高中数学人教B版必修5同步课件：3.3 第1课时《一元二次不等式及其解法》

《一元二次不等式及其解法（一）》教学设计一、教材内容分析内容：本节内容是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5第三章《不等式》的第二节第一课时，主要内容是：一元二次不等式及其解法。

解析：本节所涉及的概念不多，所表现的数学基本思想也不复杂。

主要围绕一元二次不等式概念的形成过程及一元二次不等式的解法来研究，着重研究一元二次不等式的解与二次函数、一元二次方程的密切关系。

通过“三个二次”关系的探究，培养学生数形结合的思想。

二、学生学情分析认知基础;学生在小学已学过一元一次方程、一元一次不等式及解法，在初中已学过一次函数、二次函数、一元二次方程及一元二次方程的解法，学生在此基础上来学习一元二次不等式及其解法。

认知困难：一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具。

由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑。

要使学生通过学习本节内容后，达到《新课标》所规定的要求并非易事。

因此在教学中要根据学生的实际情况，要通过大量的实例，引导学生抽象概括，逐步理解掌握有关概念及思想方法，要通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想内涵。

三、教学目标分析通过几个实例总结得出一元二次不等式的定义，用类比的方法探究一元二次不等式的解法。

（二）课时目标及目标分析课时目标:1、通过具体实例正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；2、通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；3、通过学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想；创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。

目标分析：1、通过观察三个式子，得出一元二次不等式的概念，并通过三个实例深化概念。

2、通过复习“三个一次”的关系，应用类比的方法去探究“三个二次”的关系。

《3.3一元二次不等式及其解法（第一课时）》教学设计 ※课型：规则课 ※教材版本：人教B 版必修5※教材内容地位分析：本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修5）中第三章《不等式》第三节“一元二次不等式及其解法”，主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式模型，解不等式，从而解决实际问题．本节共3课时，这节课属于第一课时，不仅从一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式的角度剖析3个二次关系，让学生学会并且熟练地解一元二次不等式，更重要的是渗透数形结合的思想及等价转化思想，从而培养及提高学生的核心素养．※学情分析：授课班级为广州市第5组生源的高一实验班，虽学生对学习数学有一定兴趣，有一定的数学基础，但部分学生的数学学习习惯较差，有点好高骛远．本节课是一节规则课，关键要让学生理解一元二次不等式解的意义，掌握解一元二次不等式的规则，形成程序．学生在高一上学期必修1第一章《集合与函数》中在进行集合交并补运算时已经接触过一元二次不等式，所以对此并不陌生，加上学生整体思维较为活跃，教师在授课时直接从一元二次方程、一元二次函数过渡到一元二次不等式，带着学生在图形引领下一起总结一元二次不等式的一般解法，将解一元二次不等式的知识系统化、程序化，学生体验数学生成的基本活动． ※教学目标1、类比一元二次方程得出一元二次不等式的概念，了解一元二次不等式的模型，理解三个二次的关系，掌握一元二次不等式的解法．2、体验通过函数图像得出不等式解集，提高逻辑思维能力及数形结合的思想，用已知解决未知的数学思维品质．3、体验从特殊到一般，培养数学应用意识、勇于创新的科学精神，体会用数学解决实际生活问题．※教学重点：一元二次不等式的解法．※教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，数学结合思想的渗透．※教学方法：启发式教学法，探究法，讲授法，学案导学法．※教学流程：※教学过程设计（一）创境引入1、0322=--x x 是关于x 的 ，它的定义是什么？2、类似地，像0322>--x x 这样，只含有 知数，并且未知数的最高次数是 的 ，称为一元二次不等式．一元二次函数的一般形式：【师生活动】：学生根据学案完成思考，教师提问学生．【设计意图】：学生有初中学习的一元二次方程做基础，以及不等式做铺垫，属在学生最近发展区内，方便学生理解，可以很自然的得出一元二次不等式的定义，降低教学难度．（二）探索研究探究1：如何求解一元二次不等式0322>--x x 的解集呢？思考：（1）图象与x 轴交点的坐标为 ，该坐标与方程2230x x --=（2）当x 当x 当x （3 不等式2230x x --<的解集为【师生活动】：通过学案形式引领学生根据学案自主思考，自主探究，教师适当点拨学生、提问学生．【设计意图】：学生已有一元二次方程及二次函数的基础，在学生最近发展区内设问，尝试通过学案引导学生自主探究学习，将未知转化、化归为用固有知识求解，提高学生数学阅读能力，及发现问题，解决问题能力．探究2：一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下形式： 02>++c bx ax 或02<++c bx ax ()0>a怎样确定一元二次不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax ()0>a 的解集呢？ 结论：3、解一元二次不等式步骤：（1）化简；（2）解方程；（3）作图；（4）写解集．规律：当0>a 时，“大于0 ，小于0 ”【师生活动】：学生通过合作讨论探究，根据学案提示完成，教师巡视，适当点拨个别学生，让学生展示成果．【设计意图】：学生合作学习，交流方法，思维碰撞，总结一元二次不等式的解法将知识系统化、程序化，突出本节课的重点，同时将解法程序化后也突破了难点；教师分层教学，科学评价，给予学生时间与空间，让学生体验数学探究的乐趣，增强自我效能感．（三）知识应用例1：求不等式0762<--x x 的解集．变式1：求下列不等式的解集（1）0532≥+x x （2）24410x x -+>【师生活动】：例1教师与学生共同完成，教师规范板书；变式1由学生独立完成后，教师投影学生解答，评价．【设计意图】：规范板书，给学生示范，讲练结合，让学生及时尝试并巩固，体验成功的乐趣，增强学生自我效能感，提高对数学学习的信心．例2：求不等式0322>-+-x x 的解集．变式2：求下列不等式的解集（1）223x x -+<- （2）2250x x -+-<【师生活动】：例2通过提问，逐步形成解题思路，再让学生自主组织语言解答；变式2由学生独立完成后，教师投影学生解答，评价．【设计意图】：例2为0<a 的情形，通过提问，引导学生思考，通过类比、数形结合、观察判断等方法，渗透将未知转化、化归为用已知求解问题的思想方法，培养及提高学生的核心素养，讲练结合，及时巩固．例3：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：x x y 22022+-=若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【师生活动】：教师引导学生阅读题目，将文字语言转化为符号语言，建立不等式模型，学生再独立求解，教师再从解题规范、需注意点、易错点（取值范围）等角度点评．【设计意图】：引导学生进行数学阅读，学会三种语言的相互转换，提高自主学习能力，以及将问题“数学化”，用数学的思想方法解决实际问题等能力，从而达到提高学生数学核心素养的教育功能．（四）总结提升1．对照学习目标，检验目标是否达成．2．一个解法、三个二次关系、三个思想方法．【师生活动】：引导学生回想归纳总结、反思．【设计意图】：梳理知识点，构建知识体系，突出课堂重点；检验学习效果，提炼数学思想方法，掌握解决数学问题的通性通法．（五）课后延伸思考1：解关于x 的不等式02322≤+-a ax x ．思考2：解关于x 的不等式()0112>--+x a ax ． 【设计意图】：思考1不等式中带有参数，需谈论对应方程两根a x =1与a x 22=的大小关系；思考2的不等式二次项系数带有参数，需讨论，是含参不等式的另一种形式，两题均需分类谈论，及数形结合，是课堂的延伸，也能激发学生求知欲．同时也为后续讨论含参函数单调性的学习埋下伏笔．※板书设计小结，也能突出课堂的重点；例题的板书能给学生规范答题示范．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.3 第1课时一元二次不等式及解法基础巩固一、选择题1．若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B等于() A．{x|0<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|1<x<3} D．∅[答案] A[解析]∵A＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．2．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为∅，则()A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ≤0C．a>0，Δ≤0 D．a>0，Δ>0[答案] C[解析]根据二次函数图象可知选C.3．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}则M∩N 为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3}D ．{x |x <－2或x ≥3} [答案] A[解析] 由x 2－3x －28≤0，得－4≤x ≤7， 由x 2－x －6>0，得x >3或x <－2. ∴M ＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x >3或x <－2}，M ∩N ＝{x |3<x ≤7或－4≤x <－2}． 4．不等式－x 2≥x －2的解集为( ) A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．∅[答案] C[解析] 原不等式可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，∴－2≤x ≤1.故选C.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0，的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0，得⎩⎨⎧－1<x <10<x <3，∴0<x <1.6．下列四个不等式： ①－x 2＋x ＋1≥0； ②x 2－25x ＋5>0； ③x 2＋6x ＋10>0； ④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] C[解析] ①④显然不可能．②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R.③中Δ＝62－4×10<0.故选C.二、填空题7．方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个不相等的负根，则m 的取值范围是______________．[答案] (13，12)∪(1，＋∞)[解析] 由已知只需⎩⎨⎧f (0)＞0－b2a ＜0△＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3m －1＞0－m ＜016m 2－8(3m －1)＞0，解此不等式即得13<m <12或m >1.8．不等式(1－a )x 2－4x ＋b >0的解集是{x |－3<x <1}，则a ＝______________[答案] 3[解析] 由(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集为{x |－3＜x ＜1}可知1－a ＜0且－3,1是(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，解得a ＝3. 三、解答题9．解下列关于x 的不等式： (1)(5－x )(x ＋1)≥0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－12x 2＋3x －5>0；(4)－2x 2＋3x －2<0.[解析] (1)原不等式化为(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5.∴故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (2)原不等式化为4x 2－18x ＋814≤0，即(2x －92)2≤0，∴x ＝94.故所求不等式的解集为{x |x ＝94}．(3)原不等式化为x 2－6x ＋10<0， 即(x －3)2＋1<0，∴x ∈∅. 故所求不等式的解集为∅. (4)原不等式化为2x 2－3x ＋2>0， 即2(x －34)2＋78>0∴x ∈R.故所求不等式的解集为R.10．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2>0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] 当a ＝0时，不等式2x ＋2>0解集不为R ，故a ＝0不满足题意．当a ≠0时，若不等式的解集为R ，只需⎩⎨⎧a >022－4×2a <0，解得a >12综上，所求实数a 的取值范围为(12，＋∞)．能力提升一、选择题1．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (5)D ．f (－1)<f (2)<f (5)[答案] C[解析] ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为x <－2或x >4. 则a >0且－2和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴－b a ＝2，ca ＝－8.∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为x ＝－b2a＝1，∴f (5)>f (－1)>f (2)，故选C.2．方程mx 2－(1－m )x ＋m ＝0有两个不等实根，则m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤3B ．－1≤m ≤3且m ≠0C ．－1<m <13D ．－1<m <13且m ≠0[答案] D[解析] 解法一：验证排除当m ＝0时，方程有一个实根，排除A 、C ；当m ＝－1时，方程可化为x 2＋2x ＋1＝0，即(x ＋1)2＝0，故方程有两个相等实根，排除B ，故选D.解法二：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0Δ＝(1－m )2－4m 2>0， 解得－1<m <13且m ≠0.二、填空题3．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤－6或a ≥2[解析] ∵x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集， ∴y ＝x 2－ax －a ＋3的图象与x 轴有交点， 则Δ＝(－a )2－4×1×(－a ＋3)≥0， 解得a ≤－6或a ≥2.4．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N ＋)时，规定[x ]＝n ，则不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．[答案] {x |2≤x <8}[解析] 由4[x ]2－36[x ]＋45<0， 得32<[x ]<7.5，即1.5<[x ]<7.5， 故2≤[x ]≤7，∴2≤x <8. 三、解答题 5．求函数y ＝6x －x 2－510＋3x －x 2的定义域．[解析] 解法一：要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧6x －x 2－510＋3x －x 2≥0 ①10＋3x －x 2≠0 ②①等价于(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5≥0x 2－3x －10>0，或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5≤0x 2－3x －10<0.解不等式组(Ⅰ)得：x <－2或x >5， 解不等式组(Ⅱ)得：1≤x <5， 解②式得x ≠－2且x ≠5，∴原函数的定义域为{x |x <－2或x ≥1且x ≠5}． 解法二：接解法一，分解因式得： ⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －5)(x －5)(x ＋2)≥0(2＋x )(5－x )≠0，解之得x <－2或x ≥1且x ≠5.∴原函数的定义域为{x |x <－2或x ≥1且x ≠5}．6．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集． [解析] 由题意可知，－2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0.的两根，且a <0.∴－ba ＝－2－12，∴b ＝52a ，ca ＝－2×(－12)，∴c ＝a ， ∴ax 2－bx ＋c >0，即ax 2－52ax ＋a >0，∴x 2－52x ＋1<0，∴(x －12)(x －2)<0，∴12<x <2， 故不等式x 2－bx ＋c >0的解集为{x |12<x <2}．7．金融危机的来临使消费者的购买欲有所下降，为了刺激消费者，甲、乙两家家电商场举行了促销活动．有一批微波炉原销售价为每台800元，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单位价再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类微波炉，问去哪家商场购买，花费较少？[解析] 设某单位购买x 台此类微波炉，共花费y 元． 若去甲商场购买，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(800－20x )x (800－20x ≥440)440x (800－20x <440)， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－20x 2＋800x (0<x ≤18)440x (x >18)若去乙商场购买，由题意，得y ＝800×75%x ＝600x (x >0)． 令－20x 2＋800x >600x ，得0<x <10. 令－20x 2＋800x ＝600x ，得x ＝10. 令－20x 2＋800x <600x ，得10<x ≤18. 又当x >18时，440x <600x ，综上可知，当某单位购买此类微波炉少于10台时，应去甲商场花费较少，当购买10台时，去甲、乙两商场花费相等，当购买多于10台时，去乙商场花费较少.。

《一元二次不等式的解法》教学设计一．教学内容分析：1．本节课内容在整个教材中的地位和作用．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化．许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用．2．教学目标定位．第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与分类讨论等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力．第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神．3．教学重点、难点确定．本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法．只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可．因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．二．教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感．为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动．我设计了①回忆旧知，服务新知，②合作交流，探究新知，③数学运用，深化认知，④练习检测，反馈新知, ⑤谈谈收获，强化思想，⑥布置作业，实践新知，环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．三．教学过程分析：（一）联系旧知，构建新知设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆．问题1：一元二次方程的解法有哪些呢？（意图：让学生回顾一元二次方程的解法，为解一元二次不等式做准备．）问题2：同学们还记得二次函数吗？二次函数的形式是怎样的？你记得二次函数的性质吗？（意图：引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备）（二）合作交流，探究新知1． 探究一元二次不等式260x x --<的解．容易知道：一元二次方程260x x --=的有两个实数根：1223x x =-=或． 二次函数26y x x =--与x 轴有两个交点：()()2,03,0-和．思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？思考2：观察图象，当x 为何值时，0y =；当x 为何值时，0y >；当x 为何值时，0y <．（设计意图 : ①体现学生的主体性；②有利于加强对图象的认识，从而加强数形结合的数学思想 ；③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素；④为归纳解一元二次不等式做好准备．根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解．）2． 探究一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或的解法． 组织讨论：从上面的例子出发，综合小组同学的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式ac b 42-=∆三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<）来确定．（设计意图：这里学生通过小组合作交流，在探究中建立知识间的联系并归纳出一元二次不等式解法的步骤，体会数形结合，强调突出本节的难点．）（三）数学运用，深化认知．例1．求不等式22320x x -->的解集．变式为：求不等式22320x x --<的解集．例2．解不等式0322>-+-x x ．（设计意图：先让学生来解答例题，若教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬．）（四）练习检测，巩固收获（1）求下列一元二次不等式的解集：2514.x x ->24 6.x x -+>（2）函数y =( ) A ．{}21.x x x ≤-≥或B ．{}21.x x -<<C ．{}21.x x -≤≤D ．.∅ （设计意图：为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）（五）归纳小结，强化思想设计意图：梳理本节课的知识点，总结一元二次不等式解法的步骤：“一化，二判，三求根，四画图，五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳，让学生掌握严谨的做题方法，知晓本节课的重难点．（六）布置作业，拓展延伸必做题：课本第34页第一题.选做题：（1）若关于m 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）已知不等式20x ax b --<的解集为}{23x x <<，求,a b 的 值.（设计意图：以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的反馈，选做题是对本节课知识的延伸，整体的设计意图是反馈教学，巩固提高．）。