小专题13 巧解平行线中的“拐点”问题

平行线间的“拐点”问题福建省仙游县第二中学（351200）　陈国权［摘　要］平行线间的“拐点”问题，可以分为“猪脚”模型、“铅笔头”模型、“锯齿”模型、“臭脚”模型等，文章结合几则典例，探讨平行线间的“拐点”问题的求解方法，以提高学生灵活运用几何定理的能力，发展学生的核心素养。

［关键词］平行线；拐点；模型［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2023）23-0022-03平行线间的“拐点”问题，可以分为以下几个类型：“猪脚”模型、“铅笔头”模型、“锯齿”模型、“臭脚”模型，下面笔者结合几则典例，逐一分析探讨。

类型一、平行线间的“猪脚”模型如图1乙所示，这个几何图形因为与猪脚相像，我们形象地称之为“猪脚”模型。

“猪脚”模型中蕴含着角之间的特殊关系，即∠AEC=∠A+∠C。

如何证明呢？因为在两条平行线间是折线相连，不是直线连接，所以不能直接应用平行线的性质解答，它们之间需要一个“桥梁”将两者联系起来，常用的联系方式就是在“拐点”处作平行线，如图2所示，作EG∥AB。

因为AB∥CD，所以EG∥AB∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”得∠A=∠AEG，∠C=∠CEG，因为∠AEC=∠AEG+∠CEG，所以∠AEC=∠A+∠C（等量代换）。

甲乙图1 图2实际上对于“猪脚”模型，还可以进一步扩展，如图3所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D。

如图4所示，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，∵AB∥CD，∴AB∥P1E∥P2F∥P3G。

由平行线的性质可得 ∠1=∠B①，∠2+∠3=180°②，∠4+∠5=180°③，∠6=∠D④，①+②+③+④得，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D=180°+180°+∠B+∠D=360°+∠B+∠D。

初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题平行线间的拐点问题，一直是七年级下册的重难点，经常出现在解答题最后几题的位置。

在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条直线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．解决平行线中拐点问题的方法：在“拐点”处作已知直线的平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，这样角之间的关系就比较明显，也就可以运用平行线平行线的性质判定轻松求证。

方法巧记：过拐点，作平行，几个拐点作几条。

内拐模型巧记：“左和”= “右和”详解：P作PN∥AB∵AB∥CD∴PN∥AB∥CD∴∠1=∠3，∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4∴∠B +∠C =∠P外拐模型巧记：180°×（n-1）详解：①过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B + ∠BCF =180°，∠FCD +∠D =180°∴∠B+∠BCF +∠FCD+∠D =360°∴∠B +∠C + ∠P =360°同理可得②：∠B+∠C+∠D+∠E=540°鹰嘴模型巧记：鹰嘴+小角=大角详解：如图②，过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B = ∠BCF =∠BCD +∠DCF ∠DCF =∠D ∴∠B =∠BCD+∠D靴子模型巧记：靴角+小角=大角详解：如图，过p作EF∥AB∵AB∥CD∴EF∥AB∥CD∴∠PAB = ∠APE ∠C =∠CPE ∠PAB =∠APF =∠CPE+∠APC ∴∠PAB=∠P+∠C学以致用。

试题研究２０２３年８月下半月㊀㊀㊀平行线中拐点问题的解题突破与探究∗◉贵州省凯里市第四中学㊀雷㊀懿◉凯里学院理学院㊀吴才鑫㊀㊀摘要:本文中以一道平行线中拐点问题为例,对 拐点在平行线内 和 拐点在平行线外 两种情形展开探究,得出解答此类题目主要分为两个步骤．首先,判断拐点与平行线的相对位置关系;其次,过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．同时,提出了平行线相关知识的教学建议．关键词:解题方法;平行线与拐点位置关系;教学启示１考题解析考题㊀(２０２２年苏州模拟)图１问题情景:如图１,A B ʊC D ,øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ,求øA P C 的度数．小明的思路:过点P 作P E ʊA B ,通过平行线的性质来求øA P C 的度数．图２(１)按小明思路,易求得øA P C 的度数为㊀㊀㊀㊀．(２)问题迁移:如图２,A B ʊC D ,点P 在射线O M 上运动,记øP A B ＝α,øP C D ＝β,当点P 在B ,D 两点之间运动时,问øA P C 与α,β之间有何数量关系请说明理由．(３)拓展延伸:在(２)的条件下,如果点P 在B ,D两侧运动时(点P 与点O ,B ,D 三点不重合),请直接写出øA P C 与α,β之间的数量关系．思维突破:本题以线段㊁角㊁相交线与平行线为背景命题,让学生开展几何探究,属于动态几何问题．解题的关键在于把握图形运动规律,采用 化动为静 的策略[１],构建几何模型,利用性质定理求解．下面逐问展开探究．１．１第(１)问的探究第(１)问,求øA P C 的度数,问题中隐含了平行线拐点问题中的 铅笔 模型,构建平行线提取其中两直线平行,同旁内角互补 关系即可求得角的度数．图３如图３,过点P 作P E ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以P E ʊA B ʊC D ．故øA ＋øA P E ＝１８０ʎ,øC ＋øC P E ＝１８０ʎ．因为øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ,所以øA P E ＝５０ʎ,øC P E ＝６０ʎ．故øA P C ＝øA P E ＋øC P E ＝１１０ʎ．１．２第(２)问的探究第(２)问是平行线拐点问题从特殊到一般的探究,本题过点P 构建平行线转变成 M型,提取其中 两直线平行,内错角相等 关系,实现角的转化,得出øA P C 与α,β之间的关系．图４如图４,过点P 作P E ʊA B 交A C 于点E ．因为A B ʊC D ,所以A B ʊP E ʊC D ．因此øA P E ＝α,øC P E ＝β．所以øA P C ＝øA P E ＋øC P E ＝α＋β．１．３第(３)问的探究第(３)问,同样通过构建平行线,将拐点问题转化为平行线问题．本题过点P 构建平行线转变成 鹰嘴 型．要找øA P C 与α,β之间的关系,由于P 点会发生位置变化,可知点P 在B D 延长线上运动时会存在一种关系,在D B 延长线上运动时会存在另一种关系,因此,必须分情况讨论利用平行线的性质找出角的关系．图５如图５,当点P 在B D 的延长线上运动时,过点P 作P E ʊC D 交O N 于点E ．因为０６∗项目信息:本文系２０２２年贵州省教学内容和课程体系改革项目师范专业认证背景下 三习育人 实践教学体系改革研究 (项目编号:２０２２３２３),２０２２年凯里市第四中学课堂改革与研究项目 信息技术与初中数学课堂教学的融合研究 (项目编号:２０２２０１)的研究成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀A B ʊC D ,所以P E ʊA B ʊC D ．于是øC P E ＝β,øA P E ＝α．由此可得,øA P C ＝øA P E －øC P E ＝α－β．图６如图６,当点P 在D B 的延长线上运动时,过点P 作P E ʊA B 交A O 于点E ．因为A B ʊD C ,所以A B ʊPE ʊC D ．于是øA P E ＝α．øC P E ＝β．由此可得,øC P A ＝øC P E －øA P E ＝β－α．２深入探究上述考题,涉及了众多的知识点和几何模型,如平行线的性质㊁角的转化㊁动点问题,以及 铅笔 模型,考查学生综合分析和解决问题的能力．其中,第(３)问为考题的核心,主要考查学生对几何图形运动规律的把握,发展学生的空间观念和几何直观素养．从本质上看,可以将其归为平行线中的拐点问题,下面对此类型问题作进一步的深入探究．２．１平行线中拐点问题归纳对于平行线中的拐点问题,需要关注两点:一是平行线的对数和拐点的个数;二是两者的相对位置关系．特别是平行线与拐点的相对位置关系,将直接决定图形的形状,以及适用的平行线相关性质．下面以一组平行线和一个拐点的相对关系为例,分两类共四种情形加以探究．(１)一组平行线单拐点在两条平行线之间拐点在平行线之间,其图形会出现两种情况,如图７Ｇ１㊁图７Ｇ２．若A B ʊC D ,则øB E D 与øB 和øD 之间的关系,可以通过拐点作其中一条直线的平行线进行探究．对于图７Ｇ１,过点E 作E F ʊA B (如图７Ｇ３),因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ,则øB E D ＝øB ＋øD ．对于图７Ｇ２,过点E 作E F ʊA B (如图７Ｇ４),则øB ＋øD ＋øB E D ＝３６０ʎ,这就是考题第(１)问中的模型．㊀㊀图７Ｇ１㊀㊀图７Ｇ２㊀㊀㊀图７Ｇ３㊀㊀㊀图７Ｇ４(２)一组平行线单拐点在两条平行线之外拐点在平行线之外,其图形也会出现两种情况,如图８Ｇ１㊁８Ｇ２．若A B ʊC D ,则øB E D 与øB 和øD 之间的关系,可以通过拐点作其中一条直线的平行线进行探究．对于图８Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ,则øB ＝øD ＋øB E D ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８Ｇ２如图８Ｇ２,过点E 作E F ʊA B ,则øB ＋øD －øB E D ＝１８０ʎ．２．２考题关联探究平行线拐点问题在初中数学中十分常见,其中平行线与拐点之间的规律在解题中应用广泛．不同情形的平行线与拐点位置关系之间有不同的联系,但本质上同为平行线性质的应用问题．在实际命题中,通常采用几何变换的方式,下面结合实例进一步探究．问题㊀已知直线A B ʊC D ,M ,N 分别是A B ,C D上的点．㊀图９(１)若E 是A B ,C D 内一点．①如图９所示,请写出øB M E ,øD N E 和øM E N 之间的数量关系,并证明;㊀图１０②如图１０所示,若ø１＝１３ øB M E ,ø２＝１３øD N E ,请利用①的结论探究øM F N 与øM E N 的数量关系．㊀图１１(２)若E 是A B ,C D 外一点．①如图１１所示,请直接写出øE M B ,øE N D 和øM E N 之间的数量关系;㊀图１２②如图１２所示,已知øB M P ＝１４øE M B ,在射线M P 上找到点G ,使得øM G N ＝１４øE ,请在图中画出点G 的大致位置,并求出øE N G ʒøG N D 的值．分析:上述四个小问题都属于平行线单拐点问题,实则就是平行线单拐点的两种情形,只需根据总结的规律过拐点作平行线即可求解．解:(１)该情形为拐点在平行线内．①øB M E ＋øD N E ＋øM E N ＝３６０ʎ．证明:如图９Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ,于是øB M E ＋øF E M ＝１８０ʎ,øD N E ＋øF E N ＝１８０ʎ,从而øB M E ＋øF E M ＋øD N E ＋øF E N ＝１８０ʎ＋１８０ʎ＝３６０ʎ．１６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年８月下半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀图１０Ｇ１②如图１０Ｇ１,过点F 作F G ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以F G ʊC D ,则ø１＝øM F G ,ø２＝øN F G ,于是øM F N ＝ø１＋ø２．又因为ø１＝１３øB M E ,ø２＝１３øD N E ,所以øB M E ＝３ø１,øD N E ＝３ø２．又因为øB M E ＋øD N E ＋øM E N ＝３６０ʎ,所以３ø１＋３ø２＋øM E N ＝３６０ʎ,即３øM F N ＋øM E N ＝３６０ʎ．(２)①øE M B ,øE N D 和øM E N 之间的数量关系为øD N E －øB M E ＝øM E N ．理由如下:如图１１Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ．故øD N E ＝øF E N ,øB M E ＝øF E M ．又因为øF E N －øF E M ＝øM E N ,所以øD N E －øB M E ＝øM E N ．㊀㊀㊀㊀㊀图１１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２Ｇ１②点G 的大致位置如图１２Ｇ１所示．设M G 与N E 交于点Q ,N G 与A B 交于点F ,设øG M B ＝α,øG ＝β．因为øB M P ＝１４øE M B ,øG ＝１４øE ,所以øE M Q ＝３α,øE ＝４β．因为øE Q M ＝øG Q N ,所以øE ＋øE M Q ＝øG ＋øG N Q ,即øG N Q ＝øE ＋øE M Q －øG ＝４β＋３α－β＝３α＋３β．因为ø１是әG F M 的外角,所以ø１＝øG ＋øG M F ＝β＋α．又因为A B ʊC D ,所以øG N D ＝ø１＝β＋α．故øE N G ʒøG N D ＝(３α＋３β)ʒ(β＋α)＝３ʒ１．评析:上述四个小问题均为平行线拐点探究题,涉及到拐点在平行线内和拐点在平行线外两类情形,问题的解析可以分如下两个步骤展开．第一步:判断拐点与平行线的相对位置关系;第二步:过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．３教学建议上文中以一道平行线拐点考题为例,立足本题的核心问题(第３问),围绕拐点在平行线内和拐点在平行线外的两类情形展开深度探究并总结规律㊁构建模型,这对深入理解和运用平行线性质,强化和巩固平行线知识有一定的帮助．下面基于教学实践,对平行线相关内容提出几点教学建议．３．１关注知识,探寻本质上述考题以平行线单拐点问题为背景开展几何探究,拐点是平行线问题的重要形式,对掌握和运用平行线的性质及判定十分重要．以上述考题为例,过点E 作EF ʊA B ,构造内错角,依据两直线平行,同旁内角互补进行推导．在实际教学中,要引导学生关注知识本身,深入理解并探寻数学本质;要创设相关的问题情境引导学生理解平行线的性质和判定．以上通过拐点构造平行线来促进学生理解平行线拐点特性,进一步培养学生会用数学的思维思考问题,并能够发现线段㊁角㊁相交线与平行线之间的规律,发展学生的空间观念和几何直观素养．３．２归纳模型特征,发展数学思想在考试中,几何压轴题的命题,往往会综合众多几何模型,考查学生利用模型对知识点融合的能力．因此,解题教学时,要引导学生关注问题中已有的模型,通过观察和分析提取问题中已有模型的特征,充分利用已有模型的性质;引导学生利用转化和化归的方法来转化问题条件,渗透转化和化归的思想方法．如上述考题实则以 平行线和三角形 为背景创设命题,该问题中的模型具有 平行线拐点 特性,包括单拐点在平行线内和单拐点在平行线外两类情形．教学中要积极引导学生从已有条件中提取模型,分析和归纳模型的核心特性,并结合相关几何知识加以证明,强化对数学模型的理解,培养学生的模型观念,进而发展学生会用数学的语言表达现实世界的核心素养．３．３总结规律,积累经验考题第(２)问中第②小问本质上是考查单拐点在平行线外的情形,并且结合三角形外角性质进行推导计算,这是问题的本质特征,也是解决问题的关键所在．上述基于平行线单拐点不同情形问题进行了深度探究,并立足两类情形总结规律及解题策略,其探究过程具有一定的参考价值．教学中要引导学生基于问题本质特征开展深度分析与探究,总结解题规律,积累解题经验,发展学生的数学核心素养．参考文献:[１]黄玉霞,蔡德清,陈纪韦华．由何而来,为何而解,因何而去 一道几何压轴题命制的实践与反思[J ]．中学数学,２０２１(１４):４８Ｇ５０．Z ２６Copyright ©博看网. 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平行线中的拐点问题乐乐学堂
在数学中，平行线是指在同一个平面内不相交的直线。

平行线之间的关系一直是数学中的热门话题之一。

而在研究平行线时，人们常常遇到一个有趣的问题，即平行线中的拐点问题。

拐点问题是指，当有两组平行线相交时，是否存在某个点，使得在该点处的两条平行线向不同方向转弯。

换句话说，平行线是否可以有拐点。

为了解决这个问题，我们需要先了解平行线的定义和性质。

平行线的定义是两条直线在同一个平面内不相交。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：
1. 平行线具有相同的斜率：两条平行线的斜率相同，可以通过斜率的定义进行证明。

2. 平行线之间的距离是恒定的：两条平行线之间的距离是它们相邻两点之间的距离的恒定值。

这是因为两条平行线上的任意两点之间的距离都是相等的。

基于以上性质，我们可以得出结论：平行线是不可能有拐点的。

因为如果两条平行线相交，并且在交点处出现拐点，那么就意味着这两条
直线在该点处的斜率不同，违背了平行线的性质。

此外，我们还可以通过反证法来证明平行线中不存在拐点。

假设在两条平行线相交处存在一个拐点，那么根据平行线的定义，这两条平行线必须是相交的，与前述结论相矛盾。

总之，平行线中的拐点问题的答案是不存在拐点。

平行线是具有相同斜率且之间距离恒定的直线，它们永远不会相交或出现拐点。

这个结论在数学中有广泛的应用，特别是在几何学和解析几何学中。

小专题12 巧解平行线中的拐点问题【教材母题】（教材P186复习题T15（1））已知：如图，直线//AB ED .求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠.【解答】变式1，当点C 运动到如图所示的位置如图，直线//AB ED B BCD ∠∠，，，D ∠之间的关系是______________.【拓展】（商丘柘城中学月考）（1）如图1，若//AB CD ，则12B D E E ∠+∠+∠+∠的度数为_____________；（2）如图2，若//AB CD ，则123B D E E E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________；（3）如图3，若//AB CD 猜想12n B D E E E ∠+∠+∠+∠+⋅⋅⋅+∠的度数为_________.变式2 当点C 运动到如图所示的位置已知//AB ED ，点C 为AB ，ED 之外任意一点.（1）如图1，B BCD D ∠∠∠，，之间的关系是______________；（2）如图2，B EDC C ∠∠∠，，之间的关系是______________.方法指导解决平行线的拐点间题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.针对训练1.（随州中考）如图，在平行线12,l l 间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线12,l l 上.若∠1=65°，则∠2的度数是（ ）A. 25B. 35C. 45D. 65︒︒︒︒2.（聊城中考）如图，直线//AB EF ，点C 是直线AB 上一点，点D 是直线AB 外一点.若95BCD ︒∠=，25CDE ︒∠=，则DEF ∠的度数是（ ）.110︒A .115︒B C.120︒ D.125︒3.（莱芜中考）如图，//61AB CD BED ︒∠=，，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ）.149︒A .149.5︒B C.150︒ D.150.5︒4.如图1，已知//30120AB CD B D ︒︒∠=∠=，，.（1）若60BEF ︒∠=，则EFD ∠=____________；（2）探索BEF EFD ∠∠与之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数.参考答案【教材母题】过点C 作//CF AB ，则BCF ABC ∠=∠.又//,//AB ED CF ED ∴.DCF CDE ∴∠=∠.ABC CDE BCF DCF ∴∠+∠=∠+∠， 即ABC CDE BCD ∠+∠=∠.变式1360B BCD D ︒∠+∠+∠=【拓展】（1）540︒（2）720︒（3）1180n ︒+⋅（） 变式2（1）B BCD D ∠=∠+∠（2）EDC B C ∠=∠+∠ 针对训练1.A2.C3.B4.解：（1）90︒（2）30EFD BEF ︒∠=∠+.理由：分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB .////EM AB FN ∴. 30B BEM ︒∴∠=∠=，MEF EFN ∠=∠.又//,//AB CD AB FN ，//.180CD FN D DFN ︒∴∴∠+∠=. 又120,60.D DFN ︒︒∠=∴∠=30BEF MEF ︒∴∠=∠+,60.60.EFD EFN EFD MEF ︒︒∠=∠+∴∠=∠+30EFD BEF ︒∴∠=∠+（3）15P ︒∠=.。

七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》专题 巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（ ）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （ ），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （ ），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是 ．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝ ．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系 ．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。

平行线的拐点问题归纳总结平行线是数学中一个非常重要的概念，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。

特别是在几何学中，平行线的性质和拐点问题一直备受关注。

本文将对平行线的拐点问题进行归纳总结，并讨论其相关应用。

一、平行线的概念和性质在几何学中，两条直线被称为平行线，如果它们位于同一个平面中且没有交点。

根据平行线的性质，我们可以得出以下结论：1. 平行线之间的距离始终保持相等。

2. 平行线与同一条直线的交点与对应角之和为180度。

3. 平行线与平行线之间的内角、外角关系特殊。

这些性质为平行线的拐点问题的研究提供了基础。

二、平行线的拐点问题拐点是两个平行线相交后再相交一次的点，也被称为反拐点。

为了更好地理解平行线的拐点问题，我们将从一维、二维和三维的角度来分析。

1. 一维拐点问题一维拐点问题是指两条平行线在一维空间中的相交问题。

显然，两条平行线在一维空间中永远不会相交，因此没有拐点存在。

2. 二维拐点问题二维拐点问题是指两条平行线在二维平面中的相交问题。

当我们在平行线上引入一点，并以这个点为顶点作两条射线时，这两条射线可能与另一条平行线相交。

这种情况下，我们可以得到一个拐点。

3. 三维拐点问题三维拐点问题是指两条平行线在三维空间中的相交问题。

与二维情况类似，在平行线上引入一个平面，并以这个平面为基准作两个平面时，这两个平面可能与另一条平行线相交，从而产生一个拐点。

三、平行线拐点问题的应用平行线的拐点问题在数学和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些具体的应用场景：1. 几何学中的角度问题：通过研究平行线的拐点，我们可以更好地理解和计算一些几何学中的角度问题，如内角、外角和对应角等。

2. 折线的设计和分析：在图形设计和计算机图形学中，我们经常需要处理复杂的折线，平行线的拐点问题为折线的设计和分析提供了重要的参考依据。

3. 光学中的反射和折射：平行线的拐点问题在光学中有重要应用。

通过研究平行线的反射和折射现象，我们可以更好地理解光的传播和折射规律。

平行线多拐点问题答题方法
噫，你问到个平行线多拐点问题咋个答嘛，咱就四川话、陕西方言跟北京话混着来给你说说。

首先咱得明白，这平行线多拐点，就像那山路十八弯一样，看似复杂，其实有章可循。

咱四川人讲究个“简明扼要”，就得先把那些拐点给数清楚，再一步步分析它们之间的关系。

陕西的朋友可能会说：“诶，这拐弯抹角的事儿，咱得细心点儿。

”没错，细心是关键。

你得看清楚每个拐点是怎么影响平行线的，它们之间有啥规律可循。

再来说说北京的老少爷们儿，他们可能会这么告诉你：“这事儿得有条有理，不能乱了阵脚。

”确实，答题得有逻辑，你得按照顺序，一个拐点一个拐点地分析，不能东一榔头西一棒槌的。

那么具体咋答呢？咱得从最简单的开始，先看清楚题目给出的平行线和拐点，然后把每个拐点对平行线的影响都写出来。

这样一来，你就能看清楚整个问题的结构了。

接着，再根据这些影响，一步一步地推出答案。

记住啊，答题不是赶集，得慢慢来，细心点儿，有条理点儿。

这样，不管遇到啥样的平行线多拐点问题，你都能迎刃而解了。

好了，咱就说到这儿吧，有啥不懂的，你再问咱！。

初一下册数学平行线拐点题型初一下册数学平行线拐点题型平行线拐点题型是初中数学中非常重要的一个部分。

初一下册数学内容的学习，其中的平行线拐点题型是一个经典的题型。

它不仅有助于我们理解平行线的性质，还能够锻炼我们的空间想象力和逻辑推理能力。

接下来，让我们来深入了解一下初一下册数学平行线拐点题型。

在初一下册数学中，平行线是一个核心概念。

平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条线。

在平行线中，我们可以找到许多有趣的性质和定理。

其中，最基础的理论就是同位角定理和内错角定理。

同位角定理是指当平行线被一条截线所交时，交线两侧所对应的内角互等。

这个定理是平行线拐点题型的基础。

在解题过程中，我们可以通过找出各个角的对应关系，从而推导出所需要求解的角的值。

另一个重要的定理是内错角定理。

内错角定理是指当两条平行线被一条截线所交时，交线与平行线之间的内错角互为补角。

使用内错角定理，我们可以通过已知角度的和为90°的性质，从而计算出未知角的度数。

在解平行线拐点题型的过程中，我们需要善于利用同位角定理和内错角定理，灵活运用已知条件，巧妙地求解未知角的数值。

这要求我们具备良好的空间想象力和逻辑推理能力。

除了基本的平行线性质和定理，我们还需要掌握一些与平行线拐点相关的重要概念。

例如，平行线拐点的定义和性质是我们解题的基础。

平行线拐点是指两条平行线中的任意一条线向两侧伸出后，与另一条平行线相交形成的交点。

平行线拐点的性质包括：两条平行线的拐点在同一直线上；拐点与平行线的内角都是两个对应同位角中最大的角等等。

在初一下册数学中，有许多平行线拐点题型的习题和应用题。

通过这些题目的练习，能够让我们更加熟悉平行线的性质和定理，提高我们的解题能力。

总之，初一下册数学平行线拐点题型是初中数学学习过程中非常重要的一个部分。

通过深入学习和掌握平行线的性质和定理，以及平行线拐点的定义和性质，我们能够提高解题能力，培养空间想象力和逻辑推理能力。

题目：已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＋∠F ＝∠E ＋∠G.题型：解答题 难度：4.0方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题思路启发：这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论.解答过程：证明：如图，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、FM 、GN ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EH ∥FM ∥GN ∥CD ，∴∠B ＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D ，∴∠B ＋∠D ＋∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6，即∠B ＋∠D ＋∠EFG ＝∠BEF ＋∠FGD.答案：略 归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.题目：如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN.(1)如图1，连接AB ，则∠CAB ＋∠ABD ＝____；(2)如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接1AP 、1BP .则1CAP Ð、1APB Ð、1PBD Ð之和是多少？并说明.(3)如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的点，连接1AP 、12PP 、2P B .试求1CAP Ð＋∠12APP ＋12PP B Ð＋2P BD Ð的度数；(4)按以上规律，请直接写出1CAP Ð＋12APPÐ＋…＋5P BD Ð的度数(不必写出过程). 题型：解答题 难度：4.2方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题思路启发：(1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论；(2)过点1P 作1P H CM ∥，然后根据平行的性质得到11=180180CAP +︒+=︒∠∠1，∠2∠DBP ，结合图形，根据112APB +=∠∠∠即可得到结论；(3)利用(2)的方法，分别过“拐点12,P P ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论；(4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可.解答过程：(1)∵CM ∥DN.∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°；(2)点1P 作平行于CM 和DN 的平行线1P H ， ∴11=180180CAP +︒+=︒∠∠1，∠2∠DBP ，∴1111112180180360CAP APB PBD CAP PBD o o???????+=?；(3)过点1P 、2P 作平行于CM 和DN 的平行线， 根据(2)的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为(1+1)×180°， 这里有两个“拐点”，则1CAP Ð＋∠12APP ＋12PP B Ð＋2P BD Ð=3×180°＝540°；(4)由上可得，1125CAP APP P BD???…＝6×180°＝1080°. 答案：(1)180°(2)360°(3)540°(4)1080°归纳总结：对于本题考查了平行线的性质，这里解题的关键是根据题目中有平行线间的“拐点”，那么求解问题的方法就是经过“拐点”作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”求解问题.题目：如图，直线AB ∥CD ，∠EFA ＝30°，∠FGH ＝90°，∠HMN ＝30°，∠CNP ＝50°.试求∠GHM 的大小.题型：解答题 难度：4.5方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题思路启发：根据AB ∥CD ，利用旋转的思想，得到AB 经过分别以F 、G 、H 、M 、N 为旋转中心，分别旋转得到EG ，GH 、HM 、MN 、CD ，然后根据顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度相等得到关于∠GHM 的方程求解.解答过程：解：设∠GHM=x ：∵AB 以点F 为旋转中心顺时针旋转30°得到EG ，FG 以点G 为旋转中心逆时针旋转90°得到GH ，HG 以点H 为旋转中心顺时针旋转x 得到HM ，HM 以点M 为旋转中心逆时针旋转30°得到MN ，MN 以点N 为旋转中心顺时针旋转50°得到CD ，又AB ∥CD ，∴上述旋转过程中顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度，∴30°+x+50°=90°+30°，解得x=40°，∴∠GHM=40°.答案：40°归纳总结：本题考查了平行线的性质，旋转的定义.要注意区别，这里不是一般的“平行线中间有拐点”的问题.这里可以利用“扭转直线”的方法得到顺时针扭转的角度和=逆时针扭转的角度和来建立方程求解.。

《平行线中的拐点问题》教学设计一、学习内容分析鲁教版七年级下册第八章《平行线的相关证明》平行线中的拐点问题，它是在学生学习了本章内容后，在回顾和思考中利用平行线的性质和判定以及三角形内角和定理解决平行线中的“拐点”问题。

内容特色：整合教材，做小专题研究。

二、学习目标分析1.掌握经常遇到的平行线中拐点问题的考察方式。

2.熟练应用平行线性质定理和判定定理解决实际问题。

3.进一步发展演绎推理能力。

4.增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的愿望，体验成功的感觉，学会倾听、欣赏和感悟，享受数学学习的快乐。

教学重点：拐点问题的解决方法教学难点：灵活利用已学知识添加辅助线三、学习者特征分析1.学生已经熟练掌握平行线的判定和性质以及三角形的内角和定力和推论；2. 学生在平时的练习中遇到过有关拐点问题的题目，但是很少有深入研究获得一般化结论。

3. 可能出现的问题：（1）学生几何语言不规范。

（2）学生运用数学知识归纳总结和数学建模的能力不强。

四、课前任务设计学生课前的准备：复习第八章《平行线的相关证明》，注意梳理定理，做手抄报。

五、授课过程设计第一环节：复习巩固，提出问题教师带着同学们回顾第八章的主要内容，进行归纳，并由生活中的实例提出平行线中的“拐点”问题。

如图1,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，你能求出∠C 的度数吗？图1第二环节：“拐点”问题分类探究探究1：如图2，AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？并说明理由解：过点E做EF∥A B∵AB∥EF（已知）∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°（等式的性质）即∠B+∠BED+∠D=360°此处鼓励学生用多种方法解决，解决问题的关键是辅助线的添加方法，主要用到平行线的性质和判定，以及三角形的内角和定理及推论。