【真题】15年福建省莆田一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2015年莆田一中、漳州一中、泉州五中三校高三年联考数学（文）科试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知正项等比数列中，,则数列的公比为A. B ． C ． D ．3.已知集合{}222,12A y y x x x ==-+-≤≤，，若任取，则的概率为 A ． B ． C ． D ． 4.已知命题：“”是“”的充要条件，命题：“”的否定是“”A ．“”为真B ．“”为真C ．真假D ．均为假 5.执行如图所示的程序框图，输出的 A ． B ． C ． D ． 6.下列函数中，在内有零点且单调递增的是 A ． B ． C ． D ． 7.已知直线,和平面，，若，，， 要使，则应增加的条件是A ．B ．C ．D ． 8.函数的图像是9.若双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．10.已知函数是奇函数且,当时, (),则 实数的值为A ．B ．C ．D ．11.若, ,2()4cos cos f x a b x x x =++. 如果,对都有，则等于A ．B ．C ．D ． 12.定义点到图形上所有点的距离的最小值为“点到图形C 的距离”，那么平面内到定圆C 的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置. 13.已知向量与的夹角为，，，则= .14.已知函数()2log ,(0)(x)3,0x x x f x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则 .15.设变量满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数的最大值为 .16.利用函数是减函数可以求方程的解.由可知原方程有唯一解，类比上述思路可知不等式236)2()2(x x x x -+>+-的解集是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某市为调研高三一轮复习质量，在2014年10月份组织了一次摸底考试，并从某校2015届高三理科学生在该次考试的数学成绩进行分析，利用分层抽样抽取90分以上的1200名学生的成绩进行分析，已知该样本的容量为20，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：分数段（分）频数4 频率0.45 0.2(Ⅰ)求表中的值及分数在范围内的学生人数；（Ⅱ）从得分在内的学生随机选2名学生的得分，求2名学生的平均分不低 于140分的概率.18.已知各项均不相等的等差数列的前四项和,且，，成等比数列. (Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，若对一切恒成立，求实数 的最小值.19.已知函数的一部分图像如右图所示，(其中，， ).(Ⅰ)求函数的解析式并求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角, ,所对的边长分别为, ,，若, ,的面积为，求边长的值.20.如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，, ,点是的中点，点是边上的任意一点.(Ⅰ)当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明； (Ⅱ)证明：无论点在边的何处，都有; (Ⅲ)求三棱锥的体积.21. 已知动点到点的距离等于点到直线的距离，点的轨迹为. (Ⅰ)求轨迹的方程；(Ⅱ)设为直线上的点，过点作曲线的两条切线,， （ⅰ）当点时，求直线的方程；91011 12 13 7 6 21 5 7 3 86 89 148（ⅱ）当点在直线上移动时，求的最小值.22.对于函数，若时，恒有成立，则称函数是上 的“函数”.(Ⅰ)当函数是定义域上的“函数”时，求实数的取值范围； (Ⅱ)若函数为上的“函数”.（ⅰ）试比较与的大小（其中）； （ⅱ）求证：对于任意大于的实数，，，…，均有)(ln )(ln )(ln ))(ln(2121n n x g x g x g x x x g ++>+⋅⋅⋅++.高三（上）期末联考数学（文科）试题参考答二、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.A2. A3.C4.D5.A6. B7. C8.A9. B 10. D 11. C 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置. 13. 14. 15. 16. 或四、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：(Ⅰ)由已知可得分数在范围内的共有人，而在内的有4人， 所以在内的学生人数共有人.在内的共有人，故 ……………………………………………4分 （Ⅱ）设表示事件“从得分在内的学生随机选2名学生的得分，其中2名学生的平均分不低于140分”，由茎叶图可知得分在范围内的成绩共有4个. ……………………6分 则选取成绩的所有可能结果为，，，，，， 共有6个基本事件. ………………………………………9分事件，也就是两个成绩之和大于，所以可能结果为：，， 共3个. …………………………………………………………………11分所以所求事件的概率为 ………………………………………12分18.解：(Ⅰ)设公差为，由已知得⎩⎨⎧+=+=+)6()2(,146411211d a a d a d a 解得或（舍去）， ，故. ……………………………………………………4分（Ⅱ）2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n …………………………………………6分)2(22121211141313121+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n T n ……………………………8分,)2()2(2+≤+∴n n nλ, ,即44121++⋅≥nn λ恒成立. ………………………………10分，即的最小值为. ……………………………………………12分 19.解：(Ⅰ)由图像可知，， 函数的周期, 且 又()2sin(2)266f ππϕ=⨯+=， 解得………………………………………4分 由222262k x k πππππ-≤+≤+， 解得函数的单调递增区间为 ………………………………………..6分 (Ⅱ)由 即，所以 ……………………………………….7分 ，所以，则， ……………………………………….8分 又的面积为，所以，即所以 ……………………………………….10分 则22241241cos133a π=+-⨯⨯⨯=,所以 ……………………………………….12分20. 解：(Ⅰ)当点为边的中点时，与平面平行.在中，、分别为、的中点， ,又平面，而平面，平面； …………………………………..4分 (Ⅱ)证明：平面，平面G是矩形， ,平面又平面 .……………………………………………………..6分 又,点是中点，, 又平面,平面, ………………………………………………………….8分 (Ⅲ)作交于，则平面，且 ………………………….9分 又13B AEF F AEB ABE V V SFG --===, 三棱锥的体积为 ………………………………………………12分21.解：法一：(Ⅰ)依题意，由抛物线定义知轨迹的方程为 .……………………………4分(Ⅱ)抛物线的方程为，即，求导得 ..……………………………5分 设,，其中，，则切线,的斜率分别为,，所以切线的方程为，即，即，同理可得切线的方程为 ..……………………………6分 因为切线,均过点，所以，， 所以为方程的两组解所以直线的方程为 .……………………………8分 ①当点时,直线的方程为； ………9分 ②由抛物线定义知， 所以121212(1)(1)()1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程消去整理得022200(2)0y y x y y +-+=,故， ……………………10分 所以221212000()121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又因为点在直线上，所以 所以2200021AF BF y x y ⋅=+-+所以，当时，取得最小值，且最小值为 .………………………………12分 法二： (Ⅰ)设，依题意:1y =+化简得则轨迹的方程为 .………………………………………….4分 (Ⅱ) ① 依题意过点作曲线的切线，可知切线的斜率存在，设为， 则切线的方程为，即， .………………………………………….5分联立23224k y kx x y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩消得： ①由2164(26)0k k ∆=-+=解得或将代入①式可得，即 将代入①式可得，即直线的方程为； ………………………………………………..8分 ②同法一 ………………………………………………..12分22.解：(Ⅰ)由，可得)ln ()(xe x e m xf xx+='，因为函数是函数， 所以x me xe x e m x x xln )ln (>+，即，因为，所以，即的取值范围为. ……………………………………………………………4分 (Ⅱ)①构造函数,，则0)()()(>-'='xex g x g x h ， 可得为上的增函数， ……………………………………………………………6分 当时，，即，得 当时，，即，得 当时，，即，得 .……………9分②因为，所以121ln )ln(x x x x n >+++ ， ……………10分 由①可知)(ln ))(ln(121x h x x x h n >+++ ,所以121ln 1)ln(21)(ln ))(ln(x x x x n e x g ex x x g n >+++++ ， 整理得)(ln ))(ln(121211x g x x x x x x g x nn >+++++ ，同理可得)(ln ))(ln(221212x g x x x x x x g x n n >+++++ ， …,)(ln ))(ln(2121n nn n x g x x x x x x g x >+++++ . 把上面个不等式同向累加可得)(ln )(ln )(ln ))(ln(2121n n x g x g x g x x x g ++>+⋅⋅⋅++ (14)分。

福建省闽清高级中学等四校2015届高三上学期期中联考数学（文）试题 一、选择题 1．在复平面上，复数的共轭复数的对应点所在的象限是 ( ) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知全集，集合，，则为（） A. B. C. D. 3．函数的零点所在的区间为（） A．（－1，0） B．（，1） C．（1，2） D．（1，） 4．已知为等差数列,若,则的值为（） A． B． C． D． 5．在中，分别是角所对的边，则“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 6．曲线在点（处切线的倾斜角为（） A. B. C. D. 7．已知正数、满足，则的最小值是（）A. 8B. 10C. 16 D． 8．已知,则（） A． B． C．5 D．25 9．如图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是( ) A． B． C． D． 10．在中，，，, 则三角形的面积为（） A． B. C. D. 11．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 12．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。

定义如下：对于任意两个复数，（，为虚数单位），“”当且仅当“”或“且”．下面命题为假命题的是（） A． B．若，，则 C．若，则对于任意， D．对于复数，若，则 二、填空题 13．若，则的最小值为． 14．已知等差数列，其中，，则的值为． 15．设是定义在上的奇函数，且当时，则的值等于． 16．函数的定义域为,若，且时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题： ①函数是单函数； ②函数是单函数， ③若为单函数，且，则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。

其中的真命题是．（写出所有真命题的编号） 三、解答题 17．（本题满分12分）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调增区间． 18．（本小题满分12分）已知数列的前项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若等比数列满足，求数列的前项和。

莆田一中2019-2020学年度高三第一次阶段考文科数学试题命题人：高三文数备课组 审题人：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足121ii z-=+，则z =（ ）AB C D 2．若函数()f x ()()ln 1g x x =+的定义域分别为M 和N ，则M N =I （ ）A ．{}11x x -<<B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤3.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是（ ） A.①②③ B.①② C.①③ D.②③4．等差数列{}n a 中，15,974==a a ，，则数列(){}n n a 1-的前20项和等于（ ） A. -10 B. -20 C. 10 D. 205．已知定义域为R 的奇函数()f x 在[)∞+，0是增函数．若21log 5a f ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6. 设函数211log (2)1()21x x x f x x -+- <⎧=⎨ ≥⎩，2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．12B ．9C ．6D ．37.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，则sin α=（ ）A. 462+- B.462-C.462+ D. 462+-8．如图是正方体的平面展开图。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，文1，5分】若()()1i 23i i a b ++-=+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）（A ）3,-2 （B ）3,2 （C ）3,-3 （D ）-1,4 【答案】A【解析】由已知得32i i a b -=+，故3a =，2b =-，故选A ． （2）【2015年福建，文2，5分】若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）（A ）{}0 （B ）{}1 （C ）{}0,1,2 （D ）{}0,1 【答案】D【解析】由交集定义得{}0,1MN =，故选D ．（3）【2015年福建，文3，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）y x = （B ）x y e = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y x =和x y e =是非奇非偶函数；cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（4）【2015年福建，文4，5分】阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）（A ）2 （B ）7 （C ）8 （D ）128 【答案】C【解析】该程序表示分段函数2292x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则()1918f =-=，故选C ．（5）【2015年福建，文5，5分】若直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1，则a b +的最小值等于（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】由已知得111a b +=，则()112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因此0,0a b >>，所以2b a b a a b a b +≥⋅=，故4a b +≥，当b aa b=，即2a b ==时取等号，故选C ．（6）【2015年福建，文6，5分】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）（A ）125 （B ）125- （C ）512 （D ）512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin 5tan cos 12ααα==-，故选D ． （7）【2015年福建，文7，5分】设()1,2a =，()1,1b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） （A ）32- （B ）53- （C ）53（D ）32【答案】A【解析】由已知得()()()1,21,11,2c k k k =+=++，因为b c ⊥，则0b c ⋅=，因此120k k +++=，解得32k =-，（8）【2015年福建，文8，5分】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为()1,0．且点C与点D 在函数()101102x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）（A ）16（B ）14 （C ）38（D ）12【答案】B【解析】由已知得()1,0B ，()1,2C ，()2,2D -，()0,1F ，则矩形ABCD 面积为326⨯=，阴影部分面积为133122⨯⨯=， 故该点取自阴影部分的概率等于31264=故选B ．（9）【2015年福建，文9，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）（A ）822+ （B ）1122+ （C ）1422+ （D ）15 【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1,2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为22422822+++=+，所以该几何体的表面积为1122+，故选C ．（10）【2015年福建，文10，5分】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的 最大值为2，则实数m 等于（ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 【答案】C 【解析】将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22,2121m B m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭．显然()0,0O 不是最优解，故只能22,2121m B m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭是最优解，代入目标函数得4222121m m m -=--，解得1m =，故选C ． （11）【2015年福建，文11，5分】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）（A ）30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ （B ）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭（D ）3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ，则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设()0,M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，03c <≤，所以椭x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC心率的取值范围是⎛ ⎝⎦，故选A ． （12）【2015年福建，文12，5分】“对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1k <，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则()cos 210f x k x '=-<．故()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，故()022f x f ππ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，则sin cos k x x x =；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数()1sin 22g x x x =-，则()cos 210g x x =-<，故()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递增，故()022g x g ππ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2015年福建，文13，5分】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 ． 【答案】25【解析】由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=．（14）【2015年福建，文14，5分】若ABC ∆中，AB 45A ∠=︒，75C ∠=︒，则BC 等于 ．【解析】由题意得18060B A C ∠=︒-∠-∠=︒．由正弦定理得sin sin AC BC B A =∠∠，则sin sin AC ABC B∠=∠，所以BC ==（15）【2015年福建，文15，5分】若函数()()2x af x a R -=∈满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[),m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于 ． 【答案】1【解析】由()()11f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则()12x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[)1,+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．（16）【2015年福建，文16，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 ． 【答案】9【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=，当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年福建，文17，12分】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++的值．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（2）由（1）可得2n n b n =+．所以()()()()()()2310231012310212223210222212310b b b b +++=++++++++=+++++++++()()()1011112121101022552532101122-+⨯=+=-+=+=-．（18）【2015年福建，文18，12分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组 频数1 [)4,5 22 [)5,6 83 [)6,7 7 4[]7,83（1）现从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 解：解法一：（1）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：（1）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为 1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个．所以所求的概率1911010P =-=． （2）同解法一． （19）【2015年福建，文19，12分】已知点F 为抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点()2,A m在抛物线E 上，且3AF =．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相 切的圆，必与直线GB 相切．解：解法一：（1）由抛物线的定义得22p AF =+．因为3AF =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =．（2）因为点()2,A m 在抛物线2:2E y px =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ． 由()2,22A ，()1,0F 可得直线AF 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()1,0G -，所以()22022213GA k -==--，()20221312GB k --==---， 所以0GA GB k k +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：（1）同解法一．（2）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．因为点()2,A m 在抛物线2:4E y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由()2,22A ，()1,0F 可得直线AF 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()1,0G -，故直线GA 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+．又直线GB 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线GB 的距离2222428917r r +===+．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．（20）【2015年福建，文20，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==． （1）若D 为线段AC 的中点，求证AC ⊥平面PDO ； （2）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （3）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值． 解：解法一：（1）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点，所以AC OD ⊥．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥．因为DO PO O =，所以AC ⊥平面PDO ．（2）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为111133⨯⨯=．（3）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=．同理2PC =， 所以PB PC BC ==．在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值． 又因为OP OB =，C P C B ''=，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626222OC OE EC +''=+=+=，亦即CE OE +的最小值为262+． 解法二： （1）（2）同解法一．（3）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以45OPB ∠=︒，22112PB =+=．同理2PC =． 所以PB PC BC ==，所以60CPB ∠=︒．在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值．所以在OC P'∆中，由余弦定理得：()2212312212cos 45601222232222OC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯︒+︒=+-⨯-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭． 从而26232OC +'=+=．所以CE OE +的最小值为262+． （21）【2015年福建，文21，12分】已知函数()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （i ）求函数()g x 的解析式；（ii ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．解：（1）()2103sin cos 10cos 53sin 5cos 510sin 52226x x x f x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2T π=． （2）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-()k Z ∈时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．（22）【2015年福建，文22，14分】已知函数()()21ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．解：（1）()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<．故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝⎭．（2）令()()()1F x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21x F x x -'=．当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()10F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-．（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()1G x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()21111x k x G x x k x x-+-+'=-+-=．由()0G x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，()()10G x G >=，即()()1f x k x >-，综上，k 的取值范围是(),1-∞．。

莆田一中2023-2024学年度上学期高三期中考试卷数学试题1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.1.设集合{}{24,A x x x B x y =≤==，则A B ⋂=Rð（）A.[)0,3 B.(]0,3 C.[]3,4 D.(]3,42.实数,x y 满足21,0x y x +=->，则yx x-的最小值为（）A.1B.2C.3D.43.设α是第二象限角，P （x ，1）为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=（）A.22-B.24-C.22 D.244.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（）A.18B.69C.612D.635.已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '-<，()01f =，则（）A.()e 11f -< B.()1ef > C.1e 2f ⎛⎫<⎪⎝⎭D.()11e 2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭6.已知()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图象的一条对称轴是x =（）A.π6 B.π3C.2π3D.5π67.函数()(),01,21,20x x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的图象大致为（）A.B.C. D.8.在三棱锥-P ABC 中，6,2PA PB PC AC AB =====，且AC AB ⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.16πD.24π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列化简结果正确的是（）A.1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒= B.tan24tan3631tan24tan36︒︒︒-︒+=C.cos15sin152︒-︒=D.1sin15sin30sin754︒=︒︒10.下列命题正确的是（）A.“1x >”是“2232xx +>”的充分不必要条件B.2log 211log 27lg25lg472+++=C.函数()[]2sin ,0,πf x x x x =-∈，则()πππ62f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.函数()21,1,2log ,1,xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩若()2f x ≤，则实数x 的取值范围是[]1,4-11.已知0ω>，函数()πcos 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数()2ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则（）A.若函数()()g x f x k =-有两个零点，则01k ≤≤B.当0x >时，()32f x x <恒成立C.若方程()()ff x a =有5个解，则实数a 的取值范围是1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭D.若过点(),(0)P a a a >与曲线()f x 相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是()e,+∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()322f x ax bx x =-+是定义在[]21,3a a +-上的奇函数，则a b +=______.14.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cosα10=，则1sin2cos2αα-=______．15.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图像如右图所示，则()f x 在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域为______．16.已知实数,a b 满足32e e e ,ln e ab a b==，其中e 是自然对数的底数，则ab 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()()26cos 3sin230f x x x ωωω=+->的最小正周期为8．（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）若()0835f x =，且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值．18.已知函数()()32R f x x bx c x =++∈的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线330x y -+=垂直.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()y f x =的图象与抛物线213412y x x m =-+-恰有三个不同交点，求m 的取值范围.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，,PA PC AB AC ⊥⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，24AC PA ==．（1）证明：PB PC ⊥；（2）若三棱锥-P ABC 的体积为833，求平面ABC 与平面PBC 所成角的余弦值．20.已知函数()sin xf x x=．（1）当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 的最小值；（2）若()33e xx g x x x a =-+-，且对1π0,2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，都[]20,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≤成立，求实数a的取值范围．21.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为25，平局概率为15；甲、丙对局时，甲胜概率为13，平局概率为13；乙、丙对局时，乙胜概率为12，平局概率为16.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：（1）甲积分的期望；（2）甲、乙积分相同的概率22.已知函数()()ln f x x x k k =--（1）讨论函数()f x 在[]1,e 上的单调性；（2）若函数()()xf x kxg x +=在[]1,e 上单调递减，求实数k 的取值范围．莆田一中2023-2024学年度上学期高三期中考试卷数学试题1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.1.设集合{}{24,A x x x B x y =≤==，则A B ⋂=Rð（）A.[)0,3 B.(]0,3 C.[]3,4 D.(]3,4【答案】A 【解析】【分析】先解不等式求出A ，再求出B 和R B ð，最后求出R A B ⋂ð即可.【详解】2404x x x ≤⇒≤≤，所以{}04A x x =≤≤，303x x -≥⇒≥，所以{}3B x x =≥，所以{}R 3B x x =<ð，所以{}R 03A B x x ⋂=≤<ð，故选：A2.实数,x y 满足21,0x y x +=->，则yx x-的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可.【详解】因为21x y +=-，所以12y x =--所以1212224y x x x x x x x+-=+=++≥+=，当且仅当1x =取等号故选：D ．3.设α是第二象限角，P （x ，1）为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=（）A.22-B.24-C.22 D.24【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的定义先解得x ，再求正切值即可.【详解】由三角函数定义可知：1cos 3x x α==⇒=±，又α是第二象限角，故x =-，所以tan 4y x α==-.故选：B4.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（）A.618B.69C.612D.63【答案】B 【解析】【分析】正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解.【详解】如上图，由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为2213EG =-=312EO =-=其体积为22282222333AB BC EO V ⋅⋅⨯⨯=⨯=⨯=，其表面积为328888322EG BC S ⋅=⨯=⨯=∴此正八面体的体积与表面积之比为69.故选：B.5.已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '-<，()01f =，则（）A.()e 11f -<B.()1ef >C.12f ⎛⎫<⎪⎝⎭D.()112f ⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造()()x f x g x =e，利用导数及已知判断其单调性，根据单调性及相对应函数值判断各项的大小.【详解】令()()x f x g x =e，则()()()()()()2e e e e x x x x f x f x f x f x g x ⋅--=='''，因为()()0f x f x '-<在R 上恒成立，所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减，()()10g g ->，即()()()110e 11eef f f --=->=，故A 不正确；()()10g g <，即()()010eef f <，即()()1e 0e f f <=，故B 不正确；()102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1021021e ef f ⎛⎫⎪⎝⎭<=，即12f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 正确；()112g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()12112e e f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，即()112f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：C6.已知()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图象的一条对称轴是x =（）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】A 【解析】【分析】化简后结合三角函数的对称轴即可求解.【详解】()()1sin cos ,tan f x a x x x aϕϕ=+=+=，又图象关于3x π=对称，,32k k ππϕπ+=+∈Z ，可以求得6k πϕπ=+，故()11sin 2sin cos 2sin tan 223a g x x x x x x πϕ⎫⎛⎛⎫===+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，对称轴为,326x k x k πππππ+=+=+，0k =时即A 项．故选：A ．7.函数()()1,21,20x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先利用导函数研究01x <≤上的单调性，得到()f x x =-在10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且1144f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而研究10-<≤x 上的单调性，得到在314x -<≤-上单调递减，在304x -<≤上单调递增，且3142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而选出正确答案.【详解】当01x <≤时，()1f x '=-=当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x ¢>，故()f x x =10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x x =-14x =处取得极小值，11114424f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当10-<≤x 时，011x <+≤，故()(21f x x =+-，()2f x '==，当314x -<≤-时，()0f x '=<，当304x -<≤时，()0f x '=>，()(21f x x =+-在314x -<≤-上单调递减，在304x -<≤上单调递增，且33121442f ⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝，显然1124-<-，综上：只有D 选项满足要求.故选：D8.在三棱锥-P ABC 中，2PA PB PC AC AB =====，且AC AB ⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.16πD.24π【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，点P 在底面上的射影M 是CB 的中点，是三角形ABC 的外心，令球心为O ，因为2AC AB ==，且AC AB ⊥，所以MB MC MA ===，又因为PA PB PC ===2PM ==，在直角三角形OBM 中，222OB OM BM =+，即()2222R R =+-，解得32R =，则三棱锥外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=.故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列化简结果正确的是（）A.1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒=B.tan24tan361tan24tan36︒︒︒-︒+=C.cos15sin15︒-︒=D.1sin15sin30sin754︒=︒︒【答案】AB【解析】【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】()1cos22sin52sin22cos52sin 5222sin302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=，所以A 正确；()tan24tan36tan 2436tan601tan24tan36︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒B正确；)()2cos15sin15cos45cos15sin45sin1545152︒-︒=︒︒-︒︒=︒+︒=，所以C 错误；()11sin15sin30sin75sin15sin30sin 9015sin15cos15sin30sin30sin3028︒︒︒=︒︒︒-︒=︒︒︒=︒︒=，所以D 错误．故选：AB ．10.下列命题正确的是（）A.“1x >”是“2232x x +>”的充分不必要条件B.2log 211log lg25lg472+++=C.函数()[]2sin ,0,πf x x x x =-∈，则()πππ62f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.函数()21,1,2log ,1,xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩若()2f x ≤，则实数x 的取值范围是[]1,4-【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A ，令20x t =>，转化为2320t t -+>求解判断；对于选项B ，利用对数的运算求解判断；对于选项C ，利用导数法判断()2sin f x x x =-的单调性求解判断；对于选项D ，分1x ≤，1x >，分别利用指数函数和对数函数不等式求解判断.【详解】对于选项A ，令20x t =>，则由2232x x +>得2320t t -+>，解得2t >或1t <，1x ∴>或0x <，故“1x >”是“2232x x +>”的充分不必要条件．故A 正确；对于选项B ，原式()323311log 3lg 25422222=+⨯+=++=，故B 正确；对于选项C ，函数()2sin f x x x =-，可得()2cos 1f x x ='-，其中[]0,πx ∈，当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ¢>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，因为ππππππππ2sin 2,2sin 122226666f f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得πππππ211026263f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ26f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()ππ2f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()πππ26f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是错误．对于选项D ，当1x ≤时，令122x ⎛⎫ ⎪⎭≤⎝，得1x ≥-，故11x -≤≤；当1x >时，令2log 2x ≤，得4x ≤，故14x <≤．综上，14x -≤≤．故D 是正确；故选：ABD11.已知0ω>，函数()πcos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】ACD【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A 正确；利用三角函数的图象变换，可判定B 错误；根据()f x 在区间2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组，求得ω的范围，得到当0k =时，不等式有解，可判定C 正确；由()f x 在区间()0,π上只有一个零点，列出不等式组，求得ω的范围，可判定D 正确．【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得2π2T ω==，得πω=，所以A 正确；当2ω=时，可得()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()ππππcos 2cos 23333f x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 错误；若()f x 在区间2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2ππ2π33,Z ππ2π2π3k k k ωπω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得5132,Z 3k k k ω+≤≤+∈，又因为0ω>，所以只有当0k =时，此不等式有解，即513ω≤≤，所以C 正确；若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ππ32π3π32πωπω⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1766ω<≤，所以D 正确．故选：ACD ．12.已知函数()2ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则（）A.若函数()()g x f x k =-有两个零点，则01k ≤≤B.当0x >时，()32f x x <恒成立C.若方程()()f f x a =有5个解，则实数a 的取值范围是1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.若过点(),(0)P a a a >与曲线()f x 相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是()e,+∞【解析】【分析】对于A ，画出函数图象，根据图象即可判断；对于B ，化简为ln x <t =，不等式变形为2ln t t <，构造函数()2ln ,0h t t t t =->，利用导数考查单调性，求得最大值即可判断；对于C ，令()(),f x t f t a ==，分离讨论a 的范围，考查()f t a =的解的情况，进一步分析即可；对于D ，根据图象观察即可.【详解】因为当当0x >时，()ln ,()ln 1f x x x f x x '==+，令()ln 10f x x '=+>得1x e >，令()ln 10f x x '=+<,得10x e<<,所以()f x 在1(,)e +∞上单调递增，在1(0,)e上单调递减，则min 11()(f x f e e==-，且0x ≤时，2()1f x x =-，故可画出函数()f x 的大致图象如图所示：由图知函数()()g x f x k =-有两个零点时，则01k ≤≤或1ek =-，故A 错误;对于B ,因为0x >，不等式为32ln x x x <，即ln x <t =不等式化为2ln t t <．令()()22ln ,t h t t t h t t=='--，令()0h t '=，得2t =，当()0,2t ∈时，()0h t '>，则()h t 在()0,2上单调递增，当()2,t ∈+∞时，()0h t '<，则()h t 在()2,+∞上单调递减，故最大值为()22ln220h =-<，则2ln t t <恒成立，故B 正确；对于C ，令()(),f x t f t a ==，当1a >或1e<-a 时，方程()f t a =只有一解记为0t ，此时()0f x t =不可能有5解。

2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷命题人: 审核人:高三备课组(满分:150分,时间:120分钟)一、选择题(8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.设集合A={y| y=4-x2},B={x| y=4-x2},则( ) A．A=B B. A⋂B=∅ C. A⊆B D. B⊆A2.复数z满足i⋅z=1-2i, z̅是z的共轭复数则z⋅z̅=( )A. 3B. 5C. 3D. 53.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-λb)⊥c,则λ=( )A.3B.2C.-2D.-34.已知f(x)=e-x+k e x(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是( )A B C D5. 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=2 3,则cos(α-β)=( )A.19 B.459 C.-19 D.-4596. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度为θ1︒C,空气温度为θ0︒C,那么t 分钟后物体的温度θ(单位︒C)可由公式：θ=θ0+(θ1-θ0)e -kt 求得,其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100︒C 的物体,放在20︒C 的空气中冷却,4分钟后物体的温度是60︒C ，则再经过m 分钟后物体的温度变为40︒C(假设空气温度保持不变),则m = ( ) A.2 B.4 C.6 D.87.已知P 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点,F 1,F 2分别是C 的左,右焦点，O 是坐标原点, 若|OP →+OF 2→|=2|OF 1→|且∠F 1PF 2=60︒，则椭圆的离心率为 ( )A. 12B.32C. 3-12D. 338.集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征,其具体操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(13,23),记为第一次操作;再将剩余的两个区间[0,13],[23,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；⋅⋅⋅；如此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。

莆田一中2011-2012学年上学期第一学段考试试卷高三 数学（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、命题＂0>∀x ，都有02≤-x x ＂的否定是( )A. 0>∀x ，都有02>-x xB. 0>∃x ，都有02>-x x C.0≤∀x ，使得02≤-x x D. 0>∃x ，使得02>-x x2、已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，；则0x <时 （ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，3、 已知点()31，-A ，()13，B ，点C 在坐标轴上，且90=∠ACB ，则满足条件的点C 的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则 （ ）A ．0>b B. 1<b C. 10<<b D. 21<b 5、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在区间是( ) A.(21, 1) B.(1, 1-e ) C.(1,2e -) D.(2, e ) 6、已知函数54)(--=x x x f ,则当方程a x f =)(有三个不同实根时,实数a 的取值范围是( )A.15-<<-aB.15-≤≤-aC.5-<aD.1->a7、下列结论正确的是 （ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,1≥+>x x xC ．xx x 1,2+≥时当有最小值2 D ．当xx x 1,20-≤<时有最大值328、 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若,159=S S =35a a （ ）A ．59B ．95C ．53D ．359、 已知等比数列a a S a n n n,612:}{1+⋅=-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．—31 D ．—21 10、已知()()的导函数，是x f x f '且()的x f '图象如右图所示，则()x f 的图象只可能是（ ）11、已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）2 （B ）32 （C ）23（D ）3 12、已知⎩⎨⎧<--+--≥=)0(43)1()0()(232x a a x a x x x x f 在),(+∞-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A 、]1,(-∞B 、]4,1[-C 、]1,1[-D 、)1,(-∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学理试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A ={x |-2<x <3},B ={x |x ≤1或x ≥4}.若全集U =R ,则A ∩C U B = ( ) A.{x |1<x ≤3} B.{x |1<x <3} C.{x |1≤x <3} D.{x |x ≤1或x ≥3}2.若z =1-i(i 为虚数单位),则z (z -1)等于 ( ) A.-1-i B.-1+i C.2i D.-2i3.下列函数f (x )中,满足“对定义域内的任意一个x 都有f (-x )+f (x )=0,且在区间(0,+∞)上恒有 f '(x )>0”的是 ( )A.f (x )=1x B.f (x )=x ² C.f (x )=x 3 D.f (x )=e x4.设函数f (x )=13x -ln x (x >0),则y =f (x ) ( )A 在区间(1e ,1),(1,e )内均有零点；B 在区间(1e ,1),(1,e )内均无零点；C 在区间(1e ,1)内有零点,在区间(1,e )内无零点；D 在区间(1e ,1)内无零点,在区间(1,e )内有零点. 5.给出下列结论,其中错误的是 ( ) A.若命题p ：∃x 0∈R, x 0²+x 0+1<0,则¬p ：∀x ∈R, x 2+x +1≥0； B. ∀x ∈R,2x >x 2； C.“若am ²≤bm ²,则a ≤b ”是假命题； D.“a >1,b >1”是“ab >1”的充分条件.6.若函数f (x )与函数g (x )=2x互为反函数,且f (a )+f (b )=4,则1a +1b 的最小值为 ( )A.1B.12C.13D.147.给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在(-π6,π3)上是增函数.则同时具有上述性质的一个函数是 ( )A.y =sin(x 2+π6)B.y =cos(x 2-π6)C. y =sin(2x -π6)D.y =cos(2x +π3)8.已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -4≥0x +2y -7≤0ax -y -2≤0,且x ²+y ²的最小值为8,则正实数a 的取值范围是 ( )A.(0,5]B.[2,5]C.[3,+∞)D.(0,2]9.已知a 是实数,则函数f (x )=1|a ·2x +1|-2的图象不可能是( )A B C D10.一次研究性课常上,老师给出了函数f (x )=x1+|x |(x ∈R ),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： ①函数f (x )的值域为(-1,1)； ②若x 1≠x 2,则一定有f (x 1)≠f (x 2)③若规定f 1(x )= f (x ), f n (x )=f (f n -1(x )),则f n (x )=x1+n |x |对任意的n ∈N *恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)11.曲线y =x 3-x +3在点(1,1)处的切线方程为 .12.计算定积分⎠⎛-11(x ²+sin x )dx = 13.已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为 .14.设ΔABC 的三边长分别为a ,b ,c ,ΔABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c ,类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1, S 2, S 3, S 4,内切球半径为r ,四面体S -ABC 的体积为V ,则r =15.已知数列{a n }的通项公式为a n =sin 2n π3+n cos 2n π3,其前n 项的和为S n ,则S 3n = .三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.) 16.(本小题满分13分)已知在等差数列{a n }中,a 1=2,a 4=11,在等比数列{b n }中,b 1=a 32,b 4=a 11, (Ⅰ)求等比数列{b n }的通项公式b n ； (Ⅱ)求证数列{b n +1}不可能是等比数列.17.(本小题满分13分)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ²+4x +1， (x ∈[-4,0])A sin(ωx +ϕ)，( x ∈(0,5π3]))(其中|ϕ|<π2)在区间(0,5π3]上的图象如下图所示,则： (Ⅰ)求f (x )的在区间(0,5π3]上的解析式； (Ⅱ)若f (x )=m 恒有实数解,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分13分)已知向量→a =(1+sin2x ,sin x -cos x ),→b =(1,sin x +cos x ),函数f (x )=→a ·→b (Ⅰ)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(Ⅱ)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 所对边,若f (A 2)=2,a =2,求△ABC 面积的最大值.((20.(本小题满分14分)已知函数f (x )=ln(x +1a )-ax ,其中a ∈R 且a ≠0(Ⅰ)讨论f (x )的单调区间； (Ⅱ)若直线y =ax 的图像恒在函数f (x )图像的上方,求a 的取值范围;(Ⅲ)若存在-1a <x 1<0, x 2>0,使得f (x 1)=f (x 2)=0,求证：x 1+x 2>0.21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与点(0,-2), (Ⅰ)求矩阵M ； (Ⅱ)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -2y =4,求直线l 的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t y =1+2t (t 为参数)和圆的极坐标方程ρ=22sin(θ+π4).(Ⅰ)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程为直角坐标方程； (Ⅱ)判断直线l 和圆C 的位置关系.(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲已知不等式x ²-5ax +b >0的解集为{x |x >4或x <1} (Ⅰ)求实数a ,b 的值；(Ⅱ)若0<x <1, f (x )=a x +b1-x ,求f (x )的最小值.莆田一中2014-2015学年度上学期第一学段考试卷答案2014-11高三数学理科一、选择题（共50分） BACD BBCD CD 二、填空题（共20分）11.2x -y +1=0 12.23 13.-24 14.3V S 1+S 2+S 3+S 415.3n2三、解答题：(共80分) 16.(本小题满分13分) 解：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则 ∵a 1=2,a 4=11,∴d =a 4-a 14-1=3,∴a n = a 1+(n -1)d =3n -1,∴b 1=a 32=4,b 4=32∴q 3=8即q =2 ∴b n = b 1q n -1=4×2n -1=2n +1 .................................................. 6分 (Ⅱ)若{b n +1}是等比数列,则b 1+1, b 2+1, b 3+1是等比数列, 由(Ⅰ)可得b 1=4, b 2=8, b 3=16,显然{b n +1}的前3项依次为5, 9, 17, 由于5×17=85, 9²=81∴b 1+1, b 2+1, b 3+1不是等比数列,∴数列{b n +1}不可能是等比数列. ................................ 13分 证法二：假设{b n +1}是等比数列,则： (b n +1+1)(b n -1+1)=(b n +1)²(n ∈N *) ∴b n +1b n -1+b n +1+b n -1+1= b n ²+2b n +1 ∴b n +1+b n -1=2b n ∴q ²-2q +1=0解得q =1,这与已知矛盾,即假设不成立,∴数列{b n +1}不可能是等比数列. ................................ 13分17.解：(Ⅰ)由图象可知A =2,T =4(5π3-2π3)=4π,∴ω=2πT =12,∴f (x )=2sin(12x +ϕ), x ∈(0,5π3],又图象过点(2π3,2)即sin(π3+ϕ)=1,∵|ϕ|<π2,∴ϕ=π6,∴f (x )=2sin(12x +π6), x ∈(0,5π3], ............................................ 6分 法二：上同由图象知：(2π3,2)是五点法作图中的第二点, ∴12×2π3+ϕ=π2即ϕ=π6,∴f (x )=2sin(12x +π6), x ∈(0,5π3], ............................................ 6分(Ⅱ)方程f (x )=m 恒有实数解⇔m ∈{f (x )|x ∈[-4,5π3]},①当x ∈(0,5π3]时,由图象可知f (x )∈[0,2], ②当x ∈[-4,0]时,f (x )=x ²+4x +1=(x +2)²-3, ∴f (x )min =f (-2)=-3, f (x )max =f (-4)=f (0)=1, ∴此时f (x )∈[-3,1],综上所述,函数f (x )的值域为[-3,2], ∴f (x )=m 恒有实数解时,实数m 的取值范围为[-3,2]. .... 13分解法二：方程f (x )=m 恒有实数解⇔m ∈{f (x )|x ∈[-4,5π3]}, 在同一坐标系中作出函数f (x )在x ∈[-4,0]上的图象如下,由图象可知函数f (x )的值域为[-3,2], ∴f (x )=m 恒有实数解时,实数m 的取值范围为[-3,2]. .... 13分 18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)∵→a =(1+sin2x ,sin x -cos x ),→b =(1,sin x +cos x ), ∴f (x )=→a ·→b =1+sin2x +sin²x -cos²x , ................................... 2分 =1+sin2x -cos2x ,=1+2sin(2x-π4), ............................................................... 4分∴当2x-π4=2k π+π2即x =3π8+k π,k ∈Z 时,函数取得最大值1+ 2. .......................................................................................... 6分(Ⅱ)由(I)知f (A 2)=2时,sin(A-π4)=22, .................................. 7分∴A -π4=2k π+π4或A -π4=2k π+3π4,即A =π2+2k π或A =π+2k π,k ∈Z , ......................................... 9分 ∵A 是三角形的一个内角,∴A =π2,即△ABC 是直角三角形. ∵a =2,∴b ²+c ²=4,∴S △ABC =12bc ≤b ²+c ²4=1(当且仅当b =c =2时,取得最大值), ∴△ABC 面积的最大值为1............................................. 13分分分分分2分3分分分3分分 Δ≤0或⎩⎨⎧Δ>0a 2≤2f '(2)=8-4a -2a ≥0,即-4≤a ≤0或⎨⎧a <-4或a >0a ≤44,解：(Ⅰ)f (x )的定义域为(-1a ,+∞).其导数f '(x )=1x +1a-a =-a ²xax +1 ............................................... 1分①当a <0时, f '(x )>0,函数在(-1a ,+∞)上是增函数; ........... 2分②当a >0时,在区间(-1a ,0)上, f '(x )>0;在区间(0,+∞)上, f '(x )<0.所以f (x )在(-1a ,0)是增函数,在(0,+∞)是减函数. .............. 4分(Ⅱ)当a <0时,取x =e -1a ,则f (e -1a )=1-a (e -1a )=2-ae >ae -1=a (e -1a ),不合题意.当a >0时, 令h (x )=ax -f (x ),则h (x )=2ax -ln(x +1a ) ............. 6分 问题化为求h (x )>0恒成立时a 的取值范围.由于h'(x )=2a -1x +1a =2a (x +12a )x +1a ...........................................7分∴在区间(-1a ,-12a )上, h'(x )<0;在区间(-12a ,+∞)上, h'(x )>0.∴h (x )的最小值为h (-12a ),所以只需h (-12a )>0,即2a ·(-12a )-ln (-12a +1a )>0∴ln 12a <-1即a >e2 ............................................................. 9分(Ⅲ)由于当a <0时函数在(-1a ,+∞)上是增函数,不满足题意, 所以a >0构造函数g (x )=f (-x )-f (x )( -1a <x <0)∴g (x )=ln(1a -x )-ln(x +1a )+2ax .............................................. 11分则g (x )= 1x -1a -1x +1a =2ax ²x ²-1a ²<0所以函数g (x )在区间(-1a ,0)上为减函数. ∵-1a <x 则g (x 1)>g (0)=0,于是f (-x 1)-f (x 1)>0-f (x ),又f (x 1)=0, f (-x 1)>0=f (x 2),由f (x )在(0+∞)上为减函数可知x 2>-x 1.即x 1+x 2>0 ........ 14分21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解：(Ⅰ)设矩阵M =⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ,则： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫-21=⎝ ⎛⎭⎪⎫0-2， 即⎩⎨⎧a -b =-1c -d =-1-2a +b =0-2c +d =-2，解得⎩⎨⎧a =1b =2c =3d =4∴M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1 23 4， .................................................................. 3分 (Ⅱ)设(x ,y )经M 的变换作用后变为(x',y')则： ⎩⎨⎧x'=x +2y y'=3x +4y 又x'-2y'=4∴(x +2y )-2(3x +4y )=4即l ：5x +6y +4=0 .......................... 7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为y =2x +1, ........................... 2分ρ=22sin(θ+π4)可化为ρ²=2ρsin θ+2ρcos θ ∴x ²+y ²=2y +2x即圆C 直角坐标方程为(x -1)²+(y -1)²=2 ......................... 4分 (Ⅱ)圆心(1,1)到直线2x -y +1=0的距离为 d =|2-1+1|2²+1²=25<2,∴直线与圆相交 .............................................................. 7分 (3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)依题意可得⎩⎨⎧4+1=5a 4×1=b 即⎩⎨⎧a =1b =4 ............................. 2分(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=1x +41-x∵0<x <1,∴0<1-x <1, 1x >0,41-x >0, ∴1x +41-x =(1x +41-x )[x +(1-x )]≥(1x ×x +21-x×1-x )²=9当且仅当1x x =21-x 1-x即x =13时,等号成立。

莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（文科有答案）莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（文科有答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1、已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于() A．B．C．D．2、已知集合，集合，则()A．B．C．D．3、()A.B．C．D．4、已知成等差数列，成等比数列，则等于（）A.B.C.D.或5、“”是“恒成立”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c，成等比数列，且c=2a，则cosC=()A.B.C.D.7、已知区域，定点A（3，1），在M内任取一点P，使得的概率为()A.B.C.D.8、设，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是()A．S=2,这5个数据的方差B．S=2,这5个数据的平均数C．S=10,这5个数据的方差D．S=10,这5个数据的平均数9、现有四个函数：①;②;③;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是()A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①10、已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1D．211、一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为() A．B．C．4D．12、定义:如果函数在[a,b]上存在满足,,则称函数是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是()A.B.()C.(,1)D.(,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．13、某单位有840名职工,现采用系统抽样抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[61,120]的人数为．14、设奇函数的定义域为R，且周期为5，若=-1，则=.15、已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为．16、已知数列满足.定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”.则在内所有“易整数”的和为________.三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17、（本小题满分12分）正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．（1）求证：平面；（2）求凸多面体的体积．18、（本小题满分12分）在等差数列中，前n项和为Sn，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足求数列的前n项和为Tn：19、（本小题满分12分）已知函数的图象如图所示(1)求f（x)在R上的单调递增区间；（2）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．20、（本小题满分12分）从某学校的名男生中随机抽取名测量身高,被测学生身高全部介于cm和cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[,),第二组[,),,第八组[,],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为人.(1)求第七组的频率;(2)估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上(含cm)的人数;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,事件{},事件{},求. 21、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点.当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.22、（本小题满分14分）已知，设函数．（1）若在上无极值，求的值；（2）若存在，使得是在[0,2]上的最大值，求t的取值范围；（3）若（为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试试卷高三数学(文科）参考答案1-5CCDBA6-10BBACB11-12AC13、314、215、16、2036 17、（1）证明：∵平面，平面，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵，∴平面．（2）解法1：在△中，，，∴．过点作于点，∵平面，平面，∴．∵，∴平面．∵，∴．又正方形的面积，∴．故所求凸多面体的体积为．解法2：在△中，，，∴．连接，则凸多面体分割为三棱锥和三棱锥．由（1）知，．∴．又，平面，平面，∴平面．∴点到平面的距离为的长度．∴．∵平面，∴．∴．故所求凸多面体的体积为．18、解：(Ⅰ)设数列公差为d，由题设得解得∴数列的通项公式为：(n∈N*)．………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：…………………………………6分①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，∴；………………………9分②当为奇数，即时，为偶数．∴．综上：…………………………12分19.解：(Ⅰ)由图象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………………………………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的单调递增区间为．………………6分(Ⅱ)由条件得：，即．∵且在上是增函数，0，0，在上是减函数，∴，∴，………9分∴，…………………………………10分∴． (12)分20,解：(Ⅰ)第六组的频率为,所以第七组的频率为;………3分(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为,身高在第二组[160,165)的频率为,身高在第三组[165,170)的频率为,身高在第四组[170,175)的频率为,由于,估计这所学校的800名男生的身高的中位数为,则由得所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为由直方图得后三组频率为,所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为人；………7分(Ⅲ)第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人,设为,则有共15种情况,因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件包含的基本事件为共7种情况,故由于,所以事件{}是不可能事件,由于事件和事件是互斥事件,所以.………12分21、解：（1）由，设，则，，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为………………………………5分（2）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，，由，解得，，所以若存在点，此时，为定值2.………8分根据对称性，只需考虑直线过点，设，，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值2……………12分22,（Ⅰ），又在(0,2)无极值………………3分（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，由得：在时无解②当时，不合题意；③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值.………………8分莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试高三数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）123456789101112二、填空题（每小题4分，共16分）13、14、15、16、三、解答题（74分）。

福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中联考2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知正项等比数列{a n}中，a2•a5•a13•a16=256，a7=2则数列{a n}的公比为( )A．B．2 C．±2D．±考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a94=256，解得a9由通项公式可得公比．解答：解：∵正项等比数列{a n}中，a2•a5•a13•a16=256，∴a94=a2•a5•a13•a16=256，解得a9=4，又a7=2，∴数列{a n}的公比q==故选：A．点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属基础题．3．已知集合A={y|y=x2﹣2x+2，﹣1≤x≤2}，B={x|＞1}}，若任取x∈A，则x∈A∩B 的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：分别求解函数的值域和求解分式不等式化简集合A，B，求出A∩B，由测度比为区间长度比得答案．解答：解：A={y|y=x2﹣2x+2，﹣1≤x≤2}={y|1≤y≤5}，B={x|＞1}={x|x＜3或x＞4}，∴A∩B={x|1≤x＜3或4＜x≤5}，由概率为区间长度比得，任取x∈A，则x∈A∩B的概率等于．故选：C点评：本题考查了函数的值域，考查了分式不等式的解法，训练了几何概率的求法，是基础题．4．已知命题p：“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞0”的否定是“∀x0∈R，x0﹣2＜0”( )A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．p真q假D．p，q均为假考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判定命题p，q的直角，再利用复合命题真假的判定方法即可判断出．解答：解：∵命题p：“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，是假命题；命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞0”的否定是“∀x0∈R，x0﹣2＜0”，是假命题．∴p与q均为假命题，故选：D．点评：本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，输出的T=( )A．29 B．44 C．52 D．62考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．解答：解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是( )A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3考点：函数零点的判定定理；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式判断单调性，再根据零点存在性定理判断即可得出答案．解答：解：y=log x在（﹣1，1）有没有意义的情况，故A不对，y=x2﹣1在（﹣1，0）单调递减，故C不对，y=﹣x3在（﹣1，1）单调递减，故D不对，故A，C，D都不对，∵y=2x﹣1，单调递增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）内存在零点故选：B点评：本特纳考查了函数的单调性，零点的判断，函数解析式较简单，属于容易题．7．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )A．m∥n B．n∥αC．n⊥m D．n⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用直线与平面垂直的性质定理，直接得到选项即可．解答：解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使n⊥β，只需在已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，则应增加的条件n⊥m，故选：C．点评：本题考查直线与平面垂直的性质定理的条件，考查基本知识的掌握程度，属于基本知识的考查．8．函数y=3|log3x|的图象是( )A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：作图题；转化思想．分析：由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．解答：解：y=3|log3x|=，即y=由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，考察四个选项，只有A选项符合题意，故选A．点评：本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是2015届高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．9．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为( )A．B．y=x C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程．解答：解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，∴（）2﹣4•﹣5=0∴=5∴m=16∴双曲线方程为=1∴双曲线的渐近线方程为故选B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）是奇函数且f（4）=﹣3，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），则实数a的值为( )A．9 B．3 C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用对数运算的性质和函数的奇偶性，将f（4）=﹣3转化为f（2）=3，再利用当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），从而求出a的值，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∵f（4）=﹣3，∴f（﹣log24）=﹣3，∴f（﹣2）=﹣3，∴f（2）=3．∵当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），∴a2=3，∴．故选D．点评：本题考查了，本题难度不大，属于基础题．11．若=（sin2x，cos2x），=（sin2x，﹣cos2x），f（x）=•+4cos2x+2sinxcosx．如果∃m∈R，对∀x∈R都有f（x）≥f（m），则f（m）等于( )A．2+2B．3 C．0 D．2﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的坐标表示已经二倍角公式和两角和的正弦公式，化简计算可得f （x），求得f（x）的最小值，由题意令f（m）不大于最小值，再由f（m）不小于最小值，即可得到f（m）．解答：解：若=（sin2x，cos2x），=（sin2x，﹣cos2x），则f（x）=•+4cos2x+2sinxcosx=sin4x﹣cos4x+4cos2x+2sinxcosx=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）+2（1+cos2x）+sin2x=﹣cos2x+2cos2x+sin2x+2=2+2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）+2，由x∈R，则sin（2x+）∈，即有f（x）∈，则f（x）的最小值为0，∃m∈R，对∀x∈R都有f（x）≥f（m），则f（m）≤0，又f（m）≥0，则有f（m）=0．故选：C．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式的运用，同时考查正弦函数的值域，运用不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是解题的关键．12．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是( )A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线考点：轨迹方程．专题：压轴题；运动思想．分析：根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．解答：解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．点评：本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置. 13．已知向量与的夹角为120°，||=1，||=3，则|﹣|=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到．解答：解：由向量与的夹角为120°，||=1，||=3，则=1×3×cos120°=﹣，即有||====．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则f=0．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式求得f（0）的值，进而求得f的值．解答：解：∵函数，则f（0）=30=1，∴f=f（1）=log21=0，故答案为 0．点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题．15．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：作出满足不等式组的可行域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．解答：解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故 z max=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．16．利用函数f（x）=（）x+（）x（x∈R）是减函数可以求方程（）x+（）x=1的解．由f（2）=1可知原方程有唯一解x=2，类比上述思路可知不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2的解集是{x|x＜﹣1或x＞2}．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2等价为x6+x2＞（x+2）3+（x+2）．类比（）x+（）x=1，求方程的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2＞x+2，解之即得x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2的解集．解答：解：∵不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2等价为x6+x2＞（x+2）3+（x+2）．∴设f（x）=x3+x，则函数f（x）在R上单调递增，由x6+x2＞（x+2）3+（x+2），即（x2）3+x2＞（x+2）3+（x+2），∴x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2．∴不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2的解集是{x|x＜﹣1或x＞2}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．某市为调研2015届高三一轮复习质量，在2014年10月份组织了一次摸底考试，并从某校2015届2015届高三理科学生在该次考试的数学成绩进行分析，利用分层抽样抽取90分以上的1200名学生的成绩进行分析，已知该样本的容量为20，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：分数段（分）频数 4频率 a 0.45 0.2（Ⅰ）求表中a的值及分数在内的学生随机选2名学生的得分，求2名学生的平均分不低于140分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（I）根据茎叶图，即可得到范围内的共有20×0.45=9人，而在内的学生随机选2名学生的得分，其中2名学生的平均分不低于140（分）”，由茎叶图可知得分在（130，150]范围内的成绩共有4个．则选取成绩的所有可能结果为（136，138），（136，139），（136，148），（138，139），（138，148），（139，148），共有6个基本事件．事件M，也就是两个成绩之和大于2×140=280，所以可能结果为：（136，148），（138，148），（139，148）共3个．所以所求事件的概率为P（M）==点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及古典概型的概率公式求法，利用列举法是解决古典概率的基本方法．18．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．考点：等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质．专题：综合题．分析：（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1，a3，a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{a n}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{a n}的通项公式代入数列中，根据=﹣，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到T n的通项公式，将求出的T n的通项公式和a n+1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值．解答：解：（I）设公差为d，由已知得：，即，解得：d=1或d=0（舍去），∴a1=2，故a n=2+（n﹣1）=n+1；（II）∵==﹣，∴T n=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥∀n∈N*恒成立，又=≤=，∴λ的最小值为．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握不等式恒成立时满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．学生在求数列{}的前n项和时，注意利用=﹣．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由图象可知A=2，周期T=π从而可求ω的值，又f（）=2sin（2×+φ）=2，|φ|＜可求φ，从而可得函数解析式，由2k≤2x+≤2kπ（k∈Z），解得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由 f（A）=1 可求A的值，由sinB=4sin（π﹣C）及正弦定理可求得b=4c，由三角形面积公式可求b，c的值，从而由余弦定理即可得解．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，A=2，函数f（x）的周期T=π，∵T=且ω＞0，∴ω=2又f（）=2sin（2×+φ）=2，|φ|＜解得∴f（x）=2sin（2x+）…由2k≤2x+≤2kπ（k∈Z），解得k≤x≤k（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）…..（Ⅱ）由 f（A）=1 即2sin（2A+）=1，所以A=…．∵sinB=4sin（π﹣C），所以sinB=4sinC，则b=4c，…．又△ABC的面积为，所以S=bcsin=，即bc=4所以b=4，c=1 …．则a2=42+12﹣=13，所以a=…．点评：本题考查了三角函数解析式的求法，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F 是PD中点，点E是DC边上的任意一点．（Ⅰ）当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）证明：无论点E在DC边的何处，都有AF⊥FE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣AFE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（Ⅱ）通过证明AF⊥平面PCD即可解决；（Ⅲ）利用换底法求V F﹣ABE即可．解答：（Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC；（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵AD∩AP=A，∴CD⊥平面PAD，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥CD．又PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，又∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF；（Ⅲ）解：作FG∥PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，且，∴，∴三棱锥B﹣AFE的体积为．点评：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．21．已知动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=﹣1的距离，点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设P为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，（ⅰ）当点P（，﹣）时，求直线AB的方程；（ⅱ）当点P（x0，y0）在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过设M（x，y），利用=|y+1|计算即得结论；（Ⅱ）通过对抛物线C的方程求导，利用斜率之间的关系可得直线AB的方程．①将点P（，﹣）代入计算即得结论；②联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的定义计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意有：=|y+1|，即：x2+（y﹣1）2=（y+1）2，整理得：x2=4y，∴轨迹C的方程为：x2=4y．（Ⅱ）由（I）知抛物线C的方程为：y=，求导得：y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=，y2=，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为：y﹣y1=（x﹣x1），即y=x﹣+y1，即x1x﹣2y﹣2y1=0，同理可得切线PB的方程为：x2x﹣2y﹣2y2=0，∵切线PA，PB均过点P（x0，y0），∴x1x0﹣2y0﹣2y1=0，x2x0﹣2y0﹣2y2=0，所以x1，x2为方程xx0﹣2y0﹣2y=0的两组解，所以直线AB的方程为：x0x﹣2y﹣2y0=0．①当点P（，﹣）时，直线AB的方程为：x﹣4y+6=0；②由抛物线定义知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，∴|AF|•|BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1，联立，消去x整理得：y+=0，∴，，∴|AF|•|BF|=y1y2+（y1+y2）+1=，又∵点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=y0+2，∴|AF|•|BF|===，∴当y0=﹣时，|AF|•|BF|取得最小值，且最小值为．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．22．对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有f′（x）＞f（x）成立，则称函数f（x）是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）=me x lnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，+∞）上的J函数，①试比较g（a）与e a﹣1g（1）的大小；②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，x n，均有g（ln（x1+x2+…+x n））＞g（lnx1）+g（lnx2）+…+g（lnx n）．考点：函数与方程的综合运用．分析：（1）我们要证明它是一个J函数，就应该满足J函数的定义f'（x）＞f（x），通过这个不等式，我们可以求出m的取值范围，（2）在已经告诉你是J函数的情况下，要我们比较大小，而且题干中还出现来e a﹣1，再结合我们肯定还要运用的f'（x）＞f（x），其实等价于：f'（x）﹣f（x）＞0，也就是讲我们在下面的解题当中要用到这两个点，特别是后面这点，导函数减原函数，什么情况下会有，一般来讲就只有除以一个e x函数才会出现，在联想到题干中给出了e a﹣1，这个时候我们就可以大胆的构造新函数，也就是我们解答中的函数．第二问中的第二小问，就是要充分利用好它的上一问．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=me x lnx，可得，因为函数f（x）是J函数，所以，即，因为，所以m＞0，即m的取值范围为（0，+∞）．…（Ⅱ）①构造函数，则，可得h（x）为（0，+∞）上的增函数，当a＞1时，h（a）＞h（1），即，得g（a）＞e a﹣1g（1）；当0＜a＜1时，h（a）＜h（1），即，得g（a）＜e a﹣1g（1）；当a=1时，h（a）=h（1），即，得g（a）=e a﹣1g（1）．…②因为x1+x2+…+x n＞x1，所以ln（x1+x2+…+x n）＞lnx1，由①可知h（ln（x1+x2+…+x n））＞h（lnx1），所以，整理得，同理可得，…，．把上面n个不等式同向累加可得g（ln（x1+x2+...+x n））＞g（lnx1）+g（lnx2）+...+g（lnx n）． (12)点评：此题难点在于第二问，解题的关键是要构造一个合理的函数，怎么构造这个函数呢，就要挖掘题干中的各种暗含的意思．而出现e a﹣1，恰恰是一个提示，暗示着新建的函数要有e x 项，再结合：f'（x）﹣f（x）＞0，便可猜出我们要的函数．构造函数是函数里面一种常用的方法，特别是出现很突然的单项式时，往往需要构造一个新的函数求解．。

2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）已知=（﹣5，6），=（6，5），则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向2．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．m∈R B．m＞1 C．m＞0 D．0＜m＜14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．45．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＜（b+c）（c﹣b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形6．（5分）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件7．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或8．（5分）如图为函数y=sin（2x+φ）的图象，则φ的值可以为（）A．或B．C． D．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．11．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．12．（5分）已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（﹣x）=0，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣4，﹣2），f（x）的最大值为，则a=（）A．4 B．C．D．1二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=．14．（4分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．15．（4分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则数列{a n}的通项公式为．16．（4分）在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC 的最大值为．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=•，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．20．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求几何体ABCD﹣A1C1D1的表面积；（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22．（14分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）已知=（﹣5，6），=（6，5），则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【解答】解：∵=（﹣5，6），=（6，5），∴•=﹣5×6+6×5=0；∴⊥．故选：A．2．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【解答】解：由x2﹣x﹣2＜0得，﹣1＜x＜2，则M={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），所以N={y|y=2x，x∈M}={y|﹣2＜y＜4}=（﹣2，4），则M∩N=（﹣1，2）∩（﹣2，4）=（﹣1，2），所以∁R（M∩N）=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．m∈R B．m＞1 C．m＞0 D．0＜m＜1【解答】解：分别画出函数f（x）=，和y=m的图象，∵要使f（x）的图象与y=m的图象有两个交点，如上图直线y=m应该在x轴与虚线之间，∴0＜m＜1，故选：D．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．4【解答】解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选：D．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＜（b+c）（c﹣b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【解答】解：∵a2＜（b+c）（c﹣b），即：a2+b2＜c2∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC＞a2+b2，∴cosC＜0，即∠C为钝角故△ABC是钝角三角形故选：C．6．（5分）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件【解答】解：A．根据面面垂直的定义可知，“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，正确B．根据线面垂直的判定定理得“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件，正确C．若l∥m，则m∥α或m⊂α，则充分性不成立，若m∥α，则l与m平行，异面或相交，必要性不成立，故“l∥m”是“m∥α”的既不充分又不必要条件，故C错误．D．根据面面垂直的定义可知，“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件，正确．故选：C．7．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a2+a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=（舍去）；∴==．故选：C．8．（5分）如图为函数y=sin（2x+φ）的图象，则φ的值可以为（）A．或B．C． D．【解答】解：由函数的图象，结合五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故选：B．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．11．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．12．（5分）已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（﹣x）=0，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣4，﹣2），f（x）的最大值为，则a=（）A．4 B．C．D．1【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x+2）+2f（﹣x）=0即f（x+2）﹣2f（x）=0，则f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2），所以f（x）=f（x+2）=f（x+4），当x∈（﹣4，﹣2）时，（x+4）∈（0，2），此时f（x）=f（x+4）=[ln（x+4）﹣a（x+4）]，则f′（x）=（﹣a）=﹣，当﹣4＜x＜﹣4+时，f′（x）＞0，f（x）递增，当﹣4+＜x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）递减，所以当x=﹣4+时f（x）取得最大值﹣，即f（﹣4+）==﹣，解得a=1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=1．【解答】解：由，且=1+mi，所以，m=1．故答案为1．14．（4分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：915．（4分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则数列{a n}的通项公式为a n=．【解答】解：当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式相减得3n﹣1a n==，则a n=，当n=1时，a1=满足a n=，综上a n=．故答案为：a n=16．（4分）在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC的最大值为．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°，由正弦定理得：====4，∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又点M为边AC的中点，∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ），∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ）=4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ=8sinθ+4cosθ=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值．∴|AB|+|AC|的最大值为4．故答案为：4．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，∴OM∥平面PAB；（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）解．（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d∵a2=5，a4+a6=22，∴，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）∴a n=2n+1，．…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=，b n=f（a n），∴，…（7分）∵a n=2n+1，∴，∴=，…（9分）T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+…+﹣）…（11分）=（1﹣）=，所以数列{b n}的前n项和T n=．…（13分）19．（12分）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=•，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=m•n==（3分）∵ω＞0，∴函数f（x）的周期，由题意知，即，又ω＞0，∴0＜ω≤1．故ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（6分）（Ⅱ）由（I）知ω的最大值为1，∴．∵f（A）=1，∴．而，∴，∴．（9分）由余弦定理可知：，∴b2+c2﹣bc=1，又b+c=2．联立解得：或．∴．（13分）20．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求几何体ABCD﹣A1C1D1的表面积；（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵=，∴AA1=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），设AC1的中点H，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴表面积S=3×8+4+2+6=36﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQD1，∴C1D⊥平面A1PQCD1且A1P⊂平面A1PQD1，∴A1P⊥C1D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴，∴C1Q=1，又∵PQ∥BC，∴．∵四边形A 1PQD1为直角梯形，且高，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【解答】解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，∴，∵（其中0≤x≤a，a为正常数），∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣，∴（0≤x≤a），∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0≤x≤a）；（2）由（1）可知，（0≤x≤a），∴，当且仅当时取等号，∵0≤x≤a，①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；②当a＜1时，，∴，解得﹣3＜x＜1，∴在（﹣3，1）上单调递增，∴在[0，a]上单调递增，∴在x=a时，函数有最大值，∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．22．（14分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g （0）=0，，∴h （a ）=g （a ），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x ＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f （0）=0；当x ＜0时，，∴函数f （x ）的最小值为，要使对任意x ∈R ，f （x ）＞h （a ）恒成立，则f （x ）最小＞h （a ），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x ∈R ，f （x ）＞h （a ）恒成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

福建省莆田一中高三上学期期中考试（数学文）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. ︒480sin 的值是（ ） A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y ＝－x 3，R x ∈B ．x y -=，R x ∈C ．y ＝x ，R x ∈D ．xy )21(=，R x ∈3. 设集合A ＝}21{<≤x x ，B ＝}{a x x >，若A ⊂≠B ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a<1C ．a>2D ．a ≥24．直线210x ay +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为 （ ）A.12B.12或0 C.0 D.－2或05. 对于非零向量,a b ，下列命题中错误．．的是（ ） A ．a b b a =B ．22||a a =C ．()2a b a b a b ⊥⇒=D ．||a b ⇒a 在b 上的投影为a6. 若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点是－2，则函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是（ ） A ．2，0 B ．2，21-C ．0，21-D ．0，21 7. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 ( ) A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 8. 已知函数⎩⎨⎧≤>=),0(2),0(log )(2x x x x f x 若21)(=a f ，则a 的值为 （ ） A ．1-B ．2C ．1-或21D ．1-或29. 已知21tan =α，52)tan(-=-βα，那么)2tan(αβ-的值是（ ） A ．－43 B ．－121C ．－89D ．8910．一个几何体的三视图如下所示，则该几何体的表面积是( )A ．386+B ．3712+C ．3812+D ．3218+11．圆心在抛物线22(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是（ ） A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．221204x y x y +--+=12. 设21,F F 是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1:2||:||21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A ．4 B. 6 C. 22 D. 24 二、填空题:(每小题4分，共16分)13．设曲线axy e =在点(01)，处的切线210x y ++=垂直，则a = .14．设向量a (2,3)=，b (1,2)=，若向量λa+ b 与向量c (4,1)=-垂直，则λ＝ .15．观察以下各式：1=12，2＋3＋4=32，3＋4＋5＋6＋7=52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=72，…，你得到的一般性结论是 .（要求：用n 的表达式表示，其中n *N ∈）. 16.设函数⎪⎭⎫⎝⎛<<->+=22,0)sin()(πϕπωϕωx x f 给出下列四个论断： ① . 它的周期为π； ② 它的图象关于直线12π=x 对称；③它的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称；④在区间⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π上是增函数。

福建省莆田第一中学2018届高三数学上学期期中试题 文一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上） 1．已知复数521iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．如图，设全集为U=R ，A={x|x （x ﹣2）＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1} 3．曲线()ln 23f x x x =-+在点()1,1处的切线方程是（ ）A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 20x y ++=D. 20x y --=4．已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ +|=，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．3或﹣1D ．2或﹣15．若tan （θ+）=﹣3，则=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2 6．已知等比数列中，，则的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．设,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面, ,a b αβ⊂⊥,则“//αβ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）A. 6平方米B. 9平方米C. 12平方米D. 15平方米9．已知函数f （x ）=，当x 1≠x 2时，＜0，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．[，]C ．（0，]D ．[，]10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）A ．3024B ．1007C ．2015D ．201611．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A.B.C.D.12．已知函数()()32ln ,5a f x x x g x x x x =+=--，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()122f x g x -≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. (),0-∞D. (],1-∞-二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13.若函数为奇函数，则________．14．在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则46tan()a a +=_________________.15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①函数()1y f x =+的图像关于点()1,0-对称；②对任意的R x ∈，都有()()11f x f x +=-成立；③当[]4,3x ∈--时， ()()2log 313f x x =+．则()()20172018f f += ______.三、解答题(本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数21()2cos 22f x x x =-+. （1）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围；（2）将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间.18．在数列{a n }中，设f （n ）=a n ，且f （n ）满足f （n+1）﹣2f （n ）=2n （n ∈N*），且a 1=1．（1）设，证明数列{b n }为等差数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19.如图，在中，，，是边上一点．（Ⅰ）求的面积的最大值；（Ⅱ）若的面积为4，为锐角，求的长．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=，2AB AC ==，点,M N 分别为111,AC AB 的中点.（1）证明： //MN 平面11BB C C ；（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积21.已知函数.12)1()(),0(ln )(222-+-==/+-=mx x m x g a ax x x a x f（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若1=a 时，关于x 的不等式)()(x g x f ≤恒成立，求整数m 的最小值．选做题:二选一（本题满分10分）请用2B 铅笔在所选答题号框涂黑 22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ： 22134x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线 l ：()2cos sin 6ρθθ-=.(Ⅰ)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的参数方程；(Ⅱ)在曲线1C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值23．[选修 4-5]不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-. (Ⅰ)当1a =，解不等式()()f x g x <；(Ⅱ)对任意[]1,1x ∈-， ()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.莆田一中2017-2018学年度上学期第一学段考试试卷高三 数学文科 参考答案1-5. DBACD 6-10. BABAA 11-12. DA 13. -1 14.3315. 316 16. 217（1）∵211()2cos 2cos 2sin(2)226f x x x x x x π=-+=-=- 3分 ∵[0,]2x π∈时，52[,]666x πππ-∈-，4分 ∴1sin(2)[,1]62x π-∈-. 5分 ∴函数()f x 的取值范围为：1[,1]2-. 6分 （2）∵()()sin[2()]sin(2)6666g x f x x x ππππ=+=+-=+，8分 ∴令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，即可解得()g x 的单调递增区间为：[,]36k k ππππ-+，k Z ∈. 12分18．（1）证明：由已知得，得，∴b n+1﹣b n =1， 又a 1=1，∴b 1=1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．（2）解：由（1）知，，∴．∴，两边乘以2，得，两式相减得=2n ﹣1﹣n•2n =（1﹣n ）2n ﹣1，∴19。

福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学文试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2．设集合2{|20M x x x =--＜｝，{|y 2,N y x x M ==∈｝则集合()R C M N ⋂=( ) A ．(—2，4) B ．(—1，2) C ．∞⋃∞（-,-1][2,+） D ．(∞⋃∞（-,-2)4,+）3. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m 4.已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且,22-=n n a s 则2a 等于 （ ） A ． 4 B ．2 C ．1 D ． 2-5.在△ABC 中,c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边,若2()()a b c c b <+-,则△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形或钝角三角形 6．已知l ，m 为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l ⊂α，且m ⊂β，那么下列命题中不正确的是（ ） A ． “l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 B ． “l ⊥m ”是“l ⊥β”的必要不充分条件 C ． “m ∥α”是“l ∥m ”的充要条件 D ． “l ⊥m ”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件7. 各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 8.如图为函数y ＝sin(2x ＋ϕ)的图象，则ϕ的值可以为（ ） A.3π或34π B. 3πC. 34πD. 32π9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( B )A.①②B. ①④ C .②③ D.③④第9题图 第10题图10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．29πB ．23πC ．169πD ．3π11、已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =( ) A ．12B ．2C ．1-D ．12-12．已知)(x f y =是奇函数，且满足0)(2)2(=-++x f x f ，当)2,0(∈x 时，ax x x f -=ln )(，当)2,4(--∈x 时，)(x f 的最大值为41-，则=a ( ) A ．41 B ．31 C ．21D ．1 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。