高中数学必修三练习题(精编)

第一章1. 家中配电盒至电视机的线路断了，检测故障的算法中，为了使检测的次数尽可能少，第一步检测的是 B(A)靠近电视的一小段，开始检查 (B)电路中点处检查 (C)靠近配电盒的一小段开始检查 (D)随机挑一段检查2. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法 C (A)S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 (B)S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 (C)S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播 (D)S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶 3. 给出以下四个问题：①输入一个数x ,输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ,b ,c ,中的最大数；④求函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(2)0(1)(x x x x x f 的函数值；⑤求两个正整数a ,b 相除的商及余数.其中不需要用条件语句来描述其算法的有_____125_______. 4. 下面的问题中必须用条件分支结构才能实现的是__23__________.①求面积为1的正三角形的周长； ②求方程0ax b +=(,a b 为常数)的根； ③求两个实数,a b 中的最大者； ④求1+2+3+…+100的值 5. 840和1764的最大公约数是84.6. 用秦九韶算法计算多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++，在4x =-时的值时，3V 的值为 C(A)-845 (B)220 (C)-57 (D)34 9.___28_____.12.(08-广东-9)阅读下图的程序框图，若输入4m =，3n =，则输出a =12，i =3；13．按如图所示的框图运算：若输入x =8,则输出k =5；(基本算法语句)1.下列给出的赋值语句中正确的是 B(A)M =4 (B)M M -= (C)3==A B (D)0=+y x 2.下列给变量赋值的语句正确的是 D(A)3a =(B)1a a +=(C)3a b c ===(D)8a a =+ 3.下列赋值语句中错误的是 C(A)1N N =+ (B)*K K K = (C)()C A B D =+ (D)M=M/5第二章一、选择题：1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( D )．A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ C ）A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等D. 无法确定3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( A )k=5A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，144．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。

高中数学必修三练习题一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 3x - 2，当x = 2时，f(x)的值是：A. 4B. 6C. 8D. 103. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. -2D. -34. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，第5项a5的值是：A. 13B. 15C. 17D. 195. 圆的标准方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标是：A. (2, 3)C. (0, 0)D. (3, 2)6. 已知直线l1的方程为y = 2x + 1，直线l2的方程为y = -3x + 5，这两条直线的交点坐标是：A. (1, 3)B. (-1, 1)C. (1, 1)D. (-1, 3)7. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数是：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 6x + 9C. x^3 - 6x^2 + 9D. 3x^2 - 12x8. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，这个三角形的面积是：A. 6B. 9C. 10D. 129. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π10. 已知抛物线y = x^2 - 4x + 4，其顶点坐标是：B. (2, 4)C. (-2, 0)D. (-2, 4)二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，第4项a4 = ______。

12. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是 ______。

13. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，直线l与x轴的交点坐标是 ______。

新人教版高中数学必修3 全册同步测试题及解析答案篇一:高一数学必修3全册各章节课堂同步习题（详解答案）第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念班次姓名［自我认知］:1.下面的结论正确的是（）.A.一个程序的算法步骤是可逆的B. 一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D. 设计算法要本着简单方便的原则2.下面对算法描述正确的一项是（）. A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同，结果必然不同3.下面哪个不是算法的特征（）A.抽象性B.精确性C. 有穷性D.唯一性4.算法的有穷性是指（）A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法()A.S1洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 C. S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶6.看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是()A.从济南到北京旅游，先坐火车,再坐飞机抵达B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x2?l?0有两个实根D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③［课后练习］:8.若f?x?在区间?a,b?内单调，且f?a??f?b??O,则f?x?在区间?a,b?内()A.至多有一个根B.至少有一个根C.恰好有一个根D.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取A=89 ,B=96 ,C=99；第二步：①；第三步：②;第四步：输出计算的结果.10.写出求1+2+3+4+5+6+7+100的一个算法.可运用公式l+2+3+?+n= 第一步①；第二步②;第三步输出计算的结果.11.写出Ix2x3x4x5x6的一个算法.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法. n（n?l）直接计算.21.1. 2程序框图［自我认知］:1 •算法的三种基本结构是（）A.顺序结构、条件结构、循环结构B.顺序结构、流程结构、循环结构C.顺序结构、分支结构、流程结构D .流程结构、循环结构、分支结构2 .程序框图中表示判断框的是（）A.矩形框B.菱形框D.圆形框D.椭圆形框3.如图⑴、（2）,它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为（）（1）33(2)3A.⑴n>1000 ? (2)n<1000 ?B.⑴n<1000 ?⑵n>1000 ?C.(Dn<1000?⑵n>1000 ?D. (l)n<1000 ?(2)n<1000?4.算法共有三种逻辑结构，即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构，下列说法正确的是()A.—个算法只能含有一种逻辑结构B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合［课后练习］:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示)，该程序框图的功能是()A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数3333C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图（如上图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是A.m?O?B.x?O ?C.x?l ?D.m?l?7.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构（）A.顺序结构B.条件结构和循环结构C.顺序结构和条件结构D.没有任何结构?x2?l（x?0）8.已知函数f?x???，设计一个求函数值的算法，并画出其程序框图（x?0）?2x?l1.1.2程序框图（第二课时）［课后练习］:班次姓名1 . 如图⑴的算法的功能是.输出结果i=,i+2=.2.如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出s=.箭头a指向②处时，输出s=.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132,则判断中应填A、i>10? B、i>ll? C、i<ll?D、i>12? 4.如图⑶程序框图箭头b指向①处时，输出s=.箭头b指向②处时, 输出S= _________5、如图⑸是为求1-1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。

高一数学必修三练习题一、选择题1. 下面一段程序执行后输出结果是( )程序：A=2A=A*2A=A+6PRINT AA. 2B. 8C. 10D. 182. 从学号为0～ 50的高一某班 50 名学生中随机选取5 名同学参加数学测试, 采用系统抽样的方法 ,则所选 5名学生的学号可能是()A. 1,2,3,4,5B.5,16,27,38,49 C.2,4,6,8,10D.4,13,22,31,403. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子 , 其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当 x 为某一实数时可使x 20 ”是不可能事件③“明天福安要下雨”是必然事件④“从 100个灯泡中取出 5 个 ,5 个都是次品”是随机事件 . 其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C.2D.34. 下列各组事 件 中 , 不 是 互 斥 事 件 的 是( )A. 一个射手进行一次射击, 命中环数大于 8 与命中环数小于6B. 统计一个班数学期中考试成绩 , 平均分数低于 90分与平均分数不高于80 分C.播种菜籽100 粒 , 发芽 90 粒与发芽80 粒D. 检查某种产品, 合格率高于 70% 与合格率为 70%5. 某住宅小区有居民 2 万户 , 从中随机抽取200户, 调查是否安装电话, 调查的结果如表所示 ,则该小区已安装电话的户数估计有()电话动迁户原住户A. 6500 户B. 300户C. 19000户D. 9500已安装6530户4065未安装6.在样本的频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形 , 若中间一个小长立形的面积等于其他110 个小长方形的面积的和的, 且样本容量为160, 则中间一组有频数为4( )A. 32B. 0.2C. 40D. 0.257. 袋中装有 6 个白球 ,5只黄球,4个红球,从中任取 1 球 , 抽到的不是白球的概率为()第 1 页共 12 页A.2B.4C.3D.非以上答案51558. x1, x2,..., x n的平均数是x, 方差是s 2, 则另一组数3x12, 3x 22,..., 3x n2的平均数和方差分别是()A.3x, s 2B.3x 2, s2C.3x2,3 s2D.3x2,3 s 2 2 6s 29.如下图所示 ,程序执行后的输出结果为了( )开始n 5s 0n n1nos 15?s s nyes输出 n第 9 题图结束A. -1B. 0C. 1D. 210.从 1,2,3,4,5中任取两个不同的数字, 构成一个两位数, 则这个数字大于40 的概率是()2413A. B. C. D.555511. 小强和小华两位同学约定下午在福安二中门口见面, 约定谁先到后必须等10 分钟 , 这时若另一人还没有来就可以离开. 如果小强是1： 40 分到达的 , 假设小华在 1 点到 2 点内到达, 且小华在1点到 2 点之间何时到达是等可能的, 则他们会面的概率是( )1B.1C.11A. D.624312.在两个袋内, 分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的 6张卡片 , 今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为第 2 页共 12 页1111 ()A. B. C. D.36912二、填空题：13. 口袋内装有100 个大小相同的红球、白球和黑球, 其中有45 个红球 , 从中摸出 1 个球 , 摸出白球的概率为0.23, 则摸出黑球的概率为_______.14.用辗转相除法求出153 和 119 的最大公约数是______________.15.设有以下两个程序：程序 (1) A=-6程序 (2) x=1/3B=2i=1If A<0 then while i<3A=-A x=1/(1+x)END if i=i+1B=B^2wendA=A+B print xC=A-2*B endA=A/CB=B*C+1Print A,B,C程序（ 1 ）的输出结果是______,________,_________.程序（ 2 ）的输出结果是__________.16. 有 5 条长度分别为1,3,5,7,9的线段, 从中任意取出 3 条 , 则所取 3 条线段可构成三角形的概率是 ___________.三、解答题17.从一箱产品中随机地抽取一件产品 , 设事件 A= “抽到的一等品” , 事件 B= “抽到的二等品” ,事件 C= “抽到的三等品”, 且已知P A 0.7 , P B0.1, P C 0.05 ,求下列事件的概率：⑴事件 D= “抽到的是一等品或二等品”；⑵事件E=“抽到的是二等品或三等品”第 3 页共 12 页18. 一组数据按从小到大顺序排列, 得到 -1,0,4,x,7,14中位数为5, 求这组数据的平均数和方差 .19. 五个学生的数学与物理成绩如下表：⑴作出散点图；⑵求出回归方程 .学生A B C D E数学8075706560物理706668646220.铁路部门托运行李的收费方法如下： y 是收费额 ( 单位：元 ),x 是行李重量 ( 单位：㎏ ),当 0 x 20 时,按0.35/㎏收费,当 x20 ㎏时,20㎏的部分按0.35元/㎏,超出20㎏的部分 , 则按 0.65 元 / ㎏收费 . ⑴请根据上述收费方法求出Y 关于 X 的函数式；⑵画出流程图 .第 4 页共 12 页21. 某次数学考试中, 其中一个小组的成绩是：55, 89, 69, 73, 81, 56, 90, 74, 82.试画一个程序框图：程序中用S(i) 表示第i 个学生的成绩, 先逐个输入S(i)( i=1,2,,), 然后从这些成绩中搜索出小于75 的成绩 .( 注意：要求程序中必须含有循环结构)第 5 页共 12 页22 对某种电子元件的使用寿命进行调查, 抽样 200个检验结果如表：⑴列出频率分布表；⑵ 画出频率分布直方图以及频率分布折线图；⑶估计电子元件寿命在100h ～ 400h 以内的频率；⑷估计电子元件寿命在400h以上的频率 .寿命 (h)100,200200,300300,400400,500500,600个数20308040301. 下面一段程序执行后输出结果是( C )程序：A=2第 6 页共 12 页A=A*2A=A+6PRINT AA.2B.8C.10D.182. 从学号为0～ 50 的高一某班 50 名学生中随机选取5 名同学参加数学测试, 采用系统抽样的方 法 ,则所选5名学生的 学号可 能 是( B )A.1,2,3,4,5 B.5,16,27,38,49 C.2,4,6,8,10D.4,13,22,31,403. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子 , 其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当 x 为某一实数时可使x 20 ”是不可能事件③“明天福安要下雨”是必然事件④“从 100个灯泡中取出 5 个 ,5 个都是次品”是随机事件 . 其中正确命题的个数是( D )A. 0B. 1C.2D.34.下列各组事 件 中 , 不 是 互 斥 事 件 的 是( B)A.一个射手进行一次射击, 命中环数大于 8 与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩 , 平均分数低于 90分与平均分数不高于80 分C.播种菜籽100 粒 , 发芽 90 粒与发芽80 粒D. 检查某种产品, 合格率高于 70% 与合格率为 70%5. 某住宅小区有居民2 万户 , 从中随机抽取200 户 , 调查是否安装电话, 调查的结果如表所电话 动迁户示 , 则该小已安装 65区已安装电话的户数估计有( D )未安装40A. 6500 户B. 300户C. 19000户 D. 9500 户6.在样本的频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形 , 若中间一个小长立形的面积等于其他110 个小长方形的面积的和的, 且样本容量为 160, 则中间一组有频数为4( A )A. 32B. 0.2C. 40D. 0.257.袋中装有 6 个白球 ,5只黄球 ,4 个红球 , 从中任取 1 球 , 抽到的不是白球的概率为( C )243A. B. C. D.非以上答案51558.x1 , x2 ,..., x n的平均数是x, 方差是s 2, 则另一组数3x12, 3x 22,..., 3x n2第7 页共 12 页的平均数和方差分别是( C )A.3x, s 2B.3x2, s2C.3x2,3 s2D.3x2,3 s 2 2 6s29.如下图所示,程序执行后的输出结果为了( B)开始n 5s 0n n1nos 15?s s nyes输出 n第 9 题图结束A.-1B.0C.1D.210.从 1,2,3,4,5中任取两个不同的数字, 构成一个两位数, 则这个数字大于40的概率是( A)A.2B.4C.1D.3555511. 小强和小华两位同学约定下午在福安二中门口见面, 约定谁先到后必须等10分钟 ,这时若另一人还没有来就可以离开. 如果小强是1：40分到达的 , 假设小华在 1 点到 2 点内到达,且小华在 1点到 2点之间何时到达是等可能的 , 则他们会面的概率是( D)A.1B.1C.1D.1 624312.在两个袋内 , 分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的 6 张卡片 , 今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为1111(C) A. B. C. D.36912二、填空题：0.32第8 页共 12 页13. 口袋内装有100 个大小相同的红球、白球和黑球, 其中有45 个红球 , 从中摸出 1 个球 , 摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为_______.14.用辗转相除法求出 153 和 119 的最大公约数是 ______________. 1715.设有以下两个程序：程序 (1) A=-6程序 (2)x=1/3B=2i=1If A<0 then while i<3A=-A x=1/(1+x)END if i=i+1B=B^2wendA=A+B print xC=A-2*B endA=A/CB=B*C+1Print A,B,C程序（ 1）的输出结果是______,________,_________.程序（ 2 ）的输出结果是4__________.（ 1） 5、9、 2；（ 2 ）716. 有 5 条长度分别为1,3,5,7,9的线段,从中任意取出 3 条 , 则所取 3 条线段可构成三角形的概率是 ___________.310三、解答题17.从一箱产品中随机地抽取一件产品 , 设事件 A= “抽到的一等品” , 事件 B= “抽到的二等品” ,事件 C= “抽到的三等品”, 且已知P A0.7 , P B0.1 , P C0.05 ,求下列事件的概率：⑴事件 D= “抽到的是一等品或二等品”；⑵事件 E= “抽到的是二等品或三等品”解：⑴ P D P A B P A P B =0.7+0.1=0.8⑵P E = P B C P B P C=0.1+0.05=0.1518. 一组数据按从小到大顺序排列, 得到 -1,0,4,x,7,14中位数为5, 求这组数据的平均数和方差 .解：排列式：-1,0,4,x,7,14第9 页共 12 页∵中位数是5, 且有偶数个数∴4 x5∴ x6 2∴这组数为-1,0,4,6,7,14∴x 519.五个学生的数学与物理成绩如下表：学生A B C D E数学8075706560物理7066686462⑴ 作出散点图；⑵求出回归方程 .解:1物理2（）70（）y0.36 x 40.8?60607080数学20.铁路部门托运行李的收费方法如下： y 是收费额 ( 单位：元 ),x 是行李重量 ( 单位：㎏ ),当 0 x 20 时,按0.35/㎏收费,当 x20 ㎏时,20㎏的部分按0.35元/㎏,超出20㎏的部分 , 则按 0.65 元 / ㎏收费 . ⑴请根据上述收费方法求出Y 关于 X 的函数式；⑵画出流程图 .0.35x0 x 20解: y0.35*20 0.65 x20x 20程序如下 :INPUT “请输入行李的重量”;xIF x＞20 THENy= 0.35*20 0.65* x20ELSEy= 0.35* xEND IFPRINT “金额为”;yEND21. 某次数学考试中, 其中一个小组的成绩是：55, 89, 69, 73, 81, 56, 90, 74, 82.试画一个程序框图：程序中用S(i)表示第i 个学生的成绩, 先逐个输入S(i)( i=1,2,, ), 然第 10 页共 12 页后从这些成绩中搜索出小于75 的成绩 .( 注意：要求程序中必须含有循环结构)开始i 1Y i 9N输入 S ii i1i 1i9NS i75Y输出 S ii i1结束22 对某种电子元件的使用寿命进行调查, 抽样 200 个检验结果如表：寿命 (h)100,200200,300300,400400,500500,600个数2030804030⑴列出频率分布表；⑵画出频率分布直方图以及频率分布折线图；⑶估计电子元件寿命在 100h ～400h 以内的频率；⑷估计电子元件寿命在 400h以上的频率 .解 : （1）（ 2）略第 11 页共 12 页区间频数频率频率 / 组距100,200200.10.001 200,300300.150.0015 300,400800.40.004 400,500400.20.002 500,600300.150.0015（3）P100 h ,400h=0.65（ 4）P400 h ,600h=0.35第 12 页共 12 页。

必修三第三章测试卷一、选择题：1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率( )A.12B.13C.23D ．1 2．将骰子向桌面上先后抛掷2次，其中向上的数之积为12的结果有( )A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种3．在面积为S 的△ABC 的内部任取一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.234．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( ) A ．A 与C 互斥 B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥 D ．任何两个均不互斥 5.如图，是由一个圆、一个三角形与一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( )A.34B.38C.14D.186．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16B.13C.12D.237．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.4π D.4π－1 8．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是A.25B.710C.45D.910 9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7810．一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，则参加数学竞赛的2名同学中，女同学人数不少于男同学人数的概率为( )A.310B.25C.35D.71011．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于( )A.12B.23C.13D.2512.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1πB.1πC ．1－2π D.2π二、填空题：13．取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．15．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之与是偶数的概率是________．三、解答题：17．(本小题满分10分)同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，计算：(1)向上的数相同的概率．(2)向上的数之积为偶数的概率．18．(本小题满分12分)袋子中装有大小与形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12. (1)求n 的值．(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．19．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之与不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．20．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．21．(本小题满分12分)为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人，18人，36人．(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；(2)若从抽到的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．22．(本小题满分12分)一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个顶上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体与正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之与为b.(1)求事件b＝3a的概率；(2)求事件“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”的概率．必修三综合检测一、选择题1．下列事件中，是随机事件的是( )①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3个，3个都是正品；②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；④同性电荷，相互排斥；⑤某人购买体育彩票中一等奖．A ．②③④B ．①③⑤C ．①②③⑤D ．②③⑤2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．123．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.254．如图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为( )4题图A ．1＋2＋…＋49B ．1＋2＋…＋50C .11＋2＋…＋49D .11＋2＋…＋505．废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为y ^＝234＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加3x 元B ．废品率每增加1%，生铁成本每吨增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本增加234元D ．废品率不变，生铁成本为234元6．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A .34 B .23 C .12 D .137．某公司在2014年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则( )A ．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系B ．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系C ．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系D ．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系8．如图所示是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1 000B ．P ＝4N 1 000C ．P ＝M 1 000D ．P ＝4M 1 0009．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在[10,40)上的频率为( )A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.6410．如图，样本A 与B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA 与xB ，样本标准差分别为s A 与s B ，则( )A .x A >xB ，s A >s B B .x A <x B ，s A >s BC .x A >x B ，s A <s BD .x A <x B ，s A <s B11．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数与平均数分别是( )A .91.5与91.5B ．91.5与92C ．91与91.5D ．92与9212.如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为( )A .35B .45C .65D .32二、填空题：13．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．①第一步：x＝23，第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，第三步：输出y；②第一步：x＝23，第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，第三步：输出y；③算6次乘法，3次加法；④算3次乘法，3次加法．以上描述正确的序号为________．14．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数K，K＋1，其中K＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之与(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之与为9＋1＋0＝10)大于14”为A，则P(A)＝__________________.15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.16．从参加某知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，估计这次知识竞赛的及格率(大于或等于60分为及格)为________．三、解答题：17．(本小题满分10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)求取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．18．(本小题满分12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示.(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．19．(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．20．(本小题满分12分)(2015·福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．21．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？22．(本小题满分12分)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生(1)(2)3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．。

8.3 分类变量与列联表（精练）【题组一列联表】1．（2020·全国）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，利用2×2列联表进行检验，经计算K2的观测值k＝7.069，参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过（）A．0.001 B．0.01 C．0.99 D．0.999【答案】B【解析】k＝7.069＞6.635，对照表格，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过0.01，故选：B.2．（2020·全国高二单元测试）在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是（）A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【答案】D【解析】由表中数据得2230(6987)14161317K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈0.002 42<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选：D.3．（2020·全国）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝2()()()()()n ad bca b c d a c c d-++++，算得K2＝2110(40302020)60506050⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈7.822.附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】根据独立性检验的定义，由27.822 6.635K≈>，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选：C.4．（2020·全国高二课时练习）某中学共有5000人，其中男生有3500人，女生有1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（）A．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”B．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D．有99%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”【答案】B【解析】由题意得，男生、女生各抽取的人数为35001500 300210,30090 50005000⨯=⨯=，又由频率分布直方图可知，每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为0.75，所以在300人中每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为3000.75225⨯=，又有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，所以男生每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为22560165-=，可得如下的22⨯列联表：结合列联表可得22300(456016530)4.762 3.8412109075225Κ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”，故选：B．5．（2020·全国高二课时练习）通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：)2k随机变量22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++，经计算2 4.762X≈，参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别无关”C．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”D．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别无关”【答案】A【解析】2 4.762 3.841X≈>，则参照题中附表，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”或有95%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”.故选：A．6．（2020·全国高二单元测试）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++.)2k0.12.706根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”【答案】D【解析】由题意，根据22⨯列联表中的数据，得2240(131557)6.46518222020K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，又3.841 6.465 6.635<<，所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.故选：D.7．（多选）（2020·全国高三专题练习）(多选)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是（）A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高【答案】ABD【解析】设等高条形图对应2×2列联表如下：根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即a>b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d.根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁以下的比35岁以下的多，即b>d.对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，所以A正确；对于B，35岁以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；对于C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C 不一定正确；对于D，35岁以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，所以D正确．故选：ABD.8．（多选）（2021·全国高二专题练习）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：附表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++以下说法正确的有（ ）A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6C ．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D ．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系 【答案】AC【解析】因为男女比例为4000︰5000，故A 正确．满意的频率为204020.667903+=≈，所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667，所以B 错误．由列联表2290(20102040)9 6.63540506030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系，所以C 正确，D 错误． 故选：AC.【题组二 独立性检验】1．（2021·安徽芜湖市）“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的23，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的78. （1）填写22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X ，求X 的分布列与期望.附：n a b c d =+++，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：2. 【解析】（1）列22⨯列联表：22100(4053520) 5.556 6.63575256040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.故没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关 （2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y ，则0,1,2,3,4Y =，且3~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(4)24X Y Y Y =--=-，故4,2,0,2,4X =--，且4411(4)(0)4256P X P Y C ⎛⎫=-==== ⎪⎝⎭， 1314313(2)(1)4464P X P Y C ⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22243127(0)(2)44128P X P Y C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3343127(2)(3)4464P X P Y C ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，444381(4)(4)4256P X P Y C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为()434E Y =⨯=，()(24)2()42342E X E Y E Y =-=-=⨯-=， 即()2E X =2．（2021·安徽高二期末）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行2亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了50人，对是否使用过消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于45岁的人数占总人数的35.（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.参考数据：)20k 0.15 2.072 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）从使用消费券且年龄在[15,25)与[25,35)的人中按分层抽样方法抽取6人，再从这6人中选取2名，记抽取的两人中年龄在[15,25)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）列联表答案见解析，有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：23. 【解析】（1）由题意得515105505153505m n m +++++=⎧⎪++⎨=⎪⎩解得10,5m n ==；由以上统计数据填写下面22⨯列联表，如下 根据公式计算2250(1027103)9.98 6.63537133020K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关：（2）由题意知抽取的6人中年龄在[15,25)的有2人，年龄在[25,35)的有4人， 所以X 的可能取值为0,1,2.且21124242222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C =========， 所以X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=.3．（2021·江西新余市·高二期末（文））推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.（1）某垃圾站的日垃圾分拣量y （千克）与垃圾分类志愿者人数x （人）满足回归直线方程y bx a =+，数据统计如下：已知511405i i y y ===∑，52190i i x ==∑，51885i i i x y ==∑，根据所给数据求t 和回归直线方程.y bx a =+.附：1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.（2）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15. ①若被调查的男性居民人数为a 人，请完成以下2×2列联表：②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人?附()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，【答案】（1）60t =，8.56y x =+；（2）①2×2列联表见解析；②20 【解析】（1）根据表中数据可知()125304045405y t =++++=，解得60t =， ()12345645x =++++=， 5152221588554408.590545i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑，408.546a =-⨯=，所以回归直线方程为8.56y x =+； （2）①根据题意可得2×2列联表如下：②在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，22214325555 6.63564355a a a a a a K a a a a ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭∴==>⋅⋅⋅，解得19.905a >，故a 的最小值为20，所以被调查的女性居民至少20人.4（2021·云南曲靖市）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.)2k0.500.455（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++）（其中n a b c d=+++）【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.；(2)分布列见解析，125.【解析】(1)根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下:根据公式可得22100(40401010)36 6.63550505050K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.(2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为4010850⨯=人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且122138282833310101085656(1),(2),(3)12010120C C C C C P X P X P X C C C =========，其分布列为1231201201205EX =⨯+⨯+⨯=. 5．（2021·江西高二期末）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）分布列见解析，95EX =；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =．令得分中位数为x ，由()0.020100.040900.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =．故综合评分的中位数为82.5． （2）由（1）与频率分布直方图 ，优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯= ，即概率为0.6， 设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X ，则3~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()3032805125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；()2133236155125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭； ()2233254255125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()33332735125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭． 其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望355EX =⨯=． （3）结合（1）与频率分布直方图， 优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯=，则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：可得()221002010304016.667 6.63560405050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．6.（2020·四川成都市）一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22⨯列联表：（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为23． 【解析】（1）由题中22⨯列联表，可得()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． （2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人， 男性人数为106230⨯=人；女性人数为206430⨯=人． 由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．()022426620155C C P C ξ====，()1124268115C C P C ξ===，()2024261215C C P C ξ===， ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望()01251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==． 7．（2020·山东济南市）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求()50.594P Z <<；（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？（3）从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人，求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望.14.5≈；②若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=；③()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++【答案】（1）0.8186；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关；（3）分布列详见见解析，数学期望：95. 【解析】（1）由题意知：350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，又50.565≈9465≈+ 所以11(50.594)0.68270.95450.818622P Z <<=⨯+⨯=. （2）由题意得列联表如下：221000(235310315140)14.249 6.635375625550450K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.（3）不低于80分的被调查者的男女比例为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取10人中，男性为6人，女性为4人.设从这10人中随机抽取的3人中男性人数为ξ，则ξ的取值为0,1,2,3343101(0)30C P C ξ===，21463103(1)10C C P C ξ===，12463101(2)2C C P C ξ===，363101(3)6C P C ξ===，所以随机变量ξ的分布列为所以其期望()2310265E ξ=+⨯+⨯= 8．（2020·四川师范大学附属中学）新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这2000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上 升”两类，对应的人数如下表所示：（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到()0.001）说明，是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中 随机抽取 3人做进一步调查，记抽到3名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得1-分，抽到3名生的总得分用X 表示，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）列联表见解析，有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）分布列见解析，数学期望为34． 【解析】（1）()222000500500300700125 3.472 2.7068001200120080036K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从8人中随机抽取3人，随机变量X 所有可能的取值为3,1,1,3--()0353381356C C P X C ⋅=-== ()12533815156C C P X C ⋅=-==()21533815128C C P X C ⋅=== ()3053385328C C P X C ⋅===X ∴的分布列如下：()115301033113565656564E X =-⨯-⨯+⨯+⨯= 9．（2020·全国高二专题练习）景泰蓝（Cloisonne ），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12件），每件支付员工200元，超出(0,2]的部分，每件支付员工220元，超出(2,4]的部分，每件支付员工240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)2k0.12.706【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）分布列见解析，1310. 【解析】（1）22⨯列联表如下：22100(488422)4 3.84150509010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关．（2）若员工实得计件工资超过3320元，则每月完成合格品的件数需超过16件，由题中统计表数据可得，男员工实得计件工资超过3320元的概率125P =，女员工实得计件工资超过3320元的概率212P =． 设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为X ，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为Y ，则21~2,,~1,52X B Y B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，2319(0)(0,0)5250P P X Y ξ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭，210223213121(1)(1,0)(0,1)5525250P P X Y P X Y C C ξ⎛⎫====+===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 22122213218(2)(2,0)(1,1)5255225P P X Y P X Y C C ξ⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2212(3)(2,1)5225P P X Y ξ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭，所以随机变量ξ的分布列为所以9218213()01235050252510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 10．（2020·广东广州市）某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如下所示：（1）若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在[]120,150，[)90,120，[)0,90内女生的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的22⨯列联表，并判断：是否有95％以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为X ，求X 的分布列及数学期望()EX ．附表及公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）表格见解析，没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关；（2）分布列见解析，8. 【解析】（1）解：依题意，完成下面的22⨯列联表：()22120164440200.102 3.84136845664K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.故没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关.（2）解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取1人，6人，3人.现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和X 的可能取值为15，10，5，0.()1116210162154515C C P X C ⨯====，()211613*********104515C C C P X C C ==+==()116321018654515C C P X C ====，()232103104515C P X C ====所以X 的分布列为：所以()151050815151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 11．（2020·湖南高三月考）某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G 手机购买意向调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有X 人，女员工有Y 人，求随机变量X Y ξ=-的分布列与数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.)20k 0.15 2.072【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：83. 【解析】1）由题意得：2×2列联表如下：2228(28810)448= 3.3212161018135K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人， 所以ξ可能的取值有0,2,4，4010241221014(4)(40)=49533C C P P X Y C ξ======且，3110241224016(2)(31)=49533C C P P X Y C ξ======且，221024121(0)(22)=4951145C C P P X Y C ξ======且， ξ∴的分布列为：ξ∴的期望()024*******E ξ=⨯+⨯+⨯=. 12．（2020·全国高三专题练习）某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出300名客户，对该平台售前服务和售后服务的评价进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的满意度.其中售前服务的满意率为1315，售后服务的满意率为23，对售前服务和售后服务都不满意的客户有20人（1）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关；（2）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率为95%，只对其中一项不满意的客户保有率为66%，对两项都不满意的客户保有率为1%，从该运营系统中任选3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数ξ的分布列和期望，附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；（2）分布列见解析，数学期望为125.【解析】（1）由题意知对售前服务满意的有1330026015⨯=人，对服务不满意的有13001003⨯=人，所以，补全22⨯列联表如下：经计算得22300(180208020)755.77 5.0242001002604013K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关.（2）在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为1805795%300100⨯=， 只有一项满意的客户保有的概率为1002266%300100⨯=， 对二者都不满意的客户保有的概率为20115%300100⨯=. 所以，从系统中任选一名客户保有的概率为5722141005++=， 故4~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，{0,1,2,3}ξ∈， 311(0)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 2134112(1)55125P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 2231448(2)55125P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 3464(3)5125P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ 所以ξ的分布列为：()1248641201231251251255E ξ=+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考查独立性检验、二项分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查分析问题的能力.本题第二问解题的关键在于根据保有率计算得到系统中任选一名客户保有的概率为5722141005++=，进而得到4~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，属于中档题。

五一作业1．tan（﹣345°）＝（）A．2+B．﹣2+C．﹣2﹣D．2﹣【解答】解：∵tan30°＝tan（2×15°）＝＝，∴可得tan215°+6tan15°﹣＝0，∴解得tan15°＝2﹣，负值舍去，∴tan（﹣345°）＝﹣tan（360°﹣15°）＝tan15°＝2﹣．故选：D．2．已知tan（π﹣α）＝2，则＝（）A．±B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵tan（π﹣α）＝﹣tanα＝2，∴tanα＝﹣2，∴＝＝4sinαcosα＝＝＝＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．将函数y＝sin x cos x﹣cos2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数C．g（x）在（π，2π）上单调递减D．g（x）在[0，]上的最大值为【解答】解：令f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣；∵f（x）向右平移个单位∴g（x）＝sin[2（x﹣﹣）]﹣＝sin（2x﹣）﹣＝﹣cos2x﹣，A答案：T＝＝＝π，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为kπ≤x≤kπ+，所以C错误．D答案：正确．故选：D．4．设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则sinθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin x﹣2cos x＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣φ），其中cosφ＝，sinφ＝．当x﹣φ＝2kπ+（k∈Z）时，取的最大值．∴θ＝φ+2kπ+（k∈Z）时，取得最大值，则sinθ＝sin（φ+2kπ+）＝cosφ＝，故选：D．5．下列关于函数f（x）＝sin|x|和函数g（x）＝|sin x|的结论，正确的是（）A．g（x）值域是[﹣1，1]B．f（x）≥0C．f（x+2π）＝f（x）D．g（x+π）＝g（x）【分析】结合f（x）和g（x）的解析式，分别进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin|x|＝，函数f（x）∈[﹣1，1]，f（x）是偶函数，不具备周期性，故C，B错误，g（x）＝|sin x|≥0，即函数g（x）的值域是[0，1]，故A错误，g（x+π）＝|sin（x+π）|＝|﹣sin x|＝|sin x|＝g（x），故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的周期性，值域的判断，结合绝对值的意义是解决本题的关键．6．函数f（x）＝cosωx（ω＞0）在区间上是单调函数，且f（x）的图象关于点对称，则ω＝（）A．或B．或2C．或2D．或【解答】解：f（x）的图象关于点对称，则ω＝，整理得：ω＝（k∈Z），当k＝0时，ω＝，所以函数f（x）＝，函数的最小正周期为3π，所以函数f （x）在区间上是单调递减函数．当k＝1时，ω＝2，所以函数f（x）＝cos2x，函数的最小正周期为π，所以函数f（x）在区间上是单调递减函数．当k＝2时，ω＝，所以函数f（x）＝cos x，函数的最小正周期为，所以函数f（x）在区间上是不是单调递减函数，函数的单调性先减后增，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝﹣，∴φ＝﹣，∴f（x）＝cos（2x﹣）．如果，x1≠x2，则2x1﹣∈（﹣，），2x2﹣∈（﹣，），∵f（x1）＝f（x2），∴2x1﹣+（2x2﹣）＝0，∴x1+x2＝，则f（x1+x2）＝cos（﹣）＝cos＝﹣cos＝﹣，故选：B．8．已知tanα+＝4（α∈（π，π）），则sinα+cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵tanα+＝4，∴tan2α﹣4tanα+1＝0，解得，又∵α∈（π，π），∴tan，sinα＜0，cosα＜0，∴sinαcosα＝，∴，∴sinα+cosα＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是中档题．9．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0【解答】解：∵f（）＝2cos（+φ）﹣1＝0，∴cos（+φ）＝，∴+φ＝2kπ±，k∈Z，①∵f（）＝2cos（+φ）﹣1＝1，∴cos（+φ）＝1，∴+φ＝2mπ，m∈Z，②由①②可得φ＝8kπ﹣6mπ±，由于|φ|＜π，可取k＝1，m＝1，解得φ＝（舍去），则ω＝6m﹣2，m∈Z，可得正数ω的最小值为4，即有f（x）＝2cos（4x+）﹣1，由x∈，可得4x+∈[，π]，可得f（x）在上递减，则f（x）的最大值为f（﹣）＝2cos﹣1＝2×﹣1＝0，故选：D．10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A+C）＝，则tan C+的最小值为（）A．B．2C．1D．【分析】利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin（B﹣C）＝sin C，可得tan（B﹣C）＝tan C，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由sin（A+C）＝，得sin B＝＝，所以b2＝c2+ac，由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得a﹣2c cos B＝c，利用正弦定理sin A﹣2sin C cos B＝sin C，sin B cos C+cos B sin C﹣2sin C cos B＝sin B cos C﹣cos B sin C＝sin C，即sin（B﹣C）＝sin C，∵锐角△ABC中，∴tan（B﹣C）＝tan C，∴tan C+＝tan C+≥2＝，当且仅当tan C＝时取等号．故选：A．【点评】本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质．，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【解答】解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数，是中档题．12．已知函数，过点，当的最大值为9，则m的值为（）A．2B．C．2和D．±2【解答】解：由题意T＝，故ω＝2，将A的坐标代入f（x）得φ）＝0，故φ＝2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝﹣．故，∴+[1﹣2]令t＝∈[0，1]，故g（x）可化为：y＝﹣2t2+4mt+1，t∈[0，1]对称轴为：t＝m，开口向下．①当m≤0时，t＝0时，y max＝1≠9②当m≥1时，t＝1时，y max＝4m﹣1＝9，∴符合题意；③当0＜m＜1时，t＝m时，y max＝2m2+1＝9，∴m＝±2（舍）综上，当m的值为时，原函数取得最大值9．故选：B．【点评】本题考查了倍角公式、三角函数的图象与性质以及利用换元法求函数的最值等问题．本题的难点一是难以发现角之间的倍数关系，二是换元之后的分类讨论忽视了讨论的范围．13．已知α，β∈（，π），sinα＝，cos（α+β）＝，则β＝【分析】利用两角和差的三角公式进行转化，先求出cosβ的值即可．【解答】解：由于α，β∈（，π），∴α+β∈（π，2π），∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝﹣，cosα＝﹣，∴cosβ＝cos[（α+β﹣α）]＝cos（α+β）cosα）+sin（α+β）sinα＝×（﹣）+（﹣）×＝＝﹣，∴β＝．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．14．设，若f（x）在上为增函数，则ω的取值范围是【解答】解：设，在上，ωx﹣∈[﹣﹣，﹣]，由于f（x）为增函数，∴，即，求得0＜ω≤，【点评】本题主要考查正弦函数的单调增区间，属于基础题．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是[﹣3，﹣1]．【解答】解：由题意＝2，＝1，•＝••cos∠BAD＝2×1×cos＝1．∵＝λ，＝λ＝λ．∴＝（1﹣λ），＝（1﹣λ）＝（1﹣λ）．结合图形，有＝+＝+（1﹣λ），＝（1﹣λ）﹣．∴•＝[+（1﹣λ）]•[（1﹣λ）﹣]＝（1﹣λ）2﹣•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）2＝1﹣λ﹣1+（1﹣λ）2﹣4（1﹣λ）＝λ2+λ﹣3，∵λ∈[0，1]，∴由二次函数知识，可知λ2+λ﹣3＝（λ+）2﹣∈[﹣3，﹣1]．∴•的取值范围为[﹣3，﹣1]．故答案为：[﹣3，﹣1]．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若＝，则的最小值为．【解答】解：如图，以O为原点建立直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，﹣2），即有直线BC的方程为y＝x﹣1，可设Q（m，m﹣1），＝，即为（2，0）•（m+1，m﹣1）＝2（m+1）＝，解得m＝，即Q（，﹣），设P（cosα，sinα），0≤α≤π，可得＝（，﹣）•（cosα+1，sinα+2）＝cosα+﹣sinα﹣＝（2cosα﹣sinα）＝cos（α+θ），θ∈（0，），当cos（α+θ）＝﹣1即α+θ＝π，可得的最小值为﹣．故答案为：﹣．17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β）的值，根据两角差的余弦函数公式可求cosβ的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．18．设函数，其中0＜ω＜3．若．（1）求ω；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的最小值．【分析】（1）将代入，结合0＜ω＜3构造一个关于ω的不等式、方程的混合组，解出ω即可．（2）先根据图象的平移变换与伸缩变换的规律，求出y＝g（x）的解析式，再利用“整体思想”结合正弦函数的性质求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝sin，且＝0，所以﹣＝kπ，k∈Z．故ω＝6k+2，k∈Z．又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）得f（x）＝sin．所以g（x）＝sin（），因为x∈，所以x﹣，所以，当x﹣＝﹣，即x＝﹣时，g（x）取得最小值﹣．【点评】本题通过对三角函数的图象和性质以及图象变换知识与方法的考查，考查了学生的数学运算、直观想象以及逻辑推理等数学核心素养，本题属于一道中档题．19．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+c sin A＝b+c．（1）求A；（2）若a＝，b+c＝3，求b，c．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合辅助角公式即可求解；（2）由已知结合余弦定理即可求解．【解答】解：（1）因为a cos C+c sin A＝b+c．由正弦定理可得，sin A cos C+sin C sin A＝sin B+sin C＝sin（A+C）+sin C，展开可得，sin A cos C+sin C sin A＝sin A cos C+sin C cos A+sin C，因为sin C≠0，所以，即sin（A﹣）＝，∴A﹣＝或A﹣＝（舍），故A＝；（2）因为a＝，b+c＝3，由余弦定理可得，＝＝＝，解可得，bc＝2，所以或．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求cos2x0的值．【分析】（Ⅰ）先由二倍角公式及辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质令，解出即可得到增区间；（Ⅱ）先根据题意化简得，由x0的范围结合平方关系计算可得，再通过配角，利用余弦的和角公式计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）＝，令，解得，∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ），则，由于，则，故，∴＝＝．【点评】本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查化简计算能力，属于基础题．21．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点．（1）设＝，＝，设＝x+y，求x﹣y；（2）求•的取值范围；（3）若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求•．【解答】解：（1）∵＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+，∴x＝，y＝，∴x﹣y＝（2）设＝λ，（0≤λ≤1）因为在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，∴∠CAB＝60°，∴•＝（﹣）•（﹣）＝（λ﹣）（﹣λ）＝﹣4λ2+λ•1×2×＝﹣4λ2+λ＝﹣4（λ﹣）2+∈[﹣3，]（3）∵A，M，D三点共线，∴可设＝x+（1﹣x）＝x+（1﹣x）•，∵F为AB的中点，∴＝+，又C，M，F三点共线，∴存在t∈R使得＝t，∴x+（1﹣x）＝+，∴，解得，•＝（+）•＝（++）•＝•+2＝×1×2×（﹣）+×4＝22．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．。

数学必修三习题答案【篇一：高一数学必修3全册各章节课堂同步习题(详解答案)】概念班次姓名[自我认知]:1．下面的结论正确的是( ).a. 一个程序的算法步骤是可逆的b. 一个算法可以无止境地运算下去的 c. 完成一件事情的算法有且只有一种 d. 设计算法要本着简单方便的原则 2．下面对算法描述正确的一项是 ( ). a.算法只能用自然语言来描述 b.算法只能用图形方式来表示 c.同一问题可以有不同的算法d.同一问题的算法不同,结果必然不同3．下面哪个不是算法的特征( ) a.抽象性 b.精确性 c.有穷性 d.唯一性4．算法的有穷性是指( )a.算法必须包含输出b.算法中每个操作步骤都是可执行的c.算法的步骤必须有限d.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤,从下列选项中选最好的一种算法() a.s1洗脸刷牙、s2刷水壶、s3烧水、s4泡面、s5吃饭、s6听广播 b.s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c. s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d.s1吃饭同时听广播、s2泡面；s3烧水同时洗脸刷牙；s4刷水壶6.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是( )a.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达b.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1c.方程x2?1?0有两个实根d.求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值,其中正确的顺序是 ( ) a.①②③ b.②③①c.①③②d.②①③[课后练习]:8.若f?x?在区间?a,b?内单调,且f?a??f?b??0,则f?x?在区间?a,b?内( )a.至多有一个根 b.至少有一个根c.恰好有一个根 d.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取a=89 ,b=96 ,c=99；第二步：____①______；第三步：_____②_____；第四步：输出计算的结果.10．写出求1+2+3+4+5+6+?+100的一个算法.可运用公式1+2+3+?+n= 第一步______①_______；第二步_______②________；第三步输出计算的结果.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法.n(n?1)直接计算. 21.1．2程序框图[自我认知]: １．算法的三种基本结构是（）Ａ．顺序结构、条件结构、循环结构Ｂ．顺序结构、流程结构、循环结构Ｃ．顺序结构、分支结构、流程结构Ｄ．流程结构、循环结构、分支结构２．程序框图中表示判断框的是（）Ａ．矩形框Ｂ．菱形框 d.圆形框 d.椭圆形框3.如图(1)、(2),它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图,那么应分别补充的条件为( )⑴333⑵3a.⑴n≥1000 ? ⑵n＜1000 ?b. ⑴n≤1000 ?⑵n≥1000 ?c. ⑴n＜1000 ? ⑵n≥1000 ?d. ⑴n＜1000 ?⑵n＜1000 ?4.算法共有三种逻辑结构,即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构,下列说法正确的是 ( ) a.一个算法只能含有一种逻辑结构 b.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 c.一个算法必须含有上述三种逻辑结构d.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 [课后练习]:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示),该程序框图的功能是( ) a.求输出a,b,c三数的最大数 b.求输出a,b,c三数的最小数3333c.将a,b,c按从小到大排列d.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图(如上图所示),能判断任意输入的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是( )a.m?0?b.x?0 ?c.x?1 ?d.m?1?7.在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断,并根据结果进行不同处理的是哪种结构 ( ) a.顺序结构 b.条件结构和循环结构 c.顺序结构和条件结构 d.没有任何结构?x2?1(x?0)8.已知函数f?x??? ,设计一个求函数值的算法,并画出其程序框图(x?0)?2x?11.1.2程序框图(第二课时)[课后练习]:班次姓名1．如图⑴的算法的功能是____________________________.输出结果i=___,i+2=_____.2．如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出 s=__________. 箭头a指向②处时，输出 s=__________.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132, 则判断中应填a、i≥10？b、i≥11？c、i≤11？ d、i≥12？4.如图(3)程序框图箭头b指向①处时，输出 s=__________. 箭头b指向②处时，输出 s=__________5、如图(5)是为求1~1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。

高中必修三数学习题带答案
高中必修三数学学习题带答案
数学作为一门重要的学科，对于学生来说是必修的课程之一。

在高中阶段，数
学的学习变得更加深入和复杂，需要学生付出更多的努力和时间。

为了帮助学
生更好地掌握高中必修三数学知识，我们整理了一些常见的数学学习题，并提
供了详细的答案，希望能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

1. 请用代数方法解方程：2x+3=7
解答：首先将方程化简为2x=4，然后将方程两边都除以2，得到x=2。

2. 求下列方程的解：5x-7=18
解答：首先将方程化简为5x=25，然后将方程两边都除以5，得到x=5。

3. 求下列方程的解：3(x-4)=15
解答：首先将方程化简为3x-12=15，然后将方程两边都加上12，得到3x=27，最后将方程两边都除以3，得到x=9。

4. 求下列方程的解：2(x+3)=10
解答：首先将方程化简为2x+6=10，然后将方程两边都减去6，得到2x=4，最
后将方程两边都除以2，得到x=2。

5. 求下列方程的解：4(x-2)=16
解答：首先将方程化简为4x-8=16，然后将方程两边都加上8，得到4x=24，
最后将方程两边都除以4，得到x=6。

通过以上的练习题，相信学生们对于高中必修三数学知识有了更深入的理解和
掌握。

希望学生们能够在课余时间多多练习，提高自己的数学水平，为将来的
学习和考试打下坚实的基础。

高中数学《必修3》训练题（1）一．选择题1.下列说法正确的是（ ）A.概率为0的事件一定是不可能事件B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定2.掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（ ） A. 61 B. 21 C. `31 D. 41 3.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ） A.9991 B.10001 C.1000999 D.21 4.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A.A 与C 互斥B.B 与C 互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是（ ）A.0.62B.0.38C.0.02 .0.686.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是------（ ） A.21 B.41 C.31 D.81 7.下列说法正确的是( )．A ．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生B ．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件C ．概率的大小与不确定事件有关D ．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生8.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为( )． A.5个 B.8个 C.10个 D.15个9.下列事件为确定事件的有( )．(1)在一标准大气压下，20℃的纯水结冰 (2)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分 (3)抛一枚硬币，落下后正面朝上 (4)边长为a ，b 的长方形面积为ab. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球11.从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K ”的概率是( )．A ．1/54B ．1/27C ．1/18D ．2/2712.同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．A ．1/4B ．1/9C ．1/6D ．1/1213.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．A ．60％B ．30％C ．10％D ．50％14.根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )．A ．0.65B ．0.55C ．0.35D ．0.7515.袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（ ） A.21 B.31 C.41 D.52 16.00mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )A. 0.5B. 0.4C. 0.004D. 不能确定17.事件中，随机事件的个数是( )①如果a 、b 是实数，那么b+a=a+b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，20x ≥；④一个电影院栽天的上座率超过50%。

乌鲁木齐市高级中学必修3《算法初步》测试题一.选择题: (每小题4分,共48分)1. 算法的三种基本结构是( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构2. 将两个数a=8,b=17下面语句正确一组是(A. B.3. 给出以下四个问题,①输入一个数x,输出它的相反数.②求面积为6的正方形的周长.③求三个数a,b,c中的最大数.④求函数1,0()2,0x xf xx x-≥⎧=⎨+<⎩的函数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( )A. i>20B. i<20C. i>=20D. i<=205.若)(xf在区间[]b a,内单调,且0)()(<⋅bfaf,则)(xf在区间[]ba,内( )A. 至多有一个根B. 至少有一个根C. 恰好有一个根 D. 不确定6. 将389 化成四进位制数的末位是( )A. 1B. 2C. 3D. 07. 下列各数中最小的数是( )A.)9(85 B.)6(210 C.)4(1000 D.)2(1111118. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=xxxxxxxf当4.0=x时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )A. 6 , 6B. 5 , 6C. 5 , 5D. 6 , 59. 用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(xxxxxxxf++++-+=在4-=x时的值时,3V的值为( )A. －845B. 220C. －57D. 3410．10、求方程023=-xx的近似根，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，下面正确的是（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间11. 程序运行后输出的结果为 ( )A. 50B. 5C. 25D. 012. 程序运行后输出的结果为 ( )A. 3 4 5 6B. 4 5 6 7C. 5 6 7 8D. 6 7 8 9 二. 填空题.(每小题3分,共12分)13、书写算法有5种语句，包括 。

6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A⨯⨯⨯=. 故选：C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】64【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有336A=种情况，所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为：185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D，前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家，那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=，由于A医疗队被派遣到H国家，则B医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B医疗队被派遣到E国的概率是13.故答案为：24；13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选：B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．112B．15C．115D．215【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为 A ．480B ．720C ．960D ．1440【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑222A =，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，2520A =，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，4424A =，所以不同的排法种数为：22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排， 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选：D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，故选：B.【题组三 不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法， 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连， 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种.综上所述，不同的放法种数为64362+=种.故选：A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A=种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A=种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种，故选：C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．72B．48C．24D．60【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A=种.故选：C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：4424A=；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：2 412A=然后，4244241212A A-=-=故答案为：126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种. 【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排D ，E ，有22A 种方法，产生3个空位，将,A B 捆绑有22A 种方法，将,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有13A 种方法，这时AB 、D 、E 产生四个空位，最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一，有13A 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种，故答案为：36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况， ②将这个整体与英语全排列，有222A =种顺序，排好后，有3个空位， ③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有236A =种情况，则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种；故答案为：24. 【题组四 分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法． 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有31163213320lC C C C A = (种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为：1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【解析】把5人按人数2,2,1分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为：90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________． 【答案】240．【解析】将这5张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有2111532133C C C C A 种分组办法，再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为：240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________. 【答案】180【解析】112654C C C 180=.故答案为：180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900. 【题组五 几何问题】1．（2021·全国）直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当2m -<≤2m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种，当m <时，圆面224x y +≤被分成4块，此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个， ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】A【解析】方程12348x x x x +++=，其中22x =，则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为：34【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，所以(),m n 的可能情况有：2520P =种， 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m n >，所以满足要求的有：2510C =种， 所以概率为：101202P ==.故答案为：12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为4424A =个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个；当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上，可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为：204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．。

高中必修三数学习题带答案高中必修三数学习题带答案在高中数学课程中，必修三是一门重要的课程，它包含了许多重要的数学概念和方法。

本文将介绍几个典型的高中必修三数学习题，并给出详细的解答。

一、函数的概念与性质1. 设函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。

解答：将 x = 4 代入函数 f(x) = 2x + 3，得到 f(4) = 2(4) + 3 = 11。

2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2，求 f(-2) 的值。

解答：将 x = -2 代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2，得到 f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) - 2 =4 - 6 - 2 = -4。

二、三角函数1. 已知sinθ = 1/2，求θ 的值。

解答：根据sinθ = 1/2，可知θ = π/6 或5π/6。

2. 已知cosθ = -√3/2，求θ 的值。

解答：根据cosθ = -√3/2，可知θ = 5π/6 或7π/6。

三、立体几何1. 已知正方体的边长为 a，求其表面积和体积。

解答：正方体的表面积为 6a^2，体积为 a^3。

2. 已知圆柱体的底面半径为 r，高为 h，求其表面积和体积。

解答：圆柱体的表面积为2πr(r + h)，体积为πr^2h。

四、概率与统计1. 有 5 个红球和 3 个蓝球放在一个盒子里，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

解答：总共有 8 个球，其中 5 个红球，所以抽到红球的概率为 5/8。

2. 一个班级有 40 名学生，其中 20 名男生，30 名学生会参加夏令营，求参加夏令营的学生中男生的比例。

解答：参加夏令营的学生有 30 人，其中男生有 20 人，所以男生的比例为20/30 = 2/3。

五、数列与数列的和1. 求等差数列 1，4，7，...，97 的和。

解答：首项 a1 = 1，公差 d = 4 - 1 = 3，末项 an = 97。

根据等差数列求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入数据得到S49 = (49/2)(1 + 97) = 49 × 49 = 2401。

高中数学必修三 1.1.1算法的概念练习新人教A版基础巩固一、选择题1．以下关于算法的说法正确的是( )A．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其它语言B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果[答案] A[解析] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题．算法过程要求一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言及形式语言等．2．下列对算法的理解不正确的是( )A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的C．算法中的每一个步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一种算法[答案] D[解析] 依据算法的概念及特征逐项排除验证．解：算法的有限性是指包含的步骤是有限的，故A正确；算法的确定性是指每一步都是确定的，故B正确；算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果，故C正确；对于同一个问题可以有不同的算法，故D错误．[点评] 解决有关算法的概念判断题应根据算法的特征进行判断，特别注意能在有限步内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确可行的，不能是模棱两可的，对同一个问题可设计不同的算法．3．下列语句中是算法的有( )①从广州到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类顼、系数化为1；③方程x2－1＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析] ①中说明了从广州到北京的行程安排，完成任务；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．4．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )①S＝1＋2＋3＋ (100)②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N＋)．A．①②B．①③C．②③D．①②③[答案] B5．阅读下面的算法：第一步，输入两个实数a，b.第二步：若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．第三步，输出a.这个算法输出的是( )A．a，b中的较大数B．a，b中的较小数C．原来的a的值D．原来的b的值[答案] A[解析] 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；否则a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．6．阅读下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是( )A．求1×2×3的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，最终结果为6B．解一元一次不等的步骤是化标准式、移项、合并同类项、系数化为1C．今天，我上了8节课，真累D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15[答案] C[解析] A，B，D项中，都是解决问题的步骤，则A，B，D项中所叙述的是算法，C项中是说明一个事实，不是算法．二、填空题7．给出下列表述：①利用△ABC 的面积公式S ＝12ab sin C 计算a ＝2、b ＝1、C ＝60°时三角形的面积；②从江苏昆山到九寨沟旅游可以先乘汽车到上海，再乘飞机到成都，再乘汽车抵达； ③求过M (1,2)与N (－3,5)两点的连线所在的直线方程，可先求直线MN 的斜率，再利用点斜式方程求得；④求三点A (2,2)、B (2,6)、C (4,4)所确定的△ABC 的面积，可先算AB 的长a ，再求AB 的直线方程及点C 到直线AB 的距离h ，最后利用S ＝12ah 来进行计算．其中是算法的是________．[答案] ②③④[解析] 由算法的含义及特性知②③④是算法，①没有说明计算的步骤，所以①不是算法．8．完成解不等式2x ＋2<4x －1的算法： 第一步，移项并合并同类项，得________．第二步，在不等式的两边同时除以x 的系数，得________． [答案] －2x <－3 x >32三、解答题9．(2015·江西南昌期末)已知一个等边三角形的周长为a ，求这个三角形的面积．设计一个算法解决这个问题．[探究] 利用正三角形面积公式S ＝34l 2(l 为正三角形边长)求值设计． [解析] 第一步，输入a 的值． 第二步，计算l ＝a3的值．第三步，计算S ＝34×l 2的值． 第四步，输出S 的值． 10．下面给出一个问题的算法： 第一步，输入x ；第二步，若x ≥4，则执行第三步，否则执行第四步； 第三步，输出2x －1结束； 第四步，输出x 2－2x ＋3结束． 问：(1)这个算法解决的问题是什么？(2)当输入的x 的值为多少时，输出的数值最小？[解析] (1)这个算法解决的问题是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥4x 2－2x ＋3 x <4的函数值的问题．(2)本问的实质是求分段函数最小值的问题． 当x ≥4时，y ＝2x －1≥7；当x <4时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴函数最小值为2，当x ＝1时取到最小值． ∴当输入x 的值为1时，输出的数值最小．能力提升一、选择题1．结合下面的算法： 第一步，输入x .第二步，判断x 是否小于0，若是，则输出x ＋2，否则执行第三步． 第三步，输出x －1.当输入的x 的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( ) A ．－1,0,1 B ．－1,1,0 C ．1，－1,0 D ．0，－1,1[答案] C[解析] 根据x 值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x 的值为－1,0,1时，输出的结果应分别为1，－1,0，故选C.2．给出下列算法：第一步，输入正整数n (n >1)．第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则输出n ；若n >2，则执行第三步．第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行第四步；若能整除n ，则执行第一步．第四步，输出n . 则输出的n 的值是( ) A ．奇数 B ．偶数 C ．质数 D ．合数[答案] C[解析] 根据算法可知n ＝2时，输出n 的值2；若n ＝3，输出n 的值3；若n ＝4,2能整除4，则重新输入n 的值……，故输出的n 的值为质数．3．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( )A ．13B ．14C ．15D ．23[答案] C[解析] ①洗锅盛水2分钟、②用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟、③准备面条及佐料2分钟)、⑤煮面条3分钟，共为15分钟．4．已知两个单元分别存放了变量x 和y ，下面描述交换这两个变量的值的算法中正确的为( )A ．第一步 把x 的值给y ；第二步 把y 的值给x .B ．第一步 把x 的值给t ；第二步 把t 的值给y ；第三步 把y 的值给x .C ．第一步 把x 的值给t ；第二步 把y 的值给x ；第三步 把t 的值给y .D ．第一步 把y 的值给x ；第二步 把x 的值给t ；第三步 把t 的值给y . [答案] C[解析] 为了达到交换的目的，需要一个中间变量t ，通过t 使两个变量来交换． 第一步 先将x 的值赋给t (这时存放x 的单元可以再利用)； 第二步 再将y 的值赋给x (这时存放y 的单元可以再利用)； 第三步 最后把t 的值赋给y ，两个变量x 和y 的值便完成了交换．[点评] 这好比有一碗酱油和一碗醋．我们要把这两碗盛装的物品交换过来，需要一个空碗(即t )；先把醋(或酱油)倒入空碗，再把酱油(或醋)倒入原来盛醋(或酱油)的碗，最后把倒入空碗中的醋(或酱油)倒入原来盛酱油(或醋)的碗，就完成了交换．二、填空题 5．给出下列算法： 第一步，输入x 的值．第二步，当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步． 第三步，计算y ＝4－x . 第四步，输出y .当输入x ＝0时，输出y ＝________. [答案] 2[解析] 由于x ＝0>4不成立，故计算y ＝4－x ＝2，输出y ＝2.6．已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，写出求点到直线距离的一个算法． 有如下步骤：①输入点的坐标x 0，y 0.②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C .③计算z 2＝A 2＋B 2.④输入直线方程的系数A ，B 和常数C .⑤计算d ＝|z 1|z 2.⑥输出d 的值．其中正确的顺序为__________________．[答案] ①④②③⑤⑥[解析] (1)算法步骤应先输入相关信息最后输出结果；(2)d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，应先将分子、分母求出，再代入公式．三、解答题7．设计一个算法，找出闭区间[20,25]上所有能被3整除的整数． [解析] 第一步，用20除以3，余数不为0，故20不能被3整除； 第二步，用21除以3，余数为0，故21能被3整除； 第三步，用22除以3，余数不为0，故22不能被3整除； 第四步，用23除以3，余数不为0，故23不能被3整除； 第五步，用24除以3，余数为0，故24能被3整除； 第六步，用25除以3，余数不为0，故25不能被3整除； 第七步，指出在闭区间[20,25]上能被3整除的整数为21和24.8．某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．设计安全过河的算法．[解析] 第一步，人带羊过河． 第二步，人自己返回． 第三步，人带青菜过河． 第四步，人带羊反回． 第五步，人带狼过河． 第六步，人自己返回． 第七步，人带羊过河．高中数学必修三 1.1.2第1课时程序框图、顺序结构练习 新人教A 版基础巩固一、选择题1．程序框图是算法思想的重要表现形式，程序框图中不含( ) A ．流程线 B ．判断框 C ．循环框 D ．执行框[答案] C[解析] 程序框图是由程序框和流程线组成．其中程序框包括起止框、、输入输出框、执行框、判断框．这里并没有循环框．2．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的( )A．处理框内B．判断框内C．输入、输出框内D．终端框内[答案] A[解析] 由处理框的意义可知，对变量进行赋值，执行计算语句，处理数据，结果的传送都可以放在处理框内，∴选A.3．下列关于程序框的功能描述正确的是( )A．(1)是处理框；(2)是判断框；(3)是终端框；(4)是输入、输出框B．(1)是终端框；(2)是输入、输出框；(3)是处理框；(4)是判断框C．(1)和(3)都是处理框；(2)是判断框；(4)是输入、输出框D．(1)和(3)的功能相同；(2)和(4)的功能相同[答案] B[解析] 根据程序框图的规定，(1)是终端框，(2)是输入、输出框，(3)是处理框，(4)是判断框．4．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是( )A．终端框B．输入、输出框C．判断框D．处理框[答案] C[解析] 含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框．5．如图，若输入a＝10，则输出a＝________( )A．2 B．8C．10 D．6[答案] 8[解析] b＝10－8＝2，a＝10－2＝8.6．如图所示的程序框图中，要想使输入的值与输出的值相等，输入的a值应为( )A．1 B．3C．1或3 D．0或3[答案] D[解析] 本题实质是解方程a＝－a2＋4a，解得a＝0或a＝3.二、填空题7．下面程序框图执行的功能是输入矩形的边长求它的面积，其中执行框中应填的是________．[答案] S＝a×b8．如图所示的程序框图，若输出的结果是2，则输入的m＝________.[答案] 100[解析] 由于输出的结果是2，则x＝2，则lg m＝2，故m＝100.三、解答题9.如图，是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：(1)图框①中x＝2的含义是什么？(2)图框②中y1＝ax＋b的含义是什么？(3)图框④中y2＝ax＋b的含义是什么？(4)该程序框图解决的是怎样的问题？(5)当最终输出的结果是y1＝3，y2＝－2时，求y＝f(x)的解析式．[解析] (1)图框①中x＝2表示把2赋值给变量x.(2)图框②中y1＝ax＋b的含义是：该图框在执行①的前提下，即当x＝2时，计算ax＋b的值，并把这个值赋给y1.(3)图框④中y2＝ax＋b的含义是：该图框在执行③的前提下，即当x＝－3时，计算ax ＋b的值，并把这个值赋给y2.(4)该程序框图解决的是求函数y＝ax＋b的函数值的问题，其中输入的是自变量x的值，输出的是对应x的函数值．(5)y1＝3，即2a＋b＝3.⑤y2＝－2，即－3a＋b＝－2.⑥由⑤⑥，得a＝1，b＝1，所以f(x)＝x＋1.10．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图．[分析] 此题只要将半径R、高h代入圆柱的体积公式V＝πR2h，最后输出结果即可，所以只用顺序结构就能表达出来．[解析]算法如下：第一步，输入R，h，第二步，计算V＝πR2h.第三步，输出V.程序框图如图所示．能力提升一、选择题1．对终端框叙述正确的是( )A．表示一个算法的起始和结束，程序框是B．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是C．表示一个算法的起始和结束，程序框是D．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是[答案] C2．阅读右图所示程序框图．若输入的x＝3，则输出的y的值为( )A．24 B．25C．30 D．40[答案] D3．如图所示的程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是( )[答案] C[解析] A项中，没有终端框，所以A项不正确；B项中，输入a，b和c＝a2＋b2顺序颠倒，且程序框错误，所以B项不正确；D项中，赋值框中a2＋b2＝c错误，应为c＝a2＋b2，左右两边不能互换，所以D项不正确；很明显C项正确．4．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21[答案] A[解析] 输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：输入21,32,75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75,21,32.二、填空题5．如下图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填________．[答案][解析] 变量在计算时应先赋值，这里的a、b，c的值是通过输入语句得到．根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框．6．图1是计算图2中阴影部分面积的一个程序框图，则图1中①处应填________．[答案] S ＝4－π4a 2[解析] 图2中，正方形的面积为S 1＝a 2，扇形的面积为S 2＝14πa 2，则阴影部分的面积为S ＝S 1－S 2＝a 2－π4a 2＝4－π4a 2.因此图1中①处应填入S ＝4－π4a 2.三、解答题7．已知x ＝10，y ＝2，画出计算w ＝5x ＋8y 值的程序框图．[解析] 算法如下： 第一步，令x ＝10，y ＝2. 第二步，计算w ＝5x ＋8y . 第三步，输出w 的值． 其程序框图如图所示．[特别提醒] (1)程序框图中的每一种图形符号都有特定的含义，在画程序框图时不能混用．(2)流程线上不要忘记加方向箭头．如果不画，就难以判断各程序框间的执行次序． 8．已知一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，写出它的外接圆和内切圆面积的算法，并画出程序框图．[解析] 算法步骤如下： 第一步，输入a ，b .第二步，计算c ＝a 2＋b 2.第三步，计算r ＝12(a ＋b －c )，R ＝c2.第四步，计算内切圆面积S 1＝πr 2，外接圆面积S 2＝πR 2. 第五步，输出S 1、S 2，结束． 程序框图如图．高中数学必修三 1.1.2第2课时条件结构练习 新人教A 版基础巩固一、选择题1．下列关于条件结构的描述，正确的是( )A ．条件结构的出口有两个，这两个出口有时可以同时执行B ．条件结构的判断框内的条件是惟一的C ．条件结构根据条件是否成立选择不同的分支执行D ．在条件结构的任何一个分支中，只能执行一个语句，而不能是多个 [答案] C2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可． 3．如图所示的程序框图中，输入x ＝2，则输出的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 输入x ＝2后，该程序框图的执行过程是： 输入x ＝2，x ＝2>1成立， y ＝2＋2＝2，输出y ＝2.4．已知a ＝212 ，b ＝log33，运算原理如图所示，则输出的值为( )A.22B. 2C.2－12D.2＋12[答案] D[解析] 由a ＝2<b ＝log33＝lg3lg3＝2，知a >b 不成立，故输出a ＋1b ＝2＋12. 5．如下图所示的程序框图，其功能是( ) A ．输入a ，b 的值，按从小到大的顺序输出它们的值 B ．输入a ，b 的值，按从大到小的顺序输出它们的值 C ．求a ，b 的最大值 D ．求a ，b 的最小值 [答案] C[解析] 输入a＝1，b＝2，运行程序框图可得输出2.根据执行过程可知该程序框图的功能是输入a，b的值，输出它们的最大值，即求a，b的最大值．第5题图第6题图6．在佛山市禅城区和南海区打的士收费办法如下：不超过2千米收7元，超过2千米的里程每千米收2.6元，另每车次超过2千米收燃油附加费1元(其他因素不考虑)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)[答案] D[解析] 当行车里程x>2时，费用y＝[7＋2.6(x－2)]＋1＝8＋2.6(x－2)．二、填空题7．读下列流程图填空：(1)流程图(1)的算法功能是________________．(2)流程图(2)的算法功能是________________． (3)流程图(3)的算法功能是________________． (4)流程图(4)的算法功能是________________． [答案] (1)求输入的两个实数a 与b 的和(2)求以输入的两个正数a ，b 为直角边长的直角三角形斜边的长 (3)求输入两数a ，b 的差的绝对值 (4)求函数f (x )＝|x －3|＋1，即分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x >34－xx ≤3的函数值8．(2015·广州市)某算法的程序框图如图所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是________．[答案]2[解析] 当x ≤1时，y ＝x －1≤0，∵输出结果为12，∴x >1，∴log 2x ＝12，∴x ＝ 2.三、解答题9．“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法运算：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53x ，x ≤50，50×0.53＋x －50×0.85，x ＞50，其中y (单位：元)为托运费用，x (单位：千克)为托运物品的重量，试画出计算托运费用y 的程序框图．[解析] 算法程序框图如图所示：10．(2015·聊城高一检测)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ＞0，0，x ＝0，－x －3，x ＜0，设计一个算法，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．请写出算法步骤，并画出程序框图．[探究] 该函数是分段函数，当x 取不同范围内的值时，函数表达式不同，因此当给出一个自变量x 的值时，也必须先判断x 的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因此函数解析式分为三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．[解析] 算法如下： 第一步，输入自变量x 的值．第二步，判断x ＞0是否成立，若成立，计算y ＝1＋x ，否则，执行下一步． 第三步，判断x ＝0是否成立，若成立，令y ＝0，否则，计算y ＝－x －3. 第四步，输入y . 程序框图如下图所示．能力提升一、选择题1．(2011·陕西高考)如图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分．当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于( )A ．10B ．7C ．8D ．11[答案] C[解析] ∵x 1＝6，x 2＝9， ∴|x 2－x 1|＝3>2，输入x 3， 假设|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立， 即|x 3－6|<|x 3－9|， 解得x 3<7.5， 把x 3赋值给x 2，p ＝x 1＋x 22＝x 1＋x 32＝8.5，解得x 3＝11，与x 3<7.5矛盾，舍去； 假设|x 3－x 1|≥|x 3－x 2|成立， 即|x 3－6|≥|x 3－9|， 解得x 3≥7.5， 把x 3赋值给x 1，p ＝x 1＋x 22＝x 2＋x 32＝8.5，解得x 3＝8，符合要求．2．(2013·新课标全国Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5][答案] A[解析] 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜14t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t ＜1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]．3．(2015·中山高一检测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( )A ．2或－2 2B ．22或－2 2C ．－2或－2 2D ．2或2 2[答案] A[解析] 当x 3＝8时x ＝2，a ＝4，b ＝8，b ＞a ，输出8 当x 2＝8时，x ＝±22，a ＝8，b ＝±62，又a ＞b ，输出8， 所以x ＝－22，故选A.4．2008年3月1日开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过2000元的免征个人工资、薪金所得税，超过2000元部分需征税．设全月总收入金额为x 元，前三级税率如下表所示：级数全月应纳税金额x－2000税率1不超过500元的部分5%2超过500至2000元部分10%3超过2000至5000元部分15%………当工资薪金所得不超过4000元，计算个人所得税的一个算法框图如图，则输出①、输出②分别为( )A．0.05x；0.1xB．0.05x；0.15x－250C．0.05x－100；0.1x－200D．0.05x－100；0.1x－225[答案] D[解析] 当2000<x≤2500时，税收y＝(x－2000)×5%＝0.05x－100，当2500<x≤4000时，税收y＝500×5%＋(x－2500)×10%＝0.1x－225.二、填空题5．(2015·北京东城二模)已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0,1,2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a＋b＋c＝________.[答案] 6[解析] 该程序框图的功能是输入自变量x 的值，输出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，1，x ＝1，4x ，x <1对应的函数值，记y ＝f (x )，则a ＝f (0)＝40＝1，b ＝f (1)＝1，c ＝f (2)＝22＝4，则a ＋b ＋c ＝6.6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是________．[答案] {x ∈R |0≤x ≤log 23，或x ＝2}[解析] 由题意及框图，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，1≤2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3.解之，得0≤x ≤log 23或x ＝2.三、解答题7．下面给出了一个算法框图，如图所示．根据该算法框图回答以下问题：(1)该算法框图是为什么问题而设计的？(2)若输入的四个数为5,2,7,22，则最后输出的结果是什么？[解析] (1)“a <b 且a <c 且a <d ”是判断a 是否为最小的数，若成立，则输出a ，此时输出了a ，b ，c ，d 中最小的数；如果不成立，也就是a 不是最小数，从而进入“b <c 且b <d ”，它是判断当a 不是最小数时，b 是否为最小数，若成立，则输出b ，说明此时也是输出了a ，b ，c ，d 中最小的数；如果 不成立，就说明a 与b 都不是最小的数，从而进行“c <d ”，它是判断当a ，b 都不是最小数时，c 是否为最小数，若成立，则输出c ，说明此时输出的是a ，b ，c ，d 中最小的数；若不成立，则输出d ，此时d 是a ，b ，c ，d 中最小的数．故算法的流程图是为“求a ，b ，c ，d 四个数中的最小数并进行输出”而设计的．(2)当输入的四个数分别为5,2,7,22时，最后输出的结果是2.8．(2015·福建厦门模拟)某专家称，中国的通货膨胀率保持在3%左右对中国经济的稳定有利无害，所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情形下，某种品牌的钢琴2010年的价格是10000元，请用程序框图描述这种钢琴今后4年的价格变化情况，并输出4年后钢琴的价格．[解析] 程序框图如下图所示．高中数学必修三 1.1.2第3课时循环结构、程序框图的画法练习新人教A版基础巩固一、选择题1．在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样的循环结构是( )A．分支型循环B．直到型循环C．条件型循环D．当型循环[答案] D2．下面关于当型循环结构和直到型循环结构的说法，不正确的是( )A．当型循环结构是先判断后循环，条件成立时执行循环体，条件不成立时结束循环B．直到型循环结构要先执行循环体再判断条件，条件成立时结束循环，条件不成立时执行循环体C．设计程序框图时，两种循环结构可以任选其中的一个，两种结构也可以相互转化D．设计循环结构的程序框图时只能选择这两种结构中的一种，除这两种结构外，再无其他循环结构[答案] D3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于( )A．－3 B．－10C．0 D．－2[解析] 开始：k ＝1，s ＝1；1<4，是，s ＝2×1－1＝1；k ＝2,2<4，是，s ＝2×1－2＝0；k ＝3,3<4，是，s ＝2×0－3＝－3；k ＝4,4<4，否，输出s ＝－3，故选 A.4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( ) A ．4 B.32 C.23 D ．－1[答案] D[解析] S ＝22－4＝－1，i ＝2；S ＝22＋1＝23；i ＝3；S ＝22－23＝32，i ＝4，S ＝22－32＝4，i ＝5；S ＝22－4＝－1，i ＝6. 5．(2015·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( ) A ．(－2,2) B ．(－4,0) C ．(－4，－4)D ．(0，－8)[解析] 运行程序：x ＝1，y ＝1，k ＝0；s ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2，x ＝0，y ＝2，k ＝0＋1＝1，因为1≥3不满足，s ＝－2，t ＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2，因为2≥3不满足，s ＝－4，t ＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3，因为3≥3满足，输出(－4,0)．6．(2014·重庆，理5)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45[答案] C[解析] 该程序框图为循环结构．k ＝9，s ＝1时，经判断执行“是”，计算1×99＋1＝910赋值给s ，然后k 减少1变为8；k ＝8，s ＝910时，经判断执行“是”，计算910×88＋1＝810赋值给s ，然后k 减少1变为7；k ＝7，s ＝810时，经判断执行“是”，计算810×77＋1＝710赋值给s ，然后k 减少1变为6；k ＝6，s ＝710，根据输出k 为6，此时应执行“否”．结合选项可知，判断框内应填s >710，故选C.二、填空题7．(2013·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．[答案] 98．(2015·温州高一检测)若如图所示的程序框图运行结果为S ＝90，那么判断框中应填入的关于k的条件是________．[答案] k＞8?三、解答题9．画出求满足12＋22＋32＋…＋n2＞20152的最小正整数n的程序框图．[分析] 题中要求满足条件的不等式的最小正整数n，不等式左侧是连续自然数的平方和，故可采用循环结构完成．[解析]10．运行如图所示的程序框图．(1)若输入x的值为2，根据该程序的运行过程完成下面的表格，并求输出的i与x的值.第i次i＝1i＝2i＝3i＝4i＝5x＝2×3i(2)若输出i的值为2，求输入x的取值范围．[解析] (1)第i次i＝1i＝2i＝3i＝4i＝5x＝2×3i61854162486因为162＜(2)由输出i的值为2，则程序执行了循环体2次，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ≤168，9x ＞168，解得563＜x ≤56，所以输入x 的取值范围是563＜x ≤56.能力提升一、选择题1．(2014·福建，理5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．40[答案] B[解析] 该程序框图为循环结构，由S ＝0，n ＝1得S ＝0＋21＋1＝3，n ＝1＋1＝2，判断S ＝3≥15不成立，执行第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝2＋1＝3，判断S ＝9≥15不成立，执行第三次循环，S ＝9＋23＋3＝20，n ＝3＋1＝4，判断S ＝20≥15成立，输出S ＝20.故选B.2．(2013·浙江)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7[答案] A[解析] k ＝1，S ＝1＋1－12＝32；k ＝2，S ＝1＋1－13＝53；k ＝3，S ＝1＋1－14＝74；k ＝4，S ＝1＋1－15＝95.输出结果是95，这时k ＝5＞a ，故a ＝4.3．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i <20？B ．i >10？C ．i <10？D ．i ≤10?[答案] D[解析] i ＝1，S ＝12；i ＝2，S ＝12＋14；i ＝3，S ＝12＋14＋16；依次下去：i ＝10，S ＝12＋14＋…＋120，故选D. 4．(2015·陕西卷)根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y ＝( ) A ．28 B ．10 C ．4D ．2[答案] B[解析] 初始条件：x ＝2006；第1次运行：x ＝2004；第2次运行：x ＝2002；第3次运行：x ＝2000；……；第1003次运行：x ＝0；第1004次运行：x ＝－2，不满足条件x ≥0？，停止运行，所以输出的y ＝32＋1＝10，故选B.二、填空题5．(2014·辽宁，理13)执行下面的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________.[答案]299[解析] 输入x ＝9，则y ＝5，|y －x |＝4>1，执行否，x ＝5，y ＝113，|y －x |＝43>1，执行否，x ＝113，y ＝299，|y －x |＝49<1，执行是，输出y ＝299.6．(2014·湖北，理13)设a 是一个各位数都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.[答案] 495[解析] 不妨取a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851，b ＝693； 则取a ＝693，则I (a )＝369，D (a )＝963，b ＝594； 则取a ＝594，则I (a )＝459，D (a )＝954，b ＝495； 则取a ＝495，则I (a )＝459，D (a )＝954，b ＝495. 故输出结果b ＝495. 三、解答题7．以下是某次考试中某班15名同学的数学必修三成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来并画出程序框图．[分析] 用条件分支结构来判断成绩是否高于80分，用循环结构控制输入的次数，同。

高中必刷题数学必修三选择题下列运算中，正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. a^2 ⋅ a^3 = a^6C. (a + b)^2 = a^2 + b^2D. 2(x - 1) = 2x - 1下列哪个方程是一元一次方程？A. 2x^2 - 3 = 0B. y + 2 = 3zC. x + 5 = 10D. 3x + 2y = 7下列各数中，是无理数的是：A. √4B. π/2C. -1/3D. √(16/9)下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是：A. 正方形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆若 |x| = 5，则 x = _______。

A. 5B. -5C. ±5D. 以上都不对下列函数中，y是x的反比例函数的是：A. y = 2x + 1B. y = x^2C. y = 3/xD. y = x^(-1)下列运算正确的是：A. 2√3 - √3 = √3B. (√5)^2 = 25C. √(-9) = -3D. √(25/16) = 5/4下列数据中，中位数是3的是：A. 1, 2, 3, 4, 5B. 1, 2, 3, 3, 5C. 1, 2, 3, 4, 6D. 2, 3, 4, 5, 6下列命题中，真命题是：A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 若 a ≠ b，则 a^2 ≠ b^2C. 四条边相等的四边形是正方形D. 对角线相等的四边形是矩形下列关于平面直角坐标系的说法中，正确的是：A. 点A(3,2)到x轴的距离是3B. 点B(-2,1)在第二象限C. 点C(2,-3)到y轴的距离是-3D. 若点D(a,b)在坐标轴上，则ab = 0填空题1.若 3x^2 - 2x - 1 = 0，则 x = _______ 或 _______。

2.已知点 P(3, -2) 在反比例函数 y = k/x 的图象上，则 k = _______。

3.已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3cm，则该扇形的弧长为 _______ cm。

7.5 正态分布(精练)【题组一 正态分布曲线】1(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知正态分布的密度函数()()222,x x μσμσϕ--=，(),x ∈-∞+∞，以下关于正态曲线的说法正确的是( ) A ．曲线与x 轴之间的面积为1 B ．曲线在x μ=C ．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移D ．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 【答案】ABC【解析】由正态分布的密度函数的解析式()()222,x x μσμσϕ--=可知曲线与x 轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A 正确；()2202x μσ--≤，(),x μσϕ∴≤x μ=时取等号，∴曲线在x μ=B 正确；其图像关于直线对称，且当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，故C 正确；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，故D 错误..故选：ABC.2．(2021·江苏·吴江汾湖高级中学高二月考)(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N (μ，302)和N (280，402)，则下列选项正确的是( )附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则P(μσ-＜X ＜μσ+)≈0.6826．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30μ-，280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中C ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413 【答案】ACD【解析】若红玫瑰日销售量的范围在(30,280)μ-的概率0.6826，则30280μ+=，可得250μ=， 所以红玫瑰日销售量的平均数为250，所以A 正确；因为红玫瑰日销售量的方差为1900σ=，白玫瑰日销售量的方差为21600σ=，因为12σσ<，所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，所以B 不正确，C 正确； 由白玫瑰日销售量在(280,320)的概率为1()()0.34132P X P X μμσμσμσ<<+=-<<+≈， 所以D 正确. 故选：ACD.3．(2021·全国·高二课时练习)(多选)在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X (满分为150分)服从正态分布()100,100N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( ) A ．该市学生数学成绩的期望为100 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩的及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AC【解析】依题意，知100μ=，10σ=.易知A 说法正确，B 说法错误；()()9011010010100100.6827P x P x <<=-<<+≈，所以()1900.50.68270.840.82P x ≥≈+⨯≈>，故C 说法正确；()()()1208090P x P x P x >=<<<，所以该市学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，D 说法错误.故选：AC.4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列关于概率密度函数22()2()x x μσϕ--=(()x R ∈)对应的正态曲线的性质的说法中正确的是( )A ．曲线关于直线x μ=对称，且恒位于x 轴上方B ．曲线关于直线x σ=对称，且仅当[3,3]x σσ∈-时才位于x 轴上方C ．曲线在x μ=处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低D ．曲线的位置由μ确定，曲线的形状由σ确定 【答案】ACD【解析】概率密度函数()ϕx 对应的正态曲线是一条关于直线x μ=对称，在x μ=处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴上方，曲线的位置由μ确定，形状由σ确定． 故选：ACD ．5．(2021·全国·高二课时练习)关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D【解析】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈， 所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.6．(2021·全国·高二课时练习)某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．三科总体的平均数不相同D ．乙科总体的标准差及平均数都居中【答案】A【解析】由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等.由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选：A.【题组二 正态分布(小题)】1．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<<≈( ) 附：若()2,N ξμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3413【答案】B【解析】若函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根， ∴()440ξ∆=-⨯-<，∴1ξ<-.又∵()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，∴()10.5P ξ<-=.由正态曲线的对称性知1μ=-， ∴()1,1N ξ-，∴1μ=-，1σ=，∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=， ∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈， ∴()()()10131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592≈⨯-=. 故选：B.2．(2021·全国·高二课时练习)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --=，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B【解析】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.3(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( ) A ．0.341 3 B ．0.317 4 C ．0.158 7 D ．0.158 6 【答案】C【解析】由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7.故选：C4．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P x >=，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】因为随机变量X 服从正态分布(,4)N a ， 所以曲线关于x a =对称，且()0.5P x a >=， 由(1)0.5P x >=，可知1a =. 故选：A.5．(2021·全国·高二单元测试)若随机变量X ～N (μ，σ2)(σ＞0)，则有如下结论：()0.6826,(22)0.9544,P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤，高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为( ) A ．19 B ．12 C ．6 D ．5【答案】C【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布N (120，102)， 又()0.6826P X μσμσ-<≤+= ∴(1201012010)0.6826P X -<≤+=根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为12(1﹣0.6826)＝0.1587∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6. 故选：C6．(2021·河南·辉县市第一高级中学高二月考(理))已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.7 D ．0.2【答案】B【解析】依题意4μ=，4264-=-，所以()()260.50.320.4P ξ<<=-⨯=.故选：B7．(2021·全国·高二单元测试)为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩X (满分100分)服从正态分布()260,N σ，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为( ) A ．18 B ．22 C ．26 D ．30【答案】D【解析】由题意，得460(80)0.02320000P X >==．又()260,X N σ~， 所以由正态分布曲线的对称性可得(4080)12(80)0.954(602602)P X P X P X σσ≤≤=->==-≤≤+，故10σ=，所以(3090)0.997P X ≤≤=， 所以1(3090)(90)0.00152P X P X -≤≤>==，则90分以上的人数为200000.001530⨯=，即进入集训队的人数为30． 故选：D8．(2021·全国·高二课时练习)甲命题：若随机变量()2~3,X N σ，()20.3P X ≤=，则()40.7P X ≤=.乙命题：随机变量()~,Y B n p ，且()300E Y =，()200D Y =，则13p =.下列说法正确的是( )A ．甲正确、乙错误B ．甲错误、乙正确C ．甲错误、乙也错误D ．甲正确、乙也正确【答案】D【解析】∵随机变量X 服从正态分布()23,N σ，∴曲线关于直线3x =对称，∴()()4120.7P X P X ≤=-≤=，∴甲命题正确；随机变量(),~Y B n p ，且()300E Y =，()200D Y =，则()300,1200,np np p =⎧⎨-=⎩解得13p =，∴乙命题正确.故选：D.9．(2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))某电动汽车配件生产厂生产1000个配件，已知生产的配件的尺寸(单位：cm )指标ξ服从正态分布()2100,N δ，若()1001100.36P ξ≤≤=，则估计该批配件尺寸超过110cm 的个数为( ) A ．140B ．180C ．280D ．540【答案】A【解析】由()2~100,N ξδ，()1001100.36P ξ≤≤=，可得()1100.50.360.14P ξ>=-=，所以估计该批配件尺寸超过110cm 的个数为140. 故选：A10．(2021·湖北十堰·高二期末)某服装专卖店的某款上衣的月销量X 服从正态分布()120,36X N ～，若()09772P X k =≤.，则k =( )(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=)A ．126B ．132C ．156D ．192【答案】B【解析】因为X 服从正态分布()120,36X N ～，所以120μ=，6σ=， 因为()0.954420.50.97722P X μσ+=+=≤， 所以2132k μσ=+=. 故选：B11．(2021·河南平顶山·高二期末(理))设每天去某网红景点旅游的人数(单位：万人)为随机变量X ，且()22,0.5XN ，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为( )参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=，()220.9545P X μσμσ-≤≤+=，()330.9973P X μσμσ-≤≤+=．A ．0.97725B ．0.84135C ．0.6827D ．0.15865【答案】B 【解析】∵()22,0.5X N ，∴()()1.5 2.520.520.50.6827P X P X ≤≤=-≤≤+=，∴()10.68271.50.158652P X -<==，∴()1.510.158650.84135P X ≥=-=． 故选：B.12(2021·全国·高二单元测试)(多选)红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X 表示其测量体温误差，且()2~0.2,0.3X N ，则下列结论正确的是(附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()68.3%P X μσμσ-≤≤+≈，())2295.4%P X μσμσ-≤≤+≈( )A ．()0.2E X =，()0.3D X =B ．()0.20.5P X ≥=C ．()0.50.1585P X ≥≈D ．()0.40.023P X ≤-≈【答案】BCD【解析】依题意()2~0.2,0.3X N ，所以0.2μ=，220.3σ=，即()0.2E X =，()20.3D X =，故A 错误；由于0.2μ=，所以()0.20.5P X ≥=，故B 正确；由于0.2μ=，0.3σ=，所以()()10.10.510.6830.50.158522P X P X --≤≤-≥=≈=，故C 正确.由于0.2μ=，0.3σ=，所以()()10.40.810.9540.40.02322P X P X --≤≤-≤-=≈=，故D 正确.故选：BCD.13．(2021·全国·高二课时练习)(多选)若随机变量()0,1N ξ，()()x P x ϕξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的是( ) A ．()()1x x ϕϕ-=- B ．()()22x x ϕϕ= C ．()()21P x x ξϕ<=- D ．()()2P x x ξϕ>=-【答案】AC【解析】因为随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ， 所以正态曲线关于0ξ=对称，如图所示.又()()x P x ϕξ=≤，0x >，所以()()()()1x P x P x x ϕξξϕ-=≤-=≥=-，故选项A 正确；因为()()22x P x ϕξ=≤，()()22x P x ϕξ=≤，所以()()22x x ϕϕ≠，故选项B 不正确；因为()()()()()1212121P x P x x x x x ξξϕϕϕ<=-<<=--=--=-⎡⎤⎣⎦，故选项C 正确；()()()()112122P x P x x x ξξϕϕ>=-<=--=-⎡⎤⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC.14．(2021·河北大名·高二期中)(多选)设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且X 落在区间(4,2)--内的概率和落在区间(2,4)内的概率相等．若(2)P X p >=，则下列结论正确的有( ) A ．0μ= B ．2σ=C ．1(02)2P X p <<=- D ．(2)P X p <-=【答案】ACD【解析】∵正态分布()2,N μσ关于x μ=对称，又X 落在区间(4,2)--内的概率和落在区间(2,4)内的概率相等，∴0μ=，故A 正确；∵正态分布()2,N μσ关于0x =对称，∴1(0)2P X >=，则1(02)(0)(2)2P X P X P X p <<=>->=-，故C正确；(2)(2)P X P X p <-=>=，σ不确定，B 错误，D 正确． 故选：ACD ．15．(2021·福建厦门·高二期末)(多选)随机变量()~2,4X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．()()41P X P X >><D ．()()131P X P X >+>=【答案】AD【解析】因为()~2,4X N ，则()2E X =，()4D X =，A 对，B 错；()()()401P X P X P X >=<<<，C 错；()()()()13111P X P X P X P X >+>=>+<=，D 对. 故选：AD.16．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是______.(填序号)①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->； ②()()()210P a P a a ξξ<=<->；③()()()120P a P a a ξξ<=-<>； ④()()()10P a P a a ξξ<=->>. 【答案】②④【解析】因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以①不正确； 因为()()P a P a a ξξ<=-<<()()()()P a P a P a P a ξξξξ=<-<-=<-> ()()()()121P a P a P a ξξξ=<--<=<-， 所以②正确，③不正确；因为()()1P a P a ξξ<+>=，所以()()()10P a P a a ξξ<=->>，所以④正确. 故答案为：②④.17．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，且()()0P X a m a <-=>，则()P X a <=______.【答案】12m -【解析】由正态曲线的对称性及意义可得：()()2[((0)()]20.512P X a P X P X a m m <=<-<-=-=-.故答案为：12m -．18．(2021·全国·高二单元测试)已知()~0,1X N ，如图是正态分布()0,1N 的密度函数图像，若()23P X a <=，则图中阴影部分的面积为___________.【答案】16【解析】∵()23P X a <=，∴()21133P X a <-=-=，∴图中阴影部分的面积为()11112236P X a -<-=-=，故答案为：16.【题组三 正态分布的应用(解答题)】1．(2021·全国·高二课时练习)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E (ξ)．≈2.63，若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3．【答案】(1)17.40千元；(2)①14.77千元；②E (ξ)＝977.3． 【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元)故估计50位农民的年平均收入17.40千元．(2)由题意知，随机变量(17.40,6.92)X N ，①0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元． ②由0.9554(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ>=>-=+≈， 每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773， 则(1000,)B p ξ，其中0.9973p =，所以()10000.9973977.3E ξ=⨯=．2．(2021·山东无棣·高二期中)为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表．(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；(2)若该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()64,225N ，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)； ②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤+≈＜．【答案】(1)1433；(2)①1587；②分布列见解析，数学期望为2． 【解析】(1)由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人获奖，70人没有获奖，故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率P ＝11307021001433C C c =．(2)该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布N (64，225)， ①∵μ+σ＝79， ∴P (X ＞79)10.68270.158652-≈=， ∴估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865×10000≈1587． ②∵μ＝12，∴P (X ＞64)＝12，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12， ∴随机变量ξ～B (4，12)，P (ξ＝k )＝4411()()22k k k C - (k ＝0，1，2，3，4)，所以P (ξ＝0)＝440011()(6)221=1C ，P (ξ＝1)＝341111()(4)221=C ， P (ξ＝2)＝242211()(8)223=C ，P (ξ＝3)＝143311()(4)221=C ， P (ξ＝4)＝044411()(6)221=1C ， ∴ξ的分布列为：故E (ξ)＝4×122=． 3．(2021·全国·高二单元测试)设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间(单位：min)X ～N (50，102)，乘地铁所需时间Y ～N (60，42)，则 (1)若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？(2)由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E (ξ).(已知P (μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ)＝0.9974，P (μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ)＝0.9544)【答案】(1)乘地铁；(2)分布列见解析，23.【解析】(1)乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==--因此在这种情况下应乘地铁. (2)ξ的取值为0，1，2.则P (ξ＝0)＝2426C C ＝25，P (ξ＝1)＝112426C C C ＝815，P (ξ＝2)＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×25+1×815+2×115＝23. 4．(2021·全国·高二课时练习)零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布()2,N μσ.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸i x (1,2,3,,10i =，单位：mm )：用样本的平均数x 作为μ的估计值，用样本的标准差s 作为σ的估计值.(1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在[]3,3μσμσ-+范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格；(2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在[]99.7,100.3范围内，则该零件为A 级零件，每个零件定价100元，否则为B 级零件，每个零件定价60元.哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：1021100601.8ii x =≈∑，样本方差()22221111n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑.【答案】(1)合格；(2)方案2，说明见解析.【解析】(1)由表格中数据计算可得1011100.310i i x x ===∑，()101022221111100.091010i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑.故可得100.3μ=，0.3σ=，所以399.4μσ-=，3101.2μσ+=结合题中表中数据知所有样本都在区间[]99.4,101.2内，故该切割设备质量合格； (2)方案1：每个零件售价为70元.方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，故ξ可取60，100. 由(1)可知，该设备生产的零件尺寸()2100.3,0.3XN ，所以()()()10099.7100.320.47725P P X P X ξμσμ==≤≤=-≤≤=；()()6011000.52275P P ξξ==-==. 所以随机变量ξ的分布列为故()600.522751000.47725600.51000.477770E ξ=⨯+⨯>⨯+⨯=>. 综上，可得方案2的利润更大.5．(2021·全国·高二单元测试)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准(2014年修订)》(简称《标准》)，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(满分100分)，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生测试成绩的平均数x 和方差2s (同一组数据用该组区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图知，该市高三学生的健康指数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①求()63.498.2P X <≤；②已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间(]63.4,98.2的人数为ξ，求E ξ.1.16.若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈.【答案】(1)75x =，2135s =；(2)①0.8185；②8185.【解析】(1)由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ()()()()()22222251540754545755575657575758575200200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+()2209575135200-⨯=. (2)①由(1)知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈，∴()()1163.498.220.95440.68260.818522P X P X μσμσ<≤=-<≤+≈⨯+⨯=.②依题意，知()~10000,0.8185B ξ， 则100000.81858185E ξ=⨯=.6．(2021·全国·高二课时练习)某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm ).97 97 98 102 105 107 108 109 113 114 (1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D 打印设备打印出的零件内径Z 服从正态分布()2,N μσ，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm )86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：()220.954P Z μσμσ-<≤+≈，()330.997P Z μσμσ-<≤+≈，30.9540.87≈，40.9970.99≈，20.0460.002≈.【答案】(1)105μ=，6σ=；(2)需要，答案见解析. 【解析】(1)利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ.97979810210510710810911311410510μ+++++++++==.264644990491664813610σ+++++++++==，∴6σ=.(2)需要进一步调试.∵Z 服从正态分布()105,36N ，()330.997P Z μσμσ-<≤+≈，∴内径在()87,123之外的概率为0.003，而()8687,123∉，根据3σ原则，需要进一步调试.7(2021·河北·大名县第一中学高二月考)人口普查是调查国情国力的一种方式，也是提供全国人口数据的主要来源，距今为止我国已经进行了七次人口普查.某教育机构对河北省全省高中男生身高进行统计，统计调查数据显示：全省接受统计的100000名男生的身高服从正态分布()170.5,16N .现从我校高二年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[)157.5,162.5，第二组[)162.5,167.5，，第六组[]182.5,187.5.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估我校高二年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数；(3)在这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值.参考数据：若()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.【答案】(1)高于全省的平均值170.5；(2)10人；(3)1. 【解析】(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.25010⨯=，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数为10人.(3)∵(170.534170.534)0.9974P ξ-⨯<≤+⨯=， ∴10.9974(182.5)0.00132P ξ-≥==，0.0013100000130⨯=. ∴全省前130名的身高在182.5cm 以上，这50人中182.5cm 以上的有5人.随机变量ξ可取0，1，2，于是()252101020459C P C ξ====，()11552102551459C C P C ξ====，()252101022459C P C ξ====， ∴252()0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.8．(2021·湖北·武汉市光谷第二高级中学高二月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用(i)的结果，求()E X .12.2≈，若()2~,Z N μσ则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=．【答案】(I)200x =，2150s =；(II)(i) 0.6827；(ii)68.27. 【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．(II)(i)由(I)知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6827+=．(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6827， 依题意知(100,0.6827)X B ~，所以()1000.682768.27E X =⨯=．。

（数学3必修）第二章：统计 [基础训练A 组] 一、选择题1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有( )A ． c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>2．下列说法错误的是 ( )A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A ．3.5 B ．3- C ．3 D ．5.0- 4. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的( )A . 平均数B . 方差C . 众数D . 频率分布5．要从已编号（160）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 6．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9第三组的频数和频率分别是 ( )A ．14和0.14B ．0.14和14C ．141和0.14 D ． 31和141二、填空题1．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 ；① 2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等。

本册综合素能检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列各项中最小的数是( ) A ．111111(2) B ．20106 C ．1000(4) D ．101(8)[答案] A[解析] 111111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝63,210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78,1000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64,101(8)＝1×82＋0×81＋1×80＝65，故最小的数为111111(2)．2．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样和分层抽样抽取，则不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．3 [答案] A[解析] 由于要用分层抽样三层之比为123，因此，凡为6的整倍数，又样本容量增加1时需要删除1人，所以35n ＋1为整数，因此n ＝6，故选A.3．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色’’与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件[答案] C[解析] 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．4．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概( )A.16B.13C.23D.45[答案] C[解析] 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0<x <12)．面积S ＝x ·(12－x )>20，解得2<x <10，∴矩形面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.故选C.5．某程序框图如图所示，现输入选项中的四个函数，则可以输出的是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －xe x －e －xD ．f (x )＝x 21＋x 4[答案] B[解析] 由框图知f (x )应满足：奇函数，有零点．A 中的函数不能输出，因为此函数没班级：_________姓名：_________学号：______-----------------------------密--------------------------------------封-----------------------------------线-------------------------------有零点；B 中函数可以输出；C 中函数不存在零点，故不能输出；D 中函数为偶函数，也不能输出，故选B.6．如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)．去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 1<a 2C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关 [答案] B[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分是81,85,85,84,85，则平均数是a 1＝15(81＋85＋85＋84＋85)＝84；乙选后得分是84,84,86,84,87，则平均数是a 2＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85>84，所以a 1<a 2.7．(2014·浙江)在3张奖卷中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是( )A.16B.13C.12D.23[答案] B[解析] 设三张卷分别用A ，B ，C 代替，A 一等奖；B 二等奖；C 无奖，甲、乙各抽一张共包括(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )6种基本事件，其中甲、乙都中奖包括两种，P ＝26＝13，故选B.8．(2015·江苏卷)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为( )A ．7B ．5C ．9D ．11[答案] A[解析] 第一次循环：S ＝3，I ＝4；第二次循环：S ＝5，I ＝7；第三次循环：S ＝7，I＝10；结束循环，输出S ＝7.9．如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数和方差分别为( )A.x ，s 2 B ．5x ＋2，s 2 C ．5x ＋2,25s 2 D.x ，25s 2[答案] C[解析] 本题考查平均数与方差的计算公式．由平均数与方差的计算公式分析可得5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数为5x ＋2，方差为25s 2，故选C.10．(2015·广东佛山高三教学质量检测(一))某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．－3B ．－12C.13 D ．2[答案] A[解析] 该程序框图的运行过程是： S ＝2，i ＝1，i ＝1≤2 010成立， S ＝1＋21－2＝－3； i ＝1＋1＝2，i ＝2≤2 010成立， S ＝1＋(－3)1－(－3)＝－12；i ＝2＋1＝3，i ＝3≤2010成立， S ＝1＋(－12)1－(－12)＝13；i ＝3＋1＝4， i ＝4≤2 010成立； S ＝1＋131－13＝2；i ＝4＋1＝5， …….对于判断框内i 的值，n ∈N ，当i ＝4n ＋1时，S ＝2；当i ＝4n ＋2时，S ＝－3；当i ＝4n ＋3时，S ＝－12；当i ＝4n ＋4时，S ＝13.由于2 010＝4×502＋2，则S ＝－3.该程序框图中含有当型循环结构，判断框内的条件不成立时循环终止，即i ＝2 011时开始不成立，输出S ＝－3.11．(2015·石家庄模拟)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高 x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程y ^＝0.56x ＋a ^，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.05[答案] B[解析] 由表中数据得x ＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y ＝63＋66＋70＋72＋745＝69.将(x ，y )代入y ^＝0.56x ＋a ^，∴69＝0.56×170＋a ^，∴a ^＝－26.2，∴y ^＝0.56x －26.2. ∴当x ＝172时，y ＝70.12，故选B.12．(2015·全国卷)根据下面给出的2004年至2003年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 [答案] D[解析] 由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2012·江苏高考卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年极的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．[答案]15[解析]由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为310×50＝15.14．102,238的最大公约数是________．[答案]34[解析]利用辗转相除法或更相减损术可得最大公约数是34.15．(2014·福建高考)如右图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]0.18[解析]由题意知，这是个几何概型问题，S阴影S正方形＝1801000＝0.18.∵S正方形＝1，∴S阴影＝0.18.16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员12345 6三分球个数a1a2a3a4a5a6下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.[答案]i≤6？(i<7？)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6[解析]由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2014·山东)海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量50150100(1)求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解析](1)因为工作人员是按分层抽样抽取样品，所以各地区抽取样品的比例为：AB C＝50150100＝13 2各地区抽取的商品数分别别为A：6×16＝1；B：6×36＝3；C：6×26＝2.(2)设各地商品分别为A、B1、B2、B3、C1、C2所以所含基本事件共有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)15种不同情况，样本事件包括(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)4种情况．所以，这两件商品来自同一地区的概率为P ＝415.18．(本小题满分12分)高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．[解析](1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为20.08＝25.分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为425＝0.16，所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为0.1610＝0.016.(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6.在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个，根据古典概型概率的计算公式，得P(A)＝915＝35.[易错点拨]在茎叶图的基础上，计算频率分布直方图中某个小矩形的高是较新颖的命题方式，计算时，要注意理解小矩形的高的意义．对于古典概型的概率的求解很重要的一步是列举基本事件，此时，要注意避免重复与迹漏．19．(本小题满分12分)某城市理论预测2014年到2018年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：年份2014＋x 0123 4人口总数y 5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y^＝b^x＋a^；(3)据此估计2019年该城市人口总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30)[解析](1)概据题中数表画出数据的散点图如下图所示．(2)由题中数表，知x＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2，y＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.所以b＝5i＝1x i y i－5x－y5i＝1x2i－5x－2＝3.2，a ^＝y －b ^x ＝3.6.所以回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6.(3)当x ＝5时，y ^＝3.2×5＋3.6＝19.6(十万)＝196(万)． 答：估计2019年该城市人口总数约为196万．20．(本小题满分12分)(2014·福建)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：行政区 区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000 E20%10000(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．[解析] (1)设城市人口总数为a ，该城市人均GDP 为：8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10000×0.20aa ＝6400因为6400∈[4085,12616)所以该城市人均GDP 达到了中等偏上国家标准．(2)从“5个行政区中随机抽取2个”所有的基本事件是：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{C ，D }，{C ，E }，{D ，E }，共10种情况，其中2个行政区都达到中等以上国家标准的有{A ，C }，{A ，E }，{C ，E }，共3种情况因此P ＝310. 21．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．[探究] (1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．[解析] (1)由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179 cm 之间，而乙班身高集中于170～180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高为x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为 s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P (A )＝410＝25.22．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．[解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )＝400＋240＋601 000＝710，所以P (A )＝1－P (A )＝1－710＝310.(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.[名题点睛] 本题结合一个特殊设计的表格给出各类数据，显然，可用的与不可用的数据均在表中，合理应用表中的数据是求解本题的关键．在求解事件的概率时，可考虑利用对立事件求解题．在限定条件下，可根据条件及方差公式判断何时“方差最大”，抓住这一关键性的条件，问题就容易解决了．。