[解析] 直线l被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d＝|1－m|m2＋1＝（1－m）2m2＋1＝1－2mm2＋1，当d取最大值时，m＜0，此时d＝1＋2（－m）＋1－m≤2，当且仅当－m＝1，即m＝－1 时取等号，即d取得最大值，弦长最短．[答案] －17．(2019·江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．[解析] 因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0．用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，－6)分别在上述两条直线上，从而求得D＝0，F＝－81，所以所求圆的方程为x2＋y2＝81．[答案] x2＋y2＝818．(2019·南京模拟)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．[解析] 令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝12|OA|·|OB|·sin∠AOB ＝12sin∠AOB≤12，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝22，于是sin∠OPH＝|OH||OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－33．[答案] －339．(2019·南京市四校第一学期联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD ：y ＝x －4(m ≤x ≤n ，m <n )上移动，过圆O 上一点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，且满足∠APB ＝60°，则n －m 的最小值为______．[解析] 设M (a ，a －4)(m ≤a ≤n )，则圆M 的方程为(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．连结MP ，MB ，则MB ＝1，PB ⊥MB ．因为∠APB ＝60°，所以∠MPB ＝30°，所以MP ＝2MB ＝2，所以点P在以M 为圆心，2为半径的圆上．连结OM ，又点P 在圆O 上，所以点P 为圆x 2＋y 2＝1与圆(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM ≤2＋1，即1≤a 2＋（a －4）2≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－8a ＋15≥0，2a 2－8a ＋7≤0，解得2－22≤a ≤2＋22．所以n ≥2＋22，m ≤2－22，所以n －m ≥2．[答案] 210．(2019·苏北四市高三质量检测)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．[解析] 取AB 的中点C ，则|PA →＋PB →|＝2|PC →|，C 的轨迹方程是x 2＋y 2＝14，C 1C 2＝5，由题意，|PC →|的最大值为5＋1＋12＝132，最小值为5－1－12＝72，所以|PA →＋PB →|的取值范围为[7，13]．[答案] [7，13]11．(2019·南通模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a ． 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1．因为l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0．又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．所以此种情况不存在，所以k 2≠0．即k 1，k 2都存在，因为k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， 所以k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1．①又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0．② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2．(2)因为l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a ．③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2．所以a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2．12．(2019·江苏高考研究原创卷)已知圆心为C 的圆满足下列条件：圆心C 位于x 轴的正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13．(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋（－4）2＝Ra 2＋3＝R，解得a ＝1或a ＝138． 又圆C 的面积S ＝πR 2<13，所以a ＝1， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又直线l 与圆C 相交于不同的两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3（x －1）2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0， 所以Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0， 解得k <1－263或k >1＋263，x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2． 在▱OADB 中，OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD ∥MC ，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，所以3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34．但34∈/(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)， 所以不存在直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行．13．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，F (0，2)，点A ，B 是圆O 上的动点，且FA ·FB ＝4．(1)若FB ＝1，且点B 在第二象限，求直线AB 的方程；(2)是否存在与动直线AB 恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)显然直线FB 的斜率存在，故可设直线FB 的方程为y ＝kx ＋2(k ＞0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2＋y 2＝4，消去y 得，(k 2＋1)x 2＋4kx ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x B＝－4k k 2＋1y B ＝2－2k 2k 2＋1，故FB ＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k k 2＋1＝4|k |k 2＋1＝1，得k ＝1515，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，74． 因为FB ＝1，且FA ·FB ＝4，所以FA ＝4， 又圆O 的半径为2，所以A (0，－2)， 故直线AB 的方程为y ＝－15x －2．(2)由(1)的求解方法易知，若FB ＝1，且点B 在第一象限， 则直线AB 的方程为y ＝15x －2， 故若存在符合题意的圆，则圆心在y 轴上．设圆心坐标为(0，m )，易知当AB ∥x 轴时，直线AB 的方程为y ＝1， 故|m －1|＝|m ＋2|15＋1＝|m ＋2|4，解得m ＝25或m ＝2．若直线FB ，FA 的斜率存在，不妨设直线FB ，FA 的方程分别为y ＝k 1x ＋2，y ＝k 2x ＋2(k 1≠k 2)，由(1)的求解方法易知，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1，2－2k 21k 21＋1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2k 22＋1，2－2k 22k 22＋1，FB ＝4|k 1|k 21＋1，FA ＝4|k 2|k 22＋1． 又FA ·FB ＝4，所以4|k 1|k 21＋1·4|k 2|k 22＋1＝4，化简得15k 21k 22＝k 21＋k 22＋1(*)． 当直线AB 的斜率存在且不等于0时，直线AB 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1－4k 2k 22＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1＝y －2－2k 21k 21＋12－2k 22k 22＋1－2－2k 21k 21＋1， 化简得(k 1＋k 2)x ＋(k 1k 2－1)y ＋2(k 1k 2＋1)＝0， 则点(0，2)到直线AB 的距离d ＝|4k 1k 2|（k 1＋k 2）2＋（k 1k 2－1）2＝|4k 1k 2|k 21k 22＋k 21＋k 22＋1，把(*)代入上式得d ＝1．又|m －1|＝1＝d ，故存在定圆x 2＋(y －2)2＝1与动直线AB 恒相切．同理点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125k 1k 2＋85（k 1＋k 2）2＋（k 1k 2－1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125k 1k 2＋85|4k 1k 2|，显然不是定值，故不符合题意．当直线AB 的斜率不存在时，易知可取A (1，3)，B (1，－3)，或A (－1，3)，B (－1，－3)，显然直线AB 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切．综上所述，存在定圆：x 2＋(y －2)2＝1与动直线AB 恒相切．14．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)如图，某摩天轮底座中心A 与附近的景观内某点B 之间的距离AB 为160 m ．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m 的圆柱体与一个半径为15 m 的半球体组成．圆柱的底面中心P 在线段AB 上，且PB 为45 m ．半球体球心Q 到地面的距离PQ 为15 m ．把摩天轮看作一个半径为72 m 的圆C ，且圆C 在平面BPQ 内，点C 到地面的距离CA 为75 m ．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min ，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C 上一点)旋转一周，求该游客能看到点B 的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)[解] 以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与半圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，连结CM ，CN ，过点C 作CH ⊥MN ，垂足为H ．设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34或k ＝0(舍)．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0．所以点C (160，75)到直线l 的距离CH ＝|3×160－4×75|32＋（－4）2＝36． 因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72， 所以cos ∠MCH ＝3672＝12．又∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3，所以∠MCN ＝2∠MCH ＝2π3，所以该游客能看到点B 的时长为30×2π32π＝10(min)．。