平行线拐点问题六种模型题型

初一下学期，平行线拐角模型之猪蹄、臭脚、骨折模型，模型解题平行线拐角模型除铅笔模型外，本章介绍拐角模型剩下的三个模型：猪蹄模型、臭脚模型和骨折模型，以及利用这三个模型进行解题。

01“猪蹄”模型该模型类似英文字母“M”，我们称之为M模型，也类似猪蹄，又称之为“猪蹄”模型。

满足的条件为：点P在直线BC的左侧，在直线AB与直线CD的内部。

结论为：若AB∥CD，则∠P=∠B+∠C。

证明的方法与上一篇“铅笔”模型类似，我们提供一种思路进行验证。

02“臭脚”模型“臭脚”模型需要满足的条件为：点P在直线BC的右侧，在直线AB、CD外部。

结论为：∠P=∠ABP-∠DCP或∠P=∠DCP-∠ABP。

要证明这个结论，需要用到的知识点有：平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和。

当然，也可以利用作平行线的方法来进行证明。

03“骨折”模型“骨折”模型需满足的条件：点P在直线BC左侧，在直线AB与直线CD外部。

结论为：∠P=∠DCP-∠ABP。

证明的方法与前三种模型类似，这边不再重复证明，可以作任意一边的平行线为辅助线，也可以利用平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和来进行证明。

04模型应用例题1：（2019秋金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°；（1）若∠E=60°，则∠F=______°；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．例题2：（2019春梁园区期末）如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A=20°，∠C=50°，则∠AEC=______．②若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= ______．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系.在利用模型解题前，我们首先要知道这些模型的基本结构，以及证明的过程（这是关键），不单单是记住结论，因为题目千变万化，但是又万变不离其宗，解题的思路是类似的。

平行线拐点问题
一、平行线拐点基本模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型
二、平行线拐点模型的证明
三、平行线拐点模型的进阶
1、处理方法
⎩⎨⎧拐点作平行
构造三角形关键作有效截线“铅笔”模型“铅笔”模型
3、模型二“猪蹄”模型（M 模型）
“猪蹄”模型
注意：铅笔模型与M 模型在一定程度可以相互转换。

4、核心
平行线拐点模型的核心在于平行线间的点，这些点有一个，两个和多个，这些点决定模型的类型和处理手段。

例1、平行线拐点模型的简单应用
例2、平行线拐点模型的探究问题
∠，F A平分HAD ECD
∠，若
例3、平行线拐点模型的具体应用
的度数为.
课后作业。

模型一：铅笔头模型基础（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //总结：①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //模型一：铅笔头模型进阶如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】模型二：锯齿模型基础（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型二：锯齿模型进阶【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠解答：①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想【例3】如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A.149B.5.149C.150D.5.150解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A. 30)()(3241=+-+θθθθB.40)()(3142=+-+θθθθC.70)()(4321=+-+θθθθ D.180)()(4321=+++θθθθ解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型三：臭脚模型基础如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠臭脚模型基础（汇总）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型三：臭脚模型进阶如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是解答：①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证40=∠GHM 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型四：蛇型基础如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型五：蜗牛模型基础如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。

专题01 平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。

一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠26．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠P AB＝150°，求∠PEH的度数．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MP A+∠PQF的度数．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（）；∴∠CDE＝（）（）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．。

七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2．涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ分别为∠DAC，∠EBC的平分线所在的直线，试探究∠C与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F的度数；【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM ＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．【分析】过点F作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF ＝21∠BEF ＝x °，∠EFG ＝21∠EFD ＝(x ＋25)°，∵FH ∥EP ，∴∠PEF ＝∠EFH ＝x °，∠P ＝∠HFG ，∵∠HFG ＝∠EFG －∠EFH ＝25°，∴∠P ＝25°．针对练习51．如图，CD ∥BE ，则∠2＋∠3－∠1的度数等于（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°2．如图，AB ∥DE ，∠C ：∠D ：∠B ＝2：3：4，则∠B ＝．3．如图，直线l 3，l 4与l 1，l 2分别相交于点A ，B ，C ，D ，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l 1与l 2平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE ＝30°，∠BEC ＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l 1与l 2平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE ．∴l 1∥l 2．（2）过点E作EF∥AB交BC于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B ＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例1】如图1，直线MN 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 的延长线与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且CH ⊥EC ．（1）求证：PF ∥GH ；（2）如图2，连接PH ，K 是GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图1图2【分析】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用x 表示未知角，运用整体思想求解。

平行线拐点问题六种模型题型
已知：如图，AB\ \他若线段劭是拉直的橡皮筋，在劭上任取一点£向不同的方向拉动点£那么/8、No V之间有何关系呢?
探究1 :向左拉动£点，如图1 ,已知：AB\ \他问/氏z BED、No
的关系。

rvri
探究2 :向右拉动F点，如图2，已知：AB\ \ CD,问/8、n。

、之间的关系.
探究3 :将点E向线段/夕的左上方拉动，如图3，已知:力刚问N8、N O、之间的关系.
C
原（Q
探究4 :将点F向线段朋的右上方拉动，如图4,已知:48l I CD, 问/8、
乙D、朋之间的关系.
探究5 :将点E向线段。

的左下方拉动，如图5,已知:48l I他问N8、N。

、/8以？之间的关系.
探究6 :将点£向线段。

的右下方拉动，如图6,已知48" 他问
/8、2D、N88?之间的关系.
A。

平行线拐点问题六种模型题型
已知：如图，AB∥CD，若线段BD 是拉直的橡皮筋，在BD 上任取一点E，向不同的方向拉动点E，那么∠B、∠D、∠BED 之间有何关系呢？
探究1：向左拉动E点，如图1，已知：AB∥CD，问∠B、∠BED、∠D 的关系。

探究2：向右拉动E点，如图2，已知：AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究3 :将点E 向线段AB 的左上方拉动，如图3，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究4 :将点E 向线段AB 的右上方拉动，如图4，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究5 :将点E 向线段CD的左下方拉动，如图5，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究6 :将点E 向线段CD的右下方拉动，如图6，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.。

模型一：铅笔头模型基础（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //总结：①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //模型一：铅笔头模型进阶如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】模型二：锯齿模型基础（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型二：锯齿模型进阶【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠解答：①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想【例3】如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A.149B.5.149C.150D.5.150解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A. 30)()(3241=+-+θθθθB.40)()(3142=+-+θθθθC.70)()(4321=+-+θθθθ D.180)()(4321=+++θθθθ解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型三：臭脚模型基础如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠臭脚模型基础（汇总）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型三：臭脚模型进阶如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是解答：①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证40=∠GHM 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型四：蛇型基础如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型五：蜗牛模型基础如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。

七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总模型一：“Ｍ”型（猪蹄模型）例：1．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．通关训练：2．如图，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，则∠F＝．（2）请探索∠E与∠F之间满足何数量关系？并说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．3．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°（2）如图2．直线F A，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．①试探究∠E与∠P的数量关系：②如图3，延长CE交P A于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为（用含α的式子表示）4．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为．5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H 共线，F、C、H共线，则∠H＝．7．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝°．8．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．9．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG （1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．10．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．11．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠Ｍ模型二：铅笔模型例：12．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可；（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可；【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1+∠MEF＝180°，同理∠2+∠NEF＝180°，∴∠1+∠2+∠MEN＝360°；【应用】（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）；（3）解：过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OR+∠M n OR，∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n﹣1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1＝2∠AM1O+2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1＝180°（n﹣1），∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°．通关训练：13．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝度．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝度．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝度．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝度．从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝度．14．如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数．15．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．17．如图，BN∥CD，点A是直线BN上一点，P是直线AB与直线CD之间一点，连接AP，PC．（1）求证：∠BAP+∠C＝∠P；（2）过点C作CM平分∠PCD，过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E，过点P作PF∥AE交CM于点F，探索∠CFP和∠APC的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若2∠AEC﹣∠CPF＝240°，Q是直线CD上一点，请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量关系．模型三：钩型（臭脚模型和骨折模型）例：18．（1）如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE 的度数；（2）如图2，已知AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；（3）如图3，若P是（2）中的射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【分析】根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【解答】解：（1）过E作EM∥AB∵AB∥CD∴CD∥EM∥AB∴∠ABE＝∠BEM∠DCE＝∠CEM∵CF平分∠DCE∴∠DCE＝2∠DCF∵∠DCF＝30°∴∠DCE＝60°∴∠CEM＝60°又∵∠CEB＝20°∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°∴∠ABE＝40°，（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB∵∠EBF＝2∠ABF∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x ∵CF平分∠DCE∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y∵AB∥CD∴EM∥AB∥CD∴∠DCE＝∠CEM＝2y∠BEM＝∠ABE＝3x∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x同理∠CFB＝y﹣x∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°∴x＝10°∴∠ABE＝3x＝30°，（3）过P作PL∥AB∵GM平分∠DGP∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y ∵PQ平分∠BPG∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x∵PQ∥QN∴∠PGN＝∠GPQ＝x∵AB∥CD∴PL∥AB∥CD∴∠GPL＝∠DGP＝2y∠BPL＝∠ABP＝30°∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG∴30°＝2y﹣2x∴y﹣x＝15°∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x∴∠MGN＝15°．通关训练：19．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．20．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．21．如图，BE∥CF，∠A＝30°，∠C＝80°，求∠B的度数．22．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．23．已知AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点F在直线AB、CD之间，分别连接EF、FG，∠BEF+∠DGF＝2∠EFG．（1）如图1，求∠EFG的度数；（2）如图2，若∠BEF的角平分线与FG的延长线交于点M，求证：∠AEF﹣2∠FME ＝60°；（3）如图3，已知点P在FG的延长线上，点K在CD上，点N在∠PGC内，分别连接NG，NK．若NK∥EF，∠PGN＝2∠NGC，请直接写出∠AEF﹣∠GNK的值．24．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，请写出∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系（不必说明理由）；（2）如图2，将直线AB绕点B逆时针方向转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N．已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°，利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数和∠A比∠F大多少度．25．综合探究：已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．26．已知直线AB∥CD．（1）如图1，请直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F ＝10°，求∠E的度数；（3）如图3，∠BME的角平分线所在的直线与∠CNE的角平分线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论．27．如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是；（不需证明）（2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G+∠E＝60°，求∠AMG的度数；（3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值；（4）若∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，则＝．（用含有n的代数式表示）28．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°．（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数．29．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．30．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明．图（1）结论：；图（2）结论：；图（3）结论：；图（4）结论：．你准备证明的是图，请在下面写出证明过程．31．如图1，将两根笔直的细木条MN，EF用图钉固定并平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用图钉分别周定在MN，EF上，橡皮筋的两端点分别记为点A，点B．（1）图1中，点P在AB上，若∠1＝110°，则∠2＝°；（2）P为橡皮筋上一点，用皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A，B，P三点不在同一直线，后用图固定点P．①如图2，若点P在两根细木条所在直线之间，且∠1+∠2＝90°，试判断线段AP与BP所在直线的位置关系，并说明理由；②如图3，若点P在两根细木条所在直线的同侧，且∠1+∠2＝90°，∠1＝31°，试求∠APB的度数；（3）如图4，P1，P2两点在两根细木条所在直线之间，拉动橡皮筋并固定，若∠1+∠2＝90°，则∠AP1P2+∠BP1P2＝°．32．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．33．如图，已知直线MB∥ND，A、C分别为MB、ND上的点，E为直线MB、ND外的一点，连接AE、EC．（1）E在直线MB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠ECD＝∠EAB；（2）若∠MAE与∠NCE两角的角平分线交于F点，请在图2中将图形补充完整，并直接写出∠AEC与∠AFC之间的数量关系；（3）若∠EAB的角平分线的反向延长线与∠NCE的角平分线交于G点（如图3），且∠AGC比∠AEC的倍多50°，求∠AEC的度数．34．已知直线AB∥CD，E为直线AB、CD外的一点，连接AE、EC．（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB＝∠ECD；（2）∠BAF＝2∠EAF，∠DCF＝2∠ECF（如图2），求证：∠AEC＝∠AFC；（3）若E在直线AB、CD之间，在（2）条件下（如图3），且∠AFC比∠AEC的倍少40°，则∠AEC的度数为（不用写出解答过程）．35．如图：已知AB∥DE，若∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．36．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．37．如图，平面内有两条直线同AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到如图（1）的位置时，这时∠APC与∠A，∠C有怎样的关系？并说明理由；（2）当点P移动到如图（2）的位置时，这时∠APC与∠A，∠C又有怎样的关系？说明你的理由；（3）当点P移动到如图（3）的位置时，直接写出∠APC与∠A，∠C的关系式；（4）当点P移动到如图（4）的位置时，直接写出∠APC与∠A，∠C的关系式．38．如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC，∠P AB与∠PCD的关系．39．已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．（1）探究：如图（1）∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是；如图（2）∠P AB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是．（2）在图2中试探究∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系．40．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总1．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．2．如图，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，则∠F＝90°．（2）请探索∠E与∠F之间满足何数量关系？并说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．【分析】（1）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM ＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．3．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°（2）如图2．直线F A，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．①试探究∠E与∠P的数量关系：②如图3，延长CE交P A于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为180°﹣8α（用含α的式子表示）【分析】（1）如图1，过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°，∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C，即∠E+∠C﹣∠A＝180°；（2）①∵∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE，∴设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥PG，∴∠GP A＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y，∴∠APC＝y﹣x，即∠E＝180°﹣3∠P；②如图3，过P作PG∥CD，∵∠BAQ＝α，∴∠QAE＝2α，∵AE∥PC，∴∠QAE＝∠APC＝2α，由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α，∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α，故答案为：180°﹣8α．4．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为30°．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据对顶角相等，直角三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质计算即可求解．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°；理由如下：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）∵∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM＝40°，∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣40°＝50°，∵AB∥CD，∴∠HFO＝∠PHE＝50°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝∠HFO﹣∠DON＝30°．故答案为：30°．5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：∠BME＝∠MEN﹣∠END；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：∠BMF＝∠MFN+∠FND；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝240°．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H 共线，F、C、H共线，则∠H＝51°．【分析】（1）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4+∠C＝180°，由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°；（2）由角平分线得∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，根据直线EF∥AB，EF∥CD得2∠1+∠7＝180°，2∠4+∠8＝180°，等式的性质得2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°；直线MN∥AB，MN∥CD得∠1＝∠5，∠4＝∠6，等量代换2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又因∠BGC＝∠BHC+27°求得∠BHC的度数为51°．【解答】解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：∵EM∥AB，∴∠1＝∠B，又∵FN∥AB，∴FN∥EM，∴∠2＝∠3，又∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠4+∠C＝180°，又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）＝60°+180°＝240°；（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，又∵EF∥AB，∴2∠1+∠7＝180°，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴2∠4+∠8＝180°，∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，又∵MN∥AB，∴∠1＝∠5，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠4＝∠6，∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，∴∠BGC+2∠BHC＝180°，又∠BGC＝∠BHC+27°，∴3∠BHC+27°＝180°，∴∠BHC＝51°；故答案为：240°，51°．7．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝90°°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝54°．【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．（3）连接BD，先求出∠EBD+∠FDB的度数，再求出∠PBE+∠PDF的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，∴∠PBD+∠PDB＝90°，∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．（2）连接BD，∵∠BED＝140°，∴∠EBD+∠EDB＝40°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，∴∠PBE＝∠ABE，∠PDE＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝70°．（3）连接BD，∵∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，∴∠EBD+∠FDB＝360°﹣（152°+136°）＝72°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC，∴∠PBE＝∠ABE，∠PDF＝∠CDF，∴∠PBE+∠PDF＝×（180°﹣72°）＝54°，∴∠BPD＝180°﹣（∠EBD+∠FDB）﹣（∠PBE+∠PDF）＝54°．故答案为：90；54°．8．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG＝∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG＝∠CDE，进而可得∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED＝2∠BFD；（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE＝180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE ＝180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG＝∠ABE，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG＝∠CDE，所以∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，即∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE＝2∠ABF+2∠CDF＝2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BED＝∠ABE+∠CDE，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，所以∠BED＝2∠BFD．（3）∠BED＝360°﹣2∠BFD．图3中，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE＝180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE＝180°，所以∠BEG+∠DEG＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），即∠BED＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF，∠BED＝360°﹣2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BFD＝∠ABF+∠CDF，所以∠BED＝360°﹣2∠BFD．9．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG （1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．【分析】（1）过F作FQ∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；（2）延长AB，CD，交于点P，依据∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），再根据四边形内角和，即可得到四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝∠AEF+∠FGC，进而得出结论．【解答】解：（1）如图1，过F作FQ∥AB，∵AB∥CD，∴FQ∥CD，∴∠AEF＝∠QFE，∠FGC＝∠GFQ，∴∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；（2）如图2，延长AB，CD，交于点P，∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，∴∠FEG＝∠PEG，∠FGE＝∠PGE，∴∠F＝∠P，∵∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，∴∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），∵四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝360°﹣[360°﹣（∠AEF+∠FGC）]＝∠AEF+∠FGC，即2∠EFG＝∠AEF+∠FGC．10．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为∠BED＝2∠BFD．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．【分析】（1）首先连接FE并延长，易得∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，又由BF、DF 分别平分∠ABE、∠CDE，以及（1）的结论，易证得∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，根据平行线的性质得到∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，根据已知条件即可得到结论．（3）由（1）（2）即可得出∠F与∠E的等量关系．【解答】解：（1）∠BED＝2∠BFD．证明：连接FE并延长，∵∠BEG＝∠BFE+∠EBF，∠DEG＝∠DFE+∠EDF，∴∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠ABE+∠CDE＝2（∠EBF+∠EDF），∵∠BED＝∠ABE+∠CDE，∴∠EBF+∠EDF＝∠BED，∴∠BED＝∠BFD+∠BED，∴∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED＝3∠BFD．（3）由（1）（2）可得∠BED＝n∠BFD．11．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠Ｍ【分析】【引入】先判定AB∥DE，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．【变式】延长EF交CD于G，利用平行线的性质得出∠1＝∠EGD，进而得出∠EGD＝∠2，再利用平行线的判定方法得出答案．【解答】【引入】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC＝∠BCQ，∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1＝∠2．【变式】证明：延长EF交CD于G，如图：∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD∵∠1＝∠2，∴∠EGD＝∠2∴EF∥MN，∴∠EFM＝∠M．12．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为900°．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为180°（n﹣1）．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可；（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可；【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1+∠MEF＝180°，同理∠2+∠NEF＝180°，∴∠1+∠2+∠MEN＝360°；【应用】（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）；（3）解：过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OR+∠M n OR，∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n﹣1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1＝2∠AM1O+2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1＝180°（n﹣1），∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°．13．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝180度．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝360度．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540度．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720度．从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）度．【分析】首先过各点作MA1的平行线，由MA1∥NA2，可得各线平行，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案，注意找到规律：MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）度是关键．【解答】解：如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．从上述结论中你发现了规律：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n ﹣1）度．故答案为：180，360，540，720，180（n﹣1）．14．如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数．【分析】过点E作EM∥AB，由平行线的性质得到∠MEC＝65°，从而得到∠AEM＝40°，再根据平行线的性质得到∠EAB＝180°﹣∠AEM＝140°，进而得到∠EAF＝35°，最后根据三角形的外角定理即可求解．【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MEC+∠DCE＝180°，∵∠DCE＝115°，∴∠MEC＝180°﹣115°＝65°，∵∠AEC＝∠MEC+∠AEM，∠AEC＝105°，∴∠AEM＝40°，∵EM∥AB，∴∠AEM+∠EAB＝180°，∴∠EAB＝180°﹣∠AEM＝140°，∵∠EAB＝∠EAF+∠BAF，∠EAF＝∠BAF，∴∠EAF+3∠EAF＝140°，∴∠EAF＝35°，∴∠AFC＝∠EAF+∠AEC＝35°+105°＝140°．15．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝75°；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．【分析】（1）过E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等进行计算；（2）过E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算；（3）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行计算．【解答】解：（1）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠B＝15°，∴∠BEF＝15°，又∵∠BED＝90°，∴∠DEF＝75°，∵EF∥CD，∴∠D＝75°，故答案为：75°；（2）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°，又∵∠B＝α，∠D＝β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝360°﹣α﹣β，故答案为：∠BED＝360°﹣α﹣β；（3）猜想：∠BEC＝180°﹣α+β．证明：过点E作EF∥AB，则∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣α，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF＝∠C＝β，∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝180°﹣α+β．16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：。

平行线模型一、猪蹄型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）已知：AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E.证明：过点E作MN//AB.∠MN//AB（辅助线）.∠∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.∠MN//AB（辅助线），AB//CD（已知）∠MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）∠∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）∠∠1+∠2=∠BED（等式性质）∠∠B+∠D=∠BED（等量代换）结论：朝左的角之和=朝右的角之和二、铅笔型（在拐点作平行线，利用同旁内角倒角）解：（1）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥EF，AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质）∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换）（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD（已知）∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质）∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换）（4）根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°．三、前扬角型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）∠B=∠E+∠C过点E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质）∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换）四、后翻角型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）∠C=∠E+∠B过点E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质）∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换）五、综合型（在拐点作平行线，利用平行性质倒角）∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC。

专题19解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (9)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (14)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (20)【典型例题】【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，AB CD ∥，若40A ∠=︒，26C ∠=︒，则∠E =______．【答案】66︒##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==︒==︒∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠，故答案为：66︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠是解题的关键．【变式训练】1．如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E ∠+∠+∠=︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE ∠+∠+∠+∠=︒，∴360A ACE E ∠+∠+∠=︒，∴在原图中360A C E ∠+∠+∠=︒，故答案为：360A C E ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．2．如图，若AB ∥CD ，则130α∠=︒，70β∠=︒，则γ∠=______．【答案】20︒##20度【分析】过点E 作EF AB ∥，利用平行线的性质可得1∠的度数，进而可得2∠的度数，再结合CD AB ∥可得//CD EF CD EF ∥，进而可得γ∠的度数．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ∥，则118018013050α∠=︒-∠=︒-︒=︒，2705020AEF β∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，C D A B ∥ ，CD EF ∴∥，220γ∴∠=∠=︒．故答案为：20︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．3．已知直线12l l ∥，3l 和1l ，2l 分别交于C ，D 点，点A ，B 分别在线1l ，2l 上，且位于3l 的左侧，点P 在直线3l 上，且不和点C ，D 重合．(1)如图1，有一动点P 在线段CD 之间运动时，求证：12APB ∠=∠+∠；(2)如图2，当动点P 在C 点之上运动时，猜想APB ∠、1∠、2∠有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)21APB ∠=∠+∠，理由见解析．【分析】()1过点P 作1//PE l ，根据12l l //可知2//PE l ，故可得出1APE ∠=∠，2.BPE ∠=∠再由APB APE BPE ∠=∠+∠即可得出结论；()2过P 作//PE AC ，依据12l l //，可得//PE BD ，进而得到2BPE ∠=∠，1APE ∠=∠，再根据BPE APE APB ∠=∠+∠，即可得出21APB ∠=∠+∠．（1）证明：如图1，过点P 作1//PE l ，12//l l ，2//PE l ∴，1APE ∴∠=∠，2BPE ∠=∠．又APB APE BPE ∠=∠+∠ ，12APB ∴∠=∠+∠；（2）解：21APB ∠=∠+∠．理由如下：如图2，过P 作//PE AC ，12//l l ，//PE BD ∴，2BPE ∴∠=∠，1APE ∠=∠，BPE APE APB ∠=∠+∠ ，21APB ∴∠=∠+∠．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG+∠B=180°，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【考点二平行线中含两个拐点问题】∥、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．例题：如图所示，AB CD【答案】540【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l 1∥l 2，∴AB ∥CD ，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．如图，AB CD EF ∥∥，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．【答案】123∠+∠=∠【分析】根据AB CD EF ∥∥可得1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又因为2DCE BCD ∠=∠+∠，所以可得123∠+∠=∠．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，∴1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又∵2DCE BCD ∠=∠+∠，∴123∠+∠=∠，故答案为：123∠+∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．3．①如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；②如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；③如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，由平行线的性质可得出180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ；④过点P 作PF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ．【详解】解：①如图1，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A +∠AEF =180°，∠C +∠CEF =180°，∴∠A +∠AEC +∠C =∠A +∠AEF +∠C +∠CEF =180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A =∠AEF ，∠C =∠CEF ，∴∠A +∠C =∠CEF +∠AEF =∠AEC ，则②正确；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠DCF =∠EFC ，由②的结论可知∠GBH +∠HCD =∠BHC ，又∵180GBH ABH =︒-∠∠，∠HCD =∠HCF -∠DCF∴180°-∠ABH +∠HCF -∠DCF =∠BHC ，∴180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ，∴180x αβγ︒-+-=∠∠∠∠，故③正确；④如图4，过点P 作PF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PF ∥CD ，∴∠A =∠APF ，∠C =∠CPF ，∴∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【答案】360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明：180A B Q P ∠∠∠∠++=+(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于1∠、2345∠∠∠∠，，，的数量关系（无需证明直接写出）【答案】(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l ）过P 作PE ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ，∠DQM =∠EMQ ，∠EMB =∠5，∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠5+∠DQM ，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5+∠DQM =∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．猜想说理：（1）如图，AB CD EF ∥∥，分别就图1、图2、图3写出A ∠，C ∠，AFC ∠的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【答案】（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；∠（2）360（3）-1180n ⨯︒（）过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋L 的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知//AB CD ，77BAE ∠=︒，131DCE ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．28︒B ．54︒C ．26︒D ．56︒【答案】B 【分析】延长DC 交AE 于F ，依据AB CD ∥，77BAE ∠=︒，可得77CFE ∠=︒，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠．【详解】解：如图，延长DC 交AE 于F ，∵AB CD ∥，77BAE ∠=︒，77CFE BAE ∴∠=∠=︒，又131DCE ∠=︒ ，E CFE DCE ∠+∠=∠，1317754E DCE CFE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，则ABC ∠=（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O 照射到抛物线上的光线OA 、OC 等反射以后沿着与PQ 平行的方向射出，已知25OAB ∠=︒，OA OC ⊥，那么OCD ∠的度数是（）【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点【详解】解：过点D 作DG AB ∥，过点∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，【答案】210【分析】过2∠顶点做直线l∥支撑平台，直线【详解】解：过2∠顶点做直线l∥∴l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠=∠= 、531801430∠+∠= ，【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（22·23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知120MAC ∠=︒，60NBE ∠=︒．(1)已知驱逐舰在AC 方向上航行，巡洋舰在BE 方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C 后沿C D -继续航行，巡洋舰到达点E 后沿E F -继续航行，且MN EF ∥，140ACD ∠=︒．若驱逐舰在原航向上向左转动()0180αα︒<<︒后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．【答案】(1)不会，理由见解析(2)20︒【分析】（1）根据平行线的判定证明AC BE ∥，利用平行线的定义判断即可；（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF CG ∥，利用平行公理得到CG MN ∥，求出ACG ∠，即可求出α的值．【详解】（1）解：不会，理由是：∵120MAC ∠=︒，∴60CAN ∠=︒，∵60NBE ∠=︒，∴CAN NBE ∠=∠，∴AC BE ∥，∴这两艘舰艇不会相撞；（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．6．（22·23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得126DOP DOE∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP∠=则15∠=∠=︒，COF OCG，∠=︒116CODFOQ COD COF∴∠=∠+∠=︒+︒11615 ，OF CGCG MN∥∥，OF MN∴∥，∴∠+∠=︒，180OQM FOQ(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD 并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC 能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，AB∥CD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．。

专题3 平行线中的“拐点”模型研究（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一基本模型：M型，U型，Z型结论探究典例1如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；（2）当点P移动到图（2）、图（3）的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．思路引领：（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC＝∠A+∠C；（2）如图2，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC+∠A+∠C＝360°；如图3，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC＝∠C﹣∠A．解：（1）∠APC＝∠A+∠C．证明：如图1，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠A+∠C．（2）如图2，∠APC+∠A+∠C＝360°，理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°；如图3，∠APC＝∠C﹣∠A．理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠C﹣∠A．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造内错角．类型二基本模型简单变式典例2 （2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）A．50°B．60°C．70°D．110°思路引领：作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．解：如图，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，∴∠1+∠4＝110°，∴∠2﹣∠1＝70°．故选：C．总结提升：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝110°，∠2+∠4＝180°是解题关键．变式训练1．（2022春•南京期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．思路引领：因为m∥n，所以∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，根据直角三角形可知∠BAC+∠ABC＝90°，∠1＝40°，进而可以求出∠2．解：∵m∥n，∴∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，∵△ABC为直角三角形，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣90°﹣40°＝50°．故答案为：50°．总结提升：本题考查平行四边形的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．2．（2021春•福州期中）如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝ °．思路引领：由平行公理的推论得CF∥DE，其性质得求得∠4的度数为64°，再根据CF∥AB，得到∠1＝∠3＝26°，最后由角的和差求出∠BCD的度数为90°．解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠2+∠4＝180°，又∵∠2＝116°，∴∠4＝180°﹣∠2＝64°，又∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝26°，∴∠3＝26°，又∵∠BCD＝∠3+∠4，∴∠BCD＝90°，故答案为：90．总结提升：本题综合考查了平行线的性质，角的和差等相关知识点，解题的关键是作辅助线构建平行线．类型三“M”型套“M”型典例3（2021春•奉化区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，则∠AEC＝ 度．思路引领：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD可得出∠EAB=34∠FAB，∠ECD=34∠FCD，结合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC=34∠AFC，代入∠AFC＝120°即可求出∠AEC的度数．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，∴∠EAB=34∠FAB，∠ECD=34∠FCD．∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD=34（∠FAB+∠FCD）=34（∠AFN+∠CFN）=34∠AFC＝90°．故答案为：90．总结提升：本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．变式训练1．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是 ．思路引领：连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），求出∠AEC＝4（x°+y°），∠AFC＝3（x°+y°），即可得出答案．解：如图，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝4x°，∠ECD＝4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x°+3y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（4x°+4y°）]＝4x°+4y°＝4（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]＝3x°+3y°＝3（x°+y°），∴∠AFC=34∠AEC，故答案为：∠AFC=34∠AEC．总结提升：本题考查了平行线性质和三角形内角和定理，熟记平行线的性质及正确作出辅助线是解题关键．类型四“M”型叠“M”型典例4 （2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为 ．思路引领：延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，依据平行线的判定与性质即可得到∠A+∠C的度数．解：如图所示，延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案为：35°．总结提升：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．变式训练1．（2022春•鄞州区校级期中）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为 ．思路引领：先延长AE，DG交于点Q，根据∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，以及∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，可得∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），再根据∠AEF+∠DGF＝∠H，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠B+∠C+∠H，据此得出结论．解：如图所示，延长AE，DG交于点Q，由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案为：360°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，依据两直线平行，同旁内角互补进行计算求解．类型五过拐点作平行线——“Z”型图形研究典例5（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝　32　°．思路引领：（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，进而可证明结论；（2）①易求∠ABE＝52°，根据（1）的结论可求解∠DCE＝154°，根据角平分线的定义可得∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°−1 2∠BEC）＝90°+12∠BEC，设∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠DCE＝y，结合已知条件∠BFC﹣∠BEC＝74°可求解∠BEC的度数．（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：①∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，如图2，∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，设∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠DCE＝y，由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，∴∠BFC＝x+y，∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，∴x+y＝74°+∠BEC，∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°解得∠BEC＝32°．故答案为32°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．变式训练1．（2019春•静安区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．思路引领：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．解：（1）过点E作EF∥AB；∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，说理如下：过点E作EF∥AB∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），即∠CEA+∠AEF＝∠2∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°总结提升：本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．类型六过拐点作平行线——“U”型图形研究典例6（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ ；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ ，请你说明理由；（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ ；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数．思路引领：（1）①根据两直线平行，同旁内角互补即可得∠A1+∠A2；如图②过A2作PA2∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；（3）根据平行线的性质、角平分线的定义及四边形内角和求解即可．解：（1）如图①，根据MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，故答案为：180°；如图②，过A2作PA2∥MA1，∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°，故答案为：360°；（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；故答案为：540°；（3）如图④，∵AB∥CD，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝130°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF=12∠ABE，∠EDF=12∠CDE，∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）=12（∠ABE+∠CDE）＝360°﹣130°−12×230°＝115°．总结提升：此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．变式训练1．（2022春•丛台区校级期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB 始终和桌面FG垂直．（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA 的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．（1）解：过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（ ）．∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（ ）．∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（ ）．又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝ °．思路引领：（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠CHA＝∠PCH＝60°，依据三角形外角性质，即可得到∠CBA的度数；（2）分六种情况讨论，分别过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，依据平行线的性质，即可得到α，β，γ之间的数量关系．解：（1）如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（平行于同一直线的两直线平行），∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°（两直线平行，内错角相等），又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝150°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；150；（2）分六种情况：①如图所示，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．即α+β﹣γ＝90°．②如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，则∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，∵DE∥FG，∴CM∥BN，∴∠BCM+∠CBN＝180°，即∠BCD﹣∠DCM+∠ABC﹣∠ABN＝180°，∴β﹣α+γ﹣90°＝180°，即β﹣α+γ＝270°；③如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，易得∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，CM∥BN，∴∠BCM＝∠CBN，即∠BCD﹣∠DCM＝∠ABC﹣∠ABN，∴β﹣α＝γ﹣90°，∴α﹣β+γ＝90°；④如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，易得∠D+∠DCM＝180°，∠ABN+∠BAF＝180°，∠BCM+∠CBN＝180°，∴∠D+∠BCD+∠ABC+∠FAB＝540°，即α+β+γ+90°＝540°，∴α+β+γ＝450°．⑤如图，同法可得β+γ﹣α＝90°．⑥如图，同法可得α﹣β+γ＝270°．综上，α+β﹣γ＝90°或β﹣α+γ＝270°或α﹣β+γ＝90°或α+β+γ＝450°或β+γ﹣α＝90°或α﹣β+γ＝270°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．2．（2022春•奉贤区期中）已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝ 度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝ 度．（不必说明理由）思路引领：（1）过点C作AB的平行线CF，利用平行线的性质，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，再根据AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则利用平行线的性质，即可得到∠A+∠C1+∠C2+∠D的度数；（2）利用规律即可得到∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D的度数．解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD，∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则∵AB∥DE，∴C1F∥AB∥C2G∥DE，∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案为：540；（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝180°×（n+2），故答案为：180（n+2）．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．类型七几种基本图形的组合典例7（2021春•金坛区期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．解答下列问题：（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；（2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．思路引领：（1）根据AB∥CF，得∠B+∠C＝180°，则4∠B＝180°即可求出答案；（2）分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，根据平行线的性质可证得结论；（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，则∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，从而∠CBG﹣∠CDG＝14°，从而求出答案．解：（1）∵AB∥CF，∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠C＝3∠B，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，（2）证明：分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥DN∥CM∥EF（同平行于一条直线的两直线平行），∵AB∥CM，∴∠B+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），同理，∠E+∠NDE＝180°，∵DN∥CM，∴∠NDC＝∠MCD（两直线平行，内错角相等），∴∠B+∠BCD＝∠E+∠CDE．（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，∴∠ABC+88°＝130°+∠CDE，∴∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，∴3∠CBG﹣3∠CDG＝42°，∴∠CBG﹣∠CDG＝14°，又∵∠CBG+∠C＝∠CDG+∠G，∴∠CBG﹣∠CDG＝∠G﹣∠C＝14°，∴∠G＝∠C+14°＝102°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题的关键，属于中考常考题型．变式训练1．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．思路引领：（1）过E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，证得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC 的数量关系．解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE＝∠AEN，∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，∴∠ECD＝∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，如图2，过点H作HM∥AB，∴∠BAH＝∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH＝∠MHF，∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如图3，过点H作HK∥AB，∴∠BAH＝∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH＝180°，∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+12∠AEC．总结提升：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质作出辅助线是解本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2020•钟山区模拟）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝29°，则∠2的度数为（ ）A．18°B．16°C．14°D．12°思路引领：由平行线的性质得得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再由等腰直角三角形的性质得∠3+∠4＝45°，则∠1+∠2＝45°，即可得出答案．解：由平行线的性质得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣29°＝16°．故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”证出∠1＝∠3，∠2＝∠4是解题的关键．2．（2020•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，则∠C的度数为（ ）A．60°B．80°C．75°D．70°思路引领：根据平行线的性质得出∠A+∠AFD＝180°，求出∠CFE＝∠AFD＝60°，根据三角形内角和定理求出即可．解：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝120°，∴∠AFD＝60°，∴∠CFE＝∠AFD＝60°，∵∠E＝40°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故选：B．总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠AFD是解此题的关键．3．（2022春•怀集县期末）如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝ ．思路引领：过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算出∠1+∠2＝30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°，∵∠1＝∠2+4°，∴∠1＝17°，故答案为：17°．总结提升：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．4．（2022春•高青县期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．思路引领：（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180°﹣∠B，将其代入∠ACB＝∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=12（∠CBE﹣∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C＝180°；（3）由（2）的结论可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE＝180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出结论．解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．（2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=12∠CBE，∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM=12（∠CBE﹣∠CAD）．∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C＝180°．（3）∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP=12∠CAD，∠ACP＝∠PBQ=12∠CBE，∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°−12∠CBE．∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD=12∠CBE．又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．总结提升：本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB＝180°﹣（∠B﹣∠A）；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义找出∠AQB=12（∠CBE﹣∠CAD）；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求出∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数．5．（2020春•固安县期末）如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．（1）求∠BAC+∠B+∠C的度数．阅读并补充下面的推理过程解：过点A作ED∥BC．∴∠B＝ ，∠C＝∠DAC（ ）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，且交于点E，点E在直线AB与CD之间，求∠BED的度数．思路引领：（1）根据平行线的判定与性质即可补充推理过程；（2）如图2，过点C作CF∥AB，由AB∥ED，可得CF∥AB∥ED，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠B+∠BCD+∠D的度数；（3）结合（1）和（2）的方法，再根据BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线和平行线的性质即可求出∠BED的度数．解：（1）过点A作ED∥BC．∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．故答案为：∠EAB，两直线平行，内错角相等；（2）如图2，过点C作CF∥AB，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠D+∠DCF＝180°∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D的度数为360°；（3）如图3，过点E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABE，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∵BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，∠ABE=12∠ABC=12×50°＝25°，∠CDE=12∠ADC=12×70°＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE＝60°，∴∠BED的度数为60°．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．6．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面的求解过程，解：过点A画ED∥BC．根据“ ”，可以得到∠B＝　∠　，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）思路引领：利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．解：（1）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠BAE，（2）过点C画CF∥AB，∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠DCF+∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠B+∠BCF+∠DCF+∠D＝180°+180°＝360°，∠B+∠BCD+∠D＝360°，（3）过点C画CG∥AB，过点D画DH∥AB，如图∠BCG＝∠B＝x，∠CDH＝∠DCG＝90°﹣x，∠E＝∠EDH＝y﹣（90°﹣x）＝x+y﹣90°，x+y﹣∠E＝90°，即∠B+∠D﹣∠E＝90°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，解题关键是辅助线的作法．7．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．①填空：∠G＝ °．②求出∠EHF的度数；（2）如图2，∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m ∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．思路引领：（1）①如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．由AB∥OP，得∠AEG＝∠EGP．由AB∥CD，得OP∥CD，故∠PGF＝∠CFG．由EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，得∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∠CFE，进而可推断出∠EGF=12(∠AEF+∠AFE)，从而解决此题．②与（1）同理．（2）由题得∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°，得m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°，进而推断出m∠EHF+n∠EKF＝360°．解：（1）如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．①∵AB∥OP，∴∠AEG＝∠EGP．又∵AB∥CD，∴OP∥CD．∴∠PGF＝∠CFG．∴∠EGF＝∠EGP+∠FGP＝∠AEG+∠CFG．∵EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，∴∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∠CFE．∴∠AEG+∠CFG=12∠AEF+12∠CFE=12(∠AEF+∠CFE)．∴∠EGF=12(∠AEF+∠AFE)．又∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°．∴∠EGF=12×180°＝90°．故答案为：90．②：与①同理可证：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．由①得：∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∠CFE，∠AEF+∠CFE＝180°．∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，∴∠AEH=12∠AEG，∠AFH=12∠CFG．∴∠AEH+∠AFH=12∠AEG+12∠CFG=12(∠AEG+∠CFG)=12×12(∠AEF+∠CFE)=14(∠AEF+∠CFE)=14×180°＝45°．∴∠EHF＝45°．（2）由（1）得：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．与①同理可证：∠EKF＝∠BEK+∠DFK．∵∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK，∠DFG＝n∠DFK，∴∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°．∴m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°．∴m（∠AEH+∠CFH）+n（∠BEK+∠DFK）＝360°．∴m∠EHF+n∠EKF＝360°．总结提升：本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．8．已知，AB∥CD，点E在两条平行线之间、连接AE、CE，作AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．（1）如图1，求证∠AEC＝2∠AFC；（2）如图2，当∠AEC＝60°时，求∠AFC的度数；（3）如图3，延长CF交AB于点G．当AE∥CG，∠AEC+∠BAF＝180°时，过点G作GH⊥GC交∠GCD的角平分线于点H，在射线GH上取点K、连接CK、已知3∠DCK+34∠K=∠CHG，求∠K的度数．思路引领：（1）利用平行线的性质及角平分线的定义证明；（2）利用（1）的结论求解；（3）利用（1）的结论，结合平行四边形的性质和判定，及解方程等知识求解．（1）证明：根据平行线的锯齿模型知：∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AFC＝∠BAF+∠FCD，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∠BAE＝2∠BAF，∠ECD＝2∠FCD，∴∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2（∠BAF+∠FCD）＝2∠AFC．（2）解：由（1）得：2∠AFC＝360°﹣∠AEC＝300°，∴∠AFC＝150°，（3）解：∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF，∵∠AEC+∠BAF＝180°，∴∠AEC+∠EAF＝180°，∴AF∥CE，∵AE∥CG，∴▱AECF是平行四边形，∴∠AEC＝∠AFC，由（1）得：2∠AFC＝360°﹣∠AEC，∴∠AFC＝120°，∴∠ECF＝∠GCD＝∠BAF＝∠EAF＝60°，∴∠AGF＝60°，∠GCH＝∠HCD＝30°，∵∠CHK＝90°，∴∠BGK＝30°，∴∠GHC＝∠BGK+∠HCD＝60°，∵又∠K＝∠BGK+∠KCD＝30°+∠KCD，∵3∠DCK+34∠K=∠CHG＝60°．解得：∠K＝40°，∠KCD＝10°．总结提升：本题考查了行四边形的性质和判定，角平分线的定义m及解方程等知识求解，是一道综合性较强的难题．9．（2021春•沧县期中）引入在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型﹣﹣“猪蹄模型”．如图所示，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：证明：如图，过点E作EF∥AB．思考当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由．应用如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．提升点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．思路引领：（1）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF ＝180°，即可得出结论．（2）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．（3）作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题．（1）∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°；理由：证明：过点E作EF∥AB，如图①所示，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠BAE+∠AEC+∠DCE，＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°．（2）解：同（1）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣132°﹣118°＝110°，∴∠MEC＝180°﹣∠AEC，＝180°﹣110°＝70°．（3）过点F作FH∥AB．如图②所示，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD＝720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG＝720°+m°．∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG，＝720°﹣360°+m°＝（360+m）°．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线和平行线的判定和性质是解题的关键．。

大招平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型模型介绍模型一：猪蹄与锯齿模型【模型结论】如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【模型辨析】①注意：拐角为左右依次排列②若出现不是依次排列的，应进行拆分模型二：铅笔模型【模型结论】如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝180°；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。

【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．【模型辨析】①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.例题精讲考点一：猪蹄模型【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，∵∠C＝44°，∠AEC为直角，∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，故选：B．变式训练【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝50°．解：如图所示，过M作ME∥AB，则∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝180°×2＝360°，又∵∠BMD＝160°，∴∠ABM+∠CDM＝200°，又∵∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∴∠NBM+∠NDM＝×200°＝150°，∴四边形BMDN中，∠N＝360°﹣150°﹣160°＝50°，故答案为：50°．【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，故答案为：540°．考点二：锯齿模型【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝3：2．解：过E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM，CD∥FN，∴∠CDE＝∠DEM，∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，∠ABF＝∠BFN，∴∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∠DFB＝∠CDF+∠ABF，∵∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE∴∠DFB＝∠CDE+∠ABE＝∠DEB，∴∠DEB：∠DFB＝3：2，故答案为：3：2．变式训练【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．50°解：如图，作GJ∥AB，HK∥AB交MN于K．∵AB∥GJ，HK∥AB，AB∥CD，∴AB∥GJ∥HK∥CD，∴∠AFE＝∠JGF＝30°，∵∠FGH＝90°，∴∠JGH＝∠GHK＝60°，∵∠CNP＝∠HKN＝40°＝∠M+∠MHK，∠M＝30°，∴∠MHK＝40°﹣30°＝10°，∴∠GHM＝60°﹣10°＝50°，故选：D．【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．如图②，若∠E n＝b°，则∠BEC的度数是2n b°．解：如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此类推，∠E n＝∠BEC．∴当∠E n＝b°时，∠BEC等于2n b°考点三：铅笔头模型【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1所示，∠1+∠2＝180°．（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°，故答案为：（n﹣1）×180°．变式训练【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：过点E作EF∥l1，标记如图所示．∵l1∥l2，∴l1∥l2∥EF，∴∠2+∠GEF＝180°，∠1+∠DEF＝180°．∵∠2＝140°，∠1＝105°，∴∠DEF＝75°，∠GEF＝40°，∴∠3＝65°．故选：C．【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是540°．解：如图，根据题意可知：AB∥EF，分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，则∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠HDC＝180°，∠HDE+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案为540°．【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝900°．实战演练解：分别过E 点，F 点，G 点，H 点作L 1，L 2，L 3，L 4平行于AB利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，∴180×5＝900°．故答案为：900．1．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝140°，∠E ＝120°，则∠C 的度数是（）A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°解：过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A +∠AEF ＝180°，∠C +∠CEF ＝180°，∴∠A +∠AEF +∠CEF +∠C ＝360°，即∠A +∠AEC +∠C ＝360°，∵∠A ＝140°，∠AEC ＝120°，∴∠C ＝100°，故选：B ．2．如图，AB ∥ED ，α＝∠A +∠E ，β＝∠B +∠C +∠D ，则β与α的数量关系是（）A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α解：过C点作CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥DE，∴∠B+∠2＝∠D+∠1＝180°，∴β＝∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠2+∠D+∠1＝360°，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝α＝180°，∴2α＝β，故选：B．3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γB．β+γ﹣αC．180°﹣α﹣γ+βD．180°+α+γ+β解：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD＝180°，∠DCM＝∠CMN，∠NMF＝γ，∴∠BCD＝180°﹣α，∠DCM＝∠CMN＝β﹣γ，∴x＝∠BCD+∠DCM＝180°﹣α+β﹣γ，故选：C．4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故本结论错误，不符合题意；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故本结论正确，符合题意；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故本结论错误，不符合题意；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故本结论正确，符合题意；综上结论正确的个数为2，故选：B．5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是．解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥FC∥DE，∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故选：C．6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n，∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故选：B．7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为150°．解：延长AB交l2于E，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．故答案为：150°．8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝度．解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故答案为：64．9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是．解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：∵AB∥CD，EF⊥AB，∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，∴∠CGH＝30°，∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，∵∠EFG是△FGN的外角，∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．故选：C．10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝．解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED：∠BFD＝3：2．11．（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∴所有角的和为（n+1）•180°．12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，证明：如图①，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠D，∵∠ABE＝120°，∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，∴∠D+∠BED＝120°；（2）如图②，∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，即∠CDE＝3∠CDF，设∠BEF＝α，∠CDF＝β，∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴3α+3β＝120°，∴α+β＝40°，∴2α+2β＝80°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，答：∠EFD的度数为100°；（3）如图③，∵BG⊥AB，∴∠ABG＝90°，∵∠ABE＝120°．∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，∵∠CDE＝4∠GDE，∴∠GDE＝∠CDE，∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴∠CDE＝120°﹣∠E，∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），∴∠G＝∠E，∴＝．13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．（1）证明：如图1中，作BK∥DH，∵BK∥DH，∴∠DAB+∠ABK＝180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，∴∠CBK+∠BCE＝180°，∴BK∥CE，∴AD∥CE．（2）如图1中，作BK∥DH，∵DH∥GE，∴∠F＝x+2y，∠B＝y+2x，∵2∠B﹣∠F＝90°，∴2y+4x﹣x﹣2y＝90°，∴x＝30°，∠BAH＝60°．（3）如图3中，设∠RQG＝∠RQP＝x，∠APN＝∠NPQ＝y．∵∠APQ＝∠HAP+∠PQG，∴2y＝60°+2x，∴y﹣x＝30°，∵∠MPQ＝∠PQR＝x，∴∠MPN＝∠NPQ﹣∠MPQ＝y﹣x＝30°．14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．解：（1）∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．故答案为110°．（2）①当点P在A、B两点之间，如图3，作PQ∥AD，∵PQ∥AD，AD∥BC，∴PQ∥AD∥BC，∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ，∵∠CPD＝∠DPQ+∠CPQ，∴∠α＝∠β+∠γ；②当点P在B、O两点之间时，作PQ∥AD，∵PQ∥AD，AD∥BC，∴PQ∥AD∥BC，∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ，∵∠CPD＝∠DPQ﹣∠CPQ，∴∠α＝∠β﹣∠γ；当P点在A，M之间运动时，此时∠α＝∠γ﹣∠β．综上所述：∠α＝|∠β﹣∠γ|．。

专题19解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (3)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (4)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (6)【典型例题】【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，AB CD ∥，若40A ∠=︒，26C ∠=︒，则∠E =______．【变式训练】1．如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．2．如图，若AB ∥CD ，则130α∠=︒，70β∠=︒，则γ∠=______．3．已知直线12l l ∥，3l 和1l ，2l 分别交于C ，D 点，点A ，B 分别在线1l ，2l 上，且位于3l 的左侧，点P 在直线3l 上，且不和点C ，D 重合．(1)如图1，有一动点P 在线段CD 之间运动时，求证：12APB ∠=∠+∠；(2)如图2，当动点P 在C 点之上运动时，猜想APB ∠、1∠、2∠有何数量关系，并说明理由．4．已知：AB ∥EF ，在平面内任意选取一点C ．利用平行线的性质，探究∠B 、∠F 、∠C 满足的数量关系．【考点二平行线中含两个拐点问题】∥、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．例题：如图所示，AB CD【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．∥∥，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．2．如图，AB CD EF3．①如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；②如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；③如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【变式训练】1.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A ∠+(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ 的数量关系（无需证明直接写出）拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知//AB CD ，77BAE ∠=︒，131DCE ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．28︒B ．54︒C ．26︒D ．56︒【变式训练】A ．110︒B ．1152．（22·23七年级下·河南郑州点O 照射到抛物线上的光线OA 那么OCD ∠的度数是（）A ．65︒B ．753．（22·23七年级下·山东聊城眼灯，如图是一款长臂折叠行时，120,DEF BCD ∠=︒∠=4．（22·23七年级下·浙江金华·期末）130∠= ，则23∠+∠的度数为5．（22·23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知120MAC ∠=︒，60NBE ∠=︒．(1)已知驱逐舰在AC 方向上航行，巡洋舰在BE 方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C 后沿C D -继续航行，巡洋舰到达点(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD 并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC 能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．。