下载文档原格式
第三章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知识梳理Aj=sinxJ =COSXj=tanxJT2k盘 ----2JJI2k Jt H—,L 23Ji"2— H——2」仇wz)为减[2 吃7T, 2航+兀]仗WZ)为减;\2kn—n92kn\(k^Z)为（一-于,仇GZ）为增2.学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为j=Asin(ft>x+ (p)的形式，通过分析亦+卩的范围，结合图象写出函数的值域;(2)换元法：把sin x(cos劝看作一个整体，化为二次函数来解决.双基自测1. （2015•高考四川卷）下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（A.j=sin(2x+—B.j=cos^2r+~C.y= sin 2x+ cos 2xD.y= sin x+ cos xC 项，y=sin 2x+cos 2x=\/2sin^2x+—为非奇非偶函数，不符合题意；ink+于)最小正周期为2兀， 为非奇非偶函数，不符合题意.( JIj=sin|2x+- 为偶函数，不符合题意；解析：A 项,= cos 2x,最小正周期为n ,且y= cos^2r+_j= —sin 2x,最小正周期为 函数，符合题意；B 项, 1=/兀，且为奇，最小正周期为皿,D 项，j=sin x+ cos兀B. x=——33 x=-兀4解析：由题意得 f(x)= 2cos 2^x+~J= 2sin 2x= 1— cos 2x,函 数图象的对称轴方程为尸竺kEZ,故选D.2A • x~—4 C. 71故函数/（对=$中一了丿在区间［o,于］±的最小值为一申.3・函数/(x) = sin上的最小值为A. -1B. -申C 誓 D. 0解析：由已知xG 0, 兀 8二討得加-2兀 -eJI2在区间o,兀4所以14.（必修4 P40 练习1X2）改编）函数/（x） = 4-2cos -x, xE32,取得最小值时，X的取值集合为R的最小值是—{x\x=6kn9 kEL}（JT JI \5.（必修4 P44例6改编）函数j=tan|^-x—yJ的最小正周期是—，单调增区间是G+"扌+2”（疋牛典例剖析▼考点突破*名师导悟以例说法考点一三角函数的定义域和值域^§例1 (1)函数y= lg(2sin x—1)+*\/1 —2cosx的定义域是" 兀5兀、2k Ji +—, 2k 乳—]9 ZL 3 6 丿______ .3(2)函数j=cos 2x+ 2sin x的最大值为—132'［解析］⑴要使函数丿=lg(2sinx —1)+^/1—2cos 兀有意义,sin ,■ “Ji 5 n解得 2k Ji +_^x<2^ Ji +飞-，kEL.即函数的定义域为卜—+专，2—+寻)kE 乙3i 3所以当/=扌时，函数取得最大值字2sinx —1>0, 即1—2cosx^0, cosxWq.+WWl),(2)y=cos 2x+2sin x= —2sin 2x+2sin x+1,设 f=sin x(—12Q互动探光本例(2)变为函数y = cos 2x+ 4sin5的最大值为 _________解析：j=cos 2x+4sin x= — 2sin2x+ 4sin 兀+1,设t=sin中冬怎*),则原函数可以化为y=~li +4(+1= —2(1—1『+3,所以当1=扌时，函数取得最大值丰.⑴三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y=Asin(cox+^的形式求值域.③把sin兀或cos兀看作一个整体，转换成二次函数求值域・④利用sin兀土cos兀和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.壘踪i噬1・(1)函数y= /2+logjx + \/tanx的定义域为r i V 2jxIOVxV亍或Ji WxW4 »____________________________ ■7(2)函数y= (4— 3sin x)(4— 3cos兀)的最小值为xIOVxV 亍或 n4j.解析：⑴要使函数有意义, 厂2+10即亠0,2JIx^kn T —, I 2—o -------- o ——0 ?利用数轴可得函数的定义域是x>0, tan x^O, k 兀 WxVkii T 扌WZ)・-<—e---------(2)j = 16— 12(sin x+ cos x)+ 9sin xcos x,令Z=sinx+cosx,贝!1[—\[29 ^2],且sinxcosx=-------------------2『一1 ]所以y=16- 12Z+9X --------- =一(9,一24/+23)・2 2• 4 7故当时，Jmin = --考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性典例2 (1)(2014-高考课标全国卷I )在函数®j= cos 12x1,®y = Icos xl, (3)j=cos^x, (4)j= tan(2x—^中，最小正周期为n的所有函数为(C )A.②④C.①②③B.①③④D.①③（2）（2016-河北省五校联盟质量监测）下列函数中最小正周期为兀且图象关于直线兀=£■对称的函数是（B）［解析］⑴①yKOsMFOslx, 1- •②由图象知，函数的周期r= 31・③*兀・兀④丁=亍综上可知，最小正周期为询所有函数为①②③.⑵由函数的最小正周期为兀，可排除C •由函数图象关于直JT线*=〒对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对选B.（i ）三角函数的奇偶性的判断技巧于 A,因为 sin^2Xy+确・对于D, sinl2X ---------33 f) ( Tl JI 、 对于 B, sin|2X-——J=_：. =sin Ji =0,所以选项A 不正 =si 可羊所以D 不正确, 兀=sinT =h所以选项B 正确，故首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象进行判断.（2）求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义.②利用公式：y=Asin（cox+（p）和y =Acos（cyx+°）的最小正周2兀JT期为面，y=tan（cox+（/））.③利用图象.(3)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.［注意］判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称.MISS] 2.(1)(2016-西安地区八校联考)若函数j = cos(ex+〒j(cyEN*)图象的一个对称中心是匕，0J,则co 的最小值为(A. 1B. 2C. 4D.（2）（2016•揭阳模拟）当心了时，函数/（gin（十）取得最小值，则函数)A.是奇函数且图象关于点仔，0）对称B.是偶函数且图象关于点（兀，0）对称C.是奇函数且图象关于直线兀=于对称D.是偶函数且图象关于直线兀=兀对称，■一JI 6； JI JI解析：(1 --------- 1=kJi ---------- (k £ Z)=>(o = 6k+ 2(kE：Z)=>(o6 6 2min =2Jl⑵因为当x=丁时，函数几兀)取得最小值，4所以sin&+J = —1,所以0=2反兀一普"(kEZ).所以/(x)=sin(+2“ 一冷9=sin|x J(k W Z).所以y=^~~x.=sin(—x)= —sin x.e 兀、JI 所以尸x)是奇函数，且图象关于直线兀=亍对称•考点三三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题.高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；⑵已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值);(4)利用三角函数的单调性比较大小.⑴求心）的最小正周期和最大值;⑵讨论心）在［十，牛］ 上的单调性.• sin （2015•高考重庆卷）已知函数几兀）=os 2x.［解］(l)Ax)=sin 仔一Jsin x —A /§C =cos xsinx — 2 (H~cos 2x)1・，© o 並=-sm 2x — cos 2x —因此冷）的最小正周期为兀，最大值为2苫.os 2x（2）当兀丘［于，牛］时'0W2x —于W 兀，从而当弓^加一7~Wn,即弓时，/（兀）单调递减. Z Q 丄/ J调递减•J fl _ 7 y \ TL1 lz\ A A J KX& M n I y-Z z 产〒 r^Q^i 0« h P <Jlu tz 二\ J nf r/7 J? ryj n r^z^C 77 f r三角函数单调性问题解题策略.兀 兀 当0»亍亏, JI 5 JT . 即訐Tr 时' 的单调递增, 综上可知，几r ）在单调递增; 刊上单(1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律"同增异减”：②求形如j=Asin(ft)x+^)或y=Acos(ov +卩)(其中少＞0)的单调区间时，要视“ov+卩”为一个整体, 通过解不等式求解.但如果evO,那么一定先借助诱导公式将少化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.⑶利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如j=Asin(ft>x +°)+〃或可化为y=4sin@v+°)+〃的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.通关练习3.(1)已知函数/(x)=2sinC+亍) ，则a9 b9 c的大小关系是(BB. c<a<bD. b<c<aA. a<c<bC. b<a<c减，则 少的取值范围是（A54-(2)已知 ft»O,函数 f(x)=sirA. 12-D. (0, 2]10 —n 21兀因为j=sinx 在0,—上递增,——= 2sin 解：⑴选Ra兀= 2sin所以c<a<b.6>>0,JlJTJIH < 3X ---- < 3 兀 H - ,44 4G JI 3131〒+亡'313 JI3 JI H —W —4 2又 j=sinx所以6) JI3 31"T解得詳。
2019年高考数学第一轮复习三角函数解析要点三角函数是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，查字典数学网整理了三角函数解析要点，帮助广大高中学生学习数学知识! 这一部分的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。
在教学中，我注意到有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。
三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。
有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品(初中三角函数很多时候依附于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现形式。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。
对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效——就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
第五单元 三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14B.13C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φπ2π3π22π法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6. 答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B.8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313， sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.(2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]诱导公式5年1考 变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250°＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题； (4)已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题. 角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0， 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57.答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝xr ＝－45＝－45. 3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π. 法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( ) A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
第五讲解三角形一、正弦定理【即学即用】1.在△ABC 中，a =3,b =5,sinA =13,则sin B =()A ．15B ．59C ．53D ．12.在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >，则B ∠=（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π3.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝．二、余弦定理【即学即用】1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =,2c =,2cos 3A =,则b=（）A ．B ．C ．2D ．32.已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,02cos cos 232=+A A ，7=a ，c =6，则=b （）A ．10B ．9C ．8D ．53.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A ．10B ．10C ．10D ．10-三、面积公式【即学即用】1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）A ．2+B 1+C ．2D 1-2.钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝()A ．5B ．5C ．2D ．1【活学活用】1.已知a ，b ，c ，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为．四、综合1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅= ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．2.△ABC 在内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ൌ ܾ ܿ ܾܿ ܥ ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若 ൌ ，求△ABC 面积的最大值．3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c．(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°（1）若PB=12，求PA；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA。
