变量间的相关关系(1)函数关系与相关关系的区别与联系是什么？(2)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？(3)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？[新知初探]1．相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．2．散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．3．正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．[点睛]对正相关和负相关的理解(1)正相关随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．(2)负相关随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L 汽油所行驶的平均路程就越短．4．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．②设所求回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^是待定参数． ③由最小二乘法得⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1n x 2i－n x 2a ^＝y －b ^x其中：b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．[小试身手]1．下列命题正确的是( ) ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．A ．①③④B ．②③④C ．③④⑤D ．②④⑤解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．2．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关． 3．若施肥量x (kg)与水稻产量y (kg)的线性回归方程为y ^＝5x ＋250，当施肥量为80 kg 时，预计水稻产量约为________kg.解析：把x ＝80代入回归方程可得其预测值y ^＝5×80＋250＝650(kg)． 答案：6504．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示.x 2 4 5 6 8 y3040605070若已求得它们回归直线的方程为______________________．解析：由题意可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.即样本中心为(5,50)．设回归直线方程为y ^＝6.5x ＋a ^， ∵回归直线过样本中心(x ，y )， ∴50＝6.5×5＋a ^，即a ^＝17.5， ∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5 答案：y ^＝6.5x ＋17.5相关关系的判断①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.年龄x(岁)12345 6身高y(cm)788798108115120①画出散点图；②判断y与x是否具有线性相关关系．[解析](1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．答案：②④(2)解：①散点图如图所示．②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．[活学活用]如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号)．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系．答案：①④[典例] (1)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y (件)11985②如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； ③在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？[解析] (1)依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A 、B 得A 正确．答案：A(2)解：①散点图如图所示：②近似直线如图所示：③由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．求回归直线方程的步骤(1)收集样本数据，设为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系． (3)把数据制成表格x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (4)计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i . (5)代入公式计算b ^，a ^，公式为⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y∑i ＝1n x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .(6)写出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^. [活学活用]已知变量x ，y 有如下对应数据：x 1 2 3 4 y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示．(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝134， ∑i ＝14x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39.∑i ＝14x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，b ^＝39－4×52×13430－4×⎝⎛⎭⎫522＝1310，a ^＝134－1310×52＝0，所以y ^＝1310x 为所求的回归直线方程.利用线性回归方程对总体进行估计[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？[解] (1)散点图如图：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， 所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y ∑i ＝14x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)当x ＝100时，y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，90－70.35＝19.65(吨标准煤)．即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤．只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．[活学活用](重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 解：(1)列表计算如下：i t i y i t 2i t i y i 1 2 3 4 51 2 3 4 55 6 7 8 101 4 9 16 255 12 21 32 50这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.∑i ＝1nt 2i －n t －2＝55－5×32＝10，∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．[层级一 学业水平达标]1．下列变量具有相关关系的是( ) A ．人的体重与视力B ．圆心角的大小与所对的圆弧长C ．收入水平与购买能力D ．人的年龄与体重解析：选C B 为确定性关系；A ，D 不具有相关关系，故选C. 2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为A.y ^＝1.5x ＋2 B.y ^＝－1.5x ＋2 C.y ^＝1.5x －2 D.y ^＝－1.5x －2解析：选B 设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由散点图可知变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ^<0，a ^>0，因此方程可能为y ^＝－1.5x ＋2.3.设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是( )A ．直线l 过点(x ，y )B ．回归直线必通过散点图中的多个点C ．直线l 的斜率必在(0,1)D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同解析：选A A 是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B 错误；回归直线的斜率不确定，故C 错误；分布在l 两侧的样本点的个数不一定相同，故D 错误．4．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0解析：选C 当b ^＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^能大于0，也能小于0. 5．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解：依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98， 又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81. ∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．[层级二 应试能力达标]1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( )A ．确定性关系B ．相关关系C ．函数关系D ．无任何关系解析：选B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．2．农民工月工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归直线方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元解析：选B 由回归直线方程y ^＝50＋80x 知，x 每增加1，y 增加80，但要注意x 的单位是千元，y 的单位是元．3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176解析：选C 计算得，x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，根据回归直线经过样本中心(x ，y )检验知，C 符合．4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.y ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.y ^<b ′，a ^<a ′解析：选C 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2.求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136， ∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57， a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′.5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg 左右．解析：用回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．答案：69.966．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a ，则a ＝________. 解析：x ＝4＋5＋6＋7＋8＋96＝132，y ＝92＋82＋80＋80＋78＋686＝80，由回归方程过样本中心点(x ，y ) 得80＝－4×132＋a ^.即a ^＝80＋4×132＝106.答案：1067．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知x ，y 具备线性相关关系，回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，解得x ≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．答案：88．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y 关于吨位x 的回归方程为y ^＝9.5＋0.006 2x ，(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数； (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数． 解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2，则 y ^1－y ^2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2) ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈11， 当x ＝3 246时，y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．9．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y (元)与该周每天销售这种服装的件数x (件)之间有一组数据如下表：(1)求x ，y ；(2)若纯利y 与每天销售这种服装的件数x 之间是线性相关的，求回归直线方程； (3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？ (提示：∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17y 2i ＝45 309，∑i ＝17x i y i ＝3 487)解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917≈79.86.(2)∵b ^＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75，a ^＝79.86－4.75×6＝51.36，∴纯利与每天销售件数x 之间的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x . (3)当y ^＝200时，200＝4.75x ＋51.36，所以x ≈31.29.因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②在某公司的50名工人中，依次抽取工号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的10名工人进行健康检查；③某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查．则应采用的抽样方法依次为( )A ．简单随机抽样；分层抽样；系统抽样B ．分层抽样；简单随机抽样；系统抽样C ．分层抽样；系统抽样；简单随机抽样D ．系统抽样；分层抽样；简单随机抽样解析：选C ①中商店的规模不同，所以应利用分层抽样；②中抽取的学号具有等距性，所以应是系统抽样；③中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样．故选C.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：选A 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B ，D.又因为销售价格x ＞0，则C 中销售量全小于0，不符合题意，故选A.5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝⎛⎭⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3则总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为( ) A.211 B.13 C.12D.23解析：选B 由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本个数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占2266＝13.7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人， ∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.9．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.5用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( )A ．5.25B ．5C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25.10.如图是在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.2D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分95，去掉一个最低分77，平均数为80＋15(5＋3＋6＋5＋6)＝85，方差为15[(85－85)2＋(85－83)2＋(85－86)2＋(85－85)2＋(85－86)2]＝1.2，因此选C.11．如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数和方差分别是( )A.x 和s 2 B ．3x 和9s 2 C ．3x ＋2和9s 2D ．3x ＋2和12s 2＋4解析：选C 3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数是3x ＋2，由于数据x 1，x 2，…x n的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3x n＋2的方差为9s2.12．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是()A．x＝9B．y＝8C．乙的成绩的中位数为26D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差解析：选B因为甲的成绩的极差为31，所以其最高成绩为39，所以x＝9；因为乙的成绩的平均值为24，所以y＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙的成绩的中位数为26；对比甲、乙的成绩分布发现，乙的成绩比较集中，故其方差较小．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．解析：由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×15＝10，则x＋y＝20；又方差为2，∴[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×15＝2，得x2＋y2＝208,2xy＝192，∴|x－y|＝(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝4.答案：414．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析：抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.答案：1215．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，________，________，________.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44716．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人， 则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10. 故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取110，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？解：从50名学生中抽取110，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18.(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？解：(1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人所占比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．19．(本小题满分12分)2016年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外出务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让返乡过年的摩托车驾乘人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川籍的应抽取几人？解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样法．(2)从题图可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)； 四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)．设四川籍的驾驶人员应抽取x 人，依题意得5100＝x 40，解得x ＝2，即四川籍的应抽取2人．20．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43，s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57， ∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定．21．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．解：(1)由分组[10,15)的频数是10， 频率是0.25知， 10M ＝0.25，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3. 故p ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2， 又∑i ＝110x 2i －10x 2＝720－10×82＝80，∑i ＝110x i y i －10x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝2480＝0.3， a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7千元．。
